9La Tierra estratificada

El 8 de octubre de 1909 un terremoto sacudió el valle del Kupa, al sureste de Zagreb.

Andrija Mohorovičić, que dirigía el observatorio de la zona, reunió los sismogramas registrados en toda Europa y notó algo extraño: hasta unos pocos cientos de kilómetros del epicentro, la primera sacudida llegaba de una manera; más lejos, tomaba el relevo otro tipo de primera llegada, como si parte de la energía hubiera encontrado un camino más rápido a profundidad. Lo explicó mediante una frontera a unos cincuenta kilómetros de profundidad, por debajo de la cual las ondas viajan más deprisa: la base de la corteza. Un siglo de registros como aquellos, millones de ellos, ha convertido aquella primera frontera en un modelo de referencia de toda la Tierra, capa a capa, con sus velocidades, su densidad, su gravedad y su presión hasta el centro. Este capítulo muestra cómo se halla una frontera a partir de los tiempos de viaje, qué dice el modelo de referencia, cómo se traza un perfil de densidad a partir de las velocidades sísmicas solamente y se comprueba con la masa y el momento de inercia de la Tierra, qué minerales forman el manto a cada profundidad, de qué está hecho el núcleo y dónde termina la cáscara rígida del planeta.

Lo que ya sabes

Una onda P es una onda de compresión, y una onda S una onda de cizalla; las ondas S no atraviesan los líquidos, y las zonas de sombra de las ondas P y S del núcleo dan el radio del núcleo externo líquido (libro 2, año 11). Las ondas se refractan en una frontera según la ley de Snell, $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ (física). En un fluido en reposo la presión crece con la profundidad como $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$ (física, primer año universitario). La corteza, el manto y el núcleo se presentaron en el libro 1 (año 6).

9.1 Ondas sísmicas en una Tierra estratificada

Las velocidades de las ondas sísmicas dependen de los módulos elásticos de la roca y de su densidad. Los libros de física las deducen de las ecuaciones de la elasticidad de medios continuos; aquí se toman como conocidas.

Proposición 9.1 (Velocidades sísmicas)

En un sólido elástico isótropo de densidad $\rho$, módulo de compresión $K$ y módulo de cizalla $\mu$, las ondas P y S viajan a

$$v_P = \sqrt{\frac{K + \tfrac43\mu}{\rho}}, \qquad v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}.$$

En un líquido $\mu = 0$: $v_S = 0$ y no se propaga ninguna onda S.

Como $K$ y $\mu$ son positivos, $v_P > v_S$ siempre: en la corteza y el manto del PREM, $v_P$ es unas $1.8$ a $1.9$ veces $v_S$, y las ondas P llegan primero. Ambas velocidades crecen en general con la profundidad, porque la presión rigidiza la roca más de lo que la comprime, de modo que los rayos se curvan de nuevo hacia la superficie; y en algunas profundidades dan un salto.

Definición 9.2 (Discontinuidad sísmica, Moho, fronteras núcleo–manto y del núcleo interno)

Una discontinuidad sísmica es una superficie en el interior de la Tierra a través de la cual las velocidades sísmicas, la densidad o ambas cambian bruscamente, en un espesor pequeño comparado con una longitud de onda sísmica. La discontinuidad de Mohorovičić (o Moho) es la base de la corteza, donde $v_P$ salta hasta unos $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La frontera núcleo–manto es la superficie entre el manto silicatado sólido y el núcleo externo líquido; la frontera del núcleo interno es la superficie entre el núcleo externo líquido y el núcleo interno sólido.

9.1.1 Refracción en una frontera entre capas

Tomemos una capa de espesor $h$ y velocidad $v_1$, la corteza, sobre un semiespacio de velocidad $v_2 > v_1$, el manto, y una fuente en la superficie. Tres ondas llegan a un receptor a la distancia $x$. La onda directa viaja en la capa, a $v_1$. La onda reflejada rebota en la frontera. Y un rayo que incide sobre la frontera con el ángulo crítico $i_c$, con $\sin i_c = v_1/v_2$, se refracta a lo largo de ella, viaja en el medio más rápido justo debajo a la velocidad $v_2$ y devuelve energía hacia arriba, a la capa, con el mismo ángulo $i_c$ a lo largo de todo su recorrido.

Definición 9.3 (Onda de cabeza, distancia de cruce)

Una onda de cabeza es la onda que viaja a lo largo de una frontera a la velocidad del medio más rápido situado debajo y sale de ella hacia arriba con el ángulo crítico. La distancia de cruce es la distancia a la fuente a partir de la cual la onda de cabeza llega antes que la onda directa.

Teorema 9.4 (Tiempos de viaje en una Tierra de dos capas)

Sobre una capa de espesor $h$ y velocidad $v_1$ apoyada en un semiespacio de velocidad $v_2 > v_1$, una fuente y un receptor en la superficie a la distancia $x$ dan

$$t_{\text{directa}} = \frac{x}{v_1}, \qquad t_{\text{cabeza}} = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} \quad (x \ge 2h\tan i_c), \qquad \sin i_c = \frac{v_1}{v_2},$$

y la onda de cabeza llega primero más allá de la distancia de cruce

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

En un gráfico de tiempo de viaje frente a distancia, las ondas directa y de cabeza son dos rectas. Sus pendientes son las velocidades inversas $1/v_1$ y $1/v_2$; la recta de la onda de cabeza, prolongada hasta $x = 0$, corta el eje de tiempos en el tiempo de intersección $t_i = 2h\cos i_c/v_1$. La onda reflejada, $t = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$, es una hipérbola que toca la recta de la onda de cabeza en la distancia crítica $2h\tan i_c$, donde nace la onda de cabeza (Ejercicio 9.10).

