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Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer año · স্নাতক প্রথম বর্ষ

1Astronomía esférica

En una noche despejada, lejos de cualquier población, una cámara de larga exposición apuntada al cielo registra las estrellas como arcos de círculos, todos centrados en un punto que no se mueve. Una estrella que salió por el este a las nueve de esta noche saldrá hacia las nueve menos cinco de mañana, y cada noche algo antes. El Sol al mediodía está más alto en junio que en diciembre, y en el extremo norte no se pone en pleno verano. Todo esto es la rotación de la Tierra y su órbita alrededor del Sol, vistas desde el suelo. Para describirlo, el astrónomo y el geocientífico necesitan coordenadas sobre una esfera, la trigonometría de los triángulos trazados sobre una esfera y relojes que sigan el paso de las estrellas o del Sol. Este capítulo construye esas herramientas. Volverán a aparecer en la cinemática de placas (Capítulo 12), donde las placas giran sobre la esfera, y en los capítulos sobre el clima (Capítulo 27), donde la luz solar que recibe cada latitud impulsa los vientos y las corrientes.

Lo que ya sabes

La Tierra gira sobre su eje una vez al día y da una vuelta al Sol una vez al año, en una órbita casi circular; su eje está inclinado respecto de la órbita, lo que produce las estaciones (los libros de física de los años 6 y 12; las leyes de Kepler se recuerdan del libro 3, primer año). Un punto de la Tierra queda determinado por su latitud y su longitud (libro 1, año 6). Un vector de longitud uno queda fijado por dos ángulos, como en las coordenadas esféricas; el producto escalar de dos vectores unitarios es el coseno del ángulo que forman, y el producto mixto $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ no cambia si se permutan cíclicamente los tres vectores.

1.1 Triángulos sobre una esfera

Definición 1.1 (Círculo máximo, triángulo esférico)

Un círculo máximo de una esfera es su intersección con un plano que pasa por su centro; cualquier otra sección plana es un círculo menor. Por dos puntos que no son diametralmente opuestos pasa exactamente un círculo máximo, y el más corto de sus dos arcos es el camino más corto sobre la esfera entre los puntos. Un triángulo esférico es la figura formada por tres puntos de la esfera, sus vértices $A$ , $B$ , $C$ , unidos por arcos de círculos máximos de menos de $180{}^{\circ}$ . Sus lados $a$ , $b$ , $c$ (opuestos a $A$ , $B$ , $C$ ) se miden por los ángulos que subtienden en el centro; sus ángulos $A$ , $B$ , $C$ son los ángulos entre los planos de los lados que se encuentran en cada vértice.

En la esfera de radio $R$ , un lado de $a$ radianes mide $Ra$ . Todo lado y todo ángulo están comprendidos entre $0$ y $\pi$ .

Un triángulo esférico ABC sobre una esfera de centro O. Los lados a, b, c son arcos de círculos máximos, medidos por los ángulos BOC, COA, AOB; el ángulo A (rojo) es el ángulo entre los dos lados que se encuentran en A. El triángulo dibujado tiene a = 78.6, b = 62.6, c = 64.8 y ángulos de 89.9, 64.9 y 67.4, que suman más de 180. — Un triángulo esférico $ABC$ sobre una esfera de centro $O$ . Los lados $a$ , $b$ , $c$ son arcos de círculos máximos, medidos por los ángulos $BOC$ , $COA$ , $AOB$ ; el ángulo $A$ (rojo) es el ángulo entre los dos lados que se encuentran en $A$ . El triángulo dibujado tiene $a = 78.6{}^{\circ}$ , $b = 62.6{}^{\circ}$ , $c = 64.8{}^{\circ}$ y ángulos de $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ y $67.4{}^{\circ}$ , que suman más de $180{}^{\circ}$ .

Teorema 1.2 (Teorema del coseno)

En un triángulo esférico,

\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A .

Demostración. Trabajemos sobre la esfera unitaria y elijamos los ejes con $A$ en el polo: $\vec A = (0, 0, 1)$ , y el plano $xz$ que contiene a $B$ : $\vec B = (\sin c, 0, \cos c)$ , pues $B$ está a la distancia angular $c$ de $A$ . El punto $C$ está a la distancia angular $b$ de $A$ , sobre un círculo máximo que pasa por $A$ y forma el ángulo $A$ con el plano $xz$ : $\vec C = (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b)$ . El lado $a$ es el ángulo entre $\vec B$ y $\vec C$ , así que

\cos a = \vec B\cdot\vec C = \sin c\sin b\cos A + \cos c\cos b. \qedhere

∎

Teorema 1.3 (Teorema del seno)

En un triángulo esférico,

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.

Demostración. Con los vectores de la demostración anterior, el producto vectorial $\vec B \times \vec C = (-\cos c\sin b\sin A,\ \cos c\sin b\cos A - \sin c\cos b,\ \sin c\sin b\sin A)$ , así que el producto mixto es $\vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \sin b\sin c\sin A$ . El producto mixto no cambia al permutar cíclicamente $A$ , $B$ , $C$ ; colocando $B$ , y luego $C$ , en el polo se obtiene de la misma manera $\sin c\sin a\sin B$ y $\sin a\sin b\sin C$ . Las tres expresiones son iguales; dividiendo por $\sin a\sin b\sin c$ se obtiene la regla. ∎

Cuando los lados son pequeños comparados con el radio, $\cos a \approx 1 - a^2/2$ y $\sin a \approx a$ , y las dos reglas se convierten en las del coseno y del seno de los triángulos planos: sobre un trozo de esfera lo bastante pequeño la esfera es plana. En un triángulo grande, en cambio, no es así: los ángulos de un triángulo esférico suman más de $180{}^{\circ}$ (Ejercicio 1.12).

