Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

27Astrophysique

Chaque chapitre de ce livre répétait pour celui-ci. Les étoiles sont des boules de gaz auto-gravitantes régies par l’hydrostatique du volume de première année, allumées par l’effet tunnel du Chapitre 25, brillant selon la loi de Planck du Chapitre 20 ; les étoiles mortes sont les gaz de Fermi dégénérés du Chapitre 19, à la taille de villes ; et l’univers lui-même est un système thermique en refroidissement dont la photographie de nourrisson — le fond diffus cosmologique — est le corps noir le plus parfait jamais mesuré. Ce chapitre de clôture assemble tout le volume dans le plus vaste laboratoire possible : comment les étoiles vivent, comment elles meurent, ce qu’elles laissent, et comment l’univers en expansion qui les contient a commencé, avec une physique que nous avons déjà faite.

27.1 Une étoile est un équilibre

Proposition 27.1 (Équilibre hydrostatique)

Une étoile ne s’effondre ni ne se disperse : à chaque rayon, le gradient de pression porte le poids du gaz au-dessus. Pour la masse $m(r)$ contenue dans le rayon $r$ ,

\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

Estimé à l’échelle du Soleil entier, $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ et, via la loi des gaz parfaits, $T_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K}$ (Exercice 27.1) — précisément la température à laquelle les protons de Exercice 25.11 commencent à passer par effet tunnel. Ce n’est pas une coïncidence mais un thermostat : une étoile doit se contracter et chauffer jusqu’à ce que son cœur s’allume, et la fusion tient alors l’équilibre pendant des millions ou des milliards d’années. Les étoiles ont une capacité thermique négative — perdre de l’énergie, se contracter, devenir plus chaude (Exercice 27.5) — et c’est pourquoi la gravité finit toujours par gagner.

Démonstration. Une coquille $[r, r + \dd r]$ d’aire $A$ subit la pression $P(r)A$ par en dessous, $P(r + \dd r)A$ par au-dessus, et le poids $g\rho A\,\dd r$ avec $g = Gm(r)/r^2$ (seule la masse intérieure attire, par le théorème de Gauss pour la gravitation). L’équilibre des trois donne l’équation annoncée. ∎

Une étoile, dessinée comme son propre bilan des forces. La fusion alimente la pression qui porte le poids propre de l’étoile ; les deux forces négocient pendant dix milliards d’années — et chaque destin stellaire de ce chapitre est ce qui arrive quand l’une d’elles est à court d’arguments.

27.2 La vie des étoiles

Définition 27.2 (Le diagramme de Hertzsprung–Russell)

Portez les étoiles selon leur température de surface (les chaudes à gauche, par convention) contre leur luminosité, toutes deux issues des lois du corps noir du Chapitre 20, et elles refusent de s’éparpiller : quatre-vingt-dix pour cent se pressent sur la séquence principale, la bande diagonale des brûleurs d’hydrogène, ordonnée par la seule masse — plus lourde signifie plus chaude et disproportionnément plus brillante ( $L \propto M^{3.5}$ ), donc de plus courte vie ( $t \propto M/L \propto M^{-2.5}$ : Exercice 27.4). Hors de la bande vivent les exceptions et les fins du graphique : des géantes froides mais énormes (en haut à droite), et des naines blanches chaudes mais minuscules (en bas à gauche) — car à température fixée, par $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , la luminosité mesure la taille. Le diagramme HR n’est pas une carte d’espèces mais d’âges : le point d’une étoile y dérive à mesure que son combustible s’épuise.

Le diagramme de Hertzsprung–Russell. La séquence principale est la bande des brûleurs d’hydrogène, une échelle de masses à lire du haut à gauche (bleues, prodigues, mortes en quelques millions d’années) au bas à droite (rouges, économes, survivant à l’univers jusqu’ici). Géantes et naines blanches ne sont pas des bizarreries mais des chapitres : une même étoile visite les trois régions.