Método 9.5 (La profundidad de una frontera a partir de un perfil de refracción)

1. Represéntense los tiempos de primera llegada frente a la distancia, y ajústese una recta a las llegadas cercanas a la fuente y otra a las lejanas.
2. Las inversas de las pendientes dan $v_1$ y $v_2$; después $\sin i_c = v_1/v_2$.
3. Léase el tiempo de intersección $t_i$ de la recta lejana en $x = 0$, y calcúlese $h = t_i v_1/(2\cos i_c)$; compruébese con la distancia de cruce, $h = \tfrac12 x_c\sqrt{(v_2 - v_1)/(v_2 + v_1)}$.
4. Una frontera solo se encuentra si $v_2 > v_1$: una capa más lenta debajo de otra más rápida no produce onda de cabeza y permanece oculta.

Las dos clases de primera llegada de Mohorovičić fueron exactamente estas dos rectas: la onda directa en la corteza cerca de la fuente, y la onda de cabeza a lo largo de la parte superior del manto más lejos. Su figura para el espesor de la corteza en esa región, $54\,\mathrm{km}$, se ha confirmado en su orden de magnitud, pero la profundidad del Moho varía de un lugar a otro. Bajo los océanos la corteza tiene solo unos $5\,\mathrm{km}$ de espesor; bajo los continentes, de media unos $30\,\mathrm{km}$, y es mucho más gruesa bajo las grandes cordilleras. Para su modelo de referencia, el PREM situó el Moho a $11\,\mathrm{km}$ bajo el nivel del mar bajo los océanos y a $35\,\mathrm{km}$ bajo los continentes.

Historia — Andrija Mohorovičić

Andrija Mohorovičić (1857–1936) llegó a la sismología desde la meteorología: maestro, y después, de 1891 a 1921, director del observatorio meteorológico de Zagreb; publicó su último estudio meteorológico en 1901. En los sismogramas del terremoto del valle del Kupa, del 8 de octubre de 1909, halló dos parejas distintas de fases P y S: cerca de la fuente llegaba una clase de primera sacudida, y más lejos otra, que había viajado más deprisa a profundidad. Su lectura de estas dos llegadas como una onda directa y una onda refractada bajo una frontera dio la frontera que hoy lleva su nombre, y la primera medida del espesor de la corteza.

9.2 Un modelo de Tierra de referencia

El mismo razonamiento, aplicado a millones de tiempos de viaje a todas las distancias y a los periodos de las oscilaciones libres de la Tierra (todo el planeta suena como una campana tras un gran terremoto), da las velocidades a cada profundidad.

Definición 9.6 (Modelo de Tierra de referencia)

Un modelo de Tierra de referencia es una Tierra con simetría esférica, dada como las velocidades sísmicas $v_P(r)$, $v_S(r)$, la densidad $\rho(r)$ y, en los modelos más completos, la atenuación en función del radio $r$ solamente, que ajusta los tiempos de viaje observados, los periodos de oscilación libre, la masa de la Tierra y su momento de inercia. El más usado es el PREM, el Modelo Preliminar de Tierra de Referencia (1981).

El PREM se ajustó al radio $6371\,\mathrm{km}$, a la masa $5.974 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y al factor de momento de inercia $0.3308$ de la Tierra. Divide el planeta en unas pocas regiones unidas por discontinuidades, y sus perfiles (figura siguiente) muestran de inmediato las capas principales.

Definición 9.7 (Corteza, manto, núcleo externo, núcleo interno)

La corteza es la capa silicatada exterior, por encima del Moho. El manto es la cáscara silicatada sólida entre el Moho y la frontera núcleo–manto, a una profundidad de unos $2891\,\mathrm{km}$. El núcleo externo es la cáscara metálica líquida entre la frontera núcleo–manto y la frontera del núcleo interno, a unos $5150\,\mathrm{km}$ de profundidad. El núcleo interno es la esfera metálica sólida situada debajo, de radio unos $1220\,\mathrm{km}$.

frontera en PREM	profundidad (km)	radio (km)	qué cambia
Moho	24.4	6346.6	corteza encima, peridotita debajo; $v_P$ de 6.8 a 8.1
discontinuidad de 220 km	220	6151	base de la zona de baja velocidad en PREM
discontinuidad de 400 km	400	5971	olivino a wadsleyita ($410\,\mathrm{km}$ en la mayoría de los estudios)
discontinuidad de 670 km	670	5701	ringwoodita a bridgmanita y ferropericlasa ($660\,\mathrm{km}$ en la mayoría de los estudios)
frontera núcleo–manto	2891	3480	silicato a hierro líquido; $v_S$ de 7.3 a 0; $\rho$ de 5.57 a 9.90
frontera del núcleo interno	5149.5	1221.5	hierro líquido a sólido; $v_S$ de 0 a 3.5; $\rho$ de 12.17 a 12.76

Dos hechos de estos perfiles se observan directamente. La anulación de $v_S$ en el núcleo externo es la sombra de las ondas S recordada antes: las ondas S no entran en el núcleo más que como ondas P, el núcleo no transmite cizalla, y por tanto es líquido. Y el núcleo interno transmite ondas S, lentamente: es sólido. Este segundo hecho procede de llegadas P débiles en lugares donde no debería haber ondas P.