Método 1.4 (Distancia y rumbo sobre la esfera)

Para hallar la distancia más corta entre dos lugares de latitudes $\varphi_1$ , $\varphi_2$ y longitudes $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , y la dirección en la que partir:

forme el triángulo con vértices en el polo norte $P$ y en los dos lugares; sus lados desde el polo son las colatitudes $90{}^{\circ} - \varphi_1$ y $90{}^{\circ} - \varphi_2$ , y su ángulo en el polo es la diferencia de longitud $\Delta\lambda$ ;
el teorema del coseno da la distancia angular $\Delta$ : $\cos\Delta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda$ ; la distancia es $R\Delta$ ( $\Delta$ en radianes);
el rumbo inicial es el ángulo del triángulo en el primer lugar, obtenido con el teorema del coseno aplicado al lado opuesto, $\sin\varphi_2 = \sin\varphi_1\cos\Delta + \cos\varphi_1\sin\Delta\cos \mathrm{Az}$ , y se mide desde el norte hacia el segundo lugar.

El rumbo cambia a lo largo del círculo máximo (salvo sobre un meridiano o el ecuador): un barco o un avión que mantenga el mismo rumbo de brújula sigue otra curva, más larga.

1.2 Coordenadas sobre la esfera

Definición 1.5 (Latitud y longitud)

Sea la Tierra una esfera que gira alrededor de su eje polar. La latitud $\varphi$ de un punto es el ángulo entre el plano ecuatorial y el radio que pasa por el punto, desde $-90{}^{\circ}$ (polo sur) hasta $+90{}^{\circ}$ (polo norte); su longitud $\lambda$ es el ángulo, medido en el plano ecuatorial, entre el semiplano meridiano del punto y el del meridiano de referencia, el que pasa por Greenwich, contado positivo hacia el este, desde $-180{}^{\circ}$ hasta $180{}^{\circ}$ .

De hecho la Tierra está un poco aplastada; la latitud que se usa en los mapas y en el cielo es el ángulo entre la vertical local y el plano ecuatorial, que difiere del ángulo geocéntrico en a lo sumo $0.2{}^{\circ}$ (Capítulo 11). Las líneas de igual latitud, los paralelos, son círculos menores; los meridianos son mitades de círculos máximos.

Definición 1.6 (La esfera celeste)

La esfera celeste es una esfera imaginaria centrada en el observador, sobre la que cada estrella se sitúa en su dirección; solo importan las direcciones, no las distancias. Las prolongaciones del eje de la Tierra cortan a la esfera en los polos celestes norte y sur; el plano del ecuador terrestre la corta según el ecuador celeste. El cenit es el punto situado justo encima, sobre la vertical del lugar; el horizonte es el círculo máximo a $90{}^{\circ}$ de él. El meridiano local es el círculo máximo que pasa por el cenit y por los polos celestes; corta al horizonte en los puntos norte y sur.

Al girar la Tierra de oeste a este, la esfera celeste parece girar en sentido contrario, de este a oeste, alrededor del eje de los polos celestes, una vuelta en algo menos de un día. Las estrellas conservan sus posiciones relativas: están tan lejos que un viaje de un año alrededor del Sol cambia sus direcciones en menos de un segundo de arco (Capítulo 2).

Definición 1.7 (Coordenadas horizontales)

La altura $h$ de una estrella es su ángulo sobre el horizonte, desde $-90{}^{\circ}$ hasta $90{}^{\circ}$ ; su distancia cenital es $z = 90{}^{\circ} - h$ . Su acimut $\mathrm{A}$ es el ángulo, a lo largo del horizonte, desde el punto norte hasta el pie del círculo vertical de la estrella, contado de $0{}^{\circ}$ a $360{}^{\circ}$ pasando por el este.

Las coordenadas horizontales son las del observador: cambian con el lugar y con el tiempo. Las coordenadas del propio cielo se mueven con su rotación.

Definición 1.8 (Coordenadas ecuatoriales)

La declinación $\delta$ de una estrella es su ángulo respecto del ecuador celeste, positivo hacia el norte, desde $-90{}^{\circ}$ hasta $90{}^{\circ}$ . El círculo máximo que pasa por la estrella y por los polos celestes es su círculo horario. El ángulo horario $H$ de la estrella es el ángulo, en el polo celeste, entre el meridiano local y el círculo horario de la estrella, contado hacia el oeste, en horas de $15{}^{\circ}$ . La ascensión recta $\alpha$ es el ángulo a lo largo del ecuador celeste desde un punto fijo del cielo, el punto vernal (Definición 1.12), hasta el círculo horario de la estrella, contado hacia el este, también en horas.

La declinación y la ascensión recta son fijas en el cielo, como la latitud y la longitud en la Tierra: los catálogos las recogen. La palabra declinación se usa aquí solo en este sentido astronómico; el ángulo entre el norte geográfico y el norte de una brújula se llama siempre declinación magnética (Capítulo 6).

Proposición 1.9 (De coordenadas ecuatoriales a horizontales)

A la latitud $\varphi$ , una estrella de declinación $\delta$ y ángulo horario $H$ tiene la altura y el acimut dados por

\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H, \qquad \cos\mathrm{A} = \frac{\sin\delta - \sin\varphi\sin h}{\cos\varphi\cos h},

con $\mathrm{A}$ comprendido entre $0{}^{\circ}$ y $180{}^{\circ}$ cuando la estrella está al este del meridiano ( $\sin H < 0$ ) y $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - \arccos(\dots)$ cuando está al oeste. En particular, la altura del polo celeste norte es igual a la latitud.

Demostración. Consideremos el triángulo formado por el polo celeste norte $P$ , el cenit $Z$ y la estrella $X$ (el triángulo de posición, o astronómico). La vertical local forma el ángulo $\varphi$ con el plano ecuatorial, así que $PZ = 90{}^{\circ} - \varphi$ ; $PX = 90{}^{\circ} - \delta$ ; $ZX = 90{}^{\circ} - h$ . El ángulo en $P$ es el ángulo horario $H$ ; el ángulo en $Z$ es el acimut de la estrella medido desde el norte (al este o al oeste del meridiano). El teorema del coseno para el lado $ZX$ , opuesto a $P$ , da $\cos(90{}^{\circ} - h) = \cos(90{}^{\circ} - \varphi)\cos(90{}^{\circ} - \delta) + \sin(90{}^{\circ} - \varphi)\sin(90{}^{\circ} - \delta)\cos H$ , la primera fórmula. El teorema del coseno para el lado $PX$ , opuesto a $Z$ , da $\sin\delta = \sin\varphi\sin h + \cos\varphi\cos h\cos\mathrm{A}$ , la segunda. Para el polo, $\delta = 90{}^{\circ}$ y la primera fórmula se reduce a $\sin h = \sin\varphi$ . ∎

