विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

14फूरिये रूपांतर

फूरिये श्रेणी आवर्ती संकेतों को विविक्त संनादों में विघटित करती है; फूरिये रूपांतर पूरी रेखा पर के संकेतों के लिए वही करता है, और वह भी आवृत्तियों के एक सातत्य के साथ। वह अवकलन को गुणन में, संवलन को गुणनफल में, और गाउसीय को गाउसीय में बदल देता है — यही कारण है कि वह अवकल समीकरण हल करता है, संकेत संसाधन चलाता है, और अध्याय 23 में केंद्रीय सीमा प्रमेय सिद्ध करेगा। यह अध्याय $L^1$ सिद्धांत (रीमान–लेबेग, प्रतिलोमन, एकैकीपन), वह श्वार्ट्स वर्ग जहाँ रूपांतर एक सिद्ध एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण है, और $L^2$ सिद्धांत (प्लांशरेल: रूपांतर, किसी नियतांक तक, एक एकात्मक संकारक है) विकसित करता है, साथ में दो प्रदर्शनीय अनुप्रयोग: ऊष्मा समीकरण, जिसे सप्ताहांत समस्या आरंभ से अंत तक हल करती है, और प्वासों योग सूत्र। परिपाटी:

\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .

14.1 $L^1$ पर रूपांतर

प्रतिज्ञप्ति 14.1

$f \in L^1(\R)$ के लिए: $\hat f$ सुपरिभाषित, परिबद्ध ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ) और संतत है, तथा:

$\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ और $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
$\lambda > 0$ के लिए $\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat f(\lambda\xi)$ ;
यदि $xf \in L^1$ हो, तो $\hat f$ $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ के साथ $\mathcal C^1$ है;
यदि $f' \in L^1$ के साथ $f \in \mathcal C^1$ हो (और $\pm\infty$ पर $f \to 0$ , जो यहाँ स्वतः है), तो $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
$f, g \in L^1$ के लिए $\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ ।

उपपत्ति. परिबद्धता: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$ । सांतत्य: प्रभावी फलन $\abs f$ के साथ प्रभावी अभिसरण प्रमेय (प्रमेय 10.14)। (1), (2): प्रतिस्थापन (प्रमेय 11.10)। (3): समाकल के भीतर अवकलन, प्रभावी फलन $\abs{xf}$ (प्रमेय 10.15)। (4): पहले, $f(x) = f(0) + \int_0^xf'$ की $\pm\infty$ पर कोई सीमा है ( $f' \in L^1$ ), जो $0$ होनी ही चाहिए ( $f \in L^1$ ); फिर $[-A, A]$ पर खंडशः समाकलन कीजिए और $A \to \infty$ जाने दीजिए। (5): फुबिनी, जो वैध है क्योंकि $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ निरपेक्षतः समाकलनीय है (प्रमेय 11.9):

\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)} \eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).

∎

उदाहरण 14.2

गाउसीय: $a > 0$ के लिए,

\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) = \sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :

यह अभ्यास 10.7 से मिलता है (अवकल समीकरण $F' = -\frac\xi{2}F$ की युक्ति, पुनःमापित), अथवा (3) से: $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ को संतुष्ट करता है (खंडशः समाकलन), और $g(0) = \sqrt{\pi/a}$ । गाउसीय मापन तक रूपांतर के स्थिर बिंदु हैं — और यही गहरा कारण है कि वे केंद्रीय सीमा प्रमेय पर राज करते हैं।

प्रमेय 14.3 (रीमान–लेबेग)

$f \in L^1(\R)$ के लिए: $\abs\xi \to \infty$ पर $\hat f(\xi) \to 0$ । अतः $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal C_0(\R)$ (अनंत पर लुप्त होने वाले संतत फलन)।

उपपत्ति. किसी अंतराल के सूचक के लिए $\widehat{\mathbf 1_{\intcc ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi} \to 0$ ; अतः सोपान फलनों के लिए भी। सोपान फलन $L^1$ में सघन हैं (प्रमेय 12.6(1) और परिमित माप वाले समुच्चयों का अंतरालों के परिमित सम्मिलनों से आसन्नन, अभ्यास 9.7), और रूपांतर $\norm\cdot_\infty$ - $\norm\cdot_1$ संतत है: $\norm{f - s}_1 < \varepsilon$ के लिए $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat f(\xi)} \leq \varepsilon$ । ∎

14.2 प्रतिलोमन और एकैकीपन

प्रमेयिका 14.4 (गुणन सूत्र)

$f, g \in L^1(\R)$ के लिए: $\displaystyle\int \hat f\,g = \int f\,\hat g$ ।

उपपत्ति. दोनों पक्ष $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd x\,\dd\xi$ के बराबर हैं (टोनेली–फुबिनी: निरपेक्ष मान का द्विक समाकल $\norm f_1\norm g_1$ है)। ∎

प्रमेय 14.5 (प्रतिलोमन)

मान लीजिए $f \in L^1(\R)$ ।

(गाउसीय योग्यता) प्रत्येक $x$ के लिए

$(f * g_\varepsilon)(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\, \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi, \qquad\text{जहाँ } g_\varepsilon(y) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\, \eu^{-y^2/4\varepsilon},$

और $\varepsilon \to 0$ पर $L^1$ में $f * g_\varepsilon \to f$ ।
यदि इसके अतिरिक्त $\hat f \in L^1$ हो, तो लगभग प्रत्येक $x$ के लिए

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$

और $f$ का कोई संतत प्रतिनिधि होता है।
(एकैकीपन) यदि $\hat f = 0$ हो, तो लगभग सर्वत्र $f = 0$ ।

उपपत्ति. (1) $x$ स्थिर कीजिए और $f$ तथा $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$ पर प्रमेयिका 14.4 लगाइए: उदाहरण 14.2 से (मॉडुलन नियम के साथ)

\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\, \eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),

अतः $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2} \eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y = (f*g_\varepsilon)(x)$ । $g_\varepsilon$ एक आसन्न तत्समक हैं: $g_\varepsilon \geq 0$ , $\int g_\varepsilon = 1$ (गाउसीय समाकल), जो $0$ पर संकेंद्रित होते हैं; और प्रमेय 12.9(2) की उपपत्ति शब्दशः लागू होती है (केवल $\int g_\varepsilon = 1$ और संकेंद्रण का उपयोग हुआ था: पुच्छ के लिए $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to 0$ ): अतः $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$ ।

(2) यदि $\hat f \in L^1$ हो: (1) का दायाँ पक्ष प्रभावी अभिसरण प्रमेय (प्रभावी फलन $\abs{\hat f}$ ) से प्रत्येक $x$ के लिए $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ पर अभिसरित होता है, और यह सीमा फलन संतत है (फिर प्रभावी अभिसरण प्रमेय)। दूसरी ओर $L^1$ में $f * g_\varepsilon \to f$ , अतः किसी उपानुक्रम के अनुदिश लगभग सर्वत्र (प्रमेय 12.4): इसलिए दोनों सीमाएँ लगभग सर्वत्र सहमत हैं।

(3) $\hat f = 0$ से (1) का दायाँ पक्ष लुप्त हो जाता है: सभी $\varepsilon$ के लिए $f * g_\varepsilon = 0$ , और $L^1$ में $f * g_\varepsilon \to f$ : अतः लगभग सर्वत्र $f = 0$ । ∎

14.3 श्वार्ट्स वर्ग

परिभाषा 14.6

श्वार्ट्स वर्ग $\mathcal S(\R)$ उन $\mathcal C^\infty$ फलनों $f$ से बना है जिनके लिए सभी $m, n \geq 0$ पर $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ (अर्थात् सभी अवकलज किसी भी घात से तेज क्षीण होते हैं)। उदाहरण: $\eu^{-ax^2}$ , $\mathcal C_c^\infty$ । स्पष्टतः प्रत्येक $p$ के लिए $\mathcal S \subseteq L^p$ ( $C(1 + x^2)^{-1}$ से परिबद्ध कीजिए), और $\mathcal S$ अवकलजों, बहुपदों से गुणन, तथा गुणनफलों के अंतर्गत स्थिर है।

प्रमेय 14.7

फूरिये रूपांतर $\mathcal S(\R)$ को उसी पर एकैकी आच्छादक रूप से प्रतिचित्रित करता है, जिसका प्रतिलोम $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f \in \mathcal S$ । प्रतिज्ञप्ति 14.1(3) को दोहराने पर $(\hat f)^{(n)} = \widehat{(-\iu x)^nf}$ (प्रत्येक $x^kf \in L^1$ ); और $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (जिसके सभी अवकलज समाकलनीय हैं) के साथ (4) को दोहराने पर $(\iu\xi)^m\hat h = \widehat{h^{(m)}}$ । इन्हें मिलाकर

\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)} = \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr| \leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty

और वह भी $\xi$ में एकसमान रूप से: अतः $\hat f \in \mathcal S$ । चूँकि $\hat f \in L^1$ , प्रतिलोमन (प्रमेय 14.5(2)) सर्वत्र लागू होता है (दोनों पक्ष संतत): अर्थात् $\check{\hat f} = f$ , और सममित रूप से $\widehat{\check g} = g$ (जाँच रूपांतर $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$ है, जो फिर $\mathcal S$ को सुरक्षित रखता है): अतः एकैकी आच्छादक। ∎

14.4 प्लांशरेल और $L^2$

प्रमेय 14.8 (प्लांशरेल)

$f \in L^1 \cap L^2(\R)$ के लिए:

\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .

फलस्वरूप $\widehat{\phantom f}$ $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$ वाले किसी संतत रैखिक प्रतिचित्रण $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ तक अद्वितीय रूप से विस्तारित हो जाता है; $\mathcal F$ एकैकी आच्छादक है, जिसमें $\sigma f = f(-\cdot)$ के साथ $\mathcal F^{-1} = \frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ , और वह अंतःगुणनों को गुणक $2\pi$ तक सुरक्षित रखता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f \in L^1\cap L^2$ और $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ के साथ $h = f * \tilde f$ । तब $h \in L^1$ (प्रमेय 11.9), $h$ संतत और परिबद्ध है (अभ्यास 12.6: $f, \tilde f \in L^2$ ), $h(0) = \int f\bar f = \norm f_2^2$ , और $\hat h = \hat f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ ( $\widehat{\tilde f} = \overline{\hat f}$ परिकलित कीजिए)। $x = 0$ पर $h$ के लिए प्रमेय 14.5(1) लगाइए:

(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .

$\varepsilon \to 0$ पर: बायाँ पक्ष $h(0)$ की ओर जाता है ( $h$ संतत परिबद्ध: छोटे/बड़े $y$ में बाँटकर $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y) - h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ ); और दायाँ पक्ष एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय ( $\hat h \geq 0$ ) से बढ़कर $\frac1{2\pi}\int\hat h$ तक जाता है। अतः $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$ , जो पूर्वतः परिमित हो या न हो — और वह परिमित है, जिससे सदस्यता और सर्वसमिका दोनों सिद्ध हो जाती हैं।

विस्तार: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ $L^2$ में सघन है (प्रमेय 12.6); रूपांतर वहाँ $\sqrt{2\pi}$ -समदूरिक है, अतः वह $L^2$ पर किसी नियतांक-तक-समदूरीयता $\mathcal F$ तक अद्वितीय रूप से विस्तारित हो जाता है (प्रमेय 7.2)। $\mathcal S$ के लिए प्रतिलोमन (प्रमेय 14.7) उसी सघनता से स्थानांतरित हो जाता है (दोनों पक्ष $L^2$ -संतत): अतः $\mathcal S$ पर $\mathcal F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ , और इसलिए $L^2$ पर भी: एकैकी आच्छादकता। अंतःगुणन: मानक सर्वसमिका से ध्रुवण। ∎

प्रमेय 14.9 (प्वासों योग)

मान लीजिए $f \in \mathcal S(\R)$ ( $\abs{f} + \abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ वाला संतत $f$ पर्याप्त है)। तब

\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .

उपपत्ति. मान लीजिए $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$ : यह श्रेणी संहतों पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ( $f$ का क्षय), अतः $F$ संतत है, और वह $1$ -आवर्ती है। उसके फूरिये गुणांक (आवर्त $1$ : $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$ ):

c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)

(प्रसामान्य अभिसरण अदला-बदली को उचित ठहराता है; और कला $1$ -आवर्ती है)। श्रेणी $\sum_k\abs{c_k(F)}$ अभिसरित होती है ( $\hat f$ का क्षय), अतः $F$ की फूरिये श्रेणी प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है; उसका योग एक ऐसा संतत फलन है जिसके फूरिये गुणांक $F$ के ही हैं, इसलिए वह $F$ के बराबर है (वृत्त पर एकैकीपन: अंतर के सभी गुणांक शून्य हैं, और प्रमेय 13.9 $L^2$ में शून्य दे देता है, अतः सांतत्य से सर्वत्र)। अब $x = 0$ पर मान लीजिए। ∎

उदाहरण 14.10 (थीटा सर्वसमिका)

प्वासों को $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ( $t > 0$ ) पर लगाने से, जिसका रूपांतर $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ है ( $a = \pi t$ के साथ उदाहरण 14.2):

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t} = \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :

अर्थात् याकोबी के थीटा फलन का कार्यकीय समीकरण, जो रीमान के $\zeta$ के कार्यकीय समीकरण की कुंजी है — और एक शानदार संख्यात्मक त्वरक भी: छोटे $t$ के लिए बायाँ पक्ष धीरे अभिसरित होता है, और दायाँ पक्ष बिजली की गति से।

विधि 14.11

कार्य-क्षेत्र: $L^1$ — रूपांतर बिंदुशः परिभाषित, प्रतिलोमन के लिए $\hat f \in L^1$ चाहिए; $\mathcal S$ — यहाँ सब कुछ वैध है, पहले यहीं सिद्ध कीजिए; $L^2$ — रूपांतर सघनता से परिभाषित (समाकल से नहीं!), पूर्ण सममिति, पार्सेवाल लेखा-जोखा। कोई रूपांतर परिकलित करने के लिए: प्रतिज्ञप्ति 14.1 के नियमों से उसे सारणी (सूचक, चरघातांकी, गाउसीय) तक सिमटाइए; कोई सर्वसमिका सिद्ध करने के लिए: उसे $\mathcal S$ (या $\mathcal C_c^\infty$ ) पर स्थापित कीजिए और सघनता तथा सांतत्य से बढ़ाइए (विधि 12.13); और अचर गुणांकों वाला कोई रैखिक आंशिक या साधारण अवकल समीकरण हल करने के लिए: रूपांतर लीजिए, भाग दीजिए, प्रतिलोम लीजिए।

तीन समयों पर ऊष्मा नाभिक g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t: कुल द्रव्यमान सदा 1, ऊँचाई t-1/2, चौड़ाई √ t। आरंभिक आँकड़ों का इस फैलती हुई गाउसीय के साथ संवलन ही सप्ताहांत समस्या की समूची अंतर्वस्तु है; और आवृत्ति में वही चित्र g_t( ) = -t 2 पढ़ा जाता है — ऊँची आवृत्तियाँ पहले मरती हैं, और वही असममिति समय का तीर है। — तीन समयों पर ऊष्मा नाभिक $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ : कुल द्रव्यमान सदा $1$ , ऊँचाई $\sim t^{-1/2}$ , चौड़ाई $\sim \sqrt t$ । आरंभिक आँकड़ों का इस फैलती हुई गाउसीय के साथ संवलन ही सप्ताहांत समस्या की समूची अंतर्वस्तु है; और आवृत्ति में वही चित्र $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ पढ़ा जाता है — ऊँची आवृत्तियाँ पहले मरती हैं, और वही असममिति समय का तीर है।

14.5 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

इनके फूरिये रूपांतर परिकलित कीजिए: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ ; $\eu^{-a\abs x}$ ( $a > 0$ ); तंबू फलन $\max(0, 1 - \abs x)$ ; $\frac1{x^2 + a^2}$ (दूसरे पर प्रतिलोमन का उपयोग कीजिए)। बनती हुई सारणी दर्ज कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) = \int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ ( $0$ पर मान $2a$ )। $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a + \iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} + \frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$ । तंबू: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} * \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ , अतः उसका रूपांतर $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 = \bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$ है। अंतिम: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$ , अतः $\eu^{-a\abs x}$ पर लगाई गई प्रतिलोमन (प्रमेय 14.5(2)), चरों का नाम बदलने के बाद,

\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .

देती है।

अभ्यास 14.2 ★

मान लीजिए $f \in L^1$ । $\hat f$ के पदों में इनके रूपांतर व्यक्त कीजिए: $f(x - a)$ , $f(x)\cos(bx)$ , $f(ax + b)$ , $\overline{f(-x)}$ , $(f * f)(x)$ । प्रत्येक नियम को गाउसीय पर सत्यापित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.2.

