الكيمياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

13الحركية المعقدة: السلاسل والإنزيمات والتذبذبات

كأس من محلول يُحرَّك يصير عديم اللون، ثم كهرمانيًا، ثم أزرق، ثم عديم اللون من جديد، ويستمر على ذلك دقائق كثيرة؛ وإذا صُبّ في طبق رسم الخليط نفسه حلزونات تدور وتنتقل. وحين وصف بوريس بيلوسوف تفاعلًا كهذا سنة 1951، رُفضت مخطوطته: فقد رأى المحكّم أن النظام الكيميائي لا يمكن أن يذهب ويجيء، لأنه يجب أن ينحدر نحو التوازن. وهو ينحدر فعلًا؛ لكنه لا ينحدر في خط مستقيم. يعالج هذا الفصل آليات ذات خطوات كثيرة تُجدَّد وسائطها: التفاعلات المتسلسلة والانفجارات، والجزيئات التي تحتاج إلى تصادمات كي تتفكك وحدها، والإنزيمات، والتفاعلات المتذبذبة، مع الطرائق التي تتتبع تفاعلات أسرع من أن تُمزج باليد.

ما تعرفه من قبل

عرّف مجلد السنة الأولى آلية التفاعل بأنها تتابع من الخطوات الأولية، والخطوة المحددة للسرعة، وتقريبي التوازن المسبق والحالة المستقرة، والحفازات. وسمّى مجلد السنة الثانية خطوات السلسلة الجذرية (البدء، والانتشار، والإنهاء)، والبادئات الجذرية وطول السلسلة الحركي في البلمرة، وضبط مستقيمات المربعات الصغرى. وأعطى الفصل 12 نظرية الحالة الانتقالية وحد الانتشار البالغ نحو $10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

13.1 التفاعلات المتسلسلة

تعريف 13.1 (التفاعل المتسلسل، حامل السلسلة)

التفاعل المتسلسل تفاعل تُجدَّد فيه وسائط تفاعلية، هي حوامل السلسلة، بدورة من خطوات الانتشار، بحيث يحوّل حدث بدء واحد جزيئات كثيرة من المتفاعلات.

قاس بودنشتاين سنة 1906 سرعة $\ce{H2 + Br2 -> 2 HBr}$ ووجد قانونًا لا تستطيع أي خطوة منفردة أن تنتجه: فالسرعة تكبر كالمقدار $[\ce{Br2}]^{1/2}$ وتنخفض مع تراكم HBr. وقد كُتبت الآلية سنة 1919:

البدء	$\ce{Br2 -> 2 Br}$	$k_1$
الانتشار	$\ce{Br + H2 -> HBr + H}$	$k_2$
الانتشار	$\ce{H + Br2 -> HBr + Br}$	$k_3$
التثبيط	$\ce{H + HBr -> H2 + Br}$	$k_4$
الإنهاء	$\ce{2 Br -> Br2}$	$k_{-1}$

(تُترك ضمنية التصادماتُ مع جسم ثالث M التي تُدخل الطاقة وتُخرجها في خطوتي البدء والإنهاء).

مبرهنة 13.2 (قانون السرعة للتفاعل هيدروجين–بروم)

بتطبيق تقريب الحالة المستقرة على Br وH، تكون سرعة الآلية $v = \frac12\,\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ هي

v = \frac{k[\ce{H2}][\ce{Br2}]^{1/2}}{1 + k'[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]}, \qquad k = k_2\Bigl(\frac{k_1}{k_{-1}}\Bigr)^{1/2},\ k' = \frac{k_4}{k_3}.

برهان. الحالة المستقرة من أجل H: $k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] = k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}]$ . والحالة المستقرة من أجل Br: $2k_1[\ce{Br2}] - k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] + k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] - 2k_{-1}[\ce{Br}]^2 = 0$ . وبجمع المعادلتين تتلاشى حدود الانتشار: $k_1[\ce{Br2}] = k_{-1}[\ce{Br}]^2$ ، ومنه $[\ce{Br}] = (k_1/k_{-1})^{1/2}[\ce{Br2}]^{1/2}$ . عندئذ $[\ce{H}] = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]/(k_3[\ce{Br2}] + k_4[\ce{HBr}])$ و

\frac{\dd[\ce{HBr}]}{\dd t} = k_2[\ce{Br}][\ce{H2}] + k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] - k_4[\ce{H}][\ce{HBr}] = 2k_3[\ce{H}][\ce{Br2}] = \frac{2k_2[\ce{Br}][\ce{H2}]}{1 + (k_4/k_3)[\ce{HBr}]/[\ce{Br2}]},

باستعمال المعادلة الأولى؛ وتعويض $[\ce{Br}]$ يعطي النتيجة. ∎

دورة الانتشار في سلسلة الهيدروجين–البروم: كل دورة تستهلك H2 واحدًا وBr2 واحدًا، وتكوّن جزيئين HBr وتعيد ذرة البروم التي بدأتها. ويغذي البدء الدورة بالحوامل، ويزيلها الإنهاء؛ وتحوّل خطوة التثبيط ذرة H إلى Br من جديد على حساب جزيء HBr تكوَّن من قبل. — دورة الانتشار في سلسلة الهيدروجين–البروم: كل دورة تستهلك $\ce{H2}$ واحدًا و $\ce{Br2}$ واحدًا، وتكوّن جزيئين HBr وتعيد ذرة البروم التي بدأتها. ويغذي البدء الدورة بالحوامل، ويزيلها الإنهاء؛ وتحوّل خطوة التثبيط ذرة H إلى Br من جديد على حساب جزيء HBr تكوَّن من قبل.

آلية الهيدروجين–البروم مكامَلةً خطوة خطوة (ثوابت سرعة نموذجية، ووحدات مختزلة، k' = 0.1): التحويل بدلالة الزمن (يسارًا)، والسرعة 1/2 [ HBr]/ t للآلية الكاملة مقارنةً بقانون الحالة المستقرة (يمينًا). وبعد فترة حث، تتراكم خلالها ذرات البروم، يتطابق المنحنيان بأفضل من 1 %. — آلية الهيدروجين–البروم مكامَلةً خطوة خطوة (ثوابت سرعة نموذجية، ووحدات مختزلة، $k' = 0.1$ ): التحويل بدلالة الزمن (يسارًا)، والسرعة $\frac12\dd[\ce{HBr}]/\dd t$ للآلية الكاملة مقارنةً بقانون الحالة المستقرة (يمينًا). وبعد فترة حث، تتراكم خلالها ذرات البروم، يتطابق المنحنيان بأفضل من 1 %.