El cielo a la latitud 45 N, visto desde el oeste, con el norte a la izquierda. El polo celeste norte P está a una altura sobre el punto norte igual a la latitud (en rojo: el eje de los polos celestes); el ecuador celeste (azul) corta al horizonte en los puntos este y oeste. Una estrella X de declinación 25, tres horas y veinte minutos después de su paso por el meridiano (ángulo horario 50), está a la altura h = 45.3 (en verde: su círculo vertical, desde el cenit Z hasta el horizonte) y al acimut 261; su círculo horario (trazo y punto) va desde el polo hasta el ecuador pasando por la estrella. Calculado con . — El cielo a la latitud $45{}^{\circ}$ N, visto desde el oeste, con el norte a la izquierda. El polo celeste norte $P$ está a una altura sobre el punto norte igual a la latitud (en rojo: el eje de los polos celestes); el ecuador celeste (azul) corta al horizonte en los puntos este y oeste. Una estrella $X$ de declinación $25{}^{\circ}$ , tres horas y veinte minutos después de su paso por el meridiano (ángulo horario $50{}^{\circ}$ ), está a la altura $h = 45.3{}^{\circ}$ (en verde: su círculo vertical, desde el cenit $Z$ hasta el horizonte) y al acimut $261{}^{\circ}$ ; su círculo horario (trazo y punto) va desde el polo hasta el ecuador pasando por la estrella. Calculado con Proposición 1.9.

Proposición 1.10 (Culminación y estrellas circumpolares)

A la latitud $\varphi$ , una estrella de declinación $\delta$ cruza el meridiano ( $H = 0$ ) a la altura $90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ , al sur del cenit si $\delta < \varphi$ , al norte de él si $\delta > \varphi$ . En el hemisferio norte ( $\varphi > 0$ ) nunca se pone si $\delta > 90{}^{\circ} - \varphi$ y nunca sale si $\delta < -(90{}^{\circ} - \varphi)$ .

Demostración. Para $H = 0$ , $\sin h = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta = \cos(\varphi - \delta)$ , luego $h = 90{}^{\circ} - |\varphi - \delta|$ . La altura mínima, en $H = 180{}^{\circ}$ , cumple $\sin h = -\cos(\varphi + \delta)$ ; es positiva cuando $\varphi + \delta > 90{}^{\circ}$ . La estrella permanece bajo el horizonte cuando incluso su altura máxima es negativa, $|\varphi - \delta| > 90{}^{\circ}$ . ∎

Definición 1.11 (Estrella circumpolar)

Una estrella circumpolar es una estrella que nunca se pone a la latitud del observador: da vueltas alrededor del polo celeste, cruza el meridiano por encima del polo y, doce horas sidéreas después, por debajo.

Trazos de estrellas sobre el Observatorio de Paranal, en el desierto de Atacama, a la latitud 24.6 S: una exposición larga registra el arco de cada estrella alrededor del polo celeste sur, que se encuentra 24.6 sobre el horizonte sur. Fotografía de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0. — Trazos de estrellas sobre el Observatorio de Paranal, en el desierto de Atacama, a la latitud $24.6{}^{\circ}$ S: una exposición larga registra el arco de cada estrella alrededor del polo celeste sur, que se encuentra $24.6{}^{\circ}$ sobre el horizonte sur. Fotografía de R. Wesson/ESO, CC BY 4.0.

1.3 Tiempo sidéreo y tiempo solar

Definición 1.12 (La eclíptica)

La eclíptica es el círculo máximo de la esfera celeste sobre el que el Sol parece moverse en un año, la traza del plano de la órbita de la Tierra. Está inclinada respecto del ecuador celeste en la oblicuidad de la eclíptica $\varepsilon$ , la inclinación del eje de la Tierra respecto de su órbita. La eclíptica corta al ecuador en dos puntos; el punto vernal $\gamma$ es aquel en el que el Sol cruza el ecuador hacia el norte, en marzo. La longitud eclíptica del Sol $\lambda_\odot$ es su ángulo a lo largo de la eclíptica desde $\gamma$ , contado hacia el este.

La oblicuidad es hoy $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ .

Definición 1.13 (Tiempo sidéreo)

El tiempo sidéreo local es el ángulo horario del punto vernal $\gamma$ . Un día sidéreo es el intervalo entre dos pasos de $\gamma$ por el meridiano.

Como la ascensión recta se cuenta hacia el este desde $\gamma$ y el ángulo horario hacia el oeste desde el meridiano, para cada estrella

H = \mathrm{LST} - \alpha ,

donde LST es el tiempo sidéreo local: una estrella cruza el meridiano cuando el tiempo sidéreo es igual a su ascensión recta. Un reloj de observatorio que marque el tiempo sidéreo indica de un vistazo qué parte del cielo está en el cenit.

Proposición 1.14 (Días sidéreo y solar)

En un año trópico de $N$ días solares medios, la Tierra da $N + 1$ vueltas respecto de las estrellas. Por tanto, el día sidéreo dura

\frac{N}{N + 1}\times24\,\mathrm{h},

y con $N = 365.2422$ esto da $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4.09\,\mathrm{s}$ : una estrella cruza el meridiano $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ de tiempo solar medio antes cada día.

Demostración. Contemos las vueltas respecto del Sol y respecto de las estrellas a lo largo de un año. El Sol da una vuelta a la eclíptica hacia el este en un año, en el sentido de la rotación de la Tierra. Respecto del Sol, la Tierra da, pues, una vuelta menos que respecto de las estrellas: $N$ días solares y $N + 1$ días sidéreos llenan el mismo año. El día sidéreo es $N/(N+1)$ de un día solar, es decir, $86\,400\,\mathrm{s}\times 365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s}$ ; la diferencia es $235.9\,\mathrm{s}$ . Esto concuerda con el periodo de rotación de la Tierra respecto de las estrellas, $23.9345\,\mathrm{h}$ . ∎

Definición 1.15 (Tiempo solar)

El tiempo solar aparente es el ángulo horario del Sol más 12 horas: un reloj de sol lo indica, y es mediodía cuando el Sol cruza el meridiano. El tiempo solar medio es el ángulo horario, más 12 horas, de un Sol ficticio medio que recorre el ecuador celeste a ritmo uniforme, dando una vuelta en un año trópico. Su diferencia, aparente menos medio, es la ecuación del tiempo.

