Química escolar — Años 1 a 12 · Grades 1–12

25El mol y la masa molar

Al final del día, un banco no cuenta sus monedas una a una: las pesa. Si una moneda tiene una masa de $7.5\,\mathrm{g}$ , una bolsa de monedas con una masa de $7.5\,\mathrm{kg}$ contiene mil monedas, y la balanza ha hecho el recuento. Los químicos se enfrentan al mismo problema con los átomos, solo que mucho peor: una cucharada de agua contiene más moléculas que granos de arena hay en todas las playas de una costa. Lo resuelven de la misma manera, pesando, y la bolsa que usan contiene $602\,214\,076\,000\,000\,000\,000\,000$ entidades. Este capítulo define esa bolsa, el mol, y muestra cómo pasar de una masa medida en una balanza a un número de átomos o de moléculas.

Lo que ya sabes

La masa de un átomo está concentrada en su núcleo; un protón y un neutrón tienen cada uno una masa de unos $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , así que un átomo de número másico $A$ tiene una masa de alrededor de $A \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . Los números muy grandes y muy pequeños se escriben en notación científica (Capítulo 16). Una fórmula química da el número de átomos de cada elemento de una molécula (Capítulo 11).

Un banco cuenta las monedas pesándolas. Los químicos cuentan los átomos de la misma manera.

25.1 Contar pesando

Ejemplo 25.1 (Una bolsa de monedas)

Una moneda tiene una masa de $7.5\,\mathrm{g}$ . Una bolsa de estas monedas tiene una masa de $1.80\,\mathrm{kg}$ , es decir, $1800\,\mathrm{g}$ , sin contar la masa de la propia bolsa. Contiene

\frac{1800\,\mathrm{g}}{7.5\,\mathrm{g}} = 240 \text{ monedas.}

Para contar, el banco divide la masa total entre la masa de una moneda.

Ejemplo 25.2 (Una cucharada de agua)

Una molécula de agua, $\ce{H2O}$ , tiene $2 + 16 = 18$ nucleones (los átomos de oxígeno 16 y de hidrógeno 1 forman casi toda el agua natural), así que su masa es de alrededor de $18 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , o $3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ . Una cucharada de $5.0\,\mathrm{g}$ de agua contiene por tanto

\frac{5.0\,\mathrm{g}}{3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}} \approx 1.7 \times 10^{23} \text{ moléculas.}

La división funciona como con las monedas, pero el resultado es un número que nadie puede imaginar. Los químicos necesitan un paquete de átomos adaptado a las muestras del laboratorio.

Definición 25.3 (Cantidad de sustancia y mol)

La cantidad de sustancia $n$ de una muestra cuenta las entidades que contiene (átomos, moléculas o iones, que se indican cada vez). Su unidad es el mol, de símbolo $\mathrm{mol}$ : un mol contiene exactamente $6.022\,140\,76 \times 10^{23}$ entidades.

Observación 25.4 (Una docena, una resma, un mol)

El mol es una unidad de recuento, como una docena de huevos (12) o una resma de papel (500 hojas), solo que muchísimo mayor. “Dos moles de moléculas de agua” quiere decir $2 \times 6.022\,140\,76 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{24}$ moléculas, igual que “dos docenas de huevos” quiere decir 24 huevos. Hay que decir siempre qué entidades se cuentan: un mol de moléculas de oxígeno $\ce{O2}$ contiene dos moles de átomos de oxígeno.

Historia — La hipótesis de Avogadro, 1811

En 1811, el físico Amedeo Avogadro propuso que volúmenes iguales de gases distintos, a la misma temperatura y presión, contienen el mismo número de partículas. Comprendió también que un gas como el oxígeno está formado por moléculas de dos átomos. Su idea quedó olvidada durante casi cincuenta años, hasta que Stanislao Cannizzaro la usó en 1860 para obtener un conjunto coherente de pesos atómicos. La constante que cuenta las entidades de un mol recibió más tarde el nombre de Avogadro; él nunca conoció su valor.

25.2 La constante de Avogadro

Definición 25.5 (Constante de Avogadro)

La constante de Avogadro $N_A$ es el número de entidades por mol:

N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} .

