16Esfuerzo, deformación y reología

En los años 1960, agua residual inyectada por un pozo de eliminación en el Rocky Mountain Arsenal, cerca de Denver, se difundió por el basamento cristalino fracturado entre $3.7\,\mathrm{km}$ y $7.0\,\mathrm{km}$ bajo la superficie, y siguieron los terremotos. Se produjeron dentro de la parte de la roca donde la presión del fluido había subido más de unos $3.2\,\mathrm{MPa}$.

Medio siglo después ocurrió lo mismo a mayor escala en Oklahoma, donde el agua salada extraída junto con el petróleo y el gas se vuelve a bombear bajo tierra. En el estado y alrededores, los terremotos de magnitud 3 o mayor fueron de uno a cinco al año entre 2005 y 2008, luego $20$ en 2009, $585$ en 2014 y $888$ en 2015, más de dos al día; sacudidas de magnitud 5.7 y 5.8 estremecieron Prague, en 2011, y Pawnee, en 2016. Cuatro pozos de gran volumen podían explicar por sí solos una quinta parte de los terremotos del centro de Estados Unidos, y provocar algunos a más de $30\,\mathrm{km}$ de distancia.

El agua no empujó nada a un lado; solo elevó la presión del fluido en los poros de la roca. ¿Por qué debería eso hacer deslizar una falla? La respuesta necesita tres ideas, que son el tema de este capítulo: el esfuerzo sobre un plano dentro de una roca, la condición en que el plano cede, y el hecho de que la presión del fluido de los poros cuenta en contra de la fuerza que presiona los dos lados entre sí. Con ellas, y con una ley de fluencia para la roca caliente, podemos dibujar la resistencia de toda la litosfera frente a la profundidad.

Lo que ya sabes

Una fuerza repartida sobre una superficie actúa mediante su fuerza por unidad de área, en pascales; la presión en un fluido en reposo crece con la profundidad como $\rho g z$ (libros de física). Un muelle, y un sólido en pequeñas deformaciones, obedecen la ley de Hooke: la deformación es proporcional al esfuerzo, con el módulo de Young como constante; un fluido viscoso se opone en proporción a su velocidad de cizalla, con su viscosidad como constante. El volumen de física de tercer año universitario describe el esfuerzo y la deformación en tres dimensiones con tensores; este capítulo necesita solo dos. Una matriz simétrica de $2\times2$ tiene dos autovalores reales y dos autovectores perpendiculares (matemáticas, primer año). Los geotermos de Capítulo 10 dan la temperatura en profundidad; las fallas se vieron en el libro 1, año 7.

16.1 Esfuerzo en dos dimensiones

Corte una roca en el pensamiento a lo largo de una pequeña superficie plana. La roca de un lado presiona a la roca del otro con una fuerza, y la fuerza por unidad de área es la tracción sobre esa superficie, en la palabra de los libros de física. Su dirección no es, en general, la dirección de la normal a la superficie.

Definición 16.1 (Esfuerzo normal)

Sobre un plano que pasa por un punto de una roca, la fuerza por unidad de área que la roca de un lado ejerce sobre la del otro tiene una componente a lo largo de la normal al plano, el esfuerzo normal $\sigma_n$, y una componente a lo largo del plano, el esfuerzo de cizalla $\tau$. En las ciencias de la Tierra el esfuerzo normal se cuenta positivo cuando comprime.

La convención de signos es la opuesta a la del ingeniero. Se elige porque casi todo esfuerzo en la Tierra sólida es una compresión: el peso de la roca de encima presiona todo lo que está debajo.

Trabajamos en un plano vertical, con un eje $x$ horizontal y un eje $y$. Sobre un plano perpendicular a $x$ el esfuerzo normal es $\sigma_{xx}$ y el de cizalla $\sigma_{xy}$; sobre un plano perpendicular a $y$ son $\sigma_{yy}$ y $\sigma_{yx}$. Los dos esfuerzos de cizalla son iguales: en un pequeño cuadrado, las fuerzas de cizalla sobre los lados verticales forman un par de momento $\sigma_{xy}a\cdot a$ para un lado $a$, las de los lados horizontales un par $\sigma_{yx}a\cdot a$ que gira en sentido contrario, y el cuadrado giraría si fueran distintos. Así que tres números describen el esfuerzo en un punto, y bastan para darlo en todo plano.

Proposición 16.2 (Esfuerzo sobre un plano inclinado)

Sea un plano de normal unitaria $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$, con el ángulo $\theta$ respecto del eje $x$, y sea $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ el vector unitario a lo largo del plano. Los esfuerzos normal y de cizalla sobre él son

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

con $\tau$ contado positivo a lo largo de $\vec m$.

Teorema 16.3 (Esfuerzos principales)

En cada punto de una roca hay dos planos perpendiculares en los que el esfuerzo de cizalla es nulo. Los esfuerzos normales sobre ellos son el mayor y el menor esfuerzo normal de todos los planos que pasan por el punto,

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

donde $\theta_p$ es el ángulo desde el eje $x$ hasta la normal del plano que lleva $\sigma_1$.

