8Mineralogía óptica

Entre nicoles cruzados, una lámina delgada de gabro se ilumina como un vitral. Largas tablillas grises y blancas, rayadas como un código de barras, cruzan el campo; entre ellas, los granos brillan en azul, amarillo y magenta; unos pocos quedan negros cualquiera que sea el ángulo. Cada uno de estos efectos tiene una causa que puede calcularse, y cada uno dice qué mineral está ahí. Este capítulo explica cómo atraviesa la luz un cristal, por qué un mineral entre nicoles cruzados tiene color, cómo el color mide una propiedad del mineral, y cómo un petrólogo nombra los granos de una lámina delgada con solo un microscopio. Termina con una lámina desconocida cuyos minerales, y cuyo espesor real, se hallan a partir de lo que muestra.

Lo que ya sabes

Una lámina delgada es una rebanada de roca de unos $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor sobre un portaobjetos de vidrio; el microscopio de polarización la observa con luz polarizada plana (un polarizador) y entre nicoles cruzados (Capítulo 6). El índice de refracción $n$ de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y su velocidad en el medio, y la refracción en una interfase obedece a la ley de Snell $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (física, primer año universitario). La luz es una onda transversal; un polarizador deja pasar solo la componente del campo eléctrico según su dirección, de modo que un analizador a un ángulo $\alpha$ de él deja pasar la fracción $\cos^2\alpha$ de la intensidad (ley de Malus, física).

8.1 La luz en los cristales

En un vidrio, un líquido o un cristal cúbico, la luz viaja a la misma velocidad en todas las direcciones y cualquiera que sea su dirección de vibración. En la mayoría de los minerales no ocurre así: la disposición de los átomos cambia según las direcciones, y también la respuesta de los electrones al campo eléctrico de la onda.

Definición 8.1 (Minerales isótropos y anisótropos)

Un mineral es un mineral isótropo cuando su índice de refracción es el mismo para toda dirección de propagación y de vibración de la luz; los minerales cúbicos (granate, halita, espinela) y los vidrios son isótropos. Es un mineral anisótropo cuando su índice de refracción depende de la dirección de vibración; todos los minerales de los demás sistemas cristalinos son anisótropos.

Una lámina cortada de un cristal anisótropo no deja pasar la luz como una onda única. Admitimos el siguiente resultado de la óptica cristalina (física, segundo año universitario): para una dirección de propagación dada, una lámina de un mineral anisótropo transmite dos ondas que vibran en dos direcciones perpendiculares fijadas en la lámina, sus direcciones de vibración, y viajan con dos índices de refracción distintos $n_1$ y $n_2$. La luz que vibra según una de estas direcciones atraviesa la lámina sin cambiar de polarización; la luz que vibra en cualquier otra dirección se descompone en sus dos componentes según ellas. Los dos índices dependen de la dirección de propagación, y hay direcciones particulares en las que son iguales.

Definición 8.2 (Eje óptico, minerales uniáxicos y biáxicos)

Un eje óptico de un mineral anisótropo es una dirección de propagación a lo largo de la cual la luz viaja con un único índice de refracción, cualquiera que sea su dirección de vibración, como en un medio isótropo. Un mineral es uniáxico cuando tiene un eje óptico (minerales de los sistemas trigonal, tetragonal y hexagonal, como el cuarzo y la calcita), y biáxico cuando tiene dos (minerales ortorrómbicos, monoclínicos y triclínicos, como el olivino, los piroxenos, los anfíboles, las micas y los feldespatos).

La geometría se resume con una superficie, el indicatriz: un elipsoide cuyo radio en cada dirección es el índice de refracción para la luz que vibra en esa dirección. La sección del elipsoide perpendicular a la dirección de propagación es una elipse cuyos ejes son las dos direcciones de vibración y cuyos semiejes son $n_1$ y $n_2$. Para un mineral uniáxico el elipsoide es de revolución alrededor del eje óptico, con dos índices principales $n_\omega$ y $n_\varepsilon$: el cuarzo tiene $n_\omega = 1.544$ y $n_\varepsilon = 1.553$, la calcita $1.658$ y $1.486$.

Un mineral biáxico tiene tres índices principales $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ y dos secciones circulares, perpendiculares a sus dos ejes ópticos: la forsterita tiene $1.635$, $1.651$ y $1.670$.

