10El balance térmico de la Tierra

Bajo una montaña de los Alpes japoneses, en una antigua cavidad minera, un tanque con mil toneladas de centelleador líquido vigila destellos de luz muy débiles. La mayoría procede de antineutrinos producidos en los reactores nucleares del país de alrededor, pero algunos vienen de abajo: el uranio y el torio del interior de la Tierra emiten antineutrinos al desintegrarse, y estos atraviesan todo el planeta como si estuviera vacío. En 2135 días de recuento el detector registró 841 sucesos candidatos, de los que 106 se atribuyeron a la propia Tierra. A partir de ese puñado de destellos, su equipo estimó en 2011 que la desintegración del uranio y el torio calienta la Tierra con unos 20 teravatios. El planeta en conjunto pierde unos 47. Este capítulo explica la diferencia: de dónde procede el calor de la Tierra, cómo se mide el calor que sale de ella, cómo sube la temperatura con la profundidad cuando el calor se transporta por conducción, por qué el manto debe convectar, y por qué las placas son la frontera superior y fría de esa convección.

Lo que ya sabes

El calor fluye de lo caliente a lo frío; la conductividad térmica $k$ de una roca mide lo fácilmente que el calor la atraviesa, y la difusividad térmica $\kappa = k/(\rho c)$, lo deprisa que se extiende un cambio de temperatura (física, segundo año universitario). Los núcleos radiactivos se desintegran con una semivida fija (física). La temperatura sube con la profundidad a lo largo del geotermo, y el manto convecta (libro 2, años 11 y 12). La litosfera es la cáscara exterior resistente de la Tierra (Capítulo 9).

10.1 De dónde viene el calor

Definición 10.1 (Flujo de calor)

El flujo de calor $q$ en un punto de la superficie de la Tierra, o densidad de flujo de calor superficial, es la potencia de origen interno que atraviesa la superficie allí, por unidad de área, contada positiva hacia fuera. Se mide en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, en la práctica en $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Integrado sobre toda la superficie, da la pérdida de calor de la Tierra $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

El flujo de calor se ha medido en decenas de miles de lugares. Una recopilación de $38\,347$ medidas, publicada en 2010, da los valores medios siguientes, contando por separado los océanos y los continentes:

El total, redondeado a su incertidumbre, es $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. Dos tercios de él salen por el fondo oceánico, que es más joven y más delgado que los continentes. Es un flujo pequeño: el Sol entrega a la Tierra unos $173\,000\,\mathrm{TW}$, y el calor interno representa el $0.03\,\%$ del balance de energía en la superficie. Pero es el flujo que impulsa los volcanes, las placas y la formación de montañas, y tiene dos fuentes.

Definición 10.2 (Producción de calor radiogénico)

La producción de calor radiogénico $A$ de una roca es el calor liberado por unidad de volumen y de tiempo por la desintegración de los núcleos radiactivos que contiene, en $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, en la práctica en $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Una roca de densidad $\rho$ que contiene fracciones másicas $C_i$ de los elementos productores de calor, cada uno de los cuales libera $H_i$ vatios por kilogramo de elemento, tiene

$$A = \rho \sum_i C_i H_i .$$

Cuatro isótopos producen casi todo este calor, porque son de vida larga, suficientemente abundantes y energéticos: $\ce{^{238}U}$, $\ce{^{235}U}$, $\ce{^{232}Th}$ y $\ce{^{40}K}$. El calor por kilogramo de cada elemento es el calor por kilogramo de su isótopo radiactivo multiplicado por la proporción de ese isótopo en el elemento (Ejercicio 10.3):

El potasio libera treinta mil veces menos calor por kilogramo que el uranio, pero es un elemento principal de muchas rocas, contado en tanto por ciento, mientras que el uranio y el torio se cuentan en partes por millón. Las rocas ricas en los tres son los granitos y sus parientes; las más pobres son las peridotitas del manto. Una recopilación de $2188$ análisis da estas medianas, en $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

La dispersión dentro de cada grupo es grande: un cuarto de los granitos produce menos de $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, un cuarto más de $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. La corteza continental está enriquecida en estos elementos, y la corteza oceánica y el manto empobrecidos; pero el manto es tan grande que aún contiene una gran parte de las fuentes de calor del planeta.

Definición 10.3 (Enfriamiento secular)

El enfriamiento secular es la parte de la pérdida de calor de la Tierra suministrada por la lenta disminución de la temperatura de su interior, manto y núcleo: la liberación del calor almacenado desde la formación del planeta, a un ritmo $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ para depósitos de masa $M_j$, calor específico $c_j$ y temperatura media $T_j$.