El Sol verdadero adelanta y retrasa respecto del Sol medio por dos razones. La Tierra se mueve más deprisa cerca del perihelio, a comienzos de enero, que cerca del afelio, así que el avance del Sol a lo largo de la eclíptica es irregular (segunda ley de Kepler); y el Sol se mueve por la eclíptica, inclinada respecto del ecuador, de modo que incluso un movimiento uniforme a lo largo de la eclíptica se proyecta sobre el ecuador, que es lo que mide el ángulo horario, de forma irregular, más deprisa cerca de los solsticios que cerca de los equinoccios. Los relojes civiles marcan el tiempo solar medio del meridiano de referencia de su huso horario; la hora solar media en la longitud $\lambda$ va por delante de la hora de Greenwich en $\lambda/15{}^{\circ}$ horas.

La ecuación del tiempo a lo largo del año (tiempo solar aparente menos medio): un reloj de sol adelanta hasta 16.4\, min a comienzos de noviembre y atrasa 14.2\, min a mediados de febrero. Calculada con una órbita de Kepler de excentricidad 0.0167, la oblicuidad 23.44, la longitud del perihelio y la fecha del equinoccio de marzo de 2026. — La ecuación del tiempo a lo largo del año (tiempo solar aparente menos medio): un reloj de sol adelanta hasta $16.4\,\mathrm{min}$ a comienzos de noviembre y atrasa $14.2\,\mathrm{min}$ a mediados de febrero. Calculada con una órbita de Kepler de excentricidad 0.0167, la oblicuidad $23.44{}^{\circ}$ , la longitud del perihelio y la fecha del equinoccio de marzo de 2026.

1.4 Salida, puesta y el Sol

Proposición 1.16 (Salida y puesta)

A la latitud $\varphi$ , una estrella de declinación $\delta$ que sale y se pone cruza el horizonte en los ángulos horarios $\pm H_0$ con

\cos H_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,

en el acimut $\mathrm{A}_0$ con $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ (en la salida; se pone en $360{}^{\circ} - \mathrm{A}_0$ ). Permanece sobre el horizonte durante $2H_0$ , convertido en horas a razón de $15{}^{\circ}$ por hora.

Demostración. En el horizonte $h = 0$ , y la Proposición 1.9 da $0 = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H_0$ , y $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\delta/\cos\varphi$ . El ángulo horario crece uniformemente, a razón de $15{}^{\circ}$ por hora, desde $-H_0$ en la salida hasta $+H_0$ en la puesta. ∎

Para el Sol esto da la duración del día, si el Sol se trata como un punto y se ignora la refracción de la luz por el aire (que añaden unos minutos de luz diurna). En los equinoccios $\delta = 0$ , $H_0 = 90{}^{\circ}$ : el día y la noche duran doce horas en todas partes, y el Sol sale exactamente por el este.

La trayectoria del Sol por el cielo a la latitud 45 N en el solsticio de junio (rojo), los equinoccios (negro) y el solsticio de diciembre (azul), con las alturas al mediodía 90 - + _. En los equinoccios el Sol sale exactamente por el este y se pone por el oeste; en junio sale por el nordeste. — La trayectoria del Sol por el cielo a la latitud $45{}^{\circ}$ N en el solsticio de junio (rojo), los equinoccios (negro) y el solsticio de diciembre (azul), con las alturas al mediodía $90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ . En los equinoccios el Sol sale exactamente por el este y se pone por el oeste; en junio sale por el nordeste.

Proposición 1.17 (Declinación del Sol)

Cuando el Sol está en la longitud eclíptica $\lambda_\odot$ , su declinación y su ascensión recta cumplen

\sin\delta_\odot = \sin\varepsilon\sin\lambda_\odot, \qquad \tan\alpha_\odot = \cos\varepsilon\tan\lambda_\odot .

Demostración. Tomemos ejes con $x$ hacia $\gamma$ y $z$ hacia el polo celeste norte. En los ejes $x$ , $y'$ , $z'$ ligados a la eclíptica, con $z'$ hacia su polo, la dirección del Sol es $(\cos\lambda_\odot, \sin\lambda_\odot, 0)$ . Los ejes de la eclíptica son los del ecuador girados el ángulo $\varepsilon$ alrededor de $x$ , así que en los ejes ecuatoriales la dirección del Sol es $(\cos\lambda_\odot,\ \sin\lambda_\odot\cos\varepsilon,\ \sin\lambda_\odot\sin\varepsilon)$ . Su componente $z$ es $\sin\delta_\odot$ ; el cociente de sus componentes $y$ y $x$ es $\tan\alpha_\odot$ . ∎

Duración del día (centro del Sol por encima del horizonte geométrico) a lo largo del año en cinco latitudes norte, a partir de . A 70 N el Sol se mantiene sobre el horizonte durante semanas alrededor del solsticio de junio y permanece bajo él alrededor del solsticio de diciembre. En el hemisferio sur las curvas están desplazadas medio año. — Duración del día (centro del Sol por encima del horizonte geométrico) a lo largo del año en cinco latitudes norte, a partir de Proposiciones 1.16 y 1.17. A $70{}^{\circ}$ N el Sol se mantiene sobre el horizonte durante semanas alrededor del solsticio de junio y permanece bajo él alrededor del solsticio de diciembre. En el hemisferio sur las curvas están desplazadas medio año.

