Physique universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

25Physique nucléaire

Le volume de lycée en a raconté les grandes lignes : les atomes ont un noyau ; certains noyaux se délitent, sur des horaires allant de la microseconde au milliard d’années ; et des grammes de matière cachent des mégatonnes d’énergie. Ce chapitre rouvre le noyau avec les outils de troisième année. Un modèle de goutte à cinq termes prédit au pour cent près la liaison de centaines de nucléides ; l’effet tunnel — le problème de la barrière du volume de deuxième année, promu — explique comment une seule formule couvre vingt-cinq ordres de grandeur de durées de vie en désintégration $\alpha$ ; et le maximum discret de la courbe d’énergie de liaison, au fer, partage toute la technologie nucléaire en deux camps : casser le lourd (les réacteurs) ou joindre le léger (les étoiles, et un jour des centrales). Le chapitre s’achève au bord d’une piscine de réacteur, qui luit d’un bleu Tcherenkov.

25.1 Le noyau : une goutte saturée

Définition 25.1 (Nucléides, taille et densité)

Un nucléide $^{A}_{Z}\text{X}$ contient $Z$ protons et $N = A - Z$ neutrons, liés par l’interaction forte : intense ( ${\sim}100\,\times$ Coulomb au contact), de courte portée ( ${\sim}1\,\mathrm{fm}$ , ressentie des seuls voisins qui se touchent) et aveugle à la charge (elle agrippe protons et neutrons pareillement). Les expériences de diffusion donnent à tout noyau la même recette : un rayon

R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,

si bien que le volume croît comme $A$ et que la densité est un universel $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — une goutte de pluie de cette matière pèserait comme une flotte de pétroliers, et le Chapitre 27 rencontrera des étoiles entières à cette densité. Les isotopes partagent $Z$ mais diffèrent par $N$ : même chimie, destins nucléaires différents.

Proposition 25.2 (Défaut de masse et énergie de liaison)

Un noyau lié pèse moins que ses constituants ; d’après le Chapitre 5, la masse manquante est l’énergie de liaison,

B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{noyau}}\big)c^2 ,

typiquement ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ par nucléon — un million de fois la chimie. Tracé par nucléon, $B/A$ monte fortement à travers les noyaux légers (les effets de surface s’estompent), culmine à $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ près du fer 56, puis dérive vers le bas à mesure que la répulsion coulombienne, de longue portée et sans saturation, taxe les poids lourds. Les deux pentes sont des mines d’énergie : la fusion gravit la pente de gauche (l’affaire du Soleil), la fission descend celle de droite (celle du réacteur) — et le fer, au sommet, est la cendre nucléaire des deux.

La courbe d’énergie de liaison — sans doute le graphique le plus lourd de conséquences de la physique. Les noyaux légers gagnent à fusionner, les lourds à se scinder ; par kilogramme, la pente de gauche paie environ quatre fois mieux, et le Soleil s’y tient.

Proposition 25.3 (La formule de masse semi-empirique)

Modélisez le noyau comme une goutte de liquide chargée et toute la courbe découle de cinq termes :

B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3} - a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,

avec (en $\mathrm{MeV}$ ) $a_{\text{V}} = 15.8$ (chaque nucléon se lie à ses voisins : le volume), $a_{\text{S}} = 17.8$ (les nucléons de surface se lient moins : la « tension superficielle » de la goutte), $a_{\text{C}} = 0.71$ (Coulomb, le saboteur à longue portée), $a_{\text{A}} = 23.7$ (asymétrie : d’après le Chapitre 19, protons et neutrons remplissent deux échelles de Fermi séparées, au meilleur prix quand elles sont également pleines), et $\delta$ une petite prime d’appariement pour les nombres pairs (Chapitre 14). La minimisation à $A$ fixé trace la vallée de stabilité : $N \approx Z$ pour les noyaux légers, s’infléchissant vers les riches en neutrons ( $N/Z \to 1.5$ ) à mesure que Coulomb punit les protons — et les nucléides hors vallée y retombent par désintégration $\beta$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

La vallée de stabilité. Les noyaux légers équilibrent leurs deux échelles de Fermi (N = Z) ; les lourds diluent leur facture coulombienne avec des neutrons supplémentaires. Un nucléide hors du fond de la vallée y revient par désintégration — et les fragments de fission, nés bien au-dessus de la ligne, sont furieusement radioactifs pour exactement cette raison. — La vallée de stabilité. Les noyaux légers équilibrent leurs deux échelles de Fermi ( $N = Z$ ) ; les lourds diluent leur facture coulombienne avec des neutrons supplémentaires. Un nucléide hors du fond de la vallée y revient par désintégration $\beta$ — et les fragments de fission, nés bien au-dessus de la ligne, sont furieusement radioactifs pour exactement cette raison.

