17Fallas, pliegues y fábricas

Un corte de carretera muestra una cara de roca pulida como el vidrio y rayada por finos surcos paralelos. Al otro lado del valle, un acantilado marino muestra capas de arenisca y lutita dobladas en zigzag, con lados rectos y esquinas agudas. En un tejado cercano, unas pizarras se separan en láminas de unos pocos milímetros de espesor, según planos que cortan las capas del lodo del que se formaron. Cada una es un registro de la deformación de la roca, leído a una escala distinta: los surcos dan la dirección en la que dos bloques se deslizaron uno junto al otro a lo largo de una falla; los zigzags miden cuánto se acortaron las capas; los planos de la pizarra crecieron atravesando el grano de la roca mientras se comprimía. Este capítulo da la geometría necesaria para medir los tres registros, y la mecánica del capítulo anterior explica por qué las fallas tienen los buzamientos que tienen.

Lo que ya sabes

La actitud de un plano es su dirección de buzamiento y su buzamiento, escritos por ejemplo como $080/12$; su rumbo se obtiene por la regla de la mano derecha, con el plano buzando hacia la derecha de un observador que mira a lo largo del rumbo (Capítulo 4). Un pliegue es una curvatura de capas originalmente planas; un anticlinal es convexo hacia arriba, con las rocas más antiguas en su núcleo, y un sinclinal es cóncavo hacia arriba; el eje del pliegue es la línea a lo largo de la cual las capas se curvan más (Capítulo 4). El salto y el salto horizontal de una falla son las componentes vertical y horizontal de su desplazamiento (Capítulo 5). Una recta tiene una tendencia y una inmersión, y el vector unitario hacia abajo $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ (Capítulo 6). Una roca que obedece el criterio de Coulomb se rompe en planos a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, y las fallas existentes deslizan según la ley de Byerlee (Capítulo 16). Un mineral está en extinción entre polarizadores cruzados cuando sus direcciones de vibración son paralelas a las de los polarizadores (Capítulo 8). Las fallas se estudiaron en el libro 1, año 7; las fallas inversas, los cabalgamientos y la foliación, en el libro 2, año 12. El producto vectorial de dos vectores es perpendicular a ambos (matemáticas, primer año universitario).

17.1 Fallas: geometría y cinemática

Una falla es una superficie a lo largo de la cual dos bloques de roca se han desplazado uno junto al otro. Para describir el movimiento necesitamos nombres para los dos bloques y para el desplazamiento, y una forma de medir su dirección dentro del plano de la falla.

Definición 17.1 (Bloque superior, bloque inferior, vector de deslizamiento, deslizamiento neto, cabeceo)

Sea una falla localmente un plano que no es vertical. El bloque superior es el bloque situado encima de ella, el bloque inferior el situado debajo. Sea $A$ un punto del bloque inferior y $A'$ el punto del bloque superior que estaba en contacto con él antes del movimiento. El vector de deslizamiento $\overrightarrow{AA'}$ es el desplazamiento del bloque superior respecto del bloque inferior; su longitud es el deslizamiento neto. El cabeceo $r$ (también llamado rake o pitch) del vector de deslizamiento es el ángulo, medido en el plano de la falla, desde la dirección del rumbo dada por la regla de la mano derecha hasta el vector de deslizamiento, positivo cuando el vector apunta hacia arriba del plano y negativo cuando apunta hacia abajo: $-180{}^{\circ} < r \le 180{}^{\circ}$. Es la convención de los sismólogos, usada de nuevo para los terremotos en Capítulo 18; muchos geólogos de campo anotan en cambio un ángulo entre 0 y $180{}^{\circ}$, medido en el sentido de las agujas del reloj desde el rumbo visto desde arriba, y añaden el sentido del movimiento con palabras.

Los dos nombres vienen de la minería: un minero que trabajaba una veta inclinada se apoyaba en el bloque inferior y tenía el bloque superior sobre la cabeza. Un desplazamiento visto en un solo corte no es, en general, el deslizamiento: una capa desplazada en un mapa o en una sección muestra una separación, que depende de la actitud de la capa. El deslizamiento necesita dos puntos que antes fueron uno, como las dos mitades de una línea cortada por la falla, por ejemplo el borde de un dique frente a una capa.