طريقة 13.3 (قانون سرعة آلية متسلسلة)

اكتب معادلة حالة مستقرة لكل حامل سلسلة.
اجمعها: فخطوات الانتشار، التي لا تفعل إلا مبادلة حامل بآخر، تتلاشى، فيبقى البدء مساويًا للإنهاء؛ وهذا يعطي تركيز الحامل.
استعمل معادلة أحد الحوامل للتعبير عن الحوامل الأخرى.
اكتب سرعة تكوّن ناتج انطلاقًا من خطوات الانتشار.

عدد دورات الانتشار لكل حدث بدء، هنا $v/k_1[\ce{Br2}]$ ، هو طول السلسلة الحركي في مجلد السنة الثانية؛ وهو في تفاعل الهيدروجين–البروم من رتبة $10^3$ إلى $10^6$ بحسب الظروف. ويفسّر التثبيط بالناتج لماذا تنخفض السرعة أسرع مما تُستهلك المتفاعلات.

13.2 السلاسل المتفرعة والانفجارات

تعريف 13.4 (تفرع السلسلة، حدود الانفجار)

تفرع السلسلة خطوة انتشار تنتج حوامل سلسلة أكثر مما تستهلك، مثل $\ce{H + O2 -> OH + O}$ ، التي تحوّل حاملًا واحدًا إلى اثنين. وحدود الانفجار لخليط هي الضغوط، عند درجة حرارة معينة، التي ينقلب عندها تفاعله البطيء انفجارًا.

قضية 13.5 (محك التفرع)

لتكن الحوامل تنشأ بالسرعة $v_i$ ، وتتضاعف بالتفرع بثابت السرعة $f$ وتختفي بالإنهاء بثابت السرعة $g$ : $\dd n/\dd t = v_i + (f - g)n$ . إذا كان $f < g$ ، آل $n$ إلى القيمة المستقرة $v_i/(g - f)$ ؛ وإذا كان $f > g$ ، نما $n$ أسيًا وانفجر التفاعل.

برهان. للمعادلة الخطية الحل $n(t) = \frac{v_i}{g - f}\bigl(1 - \eu^{-(g - f)t}\bigr)$ ، الذي يؤول إلى $v_i/(g - f)$ حين $g > f$ ؛ وحين $f > g$ يكون الأس موجبًا وينمو $n$ كالمقدار $\eu^{(f - g)t}$ دون حد (حتى تنفد المتفاعلات). ∎

في خلائط الهيدروجين–الأكسجين عند بضع مئات من الدرجات، يكبر $f$ مع الضغط (فهو متناسب مع $[\ce{O2}]$ )، والإنهاء على جدران الوعاء سريع عند الضغط المنخفض (فالجذور تنتشر إليها بسهولة)، والإنهاء بالتصادمات الثلاثية ( $\ce{H + O2 + M -> HO2 + M}$ ) يكبر كمربع الضغط. فيغلب التفرع بين حد أول، تفرضه الجدران، وحد ثانٍ، يفرضه الإنهاء الثلاثي؛ وعند ضغط أعلى أيضًا يظهر حد ثالث لا تستطيع عنده الحرارة المحررة أن تتسرب. وهذا الأخير انفجار حراري، يدفعه النمو الأسي للسرعة مع درجة الحرارة لا التفرع؛ ومعظم الانفجارات الصناعية من هذا النوع.

13.3 التفاعلات الأحادية الجزيئية

يتماكب جزيء مثل السيكلوبروبان وحده، بحركية من الرتبة الأولى عند الضغوط العادية؛ ومع ذلك ينخفض ثابت السرعة عند الضغط المنخفض. فالطاقة اللازمة تأتي من التصادمات.

تعريف 13.6 (آلية ليندمان، منطقة الانحدار)

آلية ليندمان لتفاعل أحادي الجزيئية هي التتابع $\mathrm{A + M \rightleftharpoons A^* + M}$ ( $k_1$ ، $k_{-1}$ )، أي التنشيط وإلغاء التنشيط بالتصادم مع أي جزيء M، متبوعًا بالخطوة $\mathrm{A^* \to P}$ ( $k_2$ ). ومنطقة الانحدار هي مجال الضغوط الذي ينخفض فيه ثابت السرعة المرصود من الرتبة الأولى من قيمته عند الضغط المرتفع نحو سلوك من الرتبة الثانية.

مبرهنة 13.7 (ثابت سرعة ليندمان)

بتقريب الحالة المستقرة من أجل $\mathrm{A^*}$ ، $v = k_{\mathrm{uni}}[\mathrm A]$ حيث

k_{\mathrm{uni}} = \frac{k_1k_2[\mathrm M]}{k_{-1}[\mathrm M] + k_2},

الذي يؤول إلى $k_\infty = k_1k_2/k_{-1}$ عند الضغط المرتفع (الرتبة الأولى) وإلى $k_1[\mathrm M]$ عند الضغط المنخفض (الرتبة الثانية)؛ ويساوي $k_\infty/2$ عند $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$ .

برهان. $\dd[\mathrm{A^*}]/\dd t = k_1[\mathrm A][\mathrm M] - k_{-1}[\mathrm{A^*}][\mathrm M] - k_2[\mathrm{A^*}] = 0$ تعطي $[\mathrm{A^*}] = k_1[\mathrm A][\mathrm M]/(k_{-1}[\mathrm M] + k_2)$ و $v = k_2[\mathrm{A^*}]$ . إذا كان $k_{-1}[\mathrm M] \gg k_2$ ، سبق إلغاءُ التنشيط التفاعلَ وكان $\mathrm{A^*}$ في توازن مسبق: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1k_2/k_{-1}$ . وإذا كان $k_{-1}[\mathrm M] \ll k_2$ ، تفاعل كل جزيء منشَّط وكان التنشيط هو الخطوة المحددة للسرعة: $k_{\mathrm{uni}} \to k_1[\mathrm M]$ . ∎

منحنى الانحدار لليندمان (ثوابت نموذجية): رتبة أولى بالثابت الحدي k_∈fty عند الضغط المرتفع، ورتبة ثانية (k_1[ M]) عند الضغط المنخفض، ونصف k_∈fty عند [ M]_1/2 = k_2/k_-1. ومنحنيات الانحدار الحقيقية أعرض: فثابت السرعة k_2 لجزيء منشَّط يكبر مع طاقته. — منحنى الانحدار لليندمان (ثوابت نموذجية): رتبة أولى بالثابت الحدي $k_\infty$ عند الضغط المرتفع، ورتبة ثانية ( $k_1[\mathrm M]$ ) عند الضغط المنخفض، ونصف $k_\infty$ عند $[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1}$ . ومنحنيات الانحدار الحقيقية أعرض: فثابت السرعة $k_2$ لجزيء منشَّط يكبر مع طاقته.