25.2 La radioactivité, montre en main

Théorème 25.4 (La loi de décroissance)

Un noyau instable n’a ni mémoire ni vieillissement : à chaque seconde qu’il vit, il se désintègre avec la même probabilité $\lambda$ . Pour $N$ noyaux, $\dd N = -\lambda N\,\dd t$ , donc

N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} , \qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,

et l’activité $\mathcal A = \lambda N$ (désintégrations par seconde, $\mathrm{Bq}$ ) s’éteint sur la même exponentielle. Les demi-vies vont de la microseconde au milliard d’années ; la statistique du Chapitre 16 garantit que, si un noyau isolé est parfaitement imprévisible, une mole d’entre eux tient le temps exponentiel mieux qu’aucune horloge — le fondement de la datation radiométrique.

Démonstration. Une probabilité constante par seconde signifie $N(t + \dd t) = N(t)(1 - \lambda\dd t)$ ; intégrer. Poser $N/N_0 = \tfrac12$ donne $T_{1/2}$ . ∎

Décroissance exponentielle : des individus sans mémoire, une population ponctuelle. Deux demi-vies laissent un quart ; dix en laissent un millième — la règle avec laquelle les physiciens datent le charbon de bois, les glaciers et la Terre.

Remarque 25.5 (Trois portes de sortie d’un noyau)

$\boldsymbol\alpha$ : un noyau lourd émet un agrégat $^4$ He. Classiquement impossible — la barrière coulombienne culmine à $25\,\mathrm{MeV}$ et l’ $\alpha$ part avec $5\,$ – $9\,\mathrm{MeV}$ — cela se produit par effet tunnel (la barrière du volume de deuxième année, incurvée) : la sensibilité exponentielle de Gamow change un facteur deux en énergie en vingt ordres de grandeur de durée de vie, exactement le schéma de Geiger–Nuttall (Exercice 25.8). $\boldsymbol\beta$ : un neutron devient un proton (ou l’inverse), en émettant un électron (ou un positon) et un neutrino — l’interaction faible à l’œuvre, la force qui ramène dans la vallée ; l’histoire du neutrino attend le Chapitre 26. $\boldsymbol\gamma$ : un noyau excité largue des photons de $\mathrm{MeV}$ , l’analogue nucléaire des raies spectrales du Chapitre 11. Les désintégrations s’enchaînent jusqu’au fond de la vallée : l’échelle de l’uranium s’achève, quatorze barreaux plus loin, sur du plomb stable.

25.3 Descendre les pentes : fission et fusion

Proposition 25.6 (Fission et réaction en chaîne)

Un neutron lent absorbé par l’ $^{235}$ U fait une goutte oscillante qui se scinde : deux fragments de masse moyenne, deux à trois neutrons frais, et $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — l’écart de $B/A$ entre les $7.6\,\mathrm{MeV}$ de l’uranium et les $8.5\,\mathrm{MeV}$ des fragments, multiplié par 235. Les neutrons libérés peuvent fissionner d’autres noyaux : avec un facteur de multiplication $k$ (neutrons par neutron, une génération plus tard), une population croît comme $k^n$ — sous-critique ( $k < 1$ ) elle s’éteint, critique ( $k = 1$ ) elle tient, surcritique elle explose. Un réacteur modère les neutrons jusqu’aux vitesses lentes (le régime préféré de la fission), s’appuie sur les 0,7 % de neutrons qui arrivent avec des secondes de retard, issus des désintégrations de fragments — le délai qui rend $k \approx 1$ humainement réglable — et laisse les barres de contrôle manger le surplus (Problème 25.1).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Fission en goutte liquide : un neutron lent met l’235U en oscillation ; la répulsion coulombienne de la goutte déformée l’emporte sur sa tension superficielle, et elle se déchire en fragments riches en neutrons plus les neutrons de reste qui rendent une chaîne possible. — Fission en goutte liquide : un neutron lent met l’ $^{235}$ U en oscillation ; la répulsion coulombienne de la goutte déformée l’emporte sur sa tension superficielle, et elle se déchire en fragments riches en neutrons plus les neutrons de reste qui rendent une chaîne possible.

Remarque 25.7 (La fusion : la pente plus rude et meilleure)

Joindre des noyaux légers paie $\sim4\times$ plus par kilogramme que scinder des lourds, et sans fragments à longue vie — mais les réactifs, tous deux positifs, doivent franchir par effet tunnel leur barrière coulombienne mutuelle, ce qui exige des températures de $10^7$ – $10^8\,\mathrm{K}$ (Exercice 25.11). Les étoiles y parviennent en étant énormes (Chapitre 27 : le Soleil change $600\,$ millions de tonnes d’hydrogène en hélium chaque seconde) ; les laboratoires s’y essaient avec des plasmas mis en bouteille magnétique et, jusqu’ici, un bilan énergétique encore en deçà de ses ambitions de seuil de rentabilité.