Remarque 27.3 (Comment les étoiles vieillissent, et ce qu’elles laissent)

Quand l’hydrogène du cœur est épuisé, la logique du thermostat rejoue : le cœur se contracte et chauffe, l’hélium s’allume (fusionnant en carbone et en oxygène), l’enveloppe se gonfle d’un facteur cent — une géante rouge. Une étoile de type solaire s’arrête là : elle perd son enveloppe et prend sa retraite en naine blanche. Une étoile au-dessus de $\approx8M_\odot$ continue d’allumer de nouveaux combustibles en pelures d’oignon jusqu’à ce que le cœur soit de fer — le sommet de Proposition 25.2, d’où aucune fusion ne rend d’énergie. Le cœur mort s’effondre en une seconde ; le rebond et le déluge de neutrinos font voler l’étoile en éclats : une supernova, qui éclipse brièvement sa galaxie, forge les éléments au-delà du fer par capture de neutrons et diffuse le tout dans les nuages qui bâtissent la génération suivante d’étoiles et de planètes. Le calcium de vos os et le fer de votre sang ont suivi cette route (Problème 27.1) : la chimie est de l’astrophysique recyclée.

27.3 Les cadavres : la matière à ses limites

Proposition 27.4 (Naines blanches et étoiles à neutrons)

Qu’est-ce qui tient une étoile qui ne brûle plus ? La mécanique quantique. Une naine blanche est une masse solaire de carbone et d’oxygène soutenue par sa pression de dégénérescence électronique — la pression de Fermi à $T = 0$ du Chapitre 19 — à la taille de la Terre et à une tonne par cuillerée. Le soutien de Pauli a un plafond : au-dessus de la masse de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ , les électrons deviennent relativistes et la pression perd la course (résultat que nous énonçons sans le démontrer). Au-delà, les électrons sont écrasés dans les protons et une étoile à neutrons se forme : la dégénérescence des neutrons plus la répulsion nucléaire tiennent $\sim1.4\,M_\odot$ en une douzaine de kilomètres, à la densité nucléaire de Définition 25.1 — un noyau de la taille d’une ville, tournant jusqu’à la milliseconde et balayant comme un phare (un pulsar). Et au-delà d’environ $3\,M_\odot$ , rien de connu ne résiste : l’étoile tombe sous le rayon où l’évasion exige la vitesse de la lumière,

R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ par masse solaire}) ,

un trou noir — le dernier mot de la gravitation, et le pas de porte de la relativité générale, un volume plus loin que celui-ci.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Une masse solaire, quatre tailles. La pression thermique tient le Soleil ; la dégénérescence électronique la naine blanche ; la dégénérescence neutronique l’étoile à neutrons ; rien ne tient le trou noir. Chaque étape multiplie la gravité de surface par une dizaine de milliers — et la physique nécessaire pour s’y tenir debout.

27.4 L’univers en expansion

Définition 27.5 (La loi de Hubble et le commencement chaud)

Toute galaxie lointaine s’éloigne, à une vitesse proportionnelle à sa distance :

v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ par mégaparsec} .

Ce n’est pas une explosion dans l’espace mais une expansion de l’espace — rembobiner et tout fut jadis dense et chaud : il y a $1/H_0 \approx 14$ milliards d’années (Exercice 27.9). L’univers primordial est ce livre rejoué en accéléré. À une seconde, c’est une soupe de particules au $\mathrm{MeV}$ (Chapitre 26) ; dans les premières minutes, le Chapitre 25 se déchaîne et fige un quart d’hélium en masse — prédit par un facteur de Boltzmann, observé partout (Exercice 27.11). À 380 000 ans et $3000\,\mathrm{K}$ , l’équation de Saha (Proposition 18.5) laisse enfin les électrons se poser sur les protons ; le brouillard se dissipe, et cette lumière diffusée une dernière fois — étirée d’un facteur mille par l’expansion — nous parvient aujourd’hui comme le fond diffus cosmologique : un spectre de Planck à $2.725\,\mathrm{K}$ (Chapitre 20), la plus ancienne photographie qui soit. Ce que l’image montre aussi : les galaxies tournent et s’agglomèrent comme si elles étaient pilotées par une matière noire qu’aucun détecteur n’a saisie, et l’expansion accélère sous une énergie sombre que personne n’a expliquée — les quatre-vingt-quinze pour cent du budget que ce livre ne peut encore écrire.

La loi de Hubble : la vitesse de récession contre la distance, chaque point une galaxie (vitesses issues des décalages Doppler, ; distances issues des chandelles standard). La pente est H_0 ; son inverse est, en gros, l’âge de l’univers. — La loi de Hubble : la vitesse de récession contre la distance, chaque point une galaxie (vitesses issues des décalages Doppler, Chapitre 4 ; distances issues des chandelles standard). La pente est $H_0$ ; son inverse est, en gros, l’âge de l’univers.