Proposición 17.2 (Componentes del deslizamiento)

Sea una falla de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$, y un vector de deslizamiento de longitud $L$ y cabeceo $r$. Con componentes hacia el este, el norte y arriba, sean $\mathbf s = (\sin(\alpha-90{}^{\circ}), \cos(\alpha-90{}^{\circ}), 0)$ el vector unitario según el rumbo y $\mathbf u = (-\cos\delta\sin\alpha, -\cos\delta\cos\alpha, \sin\delta)$ el vector unitario hacia arriba según el buzamiento. Entonces

$$\overrightarrow{AA'} = L\,(\cos r\,\mathbf s + \sin r\,\mathbf u),$$

su componente de deslizamiento de rumbo es $L\cos r$ y su componente de deslizamiento de buzamiento $L\sin r$; el salto es $L\,|\sin r|\sin\delta$, el salto horizontal $L\,|\sin r|\cos\delta$, y el vector de deslizamiento tiene una inmersión $p$, con $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.

En una falla de deslizamiento de buzamiento, $|\sin r| = 1$ y el salto horizontal es el salto dividido por $\tan\delta$, como en Capítulo 5. El cabeceo clasifica las fallas en familias.

Definición 17.3 (Fallas normales, inversas, cabalgamientos, de desgarre y oblicuas)

Una falla cuyo vector de deslizamiento yace según la línea de buzamiento ($r = \pm90{}^{\circ}$) es una falla de deslizamiento de buzamiento: una falla normal cuando el bloque superior ha bajado ($r = -90{}^{\circ}$), una falla inversa cuando ha subido ($r = 90{}^{\circ}$). Un cabalgamiento es una falla inversa que buza $45{}^{\circ}$ o menos. Una falla cuyo deslizamiento es paralelo a su rumbo ($r = 0$ o $180{}^{\circ}$) es una falla de desgarre; estas fallas suelen ser casi verticales. Una falla de desgarre es dextral (lateral derecha) cuando un observador de pie a un lado ve el otro lado desplazado a la derecha, y sinistral (lateral izquierda) cuando a la izquierda. Una falla cuyo deslizamiento tiene a la vez una componente de desgarre y una de buzamiento es una falla oblicua; en la práctica una falla se nombra según su componente mayor, de modo que un cabeceo cercano a $-90{}^{\circ}$ se llama normal.

Proposición 17.4 (El sentido de una falla de desgarre)

El sentido de una falla de desgarre no depende del lado en el que se sitúe el observador. Un cabeceo cercano a $0$ es sinistral, uno cercano a $180{}^{\circ}$ dextral.

Una superficie de falla suele ser en sí misma un registro del movimiento: los rayados y las fibras sobre ella yacen a lo largo del deslizamiento. Alrededor de la superficie, una zona de falla puede estar rellena de roca rota por el movimiento.

Definición 17.5 (Espejo de falla, estrías de falla, rocas de falla)

Las estrías de falla son rayados o fibras sobre una superficie de falla, paralelos al deslizamiento; un espejo de falla es una superficie de falla que las lleva, a menudo alisada por el deslizamiento. Una roca de falla es una roca producida por el movimiento en una falla. Una brecha de falla está formada por fragmentos angulosos de las paredes de la falla, rotados y desplazados de su sitio, desde bloques enormes hasta unos $2\,\mathrm{mm}$; una cataclasita está formada por fragmentos del tamaño de la arena o menores; ninguna tiene fábrica, pues los fragmentos yacen al azar. Una arcilla de falla es una roca de falla rica en arcilla, muy blanda en el afloramiento. Una milonita es una roca de grano fino y muy foliada, producida en una zona de cizalla por cizalla dúctil, con los granos reducidos por recristalización más que por trituración.

Las rocas de falla son un calibre de profundidad, y siguen la envolvente de resistencia de Capítulo 16. La arcilla de falla, la brecha y la cataclasita, con su fábrica al azar, se producen por deslizamiento friccional y fractura en la corteza frágil; las milonitas se producen por debajo de la transición frágil–dúctil, donde la falla continúa hacia abajo como una banda de cizalla dúctil. Para un geoterma normal y agua suficiente, la transición entre ambas se sitúa a $10\text{ a }15\,\mathrm{km}$, cerca de los $13.7\,\mathrm{km}$ de la envolvente del capítulo anterior, y la falla es más fuerte allí. En una gran falla traída desde profundidad se encuentra, lado a lado, el mismo orden: zonas de arcilla de falla cerca de la superficie, luego cataclasita, y luego milonita. El nombre milonita, de la palabra griega para moler harina, recoge un error: se creyó que era roca molida. El volumen del año 3 estudia esas zonas de cizalla profundas y los mecanismos que forman las milonitas.