प्रतिज्ञप्ति 14.1 से: $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ ; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat f(\xi + b)\bigr)$ ; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ( $a > 0$ ); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$ ; $\widehat{f * f} = \hat f^2$ । गाउसीय ( $\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$ ) पर प्रत्येक नियम एक पंक्ति की जाँच है — उदाहरणार्थ $\eu^{-(x-a)^2}$ का रूपांतर $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$ है, जिसकी पुष्टि सीधा परिकलन (वर्ग पूरा कीजिए) कर देता है।

अभ्यास 14.3 ★★

(क) दर्शाइए कि $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ का रूपांतर $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi \bigr)^2$ है, और प्लांशरेल से — अथवा $0$ पर प्रतिलोमन से — $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ निकालिए। समस्या 10.1 से तुलना कीजिए। (ख) $\eu^{-\abs x}$ पर प्लांशरेल लगाकर $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.3.

(क) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ का $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$ है; $x = 0$ पर प्रतिलोमन, जहाँ $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1) = 2$ :

2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2 \dd\xi \ \Longrightarrow\ \int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,

जो $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} = \frac\pi2$ (समस्या 10.1) के संगत है।

(ख) $f = \eu^{-\abs x}$ के लिए प्लांशरेल: $\int\abs{\hat f}^2 = 2\pi\int\abs f^2$ $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} = 2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$ के रूप में पढ़ा जाता है: $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$ ।

अभ्यास 14.4 ★★

(ऊष्मा नाभिक का बीजगणित) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ के साथ: (क) $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ सत्यापित कीजिए; (ख) बिना किसी समाकल परिकलन के अर्धसमूह नियम $g_t * g_s = g_{t+s}$ निकालिए; (ग) $\norm{g_t}_1 = 1$ और $\norm{g_t}_2^2 = (8\pi t)^{-1/2}$ दर्शाइए।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

(क) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : $a = \frac1{4t}$ के साथ उदाहरण 14.2 से $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$ । (ख) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ , और रूपांतर $L^1$ पर एकैकी है (प्रमेय 14.5(3)): $g_t * g_s = g_{t+s}$ । (ग) $\norm{g_t}_1 = 1$ (गाउसीय समाकल); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x = \frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$ ।

अभ्यास 14.5 ★★

दर्शाइए कि यदि $f \in L^1$ सम और वास्तविक हो, तो $\hat f$ सम और वास्तविक होता है; और यदि $f$ विषम और वास्तविक हो, तो $\hat f$ विषम और विशुद्ध काल्पनिक। $\hat f(0)$ क्या परिकलित करता है? निष्कर्ष निकालिए कि $f \geq 0$ से $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$ अनिवार्य हो जाता है, और प्रायिकता घनत्वों के लिए इसकी व्याख्या कीजिए (अध्याय 23: किसी अभिलक्षणिक फलन का मापांक $\leq 1$ होता है, जो $0$ पर प्राप्त होता है)।

हल

हल — अभ्यास 14.5.

वास्तविक सम $f$ के लिए: $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (ज्या भाग निरस्त हो जाता है): अतः वास्तविक और सम। विषम: $\hat f(\xi) = -\iu\int f\sin(\xi x)$ : विषम, विशुद्धतः काल्पनिक। $\hat f(0) = \int f$ : कुल द्रव्यमान। यदि $f \geq 0$ हो: $\abs{\hat f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$ , अतः उच्चतम $0$ पर प्राप्त होता है। किसी प्रायिकता घनत्व के लिए $\hat f(-\xi)$ अध्याय 23 का अभिलक्षणिक फलन है: सर्वत्र मापांक $\leq 1$ , और मूल बिंदु पर $= 1$ ।

अभ्यास 14.6 ★★★

(अनाच्छादकता) तीन चरणों में दर्शाइए कि $\widehat{\phantom f}\colon L^1 \to \mathcal C_0$ एकैकी और संतत है, पर आच्छादक नहीं। (क) एकैकीपन (प्रमेय 14.5) और सांतत्य ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ), तथा यह कि $\mathcal C_0$ एक बानाख समष्टि है ( $\norm\cdot_\infty$ में संवृत)। (ख) यदि प्रतिचित्रण आच्छादक होता, तो वह एकैकी आच्छादक होता, और विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय (प्रमेय 8.12) ऐसा नियतांक $C$ देती जिसके लिए सभी $f \in L^1$ पर $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ । (ग) इसका खंडन $f_n(x) = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ से कीजिए: उसका रूपांतर (नियतांकों तक) संवलन $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ प्रकार का समलंब है — दर्शाइए कि एकसमान रूप से $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ , जबकि $[1, n]$ पर (जहाँ दूसरा गुणनखंड नीचे से परिबद्ध है) $\frac{\abs{\sin x}}x$ के मेहराब गिनकर $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ , ठीक जैसे प्रमेय 8.11 में।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

(क) एकैकीयता प्रमेय 14.5(3) है; सांतत्य $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ है (रीमान–लेबेग से मान $\mathcal C_0$ में); और $\mathcal C_0$ उच्चतम मानक में संवृत है (अनंत पर लुप्त होने वाले फलनों की एकसमान सीमाएँ अनंत पर लुप्त होती हैं): अतः बानाख।

(ख) बानाख समष्टियों के बीच किसी संतत एकैकी आच्छादन का प्रतिलोम संतत होता है (प्रमेय 8.12): अतः $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ वाला कोई $C$ होता।

(ग) मान लीजिए $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : दो $L^2$ फलनों का गुणनफल, और अनंत पर $O(x^{-2})$ , अतः $f_n \in L^1\cap L^2$ । चूँकि $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ का $L^2$ -रूपांतर $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ है, अतः गुणनफल सूत्र $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ ( $gh \in L^1$ वाले $g, h \in L^2$ के लिए वैध; श्वार्ट्स फलनों पर फुबिनी से जाँचिए और प्लांशरेल के माध्यम से दोनों पक्षों की $L^2$ -सांतत्य से बढ़ाइए)

\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf 1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):

दे देता है, जो ऊँचाई $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$ का कोई समलंब है: अतः प्रत्येक $n$ के लिए $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ । पर $[1, n]$ पर $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$ , अतः

\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq c\ln n

(चाप-गणना, प्रमेय 8.11 की भाँति)। परिबंध $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ बड़े $n$ के लिए विफल हो जाता है: अतः आच्छादक नहीं। (प्रतिबिंब $\mathcal C_0$ की कोई सघन — स्टोन–वाइरश्ट्रास-प्रकार के तर्कों से — पर उचित उपसमष्टि है।)

अभ्यास 14.7 ★★

(चिकनाई $\leftrightarrow$ क्षय का शब्दकोश) सिद्ध कीजिए: किसी $\delta > 0$ के लिए $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ वाले $f \in L^1$ से $f$ का कोई $\mathcal C^k$ प्रतिनिधि होना निकलता है। विलोमतः $f \in \mathcal C^k_c$ से $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$ निकलता है। दोनों दिशाओं को तंबू फलन पर दर्शाइए।

हल

हल — अभ्यास 14.7.

यदि $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ हो: तो $0 \leq j \leq k$ के लिए $\xi^j\hat f \in L^1$ (क्षय से अनंत पर समाकलनीय, और $\hat f$ की सांतत्य से स्थानीय रूप से)। प्रतिलोमन (प्रमेय 14.5(2)) $f$ को लगभग सर्वत्र $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ से निरूपित करती है, और समाकल के भीतर अवकलन (प्रभावी फलन $\abs{\xi^j\hat f}$ ) इस प्रतिनिधि को $\mathcal C^k$ बना देता है। विलोमतः $f \in \mathcal C_c^k$ के लिए: प्रतिज्ञप्ति 14.1(4) की पुनरावृत्ति से $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$ , अतः $\abs{\hat f} \leq \norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$ । तंबू फलन: संहत आलंब के साथ संतत ( $k = 0$ : रूपांतर परिबद्ध), और उसका रूपांतर $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ पहली दिशा से कोई $\mathcal C^0$ प्रतिनिधि लौटा देता है — दोनों तीक्ष्ण: तंबू $\mathcal C^1$ नहीं है, और उसका रूपांतर $\xi^{-2}$ से तेज़ी से क्षय नहीं होता।

अभ्यास 14.8 ★★★

(हाइजेनबर्ग की असमिका) $\norm f_2 = 1$ वाले वास्तविक $f \in \mathcal S(\R)$ के लिए सिद्ध कीजिए

\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot \Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr) \;\geq\; \frac14 ,

जिसमें गाउसीय के लिए समता होती है। ( $1 = \int f^2 = -\int x\,(f^2)'$ को खंडशः लिखिए, कोशी–श्वार्ज़ से परिबद्ध कीजिए, और प्लांशरेल से $\norm{f'}_2$ में बदल दीजिए।) व्याख्या: कोई संकेत और उसका स्पेक्ट्रम दोनों एक साथ संकेंद्रित नहीं हो सकते।

हल

हल — अभ्यास 14.8.