Definición 16.4 (Esfuerzos principales, esfuerzo diferencial)

Los esfuerzos principales en un punto son los esfuerzos normales $\sigma_1 \ge \sigma_3$ sobre los dos planos libres de esfuerzo de cizalla, y sus direcciones son las direcciones principales. En tres dimensiones hay tres, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, sobre tres planos perpendiculares. El esfuerzo diferencial es $\sigma_1 - \sigma_3$, y el esfuerzo medio en el plano es $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

Un estado de esfuerzo se lee más fácilmente en sus direcciones principales. Si medimos el ángulo $\theta$ desde la dirección de $\sigma_1$ en lugar de desde el eje $x$, las fórmulas pierden sus últimos términos.

Proposición 16.5 (Círculo de Mohr)

Sobre un plano cuya normal forma el ángulo $\theta$ con la dirección de $\sigma_1$,

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

Cuando $\theta$ gira, el punto $(\sigma_n, |\tau|)$ recorre la mitad superior del círculo de centro $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ y radio $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, con el ángulo $2\theta$ desde su extremo $\sigma_1$. El esfuerzo de cizalla máximo, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, actúa sobre los planos a $45{}^{\circ}$ de las direcciones principales.

El signo de $\tau$ solo indica en qué sentido se deslizarían los dos lados, así que la mitad superior del círculo suele dibujarse sola. La construcción lleva el nombre del ingeniero Christian Otto Mohr, quien construyó también sobre ella un criterio de fallo, que es adonde vamos (Sección 16.3).

Esfuerzo en profundidad

Definición 16.6 (Presión litostática, presión del fluido de poro, esfuerzo efectivo)

A la profundidad $z$, el peso de la roca de encima, por unidad de área horizontal, es el esfuerzo vertical $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$, que vale $\rho g z$ en una capa de densidad uniforme $\rho$. Cuando el esfuerzo es el mismo en todas las direcciones e igual a él, la roca está bajo la presión litostática. La presión del agua, del petróleo o del gas en los poros y grietas de la roca es la presión del fluido de poro $P$; es hidrostática, $P = \rho_w g z$, cuando los poros se comunican con la superficie. El esfuerzo efectivo es el esfuerzo menos la presión de poro, $\sigma' = \sigma - P$, en todo plano; $\lambda = P/\sigma_v$ es la razón de presión de poro.

En una corteza de densidad $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, el esfuerzo vertical crece $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro, y una presión de poro hidrostática $9.81\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. El fluido de poro empuja los granos aparte con la misma presión en todas las direcciones; no quita nada al esfuerzo de cizalla, pero sí resta $P$ de cada esfuerzo normal. Donde los poros están sellados, por arcilla o sal por ejemplo, el fluido puede soportar parte del peso de la roca de encima, y $\lambda$ sube hacia 1.

La tensión en la corteza no es litostática. Las placas empujan y tiran, la corteza se curva, las montañas pesan sobre sus raíces, y los esfuerzos horizontales difieren del vertical. Cerca de la superficie, que no soporta esfuerzo de cizalla, una dirección principal es vertical, como muestra Capítulo 17: $\sigma_v$ es $\sigma_1$, $\sigma_2$ o $\sigma_3$, y los tres casos son las tres maneras en que se mueven las fallas.

16.2 Deformación

El esfuerzo es una causa; la deformación es lo que registra la roca. Un fósil estirado, un guijarro aplastado, un estrato acortado en pliegues miden todos un cambio de forma.

Definición 16.7 (Extensión, alargamiento, deformación de cizalla)

Una línea de material de longitud $\ell_0$ deformada hasta la longitud $\ell$ tiene la extensión $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ y el alargamiento $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; un acortamiento es una extensión negativa, un alargamiento menor que 1. Dos líneas de material que eran perpendiculares y forman ahora el ángulo $90{}^{\circ} - \psi$ han sido cizalladas en el ángulo $\psi$, y la deformación de cizalla es $\gamma = \tan\psi$.

Una deformación es homogénea cuando cada pequeña región de la roca se deforma de la misma manera. La nueva posición $\vec x'$ del punto $\vec x$ es entonces una función lineal, $\vec x' = F\vec x$, con una matriz constante $2\times2$ $F$ (y $\det F > 0$, ya que la roca no se da la vuelta por dentro). Las rectas siguen siendo rectas y las paralelas, paralelas; un cuadrado se convierte en un paralelogramo, y un círculo en una elipse.

Proposición 16.8 (La elipse de deformación)

Bajo la deformación homogénea $\vec x' = F\vec x$, el círculo de radio 1 se convierte en una elipse cuyos semiejes son las raíces cuadradas $S_1 \ge S_2$ de los autovalores de $FF^{\mathsf T}$, a lo largo de sus autovectores perpendiculares. $S_1$ y $S_2$ son el mayor y el menor alargamiento de todas las líneas de material, y el área se multiplica por $\det F = S_1S_2$.

Definición 16.9 (Elipse de deformación)

La elipse de deformación es la elipse en la que una deformación homogénea convierte un círculo de radio 1; sus semiejes son los alargamientos principales $S_1 \ge S_2$, y sus ejes las direcciones principales de la deformación.

Dos deformaciones que cambian la forma de un cuerpo igualmente pueden ser muy distintas.

Definición 16.10 (Cizalla pura, cizalla simple)

Una cizalla pura es una deformación homogénea que conserva el área y mantiene fijas sus direcciones principales en la roca: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ en esos ejes, con $k > 1$. Una cizalla simple mueve cada punto paralelamente a una dirección, la dirección de cizalla, en $\gamma$ veces su distancia a un plano fijo paralelo a ella: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Ambas conservan el área, ya que los determinantes valen 1. En la cizalla pura las líneas de material a lo largo de los ejes de la elipse de deformación son las mismas líneas en cada etapa: la deformación es coaxial. En la cizalla simple no lo son, como muestran la siguiente proposición y la figura posterior.