La conservación de la energía da el balance de toda la Tierra: el calor perdido en la superficie es la producción radiogénica más el enfriamiento secular,

Los geoneutrinos miden una parte del primer término: el resultado de 2011, que combinó dos detectores, atribuye $20\,\mathrm{TW}$ al uranio y al torio, y se sabe que el $\ce{^{40}K}$, cuyos antineutrinos son demasiado débiles para detectarse así, añade unos $4\,\mathrm{TW}$.

Alrededor de la mitad de la pérdida de calor es, por tanto, radiogénica, y la otra mitad, unos $23\,\mathrm{TW}$, es enfriamiento secular. Parte de ese enfriamiento es del núcleo: el calor que atraviesa la frontera núcleo–manto se estima en $5\text{ a }15\,\mathrm{TW}$. Estas cifras son inciertas: la medida misma tiene una incertidumbre de unos $9\,\mathrm{TW}$, y los resultados de los geoneutrinos hasta ahora solo acotan la parte radiogénica entre $15\text{ a }41\,\mathrm{TW}$, mientras que los modelos de Tierra de distintos tipos varían entre $14\text{ a }46\,\mathrm{TW}$. El total, medido en la superficie, es el término mejor conocido del balance (figura siguiente).

Las fuentes radiogénicas fueron mayores en el pasado, porque los isótopos eran más abundantes: $\ce{^{235}U}$ y $\ce{^{40}K}$, los de vida corta, contribuían entonces mucho más (libro 2, año 12). El motor térmico de la Tierra se apaga despacio, por ambas causas.

10.2 Medir el flujo de calor

El flujo de calor no se mide directamente: se calcula a partir de un gradiente de temperatura y de una conductividad.

Proposición 10.4 (Ley de Fourier)

En un medio de conductividad térmica $k$, el calor se conduce cuesta abajo del gradiente de temperatura, a una tasa por unidad de área proporcional a él. Con $z$ la profundidad, contada positiva hacia abajo, y $q$ contado positivo hacia arriba,

$$q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .$$

La ley está establecida en el volumen de segundo año universitario de los libros de física. La mayoría de las rocas conducen el calor a $1.5\text{ a }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ por debajo de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y menos cuando están calientes; los modelos del flujo de calor continental dan a la corteza superior granítica unos $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$;

un gradiente de $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ en ella significa un flujo de calor de unos $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Cuando las rocas que atraviesa un sondeo tienen conductividades distintas, el gradiente cambia de una a otra, pero el flujo de calor no, mientras no se produzca ni se almacene calor entre ellas. La proposición siguiente convierte eso en una prueba.

Proposición 10.5 (Diagrama de Bullard)

Sea $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ la resistencia térmica, por unidad de área, de las rocas entre la superficie y la profundidad $z$, en $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Si el flujo de calor $q$ es el mismo a toda profundidad de un sondeo, la temperatura es una función lineal de la resistencia térmica: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

Método 10.6 (El flujo de calor a partir de un sondeo)

1. Registrese la temperatura a lo largo del sondeo mucho después de la perforación, cuando la perturbación del fluido de perforación se ha disipado, y descártense los primeros decenas de metros, que siguen las estaciones.
2. Mídase en laboratorio la conductividad de las muestras de testigo de cada roca atravesada, y calcúlese la resistencia térmica $R(z)$ a cada profundidad registrada.
3. Represéntese $T$ frente a $R$: la pendiente de la recta es el flujo de calor. Una curvatura revela agua que circula por las rocas, un cambio pasado de la temperatura superficial o un error en una conductividad.
4. Corríjase, donde haga falta, por el relieve, que curva las isotermas bajo colinas y valles, y por el calentamiento lento desde la última glaciación, que todavía perturba el primer kilómetro aproximadamente.

En el mar no hace falta un sondeo. La temperatura en el fondo del océano profundo es muy estable, de modo que unos pocos metros de sedimento blando ya conservan el gradiente de equilibrio. Una lanza de acero con una hilera de sensores de temperatura se deja caer desde un barco y se clava en el sedimento con un peso pesado (figura siguiente); los sensores registran el gradiente, y un pulso de calor enviado a lo largo de la lanza da la conductividad del sedimento in situ. El fondo oceánico tiene una trampa. Sobre la corteza joven, el agua de mar circula por el basalto agrietado y se lleva gran parte del calor por advección, de modo que el flujo de calor conductivo medido queda muy por debajo de la pérdida real. La pérdida a través del fondo oceánico más joven se calcula, por tanto, a partir del modelo de enfriamiento de Sección 10.5, calibrado en corteza antigua donde la circulación se ha detenido: esta parte calculada, $23.1\,\mathrm{TW}$, es aproximadamente la mitad del total mundial.