खंडशः समाकलन ( $f \in \mathcal S$ ; परिसीमा पद लुप्त हो जाते हैं):

1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .

प्लांशरेल और $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ : $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$ । प्रदर्शन का वर्ग करने पर:

\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi} \int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .

बराबरी के लिए कोशी–श्वार्ज़ में बराबरी चाहिए: $\lambda < 0$ (समाकलनीयता) के साथ $f' = \lambda xf$ , अर्थात् $f(x) = c\,\eu^{\lambda x^2/2}$ : अतः गाउसीय। $x$ में संकेंद्रित (छोटा $\norm{xf}_2$ ) किसी संकेत का स्पेक्ट्रम फैला हुआ होना चाहिए, और विलोमतः: यही अनिश्चितता सिद्धांत है।

अभ्यास 14.9 ★★

उदाहरण 14.10 को विस्तार से उचित ठहराइए (गाउसीय के लिए प्वासों की परिकल्पनाएँ), और इस सर्वसमिका से तीन पदों में $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ का छह दशमलव तक मान निकालिए। $t = 10^{-2}$ पर उतनी ही यथार्थता के लिए परिभाषक श्रेणी के कितने पद चाहिए होते, और रूपांतरित श्रेणी के कितने?

हल

हल — अभ्यास 14.9.

गाउसीय $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ श्वार्ट्स है, अतः प्रमेय 14.9 लागू होती है, और $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ; और $\xi = 2\pi k$ पर दायाँ पक्ष $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$ बन जाता है: यही थीटा सर्वसमिका है। $t = 1$ पर:

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} + \cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,

जो तीन पदों के साथ $6$ दशमलव स्थानों तक यथार्थ है ( $\eu^{-9\pi} \approx 5\cdot10^{-13}$ )। $t = 10^{-2}$ पर: परिभाषक श्रेणी को $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$ चाहिए, अर्थात् $n \gtrsim 23$ — लगभग $47$ पद — जबकि रूपांतरित श्रेणी $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$ है, जहाँ पहले से ही $k = 1$ पद $\sim 10^{-136}$ है: एक ही पद पर्याप्त है।

अभ्यास 14.10 ★★

(आवृत्ति-सीमित फलन) मान लीजिए $f \in L^2(\R)$ ऐसा है कि $\mathcal Ff$ $\intcc{-\pi}\pi$ में आलंबित है। दर्शाइए कि $f$ का कोई ऐसा प्रतिनिधि है जिसका प्रत्येक मान प्रतिदर्शों से पुनः प्राप्त किया जा सकता है: $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ (प्रमेय 13.9) के फूरिये आधार में $\mathcal Ff$ का प्रसार करके और पदशः प्रतिलोम रूपांतर लेकर पूर्णांकों पर शैनन अंतर्वेशन

f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\, \frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)} \quad L^2 \text{ में},

सिद्ध कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ (परिमित माप), अतः प्रतिलोमन प्रमेय 13.9 के संकेतन में

f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal Ff\rangle

वाला संतत प्रतिनिधि $f(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ दे देती है। उस हिल्बर्ट आधार में प्रसार करने पर: $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ में $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ । $L^2$ -संतत $\mathcal F^{-1}$ को पदशः लगाइए:

\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf 1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi = \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,

जिससे $L^2$ में $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ मिलता है: अर्थात् कोई आवृत्ति-सीमित संकेत अपने पूर्णांक प्रतिदर्शों से निर्धारित हो जाता है — शैनन की प्रतिचयन प्रमेय।

अभ्यास 14.11 ★★

(चतुर्थ कोटि के संकारक के रूप में रूपांतर) $\mathcal S(\R)$ पर मान लीजिए $\mathcal F f = \hat f$ । (क) प्रतिलोमन सूत्र का उपयोग करके $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi\,f(-x)$ दर्शाइए, और $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\, \mathrm{id}$ निष्कर्ष निकालिए। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $\mathcal S$ पर $\mathcal F$ का प्रत्येक अभिलक्षणिक मान $\{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ में है, और $+\sqrt{2\pi}$ के लिए एक अभिलक्षणिक फलन प्रस्तुत कीजिए (इस अध्याय का कौन-सा फलन अपने ही रूपांतर के समानुपाती है?)। (ग) दर्शाइए कि सम फलन $\mathcal F^2f = 2\pi f$ को और विषम फलन $\mathcal F^2f = -2\pi f$ को संतुष्ट करते हैं; और $x\eu^{-x^2/2}$ से अभिलक्षणिक मान $-\iu\sqrt{2\pi}$ के लिए एक अभिलक्षणिक फलन बनाइए, उसका रूपांतर परिकलित करके (गाउसीय के रूपांतर का अवकलन कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 14.11.

(क) $\mathcal S$ पर प्रतिलोमन: $f(x) = \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$ , अर्थात् $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$ । दो बार लगाने पर: $\mathcal F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$ ।

(ख) यदि $f \neq 0$ के साथ $\mathcal Ff = \lambda f$ हो: तो $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$ , अतः $\lambda^4 = (2\pi)^2$ : $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ । गाउसीय $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ का $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ है ( $a = \frac12$ पर उदाहरण 14.2): अर्थात् $+\sqrt{2\pi}$ के लिए अभिलक्षणिक फलन।

(ग) समता के अनुसार $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ $\pm2\pi f$ के बराबर होता है। $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$ के लिए: नियम $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ के साथ $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ का अवकलन करने पर

\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi} \eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2} = -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :

अर्थात् $-\iu\sqrt{2\pi}$ के लिए कोई अभिलक्षणिक फलन। (एर्मीत फलन इस प्रतिरूप को जारी रखते हैं और चारों अभिलक्षणिक मानों से चक्र लगाते हैं — अर्थात् विविक्त फूरिये घड़ी।)

अभ्यास 14.12 ★★

(स्वसहसंबंध और वीनर की प्रमेयिका) $f \in L^2(\R)$ के लिए $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ और स्वसहसंबंध $A_f = f * \tilde f$ परिभाषित कीजिए। (क) दर्शाइए कि $A_f$ एक परिबद्ध संतत फलन है जिसके लिए सभी $x$ पर $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ (अभ्यास 12.6 और कोशी–श्वार्ज़)। (ख) पहले $f \in L^1\cap L^2$ के लिए दर्शाइए कि $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$ : अर्थात् स्वसहसंबंध का रूपांतर अऋणात्मक होता है — स्वसहसंबंधों के स्पेक्ट्रम शक्ति स्पेक्ट्रम होते हैं। (ग) सर्वसमिका $\int_\R\abs{\hat f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए (प्रतिलोमन; जब $\hat f \in L^2$ के लिए $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ हो तब उसकी प्रयोज्यता उचित ठहराइए), और उसे $x = 0$ पर $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ के लिए परिकलित कीजिए: $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ पुनः प्राप्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.12.

(क) $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$ के साथ $\tilde f \in L^2$ ; अभ्यास 12.6 (संयुग्म घातांक $p = q = 2$ ) $A_f = f * \tilde f$ को परिबद्ध और एकसमान रूप से संतत बना देता है, जिसमें कोशी–श्वार्ज़ से

A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y, \qquad A_f(0) = \norm f_2^2, \qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot - x)}_2 = A_f(0)

(ख) $f \in L^1\cap L^2$ के लिए: $\tilde f \in L^1$ भी, और संवलन प्रमेय $\widehat{A_f} = \hat f\, \widehat{\tilde f}$ देती है; परिकलन करने पर $\widehat{\tilde f}(\xi) = \int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} = \overline{\hat f(\xi)}$ : $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ ।

(ग) जब $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ हो, तब प्रतिलोमन संतत $A_f$ पर लागू होती है (उसका रूपांतर समाकलनीय है; प्रमेय 14.5):

A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2 \eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .

$f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ के लिए: $\hat f(\xi) = \frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$ , और $x = 0$ पर:

1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R \Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u

( $\xi = 2u$ ), अर्थात् $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ — प्लांशरेल का प्रिय समाकल, स्व-सहसंबंध से पुनः प्राप्त।

14.6 समस्या: रेखा पर ऊष्मा समीकरण

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ , आरंभ से अंत तक हल

ऊष्मा फैलती है; समीकरण $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ कहता है कि उसका घनत्व ताप-रूपरेखा की स्थानीय वक्रता से दी गई दर पर विसरित होता है। हम $\R$ पर कोशी समस्या हल करते हैं — $f$ दिया हो तो $u(0, \cdot) = f$ के साथ $t > 0$ के लिए $u(t, x)$ ढूँढ़िए — हल के उल्लेखनीय गुण सिद्ध करते हैं, और देखते हैं कि समय उलटा क्यों नहीं जा सकता। सर्वत्र $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ ऊष्मा नाभिक है और $u(t, \cdot) = g_t * f$ ।

भाग I — नाभिक की व्युत्पत्ति। पहले औपचारिक रूप से कार्य कीजिए: मान लीजिए $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ समीकरण को हल करता है, और मान लीजिए $\hat u(t, \xi)$ $x$ में रूपांतर है।

(औपचारिक रूप से) दर्शाइए $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , अतः $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , और $u(t) = g_t * f$ पहचानिए (अभ्यास 14.4)। इससे $u$ की परिभाषा प्रेरित होती है; अब सब कुछ सीधे सिद्ध होगा, $f \in \mathcal C_b(\R)$ (परिबद्ध संतत) अथवा $f \in L^p$ के लिए।

भाग II — सत्यापन।

दर्शाइए कि $t > 0$ के लिए $f \in \mathcal C_b$ पर $u(t, x) = \int g_t(x-y)f(y)\dd y$ सुपरिभाषित है, और यह कि $\intoo0\infty\times\R$ पर $(t, x)$ में $u$ $\mathcal C^\infty$ है (समाकल के भीतर अवकलन कीजिए; गाउसीय अवकलजों को $(t,x)$ में स्थानीय रूप से एकसमान ढंग से प्रभावित कीजिए)।
सीधे परिकलन से $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ सत्यापित कीजिए, और $t > 0$ के लिए $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ निष्कर्ष निकालिए।
(आरंभिक शर्त) दर्शाइए कि $f \in \mathcal C_b$ के लिए $t \to 0^+$ पर संहतों पर एकसमान रूप से $u(t, x) \to f(x)$ (आसन्न तत्समक: $\abs y \leq \delta$ , $\abs y > \delta$ में बाँटिए); और $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ) के लिए $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ दर्शाइए।
(तात्क्षणिक चिकनाई) निष्कर्ष निकालिए: केवल परिबद्ध संतत $f$ के लिए भी हल प्रत्येक $t > 0$ पर $\mathcal C^\infty$ होता है — ऊष्मा तत्काल खुरदरापन मिटा देती है। $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ के लिए $u(t, \cdot)$ स्पष्ट परिकलित कीजिए (एक त्रुटि फलन) और $t$ के तीन मानों के लिए उसकी रूपरेखा खींचिए।

भाग III — संरचनात्मक गुण।

(धनात्मकता और तुलना) यदि $f \geq 0$ हो, तो सभी $t > 0$ के लिए $u > 0$ (और कड़ाई से, जब तक लगभग सर्वत्र $f = 0$ न हो); और यदि $f_1 \leq f_2$ हो, तो $u_1 \leq u_2$ । कोई ठंडा स्थान तत्काल गर्म हो जाता है: टिप्पणी कीजिए।
(संरक्षण) $f \in L^1$ के लिए: सभी $t$ पर $\int u(t, x)\dd x = \int f$ (टोनेली) — अर्थात् कुल ऊष्मा संरक्षित रहती है।
(अपव्यय) $f \in L^1\cap L^2$ के लिए प्लांशरेल के माध्यम से दर्शाइए कि $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ अनवर्धी है, और कड़ाई से जब तक $f = 0$ न हो, तथा $t \to \infty$ पर उसकी सीमा परिकलित कीजिए। इसके अतिरिक्त $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ भी दर्शाइए: ऊष्मा फैलती है और मर जाती है।
(अद्वितीयता, $L^2$ वर्ग) मान लीजिए $u$ ऐसा हल है जिसके लिए सभी $t$ पर $u(t) \in L^2$ , स्वाभाविक अर्थ में $u \in \mathcal C^1(\intoo0\infty, L^2)$ , और $t\to0$ पर $L^2$ में $u(t) \to f$ ; और यह स्वीकार करते हुए कि रूपांतर उसे लगभग प्रत्येक $t$ के लिए $\xi$ में बिंदुशः लगभग सर्वत्र $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ में बदल देता है ( $\xi$ में $\mathcal C_c^\infty$ के सापेक्ष परीक्षा लेकर उचित ठहराया गया — इसकी रूपरेखा दीजिए), दर्शाइए कि $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , अतः इस वर्ग में अद्वितीयता।

भाग IV — समय का तीर।

दर्शाइए कि पश्चगामी समस्या दुर्विन्यस्त है: समय $0$ पर आँकड़े $f$ देकर समय $-s$ ( $s > 0$ ) पर हल के अस्तित्व के लिए — अर्थात् $f = g_s * h$ का कोई हल $h \in L^2$ होने के लिए — यह आवश्यक है कि $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : अर्थात् $\hat f$ पर एक अत्यंत कठोर क्षय शर्त। ऐसा कोई स्पष्ट चिकना $f \in L^2$ प्रस्तुत कीजिए जिसके लिए किसी भी समय अंतराल पर कोई पश्चगामी हल विद्यमान न हो: $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ वाला फलन लीजिए — $f$ पहचानिए (अभ्यास 14.1) और प्रत्येक $s > 0$ के लिए $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ दर्शाइए।
(चिकनाई बनाम सूचना) प्रश्न 5, 9 और 10 का उपयोग करते हुए एक छोटे अनुच्छेद में समझाइए कि ऊष्मा अर्धसमूह $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ $L^2$ पर एकैकी क्यों है पर आच्छादक नहीं, और यह विसरण की अनुत्क्रमणीयता को कैसे व्यक्त करता है।

भाग V — शैनन की प्रतिचयन प्रमेय। कोई फलन $f \in L^2(\R)$ $\Omega$ तक आवृत्ति-सीमित कहलाता है यदि $\intcc{-\Omega}\Omega$ के बाहर लगभग सर्वत्र $\hat f = 0$ हो; ऐसे फलनों के लिए $PW_\Omega$ (पेली–वीनर समष्टि) लिखिए।

दर्शाइए कि प्रत्येक $f \in PW_\Omega$ लगभग सर्वत्र $\mathcal C^\infty$ फलन $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ के बराबर है (चिकनाई और यह पहचान उचित ठहराइए), और उसके सभी अवकलज परिबद्ध होते हैं: अर्थात् आवृत्ति-सीमा नियमितता का एक चरम रूप है। आगे से $f$ इसी प्रतिनिधि को निरूपित करेगा।
$\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ का उस अंतराल के फूरिये आधार में प्रसार कीजिए और गुणांकों को $f$ के प्रतिदर्श के रूप में पहचानिए:

$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z} f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\, \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega} \quad L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \text{ में} .$
प्रतिचयन प्रमेय निष्कर्ष के रूप में निकालिए: $f \in PW_\Omega$ के लिए

$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi} \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi), \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$

जिसमें अभिसरण $L^2(\R)$ में और $\R$ पर एकसमान रूप से होता है (प्रश्न 13 की श्रेणी को प्रतिलोमन सूत्र में डालिए और प्रारंभिक समाकल परिकलित कीजिए): अर्थात् कोई आवृत्ति-सीमित संकेत पूर्णतः चरण $\pi/\Omega$ की जालिका पर अपने मानों से निर्धारित हो जाता है — नाइक्विस्ट दर।
दर्शाइए कि फलन $x \mapsto \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , $L^2(\R)$ में एक लांबिक कुल बनाते हैं जिनका मानक अचर $\sqrt{\pi/\Omega}$ है, और ऊर्जा सर्वसमिका $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए।
(छद्मन) ऐसा कोई शून्येतर $g \in PW_{2\Omega}$ प्रस्तुत कीजिए जो प्रत्येक प्रतिदर्श बिंदु $\frac{n\pi}\Omega$ पर लुप्त हो जाए ( $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ पर विचार कीजिए और उसका आवृत्ति-परास जाँचिए): अर्थात् नाइक्विस्ट दर से नीचे प्रतिचयन सूचना खो देता है — दो भिन्न संकेतों के सभी प्रतिदर्श एक हो सकते हैं: गणितीय रूप में वही स्ट्रोबोस्कोपी पहिया प्रभाव।
(स्वातंत्र्य कोटियाँ) प्रश्न 14–15 का उपयोग करते हुए अभियांत्रिकी का नियम उचित ठहराइए: $\Omega$ तक आवृत्ति-सीमित और जिसकी ऊर्जा मूलतः लंबाई $T$ की समय-खिड़की में हो, ऐसा संकेत लगभग $\frac{\Omega T}\pi$ वास्तविक प्रतिदर्शों से वर्णित हो जाता है — “मूलतः” को ऊर्जा सर्वसमिका और पुच्छ $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ के माध्यम से यथार्थ बनाइए।
(संगति जाँच) प्रतिचयन प्रमेय $PW_\Omega$ के दो सदस्यों पर हाथ से सत्यापित कीजिए: (क) $f = \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , जिसके प्रतिदर्श $\delta_{n0}$ हैं; (ख) $f(x) = \cos(\omega x) \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ प्रकार के संकीर्ण-पट्टी संकेत — अधिक ठीक-ठीक, दर्शाइए कि $\Omega' < \Omega$ वाले $f \in PW_{\Omega'}$ के लिए $\Omega$ -दर वाली श्रेणी भी $f$ का पुनर्निर्माण कर देती है (अति-प्रतिचयन हानिरहित है), और वह भी $PW_ {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ को अंतःस्थापित करके।