13.4 حركية الإنزيمات

تعريف 13.8 (الإنزيم، الموقع النشط، معقد الإنزيم–الركيزة)

الإنزيم حفاز حيوي، يكاد يكون دائمًا بروتينًا، يسرّع تفاعلًا نوعيًا لركيزته. والموقع النشط هو الجيب في الإنزيم الذي ترتبط فيه الركيزة وتتفاعل؛ والنوع المرتبط هو معقد الإنزيم–الركيزة ES.

تعريف 13.9 (ثابت ميكايليس، السرعة العظمى، الثابت الحفزي وثابت النوعية)

من أجل الآلية $\mathrm{E + S \rightleftharpoons ES \to E + P}$ ( $k_1$ ، $k_{-1}$ ، $k_2$ ) بتركيز كلي للإنزيم $[\mathrm E]_0$ ، يكون الثابت الحفزي $k_{\mathrm{cat}} = k_2$ ، والسرعة العظمى $V_{\max} = k_{\mathrm{cat}}[\mathrm E]_0$ ، وثابت ميكايليس $K_M = (k_{-1} + k_2)/k_1$ ، وثابت النوعية $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ .

مبرهنة 13.10 (معادلة ميكايليس–منتن)

حين $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$ ويكون ES في حالة مستقرة، تكون السرعة الابتدائية لتكوّن الناتج

v = \frac{V_{\max}[\mathrm S]}{K_M + [\mathrm S]} .

هذا القول هو معادلة ميكايليس–منتن.

برهان. الحالة المستقرة: $k_1[\mathrm E][\mathrm S] = (k_{-1} + k_2)[\mathrm{ES}]$ ، و $[\mathrm E] = [\mathrm E]_0 - [\mathrm{ES}]$ (والركيزة الحرة هي عمليًا كل الركيزة لأن $[\mathrm S] \gg [\mathrm E]_0$ ). ومنه $[\mathrm{ES}] = [\mathrm E]_0[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ و $v = k_2[\mathrm{ES}]$ . ∎

ملاحظة 13.11

افترض ميكايليس ومنتن (1913) بدلًا من ذلك توازنًا مسبقًا سريعًا بين E وS وES؛ فتنتج المعادلة نفسها مع وضع $K_M$ مساويًا لثابت التفكك $k_{-1}/k_1$ ، وهو نهاية $K_M$ حين $k_2 \ll k_{-1}$ . والثابت الحفزي هو ما يسميه علماء الكيمياء الحيوية عدد دوران الإنزيم: عدد جزيئات الركيزة التي يحوّلها موقع نشط واحد في الثانية حين يكون مشبعًا.

عند $[\mathrm S] = K_M$ تكون السرعة $V_{\max}/2$ ؛ وعند $[\mathrm S] \ll K_M$ تكون $(k_{\mathrm{cat}}/K_M)[\mathrm E]_0[\mathrm S]$ : فثابت النوعية هو ثابت السرعة من الرتبة الثانية للإنزيم الحر مع ركيزته، ولا يمكن أن يتجاوز سرعة التقائهما، أي حد الانتشار في الفصل 12. وتقترب منه إنزيمات قليلة؛ أما الإنزيم «المتوسط»، في مسح لبضعة آلاف منها، فثابت نوعيته $k_{\mathrm{cat}}/K_M$ نحو $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، أي أدنى بنحو أربع رتب قدر.

قضية 13.12 (صيغة لاينويفر–بيرك)

معادلة ميكايليس–منتن مكافئة للعلاقة

\frac1v = \frac{1}{V_{\max}} + \frac{K_M}{V_{\max}}\,\frac{1}{[\mathrm S]},

وهي مستقيم للمقدار $1/v$ بدلالة $1/[\mathrm S]$ مقطعه $1/V_{\max}$ ، وميله $K_M/V_{\max}$ ، ومقطعه $-1/K_M$ على محور $1/[\mathrm S]$ .

برهان. بالقلب: $1/v = (K_M + [\mathrm S])/(V_{\max}[\mathrm S])$ . وعند $1/v = 0$ ، $1/[\mathrm S] = -1/K_M$ . ∎

طريقة 13.13 ( $K_M$ و $V_{\max}$ بالمربعات الصغرى غير الخطية)

قِس السرعات الابتدائية عند تراكيز للركيزة موزعة من نحو $K_M/5$ إلى $10K_M$ .
اضبط $v = V_{\max}[\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ مباشرة، بجعل $\sum(v_i - v(\mathrm S_i))^2$ أصغر ما يمكن (تكراريًا، انطلاقًا من قيم مستقيم لاينويفر–بيرك)؛ وتأتي الأخطاء المعيارية من البواقي ومن حساسية $v$ لكل وسيط.
لا تستعمل منحنى لاينويفر–بيرك إلا لرؤية النمط: فقلب السرعات الصغيرة يضخّم أخطاءها، فيهيمن على مستقيم المربعات الصغرى المار بقيم $1/v$ أقل النقاط دقة، فتأتي وسائطه منحازة.

تعريف 13.14 (التثبيط)

يرتبط المثبط I بالإنزيم ارتباطًا عكوسًا. ففي التثبيط التنافسي لا يرتبط إلا بالإنزيم الحر، في الموقع النشط، ويُسمى ثابته ثابت التثبيط $K_i$ (ثابت تفكك EI)؛ وفي التثبيط المضاد للتنافس لا يرتبط إلا بالمعقد ES، بالثابت $K_i'$ ؛ وفي التثبيط المختلط يرتبط بكليهما.

قضية 13.15 (قوانين السرعة مع التثبيط)

مع $\alpha = 1 + [\mathrm I]/K_i$ و $\alpha' = 1 + [\mathrm I]/K_i'$ ، تحافظ السرعة على صيغة ميكايليس–منتن $v = V^{\mathrm{app}}[\mathrm S]/(K_M^{\mathrm{app}} + [\mathrm S])$ مع: في التنافسي، $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M$ ، $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}$ ؛ وفي المضاد للتنافس، $K_M^{\mathrm{app}} = K_M/\alpha'$ ، $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}/\alpha'$ ؛ وفي المختلط، $K_M^{\mathrm{app}} = \alpha K_M/\alpha'$ ، $V^{\mathrm{app}} = V_{\max}/\alpha'$ .