Sobre el terreno — Flujo de calor en el mar

En un buque de investigación, la sonda de flujo de calor es una lanza pesada suspendida de la grúa de popa. Se baja con el cable del barco hasta justo encima del fondo marino, y luego se suelta: el peso la clava en el sedimento, y la tripulación espera en cubierta a que los sensores se estabilicen a la temperatura del fango, después la saca y se desplaza a la siguiente estación, a poca distancia. Una línea de estas estaciones a través del flanco de una dorsal da la disminución del flujo de calor con la edad del fondo, y la dispersión entre estaciones vecinas muestra dónde circula agua por la corteza subyacente.

10.3 El geotermo conductivo estacionario

Definición 10.7 (Geotermo)

El geotermo bajo un punto de la superficie es la temperatura en función de la profundidad allí, $T(z)$. Es un geotermo conductivo estacionario cuando no cambia con el tiempo y el calor se transporta a lo largo de él solo por conducción.

Dentro de la litosfera, lejos de los volcanes activos y de la circulación de agua, el calor se transporta por conducción, y a escala de millones de años el geotermo es estacionario. Su forma se deduce entonces de un balance de energía.

Teorema 10.8 (Conducción estacionaria con producción de calor)

A lo largo de un geotermo conductivo estacionario, en un medio de conductividad uniforme $k$ con producción de calor $A(z)$ y sin flujo horizontal de calor,

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{es decir}\qquad k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).$$

Leído desde la superficie hacia abajo, el flujo de calor disminuye con la profundidad en el calor producido sobre cada nivel: lo que atraviesa la superficie es el calor que viene de abajo más todo el calor producido por el camino. Dos distribuciones de $A$ dan soluciones cerradas.

Proposición 10.9 (Una capa radiogénica uniforme)

Sea la producción de calor $A$ desde la superficie hasta la profundidad $h$ y cero debajo, la superficie a la temperatura $T_0$, y el flujo de calor en la superficie $q_0$. Entonces, para $0 \le z \le h$

$$q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},$$

y debajo de $h$ el flujo de calor es uniforme, $q_m = q_0 - A h$, y el geotermo una recta de pendiente $q_m/k$.

Teorema 10.10 (Producción de calor exponencial y relación lineal del flujo de calor)

Sea la producción de calor que disminuye con la profundidad como $A(z) = A_0 e^{-z/D}$, el flujo de calor tiende a $q_m$ a gran profundidad, y la superficie está a $T_0$. Entonces

$$q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),$$

y el flujo de calor en la superficie es

$$q_0 = q_m + A_0 D .$$

La última línea es una predicción que puede contrastarse en la superficie. Los plutones graníticos de una región comparten el mismo flujo profundo $q_m$ y, si solo difieren en lo ricos que son en uranio, torio y potasio, la misma escala $D$; entonces el flujo de calor medido sobre cada plutón debe ser una función lineal de la producción de calor medida en sus rocas, con pendiente $D$, una longitud, y ordenada en el origen $q_m$, el flujo reducido, que procede de abajo y no del radiogénico. Francis Birch observó por primera vez una recta así, publicada en 1968, y el mismo año se definieron tres provincias por sus rectas:

Las ordenadas en el origen, publicadas como 0.8, 1.4 y $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, se convierten con $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (Ejercicio 10.4). Las pendientes varían poco, de 7 a $10\,\mathrm{km}$; el flujo de calor reducido varía mucho, y sus mapas muestran dónde el manto de debajo está caliente, como bajo la corteza adelgazada de Basin and Range. La capa uniforme de Proposición 10.9 da también una recta, de pendiente $h$: ambos modelos ajustan los datos, pero solo el exponencial sigue siendo una recta de la misma pendiente cuando los plutones se erosionan hasta profundidades distintas (Ejercicio 10.10), por lo que se prefiere.

Método 10.11 (La temperatura a profundidad bajo un plutón)

1. Mídase el flujo de calor en superficie $q_0$ sobre el plutón (método del sondeo) y su producción de calor $A_0$ a partir de sus contenidos en U, Th y K.
2. A partir de la recta de la provincia, o con un valor de $D$ de unos $10\,\mathrm{km}$, calcúlese $q_m = q_0 - A_0 D$.
3. Aplíquese Teorema 10.10. Por debajo de unas pocas veces $D$, $e^{-z/D}$ es despreciable y el geotermo es la recta $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$: la capa radiogénica ha elevado toda temperatura profunda en $A_0D^2/k$.

En la figura, la temperatura en el Moho va de unos $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ para el flujo más bajo a más de $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ para el más alto: el flujo de calor en superficie lleva una lectura directa de la temperatura de la corteza profunda, que gobierna su resistencia (Capítulo 16).