भाग VI — अनिश्चितता, दो बार और। हाइजेनबर्ग की असमिका (अभ्यास 14.8) यह परिबद्ध करती है कि $f$ और $\hat f$ एक साथ कितने संकेंद्रित हो सकते हैं; यहाँ उसका सब-या-कुछ-नहीं वाला सहोदर और उसकी यथार्थ संतृप्ति है।

मान लीजिए $\operatorname{supp}f \subseteq \intcc{-A}A$ के साथ $f \in L^1$ । दर्शाइए कि $\hat f$ सर्वत्र अभिसारी एक घात श्रेणी का योग है:

$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!} \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x, \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$

( $\eu^{-\iu\xi x}$ का प्रसार कीजिए और प्रसामान्य अभिसरण से अदला-बदली उचित ठहराइए): अर्थात् रूपांतर वास्तविक-वैश्लेषिक है, और प्रत्येक बिंदु पर उसकी अभिसरण त्रिज्या अनंत है।
आलंब द्विभाजन निष्कर्ष के रूप में निकालिए: किसी अरिक्त विवृत अंतराल पर लुप्त होने वाला वास्तविक-वैश्लेषिक फलन सर्वथा लुप्त होता है (वह समुच्चय जहाँ सभी अवकलज लुप्त हैं विवृत और संवृत दोनों है — टेलर तर्क विस्तार से लिखिए); निष्कर्ष निकालिए कि किसी भी शून्येतर $f$ के लिए $f$ और $\hat f$ दोनों संहत आलंब वाले नहीं हो सकते, और यह कि $PW_\Omega$ में कोई शून्येतर संहत आलंब वाला फलन नहीं है — आवृत्ति-सीमित संकेत सदा बने रहते हैं, और समय-सीमित संकेत सभी आवृत्तियों में रिस जाते हैं।
(हाइजेनबर्ग की संतृप्ति) गाउसीय कुल $f = \eu^{-ax^2}$ पर दोनों संकेंद्रण गुणक परिकलित कीजिए और सत्यापित कीजिए कि मानकीकृत गुणनफल $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ प्रत्येक $a$ के लिए $\frac14$ के बराबर है — अर्थात् अभ्यास 14.8 का समता-कुल साक्षात रूप में; और किसी मापन तर्क से समझाइए कि इस कुल के अनुदिश यह गुणनफल अचर क्यों होना ही चाहिए।
भौतिक पाठ समझाइए (किसी क्वांटम अवस्था के स्थिति/संवेग घनत्व; मानकीकरण में $\hbar$ से $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ मिलता है), और अध्याय भर संबंध जोड़िए: तात्क्षणिक चिकनाई (भाग II), अनुत्क्रमणीयता (भाग IV), प्रतिचयन (भाग V), हाइजेनबर्ग और आलंब द्विभाजन — ये एक ही नियम की पाँच अभिव्यक्तियाँ हैं: अनंत पर $\hat f$ का व्यवहार यह तय कर देता है कि $f$ कहीं भी क्या कर सकता है।

भाग VII — नाभिक का बीजगणित, और एक हल्य उदाहरण।

(अर्धसमूह) $t, s > 0$ के लिए चैपमैन–कोलमोगोरोव सर्वसमिका $g_t * g_s = g_{t+s}$ सिद्ध कीजिए (संवलन प्रमेय और $L^1$ पर रूपांतर के एकैकीपन से), और $u(t + s) = g_s * u(t)$ निष्कर्ष निकालिए: समय $t + s$ तक विकसित होना पहले $t$ तक, फिर $s$ तक विकसित होना ही है। प्रश्न 8 के अपव्यय को तीक्ष्ण कीजिए: $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ लिखकर कोशी–श्वार्ज़ से दर्शाइए कि

$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2 \quad \intoo0{+\infty} \text{ पर उत्तल है} :$

अर्थात् $L^2$ ऊर्जा केवल घटती ही नहीं, बल्कि लघुगणकीय उत्तल ढंग से घटती है।
(ऊष्मा कहाँ जाती है) मान लीजिए $f \geq 0$ , $f \in L^1$ , जिसमें $\int x^2f(x)\dd x < \infty$ । दर्शाइए कि सभी $t > 0$ के लिए

$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x, \qquad \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$

अर्थात् ऊष्मा का केंद्र कभी नहीं हिलता, और प्रसरण समय में रैखिक रूप से बढ़ता है — विसरणीय मापन $x \sim \sqrt{2t}$ , जिसे अध्याय 22 में ब्राउनी गति आने पर फिर से पढ़ना चाहिए। ( $g_t$ के पहले दो आघूर्ण परिकलित कीजिए और संवलन पर टोनेली का उपयोग कीजिए।)
(गाउसीय, आरंभ से अंत तक हल) $f(x) = \eu^{-x^2}$ के लिए संवृत रूप

$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\, \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$

स्थापित कीजिए और उस पर हाथ से सत्यापित कीजिए: समीकरण $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ; संरक्षण $\int u(t) = \sqrt\pi$ ; अपव्यय नियम $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (उसके $t^{-1/4}$ क्षय की तुलना प्रश्न 8 के $t^{-1/2}$ उच्चतम-मानक क्षय से कीजिए); और प्रश्न 24 की यथार्थ प्रसरण वृद्धि। $t = 6$ पर: शिखर गिरकर अपनी आरंभिक ऊँचाई का $\frac15$ रह जाता है जबकि रूपरेखा पाँच गुना चौड़ी हो जाती है — वही ऊष्मा, फैली हुई।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. समीकरण का $x$ में (औपचारिक रूप से) रूपांतर लेने पर: $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} = (\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$ , जो प्रत्येक आवृत्ति के लिए $t$ में कोई साधारण अवकल समीकरण है: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ । चूँकि $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ (अभ्यास 14.4), अतः गुणनफल $g_t * f$ का रूपांतर है।

2. $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm f_\infty$ : सुपरिभाषित। $[t_0, T]\times[-A, A]$ पर: प्रत्येक मिश्रित अवकलज $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ $(x - y)$ और $t^{-1}$ में कोई बहुपद गुणा $\eu^{-(x-y)^2/4t}$ है, जो $\abs y \geq 2A$ के लिए $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$ से परिबद्ध है — अर्थात् उस खिड़की में $(t, x)$ से स्वतंत्र कोई समाकलनीय प्रभावी फलन (और $\abs y \leq 2A$ के लिए परिबद्ध): अतः समाकल के भीतर बार-बार अवकलन (प्रमेय 10.15) लागू होता है: $u \in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$ ।

3. $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ के साथ:

\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr) = \partial^2_{xx}g_t

( $x$ में दो बार अवकलन कीजिए: $\partial_xg_t = -\frac x{2t}g_t$ , $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\bigr)g_t$ )। प्रश्न 2 से अवकलज समाकल के भीतर चले जाते हैं: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ।

4. $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\dd y$ । कोई संहत $K$ और $\varepsilon$ दिया हो: $K$ के किसी प्रतिवेश पर $f$ की एकसमान सांतत्य $x \in K$ , $\abs y \leq \delta$ के लिए $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ वाला $\delta$ दे देती है; और पुच्छ $\delta$ के परे $\leq 2\norm f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm f_\infty\,\P$ -द्रव्यमान का योगदान देती है, जो $t \to 0$ पर $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z \to 0$ है। $f \in L^p$ के लिए: $\norm{u(t) - f}_p \leq \int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (प्रमेय 12.9 की भाँति मिन्कोव्स्की/येंसन), प्रमेय 12.6(3) का उपयोग करते हुए उसी प्रकार विभाजित कीजिए।