برهان. الحالة المختلطة (والأخريان نهايتاها $K_i' \to \infty$ و $K_i \to \infty$ ): يتوزع الإنزيم بين E وEI وES وESI مع $[\mathrm{EI}] = [\mathrm E][\mathrm I]/K_i$ ، $[\mathrm{ESI}] = [\mathrm{ES}][\mathrm I]/K_i'$ والحالة المستقرة $[\mathrm E][\mathrm S] = K_M[\mathrm{ES}]$ . ومنه $[\mathrm E]_0 = [\mathrm E]\alpha + [\mathrm{ES}]\alpha' = [\mathrm{ES}](\alpha K_M/[\mathrm S] + \alpha')$ و $v = k_2[\mathrm{ES}] = V_{\max}[\mathrm S]/(\alpha K_M + \alpha'[\mathrm S])$ ؛ وقسمة البسط والمقام على $\alpha'$ تعطي الصيغة المذكورة. ∎

طريقة 13.16 (تعرّف نوع التثبيط)

قِس $v([\mathrm S])$ عند عدة تراكيز للمثبط وارسم مستقيمات لاينويفر–بيرك.
مستقيمات تلتقي على محور $1/v$ (السرعة $V_{\max}$ نفسها): تنافسي؛ وزيادة كبيرة في الركيزة تتغلب على المثبط.
مستقيمات متوازية (الميل $K_M/V_{\max}$ لا يتغير): مضاد للتنافس.
مستقيمات تلتقي يسار محور $1/v$ : مختلط.
احصل على $K_i$ بضبط الثوابت الظاهرية بدلالة $[\mathrm I]$ : فمن أجل مثبط تنافسي $K_M^{\mathrm{app}} = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$ ، وهو مستقيم.

حركية ميكايليس–منتن مع K_M = 0.80\, mM وV_ = 0.50\, µ M\, s-1 (نموذج): دون مثبط (أسود)، ومع مثبط تنافسي عند [ I] = 2K_i (أزرق، K_M مضروب في ثلاثة، وV_ نفسها) ومع مثبط مضاد للتنافس عند [ I] = K_i' (أحمر، K_M وV_ منصّفتان). يمينًا: مستقيمات لاينويفر–بيرك؛ يلتقي المستقيم التنافسي بالمستقيم غير المثبَّط على محور 1/v، والمستقيم المضاد للتنافس موازٍ له (1/[ S] بوحدة mM-1، و1/v بوحدة s\, µ M-1). — حركية ميكايليس–منتن مع $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ و $V_{\max} = 0.50\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ (نموذج): دون مثبط (أسود)، ومع مثبط تنافسي عند $[\mathrm I] = 2K_i$ (أزرق، $K_M$ مضروب في ثلاثة، و $V_{\max}$ نفسها) ومع مثبط مضاد للتنافس عند $[\mathrm I] = K_i'$ (أحمر، $K_M$ و $V_{\max}$ منصّفتان). يمينًا: مستقيمات لاينويفر–بيرك؛ يلتقي المستقيم التنافسي بالمستقيم غير المثبَّط على محور $1/v$ ، والمستقيم المضاد للتنافس موازٍ له ( $1/[\mathrm S]$ بوحدة $\mathrm{mM}^{-1}$ ، و $1/v$ بوحدة $\mathrm{s}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ ).

13.5 الحفز الذاتي والتذبذبات والتفاعلات السريعة

تعريف 13.17 (التفاعل الذاتي الحفز)

التفاعل الذاتي الحفز تفاعل يحفّز فيه ناتجٌ تكوّنَ نفسه، كما في $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ .

قضية 13.18 (القانون اللوجستي)

من أجل $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ بثابت السرعة $k$ والتركيزين الابتدائيين $a_0$ و $x_0$ ، مع $N = a_0 + x_0$ ،

x(t) = \frac{N}{1 + (N/x_0 - 1)\eu^{-kNt}},

وهو منحنى على شكل S يبلغ نصف قيمته النهائية عند $t_{1/2} = \ln(N/x_0 - 1)/kN$ .

برهان. $\dd x/\dd t = kx(N - x)$ ، لأن $a = N - x$ . وبفصل المتغيرات، $\frac{\dd x}{x(N - x)} = \frac1N\bigl(\frac1x + \frac{1}{N - x}\bigr)\dd x = k\,\dd t$ ، ومنه $\ln\frac{x}{N - x} = kNt + \ln\frac{x_0}{N - x_0}$ ، الذي يُعاد ترتيبه على الصورة المذكورة؛ و $x = N/2$ حين $(N/x_0 - 1)\eu^{-kNt} = 1$ . ∎

تعريف 13.19 (التفاعل المتذبذب، الدورة الحدية)

التفاعل المتذبذب تفاعل ترتفع فيه تراكيز الوسائط وتنخفض دوريًا بينما يمضي التفاعل الإجمالي نحو التوازن. والدورة الحدية مسار مغلق في فضاء التراكيز تتقارب نحوه المسارات المجاورة، بحيث تكون للتذبذب سعة لا تتعلق بنقطة الانطلاق.

مبرهنة 13.20 (نموذج لوتكا–فولتيرا)

من أجل المخطط الذاتي الحفز $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ ، $\mathrm{X + Y \to 2\,Y}$ ، $\mathrm{Y \to B}$ مع إبقاء A ثابتًا، تحقق التراكيز $\dot x = x(a - by)$ ، $\dot y = y(dx - c)$ بثوابت موجبة، والمقدار

V = dx - c\ln x + by - a\ln y

ثابت على امتداد كل مسار: فالمسارات منحنيات مغلقة حول الحالة المستقرة $(c/d, a/b)$ ، وتتذبذب التراكيز بسعة تحددها نقطة الانطلاق.

برهان. $\dot V = (d - c/x)\dot x + (b - a/y)\dot y = (dx - c)(a - by) + (by - a)(dx - c) = 0$ . و $V$ مجموع دالتين محدبتين لهما قيمة دنيا وحيدة عند $(c/d, a/b)$ ، فمنحنيات تسويه منحنيات مغلقة حول تلك النقطة؛ ويبقى المسار على أحدها ويدور حولها دوريًا، لأن السرعة لا تنعدم في أي موضع آخر. ∎

تذبذبات لوتكا–فولتيرا هشة: فكل نقطة انطلاق تعطي مدارها الخاص، وأي اضطراب ينقل النظام إلى مدار آخر. أما المذبذبات الكيميائية الحقيقية فلها دورة حدية، وهذا يحتاج إلى لاخطية تزعزع الحالة المستقرة.

قضية 13.21 (عدم استقرار البروسلاتور)

للنموذج $\dot X = A - (B + 1)X + X^2Y$ ، $\dot Y = BX - X^2Y$ (تراكيز مختزلة، مع إبقاء $A$ و $B$ ثابتين) حالة مستقرة وحيدة $(A, B/A)$ ، تكون مستقرة إذا كان $B < 1 + A^2$ وغير مستقرة إذا كان $B > 1 + A^2$ ؛ فيستقر النظام عندئذ على دورة حدية.