Método 17.6 (Medición del deslizamiento en una falla)

1. Mídase la actitud $\alpha/\delta$ de la superficie de falla y escríbase su rumbo, $\alpha - 90{}^{\circ}$.
2. Mídanse las estrías: su cabeceo sobre la falla, o su tendencia e inmersión; para un cabeceo $r$, $\sin p = |\sin r|\sin\delta$.
3. Averígüese en qué sentido se movió el bloque superior, a partir de marcadores desplazados a través de la falla, y dése al cabeceo su signo: negativo si el bloque superior bajó.
4. Hállese el deslizamiento neto $L$ a partir de dos puntos que antes fueron uno; si solo se conoce el salto $h$ de un marcador horizontal, $L = h/(|\sin r|\sin\delta)$.
5. Calcúlense las componentes con Proposición 17.2 y nómbrese la falla con Definición 17.3.

Sobre el terreno — Medición de una superficie de falla

Un geólogo que encuentra una superficie de falla en un afloramiento la mide como cualquier otro plano, con una brújula clinómetro apoyada sobre la superficie, y luego mide las estrías de falla sobre ella, bien como cabeceo, con un transportador apoyado sobre el plano, bien como tendencia e inmersión. Las dos medidas se comprueban entre sí con la fórmula del paso 2 del método. El sentido del movimiento es la parte difícil. Los pequeños escalones sobre un espejo de falla, y las fibras de cuarzo o calcita que crecieron mientras los bloques se separaban, pueden mostrar hacia dónde se fue el bloque que falta, pero algunos escalones apuntan en sentido contrario, así que el sentido solo se da por bueno cuando concuerda con el desplazamiento de una capa marcadora o de una veta. Las rocas de falla se describen y se muestrean, y una zona de falla demasiado ancha para medirla en un solo lugar se cartografía como una banda. Cada falla se anota en una estación numerada del cuaderno, con su actitud, sus estrías, el sentido del movimiento y lo seguro que está el geólogo de él.

17.2 La teoría de Anderson del fallamiento

¿Por qué son empinadas la mayoría de las fallas normales y suaves la mayoría de los cabalgamientos? En 1905 el geólogo escocés Ernest Masson Anderson respondió con dos observaciones: la superficie de la Tierra fija las direcciones de los esfuerzos principales, y el criterio de Coulomb fija entonces el ángulo de las fallas.

Proposición 17.7 (Una superficie libre es un plano principal)

En la superficie de la Tierra, donde es horizontal, uno de los esfuerzos principales es vertical y los otros dos son horizontales.

Anderson supuso que los esfuerzos principales conservan estas direcciones hasta las profundidades a las que se forman las fallas. La suposición se cumple bien bajo una superficie de poca pendiente y en rocas sin debilidades antiguas fuertes; falla cerca de un relieve empinado y donde fallas o capas antiguas guían las nuevas. Con ella, solo son posibles tres casos, según cuál de $\sigma_1$, $\sigma_2$ y $\sigma_3$ sea vertical.

Teorema 17.8 (Teoría de Anderson del fallamiento)

Sea un esfuerzo principal vertical y sea la roca la que se rompe según el criterio de Coulomb, con ángulo de fricción interna $\phi$. Las fallas nuevas se forman en planos que contienen la dirección de $\sigma_2$ y forman el ángulo $45{}^{\circ} - \phi/2$ con $\sigma_1$, y deslizan perpendicularmente a $\sigma_2$, acortando la roca según $\sigma_1$. Por tanto:

1. si $\sigma_1$ es vertical, se forman fallas normales, con rumbo según $\sigma_2$ y buzamiento $45{}^{\circ} + \phi/2$;
2. si $\sigma_3$ es vertical, se forman cabalgamientos, con rumbo según $\sigma_2$ y buzamiento $45{}^{\circ} - \phi/2$;
3. si $\sigma_2$ es vertical, se forman fallas de desgarre verticales, con rumbo a $45{}^{\circ} - \phi/2$ a ambos lados de $\sigma_1$.