Definición 8.3 (Birrefringencia (de un mineral))

La birrefringencia de un mineral es la diferencia $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ entre sus mayores y menores índices de refracción principales: $n_\varepsilon - n_\omega$ en valor absoluto para un mineral uniáxico, $n_\gamma - n_\alpha$ para uno biáxico. En un grano cortado en cualquier otra dirección, la diferencia $|n_1 - n_2|$ está entre 0 (una sección perpendicular a un eje óptico) y $\delta$ (una sección que contiene las direcciones de $n_{\max}$ y $n_{\min}$).

La birrefringencia es una propiedad del mineral, como su densidad: cuarzo $0.009$, calcita $0.172$, forsterita $0.035$, fayalita $0.052$. Una lámina delgada corta los granos de un mineral en todas las orientaciones, así que sus granos muestran todos los valores de 0 a $\delta$; solo el más alto es característico.

8.2 Observaciones en luz polarizada plana

Con solo el polarizador inferior, el microscopio muestra la forma de los granos, su color, sus exfoliaciones y su relieve.

Definición 8.4 (Pleocroísmo)

Un mineral es pleocroico cuando su color, visto con luz polarizada plana, cambia al girar la platina; el pleocroísmo es ese cambio. Se produce porque la absorción de la luz depende de su dirección de vibración en el cristal.

La biotita es el caso de libro: un grano cortado perpendicularmente a su exfoliación pasa de pardo amarillento claro a pardo oscuro al girar, más oscuro cuando las trazas de exfoliación están según el polarizador. La hornblenda cambia de amarillo a verde. La mayoría de los demás silicatos formadores de rocas (cuarzo, feldespatos, olivino, diópsido, moscovita) son incoloros en lámina delgada, y sus granos incoloros se distinguen por otros medios.

Definición 8.5 (Relieve, línea de Becke)

El relieve de un grano en lámina delgada es lo mucho que su contorno, sus grietas y su superficie destacan frente al medio de montaje; es alto cuando los índices de refracción del grano y del medio difieren mucho, bajo cuando son próximos. La línea de Becke es la línea brillante y fina que bordea un grano cuyo índice difiere del de su entorno cuando el microscopio está ligeramente desenfocado.

Proposición 8.6 (Relieve e índice de refracción)

Un rayo que incide con ángulo $i$ sobre una frontera entre un medio de montaje de índice $n_m$ y un grano de índice $n$ próximo a $n_m$ se desvía

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(en radianes), a primer orden en $(n - n_m)/n_m$. Las desviaciones en los bordes inclinados de un grano, y por tanto su relieve, crecen en proporción a $|n - n_m|$.

Una lámina delgada se monta en una resina de índice cercano a $1.54$.

El cuarzo ($1.544$–$1.553$) y los feldespatos ($1.52$–$1.59$) son casi invisibles frente a ella: relieve bajo, con los bordes de grano difíciles de ver. El olivino ($1.64$–$1.88$), los piroxenos y los anfíboles destacan con bordes oscuros y una superficie de aspecto rugoso: relieve alto. El granate ($1.83$) parece casi de borde negro. La calcita, cuyo índice va de $1.486$ a $1.658$ según la dirección de vibración, cambia de relieve al girar la platina, un efecto que se llama centelleo.

El relieve indica solo cuánto se aleja $n$ de $n_m$, no hacia qué lado; la línea de Becke indica el lado.

Método 8.7 (Prueba de la línea de Becke)

Enfóquese el borde de un grano con luz polarizada plana, ciérrese un poco el diafragma de apertura y súbase ligeramente el foco (alejando el objetivo de la sección). La línea de Becke brillante se desplaza hacia el medio de mayor índice de refracción: si entra en el grano, el grano tiene el índice mayor (relieve positivo); si sale hacia el medio de montaje o hacia el grano vecino, el grano tiene el índice menor (relieve negativo).

El método funciona porque un borde de grano nunca es exactamente vertical: en un borde inclinado, la luz se refracta hacia el lado de mayor índice, y más allá del ángulo crítico se refleja totalmente en ese lado, de modo que la luz que cruza el borde se concentra sobre el medio de mayor índice. Al subir el foco se mira un plano por encima de la sección, donde esa luz concentrada queda dentro del material de mayor índice.