Proposición 16.11 (La elipse de la cizalla simple)

Una cizalla simple $\gamma$ tiene los alargamientos principales

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

y el eje largo de su elipse de deformación forma con la dirección de cizalla el ángulo $\theta'$ dado por $\tan2\theta' = 2/\gamma$.

La elipse de deformación registra la deformación total, o finita. Una deformación que dura millones de años es la suma de muchos pequeños incrementos, cada uno una deformación infinitesimal; para un $\gamma$ pequeño la proposición da $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ y $\theta' \approx 45{}^{\circ}$. En la cizalla simple los incrementos estiran siempre más deprisa a $45{}^{\circ}$ de la dirección de cizalla, mientras que la elipse finita gira hacia ella, $31.7{}^{\circ}$ para $\gamma = 1$, $22.5{}^{\circ}$ para $\gamma = 2$, cada vez más cerca a medida que $\gamma$ crece. Por eso los guijarros aplastados y los minerales estirados en una zona de cizalla intensa yacen casi en su plano, y el ángulo que forman con la zona mide cuánto se ha movido.

16.3 Reología

Definición 16.12 (Reología, comportamiento frágil y dúctil)

La reología de un material es la manera en que se deforma y fluye bajo esfuerzo: la relación entre el esfuerzo, la deformación y la velocidad de deformación. Una roca muestra un comportamiento frágil cuando se deforma por fractura o por deslizamiento sobre fracturas, en superficies discretas, con una pérdida brusca de resistencia; muestra un comportamiento dúctil cuando se deforma de forma permanente y continua a través de su volumen, sin perder su cohesión.

Las rocas muestran todos los comportamientos de los libros de física. Bajo esfuerzos pequeños y breves son elásticas: la deformación es proporcional al esfuerzo, como en la ley de Hooke, y desaparece con él; las ondas sísmicas (Capítulo 9) viajan por roca elástica. Durante tiempos largos el manto caliente fluye como un fluido muy viscoso, con la velocidad de deformación creciendo con el esfuerzo. Entre medias, la roca fría se rompe y desliza, y la roca templada fluye lentamente. Qué comportamiento prevalece depende del esfuerzo, la temperatura, la presión, el fluido de los poros y el tiempo disponible.

Fallo frágil

Definición 16.13 (Criterio de fallo de Coulomb)

Una roca obedece el criterio de fallo de Coulomb si un plano a través de ella se rompe, o una fractura existente desliza, en cuanto en ese plano

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

donde $C \ge 0$ es la cohesión de la roca, $\mu$ su coeficiente de fricción interna y $\phi = \arctan\mu$ su ángulo de fricción interna.

El criterio lleva los nombres de Coulomb y Mohr. Sus constantes se miden en muestras de laboratorio, y difieren de una roca a otra. Una fractura existente ha perdido su cohesión: para ella $C = 0$, y la fricción sobre ella apenas depende de la roca (Proposición 16.15), con $\mu$ entre 0.6 y 0.85, un ángulo de fricción entre $31{}^{\circ}$ y $40{}^{\circ}$.

Teorema 16.14 (El ángulo de fallo)

Una roca que obedece el criterio de Coulomb se rompe primero en los planos que forman el ángulo $45{}^{\circ} - \phi/2$ con la dirección de $\sigma_1$, a uno y otro lado de él, y se rompe cuando

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

Con $\phi = 30{}^{\circ}$, una roca se rompe en planos a $30{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, y los dos planos posibles forman $60{}^{\circ}$ entre sí, partidos en dos por $\sigma_1$. Este es el ángulo entre las fallas conjugadas que se ven en el campo, y la razón, como muestra Capítulo 17, por la que las fallas normales buzan empinadas y los cabalgamientos suavemente.

Para el deslizamiento sobre fracturas que ya existen, el experimento da la fricción misma, y la da con una sorprendente simplicidad.

Proposición 16.15 (Ley de Byerlee)

En la mayoría de las rocas, el deslizamiento sobre una fractura o falla existente empieza cuando el esfuerzo de cizalla alcanza

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

cualquier tipo de roca: esta es la ley de Byerlee.

La ley es resultado del experimento, no de la teoría. James Byerlee midió, en 1975, la resistencia a la fractura y la resistencia por fricción de una arenisca bajo presiones de confinamiento y de poro, y encontró que ambas dependían solo del esfuerzo efectivo, la diferencia entre las dos presiones; la resistencia a la fractura variaba hasta un $20\,\%$ según el cemento entre los granos, pero la fricción no dependía de la roca, y la misma ley valía para gabro, dunita, serpentinita, granito y caliza. Las dos rectas se cortan en $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$, donde ambas dan $170\,\mathrm{MPa}$.

La ley del esfuerzo efectivo es la clave de la apertura de este capítulo. Elevar la presión de poro en $\Delta P$ disminuye cada esfuerzo normal efectivo en $\Delta P$ y deja cada esfuerzo de cizalla como estaba: el círculo de Mohr se desliza a la izquierda, sin cambiar de tamaño, hacia la recta de fallo. Una falla que estaba segura puede llevarse a deslizar sin ningún cambio en el esfuerzo tectónico. El esfuerzo de cizalla crítico sobre una falla es $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$, y la inyección actúa sobre su último término. En Denver los terremotos se mantuvieron en la roca donde la presión de poro había subido más de unos $3.2\,\mathrm{MPa}$, como si ese aumento fuera lo que necesitaban las fallas de allí.