Marie Curie (photographie d’Henri Manuel, vers 1920, domaine public) : deux fois lauréate du prix Nobel pour avoir ouvert le sujet de ce chapitre — le gramme de radium de était le sien. — Marie Curie (photographie d’Henri Manuel, vers 1920, domaine public) : deux fois lauréate du prix Nobel pour avoir ouvert le sujet de ce chapitre — le gramme de radium de Exercice 25.4 était le sien.

25.4 Exercices

Exercice 25.1 ★

Comptabilité. (a) Donner $Z$ , $N$ , $A$ pour $^{12}$ C, $^{14}$ C, $^{235}$ U, $^{238}$ U. (b) Quelles paires sont des isotopes ? (c) Pourquoi les isotopes partagent-ils la chimie mais non la stabilité nucléaire ? (d) $^{14}$ C et $^{14}$ N partagent $A = 14$ : comment appelle-t-on de tels nucléides, et quelle désintégration les relie ?

Solution

Solution de Exercice 25.1.

(a) $^{12}$ C : $6, 6, 12$ ; $^{14}$ C : $6, 8, 14$ ; $^{235}$ U : $92, 143, 235$ ; $^{238}$ U : $92, 146, 238$ . (b) Les carbones ; les uraniums. (c) La chimie, c’est le nuage électronique, fixé par $Z$ ; la stabilité, c’est l’équilibre $N$ – $Z$ à l’intérieur. (d) Des isobares — reliés par une désintégration $\beta^-$ : $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$ , le tic-tac de l’horloge au radiocarbone.

Exercice 25.2 ★

La densité universelle. (a) À partir de $R = r_0A^{1/3}$ , montrer que la densité nucléaire est indépendante de $A$ et l’évaluer. (b) Calculer la masse d’une cuillerée ( $5\,\mathrm{mL}$ ) de matière nucléaire. (c) Quelle fraction du volume d’un atome son noyau occupe-t-il (prendre $R_{\text{atome}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $A = 60$ ) ? (d) Que dit la loi en $A^{1/3}$ elle-même sur la portée de la force forte ?

Solution

Solution de Exercice 25.2.

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $A$ se simplifie. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — un milliard de tonnes dans une cuillerée. (c) $(R/R_{\text{atome}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$ : l’atome est du vide avec un grain lourd. (d) Un volume $\propto A$ signifie que chaque nucléon réclame une place fixe et ne se lie qu’à ses voisins de contact : la force sature à la portée du $\mathrm{fm}$ .

Exercice 25.3 ★

Peser la colle. Masses nucléaires : $m_{\text{p}} = 1.007\,276\,\mathrm{u}$ , $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$ , $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$ ; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$ . (a) Calculer le défaut de masse et l’énergie de liaison de l’ $^4$ He. (b) Donner $B/A$ . (c) Comparer $B$ aux $13.6\,\mathrm{eV}$ du Chapitre 11 : combien d’ordres de grandeur séparent la colle nucléaire de la colle atomique ? (d) Pourquoi la liaison exceptionnelle de l’ $^4$ He (le pic de la figure) en fait-elle la monnaie de la désintégration $\alpha$ ?

Solution

Solution de Exercice 25.3.

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$ : $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$ . (b) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$ . (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$ : six ordres de grandeur — d’où un combustible nucléaire qui surclasse le chimique d’un million. (d) L’ $\alpha$ est un colis préassemblé et exceptionnellement bon marché : l’émettre exporte quatre nucléons contre une ristourne de $28.3\,\mathrm{MeV}$ , qu’aucun nucléon isolé ne peut égaler.

Exercice 25.4 ★

Le premier curie. Le radium 226 : $T_{1/2} = 1600$ ans, masse molaire $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Pour un gramme : (a) compter les noyaux ; (b) calculer $\lambda$ ; (c) calculer l’activité et comparer à l’unité historique $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ (définie comme exactement ce gramme) ; (d) quelle part du gramme survit après 4800 ans ?

Solution

Solution de Exercice 25.4.

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$ . (b) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ : un curie, par construction — le gramme des Curie eux-mêmes. (d) Trois demi-vies : $0.125\,\mathrm{g}$ de radium (le reste étant désormais du radon et ses descendants, en marche vers le plomb).