Historia — Inge Lehmann y el núcleo interno

Inge Lehmann (1888–1993), jefa del departamento de sismología del Instituto Geodésico danés, estudió los registros del terremoto de Buller de 1929, en Nueva Zelanda, y halló ondas P que llegaban dentro de la zona de sombra, donde el núcleo debía haberlas desviado. En un artículo de 1936 con el más breve de los títulos, P$'$, mostró que podían explicarse si el núcleo contenía un núcleo interno más pequeño, con una velocidad P mayor, que devuelve parte de la energía hacia la superficie. Hoy se sabe que su núcleo interno es sólido y que crece lentamente a medida que la Tierra se enfría. También descubrió la discontinuidad cercana a $220\,\mathrm{km}$ que lleva su nombre.

9.3 Densidad, gravedad y presión a partir de datos sísmicos

Las velocidades sísmicas dan dos combinaciones de los módulos y de la densidad, no la densidad misma. Una tercera relación procede de suponer que, dentro de una capa de composición uniforme, la roca se comprime simplemente por el peso de la roca que tiene encima.

Definición 9.8 (Parámetro sísmico)

El parámetro sísmico a una profundidad es

$$\Phi = v_P^2 - \tfrac43 v_S^2 = \frac{K}{\rho},$$

es decir, el módulo de compresión dividido por la densidad, calculado solo a partir de las dos velocidades sísmicas (Proposición 9.1).

Teorema 9.9 (Ecuación de Adams–Williamson)

En una región de composición uniforme, en equilibrio hidrostático y comprimida adiabáticamente, la densidad varía con el radio como

$$\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dr} = -\frac{\rho(r)\,g(r)}{\Phi(r)},$$

donde $g(r)$ es la gravedad a la distancia $r$ del centro.

La ecuación falla en una discontinuidad, donde cambian la composición o la estructura cristalina, y allí donde la temperatura se aparta de la adiabática; pero entre las discontinuidades explica muy bien el aumento observado de la densidad con la profundidad (panel (c) de la figura siguiente). Partiendo de una densidad en la parte superior de cada región, integrándola hacia abajo, y ajustando los valores de partida hasta que la masa y el momento de inercia salgan bien, así se construyeron los primeros modelos de densidad. Los dos números globales son integrales de la densidad.

Proposición 9.10 (Masa, gravedad, presión y momento de inercia)

Para una Tierra con simetría esférica de radio $R$ y densidad $\rho(r)$, la masa dentro del radio $r$, la gravedad, la presión y el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro son

$$m(r) = \int_0^r 4\pi s^2\rho(s)\,\mathrm ds, \quad g(r) = \frac{G\,m(r)}{r^2}, \quad P(r) = \int_r^R \rho(s)\,g(s)\,\mathrm ds, \quad I = \frac{8\pi}{3}\int_0^R \rho(r)\,r^4\,\mathrm dr.$$

Para una esfera de densidad uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5 = 0.4\,MR^2$. El factor $I/MR^2 = 0.3308$ de la Tierra es menor: su masa se concentra hacia el centro, que es el primer argumento a favor de un núcleo denso. Calculadas solo con la densidad del PREM, las integrales dan una masa de $5.976 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (un $0.06\,\%$ por encima de la medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), un factor $0.3309$, y una presión central de $364\,\mathrm{GPa}$, el valor tabulado con el PREM con una precisión del $0.1\,\%$.

Que la gravedad crezca al bajar por el manto es una consecuencia directa del núcleo denso: la masa que queda dentro del radio crece más despacio que $r^2$. A través del manto $g$ apenas cambia, y la presión crece casi linealmente con la profundidad, unos $4.7\,\mathrm{GPa}$ por cada cien kilómetros.

9.4 El manto: una roca, varias asociaciones minerales

El manto superior es peridotita, conocida por los fragmentos que traen a la superficie los volcanes y por las láminas de manto empujadas sobre los continentes: entre la mitad y tres quintos de olivino en volumen ($49\text{ a }62\,\%$ en las composiciones propuestas), y el resto piroxenos y un mineral alumínico (plagioclasa, espinela o granate, según la profundidad). La presión que crece con la profundidad no cambia esta composición, pero obliga a sus átomos a disponerse en estructuras más densas: los polimorfos (Capítulo 7) aparecen uno tras otro.

Definición 9.11 (Zona de transición del manto)

La zona de transición del manto es la parte del manto comprendida entre las discontinuidades sísmicas cercanas a $410\,\mathrm{km}$ y $660\,\mathrm{km}$ de profundidad, en la que el olivino del manto superior se sustituye por sus polimorfos más densos, la wadsleyita y luego la ringwoodita. Encima está el manto superior; debajo, el manto inferior, hasta la frontera núcleo–manto.