Definición 1.18 (Insolación)

La insolación en un lugar y un instante es la potencia de la luz solar recibida por unidad de área de una superficie horizontal en el alto de la atmósfera. Con $S_0$ la irradiancia solar a la distancia media $a$ del Sol, $r$ la distancia real y $\theta_z$ la distancia cenital del Sol,

I = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\cos\theta_z = S_0\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin h_\odot \quad (h_\odot > 0), \qquad I = 0 \text{ de noche}.

El factor $(a/r)^2$ es la ley de la inversa del cuadrado para la luz (los libros de física); el factor $\cos\theta_z$ aparece porque un haz de sección un metro cuadrado se extiende sobre $1/\cos\theta_z$ metros cuadrados de suelo horizontal. Con $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ y una distancia Sol–Tierra de $147.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ en el perihelio y $152.1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ en el afelio, el factor $(a/r)^2$ varía en $\pm3.4\,\%$ a lo largo del año. La inclinación del eje hace mucho más: cambia a la vez la altura del Sol al mediodía y la duración del día, y estas dos cosas juntas producen las estaciones. Las sumas diarias y anuales de la insolación, que impulsan el clima, se calculan en el Capítulo 27.

1.5 Calendarios

Definición 1.19 (Año trópico)

El año trópico es el intervalo medio entre dos pasos del Sol por el punto vernal. Rige las estaciones; dura 365.2422 días solares medios.

El año trópico es unos veinte minutos más corto que el año sidéreo, el tiempo que tarda la Tierra en volver a la misma posición entre las estrellas (365.256 días), porque el eje de la Tierra gira lentamente —se precesa— y arrastra el punto vernal hacia atrás a lo largo de la eclíptica (el volumen de segundo año). Un calendario debe ajustar un número entero de días al año trópico, para que las estaciones vuelvan a caer en las mismas fechas.

Proposición 1.20 (El año gregoriano)

En el calendario gregoriano, un año es bisiesto, de 366 días, si su número es divisible por 4, salvo los años de siglo, que solo son bisiestos si son divisibles por 400. Su año medio es

365 + \frac14 - \frac1{100} + \frac1{400} = 365.2425\text{ días},

y deriva respecto de las estaciones un día cada unos 3300 años.

Demostración. En 400 años hay 100 años divisibles por 4; entre ellos hay cuatro años de siglo, de los que tres no son divisibles por 400. Así pues, hay 97 años bisiestos y $400\times 365 + 97 = 146\,097$ días, es decir, 365.2425 días al año. Frente a un año trópico de 365.2422 días, el exceso es 0.0003 días al año: un día en $1/0.0003 \approx 3300$ años. ∎

Historia — La reforma de 1582

El calendario juliano, heredado de Roma, añadía un día bisiesto cada cuatro años: su año de 365.25 días es más largo que el año trópico en 0.0078 días, un día cada 128 años. Con los siglos, la fecha del equinoccio vernal se alejó del 21 de marzo, fecha en la que se basaba el cálculo de la Pascua. En 1582 el papa Gregorio XIII introdujo el calendario que lleva su nombre, que eliminó de golpe los días acumulados y sustituyó la regla juliana por la de Proposición 1.20. Se ha convertido en el calendario civil aceptado internacionalmente.

Sobre el terreno — Hallar una posición con las estrellas

Antes de los sistemas de posicionamiento por satélite, los navegantes en alta mar hallaban su latitud y su longitud a partir del cielo. Con un sextante medían la altura del Sol al mediodía, o la de dos o tres estrellas al anochecer, y leían la hora en un cronómetro que llevaba la hora del meridiano de Greenwich. Cada altura, junto con la declinación de la estrella y su ángulo horario en Greenwich tomados de un almanaque, da un pequeño círculo sobre la Tierra en el que se encuentra el barco: el círculo de los puntos donde la estrella tiene esa altura. Dos o tres de estos círculos se cortan en la posición del barco: trigonometría esférica resuelta cada día en el mar. La altura del Sol al mediodía por sí sola da la latitud (Proposición 1.10); la hora del mediodía local da la longitud, a razón de cuatro minutos de tiempo por grado.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Un observador está a la latitud $52{}^{\circ}$ N. ¿A qué altura se encuentra el polo celeste norte? ¿Qué estrellas, por su declinación, no se ponen nunca allí, y cuáles no salen nunca?

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

La altura del polo es igual a la latitud: $52{}^{\circ}$ . Una estrella no se pone nunca si $\delta > 90{}^{\circ} - 52{}^{\circ} = 38{}^{\circ}$ , y no sale nunca si $\delta < -38{}^{\circ}$ .

Ejercicio 1.2 ★

Conviértase una ascensión recta de $6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ en grados. Con un tiempo sidéreo local de $10\,\mathrm{h}$ $0\,\mathrm{min}$ , ¿cuál es el ángulo horario de una estrella de esa ascensión recta? ¿Está la estrella al este o al oeste del meridiano?

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

$6.75\,\mathrm{h}\times15{}^{\circ} = 101.25{}^{\circ}$ . $H = \mathrm{LST} - \alpha = 10\,\mathrm{h} - 6\,\mathrm{h}\,45\,\mathrm{min} = 3\,\mathrm{h}\,15\,\mathrm{min}$ , es decir, $48.75{}^{\circ}$ . El ángulo horario es positivo: la estrella está al oeste del meridiano, que cruzó hace tres horas y cuarto sidéreas.

Ejercicio 1.3 ★

A la latitud $40{}^{\circ}$ N, calcúlese la altura del Sol al mediodía en los dos solsticios y en los equinoccios ( $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

$h = 90{}^{\circ} - \varphi + \delta_\odot$ : $73.44{}^{\circ}$ en el solsticio de junio, $50{}^{\circ}$ en los equinoccios y $26.56{}^{\circ}$ en el solsticio de diciembre.

Ejercicio 1.4 ★

¿Fue 1900 año bisiesto? ¿Lo fue 2000? ¿Lo será 2100? ¿En cuántos días por siglo se desfasa el calendario juliano respecto de un año trópico de 365.2422 días, y en cuántos el gregoriano?

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

1900: divisible por 100 pero no por 400, no es bisiesto. 2000: divisible por 400, es bisiesto. 2100: no es bisiesto. El año juliano excede al año trópico en $365.25 - 365.2422 = 0.0078$ días, $0.78$ días por siglo; el gregoriano, en $0.0003$ días, $0.03$ días por siglo.