Su valor es exacto, fijado por definición. En los cálculos se redondea a $6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

Proposición 25.6 (Número de entidades y cantidad)

Una muestra que contiene $N$ entidades contiene la cantidad

n = \frac{N}{N_A}, \qquad\text{es decir}\qquad N = n \times N_A .

Demostración. Cada mol contiene $N_A$ entidades, así que $n$ moles contienen $n \times N_A$ entidades; dividiendo entre $N_A$ se obtiene $n$ . ∎

Ejemplo 25.7 (Moléculas y moles)

Una muestra contiene $1.5 \times 10^{24}$ moléculas de dióxido de carbono. Su cantidad de dióxido de carbono es $n = 1.5 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.5\,\mathrm{mol}$ . A la inversa, $0.20\,\mathrm{mol}$ de hierro contienen $N = 0.20\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 1.2 \times 10^{23}$ átomos de hierro.

Observación 25.8 (De dónde sale el número)

Durante más de cincuenta años, el mol se definió como el número de átomos que hay en exactamente $12\,\mathrm{g}$ de carbono 12, y $N_A$ había que medirlo. Desde 2019 el número mismo está fijado, lo que convierte el mol en un simple recuento. La definición antigua y la nueva coinciden a mejor que una parte en cien millones, así que doce gramos de carbono 12 siguen conteniendo un mol de átomos, como comprueba la sección siguiente.

25.3 La masa molar

Definición 25.9 (Masa molar)

La masa molar $M$ de una especie química es la masa de un mol de sus entidades, en gramos por mol ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). La masa molar de un elemento, tomada sobre su mezcla natural de isótopos, es su masa molar atómica; figura en la tabla periódica.

Ejemplo 25.10 (Un mol de átomos de carbono)

Un átomo de carbono 12 tiene una masa de alrededor de $12 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . Un mol de ellos tiene una masa de

2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg} = 12.0\,\mathrm{g}.

El mol se ha elegido de modo que la masa molar de un átomo, en gramos por mol, esté cerca de su número másico: alrededor de $1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ para el hidrógeno, $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ para el carbono y $16\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ para el oxígeno.

elemento	símbolo	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )	elemento	símbolo	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )
hidrógeno	$\ce{H}$	1.0	silicio	$\ce{Si}$	28.1
carbono	$\ce{C}$	12.0	azufre	$\ce{S}$	32.1
nitrógeno	$\ce{N}$	14.0	cloro	$\ce{Cl}$	35.5
oxígeno	$\ce{O}$	16.0	potasio	$\ce{K}$	39.1
sodio	$\ce{Na}$	23.0	calcio	$\ce{Ca}$	40.1
magnesio	$\ce{Mg}$	24.3	hierro	$\ce{Fe}$	55.8
aluminio	$\ce{Al}$	27.0	cobre	$\ce{Cu}$	63.5
			oro	$\ce{Au}$	197.0

Masas molares atómicas de elementos corrientes, redondeadas a

0.1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}

. Son los valores que se usan en este libro.

Observación 25.11 (Por qué el cloro es 35.5)

El cloro natural es una mezcla de dos isótopos: alrededor de tres cuartas partes de sus átomos son de cloro 35, y una cuarta parte, de cloro 37 (Capítulo 16). Su masa molar atómica es la media, ponderada por esas proporciones, que queda entre 35 y 37: $35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Por eso algunas masas molares atómicas están lejos de ser números enteros.

Proposición 25.12 (Masa molar de una molécula)

La masa molar de una molécula es la suma de las masas molares atómicas de todos sus átomos, cada uno contado tantas veces como aparece en la fórmula. La misma regla da la masa molar de un sólido iónico a partir de su unidad fórmula.

Demostración. Un mol de moléculas $\ce{A_xB_y}$ contiene $x$ moles de átomos $\ce{A}$ e $y$ moles de átomos $\ce{B}$ , y nada más; su masa es la suma de las masas de estos, $x\,M(\ce{A}) + y\,M(\ce{B})$ . ∎

Ejemplo 25.13 (Tres masas molares)

\begin{align*} M(\ce{H2O}) &= 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{NaCl}) &= 23.0 + 35.5 = 58.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{C12H22O11}) &= 12 \times 12.0 + 22 \times 1.0 + 11 \times 16.0 = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}. \end{align*}

La última es la sacarosa, el azúcar de mesa.