A unos $410\,\mathrm{km}$ ($14\,\mathrm{GPa}$) el olivino $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$ se convierte en wadsleyita, de la misma fórmula; cerca de $520\,\mathrm{km}$ ($17.5\,\mathrm{GPa}$) la wadsleyita se convierte en ringwoodita; los piroxenos se disuelven en un granate rico en silicio, la majorita, hasta que, hacia la mitad de la zona de transición, el granate contiene todos ellos, de modo que la zona es algo más de la mitad polimorfos del olivino y el resto granate. A unos $660\,\mathrm{km}$, a una presión cercana a $24\,\mathrm{GPa}$, la ringwoodita se descompone en dos minerales, escritos para el término extremo magnésico

la bridgmanita, $\ce{(Mg,Fe)SiO3}$ con la estructura de la perovskita, y la ferropericlasa, $\ce{(Mg,Fe)O}$. Un manto inferior de la misma composición que el manto superior es, en volumen, alrededor de un $75\,\%$ de bridgmanita, un $17\,\%$ de ferropericlasa y un $8\,\%$ de una perovskita cálcica, y encaja con las densidades y velocidades del modelo de referencia. La bridgmanita es, por tanto, el mineral más abundante de la Tierra; recibió su nombre solo en 2014, tras describirse granos naturales en un meteorito muy impactado.

Cada cambio produce minerales más densos, así que eleva la densidad y las velocidades sísmicas: las transiciones son las discontinuidades de los perfiles (figura siguiente). Sus profundidades no son fijas. Un cambio de fase ocurre a una presión que depende de la temperatura, y la pendiente de esa dependencia (la pendiente de Clapeyron, que se trata en el siguiente volumen universitario) desplaza la discontinuidad de $410\,\mathrm{km}$ hacia arriba y la de $660\,\mathrm{km}$ hacia abajo en la roca fría de una losa que se hunde. Cartografiar el relieve de las discontinuidades es una de las formas de encontrar regiones frías y calientes en el manto.

En la base del manto, la capa llamada D$''$ (D doble prima, nombre conservado de un modelo temprano de la Tierra) tiene un gradiente de velocidad distinto del resto del manto inferior; el PREM le asigna los $150\,\mathrm{km}$ más bajos del manto. Es heterogénea sísmicamente: parches de velocidad muy baja, gradientes empinados, reflectores. Se cree que es una capa límite entre el núcleo caliente y el manto, y quizá un cementerio de losas antiguas.

9.5 El núcleo

El núcleo es sobre todo hierro. Su densidad, sus velocidades y su capacidad de generar un campo magnético apuntan a un metal, y el hierro es, con mucho, el elemento más abundante de entre los bastante densos que muestran los meteoritos y el Sol. El níquel, abundante en los meteoritos de hierro, lo acompaña. Pero el núcleo no es hierro–níquel puro.

• El núcleo es un $5\text{ a }10\,\%$ menos denso que el hierro puro a la misma presión y temperatura: debe contener elementos ligeros, entre los que los candidatos son silicio, azufre, carbono, oxígeno e hidrógeno.
• La densidad salta en unos $4.5\,\%$ en la frontera del núcleo interno, demasiado para la solidificación de un mismo metal: el núcleo interno también contiene elementos ligeros, pero menos, unos pocos por ciento frente al $5\text{ a }10\,\%$ del líquido.

La diferencia tiene una consecuencia. A medida que la Tierra se enfría —su manto unos $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ por mil millones de años en la actualidad—, el líquido del núcleo se solidifica sobre el núcleo interno, que crece, y

la solidificación deja la mayor parte de los elementos ligeros en el líquido. El líquido ligero liberado en la base del núcleo externo sube, y se cree que esta flotabilidad ayuda a agitar el núcleo externo y a impulsar la dinamo que genera el campo magnético terrestre.

9.6 Capas mecánicas: litosfera y astenosfera

Las capas de arriba se definen por composición y fase: corteza y manto son rocas distintas, núcleo externo e interno son estados distintos. La tectónica de placas necesita otra división, por resistencia, que atraviesa la primera.

Definición 9.12 (Litosfera, astenosfera, zona de baja velocidad)

La litosfera es la cáscara rígida exterior de la Tierra, la corteza y el manto más superior, que se comporta como una capa resistente a lo largo de los tiempos geológicos y está dividida en placas. La astenosfera es la capa más débil del manto superior situada debajo, que se deforma por un flujo lento y deja que las placas se muevan. La zona de baja velocidad es el intervalo de profundidad bajo la litosfera en el que las velocidades sísmicas, sobre todo las de las ondas S, son menores que justo encima y debajo.

La litosfera no es una roca sino un intervalo de temperaturas: la peridotita del manto es resistente donde está fría y se arrastra donde está caliente, y su base es, aproximadamente, una isoterma. Es delgada bajo las dorsales, donde sube el manto caliente, tiene unos $140\,\mathrm{km}$ de espesor bajo el fondo oceánico más antiguo, y $40\text{ a }280\,\mathrm{km}$ bajo los continentes, más gruesa bajo los cratones antiguos; la parte superior de la astenosfera está a unos $80\text{ a }200\,\mathrm{km}$. Sísmicamente, la astenosfera se manifiesta como la zona de baja velocidad, cerca de sus condiciones de fusión: en el PREM la velocidad S disminuye ligeramente desde el Moho hasta $220\,\mathrm{km}$, donde vuelve a subir de golpe. Cómo depende la resistencia de la temperatura, y por qué, es el tema de Capítulo 16.