Método 16.16 (Ensayo de deslizamiento de una falla)

Para decidir si una falla a la profundidad $z$ deslizará, y qué lo provocaría:

1. Hállense los esfuerzos principales en el plano perpendicular al rumbo de la falla: $\sigma_v = \rho g z$, y el esfuerzo horizontal, medido o supuesto; tómese la presión de poro $P$ (hidrostática, $\rho_w g z$, si no se sabe nada más).
2. Mídase el ángulo $\theta$ entre la normal a la falla y la dirección de $\sigma_1$.
3. Calcúlense $\sigma_n$ y $\tau$ sobre la falla con Proposición 16.5, y luego $\sigma_n' = \sigma_n - P$.
4. Compárese $\tau$ con la fricción de Proposición 16.15: por debajo de ella la falla aguanta; $\tau/\sigma_n'$ frente a 0.85 mide el margen.
5. El aumento de presión de poro que la lleva a deslizar es $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ en la rama inferior de la ley ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$, en megapascales, en la superior).

Fluencia dúctil

La roca caliente no espera a romperse. Por encima de unos cientos de grados en roca rica en cuarzo, y a temperaturas más altas en olivino, los cristales se deforman por el lento movimiento de defectos a través de su red, y la roca fluye a una velocidad que crece bruscamente con el esfuerzo y con la temperatura.

Proposición 16.17 (Fluencia de ley de potencia)

A alta temperatura una roca que se deforma por fluencia de dislocaciones fluye a la velocidad de deformación

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

donde $T$ es la temperatura absoluta, $P$ la presión, $R$ la constante de los gases, y $A$, $n$, $E$ (la energía de activación) y $V$ (el volumen de activación) son constantes del material, medidas en el laboratorio. Para fluir a la velocidad $\dot\varepsilon$, necesita el esfuerzo diferencial

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

Los mecanismos detrás de la ley son el tema del libro de tercer año universitario. Sus constantes vienen de experimentos; para cuarcita húmeda, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (esfuerzo en megapascales, tiempo en segundos), según Gleason y Tullis (1995); para olivino seco, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y $A = 10^{5}$, según Hirth y Kohlstedt (2003); $R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Dos rasgos de la ley dan forma a la litosfera. El esfuerzo depende solo débilmente de la velocidad: diez veces más deprisa exige solo $10^{1/4} = 1.78$ veces más esfuerzo de la cuarcita. Y depende enormemente de la temperatura: la exponencial divide la resistencia de la cuarcita por varias por cada cien grados. Las velocidades de deformación naturales son lentas. Una franja de corteza de $300\,\mathrm{km}$ de ancho que absorbe $1\,\mathrm{cm}$ de movimiento de placa al año se deforma a $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, la velocidad que usaremos.

En el laboratorio — Medición de la resistencia de una roca

Los laboratorios de mecánica de rocas miden la resistencia en una celda triaxial. Un cilindro de roca, extraído con sonda y rectificado plano en sus extremos, se sella en una funda de caucho o de metal blando que impide que el fluido de confinamiento entre en sus poros. Se coloca en un recipiente de paredes gruesas: el aceite que lo rodea fija la presión de confinamiento, que hace de $\sigma_2 = \sigma_3$; un pistón actúa sobre sus extremos y añade la carga axial, $\sigma_1$. Una línea aparte llena los poros con agua a una presión propia, de modo que el esfuerzo efectivo puede variarse con el esfuerzo total fijo. La máquina registra la fuerza axial y el acortamiento de la muestra a medida que se carga a velocidad constante, hasta que se rompe o, en una muestra cortada de antemano, hasta que el corte empieza a deslizar. Un horno dentro del recipiente calienta las muestras para los experimentos de fluencia, que se hacen a velocidades de deformación muchos órdenes de magnitud más rápidas que cualquiera de la Tierra y deben extrapolarse a ella.

16.4 La resistencia de la litosfera

En cada profundidad la litosfera puede fallar de dos maneras: por deslizamiento sobre fallas, con una resistencia que crece con la presión efectiva, o por fluencia, con una resistencia que disminuye al calentarse. Se deforma de la manera que necesita el esfuerzo menor.

Definición 16.18 (Envolvente de resistencia, transición frágil–dúctil, capa sismogénica)

La envolvente de resistencia de la litosfera es la curva, frente a la profundidad, del mayor esfuerzo diferencial que puede soportar a una velocidad de deformación dada: a cada profundidad, el menor entre la resistencia por fricción y la resistencia de fluencia. La transición frágil–dúctil es la profundidad a la que ambas son iguales: por encima de ella la roca se deforma por fallamiento, por debajo por fluencia. La capa sismogénica es el rango de profundidades en el que empiezan la mayoría de los terremotos.

Proposición 16.19 (Resistencia por fricción con la profundidad)

En una capa de densidad $\rho$ con presión de poro hidrostática, un esfuerzo principal vertical, fallas de todas las orientaciones y sin cohesión, que deslizan con fricción $\mu$ empiezan con el esfuerzo diferencial

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{si $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{si $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

con $\lambda = \rho_w/\rho$: el primer caso da fallas normales, el segundo cabalgamientos.