Con $\phi = 30{}^{\circ}$, los buzamientos son $60{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$.

En cada régimen son posibles dos conjuntos de fallas, simétricos respecto de $\sigma_1$: fallas conjugadas, que se cortan con un ángulo de $90{}^{\circ} - \phi$, unos $60{}^{\circ}$, con $\sigma_1$ en el ángulo agudo entre ellas. A la inversa, un par de fallas conjugadas medido en el campo da las direcciones de los esfuerzos que las formaron: $\sigma_1$ biseca su ángulo agudo, y $\sigma_2$ es su línea de intersección.

Los tres regímenes corresponden a los tres tipos de frontera de placa de Capítulos 13 y 14. Donde la litosfera se estira, en rifts y dorsales, el esfuerzo horizontal cae por debajo del vertical y se forman fallas normales; donde se comprime, en márgenes convergentes y en cordilleras, el esfuerzo horizontal supera el peso de la roca y se forman cabalgamientos; a lo largo de las fallas transformantes, los dos esfuerzos horizontales encierran al vertical. Los buzamientos concuerdan con las observaciones de manera aproximada: las fallas normales de los rifts buzan alrededor de $60{}^{\circ}$ cerca de la superficie, y los cabalgamientos son fallas inversas de bajo ángulo. Las excepciones son instructivas. Muchas fallas normales se aplanan con la profundidad, y algunos cortes de rifts las muestran alcanzando una zona casi plana de cizalla: estas fallas normales de bajo ángulo, o despegues, cortan la corteza con bastante menos de $45{}^{\circ}$. La teoría de Anderson no puede explicarlas como fallas nuevas, y Ejercicio 17.10 muestra que la fricción de Byerlee tampoco puede hacerlas deslizar con esfuerzos andersonianos: necesitan rocas de falla débiles, presión de poros alta o esfuerzos giratorios. Una falla ya existente desliza con la fricción de la ley de Byerlee, $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$; las fallas normales de mejor orientación buzan entonces $65.2{}^{\circ}$, como encontró el problema de Capítulo 16.

Historia — Las fallas de Anderson

Ernest Masson Anderson, geólogo escocés, publicó su teoría de los tres tipos de fallas en 1905, en un breve artículo sobre la dinámica del fallamiento, y dio su forma completa, con su aplicación a los diques y fallas de Gran Bretaña, en su libro The Dynamics of Faulting and Dyke Formation. Un pequeño número de artículos y ese libro siguen dando forma a la geología estructural, la sismología y la mecánica de rocas: sus tres regímenes, normal, de cabalgamiento y de desgarre, son la forma habitual de clasificar los estados de esfuerzo de la corteza y las fallas que producen, y de leer el esfuerzo a partir de las fallas.

17.3 Geometría de los pliegues

Capítulo 4 nombró los pliegues y leyó sus patrones en los mapas. En tres dimensiones un pliegue necesita más nombres: dónde se curva, con qué brusquedad, y cómo está situado en el espacio.

Definición 17.9 (Charnela, línea de charnela, flanco, plano axial, ángulo entre flancos, pliegue cilíndrico)

Sobre una superficie plegada, la charnela es la zona de mayor curvatura, y la línea de charnela la recta que une sus puntos de mayor curvatura; los flancos son las partes menos curvadas a cada lado. La superficie axial de un pliegue es la superficie que une las líneas de charnela de sus sucesivas superficies plegadas; cuando es un plano, es el plano axial. El ángulo entre flancos $\iota$ es el ángulo entre los dos flancos, medido en el perfil, el plano perpendicular a la línea de charnela, entre las tangentes a los flancos en sus puntos de inflexión; $0 \le \iota \le 180{}^{\circ}$. Un pliegue es un pliegue cilíndrico cuando sus superficies se generan por una recta desplazada paralelamente a sí misma; la dirección de esa recta es el eje del pliegue de Definición 4.14, y toda línea de charnela de un pliegue cilíndrico es una recta paralela a él.