Sobre el terreno — A seismic station

Los tiempos de viaje en los que descansan los modelos de referencia proceden de estaciones permanentes. Un sismómetro de banda ancha, que registra los movimientos del suelo desde centésimas de segundo hasta horas de periodo, se asienta sobre un pilar de hormigón apoyado en roca desnuda y aislado del suelo de la cámara, bajo una cubierta que mantiene su temperatura estable: un cambio de una fracción de grado, una corriente de aire o un camión que pasa aparecerían en el registro. El registrador de datos marca cada muestra con la hora que proporcionan los satélites, y los registros llegan por flujo a centros de datos que los comparten abiertamente. Las redes de estas estaciones localizan y datan cada gran terremoto; las llegadas elegidas en sus registros se invirtieron para obtener las velocidades a cada profundidad.

9.7 Ejercicios

Ejercicio 9.1 ★

Con los radios del PREM $R = 6371\,\mathrm{km}$, $r_{\text{CMB}} = 3480\,\mathrm{km}$ y $r_{\text{ICB}} = 1221.5\,\mathrm{km}$, calcúlense las fracciones del volumen de la Tierra que ocupan el núcleo y el núcleo interno.

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

Las fracciones de volumen son los cubos de los cocientes de radios: núcleo $(3480/6371)^3 = 0.1630$, es decir, $16.3\,\%$; núcleo interno $(1221.5/6371)^3 = 0.00705$, $0.70\,\%$.

Ejercicio 9.2 ★

Justo encima de la frontera núcleo–manto el PREM da $v_P = 13.7166\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 7.264\,66\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 5.566\,45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; justo debajo, $v_P = 8.064\,82\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 0$, $\rho = 9.903\,49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Calcúlense el parámetro sísmico y el módulo de compresión a cada lado (en GPa). ¿Qué cambia más a través de la frontera?

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

Por encima de la discontinuidad, en la capa superior: $\Phi = 13.7166^2 - \tfrac43\times7.26466^2 = 188.145 - 70.367 = 117.78\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = \rho\Phi = 5566.45\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times 117.78 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = 655.6\,\mathrm{GPa}$. Debajo: $\Phi = 8.06482^2 = 65.04\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, $K = 9903.49\times65.04 \times 10^{6} = 644.1\,\mathrm{GPa}$. El módulo de compresión apenas cambia ($-1.7\,\%$). Lo que cambia es el módulo de cizalla, $\mu = \rho v_S^2 = 293.8\,\mathrm{GPa}$ encima y $0$ debajo (un líquido), y la densidad, que sube un $78\,\%$: de ahí la caída de $v_P$ a pesar de un $K$ casi igual.

Ejercicio 9.3 ★

Una corteza de $30\,\mathrm{km}$ de espesor, a $6.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, se apoya en un manto a $8.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense el ángulo crítico, la distancia crítica y la distancia de cruce.

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

$\sin i_c = 6.2/8.1 = 0.7654$, $i_c = 49.95{}^{\circ}$. Distancia crítica $2\times30\times\tan49.95{}^{\circ} = 60\times1.1906 = 71.4\,\mathrm{km}$. Distancia de cruce $60\sqrt{14.3/1.9} = 60\times2.743 = 164.6\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 9.4 ★

La masa del núcleo es $1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y su radio $3480\,\mathrm{km}$. Calcúlese la gravedad en la frontera núcleo–manto y compárese con la gravedad en la superficie, $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ¿Por qué es mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

$g = Gm/r^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^{6})^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, un $9\,\%$ más que en la superficie. Al bajar al núcleo, el cuadrado del radio cae hasta $(3480/6371)^2 = 0.298$ de su valor en la superficie, mientras que la masa atractora cae solo hasta $1.94/5.972 = 0.325$ del total, porque el núcleo contiene un tercio de la masa: $0.325/0.298 = 1.09$.

Ejercicio 9.5 ★★

En un perfil de refracción las primeras llegadas están a $10.0\,\mathrm{s}$ a $60\,\mathrm{km}$, a $33.3\,\mathrm{s}$ a $200\,\mathrm{km}$ y a $45.8\,\mathrm{s}$ a $300\,\mathrm{km}$; la recta que pasa por el primer punto atraviesa el origen. Hállense $v_1$, $v_2$, el tiempo de intersección y la profundidad de la frontera, y compruébese el resultado con la distancia de cruce.

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

Cerca de la fuente $v_1 = 60/10.0 = 6.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Lejos, $v_2 = (300 - 200)/(45.8 - 33.3) = 100/12.5 = 8.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; el tiempo de intersección es $t_i = 33.3 - 200/8.0 = 8.3\,\mathrm{s}$. Entonces $\sin i_c = 0.75$, $\cos i_c = 0.6614$, y $h = t_i v_1/(2\cos i_c) = 8.3\times6.0/1.3229 = 37.6\,\mathrm{km}$. Comprobación: $x_c = 2\times37.6\times\sqrt{14/2} = 199\,\mathrm{km}$, donde ambas ondas llegan en $199/6.0 = 199/8.0 + 8.3 = 33.2\,\mathrm{s}$.