Con $\mu = 0.85$ y $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $S$ crece $16.7\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro y la resistencia por fricción $13.1\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro bajo extensión y $61.3\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro bajo compresión, casi cinco veces más: una corteza es mucho más fácil de separar que de empujar. Más allá de un esfuerzo normal efectivo de $200\,\mathrm{MPa}$ toma el relevo la rama superior de la ley de Byerlee, y la pendiente baja, en compresión, a unos $35\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro.

La figura de arriba reúne las dos resistencias para dos litosferas. El continente tiene el geotermo de Capítulo 10 con un flujo de calor en superficie de $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, una corteza de cuarcita húmeda de $35\,\mathrm{km}$ de espesor, y olivino seco debajo; el fondo oceánico tiene $60\,\mathrm{Myr}$, con el geotermo del semiespacio del mismo capítulo, y olivino desde el fondo del mar hacia abajo. La velocidad de deformación es $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. Los $35\,\mathrm{km}$ son la profundidad media del Moho bajo los continentes en el modelo de Tierra de referencia de Capítulo 9.

Bajo el continente la transición frágil–dúctil cae a $13.7\,\mathrm{km}$ en compresión, a $249{}^{\circ}\mathrm{C}$, y a $17.1\,\mathrm{km}$ en extensión. Una corteza más caliente la subiría, y una más fría la hundiría, ya que la ley de fluencia depende solo de la temperatura a un esfuerzo dado. La transición es el nivel más fuerte de la corteza. Por debajo de ella la resistencia se desploma: en el Moho, a $527{}^{\circ}\mathrm{C}$, la cuarcita fluye bajo $7.6\,\mathrm{MPa}$, mientras que el olivino a la misma temperatura necesitaría unos $30\,000\,\mathrm{MPa}$, tan por encima de la resistencia por fricción que la parte superior del manto vuelve a ser frágil. Una segunda transición sigue a $44.6\,\mathrm{km}$ en compresión. La corteza inferior de este modelo es una capa blanda entre dos fuertes: el «sándwich de gelatina». Bajo el océano toda la litosfera es olivino, y la resistencia crece hacia abajo hasta una sola transición a $38.2\,\mathrm{km}$, a $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Los terremotos concuerdan con la envolvente oceánica: dentro de las placas oceánicas alcanzan profundidades donde la temperatura es de $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de los $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la transición única del modelo. Los terremotos más profundos solo ocurren donde una placa se hunde bajo otra, hasta más de $700\,\mathrm{km}$ (Capítulo 14).

El manto continental es donde el cuadro está en disputa. Durante unos veinte años el sándwich de gelatina fue la visión dominante, basada en mediciones de laboratorio de olivino seco y en unos pocos terremotos que se creían situados bajo el Moho. En 2002 James Jackson sostuvo que debía abandonarse: profundidades mejor determinadas mostraron que los terremotos de los continentes se confinan a una sola capa, por lo general la corteza superior, a veces toda la corteza, sin terremotos convincentes en el manto debajo, incluso donde el Moho está solo a $300\text{ a }500{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pequeñas cantidades de agua, unas pocas partes por millón en el olivino, bastan para debilitarlo drásticamente, y el manto continental bien puede contener tanto; la resistencia de los continentes residiría entonces sobre todo en su corteza. Las dos visiones dibujan envolventes distintas a partir de las mismas leyes, con olivino seco o húmedo bajo el Moho.

Sea cual sea la correcta, una envolvente es una cota y no una medición: las leyes de laboratorio se extrapolan a lo largo de muchos órdenes de magnitud de velocidad de deformación, y los esfuerzos máximos que muestra, más de un gigapascal, están muy por encima de los $1\text{ a }10\,\mathrm{MPa}$ que se observan liberar a los terremotos.

16.5 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

Tómese una corteza de densidad $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A una profundidad de $10\,\mathrm{km}$, calcúlense (a) el esfuerzo vertical, (b) la presión hidrostática de poros y (c) el esfuerzo vertical efectivo y el cociente de presión de poros $\lambda$.

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

(a) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (b) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (c) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, y $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, que es $1000/2700$.

Ejercicio 16.2 ★

(a) Una capa de $10\,\mathrm{km}$ de longitud se estira hasta $13\,\mathrm{km}$: exprésense su extensión y su elongación. (b) Otra, de $10\,\mathrm{km}$ de longitud, se acorta hasta $7\,\mathrm{km}$. (c) Dos líneas de una roca que eran perpendiculares forman ahora un ángulo de $60{}^{\circ}$: ¿cuáles son la cizalla angular y la deformación de cizalla?

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

(a) $e = (13-10)/10 = 0.30$ y $S = 1.30$. (b) $e = (7-10)/10 = -0.30$, un acortamiento de $30\,\%$, y $S = 0.70$. (c) El ángulo se ha cerrado en $\psi = 30{}^{\circ}$, y $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

Ejercicio 16.3 ★

En un punto, $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (a) Dibújese el círculo de Mohr. (b) ¿Cuál es el esfuerzo de cizalla máximo, en qué planos actúa y qué esfuerzo normal actúa sobre ellos? (c) Calcúlense $\sigma_n$ y $\tau$ en el plano cuya normal forma $30{}^{\circ}$ con $\sigma_1$.