برهان. بوضع المشتقتين كلتيهما مساويتين للصفر: تعطي $BX = X^2Y$ العلاقة $XY = B$ ، ثم $A - X = 0$ . ومصفوفة جاكوبي عند $(A, B/A)$ هي

\begin{pmatrix} -(B + 1) + 2XY & X^2 \\ B - 2XY & -X^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B - 1 & A^2 \\ -B & -A^2 \end{pmatrix},

وأثرها $B - 1 - A^2$ ومحددها $A^2 > 0$ . وتتطور الانحرافات الصغيرة على الصورة $\eu^{\lambda t}$ حيث $\lambda$ القيم الذاتية، التي جداؤها المحدد (موجب) ومجموعها الأثر: فلكلتيهما جزء حقيقي سالب حين يكون الأثر سالبًا، وجزء حقيقي موجب حين يكون موجبًا. أما وجود الدورة الحدية من أجل $B > 1 + A^2$ (إذ تبقى المسارات محصورة في منطقة محدودة) فنقبله دون برهان. ∎

طريقة 13.22 (الاستقرار الخطي لحالة مستقرة)

جد الحالة المستقرة بوضع كل المشتقات الزمنية مساوية للصفر.
احسب هناك مصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية للسرعات.
من أجل متغيرين: مستقرة إذا كان الأثر سالبًا والمحدد موجبًا؛ والحالة غير المستقرة ذات القيم الذاتية العقدية ( $\mathrm{tr}^2 < 4\det$ ) تعطي تذبذبات متنامية، أي دورة حدية محتملة.

في الأعلى: يستقر البروسلاتور (A = 1، B = 3 > 1 + A2) في تذبذبات دائمة دورها 7.2 (زمن مختزل). في الأسفل يسارًا: مساران، أحدهما ينطلق قرب الحالة المستقرة غير المستقرة (النقطة) والآخر من بعيد خارجها، يلتفان على الدورة الحدية نفسها. في الأسفل يمينًا: مدارات لوتكا–فولتيرا، كل منها تحدده نقطة انطلاقه، حول الحالة المستقرة (النقطة). — في الأعلى: يستقر البروسلاتور ( $A = 1$ ، $B = 3 > 1 + A^2$ ) في تذبذبات دائمة دورها 7.2 (زمن مختزل). في الأسفل يسارًا: مساران، أحدهما ينطلق قرب الحالة المستقرة غير المستقرة (النقطة) والآخر من بعيد خارجها، يلتفان على الدورة الحدية نفسها. في الأسفل يمينًا: مدارات لوتكا–فولتيرا، كل منها تحدده نقطة انطلاقه، حول الحالة المستقرة (النقطة).

تفاعل بيلوسوف–جابوتنسكي، أي أكسدة حمض المالونيك بالبرومات بحفز من السيريوم أو من كاشف الفيروين، يمر بمثل هذه الدورة: فإنتاج ذاتي الحفز للمركب $\ce{HBrO2}$ ينطلق حين ينخفض البروميد دون عتبة، فيؤكسد الحفاز (تغيّر اللون)، ثم يتوقف حين يعيد الحفاز المؤكسَد توليد البروميد. ودون تحريك، في طبقة رقيقة، ينتشر التذبذب موجاتٍ.

موجات حلزونية لتفاعل بيلوسوف–جابوتنسكي في طبقة رقيقة من المحلول: كل جبهة زرقاء موجة أكسدة للحفاز، تنتقل في الوسط المختزل (الأحمر) ولا تستطيع أن تعود إلى المنطقة التي غادرتها للتو.

تعريف 13.23 (طريقة الاسترخاء، زمن الاسترخاء الكيميائي)

طريقة الاسترخاء تُحدث اضطرابًا مفاجئًا في نظام في حالة توازن (بقفزة في درجة الحرارة أو الضغط أو المجال الكهربائي) وتتتبع عودته إلى التوازن الجديد. ومن أجل اضطراب صغير يتناقص الانحراف أسيًا، وفق زمن الاسترخاء الكيميائي $\tau$ .

قضية 13.24 (زمن استرخاء تفاعل تشارك)

من أجل $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ ( $k_1$ ، $k_{-1}$ )، بعد اضطراب صغير،

\frac1\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1} .

برهان. لنكتب $[\mathrm C] = [\mathrm C]_e + x$ ، $[\mathrm A] = [\mathrm A]_e - x$ ، $[\mathrm B] = [\mathrm B]_e - x$ . عندئذ $\dot x = k_1([\mathrm A]_e - x)([\mathrm B]_e - x) - k_{-1}([\mathrm C]_e + x)$ ؛ والحدود الخالية من $x$ تتلاشى عند التوازن، وبإهمال $x^2$ : $\dot x = -[k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}]x$ . ∎

قياس $\tau$ عند عدة تراكيز يعطي مستقيمًا للمقدار $1/\tau$ بدلالة $[\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e$ ميله $k_1$ ومقطعه $k_{-1}$ : أي الثابتين كليهما من تجارب على نظام لا يبتعد أبدًا عن التوازن بأكثر من بضعة في المئة. وقد قاس مانفرد آيغن بهذه الطريقة أسرع التفاعلات في المحلول، ومنها تعادل $\ce{H3O+}$ مع $\ce{OH-}$ .

استرخاء A + B C بعد قفزة في درجة الحرارة خفّضت ثابت توازنه بنسبة 5 % (نموذج: k_1 = 1.0 × 108\, L\, mol-1\, s-1، k_-1 = 1.0 × 103\, s-1، و1.0 × 10-4\, mol/ L من A ومن B في المجموع): تتطابق معادلة السرعة الكاملة والدالة الأسية ذات 1/ = k_1([ A]_e + [ B]_e) + k_-1. — استرخاء $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ بعد قفزة في درجة الحرارة خفّضت ثابت توازنه بنسبة 5 % (نموذج: $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ من A ومن B في المجموع): تتطابق معادلة السرعة الكاملة والدالة الأسية ذات $1/\tau = k_1([\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e) + k_{-1}$ .

تعريف 13.25 (الجريان الموقوف، التحلل الضوئي الومضي)

طريقة الجريان الموقوف تمزج محلولين متفاعلين في نحو ميلي ثانية بدفعهما عبر خلاط إلى خلية رصد، ثم توقف الجريان وتسجّل الامتصاصية أو التفلور. والتحلل الضوئي الومضي يكوّن نوعًا تفاعليًا بنبضة ضوئية قصيرة شديدة ويتتبع تفاعلاته بحزمة ضوئية ثانية متأخرة.