Ejercicio 9.6 ★★

Demuéstrese que una esfera uniforme tiene $I = 0.4\,MR^2$. Calcúlense después la masa y el factor $I/MR^2$ de una Tierra de dos capas: un núcleo de radio $3480\,\mathrm{km}$ y densidad $11.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ en un manto de densidad $4.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, con $R = 6371\,\mathrm{km}$. Compárense con $5.972 \times 10^{24}$ kg y $0.3308$.

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

Para $\rho$ uniforme, $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_0^R r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$ y $M = \tfrac43\pi\rho R^3$, así que $I/MR^2 = (8/15)/(4/3) = 0.4$. Dos capas ($r_c = 3.48 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $R = 6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $M = \tfrac43\pi\bigl(11000\,r_c^3 + 4450\,(R^3 - r_c^3)\bigr) = 5.977 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, un $0.08\,\%$ por encima de la masa medida; $I = \tfrac{8\pi}{15}\bigl(11000\,r_c^5 + 4450\,(R^5 - r_c^5)\bigr)$ da $I/MR^2 = 0.3457$. La masa es correcta, pero el factor es un $4.5\,\%$ demasiado alto: el manto real no es uniforme, su densidad crece con la profundidad, lo que lleva la masa hacia dentro.

Ejercicio 9.7 ★★

A $1471\,\mathrm{km}$ de profundidad el PREM da $v_P = 12.16\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $v_S = 6.673\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 4.86\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, y la gravedad es $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Calcúlese el gradiente de densidad que da la ecuación de Adams–Williamson, en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por $1000\,\mathrm{km}$, y compárese con las densidades del PREM, $4.844$ a $1471\,\mathrm{km}$ y $5.357$ a $2471\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

$\Phi = 12.16^2 - \tfrac43\times6.673^2 = 147.87 - 59.37 = 88.49\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$. Con la profundidad $z$, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi = 4860\times9.9/88.49 \times 10^{6} = 5.44 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-4}$, es decir, $0.544\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ por kilómetro, o $0.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por cada $1000\,\mathrm{km}$. El PREM sube $5.357 - 4.844 = 0.513$ en esos $1000\,\mathrm{km}$, un $6\,\%$ menos: el gradiente calculado en la parte superior se aplica a todo el intervalo, mientras que $\Phi$ crece con la profundidad y el gradiente disminuye.

Ejercicio 9.8 ★★

Estímese la presión a $670\,\mathrm{km}$ de profundidad a partir de una densidad media de $3.57\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ y una gravedad de $9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. ¿Qué cambio mineral se espera allí?

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

$P \approx \bar\rho g z = 3570\times9.9\times670 \times 10^{3} = 23.7\,\mathrm{GPa}$ (PREM: $23.9\,\mathrm{GPa}$). Es la presión, unos $24\,\mathrm{GPa}$, a la que la ringwoodita se descompone en bridgmanita y ferropericlasa: la discontinuidad de $660\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 9.9 ★★

La densidad media del núcleo externo en el PREM es $10.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; en la frontera del núcleo interno su densidad es $12.166\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por encima y $12.764\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ por debajo. (a) Si el hierro en las mismas condiciones es un $5\text{ a }10\,\%$ más denso que el núcleo externo, ¿qué intervalo de densidades da para el hierro líquido allí? (b) Calcúlese el salto de densidad en la frontera del núcleo interno en tanto por ciento, y compárese con el $4.5\,\%$ de estudios recientes. (c) ¿Qué diría un salto mayor que el que da la sola congelación sobre los elementos ligeros?

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

(a) Hierro líquido: $10.90\times1.05 = 11.4$ a $10.90\times1.10 = 12.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (b) $12.764/12.166 = 1.049$: un salto de $4.9\,\%$ en el PREM, algo más que el $4.5\,\%$ de estudios recientes. (c) La sola congelación haría el sólido solo ligeramente más denso que el líquido; el salto mayor significa que el sólido contiene menos elementos ligeros que el líquido: ellos prefieren el líquido, y la congelación en la frontera del núcleo interno deja la mayor parte atrás.

Ejercicio 9.10 ★★★

Demuéstrese que el tiempo de la onda reflejada $t_r(x) = \sqrt{x^2 + 4h^2}/v_1$ y el tiempo de la onda de cabeza de Teorema 9.4 son iguales, con pendientes iguales, en $x = 2h\tan i_c$, y que $t_r > t_{\text{cabeza}}$ más allá. Interprétese.