Cuando los flancos son planos, como en los pliegues en chevrón de abajo y en las Varden Hills, la geometría de un pliegue se deduce de la actitud de sus flancos. La normal unitaria hacia arriba de un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$ es $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$, en componentes hacia el este, el norte y arriba.

Proposición 17.10 (Un pliegue a partir de sus flancos)

Sea un pliegue cilíndrico con flancos planos, ninguno volcado, con normales unitarias hacia arriba $\mathbf n_1$ y $\mathbf n_2$. Su línea de charnela es paralela a $\mathbf n_1 \times \mathbf n_2$, y su ángulo entre flancos es

$$\iota = 180{}^{\circ} - \arccos(\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2) .$$

Para un pliegue erguido cuyos dos flancos buzan $\delta$ a cada lado, las normales forman el ángulo $2\delta$ e $\iota = 180{}^{\circ} - 2\delta$.

Definición 17.11 (Clases de pliegues)

Por su ángulo entre flancos, un pliegue es un pliegue suave ($\iota$ de $180{}^{\circ}$ a $170{}^{\circ}$), un pliegue abierto (de $170{}^{\circ}$ a $90{}^{\circ}$), un pliegue cerrado (de $90{}^{\circ}$ a $10{}^{\circ}$) o, cuando sus flancos son casi paralelos ($\iota$ de $10{}^{\circ}$ a $0$), un pliegue isoclinal. Por el buzamiento de su plano axial, un pliegue es un pliegue erguido cuando el plano axial buza más de $80{}^{\circ}$, un pliegue recumbente cuando buza menos de $10{}^{\circ}$, y un pliegue inclinado entre ambos. Un pliegue en el que uno de los flancos ha girado más allá de la vertical, de modo que ambos flancos buzan en el mismo sentido y las capas de ese flanco están al revés, es un pliegue volcado. Un pliegue cuya línea de charnela no es horizontal es un pliegue inmerso.

Se usan otros límites para las clases de estrechez; este libro mantiene las cuatro anteriores.

En los pliegues paralelos, o concéntricos, cada capa conserva su espesor medido perpendicularmente a ella, como una pila de hojas de papel al doblarse; estos pliegues se forman por pandeo de capas fuertes intercaladas con otras muy débiles. En los pliegues semejantes, todas las superficies tienen la misma forma, las capas conservan su espesor medido paralelamente al plano axial, y se adelgazan en los flancos y se engruesan en las charnelas, como muestran los perfiles dibujados arriba; se forman cuando todas las capas son débiles, de modo que no desempeñan papel mecánico. Los pliegues en chevrón tienen flancos rectos y charnelas estrechas, con un ángulo entre flancos cercano a $60{}^{\circ}$; son pliegues paralelos de capas fuertes muy juntas, que deslizan unas sobre otras al doblarse.

17.4 Fábricas

Una roca deformada suele estar deformada en todo su volumen, no solo en unas pocas superficies: sus granos se aplastan, giran o recrecen con una orientación común, lo que le da una fábrica. Una fábrica planar hace que la roca se separe en láminas; una fábrica lineal hace que se rompa en varillas.

Definición 17.12 (Foliación, esquistosidad, clivaje pizarroso, clivaje axial-plano)

Una foliación es una fábrica planar que impregna una roca: un conjunto de superficies paralelas muy juntas, formado por granos laminares o aplastados alineados o por capas delgadas, según las cuales la roca se separa con más facilidad. La esquistosidad es la foliación de un esquisto, formada por granos alineados más gruesos que unos $1\,\mathrm{mm}$. Un clivaje es una foliación de una roca de grano fino producida por su deformación; el clivaje pizarroso es el clivaje de una pizarra, formado por silicatos laminares demasiado pequeños para verse a simple vista, y tan juntos que la roca puede separarse casi en cualquier lugar en láminas delgadas. Un clivaje axial-plano es un clivaje paralelo, o casi paralelo, a los planos axiales de los pliegues de las mismas rocas.

Una foliación se forma aproximadamente perpendicular a la dirección de mayor acortamiento, por el giro de los granos laminares, el crecimiento de micas nuevas y la disolución de los granos en las caras más apretadas. El clivaje de una pizarra no tiene, por tanto, nada que ver con la estratificación del lodo: registra el apretamiento. Cuando los pliegues y el clivaje crecen con el mismo acortamiento, el clivaje yace cerca de los planos axiales de los pliegues, y se abanica ligeramente a través de ellos, convergiendo o divergiendo según la resistencia de cada capa, como muestra la fotografía de abajo.