Ejercicio 1.5 ★★

Dos puntos están a la latitud $45{}^{\circ}$ N, a las longitudes $0{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$ E. Calcúlese la distancia sobre el círculo máximo entre ellos ( $R = 6371\,\mathrm{km}$ ) y la distancia a lo largo de su paralelo. ¿Cuál es más corta, y en cuánto?

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

$\cos\Delta = \sin^245{}^{\circ} + \cos^245{}^{\circ}\cos90{}^{\circ} = 0.5$ , luego $\Delta = 60{}^{\circ}$ y la distancia es $6371\times\pi/3 = 6672\,\mathrm{km}$ . A lo largo del paralelo, un círculo menor de radio $R\cos45{}^{\circ}$ , la distancia es $6371\times\cos45{}^{\circ}\times\pi/2 = 7076\,\mathrm{km}$ . El círculo máximo es más corto en unos $404\,\mathrm{km}$ .

Ejercicio 1.6 ★★

A la latitud $48{}^{\circ}$ N, una estrella de declinación $20{}^{\circ}$ tiene el ángulo horario $30{}^{\circ}$ . Calcúlese su altura y su acimut. ¿En qué dirección debe mirar el observador?

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

$\sin h = \sin48{}^{\circ}\sin20{}^{\circ} + \cos48{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 0.2542 + 0.5446 = 0.7987$ , $h = 53.0{}^{\circ}$ . $\cos\mathrm{A} = (\sin20{}^{\circ} - \sin48{}^{\circ}\sin53.0{}^{\circ})/(\cos48{}^{\circ} \cos53.0{}^{\circ}) = (0.3420 - 0.5935)/0.4027 = -0.6246$ , $\arccos = 128.7{}^{\circ}$ ; como la estrella está al oeste del meridiano ( $H > 0$ ), $\mathrm{A} = 360{}^{\circ} - 128.7{}^{\circ} = 231.3{}^{\circ}$ : hacia el suroeste, a $53{}^{\circ}$ sobre el horizonte.

Ejercicio 1.7 ★★

Calcúlese la duración del día a la latitud $60{}^{\circ}$ N en el solsticio de junio, tratando el Sol como un punto sobre un horizonte geométrico. Compruébese la respuesta con la figura de la duración del día.

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

$\cos H_0 = -\tan60{}^{\circ}\tan23.44{}^{\circ} = -1.7321\times0.4335 = -0.7510$ , $H_0 = 138.67{}^{\circ}$ ; la duración del día es $2\times138.67/15 = 18.49\,\mathrm{h}$ , unas $18\,\mathrm{h}$ $29\,\mathrm{min}$ , como indica la curva de $60{}^{\circ}$ N en el solsticio de junio.

Ejercicio 1.8 ★★

Una estrella cruza el meridiano esta noche a las 22:00 hora solar media local. ¿A qué hora lo cruzará dentro de 30 días? ¿Dentro de cuántos días lo cruzará a mediodía, cuando no es visible por la luz del día?

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

El paso se adelanta $3.93\,\mathrm{min}$ cada día, así que $30\times3.93 = 118\,\mathrm{min}$ en 30 días: la estrella cruza hacia las 20:02. Para cruzar a mediodía debe adelantarse $10\,\mathrm{h}$ = $600\,\mathrm{min}$ , lo que lleva $600/3.93 \approx 153$ días.

Ejercicio 1.9 ★★

Calcúlese la insolación en el borde superior de la atmósfera al mediodía a la latitud $45{}^{\circ}$ N (a) en un equinoccio, tomando $r = a$ ; (b) en el solsticio de junio, tomando para $r$ la distancia en el afelio. Datos: $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $a = 149.598 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ , afelio $152.100 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

(a) En un equinoccio la altura al mediodía es $45{}^{\circ}$ : $I = 1361\times\sin45{}^{\circ} = 962\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) En el solsticio de junio $h = 68.44{}^{\circ}$ y $(a/r)^2 = (149.598/152.100)^2 = 0.9674$ : $I = 1361\times0.9674\times\sin68.44{}^{\circ} = 1224\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . El Sol más alto compensa de sobra la mayor distancia.

Ejercicio 1.10 ★★★

Utilizando la Proposición 1.17, calcúlense la declinación y la ascensión recta del Sol cuando su longitud eclíptica es $60{}^{\circ}$ . ¿Cuántos grados va la ascensión recta por detrás de la longitud? Explíquese con este resultado por qué la inclinación de la eclíptica contribuye a la ecuación del tiempo.

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

$\sin\delta_\odot = \sin23.44{}^{\circ}\sin60{}^{\circ} = 0.3445$ , $\delta_\odot = 20.15{}^{\circ}$ . $\tan\alpha_\odot = \cos23.44{}^{\circ}\tan60{}^{\circ} = 1.5890$ , $\alpha_\odot = 57.82{}^{\circ}$ (en el mismo cuadrante que $\lambda_\odot$ ). La ascensión recta va por detrás en $2.18{}^{\circ}$ , es decir, $2.18\times4 \approx 8.7\,\mathrm{min}$ de tiempo. Un Sol que se moviera uniformemente a lo largo de la eclíptica seguiría moviéndose de forma irregular en ascensión recta, que es la magnitud que fija el ángulo horario y, con él, el reloj de sol: detrás del Sol medio entre un equinoccio y el siguiente solsticio, delante entre un solsticio y el siguiente equinoccio. Es el término de oblicuidad de la ecuación del tiempo.

Ejercicio 1.11 ★★★

Demuéstrese que en el solsticio de junio el Sol sale con un acimut $\mathrm{A}_0$ tal que $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . ¿A qué latitud sale el Sol exactamente por el nordeste? ¿Qué ocurre con la fórmula a latitudes superiores a $90{}^{\circ} - \varepsilon$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 1.11.