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

(a) Centro $70\,\mathrm{MPa}$, radio $30\,\mathrm{MPa}$. (b) El esfuerzo de cizalla máximo es el radio, $30\,\mathrm{MPa}$, en los planos a $45{}^{\circ}$ de $\sigma_1$ y $\sigma_3$, que llevan el esfuerzo normal del centro, $70\,\mathrm{MPa}$. (c) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ y $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

Ejercicio 16.4 ★

Una roca tiene una cohesión de $10\,\mathrm{MPa}$ y un ángulo de fricción interna de $30{}^{\circ}$. (a) ¿A qué ángulo respecto de $\sigma_1$ se rompe, y qué ángulo forman entre sí los dos posibles planos de fractura? (b) Con $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, ¿qué $\sigma_1'$ efectivo la rompe?

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

(a) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ respecto de $\sigma_1$, a ambos lados de él, así que los dos planos forman $60{}^{\circ}$ entre sí. (b) Con $c' = 20 + r$, la condición de Teorema 16.14 se escribe $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, así que

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

y $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

Ejercicio 16.5 ★★

En los ejes $x$ (horizontal) e $y$ (vertical), $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (a) Calcúlense los esfuerzos principales y el ángulo $\theta_p$. (b) Compruébese con Proposición 16.2 que el plano de normal $\theta_p$ no lleva esfuerzo de cizalla y que lleva el esfuerzo normal $\sigma_1$. (c) ¿Cuál es el esfuerzo de cizalla máximo en este punto?

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

(a) $c = 40$ y $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (b) Con este ángulo $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ y $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$, y $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$. (c) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, en los planos a $45{}^{\circ}$ de las direcciones principales.

Ejercicio 16.6 ★★

Una zona de cizalla ha deformado su roca mediante una cizalla simple $\gamma = 2$. (a) Calcúlense los estiramientos principales y el ángulo que forma el eje largo de la elipse de deformación con la dirección de cizalla. (b) Compruébese que el área no ha cambiado. (c) Una línea de material estaba a $45{}^{\circ}$ de la dirección de cizalla, y ascendía en el sentido de la cizalla: ¿dónde se encuentra ahora y cuál es su estiramiento? Compárese con (a).

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

(a) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ y $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (b) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, que es $\det F$: no hay cambio de área. (c) La línea según $(1, 1)$ pasa a $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$, a $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ de la dirección de cizalla, con un estiramiento $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. Ha girado más allá del eje largo de la elipse, a $22.5{}^{\circ}$, hacia el plano de cizalla; su estiramiento es algo menor que $S_1$, como debe ser, ya que ninguna línea se estira más que $S_1$.

Ejercicio 16.7 ★★

En una zona de cizalla de $200\,\mathrm{m}$ de espesor, unas pequeñas manchas redondas en una pizarra se han convertido en elipses con ejes en la proporción 4 a 1. Supóngase una cizalla simple, sin cambio de área. (a) Hállense $S_1$, $S_2$ y $\gamma$. (b) ¿A qué ángulo de las paredes de la zona deben situarse los ejes largos? (c) ¿Cuánto ha avanzado una pared respecto de la otra?

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

(a) $S_1/S_2 = 4$ y $S_1S_2 = 1$ dan $S_1 = 2$ y $S_2 = 0.5$; según Proposición 16.11, $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$. (b) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: los ejes largos deben situarse a $26.6{}^{\circ}$ de las paredes. (c) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 16.8 ★★

Una falla a una profundidad de $3\,\mathrm{km}$, en corteza de densidad $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, soporta un esfuerzo normal de $70\,\mathrm{MPa}$ y un esfuerzo de cizalla de $30\,\mathrm{MPa}$. (a) Con presión hidrostática de poros, ¿desliza según la ley de Byerlee? (b) ¿Y si los poros están sellados y $\lambda = 0.6$? (c) Hállese el valor de $\lambda$ al que empieza a deslizar.

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (a) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, y la ley de Byerlee permite $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$, más que los $30\,\mathrm{MPa}$ aplicados: la falla aguanta. (b) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$, y la fricción da solo $19.0\,\mathrm{MPa}$: la falla desliza. (c) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ da $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$.

Ejercicio 16.9 ★★

Úsese la ley de fluencia del cuarcita húmeda (Proposición 16.17). (a) ¿Por qué factor debe aumentar el esfuerzo para que fluya diez veces más deprisa? (b) ¿Por qué factor disminuye su resistencia entre $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $500{}^{\circ}\mathrm{C}$, a la misma velocidad y con $V = 0$? (c) Explíquese con estos dos resultados por qué la profundidad de la transición frágil–dúctil depende mucho más del geoterma que de la velocidad de deformación.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

(a) El esfuerzo varía como $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (b) El cociente de las resistencias es

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(c) Un cambio de diez veces en la velocidad cambia la resistencia de fluencia en un factor 1.78, que la temperatura produce en solo $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$; con una geoterma de unos $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ por kilómetro, eso desplaza la transición unos $2\,\mathrm{km}$. Un cambio de geoterma desplaza las isotermas, y con ellas la transición, mucho más.