Un amas ouvert : des prodigues bleu-blanc et des naines orange économes, nées ensemble, vieillissant à des rythmes follement différents — le diagramme de Hertzsprung–Russell, photographié.

27.5 Exercices

Exercice 27.1 ★

Le Soleil, estimé. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . (a) Estimer $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$ . (b) Avec la masse volumique moyenne et la loi des gaz parfaits ( $P = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}$ ), estimer $T_{\text{c}}$ . (c) Comparer au seuil d’allumage $10^7\,\mathrm{K}$ de Exercice 25.11. (d) Pourquoi cet accord est-il un thermostat plutôt qu’une coïncidence ?

Solution

Solution de Exercice 27.1.

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — dix milliards d’atmosphères. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — grossier, un ordre au-dessus des $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ réels, mais l’échelle est la bonne. (c) Juste au seuil de l’effet tunnel. (d) Une protoétoile se contracte et chauffe jusqu’à ce que le cœur s’allume, puis cesse de se contracter : toute boule de gaz assez massive doit arriver à l’allumage — l’étoile s’accorde d’elle-même sur le thermostat nucléaire.

Exercice 27.2 ★

Peser la lumière. (a) À partir de la constante solaire $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ à $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , calculer $L_\odot$ . (b) À partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calculer la température de surface. (c) Vérifier le maximum de Wien face au jaune-vert visible du Soleil. (d) De quel chapitre venait la loi employée à chaque étape ?

Solution

Solution de Exercice 27.2.

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . (b) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$ . (c) Wien : $\lambda_{\text{pic}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — l’œil a évolué sur le maximum du Soleil. (d) Le flux en carré inverse (première année) ; Stefan–Boltzmann et Wien : le corps noir du Chapitre 20, tiré de la statistique des photons.

Exercice 27.3 ★

Lire le diagramme. Sirius B : $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$ , $L \approx 0.026\,L_\odot$ ; Bételgeuse : $T \approx 3500\,\mathrm{K}$ , $L \approx 10^5\,L_\odot$ . (a) Placer les deux sur le diagramme HR. (b) À partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calculer chaque rayon en unités solaires. (c) Bételgeuse dans le Système solaire : quelles planètes sont à l’intérieur ? (d) Qu’est-ce qui doit soutenir Sirius B ?

Solution

Solution de Exercice 27.3.

(a) Sirius B : tout à gauche, tout en bas ; Bételgeuse : tout à droite, tout en haut. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$ : Sirius B $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ un rayon terrestre ; Bételgeuse $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$ . (c) Mercure, Vénus, la Terre et Mars orbiteraient à l’intérieur. (d) De la taille de la Terre et pourtant d’une masse solaire : seule la pression de dégénérescence électronique (Chapitre 19) — Sirius B est la naine blanche classique.

Exercice 27.4 ★

Vivre vite, mourir jeune. Avec $L \propto M^{3.5}$ et une durée de vie $t \propto M/L$ , et les dix milliards d’années du Soleil : (a) la durée de vie d’une étoile de $10\,M_\odot$ ; (b) d’une naine rouge de $0.5\,M_\odot$ — comparer à l’âge de l’univers ; (c) pourquoi les étoiles plus lourdes, avec plus de combustible, meurent-elles plus tôt ? (d) Que la vie des astres massifs soit brève, qu’est-ce que cela implique sur le lieu (dans une galaxie) où surviennent les supernovae ?

Solution

Solution de Exercice 27.4.

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$ : environ 57 milliards d’années — toute naine rouge jamais née brûle encore. (c) La luminosité croît comme $M^{3.5}$ mais le réservoir seulement comme $M$ : les riches brûlent leur fortune plus vite qu’ils ne l’engrangent. (d) Les étoiles massives meurent quelques millions d’années après leur naissance — avant d’avoir dérivé où que ce soit : les supernovae détonent dans les bras spiraux de formation stellaire qui les ont faites.