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

Sea $x_* = 2h\tan i_c$. Entonces $\sqrt{x_*^2 + 4h^2} = 2h/\cos i_c$ y $t_r(x_*) = 2h/(v_1\cos i_c)$. La onda de cabeza da $t(x_*) = 2h\tan i_c/v_2 + 2h\cos i_c/v_1 = \frac{2h}{v_1}\bigl(\sin^2 i_c/\cos i_c + \cos i_c\bigr) = 2h/(v_1\cos i_c)$, usando $\sin i_c = v_1/v_2$: lo mismo. La pendiente de la hipérbola es $t_r'(x) = x/(v_1\sqrt{x^2 + 4h^2})$; en $x_*$ vale $\sin i_c/v_1 = 1/v_2$, la pendiente de la recta de la onda de cabeza. Como $t_r'' > 0$, la hipérbola es convexa y queda por encima de cada una de sus tangentes: para $x > x_*$, $t_r > t_{\text{cabeza}}$. En la distancia crítica la reflexión incide sobre la frontera exactamente con $i_c$ y es el origen de la onda de cabeza; más allá, la onda de cabeza, que gana por viajar en el medio rápido, llega primero.

Ejercicio 9.11 ★★★

Para una Tierra de densidad uniforme $\rho$, demuéstrese que $g(r) = \tfrac43\pi G\rho r$ y $P(r) = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. Calcúlese la presión central con $\rho = 5513\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $R = 6371\,\mathrm{km}$, y compárese con los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM.

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

$m(r) = \tfrac43\pi\rho r^3$, así que $g = Gm/r^2 = \tfrac43\pi G\rho r$. Entonces $P(r) = \int_r^R \rho\,\tfrac43\pi G\rho s\,\mathrm ds = \tfrac23\pi G\rho^2(R^2 - r^2)$. En el centro $P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times5513^2\times (6.371 \times 10^{6})^2 = 172\,\mathrm{GPa}$, un $47\,\%$ de los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM: concentrar la masa hacia el centro multiplica por algo más de dos la presión central.

Ejercicio 9.12 ★★★

Demuéstrese que si $g/\Phi$ es constante a través de una capa, la ecuación de Adams–Williamson da $\rho = \rho_0\exp\bigl(g(z - z_0)/\Phi\bigr)$ con la profundidad $z$. Aplíquese al núcleo externo, desde $2891\,\mathrm{km}$ ($\rho_0 = 9.90\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) hasta $5149.5\,\mathrm{km}$, con los valores medios $g = 7.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ y $\Phi = 87\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; compárese con los $12.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ del PREM en la frontera del núcleo interno.

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

Con $z$ la profundidad, $\mathrm d\rho/\mathrm dz = \rho g/\Phi$; si $g/\Phi$ es una constante $a$, $\mathrm d(\ln\rho)/\mathrm dz = a$ y $\rho = \rho_0 e^{a(z - z_0)}$. Aquí $a(z - z_0) = 7.9\times2258.5 \times 10^{3}/87 \times 10^{6} = 0.2051$ y $\rho = 9.90\times e^{0.2051} = 9.90\times1.2276 = 12.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, un $0.2\,\%$ por debajo de los $12.17$ del PREM: todo el aumento de densidad a lo largo del núcleo externo es autocompresión.

9.8 Problema: pesar las cáscaras de la Tierra

Problema 9.1

Problema de fin de semana — volúmenes, masas y momento de inercia de una Tierra de cuatro cáscaras construida con el PREM, comparados con la masa y el momento de inercia medidos; gravedad y presión en el interior profundo

La Tierra se divide en cuatro cáscaras en los radios del PREM, y a cada una se le asigna su densidad media en el PREM, redondeada:

capa	desde (km)	hasta (km)	densidad media ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)
corteza, manto superior y zona de transición	5701	6371	3.57
manto inferior	3480	5701	4.90
núcleo externo	1221.5	3480	10.90
núcleo interno	0	1221.5	12.89

Úsese $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. La masa medida de la Tierra es $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y su factor de momento de inercia $I/MR^2 = 0.3308$.

Parte I — Volúmenes.

1. Calcúlese el volumen de la Tierra.
2. Calcúlese el volumen de cada cáscara.
3. ¿Qué fracción del volumen ocupa cada cáscara? ¿Cuál es la mayor?
4. ¿Qué fracción del volumen es núcleo?

Parte II — Masas.

5. Calcúlese la masa de cada cáscara.
6. Súmense, y compárese el total con la masa medida.
7. Dedúzcase la densidad media de la Tierra modelo.
8. ¿Qué fracción de la masa está en el núcleo interno?
9. ¿Qué fracción de la masa está en el manto y la corteza juntos?
10. Compárese la parte del núcleo en el volumen y en la masa, y explíquese.

Parte III — Momento de inercia.

11. Muéstrese a partir de Proposición 9.10 que una cáscara uniforme entre $r_1$ y $r_2$ tiene $I = \tfrac{8\pi}{15}\rho\,(r_2^5 - r_1^5)$.
12. Calcúlese el momento de inercia de cada cáscara.
13. ¿Qué cáscara aporta más, y por qué el núcleo interno aporta casi nada?
14. Súmense y calcúlese $I/MR^2$ para el modelo.
15. Compárese con $0.3308$ y con el $0.4$ de una esfera uniforme.
16. Dentro de cada cáscara real la densidad aumenta con la profundidad. ¿Explica eso por qué el factor del modelo es demasiado alto? Explíquese.

Parte IV — Gravedad y presión.