8.3 Entre nicoles cruzados

Con el analizador insertado, en ángulo recto con el polarizador, un grano isótropo está oscuro en todas las posiciones: la luz llega a él vibrando según el polarizador y sale vibrando del mismo modo, y el analizador la detiene por completo. Un grano anisótropo suele ser brillante y coloreado. La razón es el retardo entre sus dos ondas.

Definición 8.8 (Retardo (en una lámina cristalina))

El retardo $\Delta$ de una lámina de un mineral anisótropo es la diferencia entre los caminos ópticos de sus dos ondas al salir de la lámina, retrasándose la onda más lenta respecto de la más rápida.

Proposición 8.9 (Retardo y birrefringencia)

Una lámina de espesor $d$ cuyas dos ondas tienen índices $n_1 > n_2$ tiene el retardo

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

y sus dos ondas salen de ella con una diferencia de fase $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ para la luz de longitud de onda $\lambda$ en el vacío. En una lámina delgada, el mayor retardo que muestran los granos de un mineral es $d\,\delta$.

Un grano de cuarzo de la orientación más favorable en una sección de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor tiene $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$; un grano de calcita, $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

Teorema 8.10 (Intensidad entre nicoles cruzados)

Una lámina de retardo $\Delta$ cuyas direcciones de vibración forman el ángulo $\theta$ con el polarizador, entre nicoles cruzados, transmite a la longitud de onda $\lambda$ la intensidad

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

donde $I_0$ es la intensidad que sale del polarizador.

La fórmula contiene todo lo que el microscopio muestra entre nicoles cruzados. Su primer factor depende solo de la orientación del grano en la platina; el segundo, solo del retardo del grano y del color de la luz.

Definición 8.11 (Posición de extinción, ángulo de extinción)

Un grano anisótropo entre nicoles cruzados está en una posición de extinción cuando está oscuro porque sus direcciones de vibración son paralelas al polarizador y al analizador. El ángulo de extinción de un grano es el ángulo entre una dirección visible en él (una traza de exfoliación, un alargamiento, un plano de macla) y la posición de extinción más próxima, leído en la platina graduada.

El factor $\sin^2 2\theta$ se anula en $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ y $270{}^{\circ}$: un grano se oscurece cuatro veces en una vuelta completa de la platina, y es más brillante a mitad de camino, a $45{}^{\circ}$ de la extinción (figura siguiente). Un grano con $\Delta = 0$ —un mineral isótropo, o una sección perpendicular a un eje óptico— permanece oscuro en toda la vuelta. El ángulo de extinción depende de la simetría del cristal: un mineral cuyas direcciones de vibración están ligadas a sus exfoliaciones, como los minerales ortorrómbicos, se extingue paralelamente a ellas (extinción recta); un monoclínico o triclínico, en general, no (extinción oblicua). El mayor ángulo de extinción entre las trazas de exfoliación y la dirección de vibración lenta es de unos $38{}^{\circ}$ en el diópsido y de $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ en la hornblenda, en secciones paralelas a $(010)$: una de las formas de distinguir un piroxeno de un anfíbol en lámina delgada.

8.3.1 Colores de interferencia

En luz blanca, el segundo factor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ actúa como un filtro que depende de la longitud de onda. Un grano con $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ deja pasar casi todo el verde y el amarillo ($\lambda$ cerca de $2\Delta = 540$ nm, donde el factor vale 1) y algo menos del violeta y el rojo: parece blanco. Un grano con $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ suprime el amarillo verdoso ($\lambda = \Delta$) y deja pasar el rojo y el azul: parece magenta. Al crecer $\Delta$, las longitudes de onda suprimidas se desplazan por el espectro y aparecen otras nuevas, y el color recorre una sucesión fija.

Definición 8.12 (Color de interferencia, orden, diagrama de Michel-Lévy)

El color de interferencia de un grano anisótropo es su color entre nicoles cruzados en luz blanca, a $45{}^{\circ}$ de la extinción; depende solo de su retardo $\Delta$. Los colores se repiten en bandas de unos $550\,\mathrm{nm}$ de retardo, cada una terminada en un matiz rojo violáceo; cada banda es un orden (primer, segundo, tercer…). El diagrama de Michel-Lévy muestra los colores de interferencia frente al retardo, con las rectas $\Delta = d\,\delta$ que relacionan el espesor de una sección, la birrefringencia de un mineral y su color.