Exercice 27.5 ★★

L’étrange thermodynamique de la gravité. Pour une boule de gaz auto-gravitante, le théorème du viriel (Chapitre 1) donne une énergie totale $E = -K$ (l’opposé de l’énergie cinétique ou thermique). (a) En déduire : rayonner de l’énergie rend l’étoile plus chaude — une capacité thermique négative. (b) Estimer l’énergie gravitationnelle $GM^2/R$ du Soleil. (c) Au $L_\odot$ d’aujourd’hui, combien de temps la seule contraction aurait-elle pu l’alimenter (le temps de Kelvin–Helmholtz) ? (d) La géologie date la Terre de 4,5 milliards d’années : énoncer le paradoxe du dix-neuvième siècle et sa résolution nucléaire.

Solution

Solution de Exercice 27.5.

(a) $E = -K$ : rayonner rend $E$ plus négatif, donc $K$ — soit la température — monte : la signature thermodynamique de la gravité. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$ . (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (d) Le Soleil de Kelvin ne pouvait avoir plus de quelques dizaines de millions d’années, quand les vers de Darwin et les roches de Lyell en exigeaient des milliards : la résolution fut un combustible que nul ne connaissait — le Chapitre 25, soixante-dix ans en avance.

Exercice 27.6 ★★

Anatomie d’une naine blanche. Prendre $M = 1\,M_\odot$ à $R = R_{\text{Terre}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . (a) Calculer la masse volumique moyenne, et la masse d’une cuillerée ( $5\,\mathrm{mL}$ ). (b) Calculer la gravité de surface. (c) La pression de dégénérescence du Chapitre 19 varie comme $n^{5/3}$ , l’exigence de la gravité comme $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$ : montrer que cela implique le bizarre $R \propto M^{-1/3}$ — les naines plus lourdes sont plus petites. (d) Expliquer physiquement pourquoi entasser de la masse rétrécit l’étoile, et ce que cela annonce à la masse de Chandrasekhar.

Solution

Solution de Exercice 27.6.

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : une cuillerée de neuf tonnes. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — trois cent mille gravités terrestres. (c) $n \propto M/R^3$ : la dégénérescence fournit $P \propto M^{5/3}/R^5$ , la gravité exige $P \propto M^2/R^4$ ; en égalant, $R \propto M^{-1/3}$ . (d) Plus de poids réclame plus de pression de Fermi, que seule la compression fournit — la masse rétrécit donc l’étoile ; la spirale a un mur : dès que les électrons deviennent relativistes, la loi de pression s’adoucit en $n^{4/3}$ , l’équilibre échoue à tout rayon, et $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ est le bord de la falaise.

Exercice 27.7 ★★

Anatomie d’une étoile à neutrons. (a) À la densité nucléaire $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , calculer le rayon qui contient $1.4\,M_\odot$ . (b) Le cœur avant effondrement tournait une fois par 25 jours à $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$ : utiliser la conservation du moment cinétique pour estimer la période de rotation finale. (c) Calculer la gravité de surface. (d) Le gel du flux amplifie le champ magnétique comme $B \propto 1/R^2$ (Chapitre 22) : à partir d’un $10^{-2}\,\mathrm{T}$ stellaire, quel champ de surface en résulte, et pourquoi les pulsars balaient-ils un faisceau ?

Solution

Solution de Exercice 27.7.

(a) $V = M/\rho_{\text{nuc}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ : $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — un noyau avec une ligne d’horizon. (b) $\omega \propto 1/R^2$ : une accélération de $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$ , si bien que 25 jours se réduisent à ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ : le territoire des pulsars. (c) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : une montagne d’ici y serait millimétrique. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — et l’axe magnétique, désaligné de l’axe de rotation, canalise l’émission radio le long de ses pôles : le faisceau balaie comme un phare, et nous appelons pulsar ces éclats.

Exercice 27.8 ★★

Le point de non-retour. (a) Obtenir $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ de la condition newtonienne de vitesse de libération $v_{\text{esc}} = c$ (la dérivation honnête exige la relativité générale ; la réponse, fameusement, coïncide). (b) Évaluer pour le Soleil et pour la Terre. (c) Le trou noir central de la Galaxie : $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — calculer $R_{\text{s}}$ et comparer à la distance Soleil–Mercure ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). (d) Montrer que la masse volumique moyenne à l’intérieur de $R_{\text{s}}$ décroît comme $1/M^2$ — un trou noir assez grand est moins dense que l’eau : que dit cela des intuitions d’« écrasement » ?