10.4 Conducción frente a convección

La conducción es lenta. Lo lenta que es se deduce de la ecuación del calor, que los libros de física deducen de la ley de Fourier y del balance de Teorema 10.8 con el almacenamiento añadido: en una dimensión, sin producción de calor, $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

Proposición 10.12 (La escala de tiempo conductiva)

Una variación de temperatura impuesta en la frontera de un cuerpo conductor se extiende una distancia $L$ en un tiempo del orden de

$$\tau = \frac{L^2}{\kappa} .$$

Las rocas tienen $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. El ciclo térmico diario llega a unas decenas de centímetros bajo el suelo, el anual a unos metros, y el calentamiento desde la última glaciación a un kilómetro más o menos. En una litosfera de $100\,\mathrm{km}$ de espesor, $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$, unos $300\,\mathrm{Myr}$. A través del manto, de $2900\,\mathrm{km}$ de espesor, $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, o $270\,\mathrm{Gyr}$: sesenta veces la edad de la Tierra, $4.54\,\mathrm{Gyr}$. La conducción sola no podría haber llevado el calor del manto profundo a ningún punto cercano a la superficie. El manto convecta, y en su interior el calor lo transporta el movimiento de la propia roca, a las velocidades de las placas, centímetros por año.

Definición 10.13 (Adiabática del manto)

La adiabática del manto es el geotermo del interior bien mezclado del manto en convección: la temperatura que toma la roca del manto al subir o bajar con la rapidez suficiente para no intercambiar calor con su entorno, enfriándose por expansión al subir y calentándose por compresión al bajar.

La termodinámica da su gradiente, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$, con $\alpha$ la expansividad térmica y $c_p$ el calor específico (física, admitido aquí). Es pequeño. Una evaluación reciente de la física mineral da $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidad, que baja hasta $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$, y luego de 0.41 a $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ en el manto inferior, con $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ y $2587\,\mathrm{K}$ a $2800\,\mathrm{km}$.

Extrapolada a la superficie, la adiabática da la temperatura potencial del manto, $1619\,\mathrm{K}$ o unos $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: la temperatura que tendría el manto si se subiera a la superficie sin intercambiar calor. La noción de temperatura potencial se define, para la atmósfera y el océano, en Capítulo 26. Una temperatura que aumenta solo $0.5\,\mathrm{K}$ por kilómetro, mientras el geotermo conductivo cerca de la superficie sube $25\,\mathrm{K}$, es la firma de la convección.

Historia — John Perry y la Tierra que se enfría

En 1862–1863 William Thomson, después Lord Kelvin, calculó la edad de la Tierra a partir de su enfriamiento. La trató como un sólido que se había enfriado por conducción desde una temperatura uniforme de unos $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$; con el gradiente medio de su época, unos $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, que eligió a partir de las medidas de entonces, y una difusividad de $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, el tiempo necesario para alcanzar el gradiente actual fue de unos $96\,\mathrm{Myr}$, entre cotas de 24 y $400\,\mathrm{Myr}$ (Ejercicio 10.9). Los geólogos lo juzgaron demasiado corto. En 1895, un año antes del descubrimiento de la radiactividad, su antiguo ayudante John Perry señaló en cambio una suposición: si el interior era en parte fluido y convectaba, transportaría el calor como si tuviera una conductividad enorme, y todo el interior, no solo una cáscara exterior delgada, alimentaría el flujo de calor en superficie. Su argumento fue ignorado y olvidado; la convección del manto, establecida mucho después, le dio la razón: el manto profundo se enfría por convección, y eso es el enfriamiento secular del balance.

Proposición 10.14 (La Tierra bien agitada de Perry)

Sea una esfera de radio $R$ con un interior bien agitado a la temperatura uniforme $T_i(t)$, con capacidad calorífica $\rho c$ por unidad de volumen, bajo una tapa conductora de espesor $L \ll R$ y conductividad $k$ cuya superficie está a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, y sin producción de calor. Entonces

$$T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},$$

y el flujo de calor en superficie $kT_i/L$ decae con la misma constante de tiempo.

Para $R = 6400\,\mathrm{km}$, $L = 100\,\mathrm{km}$ y $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Gyr}$: una Tierra que convecta mantiene un flujo de calor alto durante miles de millones de años, donde la Tierra conductora de Kelvin lo perdió en decenas de millones (Ejercicio 10.11).

10.5 La litosfera como capa límite térmica

Definición 10.15 (Capa límite térmica, litosfera térmica)

En un fluido que convecta, una capa límite térmica es una capa a lo largo de un contorno en la que el calor pasa por conducción y la temperatura cambia del valor del contorno al del interior bien mezclado. La litosfera térmica es la capa límite térmica superior del manto: la cáscara exterior de la Tierra, desde la superficie hasta la profundidad a la que el geotermo conductivo se encuentra con la adiabática del manto.