Definición 17.13 (Linación, linación de intersección, linación de estiramiento)

Una linación es una fábrica lineal que impregna una roca, medida por su tendencia y su inmersión. Una linación de intersección es el conjunto de rectas según las que se cortan dos fábricas planares, como la estratificación y un clivaje; una linación de estiramiento está formada por granos o cantos alargados según la dirección de mayor estiramiento.

Proposición 17.14 (La linación de intersección de un pliegue)

En un pliegue cilíndrico con un clivaje axial-plano, la linación de intersección de la estratificación y del clivaje es paralela a la línea de charnela, en todo el pliegue.

La proposición es el camino del geólogo de campo hacia la inmersión de un pliegue demasiado grande para verse entero: en cualquier afloramiento de uno de los flancos, las rectas según las que el clivaje corta a la estratificación dan la línea de charnela. La estratificación y el clivaje juntos dicen aún más: dónde está el pliegue, y hacia qué lado están vueltas las capas.

Definición 17.15 (Vergencia)

La vergencia de un pliegue asimétrico es la dirección horizontal hacia la que su parte superior se ha desplazado respecto de su parte inferior: la dirección en la que está volcado o, en un pliegue inclinado, hacia la que se inclina.

Proposición 17.16 (Estratificación y clivaje en los flancos de un pliegue)

Considérese un pliegue con flancos rectos y un clivaje axial-plano, en rocas que estaban en posición normal antes del plegamiento, y en las que ambos flancos descienden desde cada charnela anticlinal. Visto en el perfil:

1. en un flanco donde la estratificación y el clivaje buzan en el mismo sentido, la estratificación es la más empinada de las dos exactamente cuando el flanco está volcado;
2. la rotación aguda que lleva el clivaje sobre la estratificación tiene sentidos opuestos en los dos flancos de un pliegue; en un flanco que no está volcado, desplaza la parte superior del clivaje horizontalmente hacia la charnela anticlinal de la parte superior de ese flanco.

El sentido de la rotación cambia, así, en cada charnela, anticlinal o sinclinal. Un geólogo que lo anota a lo largo de un recorrido encuentra las charnelas de pliegues demasiado grandes para verse en un solo afloramiento donde cambia el sentido, y los flancos volcados donde la estratificación es más empinada que el clivaje; la palabra vergencia se usa también para este sentido de rotación, y las inversiones de la vergencia de pliegues menores se cartografían del mismo modo para encontrar las charnelas de pliegues mayores: los pequeños pliegues de los dos flancos de uno grande tienen asimetrías opuestas, y su traza axial pasa entre ellos.

17.5 Microestructuras

Al microscopio, la deformación de una roca se manifiesta en sus granos. Un grano de cuarzo doblado por el lento deslizamiento de su red cristalina ya no se extingue de golpe entre polarizadores cruzados: al girar la platina, una banda oscura lo recorre, porque sus partes apuntan en direcciones ligeramente distintas. Esta extinción ondulante (Capítulo 8) se hace más fuerte al acercarse a una zona de cizalla, porque los defectos se acumulan en la red cristalina. Donde hay agua, los granos se disuelven en las caras donde están más apretados, y la materia disuelta se deposita donde el esfuerzo es menor, o se lleva: esta solución por presión acorta las rocas a baja temperatura y produce muchos clivajes. A temperatura más alta, los granos deformados se sustituyen, mientras la deformación continúa, por granos nuevos, más pequeños y sin deformar, primero a lo largo de los antiguos bordes de grano: recristalización dinámica, que reduce el tamaño de grano y produce las milonitas. Las formas de los granos deformados y de los minerales que crecen en sus sombras indican también hacia dónde se movió una zona de cizalla; estos indicadores del sentido de cizalla, y los mecanismos mismos, pertenecen al volumen del año 3.