El diagrama se calcula exactamente como dice el teorema. Para cada retardo, cada longitud de onda de la luz se pondera con $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$; el espectro transmitido se convierte después en un color tal como lo ve el ojo, mediante las funciones de correspondencia de color estándar de la colorimetría, y en el rojo, verde y azul de una pantalla o una impresora mediante la transformación sRGB. Conviene fijarse en tres rasgos. El primer orden empieza en negro, pasa por el gris y el blanco (el único blanco del diagrama está cerca de $270\,\mathrm{nm}$, donde el espectro pasa casi por completo), y luego por el amarillo, el naranja y el rojo. El segundo y el tercer orden son los más brillantes, con azules, verdes, amarillos y magentas vivos. Más allá del cuarto orden los colores se apagan: cuando $\Delta$ es muchas longitudes de onda, el filtro $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ oscila varias veces a lo largo del espectro visible, deja pasar cada color a su turno y, en promedio, la mitad de la luz: el grano se ve gris rosado o verdoso pálido, el blanco de orden alto de la calcita.

Leer el diagrama es el núcleo de la mineralogía óptica. En una sección de espesor conocido, el color más alto que muestra un mineral da su birrefringencia: se sigue el espesor hasta el color, y luego la recta que pasa por ese punto hasta su birrefringencia. A la inversa, un mineral de birrefringencia conocida da el espesor: en una buena sección de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, el cuarzo nunca muestra más que un blanco de primer orden o el amarillo más pálido, y una sección en la que el cuarzo muestra amarillo o naranja es demasiado gruesa.

Historia — Auguste Michel-Lévy

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), que llegó a ser director del Servicio Geológico de Francia, fue uno de los primeros en identificar sistemáticamente minerales en las rocas con el microscopio de polarización. Antes de él, los colores de los minerales entre nicoles cruzados se usaban de forma empírica; mostró que lo que importa es la birrefringencia máxima de cada mineral, que puede medirse ajustando los colores de sus granos a una cuña de cuarzo cuyo retardo crece de modo constante a lo largo de su longitud. Con su alumno Alfred Lacroix publicó en 1888 Les minéraux des roches, un manual de las propiedades ópticas de los minerales formadores de rocas. El diagrama que lleva su nombre, colores frente a retardo con rectas de igual birrefringencia, sigue siendo la forma de leer los colores de interferencia.

Dos ondas que salen de un grano pueden recibir un retardo adicional, conocido, mediante una lámina auxiliar insertada por encima de la sección a $45{}^{\circ}$ de los polarizadores. La más común está cortada para mostrar el rojo de primer orden, un retardo de unos $540\,\mathrm{nm}$. Si la dirección de vibración lenta del grano es paralela a la dirección lenta de la lámina, los retardos se suman y el color del grano sube en un orden aproximadamente; si es paralela a la dirección rápida, se restan y el color baja. Un grano gris de primer orden de $100\,\mathrm{nm}$ pasa a azul de segundo orden ($640\,\mathrm{nm}$) en una orientación y a naranja de primer orden ($440\,\mathrm{nm}$) en la otra; la prueba muestra cuál de las dos direcciones de vibración del grano es la lenta, una propiedad que sirve para identificar minerales alargados.

8.4 Identificar minerales en lámina delgada

Definición 8.13 (Macla, macla polisintética)

Un macla es un crecimiento de dos o más cristales del mismo mineral cuyas redes están relacionadas por una simetría que el cristal por sí mismo no tiene, como una reflexión a través de un plano (el plano de macla). La macla polisintética es una macla repetida en planos paralelos, que divide un cristal en láminas delgadas y paralelas cuyas orientaciones se alternan.

Entre nicoles cruzados las láminas de una macla polisintética se extinguen alternativamente: la mitad de ellas están oscuras cuando la otra mitad está brillante, y el cristal parece rayado. Las plagioclasas casi siempre muestran estas rayas, que las distinguen de inmediato del cuarzo y del feldespato alcalino; su otro rasgo, el relieve bajo y los colores grises a blancos de primer orden, lo comparten con ellos. Los ángulos de extinción de los dos conjuntos de láminas, medidos a uno y otro lado del plano de macla, dependen de la composición de la plagioclasa, y los diagramas de esos ángulos dan su contenido en anortita.