25.4 De la masa a la cantidad, y al revés

Proposición 25.14 (Masa y cantidad)

Una muestra de masa $m$ de una especie de masa molar $M$ contiene la cantidad

n = \frac{m}{M}, \qquad\text{es decir}\qquad m = n \times M .

Con $m$ en gramos y $M$ en gramos por mol, $n$ sale en moles.

Demostración. Cada mol tiene una masa $M$ , así que $n$ moles tienen una masa $n \times M$ ; es el recuento de monedas del banco, con el mol como moneda. ∎

Método 25.15 (De una masa a un número de entidades)

Escribir la fórmula de la especie y calcular su masa molar $M$ con la tabla.
Pasar la masa a gramos si hace falta, y luego $n = m / M$ .
Si se pide el número de entidades, $N = n \times N_A$ .
Comprobar el orden de magnitud: unos gramos de una molécula pequeña son del orden de una décima de mol, unas $10^{22}$ a $10^{23}$ entidades.

La cantidad n está en el centro: la balanza da m, la masa molar lleva a n, y la constante de Avogadro lleva después al número de entidades. — La cantidad $n$ está en el centro: la balanza da $m$ , la masa molar lleva a $n$ , y la constante de Avogadro lleva después al número de entidades.

Ejemplo 25.16 (Nueve gramos de agua)

¿Cuántas moléculas hay en $9.0\,\mathrm{g}$ de agua? $M(\ce{H2O}) = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , así que

n = \frac{9.0\,\mathrm{g}}{18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 0.50\,\mathrm{mol}, \qquad N = 0.50\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 3.0 \times 10^{23} \text{ moléculas.}

Ejemplo 25.17 (Un mol sobre la mesa)

Un mol de agua son $18.0\,\mathrm{g}$ , más o menos una cucharada sopera. Un mol de sal, $58.5\,\mathrm{g}$ , es un montoncito; un mol de azúcar, $342.0\,\mathrm{g}$ , llena una taza; un mol de hierro, $55.8\,\mathrm{g}$ , es un cubo de algo menos de $2\,\mathrm{cm}$ de lado. Los cuatro contienen el mismo número de entidades: las moléculas de azúcar simplemente pesan mucho más que las de agua, y los átomos de hierro están mucho más apretados.

Un mol de agua, de sal (cloruro de sodio), de azúcar (sacarosa) y de hierro, dibujados como cubos de su volumen real, todos a la misma escala. Cada uno contiene 6.02 × 1023 entidades. — Un mol de agua, de sal (cloruro de sodio), de azúcar (sacarosa) y de hierro, dibujados como cubos de su volumen real, todos a la misma escala. Cada uno contiene $6.02 \times 10^{23}$ entidades.

25.5 Los gases: el volumen molar

Definición 25.18 (Volumen molar)

El volumen molar $V_m$ de un gas es el volumen que ocupa un mol de ese gas, a una temperatura y una presión dadas. Se expresa en litros por mol ( $\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ ).

Proposición 25.19 (Todos los gases tienen el mismo volumen molar)

A una temperatura y una presión dadas, un mol de cualquier gas ocupa casi exactamente el mismo volumen, sea cual sea el gas. A $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a la presión atmosférica normal,

V_m = 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol};

a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a la misma presión, $V_m = 22.4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ . La cantidad de un gas de volumen $V$ es entonces $n = V / V_m$ .

Demostración. Se admite aquí: es la hipótesis de Avogadro de 1811, hoy una ley de la física, y el valor de $V_m$ se deduce de las leyes de los gases que estudia el libro de física. ∎

Tres globos a 20\, C, cada uno con un mol de un gas distinto. Los volúmenes son iguales; las masas, no. — Tres globos a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , cada uno con un mol de un gas distinto. Los volúmenes son iguales; las masas, no.