Solution

Solution de Exercice 27.8.

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ donne $R = 2GM/c^2$ . (b) Le Soleil : $3.0\,\mathrm{km}$ ; la Terre : $8.9\,\mathrm{mm}$ — comprimer l’un ou l’autre là-dedans et la lumière ne peut plus sortir. (c) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ : un cinquième de l’orbite de Mercure — et l’on observe des étoiles filer autour. (d) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$ : un trou noir de $10^8\,M_\odot$ est moins dense que l’eau. Rien n’a besoin d’être « écrasé » à l’horizon — c’est un point de non-retour, non une surface de roche.

Exercice 27.9 ★★★

Arithmétique de Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par Mpc ; $1\, \text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ . (a) Convertir $H_0$ en SI. (b) Calculer $1/H_0$ en années. (c) Une galaxie à $200\,\mathrm{Mpc}$ : sa vitesse de récession, et le facteur d’étirement de la longueur d’onde de sa lumière (Doppler aux petits $z$ , Chapitre 4). (d) Pourquoi $1/H_0$ n’est-il qu’approximativement l’âge de l’univers — qu’a fait le taux d’expansion entretemps ?

Solution

Solution de Exercice 27.9.

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ milliards d’années. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $z \approx v/c \approx 0.047$ : les longueurs d’onde arrivent étirées de 5 %. (d) Le taux n’a pas été constant — ralenti tôt par la matière, accéléré depuis par l’énergie sombre : que $1/H_0$ tombe tout de même à un milliard d’années des 13,8 vrais est une petite coïncidence cosmique.

Exercice 27.10 ★★★

La plus ancienne lumière. Le fond diffus est un corps noir à $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Calculer sa longueur d’onde de maximum (Chapitre 20) et justifier le mot « micro-onde ». (b) Il a été émis comme une lumière à $3000\,\mathrm{K}$ : quel facteur d’expansion l’a étirée, et pourquoi $3000\,\mathrm{K}$ (rappeler Saha, Proposition 18.5) ? (c) Sa densité de photons vaut $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$ : comparer à la densité de baryons, $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ , et donner le rapport photons sur baryons. (d) Une vérification de table classique : quelques pour cent de la neige d’un téléviseur analogique non réglé étaient le fond diffus — pourquoi une antenne, pointée n’importe où, le reçoit-elle ?

Solution

Solution de Exercice 27.10.

(a) $\lambda_{\text{pic}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$ : des micro-ondes, comme annoncé. (b) Étirée d’un facteur $3000/2.725 \approx 1100$ — l’univers est onze cents fois plus grand dans chaque direction depuis. La recombinaison attend $3000\,\mathrm{K}$ , bien au-dessous de $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ , parce que l’équilibre de Saha (Proposition 18.5) est incliné par deux milliards de photons par baryon : la queue ionisante maintient l’hydrogène brisé longtemps après ce que dit l’énergétique naïve. (c) Environ $1.6\times10^{9}$ photons par baryon — l’univers est, au compte, presque entièrement de la lumière. (d) Le fond diffus n’est pas un lieu mais tout le ciel : chaque ligne de visée aboutit au brouillard de dernière diffusion, si bien que toute antenne, pointée n’importe où, le reçoit.

Exercice 27.11 ★★★

Un quart d’hélium, à partir d’un facteur de Boltzmann. Vers $t \sim 1\,\mathrm{s}$ , $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ( $k_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}$ ), le gel des réactions faibles a laissé le rapport neutrons sur protons à sa valeur de Boltzmann (Chapitre 17). (a) Avec $\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV}$ , calculer $n/p$ au gel. (b) La désintégration des neutrons pendant les premières minutes l’a rogné à $\approx1/7$ : montrer que lier chaque survivant dans de l’ $^4$ He donne une fraction massique d’hélium $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$ . (c) Dites pourquoi ce nombre, mesuré dans les étoiles partout, est une preuve puissante du commencement chaud. (d) Pourquoi la cuisine primordiale s’est-elle arrêtée à l’hélium (avec des traces de lithium), laissant le carbone et tout le reste à Remarque 27.3 ?

Solution

Solution de Exercice 27.11.