Exercice 25.5 ★★

La formule à l’œuvre. Avec $a_{\text{V}} = 15.75$ , $a_{\text{S}} = 17.8$ , $a_{\text{C}} = 0.711$ , $a_{\text{A}} = 23.7$ ( $\mathrm{MeV}$ ) et un appariement de $+12/\sqrt A$ pour les noyaux pairs–pairs : (a) calculer les quatre termes principaux de $B$ pour le $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ ). (b) Sommer (appariement compris) et comparer $B/A$ aux $8.79\,\mathrm{MeV}$ mesurées. (c) Quels deux termes se battent le plus dur, et que fixe leur équilibre ? (d) Pourquoi le terme coulombien, seul, doit-il croître plus vite que $A$ ?

Solution

Solution de Exercice 25.5.

(a) Volume $+882$ ; surface $-261$ ; Coulomb $-0.711\times676/3.83 = -126$ ; asymétrie $-23.7\times16/56 = -6.8$ ( $\mathrm{MeV}$ ). (b) Avec l’appariement $+12/\sqrt{56} = +1.6$ : $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$ , $B/A = 8.76$ contre les $8.79$ mesurés — trois pour mille d’écart, à partir d’une goutte de liquide. (c) Le volume contre surface $+$ Coulomb : le croisement de leurs vitesses de croissance est ce qui sculpte le maximum au fer. (d) Coulomb est de longue portée : chaque proton repousse tous les autres, $\propto Z^2$ , tandis que la force forte, saturante, ne paie jamais que $\propto A$ — la défaite finale des poids lourds.

Exercice 25.6 ★★

Le fond de la vallée. (a) En ne gardant que les termes dépendant de $Z$ , minimiser la masse à $A$ fixé et obtenir $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$ . (b) Évaluer pour $A = 101$ et comparer au ruthénium ( $Z = 44$ ). (c) Montrer que la limite des petits $A$ est $Z^* = A/2$ et interpréter avec les deux échelles de Fermi. (d) Un fragment de fission a $A = 95$ , $Z = 36$ : à quelle distance de la vallée est-il, et quelle suite de désintégrations s’ensuit ?

Solution

Solution de Exercice 25.6.

(a) La dérivée $\partial/\partial Z$ des termes de Coulomb et d’asymétrie donne $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$ ; résoudre. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$ : le choix de la nature à $A = 101$ est le ruthénium, $Z = 44$ . (c) Sans Coulomb, $Z^* = A/2$ : deux échelles de Fermi (Chapitre 19), au meilleur prix remplies à hauteur égale. (d) La place du fragment dans la vallée est $Z^* \approx 41$ : cinq protons de moins — une cascade de cinq désintégrations $\beta^-$ l’y ramène, chacune convertissant un neutron et émettant un électron et un antineutrino.

Exercice 25.7 ★★

Le radiocarbone. La matière vivante maintient son $^{14}$ C ( $T_{1/2} = 5730$ ans) à 1 atome pour $10^{12}$ carbones ; la mort arrête le réapprovisionnement. (a) Un échantillon de charbon de bois montre 30 % de l’activité vivante : quel âge a le feu ? (b) Un gramme de carbone vivant : calculer son activité en $^{14}$ C ( $\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ attendus). (c) Pourquoi la méthode est-elle inutile au-delà de $\sim50\,000\,$ ans ? (d) Et pourquoi est-elle inutile pour dater les roches (quelles horloges prennent le relais) ?

Solution

Solution de Exercice 25.7.

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ ans : un feu de fin de période glaciaire. (b) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$ ; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — une douzaine de désintégrations par minute et par gramme, le taux de comptage de travail de tout laboratoire de datation. (c) Après neuf demi-vies l’activité passe sous le bruit de fond : l’horloge tourne encore mais ne se lit plus. (d) Les roches n’ont jamais respiré le carbone de l’atmosphère ; leurs horloges sont les primordiales — uranium–plomb, potassium–argon — aux demi-vies de milliards d’années.

Exercice 25.8 ★★

La falaise de Gamow. Le polonium 212 émet un $\alpha$ de $8.78\,\mathrm{MeV}$ ; sa barrière culmine à $\approx26\,\mathrm{MeV}$ . (a) Montrer que l’échappée classique est impossible, et l’entrée classique aussi — et pourtant il se désintègre en $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) L’ $\alpha$ de l’uranium 238 emporte $4.2\,\mathrm{MeV}$ et sa demi-vie est de $4.5\times10^9$ ans : calculer le rapport des deux constantes de désintégration. (c) Expliquer, avec l’exponentielle de l’effet tunnel, comment un facteur deux en énergie achète $\sim10^{24}$ en vitesse. (d) Pourquoi la même physique impose-t-elle sa température au cœur du Soleil ?