Método 8.14 (Identificar un mineral en lámina delgada)

1. En luz polarizada plana: anótese si el grano es opaco; su color y su pleocroísmo (gírese la platina); su relieve, y a qué lado de $1.54$ está su índice (línea de Becke); su forma y sus exfoliaciones, y el ángulo entre dos exfoliaciones.
2. Entre nicoles cruzados: compruébese si permanece oscuro (isótropo, o una sección perpendicular a un eje óptico); entre los granos del mismo mineral, búsquese el color de interferencia más alto y léase la birrefringencia en el diagrama de Michel-Lévy para el espesor de la sección.
3. Mídase el ángulo de extinción en granos que muestren una exfoliación o un alargamiento; búsquense las maclas (rayas polisintéticas, maclas simples).
4. Compárese con una tabla de propiedades ópticas (Table 8.1) y con los minerales que la roca puede contener (Capítulo 7).

mineral	color (LPP)	índices	birrefringencia	color más alto a $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	otros rasgos
cuarzo	incoloro	1.544–1.553	0.009	blanco de primer orden	sin exfoliación; sin maclas visibles; uniáxico
ortoclasa	incolora, a menudo turbia	1.518–1.525	0.005	gris de primer orden	relieve negativo; maclas simples
plagioclasa	incolora	1.526–1.590	0.008–0.013	blanco a amarillo pálido de primer orden	macla polisintética
moscovita	incolora	1.552–1.618	0.035–0.042	brillante, de segundo a tercer orden	una exfoliación perfecta; extinción recta
biotita	parda, verde	1.565–1.696	0.04–0.07	enmascarado por su propio color	fuerte pleocroísmo; una exfoliación perfecta
hornblenda	verde, parda	1.675–1.695	0.020	azul de segundo orden	pleocroica; exfoliaciones a $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$; extinción $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
diópsido	incoloro	1.664–1.694	0.030	amarillo de segundo orden	exfoliaciones a unos $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$; extinción de unos $38{}^{\circ}$
olivino	incoloro (Mg) a amarillo pálido (Fe)	1.635–1.879	0.035–0.052	del final del segundo orden al tercero	relieve alto; grietas irregulares, sin exfoliación buena
granate	incoloro a rosa pálido	1.830 (almandino)	isótropo	negro	relieve muy alto; contornos de seis u ocho lados
calcita	incolora	1.486–1.658	0.172	blanco de orden alto	el relieve cambia al girar; exfoliación romboédrica
magnetita	opaca	—	—	—	negra en ambas luces

En el laboratorio — Una sesión ante el microscopio

Una petróloga que describe una lámina delgada nueva la recorre primero con poco aumento, para ver la textura y los minerales principales, y después grano a grano. Para cada mineral anota las observaciones del método anterior, estima su proporción en el campo y registra cómo se tocan los granos: cuál cristalizó primero, cuáles rellenan los huecos que quedan, cuáles reemplazan a otros. Las medidas ópticas se hacen con la platina graduada en grados y una lámina auxiliar; las composiciones, cuando importan, se miden después con una microsonda sobre la misma sección. Un laboratorio docente funciona de la misma manera, con un microscopio por estudiante y una caja de láminas de referencia de minerales conocidos junto a él.

8.5 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Calcúlese el mayor retardo del cuarzo ($\delta = 0.009$) y el de la calcita ($\delta = 0.172$) en una sección de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor. Con el diagrama de Michel-Lévy, descríbase el color de cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

Cuarzo: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, un blanco de primer orden. Calcita: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, muy por encima del diagrama: un blanco pálido de orden alto, ligeramente rosado o verdoso.

Ejercicio 8.2 ★

Un grano se gira en la platina entre nicoles cruzados. Calcúlese $I/I_0$, como fracción de su máximo, en $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$ a partir de una posición de extinción.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ en $0{}^{\circ}$; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ en $22.5{}^{\circ}$; $1$ en $45{}^{\circ}$; $0.5$ en $67.5{}^{\circ}$; $0$ en $90{}^{\circ}$.

Ejercicio 8.3 ★

Explíquese por qué un granate permanece negro entre nicoles cruzados cualquiera que sea la posición de la platina, y por qué un grano de cuarzo puede hacer lo mismo. ¿Cómo se distinguirían en luz polarizada plana?