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$ . (b) Avec $n/p = 1/7$ : 14 protons pour 2 neutrons ; les 2 neutrons happent 2 protons dans un $^4$ He (masse 4) en laissant 12 protons seuls : $4/16 = 25\,\%$ en masse. (c) Aucune étoile n’a eu le temps de changer un quart de tout en hélium ; trouver ce plancher dans le gaz le plus vieux et le plus pauvre en métaux, c’est prendre l’univers primordial chaud la main dans le sac — un facteur de Boltzmann écrit à travers le ciel. (d) Il n’existe aucun noyau stable en $A = 5$ ni $8$ , et densité et température chutaient en quelques minutes : le pont vers le carbone (trois héliums à la fois) ne s’ouvre que dans les cœurs denses et patients des géantes rouges.

Exercice 27.12 ★★★

La matière manquante. La vitesse de rotation d’une galaxie spirale reste plate à $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ jusqu’à $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ( $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ ), bien au-delà de son bord visible. (a) Pour une orbite circulaire, montrer que $M(r) = v^2r/G$ . (b) Évaluer à $50\,\mathrm{kpc}$ , en masses solaires. (c) Les étoiles et le gaz visibles totalisent $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$ : quelle fraction cela explique-t-il ? (d) L’attente képlérienne au-delà du bord visible est $v \propto r^{-1/2}$ (le schéma du Système solaire) : qu’implique la platitude sur la répartition de la masse invisible ?

Solution

Solution de Exercice 27.12.

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$ . (b) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$ . (c) Un dixième environ : quatre-vingt-dix pour cent de la galaxie ne brille ni n’absorbe. (d) Un $v$ plat signifie $M(r) \propto r$ — la masse invisible continue de s’accumuler bien au-delà du disque visible, un halo sombre étendu (de densité $\sim1/r^2$ ) dont la galaxie lumineuse n’est que le cœur allumé.

Une antenne millimétrique sous la Voie lactée : la galaxie qu’elle écoute, suspendue au-dessus d’elle. La radioastronomie a trouvé le fond diffus cosmologique — le souffle à 2.7\, K qui s’est avéré être le commencement. — Une antenne millimétrique sous la Voie lactée : la galaxie qu’elle écoute, suspendue au-dessus d’elle. La radioastronomie a trouvé le fond diffus cosmologique — le souffle à $2.7\,\mathrm{K}$ qui s’est avéré être le commencement.

La nébuleuse du Crabe (NASA, ESA, J. Hester et A. Loll, domaine public) : les débris de la supernova de 1054, toujours en expansion, avec le phare à la milliseconde d’une étoile à neutrons en son cœur — le problème du week-end, photographié neuf siècles plus tard.

27.6 Problème : la nuit où l’étoile est morte

Problème 27.1

La nuit où l’étoile est morte. Le 23 février 1987, une supergéante bleue du Grand Nuage de Magellan — $d \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — devint SN 1987A, la supernova la plus proche en quatre siècles. Des heures avant qu’aucun télescope ne la voie s’aviver, trois détecteurs souterrains ont compté deux douzaines de neutrinos. Vous reconstituez cette nuit à partir des premiers principes.

Partie I — L’étoile qui fut.

Le progéniteur pesait ${\sim}20\,M_\odot$ . À l’aide de la loi d’échelle de Exercice 27.4, estimer sa durée de vie et comparer à celle du Soleil.
À son dernier jour, l’étoile était un oignon : des couches de H, He, C, O, Si autour d’un cœur de fer. Pourquoi chaque combustible successif exige-t-il un cœur plus chaud ?
Pourquoi la séquence s’arrête-t-elle définitivement au fer ? (Proposition 25.2.)
Le cœur de fer inerte croît vers $1.4\,M_\odot$ . Qu’a de particulier ce nombre, et quelle pression y fait défaut ?
La combustion du silicium soutient l’étoile pendant environ un jour : que dit cela de l’accélération de l’horloge d’une étoile vers la fin ?
Une fois le soutien de pression perdu, combien de temps dure à peu près la chute libre, pour un cœur de masse volumique $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ ) ?

Partie II — L’éclair de neutrinos.