Solution

Solution de Exercice 25.8.

(a) Les $8.78\,\mathrm{MeV}$ de l’ $\alpha$ sont bien sous le rebord de $26\,\mathrm{MeV}$ : classiquement il ne peut ni sortir ni être entré — et pourtant la demi-vie vaut $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ : rapport $\approx 5\times10^{23}$ . (c) Le taux de passage tunnel vaut $\eu^{-2G}$ avec l’exposant de Gamow $\propto Z/\sqrt E$ : diviser $E$ par deux relève $2G$ d’une cinquantaine d’unités, et $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — la scandaleuse droite de Geiger–Nuttall, née d’une seule exponentielle. (d) Les protons solaires passent aussi par effet tunnel : la température du cœur doit être juste assez haute pour que la queue de Maxwell multipliée par le facteur de Gamow soutienne la combustion — même falaise, gravie de l’autre côté.

Exercice 25.9 ★★

Deux cents millions d’électronvolts. (a) Justifier les $200\,\mathrm{MeV}$ par fission à partir de la courbe $B/A$ . (b) Calculer l’énergie contenue dans un kilogramme d’ $^{235}$ U entièrement fissionné, en joules et en tonnes d’équivalent pétrole ( $42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$ ). (c) Une centrale de $1\,\mathrm{GW}_{e}$ à 33 % de rendement : combien de kilogrammes d’ $^{235}$ U par an ? (d) Pourquoi sont-ce les fragments, et non les neutrons, qui portent l’essentiel des $200\,\mathrm{MeV}$ , et sous quelle forme cela passe-t-il aussitôt ?

Solution

Solution de Exercice 25.9.

(a) La scission fait passer ${\sim}235$ nucléons d’une liaison de $7.6\,$ à ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ : $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ . (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ noyaux : $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ tonnes de pétrole — par kilogramme. (c) $3\,\mathrm{GW}$ thermiques pendant un an font $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$ : environ $1.2\,\mathrm{t}$ d’ $^{235}$ U. (d) Les deux fragments positifs jaillissent sous leur propre répulsion coulombienne, emportant ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ d’énergie cinétique qui devient de la chaleur en quelques micromètres — un réacteur est une bouilloire dont la flamme est un recul électrostatique.

Exercice 25.10 ★★★

Apprivoiser $k$ . Dans un réacteur, les neutrons prompts se reproduisent en $\ell \approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$ . (a) Avec $k = 1.001$ sur les seuls neutrons prompts, calculer la multiplication de puissance en une seconde — et le verdict sur un contrôle mécanique. (b) Une fraction $\beta = 0.7\,\%$ des neutrons est retardée de $\sim10\,\mathrm{s}$ : expliquer pourquoi, pour $k - 1 < \beta$ , l’horloge effective de la chaîne devient la seconde. (c) Calculer la même multiplication sur une seconde avec le temps de génération effectif $\sim0.1\,\mathrm{s}$ . (d) Dites en une phrase ce que les opérateurs de Tchernobyl ont perdu quand leur réacteur est devenu prompt-surcritique.

Solution

Solution de Exercice 25.10.

(a) $10^4$ générations : $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — du mégawatt à la dizaine de gigawatts en une seconde ; aucun moteur ne déplace une barre aussi vite. (b) Avec $k - 1 < \beta$ , la chaîne ne peut se reproduire sur les seuls neutrons prompts : chaque étape de croissance attend les traînards à ${\sim}10\,\mathrm{s}$ , si bien que le temps de génération effectif est d’une fraction de seconde ou plus. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ : un demi pour cent par seconde — le domaine de la barre et de l’opérateur. (d) Pousser $k - 1$ au-delà de $\beta$ a mis le réacteur sur l’horloge prompte à $10^{-4}\,\mathrm{s}$ : ils ont perdu le délai de grâce des neutrons retardés qui rend les réacteurs pilotables.

Exercice 25.11 ★★★

L’arithmétique du Soleil. Globalement, $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ convertit $0.71\,\%$ de la masse en énergie ( $26.7\,\mathrm{MeV}$ , neutrinos compris). (a) À partir de $L_\odot = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ , calculer la masse convertie par seconde et l’hydrogène consommé par seconde. (b) Avec $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ de Soleil, dont un dixième d’hydrogène de cœur brûlable (prendre une fraction d’hydrogène $\approx0.75$ ) : estimer la durée de vie. (c) Deux protons à $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ : comparer $k_{\text{B}}T$ à leur barrière coulombienne à $1\,\mathrm{fm}$ et conclure qui fait la traversée (Exercice 25.8). (d) Pourquoi la fusion, à la différence de la fission, ne laisse-t-elle pratiquement aucune cendre radioactive ?