Las placas son la parte fría superior de la convección del manto, su capa límite superior. Su base, donde el geotermo conductivo empinado se curva hacia la adiabática suave, está a $70\text{ a }230\,\mathrm{km}$ en la figura de los geotermos para flujos de calor continentales de 70 a $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, en el rango medido por sismología (Capítulo 9): la litosfera definida por su resistencia y la definida por su temperatura son aproximadamente la misma cáscara, porque la resistencia depende de la temperatura. En el fondo del manto, la capa D$''$ es la capa límite inferior, calentada desde abajo por el núcleo.

Bajo los océanos, la capa límite nace en la dorsal, donde el manto caliente sube a la superficie, y se engrosa a medida que la placa se aleja y se enfría. El enfriamiento de un semiespacio desde una temperatura uniforme, resuelto por Fourier y usado por Kelvin para la Tierra entera, lo describe bien (Capítulo 13 y el libro de tercer año universitario lo deducen): las isotermas se hunden como la raíz cuadrada de la edad del fondo (figura de abajo), y el flujo de calor disminuye como

el valor empleado en el balance global. A $100\,\mathrm{Myr}$ el semiespacio se ha enfriado hasta unos $130\,\mathrm{km}$ (Ejercicio 10.12). La placa real deja de engrosarse antes: las ondas sísmicas que cruzan el Pacífico se ajustan mejor con una placa enfriada que tiende a un espesor de $85\text{ a }95\,\mathrm{km}$, el aplanamiento del fondo oceánico antiguo que se vuelve a encontrar en Capítulo 13.

El balance térmico, el flujo de calor y la estructura térmica de las placas se reúnen en los capítulos siguientes: la placa enfriada se hunde (Capítulo 13), y la litosfera fría que se hunde en las zonas de subducción es la corriente descendente de la convección a la que pertenece.

10.6 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Un sondeo en granito de conductividad $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ muestra un gradiente estacionario de $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. Calcúlese el flujo de calor y la potencia que atraviesa un kilómetro cuadrado de superficie en ese punto.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. A través de $1\,\mathrm{km}^{2}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$, es decir $55\,\mathrm{kW}$.

Ejercicio 10.2 ★

A partir de las áreas y los flujos de calor medios de los continentes ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) y de los océanos ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$), calcúlese la pérdida de calor de cada uno, la total y el flujo de calor medio sobre la superficie de la Tierra ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). ¿Qué fracción de los $173\,000\,\mathrm{TW}$ que recibe del Sol representa?

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

Continentes $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$; océanos $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$; total $46.61\,\mathrm{TW}$, y el flujo de calor medio $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (los valores publicados, 46.7 y 91.6, difieren solo por el redondeo de las dos medias). La fracción de la entrada solar es $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$, o $0.027\,\%$.

Ejercicio 10.3 ★

A partir de la tabla de los cuatro isótopos, calcúlese el calor liberado por kilogramo de uranio natural ($99.274\,\%$ $\ce{^{238}U}$ y $0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$ de los átomos; sus masas difieren en unos $1\,\%$, así que tómense estas como fracciones másicas) y por kilogramo de potasio natural, cuyo $\ce{^{40}K}$ constituye el $0.0117\,\%$ de los átomos (tómese la masa de un átomo de $\ce{^{40}K}$ como $39.96/39.10$ veces la masa media de un átomo de potasio).

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

Uranio: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} = 9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$; el raro $\ce{^{235}U}$ aporta el $4\,\%$ de ella. Potasio: la fracción másica de $\ce{^{40}K}$ es $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$, así que $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

Ejercicio 10.4 ★

Conviértanse las ordenadas en el origen de las tres provincias, 0.8, 1.4 y $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, a $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). Prevéase el flujo de calor en superficie sobre un granito de producción de calor $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ en cada provincia.

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

Conversión: $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: Estados Unidos orientales $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Basin and Range $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Sierra Nevada $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Con $A_0D$ en $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ cuando $A_0$ está en $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $D$ en $\mathrm{km}$: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $58.6 + 3.0\times9.4 = 86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. El mismo granito da flujos de calor casi el doble de altos en Basin and Range que en la Sierra Nevada: la diferencia está en el manto de abajo.

Ejercicio 10.5 ★★

Una corteza tiene una producción de calor uniforme de $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ en sus $10\,\mathrm{km}$ superiores y ninguna por debajo, una conductividad de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, un flujo de calor en superficie de $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ y una temperatura en superficie de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcúlense la temperatura a $10\,\mathrm{km}$, el flujo de calor bajo la capa radiogénica y la temperatura en el Moho, a $35\,\mathrm{km}$ de profundidad.