جهاز الجريان الموقوف. يدفع المحرّك محقنتين؛ فيلتقي المحلولان في الخلاط ويملآن خلية الرصد في نحو ميلي ثانية؛ ثم يصطدم مكبس محقنة الإيقاف بحاجز، فيتوقف الجريان، ويسجّل الكاشف تفاعل المحلول الممزوج حديثًا.

منحنى دفقة في الجريان الموقوف (معطيات مسألة نهاية الأسبوع): يظهر الناتج الأول لإنزيم ذي خطوتين في دفقة سريعة يتبعها مستقيم؛ والخط المتقطع يستكمل الحالة المستقرة رجوعًا إلى t = 0. — منحنى دفقة في الجريان الموقوف (معطيات مسألة نهاية الأسبوع): يظهر الناتج الأول لإنزيم ذي خطوتين في دفقة سريعة يتبعها مستقيم؛ والخط المتقطع يستكمل الحالة المستقرة رجوعًا إلى $t = 0$ .

في المختبر — قياس بالجريان الموقوف

تُملأ المحقنتان بمحلولي الإنزيم والركيزة في المحلول المنظِّم نفسه، وتُنظَّم حرارتهما، وتُطلقان عدة مرات لتنظيف الخلية قبل الطلقات المسجَّلة؛ ويُؤخذ متوسط كل منحنى على خمس إلى عشر طلقات. والزمن الميت، أي عمر الخليط حين يبدأ الرصد، يُقاس مرة واحدة بتفاعل معروف السرعة.

السلامة

البروم: سائل متطاير كثيف أحمر بني؛ مميت إذا استُنشق، ويسبب حروقًا شديدة، وسام جدًا للأحياء المائية. لا يُتداول إلا تحت ساحبة الأبخرة، بالقفازات وواقٍ للوجه؛ ويُحتفظ بمحلول من ثيوكبريتات الصوديوم في المتناول لاختزال ما ينسكب منه.

لمحة تاريخية — بودنشتاين وبيلوسوف

قاس ماكس بودنشتاين وصموئيل ليند قانون سرعة الهيدروجين–البروم سنة 1906؛ وفسّره ينس كريستيانسن وكارل هيرتسفلد ومايكل بولاني سنة 1919 بالآلية المتسلسلة في هذا الفصل. ووجد بوريس بيلوسوف، عالم الكيمياء الحيوية في موسكو، تفاعله المتذبذب نحو سنة 1951 وهو يبحث عن نموذج كيميائي لدورة استقلابية؛ فرُفضت مخطوطته، ولم يُنشر إلا ملخص قصير سنة 1959. وتناول أناتولي جابوتنسكي التفاعل في الستينيات وفسّره؛ ثم وُضعت الآلية الكاملة في أوائل السبعينيات.

13.6 تمارين

تمرين 13.1 ★

من أجل السلسلة $\ce{Cl2 -> 2 Cl}$ ، $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$ ، $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$ ، $\ce{2 Cl -> Cl2}$ ، سمِّ كل خطوة وحوامل السلسلة، واكتب التفاعل الإجمالي.

حل

حل التمرين 13.1.

$\ce{Cl2 -> 2 Cl}$ : بدء؛ $\ce{Cl + H2 -> HCl + H}$ و $\ce{H + Cl2 -> HCl + Cl}$ : انتشار؛ $\ce{2 Cl -> Cl2}$ : إنهاء. الحوامل: Cl وH. والتفاعل الإجمالي (مجموع خطوتي الانتشار): $\ce{H2 + Cl2 -> 2 HCl}$ .

تمرين 13.2 ★

لنظام ليندمان $k_2 = 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ و $k_{-1} = 1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ (معطيات التمرين). احسب $[\mathrm M]_{1/2}$ والضغط الموافق عند $750\,\mathrm{K}$ .

حل

حل التمرين 13.2.

$[\mathrm M]_{1/2} = k_2/k_{-1} = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L} = 1.0\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ $p = cRT = 1.0 \times 8.314 \times 750 = 6.2\,\mathrm{kPa}$ .

تمرين 13.3 ★

عبّر عن $v/V_{\max}$ عند $[\mathrm S] = K_M$ و $3K_M$ و $9K_M$ . وأي تركيز يعطي 90 % من $V_{\max}$ ؟

حل

حل التمرين 13.3.

$v/V_{\max} = [\mathrm S]/(K_M + [\mathrm S])$ : $\frac12$ ، $\frac34$ ، $\frac{9}{10}$ . وبلوغ 90 % من $V_{\max}$ يقتضي $[\mathrm S] = 9K_M$ .

تمرين 13.4 ★

لإنزيم $k_{\mathrm{cat}} = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ و $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ . احسب ثابت نوعيته وقارنه بحد الانتشار في الماء، $7.4 \times 10^{9}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، وبالقيمة النموذجية $10^5$ $\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

حل

حل التمرين 13.4.

$k_{\mathrm{cat}}/K_M = 100/0.80 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ : أي أدنى من حد الانتشار بنحو 60 000 مرة، وقريب من القيمة النموذجية.

تمرين 13.5 ★★

يُقترح أن التفكك $\ce{CH3CHO -> CH4 + CO}$ يجري عبر: $\ce{CH3CHO -> CH3 + CHO}$ ( $k_1$ )؛ $\ce{CH3 + CH3CHO -> CH4 + CH3CO}$ ( $k_2$ )؛ $\ce{CH3CO -> CH3 + CO}$ ( $k_3$ )؛ $\ce{2 CH3 -> C2H6}$ ( $k_4$ ). بيّن أن سرعة تكوّن الميثان هي $k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$ .

حل

حل التمرين 13.5.

الحالة المستقرة من أجل $\ce{CH3CO}$ : $k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] = k_3[\ce{CH3CO}]$ . والحالة المستقرة من أجل $\ce{CH3}$ : $k_1[\ce{CH3CHO}] - k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] + k_3[\ce{CH3CO}] - 2k_4[\ce{CH3}]^2 = 0$ . وبالجمع: $k_1[\ce{CH3CHO}] = 2k_4[\ce{CH3}]^2$ ، ومنه $[\ce{CH3}] = (k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{1/2}$ ، و $\dd[\ce{CH4}]/\dd t = k_2[\ce{CH3}][\ce{CH3CHO}] = k_2(k_1/2k_4)^{1/2}[\ce{CH3CHO}]^{3/2}$ .

تمرين 13.6 ★★

انطلاقًا من تركيزين متساويين من $\ce{H2}$ و $\ce{Br2}$ ، مع $k' = 0.10$ ، بأي عامل انخفضت السرعة حين يُستهلك نصف البروم؟ وكم من هذا الانخفاض يعود إلى التثبيط؟

حل

حل التمرين 13.6.