En la salida $h = 0$ , así que la Proposición 1.9 da $\sin\delta = \cos\varphi\cos\mathrm{A}_0$ ; en el solsticio de junio $\delta = \varepsilon$ , luego $\cos\mathrm{A}_0 = \sin\varepsilon/\cos\varphi$ . Para $\mathrm{A}_0 = 45{}^{\circ}$ : $\cos\varphi = \sin23.44{}^{\circ}/\cos45{}^{\circ} = 0.5626$ , $\varphi = 55.8{}^{\circ}$ N. Por encima de $90{}^{\circ} - \varepsilon = 66.56{}^{\circ}$ , $\sin\varepsilon/\cos\varphi > 1$ : no hay acimut de salida, porque el Sol no se pone ese día (sol de medianoche).

Ejercicio 1.12 ★★★

Un huso esférico es la parte de una esfera comprendida entre dos semicírculos máximos que unen dos puntos opuestos, formando entre sí el ángulo $\theta$ . (a) Demuéstrese que su área es $2\theta R^2$ . (b) Cada lado de un triángulo esférico $ABC$ , prolongado hasta formar un círculo máximo completo, da junto con los otros dos pares de husos opuestos de ángulos $A$ , $B$ , $C$ que cubren la esfera; el triángulo y su opuesto quedan cubiertos tres veces. Dedúzcase el teorema de Girard: el área del triángulo es $R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) Aplíquese al triángulo con tres ángulos rectos y al triángulo dibujado en este capítulo (ángulos $89.9{}^{\circ}$ , $64.9{}^{\circ}$ , $67.4{}^{\circ}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 1.12.

(a) Un huso de ángulo $\theta$ es la fracción $\theta/2\pi$ de la esfera: $\frac{\theta}{2\pi}\times4\pi R^2 = 2\theta R^2$ . (b) Los tres pares de husos tienen área total $2\times(2A + 2B + 2C)R^2$ ; cubren la esfera una vez, salvo el triángulo y su opuesto, cubiertos tres veces cada uno, es decir, dos veces más de lo necesario: $4(A + B + C)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$ , donde $S$ es el área del triángulo. Así, $S = R^2(A + B + C - \pi)$ . (c) Tres ángulos rectos: $S = R^2(3\pi/2 - \pi) = \pi R^2/2$ , una octava parte de la esfera (un octante). El triángulo de la figura: $89.9 + 64.9 + 67.4 - 180 = 42.2{}^{\circ}$ , es decir, $0.736$ radianes: $S = 0.736\,R^2$ , $5.9\,\%$ de la esfera.

1.7 Problema: una noche en un observatorio de montaña

Problema 1.1

Problema de fin de semana — dónde está el Observatorio de Paranal, qué muestra su cielo y cuánto dura su noche más larga

El Observatorio de Paranal se encuentra en el desierto de Atacama, a la latitud $24.63{}^{\circ}$ S y la longitud $70.40{}^{\circ}$ O. El Observatorio Real de Greenwich, por el que se cuentan las longitudes, está en $51.48{}^{\circ}$ N, $0.00{}^{\circ}$ . Dos estrellas brillantes del cielo austral tienen las coordenadas

estrella	ascensión recta	declinación
Sirio	$6\,\mathrm{h}$ $45\,\mathrm{min}$ $9\,\mathrm{s}$	$-16.72{}^{\circ}$
Canopo	$6\,\mathrm{h}$ $23\,\mathrm{min}$ $57\,\mathrm{s}$	$-52.70{}^{\circ}$

Tómese $R = 6371\,\mathrm{km}$ , $\varepsilon = 23.44{}^{\circ}$ , un año trópico de 365.2422 días, y trátese el Sol como un punto sobre un horizonte geométrico.

Parte I — Paranal sobre el globo.

Calcúlense las colatitudes de Paranal y de Greenwich, y su diferencia de longitud.
Escríbase el teorema del coseno para el triángulo con vértices en el polo norte, Paranal y Greenwich, y calcúlese el coseno de la distancia angular $\Delta$ entre los dos observatorios.
Dedúzcase $\Delta$ en grados y la distancia en kilómetros.
Calcúlese el rumbo inicial desde Paranal hacia Greenwich (Método 1.4).
Compruébese el rumbo con el teorema del seno.
¿Llegaría a Greenwich un avión que mantuviera este rumbo durante todo el trayecto? Explíquese.

Parte II — El cielo de Paranal.

¿A qué altura se encuentra el polo celeste sur sobre el horizonte sur de Paranal?
¿A qué altura cruza Sirio el meridiano, y a qué lado del cenit?
¿Por debajo de qué declinación es una estrella circumpolar en Paranal? ¿Es Canopo circumpolar?
¿Cuál es la altura máxima que alcanza Canopo?
Calcúlese el ángulo horario al que sale Sirio y el tiempo que permanece sobre el horizonte, en horas sidéreas.
¿A qué acimut sale Sirio?

Parte III — Relojes.

¿Cuál es el tiempo sidéreo local cuando Sirio cruza el meridiano?
Calcúlese la duración del día sidéreo, y en cuántos minutos se adelanta cada noche el paso de una estrella por el meridiano.
Tómese el tiempo sidéreo local a la medianoche local media igual a $12\,\mathrm{h}$ en el equinoccio de marzo (20 de marzo de 2026), cuando el Sol está cerca del punto vernal; entonces gana $24/365.2422$ horas cada día. ¿Cuántos días después del equinoccio cruza Sirio el meridiano a la medianoche local media? ¿En qué fecha?
Esa noche, ¿en cuánto difiere la hora solar media en Paranal de la hora de Greenwich?
La ecuación del tiempo es entonces de unos $-3\,\mathrm{min}$ . ¿Qué hora marca un reloj de sol en el observatorio (tiempo solar aparente) cuando Sirio cruza el meridiano?
¿Cuánto antes lo cruza una semana después?

Parte IV — La noche más larga.

¿Cuál es la declinación del Sol en cada solsticio?
Calcúlese la altura del Sol al mediodía en Paranal en los solsticios de junio y de diciembre. ¿A qué lado del cenit está en diciembre?
En el solsticio de diciembre la distancia Sol–Tierra es 0.9837 veces la distancia media. Calcúlese la insolación al mediodía en el borde superior de la atmósfera sobre Paranal ( $S_0 = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ).
¿En qué solsticio es más larga la noche en Paranal? Calcúlese el ángulo horario de la puesta en esa fecha.
¿A qué acimut sale el Sol en esa fecha?
Dedúzcase la duración de la noche más larga del año en Paranal, en horas y minutos.