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

$T(10\,\text{km}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5} = 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. Debajo, $q_m = 60 - 2.0\times10 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, un gradiente de $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, y $T(35\,\text{km}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Ejercicio 10.6 ★★

Un sondeo atraviesa $300\,\mathrm{m}$ de lutita ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), y luego granito ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Las temperaturas de equilibrio son $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ en superficie, $24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $300\,\mathrm{m}$ y $34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $800\,\mathrm{m}$. Calcúlense el gradiente y el flujo de calor en cada roca, la resistencia térmica a $300\,\mathrm{m}$ y a $800\,\mathrm{m}$, y la pendiente del diagrama de Bullard. ¿Es constante el flujo de calor?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

Lutita: gradiente $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 1.5\times0.040 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Granito: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 = 200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$, $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Los tres puntos $(0, 12.0)$, $(200, 24.0)$, $(366.7, 34.0)$ están alineados, con pendiente $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: el flujo de calor es el mismo, $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, en ambas rocas; solo cambia el gradiente, en proporción inversa a la conductividad.

Ejercicio 10.7 ★★

Con $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcúlese la escala de tiempo conductiva para $L = 1\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{km}$ y $2900\,\mathrm{km}$, cada una en una unidad adecuada. ¿Qué ciclos de temperatura en superficie se siguen sintiendo $10\,\mathrm{m}$ bajo el suelo? Compárese el último tiempo con la edad de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$, $10^{6}\,\mathrm{s}$ o $12$ días; $10\,\mathrm{m}$, $10^{8}\,\mathrm{s}$ o $3.2$ años; $100\,\mathrm{km}$, $10^{16}\,\mathrm{s}$ o $317\,\mathrm{Myr}$; $2900\,\mathrm{km}$, $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ o $267\,\mathrm{Gyr}$. A $10\,\mathrm{m}$ el ciclo diario no se siente en absoluto, y el anual, más corto que los tres años necesarios para atravesar $10\,\mathrm{m}$, solo muy débilmente: solo llegan los cambios que duran años o más. El último tiempo es $267/4.54 = 59$ veces la edad de la Tierra.

Ejercicio 10.8 ★★

La adiabática del manto está a $1646\,\mathrm{K}$ a $50\,\mathrm{km}$ de profundidad, con un gradiente de $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ allí, que disminuye hasta $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ a $410\,\mathrm{km}$. (a) Extrapólese hasta la superficie con el gradiente a $50\,\mathrm{km}$, y dése la temperatura potencial en kelvin y en grados Celsius. (b) Estímese la temperatura a $410\,\mathrm{km}$ con la media de los dos gradientes, y compárese con los $1799\,\mathrm{K}$ publicados justo encima de la discontinuidad.

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

(a) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$, es decir $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$, el $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ publicado, redondeado. (b) Gradiente medio $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, así que $1646 + 0.45\times360 = 1808\,\mathrm{K}$, $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) por encima de $1799\,\mathrm{K}$: el gradiente no disminuye linealmente, pero la estimación es cercana.

Ejercicio 10.9 ★★

Un semiespacio enfriado desde la temperatura uniforme $T_0$, con su superficie mantenida a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, tiene tras un tiempo $t$ el gradiente superficial $G = T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (admitido). (a) Exprésese $t$ en función de $G$. (b) Con los valores de Kelvin, $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $G = 1/50$ de grado Fahrenheit por pie; calcúlese $G$ en $\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ y la edad. (c) Rehágase con $T_0 = 1300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $G = 36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

(a) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ da $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (b) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$; $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) = 1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, es decir $96\,\mathrm{Myr}$, la cifra de Kelvin. (c) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) = 4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Myr}$: una temperatura inicial más realista hace que la Tierra conductora sea aún más joven.

Ejercicio 10.10 ★★★

Una provincia se erosiona: se retira un espesor $e$ de la parte superior de cada plutón, siendo inalterado el flujo profundo $q_m$. (a) En el modelo exponencial, muéstrese que la nueva producción superficial de calor y el nuevo flujo de calor, $A_0'$ y $q_0'$, siguen cumpliendo $q_0' = q_m + A_0'D$. (b) En el modelo de capa uniforme de espesor $h$, muéstrese que un plutón erosionado en $e$ se sitúa en una recta de pendiente $h - e$. (c) Plutones de una misma provincia se erosionaron en cantidades distintas. ¿Qué modelo predice que siguen sobre una sola recta?

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

(a) Tras la erosión, la nueva superficie está a la antigua profundidad $e$, donde la producción de calor era $A_0' = A_0e^{-e/D}$ y el flujo de calor $q(e) = q_m + A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$; medida desde la nueva superficie, la producción sigue disminuyendo como $A_0'e^{-z'/D}$. El plutón se desplaza hacia abajo a lo largo de la misma recta. (b) La capa tiene ahora un espesor $h - e$ con la misma $A$, así que $q_0' = q_m + A(h - e)$: sobre una recta de pendiente $h - e$ que pasa por $q_m$. (c) Solo el modelo exponencial: en el modelo de capa uniforme, los plutones erosionados a profundidades distintas se situarían sobre rectas de pendientes diferentes, y los puntos de una provincia se dispersarían. Que se observe una sola recta favorece una producción que disminuye aproximadamente de forma exponencial con la profundidad.