Ejemplo 25.20 (Un globo de dióxido de carbono)

Un globo contiene $2.4\,\mathrm{L}$ de dióxido de carbono a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Su cantidad es $n = 2.4\,\mathrm{L} / 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol} = 0.10\,\mathrm{mol}$ , y su masa, $m = 0.10\,\mathrm{mol} \times 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} = 4.4\,\mathrm{g}$ . El mismo globo lleno de hidrógeno contendría los mismos $0.10\,\mathrm{mol}$ , pero solo $0.20\,\mathrm{g}$ de gas.

Observación 25.21 (Gases pesados y gases ligeros)

Como un litro de cualquier gas contiene la misma cantidad, la masa de un litro de gas es proporcional a su masa molar. El aire, una mezcla de alrededor de cuatro quintas partes de nitrógeno ( $28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) y una quinta parte de oxígeno ( $32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), se comporta como un gas de masa molar de unos $29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Un gas de masa molar mayor, como el dióxido de carbono ( $44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), es más denso que el aire y se acumula en el fondo de una bodega cerrada; un gas de masa molar menor, como el helio ( $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), sube.

25.6 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Calcula las masas molares del dioxígeno $\ce{O2}$ , el dinitrógeno $\ce{N2}$ , el metano $\ce{CH4}$ , el amoniaco $\ce{NH3}$ y el dióxido de carbono $\ce{CO2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

$M(\ce{O2}) = 2 \times 16.0 = 32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{N2}) = 2 \times 14.0 = 28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CH4}) = 12.0 + 4 \times 1.0 = 16.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{NH3}) = 14.0 + 3 \times 1.0 = 17.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CO2}) = 12.0 + 2 \times 16.0 = 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

Ejercicio 25.2 ★

¿Qué cantidad de sustancia hay en $36.0\,\mathrm{g}$ de agua? ¿Y en $4.0\,\mathrm{g}$ de metano?

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

Agua: $n = 36.0 / 18.0 = 2.00\,\mathrm{mol}$ . Metano: $n = 4.0 / 16.0 = 0.25\,\mathrm{mol}$ .

Ejercicio 25.3 ★

¿Cuál es la masa de $0.25\,\mathrm{mol}$ de cloruro de sodio $\ce{NaCl}$ ? ¿Y la de $2.0\,\mathrm{mol}$ de dióxido de carbono?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

$m(\ce{NaCl}) = 0.25 \times 58.5 = 14.6\,\mathrm{g}$ , unos $15\,\mathrm{g}$ ; $m(\ce{CO2}) = 2.0 \times 44.0 = 88\,\mathrm{g}$ .

Ejercicio 25.4 ★

¿Cuántas moléculas hay en $0.50\,\mathrm{mol}$ de dioxígeno? ¿Qué cantidad de hierro contiene $3.0 \times 10^{24}$ átomos de hierro?

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

$N = 0.50 \times 6.02 \times 10^{23} = 3.0 \times 10^{23}$ moléculas de dioxígeno. $n = 3.0 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 5.0\,\mathrm{mol}$ de hierro.

Ejercicio 25.5 ★

A $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a la presión atmosférica normal, ¿qué volumen ocupan $0.50\,\mathrm{mol}$ de dinitrógeno? ¿Qué cantidad de dioxígeno hay en $12\,\mathrm{L}$ de ese gas?

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

$V = n \times V_m = 0.50 \times 24.1 = 12\,\mathrm{L}$ . $n = V / V_m = 12 / 24.1 = 0.50\,\mathrm{mol}$ .

Ejercicio 25.6 ★★

Una gota de agua tiene un volumen de $0.050\,\mathrm{mL}$ , y $1\,\mathrm{mL}$ de agua tiene una masa de $1.0\,\mathrm{g}$ . ¿Cuántas moléculas de agua contiene la gota?

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

La gota tiene una masa de $0.050\,\mathrm{g}$ , así que $n = 0.050 / 18.0 = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ y $N = 2.8 \times 10^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.7 \times 10^{21}$ moléculas.

Ejercicio 25.7 ★★

¿Qué contiene más átomos, $10\,\mathrm{g}$ de aluminio o $10\,\mathrm{g}$ de hierro? Explícalo primero sin calcular y compruébalo después calculando.