17.6 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Nómbrese cada falla según el cabeceo de su vector de deslizamiento, con la falla buzando $60{}^{\circ}$: (a) $r = -90{}^{\circ}$; (b) $r = 85{}^{\circ}$; (c) $r = 0$; (d) $r = 180{}^{\circ}$; (e) $r = -40{}^{\circ}$. (f) ¿Cómo se llamaría (b) si su buzamiento fuera $25{}^{\circ}$?

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

(a) Una falla normal. (b) Una falla inversa, casi de pura componente de buzamiento. (c) Una falla de desgarre sinistral. (d) Una falla de desgarre dextral. (e) Una falla oblicua: el bloque superior bajó y se desplazó a lo largo del rumbo, hacia la izquierda; su componente de desgarre, $\cos40{}^{\circ} = 0.77$ del deslizamiento neto, es mayor que su componente de buzamiento, $0.64$, así que se llama falla sinistral con una componente normal. (f) Con un buzamiento de $25{}^{\circ}$, menor que $45{}^{\circ}$, la falla inversa es un cabalgamiento.

Ejercicio 17.2 ★

Una falla normal buza $55{}^{\circ}$; su deslizamiento es puramente de buzamiento, con un deslizamiento neto de $300\,\mathrm{m}$. Calcúlense su salto y su salto horizontal.

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Con $|\sin r| = 1$, el salto es $300\sin55{}^{\circ} = 245.7\,\mathrm{m}$ y el salto horizontal $300\cos55{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 17.3 ★

Dese el ángulo entre flancos y la clase de cada pliegue erguido, cuyos flancos buzan en sentidos opuestos: (a) flancos que buzan $35{}^{\circ}$ y $35{}^{\circ}$; (b) $70{}^{\circ}$ y $75{}^{\circ}$; (c) $85{}^{\circ}$ y $88{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

Para un pliegue erguido cuyos flancos buzan $\delta_1$ y $\delta_2$ en sentidos opuestos, $\iota = 180{}^{\circ} - \delta_1 - \delta_2$. (a) $110{}^{\circ}$: abierto. (b) $35{}^{\circ}$: cerrado. (c) $7{}^{\circ}$: isoclinal.

Ejercicio 17.4 ★

Una arenisca tiene un ángulo de fricción interna de $35{}^{\circ}$. Según la teoría de Anderson, ¿con qué ángulos buzan sus fallas normales y sus cabalgamientos? ¿Qué ángulo forman entre sí dos fallas de desgarre conjugadas?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

Las fallas normales buzan $45{}^{\circ} + 35{}^{\circ}/2 = 62.5{}^{\circ}$, y los cabalgamientos $45{}^{\circ} - 17.5{}^{\circ} = 27.5{}^{\circ}$. Las fallas de desgarre conjugadas forman cada una $27.5{}^{\circ}$ con $\sigma_1$, a uno y otro lado de él, así que se cortan con $55{}^{\circ}$.

Ejercicio 17.5 ★★

Una falla tiene la actitud $090/50$, y sobre ella estrías de cabeceo $-30{}^{\circ}$; el deslizamiento neto es $400\,\mathrm{m}$. (a) Calcúlense las componentes de desgarre y de buzamiento, el salto y el salto horizontal. (b) Escríbase el vector de deslizamiento en componentes hacia el este, el norte y arriba, y dense su tendencia e inmersión. (c) Nómbrese la falla.

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

(a) La componente de desgarre es $400\cos30{}^{\circ} = 346.4\,\mathrm{m}$ según el rumbo, y la componente de buzamiento $400\sin-30{}^{\circ} = -200\,\mathrm{m}$, es decir, $200\,\mathrm{m}$ hacia abajo según el buzamiento; el salto es $200\sin50{}^{\circ} = 153.2\,\mathrm{m}$ y el salto horizontal $200\cos50{}^{\circ} = 128.6\,\mathrm{m}$. (b) El rumbo es $000$, así que $\mathbf s = (0, 1, 0)$; $\mathbf u = (-\cos50{}^{\circ}, 0, \sin50{}^{\circ}) = (-0.643, 0, 0.766)$. Entonces $\overrightarrow{AA'} = 400(0.866\,\mathbf s - 0.5\,\mathbf u) = (128.6, 346.4, -153.2)$ en metros. Su tendencia es $\arctan(128.6/346.4) = 20.4{}^{\circ}$ y su inmersión $\arcsin(153.2/400) = 22.5{}^{\circ}$, que es también $\arcsin(\sin30{}^{\circ}\sin50{}^{\circ})$. (c) Una falla oblicua: el cabeceo queda entre $0$ y $-90{}^{\circ}$, más cerca de $0$: una falla sinistral con una componente normal.