Solution

Solution de Exercice 25.11.

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de masse pure ; le débit d’hydrogène $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — six cents millions de tonnes par seconde. (b) Hydrogène brûlable ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$ : $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ milliards d’années — le Soleil est d’âge moyen. (c) Barrière ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ contre $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$ : un déficit d’un facteur mille — seuls les protons les plus rapides de la queue de Maxwell, par effet tunnel (Exercice 25.8), fusionnent ; d’où un Soleil qui brûle pendant des milliards d’années au lieu d’exploser. (d) La cendre est l’ $^4$ He — stable, d’un contentement doublement magique ; il n’y a pas de fragments riches en neutrons à se désintégrer en $\beta$ pendant des siècles.

Exercice 25.12 ★★★

Médecine nucléaire. (a) Le technétium 99m ( $T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$ , $\gamma$ de $140\,\mathrm{keV}$ ) est le cheval de trait de la médecine : calculer le nombre de noyaux, et leur masse, derrière une injection de $500\,\mathrm{MBq}$ . (b) Expliquer pourquoi une demi-vie de six heures et un $\gamma$ pur sont exactement ce que veut un diagnostic. (c) La TEP : un positon issu du $^{18}$ F s’annihile avec un électron — utiliser le Chapitre 5 pour donner l’énergie et la géométrie des deux photons, et donc le principe du détecteur. (d) La radiothérapie délivre $2\,\mathrm{Gy}$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) à une tumeur : comparer l’énergie à une gorgée d’eau tiède, et réconcilier l’innocuité des joules avec la létalité de l’ionisation.

Solution

Solution de Exercice 25.12.

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ noyaux — $2.6\,\mathrm{ng}$ . De la médecine au nanogramme. (b) Six heures survivent à l’examen mais non au week-end : la dose s’éteint d’elle-même ; un $\gamma$ pur de $140\,\mathrm{keV}$ quitte le corps vers la caméra sans le péage brûlant des $\alpha$ ou des $\beta$ pour les tissus. (c) Un électron et un positon au repos s’annihilent en deux photons de $511\,\mathrm{keV}$ , dos à dos (énergie et quantité de mouvement, Chapitre 5) : chaque paire en coïncidence définit une droite passant par la tumeur, et des milliers de droites la triangulent — la tomographie par loi de conservation. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ réchauffent les tissus d’un demi-millikelvin — thermiquement, une gorgée d’eau tiède ; mais délivrés en ${\sim}10^{17}$ ionisations par kilogramme, chacune tranchant des liaisons chimiques à l’échelle de l’ $\mathrm{eV}$ , c’est chimiquement mortel pour une cellule qui se divise. Les joules mesurent la chaleur ; les grays mesurent le sabotage.

La piscine de réacteur du problème du week-end : les électrons des fragments, plus rapides que la lumière dans l’eau, enveloppent le cœur d’un bleu Tcherenkov — le blindage, visiblement à l’œuvre. — La piscine de réacteur du problème du week-end : les électrons $\beta$ des fragments, plus rapides que la lumière dans l’eau, enveloppent le cœur d’un bleu Tcherenkov — le blindage, visiblement à l’œuvre.

25.5 Problème : journée portes ouvertes au réacteur de recherche

Problème 25.1

Journée portes ouvertes au réacteur de recherche. Le laboratoire national ouvre aux visiteurs son réacteur de recherche de type piscine de $20\,\mathrm{MW}$ , et vous avez obtenu une place sur la passerelle : en dessous, à travers huit mètres d’eau limpide, le cœur luit d’un bleu irréel. Le guide — un physicien des réacteurs sur le départ — a accepté de vous laisser faire les calculs.

Partie I — Le bilan d’énergie.

Chaque fission d’ $^{235}$ U libère environ $200\,\mathrm{MeV}$ . Convertir en joules et calculer les fissions par seconde qui soutiennent $20\,\mathrm{MW}$ .
Convertir en grammes d’ $^{235}$ U consommés par jour.
Les mêmes $20\,\mathrm{MW}$ au charbon ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) : combien de tonnes par jour ? Former le rapport de masses et le relier aux échelles en $\mathrm{MeV}$ contre $\mathrm{eV}$ de ce chapitre et de la chimie.
Les fragments naissent à une liaison de $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ par nucléon, l’uranium à $7.6\,\mathrm{MeV}$ : vérifier la cohérence de $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ .
Les fragments s’arrêtent à quelques micromètres de leur lieu de naissance. En quoi leurs $200\,\mathrm{MeV}$ se convertissent-ils, et sur quelle échelle de temps cela atteint-il l’eau de refroidissement ?
Pourquoi les fragments (par exemple $A = 95$ , $Z = 36$ ) sont-ils inévitablement radioactifs ? Se servir de la vallée de stabilité.