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

Un átomo de aluminio ( $27.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) pesa más o menos la mitad que un átomo de hierro ( $55.8\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), así que la misma masa de aluminio contiene alrededor del doble de átomos. Comprobación: aluminio, $10/27.0 = 0.370\,\mathrm{mol}$ , es decir, $2.23 \times 10^{23}$ átomos; hierro, $10/55.8 = 0.179\,\mathrm{mol}$ , es decir, $1.08 \times 10^{23}$ átomos. Gana el aluminio, por un factor de alrededor de 2.1.

Ejercicio 25.8 ★★

A $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , calcula la masa de un litro de dióxido de carbono y la de un litro de dinitrógeno. ¿Por qué se acumula el dióxido de carbono en el fondo de una bodega cerrada donde fermenta mosto?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

Un litro es $1/24.1 = 0.0415\,\mathrm{mol}$ de gas. Dióxido de carbono: $0.0415 \times 44.0 = 1.83\,\mathrm{g}$ ; dinitrógeno: $0.0415 \times 28.0 = 1.16\,\mathrm{g}$ . El dióxido de carbono es una vez y media más denso que el aire, cuya masa molar se acerca a la del dinitrógeno. El mosto que fermenta desprende dióxido de carbono, que baja y se acumula cerca del suelo de una bodega cerrada, donde puede asfixiar a quien entre.

Ejercicio 25.9 ★★

Con la figura de las tres cajas $m$ , $n$ , $N$ , da la masa de $1.0 \times 10^{22}$ moléculas de glucosa $\ce{C6H12O6}$ . Indica las dos flechas que has seguido.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

$M(\ce{C6H12O6}) = 6 \times 12.0 + 12 \times 1.0 + 6 \times 16.0 = 180.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Flecha $\div N_A$ : $n = 1.0 \times 10^{22} / 6.02 \times 10^{23} = 1.66 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ; flecha $\times M$ : $m = 1.66 \times 10^{-2} \times 180.0 = 3.0\,\mathrm{g}$ .

Ejercicio 25.10 ★★

Un terrón de azúcar (sacarosa, $\ce{C12H22O11}$ ) tiene una masa de $5.0\,\mathrm{g}$ . Calcula la cantidad de sacarosa que contiene, después el número de moléculas de sacarosa y, por último, el número de átomos de carbono.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

$M = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , así que $n = 5.0 / 342.0 = 1.46 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ; $N = 1.46 \times 10^{-2} \times 6.02 \times 10^{23} = 8.8 \times 10^{21}$ moléculas. Cada una tiene 12 átomos de carbono: $12 \times 8.8 \times 10^{21} = 1.1 \times 10^{23}$ átomos de carbono.

Ejercicio 25.11 ★★

¿Qué contiene mayor cantidad de moléculas: $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua $\ce{H2O}$ o $1.0\,\mathrm{kg}$ de etanol $\ce{C2H6O}$ ? ¿En qué factor?

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

Agua: $1000 / 18.0 = 55.6\,\mathrm{mol}$ . Etanol: $M = 2 \times 12.0 + 6 \times 1.0 + 16.0 = 46.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , así que $1000 / 46.0 = 21.7\,\mathrm{mol}$ . El agua tiene la mayor cantidad, por un factor $55.6 / 21.7 \approx 2.6$ , que es simplemente $46.0 / 18.0$ .

Ejercicio 25.12 ★★★

Un anillo de oro tiene una masa de $5.0\,\mathrm{g}$ ; tres cuartas partes de su masa son oro, y el resto, cobre. ¿Cuántos átomos de oro contiene? ¿Cuántos átomos de cobre? ¿Qué metal tiene más átomos en el anillo?

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

Oro: $3.75\,\mathrm{g}$ , $n = 3.75 / 197.0 = 1.90 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ , es decir, $1.15 \times 10^{22}$ átomos. Cobre: $1.25\,\mathrm{g}$ , $n = 1.25 / 63.5 = 1.97 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ , es decir, $1.19 \times 10^{22}$ átomos. Aunque sorprenda, el anillo contiene algunos átomos de cobre más que de oro: un átomo de oro es unas tres veces más pesado que uno de cobre.