Ejercicio 10.11 ★★★

En el modelo de Perry (Proposición 10.14) tómese $R = 6400\,\mathrm{km}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y una temperatura interior inicial de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcúlese $\tau_P$ para tapas de 50 y $100\,\mathrm{km}$. (b) Para la tapa de $50\,\mathrm{km}$, calcúlese el flujo de calor en superficie al principio y tras $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) El semiespacio conductor de Kelvin, con el mismo $k$ y $T_0$, tiene un flujo de calor en superficie $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: calcúlese tras $2\,\mathrm{Gyr}$ y compárese.

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

(a) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: para $50\,\mathrm{km}$, $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6} = 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Gyr}$; para $100\,\mathrm{km}$, $6.8\,\mathrm{Gyr}$. (b) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ al principio, y $78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ tras $2\,\mathrm{Gyr}$. (c) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} = 8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: la Tierra bien agitada sigue perdiendo cinco veces más calor tras dos mil millones de años. Todo su interior alimenta la superficie, mientras que en una Tierra conductora solo lo hace una cáscara exterior.

Ejercicio 10.12 ★★★

El flujo de calor en superficie de un semiespacio que se enfría es $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ (Ejercicio 10.9). (a) Con $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (desde la temperatura potencial hasta un fondo marino a unos $10{}^{\circ}\mathrm{C}$), calcúlese la constante $C$ de $q = C/\sqrt t$, con $t$ en millones de años, y compárese con los $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$ ajustados a los datos. (b) Con $C = 490$, dense el flujo de calor a 1, 10 y $100\,\mathrm{Myr}$. (c) La isoterma de $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la figura de isotermas en enfriamiento se encuentra donde $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$; calcúlese su profundidad a $100\,\mathrm{Myr}$.

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

(a) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Myr}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 9957\,\mathrm{m}$, así que $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para $t$ en Myr, $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Myr}^{1/2}$: el $82\,\%$ de los 490 ajustados. El modelo necesita un $k\,\Delta T$ mayor (unos $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): una conductividad mayor del manto, o un interior más caliente, como a lo largo de la adiabática. (b) $490/\sqrt1 = 490$, $490/\sqrt{10} = 155$ y $490/\sqrt{100} = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} = 2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

10.7 Problema: rocas calientes bajo los plutones

Problema 10.1

Problema de fin de semana — flujo de calor y producción de calor de cinco plutones graníticos, la relación lineal y la temperatura de la corteza profunda

Se han perforado cinco plutones graníticos de una misma provincia. En cada sondeo se registró la temperatura de equilibrio a $100\,\mathrm{m}$ y a $500\,\mathrm{m}$, y la conductividad del granito se midió en testigos; sus contenidos de uranio, torio y potasio se analizaron en muestras de superficie. Los cinco granitos tienen una densidad de $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

plutón	$T$ a $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$T$ a $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)	U, Th (ppm)	K ($\%$)
A	13.1	19.2	2.9	2.0, 8	3.0
B	12.4	20.2	2.6	3.5, 14	3.5
C	13.6	21.4	3.1	5.0, 18	4.0
D	12.9	23.1	2.7	7.0, 25	4.2
E	14.2	25.5	3.0	10.0, 35	4.5

Úsense los calores elementales $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U), $2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) y $3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). Bajo los plutones, tómese $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ para toda la corteza y una temperatura en superficie de $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Parte I — Flujo de calor.

1. Calcúlese el gradiente de temperatura en cada sondeo.
2. ¿Por qué deben registrarse las temperaturas semanas o meses después de la perforación, y por qué se deja fuera la parte superior de $100\,\mathrm{m}$?
3. Calcúlese el flujo de calor en cada plutón.
4. Compárense con el flujo de calor continental medio, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
5. Los gradientes de B y de C son iguales. ¿Por qué no lo son sus flujos de calor?
6. Los plutones están bajo colinas. ¿Elevaría o bajaría el relieve el gradiente medido bajo una cima? (Piénsese en la forma de las isotermas.)

Parte II — Producción de calor y la recta.

7. Calcúlese la producción de calor debida al uranio en cada plutón.
8. Lo mismo para el torio.
9. Lo mismo para el potasio.
10. Súmense para obtener $A_0$ en cada plutón. ¿Qué elemento contribuye menos?
11. Represéntese $q_0$ frente a $A_0$. ¿Están los puntos cerca de una recta?
12. Calcúlense las medias de $A_0$ y de $q_0$, y las sumas $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ y $\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$.
13. Dedúzcase la recta de mínimos cuadrados $q_0 = q_m + D A_0$: su pendiente $D$ (en $\mathrm{km}$) y su ordenada en el origen $q_m$.
14. Compárense $D$ y $q_m$ con las tres provincias del capítulo. ¿A cuál se parece esta provincia?