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

El granate es cúbico, luego isótropo: la luz sale de él vibrando como entró, según el polarizador, y el analizador la detiene; $\Delta = 0$ en cualquier posición. Un grano de cuarzo cortado perpendicularmente a su eje óptico tiene también $n_1 = n_2$ para la luz que viaja según ese eje, luego $\Delta = 0$: también permanece oscuro. En luz polarizada plana el granate tiene relieve muy alto ($1.83$ frente a $1.54$), el cuarzo casi ninguno.

Ejercicio 8.4 ★

Ordénense por relieve, en un medio de índice $1.54$, la ortoclasa ($n$ hacia $1.52$), el cuarzo ($1.55$), la forsterita ($1.65$) y el almandino ($1.83$). ¿Cuál tiene relieve negativo? ¿En qué dirección se mueve su línea de Becke al subir el foco?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$|n - 1.54|$: almandino $0.29$, forsterita $0.11$, ortoclasa $0.02$, cuarzo $0.01$; relieve en ese orden, de mayor a menor. La ortoclasa tiene el índice menor: relieve negativo, y su línea de Becke sale del grano, hacia el medio de montaje, al subir el foco.

Ejercicio 8.5 ★★

En una sección de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, los granos de un mineral verde pleocroico con dos exfoliaciones a $56{}^{\circ}$ y $124{}^{\circ}$ muestran a lo sumo un azul de segundo orden, leído en el diagrama como $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Calcúlese su birrefringencia y nómbrese el mineral con Table 8.1.

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Un mineral verde pleocroico con exfoliaciones a $56{}^{\circ}$ y $124{}^{\circ}$ y una birrefringencia cercana a $0.020$: hornblenda.

Ejercicio 8.6 ★★

Con Proposición 8.6 con $n_m = 1.54$ e $i = 30{}^{\circ}$, calcúlese la desviación en el borde de un grano de cuarzo ($n = 1.553$) y de uno de forsterita ($n = 1.651$), en grados, y el cociente entre ambas. Compruébese la segunda con la ley de Snell exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Cuarzo: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. Forsterita: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. Cociente $0.111/0.013 = 8.5$. Exactamente: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, una desviación de $2.20{}^{\circ}$: la fórmula de primer orden sobrestima en un $8\,\%$ para una diferencia de índices tan grande.

Ejercicio 8.7 ★★

Una lámina roja de primer orden tiene $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Un grano de cuarzo de $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ se coloca a $45{}^{\circ}$ con la lámina insertada. ¿Cuáles son los dos retardos totales posibles, y los colores que dan en el diagrama? ¿Qué orientación pone las dos direcciones lentas paralelas?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, un verde de segundo orden, cuando las direcciones lentas del grano y de la lámina son paralelas (los retardos se suman); $|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$, de nuevo blanco de primer orden, cuando la dirección lenta del grano es paralela a la dirección rápida de la lámina.

Ejercicio 8.8 ★★

En su borde afilado, un grano de fayalita ($\delta = 0.052$) adelgaza desde $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ hasta cero. ¿Cuántos matices rojo violáceos, que terminan los órdenes en 542, 1074 y $1605\,\mathrm{nm}$, aparecen como franjas de color entre el borde y la parte de espesor completo del grano?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

A espesor completo $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Desde el borde ($\Delta = 0$) hacia dentro, el retardo pasa por 542 y $1074\,\mathrm{nm}$, pero no por $1605\,\mathrm{nm}$: dos franjas rojo violáceas.

Ejercicio 8.9 ★★

En varios granos alargados con una exfoliación buena, un geólogo mide ángulos de extinción de $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ y $37{}^{\circ}$ entre la traza de exfoliación y la dirección de vibración lenta. ¿Por qué difieren los valores? ¿Es más probable que el mineral sea diópsido u hornblenda?

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

El ángulo de extinción medido en un grano depende de cómo está cortado el grano: solo las secciones con una orientación particular muestran el ángulo mayor, y las demás muestran menos, hasta cero. El valor mayor, unos $37{}^{\circ}$, es el que hay que comparar: coincide con el diópsido (unos $38{}^{\circ}$), no con la hornblenda (como máximo $19{}^{\circ}$).

Ejercicio 8.10 ★★★

Rehágase la demostración de Teorema 8.10 con el analizador paralelo al polarizador, y muéstrese que $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. ¿Qué color muestra un grano de $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ a $45{}^{\circ}$ entre polarizadores paralelos?