5. तात्कालिक मृदुकरण प्रश्न 2 है ( $t > 0$ के लिए $u(t)$ $\mathcal C^\infty$ है, और $f$ की किसी चिकनाई का उपयोग नहीं हुआ)। $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ के लिए:

\begin{gather*} u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y = \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z = \frac12\Bigl(1 + \operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr), \\ \operatorname{erf}(s) = \frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z : \end{gather*}

अर्थात् कोई मृदुकृत सोपान जिसका संक्रमण क्षेत्र $\sqrt t$ की भाँति चौड़ा होता है ( $t_1 < t_2 < t_3$ पर परिच्छेद: $(0, \frac12)$ से होकर उत्तरोत्तर चपटी ढालें)।

6. समाकल्य $g_t(x-y)f(y)$ $\geq 0$ है और अष्टि कड़ाई से धनात्मक है: अतः $u(t,x) = 0$ से लगभग सर्वत्र $f = 0$ अनिवार्य हो जाता। $f$ में एकदिष्टता समाकल की एकदिष्टता है। किसी अंतराल पर जहाँ $f = 0$ हो वहाँ भी प्रत्येक $t > 0$ के लिए $u(t, \cdot) > 0$ रहता है: अर्थात् ऊष्मा अनंत गति से फैलती है (कहीं भी कोई धनात्मकता तत्काल सर्वत्र अनुभव होती है)।

7. टोनेली ( $g_t(x-y)\abs{f(y)}$ $\R^2$ पर समाकलनीय है): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x - y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$ ।

8. प्लांशरेल: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 = \int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ , जो $t$ में (बिंदुशः) अनवर्धमान है, और कड़ाई से जब तक लगभग सर्वत्र $\hat f = 0$ न हो ( $= f = 0$ ), जिसकी सीमा प्रभावी अभिसरण प्रमेय से $t\to\infty$ पर $0$ है। और $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 = \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ ।

9. $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ के लिए $t \mapsto \langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ अवकलज $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle = \langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle = \langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ के साथ $\mathcal C^1$ है — ठीक-ठीक, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ समीकरण को अंतरित कर देता है। तब लगभग प्रत्येक $\xi$ के लिए निरपेक्षतः संतत फलन $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ का अवकलज समाकलित अर्थ में $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ है: अतः वह अचर है, और $t \to 0$ लेने पर ( $L^2$ में $\hat u(t) \to \hat f$ , किसी उपानुक्रम के अनुदिश लगभग सर्वत्र): लगभग सर्वत्र $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ । इस वर्ग के दो हलों का रूपांतर एक ही है: अतः वे बराबर हैं।

10. $h \in L^2$ के साथ $f = g_s * h$ से $\hat f = \eu^{-s\xi^2}\hat h$ अनिवार्य हो जाता है, अर्थात् $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in L^2$ । $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ लीजिए: तब $f(x) = \frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ (अभ्यास 14.1, प्रतिलोमन), जो पूर्णतया चिकना $L^2$ फलन है; पर $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to \infty$ : अतः प्रत्येक $s > 0$ के लिए $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ । कोशी परिच्छेद कभी किसी पूर्ववर्ती विसरण का परिणाम नहीं होता।

11. ऊष्मा अर्धसमूह रूपांतरों को $\eu^{-t\xi^2}$ से गुणा करता है, जो कहीं भी लुप्त नहीं होता: अतः एकैकी — औपचारिक रूप से कोई सूचना नष्ट नहीं होती। पर उसके परास में ऐसे फलन हैं जिनके रूपांतर $\eu^{-t\xi^2}$ की भाँति क्षय होते हैं: अर्थात् $L^2$ की एक नन्ही, सघन-पर-उचित उपसमष्टि (प्रश्न 10 दिखा देता है कि उत्कृष्ट फलन भी बाहर रह जाते हैं)। प्रतिलोमन आवृत्ति $\xi$ को $\eu^{t\xi^2}$ से आवर्धित करता: अपरिबद्ध, अतः किसी भी विक्षोभ के विरुद्ध अस्थिर। विसरण अनुत्क्रमणीय इसलिए नहीं है कि प्रतिचित्रण भूल जाता है, बल्कि इसलिए कि उसका प्रतिलोम संतत नहीं हो सकता — फलनीय विश्लेषण से बना समय का तीर।

12. $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \subseteq L^1$ (किसी परिबद्ध अंतराल पर कोशी–श्वार्ज़), अतः $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ सर्वत्र परिभाषित है, और समाकल के भीतर अवकलन (पट्टी पर $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ का प्रभुत्व) उसे सर्वत्र $\abs{F^{(k)}} \leq \frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ के साथ $\mathcal C^\infty$ बना देता है। और लगभग सर्वत्र $F = f$ : दोनों पक्षों का रूपांतर एक ही है, और रूपांतर $L^2$ पर एकैकी है (प्रमेय 14.8 और उसका $L^2$ विस्तार)।

13. चरघातांकी $\xi \mapsto \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}$ , $n \in \Z$ , $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ का कोई हिल्बर्ट आधार बनाते हैं (प्रमेय 13.9, पुनःमापित)। $n$ -वें के अनुदिश $\hat f$ का गुणांक प्रश्न 12 के सूत्र से $x = \frac{n\pi}\Omega$ पर

\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\, \eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\, \eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),

है: अतः कहा गया प्रसार पट्टी के $L^2$ में लागू है।

14. प्रश्न 12 के प्रतिलोमन सूत्र में यह प्रसार डालिए; योग और समाकल की अदला-बदली $\frac1{2\pi} \eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ के सापेक्ष $L^2$ युग्मन की सांतत्य है (जिसका $L^2$ मानक $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$ है और जो $x$ से स्वतंत्र है — और यहीं से एकसमानता आती है):

f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot \frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr) \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),

क्योंकि $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$ ।

15. प्रश्न 14 के परिकलन को उल्टा पढ़ने पर $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ का रूपांतर $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$ है। प्लांशरेल:

\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi} \Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :

अर्थात् अचर मानक $\sqrt{\pi/\Omega}$ वाला कोई लांबिक कुल। प्रश्न 14 के प्रसार में मानक लेने पर: $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ ।

16. $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc} (\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ प्रत्येक जालक बिंदु $\frac{n\pi}\Omega$ पर लुप्त होता है (सीमा से $0$ सहित) और सर्वथा शून्य नहीं है। उसकी पट्टी: $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ लिखिए; $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ से माडुलन रूपांतर को $\mp\Omega$ से विस्थापित कर देता है, अतः $\hat g$ का आलंब $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ में है (वस्तुतः दो विस्थापित पट्टियों के संघ में): $g \in PW_{2\Omega}$ , जो $\Omega$ -दर के प्रतिचयन को अदृश्य है — साकार रूप में अन्य-नामकरण।

17. प्रश्न 15 से प्रतिदर्श ऊर्जा को लोकतांत्रिक ढंग से ढोते हैं: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum \abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ । यदि समय खिड़की $\intcc{-T/2}{T/2}$ के बाहर संकेत की ऊर्जा $\leq \varepsilon^2\norm f^2$ हो, तो खिड़की के बाहर के प्रतिदर्श (प्रश्न 12 के एकसमान परिबंध से नियंत्रित परिसीमा पदों तक) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2} \abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x > T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$ संतुष्ट करते हैं: अतः प्रतिचयन श्रेणी को $\approx \frac{\Omega T}\pi$ खिड़की-भीतरी सूचकांकों तक कर्तित करने पर $f$ की सापेक्ष त्रुटि $\approx\varepsilon$ तक पुनर्रचना हो जाती है। इसलिए समय–पट्टचौड़ाई गुणनफल $\frac{\Omega T}{\pi}$ संकेत की प्रभावी वास्तविक स्वातंत्र्य कोटियाँ गिनता है — हर श्रव्य प्रारूप के पीछे यही नियम है।

18. (क) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ के प्रतिदर्श $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) = \delta_{n0}$ हैं: अतः श्रेणी अपने $n = 0$ पद तक सिमट जाती है, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — प्रमेय अपनी ही अष्टि को पुनरुत्पन्न कर देती है। (ख) यदि $\hat f$ का आलंब $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq \intcc{-\Omega}\Omega$ में हो, तो प्रश्न 13–14 का प्रत्येक चरण बड़ी पट्टी $\Omega$ के साथ अक्षरशः चलता है (बड़े अंतराल पर $\hat f$ का प्रसार अब भी वैध है): अतः अपनी ही नाइक्विस्ट दर से तेज़ प्रतिचयन पुनर्रचना में कुछ नहीं बदलता — अधि-प्रतिचयन हानिरहित है, और व्यवहार में लाभकारी (तब तेज़ी से क्षय होने वाली पुनर्रचना अष्टियाँ प्रयुक्त की जा सकती हैं)।

19. समाकल के भीतर $\eu^{-\iu\xi x} = \sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ का प्रसार कीजिए; $\intcc{-A}A$ पर श्रेणी प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है ( $\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$ ), अतः पदशः समाकलन वैध है:

\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k, \qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .

यह परिबंध श्रेणी को प्रत्येक सम्मिश्र $\xi$ के लिए अभिसारी बना देता है; और किसी भी बिंदु $\xi_0$ के चारों ओर पुनःसमूहन (निरपेक्ष अभिसरण) $\xi - \xi_0$ में कोई घात श्रेणी दे देता है: अतः $\hat f$ सर्वत्र अनंत त्रिज्या के साथ वास्तविक-वैश्लेषिक है।

20. मान लीजिए $g$ $\R$ पर वास्तविक-वैश्लेषिक है (प्रत्येक बिंदु के निकट टेलर श्रेणी $g$ पर अभिसरित होती है) और $Z = \{\xi : g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$ । $Z$ संवृत है (संवृत समुच्चयों का प्रतिच्छेद); और वह विवृत भी है, क्योंकि $\xi_0 \in Z$ पर $g$ का स्थानीय टेलर प्रसार शून्य श्रेणी है, अतः $g$ $\xi_0$ के निकट अपने सभी अवकलजों सहित सर्वथा लुप्त हो जाता है। यदि $g$ किसी अंतराल पर लुप्त हो, तो $Z \neq \varnothing$ ; और $\R$ की संबद्धता से $Z = \R$ : $g \equiv 0$ । अब यदि $f \neq 0$ का $\hat f$ के साथ संहत आलंब होता: प्रश्न 19 $\hat f$ को वास्तविक-वैश्लेषिक बना देता है, जो किसी संहत के बाहर, अतः अंतरालों पर, लुप्त होता है: $\hat f \equiv 0$ , अतः एकैकीयता से लगभग सर्वत्र $f = 0$ — विरोधाभास। इसी प्रकार कोई शून्येतर $f \in PW_\Omega$ संहत आलंबित नहीं हो सकता (प्रतिलोमन के माध्यम से $f$ और $\hat f$ की भूमिकाएँ बदल दीजिए): आवृत्ति-सीमित संकेत कभी मरते नहीं, और समय-सीमित संकेत अपरिबद्ध स्पेक्ट्रम घेरते हैं।

21. $f = \eu^{-ax^2}$ के लिए: $\norm f_2^2 = \sqrt{\frac\pi{2a}}$ और $\int x^2\abs f^2 = \frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (गाउसीय द्वितीय आघूर्ण); $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ (उदाहरण 14.2) और

\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2 \eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a} = \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .

मानकीकृत गुणनफल: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot \frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$ , जो $a$ से स्वतंत्र है। मापन इस अचरता को समझा देता है: $f$ को $f(\lambda\cdot)$ से बदलने पर $\int x^2\abs f^2/\norm f^2$ $\lambda^{-2}$ से और $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2/\norm f^2$ $\lambda^{2}$ से गुणा हो जाता है: अतः गुणनफल कोई प्रसार निश्चर है, और गाउसीय एक ही प्रसार कक्षा बनाते हैं।

22. $\abs f^2$ किसी क्वांटम अवस्था का स्थिति घनत्व और $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ उसका संवेग घनत्व हो (भौतिक मात्रक $\hbar$ डाल देते हैं), तो अभ्यास 14.8 $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ के रूप में पढ़ी जाती है: कोई भी अवस्था दोनों प्रेक्ष्यों में तीक्ष्ण नहीं होती। इस अध्याय भर में एक ही नियम पाँच वेश धारण करता है: ऊष्मा तत्काल मृदु कर देती है क्योंकि $\eu^{-t\xi^2}$ उच्च आवृत्तियों को नष्ट कर देता है (भाग II); प्रवाह पीछे नहीं चल सकता क्योंकि उन्हें बहाल करना अपरिबद्ध है (भाग IV); कोई आवृत्ति-सीमित संकेत इतना कठोर है कि वह किसी गणनीय जालक पर रह सके (भाग V); कोई भी फलन हाइज़नबर्ग की तली नहीं तोड़ सकता; और कोई भी फलन रूपांतर के दोनों ओर संहत आलंबित नहीं होता (प्रश्न 19–20)। $\hat f$ अनंत पर जो करता है वही तय करता है कि $f$ कहीं भी क्या कर सकता है।

23. $g_t$ और $g_s$ दोनों $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (प्रश्न 1 का परिकलन) के साथ $L^1$ में हैं, अतः संवलन प्रमेय $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ देती है; और एक ही रूपांतर वाले दो $L^1$ फलन लगभग सर्वत्र सहमत होते हैं (एकैकीयता, प्रतिलोमन प्रमेय के माध्यम से — यहाँ दोनों पक्ष संतत हैं, अतः वे सर्वत्र सहमत हैं): $g_t * g_s = g_{t+s}$ । परिणामतः $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (संवलन की साहचर्यता, टोनेली)। लघुगणकीय उत्तलता: मान लीजिए $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (प्लांशरेल, प्रश्न 8)। $t = \frac{t_1 + t_2}2$ के लिए

\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2 = \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},

लिखिए, और कोशी–श्वार्ज़ $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq \sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$ दे देता है: अतः $\ln N$ मध्यबिंदु-उत्तल है, और संतत होने के कारण ( $t$ में प्रभावी अभिसरण) उत्तल; और $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$ भी। उत्तल लघुगणक के साथ क्षय: ऊष्मा प्रवाह ऊर्जा को एक झटके में खोकर फिर ठहर नहीं सकता।

24. अष्टि के आघूर्ण: $\int g_t = 1$ ( $f = g_s$ के साथ प्रश्न 7, अथवा सीधे गाउसीय समाकल), $\int x\,g_t(x)\dd x = 0$ (विषम समाकल्य), और $x = 2\sqrt t\,v$ प्रतिस्थापित करने पर

\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x = \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .

संवलन में $x = z + y$ प्रतिस्थापित करने पर और यह ध्यान देने पर कि $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ ( $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$ का उपयोग करते हुए $k \leq 2$ के लिए $\int\abs z^kg_t$ , $\int\abs y^kf$ में से प्रत्येक परिमित है), नीचे के आघूर्ण समाकलों पर फुबिनी और टोनेली लागू होते हैं:

\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,

जो पहला दावा है; और

\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,

जो दूसरा। माध्य जुड़ते हैं, प्रसरण जुड़ते हैं, और अष्टि माध्य $0$ तथा प्रसरण $2t$ का योगदान देती है: अतः समय $t$ के बाद ऊष्मा $\sqrt{2t}$ कोटि की चौड़ाई पर फैल चुकी होती है — दूरी समय के वर्गमूल की भाँति बढ़ती है, जो विसरण का (और अध्याय 22 के ब्राउनी पथों का) हस्ताक्षर है।

25. रूपांतर की ओर: $\hat f(\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$ , अतः $\hat u(t,\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$ , जो $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ का रूपांतर है ( $a = \frac1{1+4t}$ के साथ गाउसीय शब्दकोश $\eu^{-ax^2} \mapsto \sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ ): यही संवृत रूप है। सीधी जाँच, $\sigma = 1 + 4t$ के साथ:

\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma} \Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr) = \partial^2_{xx}u ,

जिसमें दोनों पक्ष $\partial_xu = -\frac{2x}\sigma\,u$ से परिकलित हैं। संरक्षण: सभी $t$ के लिए $\int u(t) = \sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ । अपव्यय:

\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x = \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2} = \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},

अतः $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$ , जो उत्तल लघुगणक के साथ अनवर्धमान है (प्रश्न 23); $L^2$ मानक $t^{-1/4}$ की भाँति क्षय होता है, जो $\norm{u(t)}_\infty$ के $t^{-1/2}$ घातांक का ठीक आधा है — और यह $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ तथा $\norm u_1$ के संरक्षण के संगत है। प्रसरण: $\int x^2u(t) = \frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 = \frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$ , जैसा प्रश्न 24 भविष्यवाणी करता है ( $\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$ , $\int f = \sqrt\pi$ )। $t = 6$ पर: $\sigma = 25$ , शिखर ऊँचाई $u(6, 0) = \frac15$ बनाम $u(0,0) = 1$ , चौड़ाई का मापक्रम प्रारंभिक से $\sqrt\sigma = 5$ गुना, और सर्वत्र $\int u = \sqrt\pi \approx 1.7725$ : अर्थात् धब्बा पाँच गुना नीचा, पाँच गुना चौड़ा, और एक कैलोरी भी लुप्त नहीं।