عند نصف التحويل $[\ce{H2}] = [\ce{Br2}] = \frac12$ ، $[\ce{HBr}] = 1$ (وحدات نسبية): $v/v_0 = \frac12 \times (\frac12)^{1/2}/(1 + 0.10 \times 1/0.5) = 0.354/1.2 = 0.29$ . ودون تثبيط كانت ستكون 0.354: فالتثبيط يقسم السرعة على 1.2 إضافية.

تمرين 13.7 ★★

في خليط نموذجي من الهيدروجين والأكسجين (معطيات التمرين)، ثابت سرعة التفرع $f = 1000\,p$ ، والإنهاء على الجدران $6000/p$ والإنهاء الثلاثي $10\,p^2$ ، كلها بوحدة $\mathrm{s}^{-1}$ مع $p$ بالكيلوباسكال. جد مجال الضغط الذي ينفجر فيه الخليط.

حل

حل التمرين 13.7.

يحدث الانفجار حين $1000p > 6000/p + 10p^2$ ، أي $10p^3 - 1000p^2 + 6000 < 0$ ، وجذراها الموجبان 2.48 و $99.9\,\mathrm{kPa}$ : فالخليط ينفجر بين نحو 2.5 و $100\,\mathrm{kPa}$ (الحدان الأول والثاني في النموذج).

تمرين 13.8 ★★

السرعتان الابتدائيتان $0.20\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $[\mathrm S] = 0.50\,\mathrm{mM}$ و $0.40\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $2.0\,\mathrm{mM}$ . جد $K_M$ و $V_{\max}$ .

حل

حل التمرين 13.8.

$1/v = 1/V_{\max} + (K_M/V_{\max})/[\mathrm S]$ : $5.0 = 1/V_{\max} + 2.0K_M/V_{\max}$ و $2.5 = 1/V_{\max} + 0.5K_M/V_{\max}$ . وبالطرح: $K_M/V_{\max} = 1.667\,\mathrm{s}\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ ، ثم $1/V_{\max} = 1.667$ : $V_{\max} = 0.60\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $K_M = 1.0\,\mathrm{mM}$ .

تمرين 13.9 ★★

مع $50\,\text{µ}\mathrm{M}$ من مثبط، يلتقي مستقيم لاينويفر–بيرك لإنزيم ( $K_M = 0.80\,\mathrm{mM}$ ) بالمستقيم غير المثبَّط على محور $1/v$ ويقطع محور $1/[\mathrm S]$ عند $-0.417\,\mathrm{mM}^{-1}$ . عيّن نوع التثبيط واحسب $K_i$ .

حل

حل التمرين 13.9.

المقطع نفسه على محور $1/v$ : تنافسي. $K_M^{\mathrm{app}} = 1/0.417 = 2.40\,\mathrm{mM} = 3K_M$ ، ومنه $1 + 50/K_i = 3$ و $K_i = 25\,\text{µ}\mathrm{M}$ .

تمرين 13.10 ★★★

من أجل $\mathrm{A + X \to 2\,X}$ مع $k = 0.50\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $a_0 = 1.00\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ و $x_0 = 0.010\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ ، احسب الزمن الذي يكون فيه نصف الكمية النهائية من X حاضرًا، وزمن السرعة العظمى.

حل

حل التمرين 13.10.

$N = 1.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ : $t_{1/2} = \ln(1.01/0.010 - 1)/(0.50 \times 1.01) = \ln100/0.505 = 9.1\,\mathrm{s}$ . والسرعة $kx(N - x)$ أعظمية عند $x = N/2$ : أي في اللحظة نفسها، وهي نقطة انعطاف المنحنى ذي شكل S.

تمرين 13.11 ★★★

من أجل البروسلاتور مع $A = 1$ ، احسب القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي عند الحالة المستقرة من أجل $B = 1.5$ و $B = 2.5$ ، وصِف السلوك قرب الحالة المستقرة في كل حالة.

حل

حل التمرين 13.11.

الأثر $B - 2$ ، والمحدد 1. $B = 1.5$ : $\lambda = -0.25 \pm 0.968\iu$ ، بؤرة مستقرة (تذبذبات متخامدة نحو الحالة المستقرة). $B = 2.5$ : $\lambda = 0.25 \pm 0.968\iu$ ، بؤرة غير مستقرة: فتنمو التذبذبات حتى تبلغ الدورة الحدية.

تمرين 13.12 ★★★

من أجل $\mathrm{A + B \rightleftharpoons C}$ مع $k_1 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ و $k_{-1} = 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $[\mathrm A]_e = [\mathrm B]_e = 2.70 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ ، احسب $\tau$ . وكيف تحصل على ثابتي السرعة كليهما من قياسات الاسترخاء وحدها؟

حل

حل التمرين 13.12.

$1/\tau = 1.0 \times 10^{8} \times 5.40 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{3} = 6.4 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $\tau = 156\,\text{µ}\mathrm{s}$ . قِس $\tau$ عند عدة تراكيز كلية: فالمقدار $1/\tau$ بدلالة $[\mathrm A]_e + [\mathrm B]_e$ مستقيم ميله $k_1$ ومقطعه $k_{-1}$ .

13.7 مسألة: إنزيم ومثبط وجرعة

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — إنزيم ومثبط وجرعة: وسائط ميكايليس–منتن بالمربعات الصغرى، وثابت التثبيط لمثبط تنافسي، والنشاط الباقي عند جرعة معينة، ودفقة في الجريان الموقوف

يحلمه إنزيم ( $[\mathrm E]_0 = 5.0\,\mathrm{nM}$ في الاختبارات) ركيزته؛ والسرعات الابتدائية (معطيات المسألة):

$[\mathrm S]$ / mM	0.10	0.20	0.40	0.80	1.60	3.20	6.40
$v$ / $\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$	0.0566	0.0981	0.169	0.247	0.340	0.397	0.447

بوجود مثبط، تعطي عمليات ضبط من النوع نفسه $V_{\max}$ دون تغيير و $K_M$ الظاهري: 0.79 و1.47 و2.38 و $4.02\,\mathrm{mM}$ عند $[\mathrm I] = 0$ و20 و50 و $100\,\text{µ}\mathrm{M}$ . وتعطي تجربة جريان موقوف مع $[\mathrm E]_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{M}$ وركيزة مشبِعة منحنى الدفقة في الشكل في القسم 5 (دفقة قدرها $1.28\,\text{µ}\mathrm{M}$ بثابت سرعة $625\,\mathrm{s}^{-1}$ ، ثم $200\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).

الجزء الأول — $K_M$ و $V_{\max}$ .