17. Calcúlese la gravedad en la superficie del modelo.
18. Calcúlese la gravedad en la frontera núcleo–manto.
19. Calcúlese la densidad media del manto y la corteza juntos.
20. La gravedad en el manto se mantiene cerca de $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Estímese la presión en la frontera núcleo–manto, y compárese con los $135.75\,\mathrm{GPa}$ del PREM.
21. Calcúlese la densidad media del núcleo, y el aumento de presión desde la frontera núcleo–manto hasta el centro en un núcleo uniforme, $\tfrac23\pi G\rho_c^2 r_c^2$ (Ejercicio 9.11 aplicado solo al núcleo).
22. Súmense ambas para estimar la presión central, y compárese con los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM. ¿Por qué la estimación es demasiado baja?
23. ¿Cuáles de los números del modelo se comprueban con una medida, y cuáles solo con el propio PREM?
24. ¿Qué fracción de la masa de la Tierra está en el núcleo?

Solución

Solución de Problema 9.1.

1. $V = \tfrac43\pi(6.371 \times 10^{6})^3 = 1.0832 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$.

2. $\tfrac43\pi(r_2^3 - r_1^3)$: corteza, manto superior y zona de transición $3.0706 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; manto inferior $5.9961 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; núcleo externo $1.6890 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$; núcleo interno $7.634 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$.

3. $28.35\,\%$, $55.36\,\%$, $15.59\,\%$ y $0.70\,\%$: el manto inferior es la cáscara mayor, más de la mitad del volumen de la Tierra.

4. $15.59 + 0.70 = 16.3\,\%$.

5. Corteza, manto superior y zona de transición $3.0706 \times 10^{20}\times3570 = 1.0962 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; manto inferior $2.9381 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; núcleo externo $1.8410 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; núcleo interno $9.841 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$.

6. $5.9737 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, un $0.03\,\%$ por encima de la masa medida $5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

7. $5.9737 \times 10^{24}/1.0832 \times 10^{21} = 5515\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

8. $9.841 \times 10^{22}/5.9737 \times 10^{24} = 1.65\,\%$.

9. $(1.0962 + 2.9381)/5.9737 = 67.5\,\%$.

10. El núcleo es el $16.3\,\%$ del volumen y el $32.5\,\%$ de la masa, el doble: su densidad media, $10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, es unas $2.5$ veces la del manto.

11. Una cáscara de densidad uniforme da $I = \tfrac{8\pi}{3}\rho\int_{r_1}^{r_2} r^4\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho (r_2^5 - r_1^5)$.

12. Corteza, manto superior y zona de transición $2.676 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; manto inferior $4.525 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; núcleo externo $9.27 \times 10^{36}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; núcleo interno $5.87 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

13. El manto inferior: tiene la mitad de la masa, a radios grandes. El núcleo interno contiene el $1.6\,\%$ de la masa, y toda ella cerca del eje: su parte es del $0.07\,\%$.

14. $I = 8.1345 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e $I/MR^2 = 8.1345 \times 10^{37}/ (5.9737 \times 10^{24}\times(6.371 \times 10^{6})^2) = 0.3355$.

15. Un $1.4\,\%$ por encima de $0.3308$, y bastante por debajo de $0.4$: el modelo tiene casi la concentración correcta de masa hacia el centro.

16. Sí. Dentro de cada cáscara la densidad real es mayor abajo que arriba; una cáscara uniforme de la misma masa pone demasiada masa cerca de su radio exterior, donde cuenta con $r^2$, y por tanto sobrestima $I$.

17. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.9737 \times 10^{24}/ (6.371 \times 10^{6})^2 = 9.822\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

18. La masa del núcleo es $1.8410 \times 10^{24} + 9.841 \times 10^{22} = 1.9394 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, y $g = G m/r_c^2 = 10.69\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $(1.0962 \times 10^{24} + 2.9381 \times 10^{24})/(3.0706 \times 10^{20} + 5.9961 \times 10^{20}) = 4.0343 \times 10^{24}/9.0667 \times 10^{20} = 4450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

20. $P \approx 4450\times10\times2.891 \times 10^{6} = 128.6\,\mathrm{GPa}$, un $5\,\%$ por debajo de los $135.75\,\mathrm{GPa}$ del PREM.

21. $\rho_c = 1.9394 \times 10^{24}/1.7653 \times 10^{20} = 10\,986\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y $\Delta P = \tfrac23\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times10986^2\times (3.48 \times 10^{6})^2 = 204.3\,\mathrm{GPa}$.

22. $128.6 + 204.3 = 332.9\,\mathrm{GPa}$, un $8.5\,\%$ por debajo de los $363.85\,\mathrm{GPa}$ del PREM. Ambas estimaciones ignoran el aumento de densidad con la profundidad dentro de cada región, que sitúa más masa en profundidad, mantiene la gravedad más alta al bajar y aumenta $\rho g$, el gradiente de presión.

23. La masa total (pregunta 6), el factor de momento de inercia (pregunta 15) y la gravedad en la superficie (pregunta 17, frente a la media medida de $9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) se comprueban con medidas de la Tierra; la gravedad en el núcleo y las presiones solo pueden compararse con el PREM, que es en sí mismo un modelo.

24. El núcleo contiene el $32.5\,\%$ de la masa de la Tierra.