Ejercicio 25.13 ★★★

Un aula mide $8.0\,\mathrm{m}$ por $6.0\,\mathrm{m}$ por $3.0\,\mathrm{m}$ , y el aire que contiene está a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

¿Qué cantidad de gas contiene ( $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ )? ¿Cuántas moléculas?
Tomando el aire como 78 moléculas de dinitrógeno, 21 de dioxígeno y 1 de argón ( $40.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) de cada cien, calcula la masa molar media del aire.
¿Cuál es la masa del aire del aula?

Solución

Solución de Ejercicio 25.13.

$V = 8.0 \times 6.0 \times 3.0 = 144\,\mathrm{m}^{3} = 1.44 \times 10^{5}\,\mathrm{L}$ ; $n = 1.44 \times 10^{5} / 24.1 = 5.98 \times 10^{3}\,\mathrm{mol}$ ; $N = 5.98 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} = 3.6 \times 10^{27}$ moléculas.
$M = (78 \times 28.0 + 21 \times 32.0 + 1 \times 40.0) / 100 = 2896 / 100 = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .
$m = 5.98 \times 10^{3} \times 29.0 = 1.73 \times 10^{5}\,\mathrm{g}$ , unos $173\,\mathrm{kg}$ : el aire de un aula pesa tanto como dos o tres adultos.

Ejercicio 25.14 ★★★

Una esfera de silicio puro tiene una masa de exactamente $1.000\,\mathrm{kg}$ .

¿Cuántos átomos de silicio contiene?
Deduce la masa de un átomo de silicio.
Antes de 2019, la constante de Avogadro no estaba fijada, sino que se medía. Explica cómo un recuento independiente de los átomos de una esfera así, cuya cantidad se conoce por su masa, daría un valor de ella.

Solución

Solución de Ejercicio 25.14.

$n = 1000 / 28.1 = 35.6\,\mathrm{mol}$ , así que $N = 35.6 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.14 \times 10^{25}$ átomos.
$m = 1.000\,\mathrm{kg} / 2.14 \times 10^{25} = 4.67 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ .
La masa de la esfera y la masa molar dan su cantidad, $n = m / M$ . Si se cuentan los átomos $N$ de forma independiente (a partir del volumen de la esfera y de la separación de los átomos en el cristal), el cociente $N / n$ es la constante de Avogadro.

Ejercicio 25.15 ★★★

El cloro natural contiene un $75.8\,\%$ de átomos de cloro 35, de masa molar muy próxima a $35.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , y un $24.2\,\%$ de átomos de cloro 37, de masa molar muy próxima a $37.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . Calcula la masa molar atómica del cloro natural y compárala con el valor de la tabla.

Solución

Solución de Ejercicio 25.15.

$M = 0.758 \times 35.0 + 0.242 \times 37.0 = 26.53 + 8.95 = 35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ : el valor de la tabla.

25.7 Problema: El vaso de agua de Kelvin

Problema 25.1

Problema de fin de semana — echa un vaso de agua al mar, espera a que se mezcle por todos los océanos y vuelve a llenar un vaso: ¿cuántas de las primeras moléculas vuelven?

Un famoso experimento mental, atribuido a menudo al físico lord Kelvin, dice así. Se marcan todas las moléculas de un vaso de agua, se vierte el vaso en el mar y se espera a que las moléculas marcadas se hayan repartido por igual por todos los océanos del mundo. Después se vuelve a meter el vaso en el mar, en cualquier sitio. ¿Traerá alguna molécula marcada? El vaso contiene $250\,\mathrm{mL}$ , y $1\,\mathrm{mL}$ de agua tiene una masa de $1.0\,\mathrm{g}$ . Los océanos contienen unos $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ de agua. Para el recuento, trata el agua del mar como agua pura.

Parte I — El agua de un vaso.

Calcula la masa molar del agua.
¿Cuál es la masa del agua del vaso?
Calcula la cantidad de moléculas de agua del vaso.
¿Qué cantidad de átomos de hidrógeno contiene el vaso? ¿Y de átomos de oxígeno?

Parte II — Las moléculas del vaso.