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Con el analizador según $x$, las componentes según $x$ de las dos ondas son $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ y $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, así que $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ y

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

usando $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Como $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ y $1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. A cada longitud de onda, $I_\parallel + I_\perp = I_0$: los colores entre polarizadores paralelos son los complementarios de los que hay entre nicoles cruzados. Un grano de $550\,\mathrm{nm}$, magenta entre nicoles cruzados, es verde amarillento pálido entre polarizadores paralelos.

Ejercicio 8.11 ★★★

Para un grano de calcita con $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, el factor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ se anula siempre que $\Delta/\lambda$ es un número entero. (a) ¿Cuántas veces se anula entre $400$ y $700\,\mathrm{nm}$? (b) Muéstrese que cerca de $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ dos ceros sucesivos están separados unos $\lambda^2/\Delta$, y calcúlese. (c) Explíquese por qué el grano parece casi blanco.

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) $\Delta/\lambda$ va desde $5000/700 = 7.14$ hasta $5000/400 = 12.5$; pasa por los enteros 8 a 12: cinco ceros. (b) Los ceros están en $\lambda_k = \Delta/k$; dos sucesivos están separados $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, es decir, $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ cerca de $550\,\mathrm{nm}$. (c) Cinco bandas oscuras y estrechas repartidas por el espectro quitan un poco de cada color, y lo que queda pasa con un peso medio de la mitad: el ojo ve un tinte pálido, casi neutro.

Ejercicio 8.12 ★★★

Muéstrese que, promediado sobre una vuelta completa de la platina, un grano entre nicoles cruzados deja pasar $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Una geóloga estima birrefringencias a partir del color más alto de cada mineral, suponiendo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, en una sección que en realidad tiene $25\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor. ¿Por qué factor están equivocados todos sus valores, y en qué sentido?

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

La media de $\sin^2 2\theta$ sobre una vuelta es $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$, así que la intensidad media es $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Ella calcula $\delta = \Delta/30000$ en lugar de $\Delta/25000$ (en nm): todos sus valores son $25/30 = 0.83$ de los verdaderos, demasiado bajos en un $17\,\%$.

8.6 Problema: identificar los minerales de una lámina desconocida

Problema 8.1

Problema de fin de semana — observar el relieve, el pleocroísmo y los colores de interferencia, medir el espesor de una sección con cuarzo y nombrar sus minerales

Una lámina delgada de una roca ígnea desconocida, montada en una resina de índice $1.540$, tiene, según se dice, $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor. Contiene cinco minerales, designados de A a E. Úsense la tabla de propiedades ópticas del capítulo, el diagrama de Michel-Lévy y los valores siguientes: cuarzo $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$; diópsido $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

Parte I — Luz polarizada plana.

1. El mineral A es incoloro, con bordes de grano difíciles de ver. El mineral B es incoloro, con bordes oscuros marcados y dos exfoliaciones que se cortan hacia $87{}^{\circ}$. ¿Cuál tiene mayor relieve?
2. Para A, tomado como cuarzo, y B, tomado como diópsido, calcúlese $|n - n_m|$ usando la media de los índices principales de cada uno.
3. Con Proposición 8.6, calcúlese el cociente de las desviaciones en sus bordes para la misma inclinación de la frontera.
4. Al subir el foco, la línea de Becke de B entra en el grano. ¿Qué indica esto?
5. El mineral C pasa de amarillo pálido a pardo oscuro al girar la platina, más oscuro cuando su única exfoliación está según el polarizador. Nómbrese la propiedad y el mineral.
6. El mineral D es incoloro, de relieve bajo, en tablillas largas; E es verde a amarillo y pleocroico, con dos exfoliaciones a $124{}^{\circ}$. ¿Qué sugiere el ángulo para E?

Parte II — El espesor de la sección.

7. ¿Cuál es el mayor retardo del cuarzo en una sección de exactamente $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? ¿Qué color tiene?
8. ¿Por qué hay que buscar el mayor retardo entre muchos granos de A, en lugar de medirlo en uno cualquiera?
9. El color más alto que muestran los granos de A es un amarillo pálido de primer orden; un comparador de cuña de cuarzo da su retardo como $342\,\mathrm{nm}$. Calcúlese el espesor real de la sección.
10. ¿En qué porcentaje es la sección más gruesa de lo que debería ser?
11. A $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ y $45{}^{\circ}$ de la extinción, calcúlese $I/I_0$ para este grano de cuarzo, y para el mismo grano en una sección de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. Calcúlese el intervalo de retardos de D, tomado como plagioclasa ($\delta = 0.008$ a $0.013$), en esta sección, y dígase si sus colores permanecen en el primer orden.