Ejercicio 16.10 ★★★

Donde el esfuerzo vertical es $\sigma_2$, las fallas son de desgarre. Supóngase que el esfuerzo vertical efectivo es entonces la media $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$. (a) Demuéstrese que el deslizamiento con fricción $\mu$ y sin cohesión empieza en $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) Calcúlese la pendiente en megapascales por kilómetro para $\mu = 0.85$ y $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y sitúese entre las pendientes de las fallas normales e inversas. (c) Exprésese cada una de las tres pendientes como múltiplo del esfuerzo vertical efectivo.

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

(a) Con $C = 0$, una falla desliza cuando $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (Teorema 16.14). Aquí $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$, así que $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) $S$ crece $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro, y $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: la pendiente es $21.6\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro, entre $13.1$ (fallas normales) y $61.3\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro (fallas inversas). (c) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ y $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, con $k = 1.3124$: el esfuerzo diferencial en el deslizamiento es 0.79, 1.30 y 3.68 veces el esfuerzo vertical efectivo.

Ejercicio 16.11 ★★★

Modélese la litosfera oceánica de $60\,\mathrm{Myr}$ como un semiespacio enfriado desde $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, con una superficie a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (a) Calcúlese $2\sqrt{\kappa t}$. (b) Hállense las profundidades de las isotermas de $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Los terremotos dentro de las placas oceánicas alcanzan las profundidades donde la temperatura está entre $600\text{ a }800{}^{\circ}\mathrm{C}$. Compárese con la transición frágil–dúctil de la envolvente de resistencia oceánica de este capítulo, a $38.2\,\mathrm{km}$ y $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

(a) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ y $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (b) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ para $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ para $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (c) Los terremotos deberían alcanzar $36\text{ a }51\,\mathrm{km}$; la envolvente sitúa la base de la capa frágil a $38.2\,\mathrm{km}$, dentro de ese intervalo y cerca de su parte superior, a una temperatura, $641{}^{\circ}\mathrm{C}$, que está en el intervalo observado.

Ejercicio 16.12 ★★★

Una roca está atravesada por fracturas de todas las orientaciones, todas ellas con la dirección de $\sigma_2$, sin cohesión y con fricción 0.85. Los esfuerzos principales efectivos son $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (a) Demuéstrese que algunas fracturas deslizan. (b) Hállese el intervalo del ángulo entre las fracturas que deslizan y $\sigma_1$. ¿Cuál está en el centro del intervalo? (c) ¿Hasta qué valor de $\sigma_1'$, con $\sigma_3'$ fijo, desliza todavía al menos una fractura?

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

(a) $r = 45$ y $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; la distancia del centro a la recta $\tau = 0.85\sigma_n'$ es $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$, menor que el radio: el círculo corta la recta, y los planos del arco situado por encima de ella deslizan. (b) Con $2\theta$ medido desde el extremo de $\sigma_1$, el deslizamiento exige $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$, es decir $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, o bien $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, donde $40.36{}^{\circ} = \phi$. Así que $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ entre $69.31{}^{\circ}$ y $110.69{}^{\circ}$, $2\theta$ entre $109.67{}^{\circ}$ y $151.06{}^{\circ}$: las normales están a entre $54.8{}^{\circ}$ y $75.5{}^{\circ}$ de $\sigma_1$, y las fracturas que deslizan, a entre $14.5{}^{\circ}$ y $35.2{}^{\circ}$ de $\sigma_1$. El centro del intervalo, $24.8{}^{\circ}$, es $45{}^{\circ} - \phi/2$, el plano de Teorema 16.14. (c) Solo ese plano desliza cuando el círculo toca justo la recta: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, y $\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$.

16.6 Problema: ¿deslizará la falla?

Problema 16.1

Problema de fin de semana — el esfuerzo sobre una falla normal a cinco kilómetros de profundidad, su margen de seguridad y el aumento de la presión de poros que la haría deslizar

Una falla tiene rumbo norte–sur y buza $60{}^{\circ}$ hacia el este. Un pozo de inyección la alcanza a una profundidad de $5.00\,\mathrm{km}$, en corteza de densidad $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ cuyos poros comunican con la superficie. Una medición en el pozo da el esfuerzo horizontal perpendicular a la falla, $75.0\,\mathrm{MPa}$; el esfuerzo horizontal a lo largo del rumbo está entre él y el esfuerzo vertical, así que el problema es bidimensional en el plano vertical este–oeste. Tómese $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, agua de densidad $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y la ley de Byerlee. Dense los esfuerzos con una precisión de $0.01\,\mathrm{MPa}$.

Parte I — El estado de esfuerzos.

1. Calcúlese el esfuerzo vertical a la profundidad de la falla.
2. Calcúlese la presión hidrostática de poros allí, y el cociente $\lambda$.
3. ¿Cuál de los dos esfuerzos es $\sigma_1$ y cuál $\sigma_3$? ¿Qué clase de falla impulsa este estado de esfuerzos?
4. Calcúlese el esfuerzo diferencial, el centro y el radio del círculo de Mohr.
5. Calcúlense los esfuerzos principales efectivos y el centro del círculo efectivo.
6. Con $x$ horizontal hacia el este e $y$ vertical, escríbanse las tres componentes $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{xy}$. ¿Por qué es nula $\sigma_{xy}$?

Parte II — Los esfuerzos sobre la falla.