¿Cuántas moléculas de agua contiene el vaso?
Calcula la masa de una molécula de agua, en gramos.
Comprueba las respuestas a las preguntas 5 y 6 multiplicándolas: ¿cuánto debería dar el producto?
Contando una molécula por segundo, día y noche, ¿cuántos años harían falta para contar las moléculas del vaso? (Un año dura unos $3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ .)

Parte III — El océano.

Pasa el volumen de los océanos a metros cúbicos ( $1\,\mathrm{km}^{3} = 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ ) y después a litros.
Una vez repartidas por igual las moléculas marcadas, ¿cuántas hay en cada litro de océano?
¿Cuántas moléculas marcadas trae el segundo vaso?
Segundo método. Calcula la cantidad de agua de los océanos, tomando $1.0\,\mathrm{kg}$ como masa de un litro.
¿Qué fracción de todas las moléculas de agua del océano están marcadas?
Multiplica esta fracción por el número de moléculas del segundo vaso, y compáralo con la respuesta a la pregunta 11.

Parte IV — Lo que significa.

¿Cuántos vasos de $250\,\mathrm{mL}$ se podrían llenar con el agua de los océanos?
Compara este número con el número de moléculas de un vaso. Explica en una frase por qué el segundo vaso trae tantas moléculas marcadas.
¿Qué volumen de agua de mar hay que sacar, por término medio, para recuperar una sola molécula marcada? Compáralo con una gota de $0.05\,\mathrm{mL}$ .
La respuesta a la pregunta 11 tiene muchas cifras. ¿Por qué solo hay que darla como orden de magnitud? Da dos razones.
Da la respuesta final: ¿cuántas moléculas, más o menos, del primer vaso vuelven en el segundo?

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. $M(\ce{H2O}) = 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

2. $m = 250 \times 1.0\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ .

3. $n = 250 / 18.0 = 13.9\,\mathrm{mol}$ .

4. Cada molécula tiene dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno: $27.8\,\mathrm{mol}$ de átomos de hidrógeno y $13.9\,\mathrm{mol}$ de átomos de oxígeno.

5. $N = 13.9 \times 6.02 \times 10^{23} = 8.36 \times 10^{24}$ moléculas.

6. $m = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ .

7. $8.36 \times 10^{24} \times 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ , la masa del agua del vaso, como debe ser.

8. $8.36 \times 10^{24} / 3.16 \times 10^{7} = 2.6 \times 10^{17}$ años: un número de años con diecisiete ceros, mucho más allá de cualquier recuento posible.

9. $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3} \times 10^{9} = 1.335 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$ , y, con $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ , $1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{L}$ .

10. $8.36 \times 10^{24} / 1.335 \times 10^{21} = 6.26 \times 10^{3}$ moléculas marcadas por litro.

11. $6.26 \times 10^{3} \times 0.250 = 1.57 \times 10^{3}$ moléculas marcadas en el segundo vaso.

12. Masa: $1.335 \times 10^{21} \times 1.0\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ ; $n = 1.335 \times 10^{24} / 18.0 = 7.42 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$ .

13. $13.9 / 7.42 \times 10^{22} = 1.87 \times 10^{-22}$ .

14. $1.87 \times 10^{-22} \times 8.36 \times 10^{24} = 1.57 \times 10^{3}$ : el mismo resultado que en la pregunta 11, como debe ser.

15. $1.335 \times 10^{21} / 0.250 = 5.34 \times 10^{21}$ vasos.

16. $8.36 \times 10^{24} / 5.34 \times 10^{21} \approx 1570$ . Un vaso contiene unas 1600 veces más moléculas que vasos de agua contienen los océanos; repartidas por igual, las moléculas de un vaso dejan unas 1600 en cada vaso de océano.

17. $1 / 6.26 \times 10^{3} = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{L} = 0.16\,\mathrm{mL}$ , unas tres gotas.

18. El volumen de los océanos es una estimación conocida, como mucho, con tres o cuatro cifras, y se ha redondeado; el agua del mar no es agua pura (contiene sales); el vaso no tiene exactamente $250\,\mathrm{mL}$ ; y la mezcla por todos los océanos nunca sería perfectamente uniforme. Solo es fiable el orden de magnitud.

19. En el segundo vaso vuelven unas 1600 moléculas del primero.

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