Parte III — La birrefringencia de B.

13. El color más alto de B es un azul que se lee como $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$. ¿En qué orden está?
14. Calcúlese la birrefringencia de B con el espesor hallado en la pregunta 9.
15. ¿Qué birrefringencia se habría hallado suponiendo $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? ¿Qué mineral incoloro de relieve alto habría sugerido, y por qué está fuera de lugar en una roca con cuarzo (considérese $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$)?
16. Compárese el resultado de la pregunta 14 con la tabla, junto con el relieve y las exfoliaciones de B, y concluya.
17. ¿Qué color mostraría B como mucho en una sección correcta de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$?
18. La sección se desbasta hasta $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. ¿Cuánto hay que adelgazarla, y cuál es entonces el color más alto del cuarzo?

Parte IV — Extinción y maclado.

19. Las tablillas de D están divididas en franjas paralelas que se extinguen alternativamente. Nómbrese el rasgo y el mineral.
20. Las franjas de una tablilla se extinguen a $27{}^{\circ}$ y $28{}^{\circ}$ a uno y otro lado del plano de macla. ¿Qué dan esos ángulos, medidos en muchas tablillas, al compararlos con diagramas publicados?
21. El mayor ángulo de extinción entre las exfoliaciones de E y su dirección lenta es $17{}^{\circ}$. Nombre E.
22. Calcúlese el mayor retardo de E en esta sección y el color que muestra.
23. Un grano de B permanece oscuro durante una vuelta completa. Explíquese cómo puede ser el mismo mineral que los granos brillantes de B.
24. Enumérense los minerales de A a E, y dígase qué tipo de roca forman.
25. ¿Cuál es el espesor real de la sección, en micrómetros?

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. B: los bordes oscuros indican relieve alto; los bordes apenas visibles de A indican relieve bajo.

2. A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

3. Las desviaciones son proporcionales a $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. B tiene un índice mayor que el medio de montaje: relieve positivo.

5. Pleocroísmo; biotita.

6. Dos exfoliaciones a $56{}^{\circ}$ y $124{}^{\circ}$: un anfíbol.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: blanco de primer orden.

8. Cada grano se corta según su propia orientación y muestra un valor de $|n_1 - n_2|$ entre 0 y $\delta$; solo los granos cortados paralelamente al eje óptico muestran el propio $\delta$. El color más alto entre muchos granos es el que hay que usar.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; a $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ a $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: de blanco a rojo anaranjado, todo por debajo del final del primer orden a $542\,\mathrm{nm}$.

13. Entre 1074 y $1605\,\mathrm{nm}$: tercer orden.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$, lo que sugeriría un olivino. Un olivino magnésico y el cuarzo reaccionan para dar un piroxeno, $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$; una roca que ha cristalizado con cuarzo no debería conservar ambos.

16. $0.030$ es la birrefringencia del diópsido; su relieve alto, su falta de color y sus dos exfoliaciones cerca de $87{}^{\circ}$ concuerdan: B es un clinopiroxeno, diópsido.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: amarillo de segundo orden.

18. En $8\,\text{µ}\mathrm{m}$; el cuarzo muestra entonces como mucho $270\,\mathrm{nm}$, blanco de primer orden.

19. Macla polisintética: D es plagioclasa.

20. La composición de la plagioclasa (su contenido en anortita).

21. Un anfíbol con un ángulo de extinción de $17{}^{\circ}$: hornblenda ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), no un piroxeno ($38{}^{\circ}$ para el diópsido).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: verde de segundo orden.

23. Está cortado perpendicularmente a un eje óptico: sus dos índices son iguales para la luz que viaja según el eje, $\Delta = 0$, y permanece oscuro como un grano isótropo.

24. A cuarzo, B diópsido, C biotita, D plagioclasa, E hornblenda: una roca ígnea intermedia con algo de cuarzo, como una cuarzodiorita.

25. El espesor de la sección es $38\,\text{µ}\mathrm{m}$.