لماذا تُستعمل السرعات الابتدائية؟
ارسم منحنى لاينويفر–بيرك؛ يعطي مستقيم مربعاته الصغرى $K_M = 0.773\,\mathrm{mM}$ و $V_{\max} = 0.491\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . أي النقاط تهيمن عليه؟
لماذا يُفضَّل الضبط غير الخطي المباشر؟
يعطي الضبط غير الخطي $K_M = 0.801 \pm 0.023\,\mathrm{mM}$ و $V_{\max} = 0.502 \pm 0.005\,\text{µ}\mathrm{M}\,\mathrm{s}^{-1}$ . هل تتوافق قيم لاينويفر–بيرك معها؟
احسب $k_{\mathrm{cat}}$ .
احسب ثابت النوعية.
قارنه بحد الانتشار وبإنزيم نموذجي.

الجزء الثاني — المثبط.

أي نوع من التثبيط تُظهره المعطيات؟
اكتب $K_M^{\mathrm{app}}$ دالةً في $[\mathrm I]$ .
لمستقيم المربعات الصغرى للمقدار $K_M^{\mathrm{app}}$ بدلالة $[\mathrm I]$ المقطع $0.799\,\mathrm{mM}$ والميل $0.0321\,\mathrm{mM}\,\text{µ}\mathrm{M}^{-1}$ . استنتج $K_i$ .
خطؤه المعياري $0.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . أعطِ مجالًا بنسبة 95 % ( $t = 4.30$ من أجل درجتي حرية).
ماذا يقيس $K_i$ ؟

الجزء الثالث — النشاط الباقي.

عبّر عن نسبة النشاط الباقي، $v_i/v_0$ ، دالةً في $[\mathrm S]$ و $[\mathrm I]$ .
احسبها عند $[\mathrm S] = K_M$ و $[\mathrm I] = K_i$ .
عند $[\mathrm S] = K_M$ و $[\mathrm I] = 10K_i$ .
عند $[\mathrm S] = 10K_M$ و $[\mathrm I] = 10K_i$ . علّق.
بيّن أن تثبيطًا بنسبة 90 % عند $[\mathrm S] = K_M$ يقتضي $[\mathrm I] = 18K_i$ .
احسب هذا التركيز بقيمة $K_i$ المضبوطة.

الجزء الرابع — الدفقة.

يعمل الإنزيم على خطوتين، $\mathrm{E + S \to E{-}acyl + P_1}$ ( $k_2$ ) ثم $\mathrm{E{-}acyl \to E + P_2}$ ( $k_3$ ). لماذا يظهر $\mathrm P_1$ في دفقة؟
سعة الدفقة $[\mathrm E]_0\bigl(k_2/(k_2 + k_3)\bigr)^2$ . استنتج $k_2/(k_2 + k_3)$ .
من الميل المستقر، احسب $k_{\mathrm{cat}}$ وقارنه بالجزء الأول.
ثابت سرعة الدفقة هو $k_2 + k_3$ . استنتج $k_2$ و $k_3$ .
تحقق من أن $k_{\mathrm{cat}} = k_2k_3/(k_2 + k_3)$ .
اذكر النتيجة: تركيز المثبط الذي يعطي تثبيطًا بنسبة 90 % عند $[\mathrm S] = K_M$ .

حل

حل المسألة 13.1.

1. في البداية يكون $[\mathrm S]$ معلومًا، والناتج، الذي قد يثبّط أو يتفاعل عكسيًا، غائبًا. 2. نقاط $[\mathrm S]$ المنخفضة، عند قيم $1/[\mathrm S]$ و $1/v$ الكبيرة: فهي تحدد الميل، والقلب يضخّم أخطاءها. 3. لأنه يرجّح كل سرعة مقيسة كما قيست؛ أما مستقيم لاينويفر–بيرك فيعطي وسائط منحازة. 4. $K_M$ : القيمة $0.773$ أدنى من 0.801 بمقدار 1.2 خطأ معياري؛ $V_{\max}$ : القيمة $0.491$ أدنى من 0.502 بمقدار 2.2 خطأ معياري. وكلتاهما منخفضة، كما يُتوقع من الانحياز. 5. $k_{\mathrm{cat}} = 0.502/0.0050 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ . 6. $100/0.801 \times 10^{-3} = 1.25 \times 10^{5}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ . 7. أدنى من حد الانتشار بنحو 60 000 مرة؛ فهو إنزيم نموذجي. 8. تنافسي: $V_{\max}$ لا تتغير، و $K_M$ الظاهري يكبر مع $[\mathrm I]$ . 9. $K_M^{\mathrm{app}} = K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) = K_M + (K_M/K_i)[\mathrm I]$ . 10. $K_i = 0.799/0.0321 = 24.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . 11. $24.9 \pm 4.30 \times 0.9 = 24.9 \pm 3.9\,\text{µ}\mathrm{M}$ . 12. ثابت تفكك معقد الإنزيم–المثبط: أي تركيز المثبط الذي يشغل نصف الإنزيم الحر. 13. $v_i/v_0 = (K_M + [\mathrm S])/(K_M(1 + [\mathrm I]/K_i) + [\mathrm S])$ . 14. $2/3 = 0.67$ . 15. $2/12 = 0.17$ . 16. $11/21 = 0.52$ : عند تركيز مرتفع للركيزة تتغلب الركيزة في التنافس على المثبط. 17. عند $[\mathrm S] = K_M$ ، تعطي $v_i/v_0 = 2/(2 + [\mathrm I]/K_i) = 0.10$ العلاقة $[\mathrm I]/K_i = 18$ . 18. $18 \times 24.9 = 448\,\text{µ}\mathrm{M}$ . 19. الخطوة الأولى سريعة: فكل جزيء إنزيم يحرر بسرعة جزيئًا واحدًا من $\mathrm P_1$ ويُحتجز في صورة الأسيل–إنزيم؛ وبعد ذلك لا يظهر $\mathrm P_1$ إلا بالسرعة التي تحرر بها الخطوة الثانية البطيئة الإنزيم. 20. $1.28/2.0 = 0.64 = (k_2/(k_2 + k_3))^2$ ، ومنه $k_2/(k_2 + k_3) = 0.80$ . 21. $200/2.0 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ ، أي القيمة نفسها كما في الجزء الأول. 22. $k_2 = 0.80 \times 625 = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ، $k_3 = 125\,\mathrm{s}^{-1}$ . 23. $500 \times 125/625 = 100\,\mathrm{s}^{-1}$ . 24. $[\mathrm I]_{90\,\%} = 18K_i \approx 0.45\,\mathrm{mM}$ عند $[\mathrm S] = K_M$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (852) في المسرد