Solución

Solución de Problema 1.1.

1. Colatitudes $90{}^{\circ} - (-24.63{}^{\circ}) = 114.63{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ} - 51.48{}^{\circ} = 38.52{}^{\circ}$ ; diferencia de longitud $70.40{}^{\circ}$ .

2. $\cos\Delta = \cos114.63{}^{\circ}\cos38.52{}^{\circ} + \sin114.63{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}\cos70.40{}^{\circ} = -0.3260 + 0.1899 = -0.1362$ .

3. $\Delta = 97.83{}^{\circ}$ ; distancia $6371\times1.7074 = 10\,878\,\mathrm{km}$ , unos $10\,900\,\mathrm{km}$ .

\cos\mathrm{Az} = \frac{\cos38.52{}^{\circ} - \cos114.63{}^{\circ}\cos97.83{}^{\circ}} {\sin114.63{}^{\circ}\sin97.83{}^{\circ}} = \frac{0.7823 - 0.0568}{0.9006} = 0.8056 ,

$\mathrm{Az} = 36.3{}^{\circ}$ , hacia el nordeste.

5. $\sin\mathrm{Az} = \sin70.40{}^{\circ}\sin38.52{}^{\circ}/\sin97.83{}^{\circ} = 0.5922$ , que da $36.3{}^{\circ}$ o $143.7{}^{\circ}$ ; el coseno positivo de la pregunta 4 elige $36.3{}^{\circ}$ .

6. No. Un rumbo constante corta todos los meridianos con el mismo ángulo y se enrolla hacia un polo; el rumbo del círculo máximo cambia de forma continua (solo vale $36.3{}^{\circ}$ al principio). El avión recorrería un trayecto más largo y llegaría a otro punto, salvo que corrigiera el rumbo.

7. La altura del polo celeste sur es igual al valor absoluto de la latitud: $24.63{}^{\circ}$ .

8. $h = 90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - (-16.72{}^{\circ})| = 82.09{}^{\circ}$ ; $\delta > \varphi$ , así que Sirio pasa $7.91{}^{\circ}$ al norte del cenit.

9. Una estrella no se pone nunca si $\delta < -(90{}^{\circ} - 24.63{}^{\circ}) = -65.37{}^{\circ}$ . Canopo, con $-52.70{}^{\circ}$ , no es circumpolar: se pone.

10. $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 52.70{}^{\circ}| = 61.93{}^{\circ}$ , al sur del cenit.

11. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ})\tan(-16.72{}^{\circ}) = -(0.4584)(0.3004) = -0.1377$ ; $H_0 = 97.92{}^{\circ}$ . Sirio permanece sobre el horizonte $2\times97.92/15 = 13.06\,\mathrm{h}$ de tiempo sidéreo, unas $13\,\mathrm{h}$ .

12. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin(-16.72{}^{\circ})/\cos24.63{}^{\circ} = -0.3165$ : Sirio sale con acimut $108.5{}^{\circ}$ , al sur del este.

13. Cuando $H = 0$ , $\mathrm{LST} = \alpha = 6\,\mathrm{h}~45\,\mathrm{min}~9\,\mathrm{s}$ .

14. $86\,400\,\mathrm{s}\times365.2422/366.2422 = 86\,164.09\,\mathrm{s} = 23\,\mathrm{h}~56\,\mathrm{min}~4\,\mathrm{s}$ ; el paso se adelanta $235.9\,\mathrm{s}$ , $3\,\mathrm{min}$ $56\,\mathrm{s}$ , cada noche.

15. Hace falta $12 + n\times24/365.2422 = 6.7525 + 24$ , así que $n = 18.7525/0.065710 = 285.4$ días. Doscientos ochenta y cinco días después del 20 de marzo es el 30 de diciembre: Sirio cruza el meridiano a medianoche local media en la noche del 30 al 31 de diciembre de 2026.

16. Paranal está $70.40{}^{\circ}$ al oeste de Greenwich: la hora solar media local va por detrás en $70.40/15 = 4.693\,\mathrm{h}$ , $4\,\mathrm{h}$ $41.6\,\mathrm{min}$ .

17. Tiempo solar aparente = tiempo solar medio + ecuación del tiempo = $0\,\mathrm{h} - 3\,\mathrm{min}$ : el reloj de sol marca unas 23:57.

18. $7\times3.93\,\mathrm{min} \approx 27.5\,\mathrm{min}$ antes.

19. $+23.44{}^{\circ}$ en el solsticio de junio, $-23.44{}^{\circ}$ en el solsticio de diciembre.

20. Junio: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} - 23.44{}^{\circ}| = 41.93{}^{\circ}$ . Diciembre: $90{}^{\circ} - |-24.63{}^{\circ} + 23.44{}^{\circ}| = 88.81{}^{\circ}$ ; como $\delta_\odot = -23.44{}^{\circ} > \varphi$ , el Sol pasa $1.19{}^{\circ}$ al norte del cenit.

21. $I = 1361\times(1/0.9837)^2\times\sin88.81{}^{\circ} = 1361\times 1.0334\times0.9998 = 1406\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

22. En junio, el invierno austral. $\cos H_0 = -\tan(-24.63{}^{\circ}) \tan23.44{}^{\circ} = 0.4584\times0.4335 = 0.1988$ : el Sol se pone con el ángulo horario $H_0 = 78.53{}^{\circ}$ .

23. $\cos\mathrm{A}_0 = \sin23.44{}^{\circ}/\cos24.63{}^{\circ} = 0.4376$ : $\mathrm{A}_0 = 64.0{}^{\circ}$ , al norte del este.

24. Duración del día $2\times78.53/15 = 10.47\,\mathrm{h}$ ; la noche más larga del año en Paranal dura $24 - 10.47 = 13.53\,\mathrm{h}$ , es decir, $13\,\mathrm{h}$ $32\,\mathrm{min}$ .

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