7. Dese el vector unitario normal a la falla en los ejes de la pregunta 6, y el ángulo $\theta$ entre él y $\sigma_1$.
8. Calcúlense $\sigma_n$ y $\tau$ sobre la falla con Proposición 16.2.
9. Compruébense ambos valores con el círculo de Mohr: ¿a qué ángulo desde el extremo de $\sigma_1$ se encuentra la falla?
10. Calcúlese el esfuerzo normal efectivo sobre la falla.
11. Calcúlese el cociente $\tau/\sigma_n'$ y compárese con 0.85.
12. ¿Qué esfuerzo de cizalla haría deslizar la falla con el esfuerzo normal efectivo actual? ¿En cuántos megapascales se queda corta?

Parte III — Círculo de Mohr y ley de Byerlee.

13. Dibújense a escala el círculo de Mohr efectivo y la recta de Byerlee.
14. Calcúlese la distancia del centro del círculo a la recta y compárese con el radio. ¿Puede deslizar algún plano de la roca?
15. ¿Qué plano deslizaría primero? Dense su ángulo con $\sigma_1$ y su buzamiento.
16. Con Proposición 16.19, calcúlese el esfuerzo diferencial al que deslizan las fallas normales a esta profundidad, y compárese con la pendiente de $13.1\,\mathrm{MPa}$ por kilómetro.
17. ¿Cuánto tendría que bajar el esfuerzo horizontal para que deslizara el plano mejor orientado?
18. ¿Cuánto para que deslice la falla del problema? Explíquese por qué es menor.

Parte IV — Inyección.

19. Explíquese por qué un aumento $\Delta P$ de la presión de poros desplaza el círculo efectivo $\Delta P$ hacia la izquierda sin cambiar su radio.
20. Calcúlese el aumento de presión de poros que lleva el plano mejor orientado a deslizar.
21. El pozo está lleno de agua. ¿Qué presión extra debe aplicar la bomba en la boca del pozo para elevar en esa cantidad la presión de poros en la falla? ¿A qué altura de columna de agua equivale?
22. Si la fricción de la falla fuera 0.6 en lugar de 0.85, ¿ya estaría deslizando? ¿Qué indica sobre su fricción que la falla no deslice?
23. ¿Con qué cociente $\lambda$ desliza el plano mejor orientado?
24. Con un decimal, en megapascales, ¿qué aumento de presión de poros hace deslizar esta falla?

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, y $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, vertical, y $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, horizontal este–oeste: la corteza se estira de este a oeste bajo su propio peso, el estado que impulsa las fallas normales, como esta.

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; centro $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; radio $28.72\,\mathrm{MPa}$.

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, centro $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_{xy} = 0$: los ejes son las direcciones principales, una de ellas vertical, así que los planos perpendiculares a ellas no llevan esfuerzo de cizalla.

7. Según su buzamiento, la falla sigue el vector unitario $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$, hacia el este y hacia abajo; su normal hacia arriba es $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$, a $30{}^{\circ}$ de $x$. Su ángulo con $\sigma_1$, según $y$, tiene coseno 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

8. Con $30{}^{\circ}$ desde $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, y $\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

9. A $2\theta = 120{}^{\circ}$ desde el extremo de $\sigma_1$: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ y $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

11. $24.87/40.31 = 0.617$, por debajo de 0.85: la falla aguanta.

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; el esfuerzo de cizalla queda por debajo en $9.39\,\mathrm{MPa}$.

13. El círculo tiene su centro en $54.67\,\mathrm{MPa}$ y radio $28.72\,\mathrm{MPa}$, desde $25.95$ hasta $83.39\,\mathrm{MPa}$; la recta de Byerlee es $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (todos los esfuerzos normales aquí están por debajo de $200\,\mathrm{MPa}$); la falla es el punto $(40.31, 24.87)$, a $120{}^{\circ}$ desde el extremo de $\sigma_1$.

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$, más que el radio, $28.72\,\mathrm{MPa}$: todo el círculo queda por debajo de la recta, y ningún plano de la roca puede deslizar.

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: el plano a $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ de $\sigma_1$ vertical, con buzamiento $65.2{}^{\circ}$.

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ y $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$; la pendiente da $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

18. La falla desliza cuando $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ con $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ y $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; resolviendo se obtiene $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. Es menor que para el mejor plano: la falla no está en el punto donde el círculo toca primero la recta, así que el círculo debe crecer más antes de llegar al punto propio de la falla.

19. Cada esfuerzo normal efectivo, incluidos $\sigma_1'$ y $\sigma_3'$, baja en $\Delta P$, y su diferencia no cambia; los esfuerzos de cizalla no dependen en absoluto de la presión de poros.

20. El mejor plano desliza cuando la distancia iguala al radio: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, así que $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

21. La columna de agua del pozo pesa lo mismo que antes, así que la bomba debe añadir los $10.33\,\mathrm{MPa}$ completos en la boca del pozo, unas 103 veces la presión atmosférica: la altura de una columna de agua $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$.

22. Con $\mu = 0.6$ la falla solo podría soportar $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$, menos que los $24.87\,\mathrm{MPa}$ que soporta: ya estaría deslizando. Como está quieta, su fricción es al menos $0.617$, o tiene algo de cohesión.

23. El plano mejor orientado desliza cuando la presión de poros alcanza $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, es decir $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, muy por debajo del valor litostático 1.

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, más que los $10.33\,\mathrm{MPa}$ que harían deslizar un plano de la mejor orientación. Con un decimal, el aumento de presión de poros que hace deslizar la falla es $11.0\,\mathrm{MPa}$.