Le cœur ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) s’effondre à $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : calculer l’énergie gravitationnelle libérée, $E \sim GM^2/R$ .
Comparer à la lumière d’un milliard de soleils brillant pendant un mois ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ durant $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ) : montrer que les photons sont une erreur d’arrondi — où passent les 99 %, et pourquoi seuls les neutrinos peuvent-ils quitter promptement un cœur en effondrement ?
Répartir $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ sur une sphère de rayon $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : calculer la fluence en énergie à la Terre.
Avec $\sim15\,\mathrm{MeV}$ par neutrino, calculer la fluence en nombre (neutrinos par $\mathrm{m}^{2}$ ).
Un détecteur contient $2000\,\mathrm{t}$ d’eau : ${\sim}1.5\times10^{32}$ protons libres. Avec une probabilité d’interaction par proton de $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ par antineutrino (donnée), estimer le comptage attendu — et comparer aux onze qu’un détecteur a enregistrés.
Les neutrinos ont battu la lumière de plusieurs heures. Expliquer les deux horloges : qu’est-ce qui retarde les photons (où naît réellement l’éclaircissement ?), et que dit la quasi-simultanéité sur la masse et la vitesse du neutrino ?
Vingt-cinq neutrinos comptés : dites, en une phrase chacune, deux choses qu’ils ont confirmées de la théorie des supernovae.

Partie III — Ce qui reste.

Calculer la masse volumique moyenne du résidu de $12\,\mathrm{km}$ et $1.4\,M_\odot$ et comparer à la densité nucléaire de Définition 25.1.
Le cœur du progéniteur tournait une fois par 30 jours à $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : estimer la période du résidu.
Son champ magnétique, gelé dans le flux, est amplifié par $(R_0/R)^2$ : à partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , calculer le champ de surface.
Expliquer le phare : qu’est-ce qui balaie, qu’est-ce qui rayonne en faisceau, et pourquoi le pulsar du Crabe (né en 1054, chroniqué comme une « étoile invitée » visible de jour) clignote-t-il encore trente fois par seconde ?
Si le résidu avait dépassé ${\sim}3\,M_\odot$ : calculer $R_{\text{s}}$ pour $3\,M_\odot$ et dites son destin.
La chronométrie des pulsars est stable à $10^{-15}$ : nommer un usage physique d’une horloge aussi bonne, tournant dans le ciel.

Partie IV — Ce que cela signifie.

L’oxygène que vous respirez et le fer de votre sang : retracer la biographie de chaque atome en deux phrases, de l’hydrogène du Big Bang à votre circulation sanguine.
Les supernovae de type Ia (des naines blanches poussées au-delà de $M_{\text{Ch}}$ ) détonent toutes à la même masse, donc à un éclat presque identique. Expliquer pourquoi cela en fait des chandelles standard, et comment le diagramme de Définition 27.5 se construit à partir d’elles.
En 1998, des supernovae Ia lointaines se sont révélées plus faibles que ne le prédit la droite de Hubble : énoncer la conclusion qui a valu le prix Nobel 2011.
Estimer en années la distance parcourue par la lumière de SN 1987A à son arrivée — et noter ce qui se passait sur Terre quand elle est partie.
Les neutrinos du Grand Nuage vous ont traversé aussi (comme tous les vivants de ce jour-là). Combien environ ont traversé chaque être humain ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ ) ? Quelqu’un l’a-t-il senti (Exercice 26.10) ?
Refermer le grand livre en quatre lignes : une étoile tenue en équilibre pendant dix millions d’années par l’effet tunnel ; un effondrement payé en neutrinos ; un cadavre soutenu par Pauli ; et les débris — le lecteur compris — toujours emportés par l’expansion de Hubble.

Solution

Solution de Problème 27.1.