Parte III — El geotermo bajo el plutón E. Redondéese $D$ a $10\,\mathrm{km}$ y $q_m$ a $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, y tómese para el plutón E el $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ redondeado.

15. Escríbase el geotermo $T(z)$ de Teorema 10.10 con estos valores.
16. Calcúlese el flujo de calor a 10, 20 y $35\,\mathrm{km}$.
17. ¿Qué fracción del flujo de calor en superficie sobre E procede de bajo la capa radiogénica?
18. Calcúlese la temperatura a $10\,\mathrm{km}$.
19. Calcúlese la temperatura a $20\,\mathrm{km}$.

Parte IV — La corteza profunda.

20. Calcúlese la temperatura en el Moho, a $35\,\mathrm{km}$ de profundidad, bajo el plutón A ($A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$).
21. ¿En cuánto elevan las capas radiogénicas de A y de E las temperaturas profundas? Explíquese la diferencia entre los dos plutones.
22. Por debajo de $50\,\mathrm{km}$, $e^{-z/D}$ es despreciable. Hállese la profundidad de la isoterma de $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo el plutón E y bajo el plutón A.
23. Compárense estas profundidades con el espesor de la litosfera continental que se encuentra en Capítulo 9.
24. ¿Cuál es la temperatura en el Moho bajo el plutón E?

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. Gradiente $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, B $19.50$, C $19.50$, D $25.50$, E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. Perforar altera la temperatura de la roca (el fluido de perforación enfría o calienta las paredes), y la perturbación tarda semanas o meses en desaparecer. Las decenas de metros superiores siguen el ciclo estacional y los cambios recientes de la temperatura en superficie.

3. $q_0 = k\times$gradiente: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

4. De A a D están por debajo de la media continental, y E por encima en $13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, o $20\,\%$.

5. El flujo de calor es la conductividad por el gradiente: C conduce mejor (3.1 frente a 2.6), así que el mismo gradiente transporta un $19\,\%$ más de calor.

6. Las isotermas siguen el relieve solo en parte: bajo una cima se elevan menos que la superficie, así que están más separadas por debajo, y el gradiente medido disminuye (aumenta bajo un valle). Hace falta una corrección por relieve antes de comparar los plutones.

7. $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} = 0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, B 0.914, C 1.305, D 1.827, E 2.610.

8. Torio: A 0.558, B 0.976, C 1.255, D 1.742, E 2.439.

9. Potasio: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$, B 0.315, C 0.360, D 0.378, E 0.405.

10. $A_0$ = 1.35, 2.20, 2.92, 3.95 y $5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. El potasio aporta lo menos, desde el $20\,\%$ del total en A hasta $7\,\%$ en E; el uranio y el torio se reparten el resto casi por igual.

11. Sí: los cinco puntos suben de forma regular, a unos $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ de una recta.

12. $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$, $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$; $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$; $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) = 101.146$.

13. $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (en $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ por $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, es decir en km): $D = 9.95\,\mathrm{km}$, y $q_m = 61.795 - 9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

14. La pendiente, de unos $10\,\mathrm{km}$, es la de las tres provincias; el flujo de calor reducido, $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, está cerca de los $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ de los Estados Unidos orientales: una provincia tranquila con un manto frío debajo, a diferencia de Basin and Range.

15. $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ y $A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5 = 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$, $z$ en km, $T$ en ${}^{\circ}\mathrm{C}$.

16. $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $10\,\mathrm{km}$, $37.4$ a $20\,\mathrm{km}$ y $31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $35\,\mathrm{km}$.

17. $30/84.6 = 35\,\%$: casi dos tercios del flujo de calor sobre E se producen en su capa radiogénica.

18. $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Bajo A, $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Por $A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ bajo A y $218\,\mathrm{K}$ bajo E. El flujo de calor profundo es el mismo; la corteza de E es cuatro veces más rica en fuentes de calor, y el calor que producen debe conducirse hacia arriba por la misma roca, lo que exige un gradiente más empinado en todo el recorrido.

22. $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ da $z = 89.3\,\mathrm{km}$ bajo E; $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ da $103.0\,\mathrm{km}$ bajo A.

23. Ambas se encuentran dentro del rango de la litosfera continental, desde cien kilómetros o menos bajo regiones jóvenes hasta unos $250\,\mathrm{km}$ bajo cratones, hacia su lado delgado: con un flujo de calor reducido de $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ y esta conductividad, el geotermo conductivo alcanza temperaturas del manto a unos $100\,\mathrm{km}$; bajo el plutón más radiactivo, $14\,\mathrm{km}$ antes.

24. $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: el Moho bajo el plutón E está a $642{}^{\circ}\mathrm{C}$.