Partie II — Tenir $k = 1$ .

Définir le facteur de multiplication $k$ et dites ce que $k = 0.999$ , $1.000$ , $1.001$ signifient pour la population de neutrons.
L’eau de la piscine modère. Expliquer en deux phrases pourquoi ralentir les neutrons aux vitesses thermiques aide à fissionner l’ $^{235}$ U, et pourquoi l’hydrogène est le meilleur modérateur (rappeler les chocs élastiques du volume de première année).
Les barres de contrôle sont en acier au bore. Que fait le bore, et comment monter ou descendre les barres pilote-t-il $k$ ?
Avec les seuls neutrons prompts ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) et $k = 1.0005$ , calculer la croissance de puissance sur une seconde et conclure.
Les 0,7 % de neutrons retardés étirent le temps de génération effectif à $\sim0.1\,\mathrm{s}$ : refaites le calcul, et énoncer la règle de conception qui garde $k - 1$ bien au-dessous de la fraction retardée.
L’eau est aussi le caloporteur. Expliquer la sûreté intrinsèque : qu’advient-il de la modération — et donc de $k$ — si l’eau s’évapore ?
Pourquoi le réacteur a-t-il tout de même besoin d’un refroidissement de secours après l’arrêt ? (Nommer la source de chaleur que les barres de contrôle ne peuvent pas toucher.)

Partie III — La lumière bleue.

La lueur est du rayonnement Tcherenkov : la vitesse de la lumière dans l’eau vaut $c/n$ avec $n = 1.33$ . Que doit faire une particule chargée pour en émettre ?
Calculer la vitesse de seuil et, avec le Chapitre 5, l’énergie cinétique de seuil pour un électron.
Quelles particules du réacteur remplissent la condition ? Retracer la chaîne du fragment de fission à l’électron $\beta$ rapide dans l’eau.
L’intensité du spectre croît vers les courtes longueurs d’onde : pourquoi la piscine luit-elle en bleu plutôt qu’en rouge ?
Le guide dit : « la lueur est le blindage qui travaille. » Expliquer — que font huit mètres d’eau au rayonnement du cœur, et pourquoi la passerelle est-elle en gros sûre ?
Après l’arrêt, le bleu faiblit en quelques minutes mais ne disparaît pas avant des jours. Relier à la question 6 de la partie I.

Partie IV — À quoi sert le réacteur.

Le métier quotidien de ce réacteur est de fabriquer du molybdène 99 ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ), parent du technétium 99m de la médecine. Pourquoi les hôpitaux du monde doivent-ils être réapprovisionnés chaque semaine, et pourquoi aucun entrepôt ne peut-il en faire des stocks ?
Un envoi de $100\,\mathrm{GBq}$ de Mo-99 part le lundi ; l’hôpital élue le Tc-99m le vendredi (96 heures plus tard). Quelle activité du parent reste-t-il ?
Les faisceaux de neutrons issus du cœur alimentent aussi les instruments de diffraction du Chapitre 23 : pourquoi les neutrons d’un réacteur, une fois thermalisés, naissent-ils avec la bonne longueur d’onde ?
Le problème d’adieu du guide : un élément combustible passe cinq ans en piscine avant expédition. À l’aide du mélange de demi-vies des fragments, expliquer la logique — qu’ont acheté ces cinq ans de piscine ?
Estimer la puissance résiduelle une heure après l’arrêt ( $\approx1\,\%$ de $20\,\mathrm{MW}$ ) et la comparer au radiateur électrique d’un foyer : un refroidissement passif par la piscine est-il plausible ?
Refermer le bilan en quatre lignes : $B/A$ paie $200\,\mathrm{MeV}$ par scission ; les neutrons retardés prêtent les secondes qui rendent $k$ pilotable ; l’eau modère, refroidit, blinde et luit ; et le vrai produit du jour part en flacons médicaux, non en mégawatts.

Solution

Solution de Problème 25.1.