1. $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}$ : le Soleil vivra deux mille fois cette durée. 2. Les noyaux plus lourds portent plus de charge : des barrières coulombiennes plus hautes exigent des cœurs plus chauds pour que les chances de passage tunnel (Exercice 25.8) tiennent le rythme. 3. Le fer trône au sommet de la courbe $B/A$ : le fusionner coûte de l’énergie — l’échelle des combustibles du fourneau s’achève sur de la cendre. 4. La masse de Chandrasekhar : le maximum que la pression de dégénérescence électronique peut porter ; le cœur est une naine blanche qui a grandi dans une étoile vivante, et à $1.4\,M_\odot$ son soutien lâche. 5. L’hydrogène : des millions d’années ; l’hélium : quelques centaines de millénaires ; le silicium : un jour — chaque étape rapporte moins par kilogramme tandis que l’étoile, toujours plus chaude, dépense (surtout en neutrinos) toujours plus vite : l’horloge s’emballe logarithmiquement. 6. $t \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$ : le cœur se dérobe sous l’étoile en un dixième de seconde. 7. $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ . 8. Le spectacle lumineux vaut $10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — une part sur dix mille. Le reste part en neutrinos : la matière nucléaire en effondrement est opaque à tout le reste, mais (Chapitre 26) presque transparente aux particules propres de la force faible, qui vident l’énergie en quelques secondes. 9. $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ . 10. À $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ chacun : ${\sim}6\times10^{14}$ neutrinos par mètre carré — à travers chaque mètre carré de la Terre. 11. $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9$ : le détecteur en a enregistré onze — un mille dans l’ordre de grandeur, pour une étoile morte il y a 160 000 ans. 12. Les neutrinos quittent le cœur à l’effondrement ; la lumière ne naît que lorsque le choc perce l’enveloppe de l’étoile, des heures plus tard. Que les deux soient arrivés la même nuit après 160 millénaires de vol borne la vitesse du neutrino à celle de la lumière à quelques parts sur $10^{9}$ — et sa masse à presque rien. 13. Le bilan d’énergie ( $\sim10^{46}\,\mathrm{J}$ , dont 99 % en neutrinos) et la durée de bouffée de ${\sim}10$ secondes — tous deux conformes au cœur en effondrement de la théorie, ce qui a promu le mécanisme de la supernova du tableau noir à l’observation. 14. $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : la densité nucléaire — la cuillerée de Définition 25.1, désormais à la taille d’une ville. 15. Accélération de $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}$ : 30 jours $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ . 16. $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — cent millions de tesla-mètres de flux, conservés dans un timbre-poste. 17. L’axe magnétique, incliné sur l’axe de rotation, rayonne en faisceau radio le long de ses pôles ; le faisceau balaie le ciel comme un phare. Le résidu du Crabe — l’étoile invitée de 1054 — tourne encore trente fois par seconde, un millénaire de freinage à peine entamé. 18. $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km}$ — de l’ordre de l’étoile elle-même : sans plus aucune pression pour plaider, l’effondrement se poursuit à travers l’horizon et le résidu est un trou noir. 19. Des réseaux de telles horloges sont des détecteurs d’ondes gravitationnelles à l’ouverture d’une galaxie (et les meilleurs laboratoires de la relativité : les orbites de pulsars binaires décroissent exactement comme le prédit le rayonnement gravitationnel). 20. Son oxygène a été fusionné dans la couche d’une étoile massive et éjecté par une supernova ; le fer a été forgé dans la fin explosive elle-même ; tous deux ont dérivé dans les nuages interstellaires, rejoint la nébuleuse solaire, la Terre, la mer, la chaîne alimentaire — et le lecteur. L’hydrogène du Big Bang, lui, vous appartient depuis toujours. 21. Même masse de détonation $\to$ même éclat intrinsèque $\to$ l’éclat apparent donne la distance : une chandelle de puissance connue, visible à des milliards d’années-lumière — la règle qui trace le bout lointain du diagramme de Hubble. 22. L’expansion accélère : une « énergie sombre » écarte l’univers — le Nobel 2011, et la plus grosse facture ouverte de la physique. 23. $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ années-lumière : la lumière est partie quand Homo sapiens quittait tout juste l’Afrique. 24. $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ à travers chaque humain vivant — et, aux chances de Exercice 26.10, pas une personne sur un million n’a interagi ne serait-ce qu’avec un seul : l’éclair qui a éclipsé une galaxie a traversé l’humanité sans qu’elle le sente. 25. Une étoile tenue dix millions d’années en équilibre par des protons qui passent par effet tunnel ; un effondrement d’un dixième de seconde payé $10^{46}$ joules en neutrinos ; le principe de Pauli qui tient le cadavre à la densité nucléaire ; et les débris dispersés — oxygène, fer, lecteur — emportés encore par l’expansion de Hubble, dans un univers dont la photographie de nourrisson est une courbe de Planck. La physique, complète pour l’instant : volume clos.

Termes définis dans ce chapitre

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