1. $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ : $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ fissions par seconde. 2. $5.4\times10^{22}$ fissions par jour $\times 235/N_{\text{A}}$ : environ $21\,\mathrm{g}$ d’ $^{235}$ U par jour. 3. Charbon : $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ tonnes par jour — un rapport de masses de $\sim3\times10^{6}$ , qui est le rapport $\mathrm{MeV}$ sur $\mathrm{eV}$ des liaisons nucléaires aux liaisons chimiques. 4. $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$ : cohérent, la petite différence étant portée au compte des neutrons et des neutrinos. 5. Énergie cinétique des fragments $\to$ ionisation $\to$ chaleur, en quelques micromètres et microsecondes ; la conduction la remet à l’eau — le réacteur est une bouilloire qui arrête des fragments. 6. Ils héritent du $N/Z \approx 1.55$ de l’uranium, bien au-dessus du fond de la vallée à leur $A$ : chacun doit redescendre par une chaîne de désintégrations $\beta^-$ — une radioactivité intégrée, par géométrie de la vallée. 7. $k$ = neutrons engendrés par neutron, une génération plus tard : $0.999$ s’éteint, $1.000$ tient (un réacteur en marche), $1.001$ croît. 8. Les neutrons lents s’attardent près du noyau et l’appétit de fission de l’ $^{235}$ U croît fortement aux énergies thermiques. Les chocs élastiques cèdent l’énergie le plus vite à masses égales — et l’hydrogène égale la masse du neutron : l’eau est un modérateur fait sur mesure. 9. Le bore 10 dévore les neutrons ( $\text{n} + {}^{10} \text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$ ) : barres rentrées, neutrons mangés, $k$ baisse ; barres sorties, $k$ monte — la manette des gaz. 10. $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$ : des puissances multipliées par cent cinquante chaque seconde — désespérant pour de la mécanique. 11. Sur l’horloge retardée de $0.1\,\mathrm{s}$ : $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ , un demi pour cent par seconde. Règle : garder $|k - 1|$ bien au-dessous de $\beta = 0.007$ , pour que les neutrons retardés aient toujours la voix prépondérante. 12. L’ébullition retire le modérateur : les neutrons restent rapides, la fission s’affame, $k$ baisse — la conception modérée à l’eau se bride elle-même (une contre-réaction négative qui manquait à ses cousins au graphite). 13. La puissance résiduelle : la radioactivité des fragments — la question 6 de la partie I — obéit à des demi-vies, non à des barres de contrôle, et donne encore des mégawatts juste après l’arrêt. 14. Aller plus vite que la lumière dans l’eau : $v > c/n$ . 15. $v > 0.752c$ : $\gamma = 1.51$ , donc $E_{\text{k}} > 0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$ . 16. Les électrons $\beta$ issus des désintégrations de fragments portent des $\mathrm{MeV}$ , et les $\gamma$ du cœur propulsent par effet Compton des électrons à des énergies voisines : les deux dépassent largement $0.26\,\mathrm{MeV}$ — la piscine est pleine d’électrons qualifiés. 17. Le spectre Tcherenkov se renforce vers les courtes longueurs d’onde (une intensité $\propto1/\lambda^2$ ) : l’œil reçoit du bleu et du violet — la couleur, c’est la pente du spectre. 18. L’eau atténue exponentiellement les $\gamma$ et les neutrons ; huit mètres font des dizaines de longueurs de demi-atténuation, si bien que la passerelle est au niveau du bruit de fond. La lueur, c’est l’eau qui absorbe l’énergie du rayonnement — la preuve visible que le blindage la mange. 19. Les fragments à vie courte meurent en quelques minutes (l’affaiblissement) ; la traîne à vie plus longue — la même puissance résiduelle qu’à la question 13 — entretient une faible lueur et une vraie charge thermique pendant des jours. 20. Avec $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ , le parent perd un facteur ${\sim}6$ par semaine : les stocks se désintègrent d’eux-mêmes, si bien que les hôpitaux vivent d’une « vache à technétium » hebdomadaire livrée par des réacteurs comme celui-ci. 21. $96/66 = 1.45$ demi-vie : $2^{-1.45} \approx 0.36$ — il reste environ $36\,\mathrm{GBq}$ . 22. Thermalisés à température ambiante, $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ (Exercice 23.5) : nés accordés aux espacements réticulaires. 23. Cinq ans tuent toute demi-vie allant jusqu’au mois : l’activité et la puissance résiduelle chutent de plusieurs ordres de grandeur, jusqu’à ce que l’élément puisse voyager dans un château de plomb plutôt que dans une piscine. 24. ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — une centaine de radiateurs domestiques dans une piscine de cent tonnes : quelques dizaines de kelvins par jour au pire, évacués tranquillement par convection naturelle — une sûreté passive par pure capacité thermique. 25. $B/A$ paie $200\,\mathrm{MeV}$ par scission et $21\,\mathrm{g}$ par jour ; les neutrons retardés prêtent les secondes qui rendent $k$ pilotable ; l’eau modère, refroidit, blinde — et luit en bleu précisément parce qu’elle travaille ; et le produit qui compte le plus part en flacons pour les hôpitaux du lundi.

Termes définis dans ce chapitre

Nucléides, taille et densité

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