Ejercicio 17.6 ★★

Dos fallas de desgarre verticales de la misma edad tienen rumbos $020$ y $080$. (a) Según Anderson, dense las direcciones de $\sigma_1$, $\sigma_2$ y $\sigma_3$, y el ángulo de fricción interna de la roca. (b) ¿Cuál falla es dextral y cuál sinistral? Razónese a partir del acortamiento según $\sigma_1$.

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

(a) Las dos fallas forman $60{}^{\circ}$ entre sí; $\sigma_1$ biseca el ángulo agudo, así que es horizontal según $050$ (y $230$); $\sigma_3$ es horizontal según $140$; $\sigma_2$ es vertical, según la recta en la que se cortan las dos fallas verticales. Cada falla forma $30{}^{\circ}$ con $\sigma_1$, así que $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ y $\phi = 30{}^{\circ}$. (b) Las dos fallas dividen el suelo en cuatro cuñas; las cuñas que contienen $\sigma_1$, hacia $050$ y hacia $230$, se acercan entre sí, y las que contienen $\sigma_3$ se separan, hacia $140$ y $320$. Tómese la falla de rumbo $020$, entre la cuña hacia $050$ (a su este) y la cuña hacia $320$ (a su oeste): respecto de la cuña occidental, la oriental se mueve hacia $230$ y se aleja de $320$, y ambas tienen una componente hacia $200$ según la falla. Un observador en la cuña occidental, mirando al este, ve que la oriental se mueve hacia $200$, a la derecha: la falla de rumbo $020$ es dextral. El mismo argumento, o la simetría respecto de $\sigma_1$, hace que la falla de rumbo $080$ sea sinistral.

Ejercicio 17.7 ★★

Los dos flancos de un pliegue cilíndrico tienen las actitudes $120/40$ y $260/30$. Con Proposición 17.10, hállense la tendencia y la inmersión de su línea de charnela, su ángulo entre flancos y su clase.

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

Los vectores normales hacia arriba son

$$\begin{align*} \mathbf n_1 &= (\sin40{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \sin40{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, \cos40{}^{\circ}) = (0.557, -0.321, 0.766),\\ \mathbf n_2 &= (\sin30{}^{\circ}\sin260{}^{\circ}, \sin30{}^{\circ}\cos260{}^{\circ}, \cos30{}^{\circ}) = (-0.492, -0.087, 0.866). \end{align*}$$

Su producto vectorial es $(-0.211, -0.859, -0.207)$, que apunta hacia abajo: la línea de charnela se inmerge $\arcsin 0.207/0.909 = 13.1{}^{\circ}$ hacia $180{}^{\circ} + \arctan(0.211/0.859) = 193.8{}^{\circ}$. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = 0.417$, el ángulo entre las normales es $65.3{}^{\circ}$, y $\iota = 114.7{}^{\circ}$: un pliegue abierto.

Ejercicio 17.8 ★★

En un afloramiento, la estratificación tiene la actitud $040/30$ y un clivaje axial-plano la actitud $160/80$. Hállense la tendencia y la inmersión de la linación de intersección. ¿Qué dice sobre el pliegue?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

$\mathbf n_1 = (0.321, 0.383, 0.866)$ para la estratificación y $\mathbf n_2 = (0.337, -0.925, 0.174)$ para el clivaje. Su producto vectorial, tomado hacia abajo, da una recta que se inmerge $25.4{}^{\circ}$ hacia $074.8{}^{\circ}$. Según Proposición 17.14, esta es la dirección de la línea de charnela: el pliegue se inmerge unos $25{}^{\circ}$ hacia el este-nordeste, lo que debe confirmar cualquier otro afloramiento de uno de los flancos.

Ejercicio 17.9 ★★

Una falla vertical tiene rumbo este–oeste. Un dique vertical de rumbo norte–sur la atraviesa; al norte de la falla, el dique aparece $350\,\mathrm{m}$ al este de donde está al sur de la falla. (a) ¿Es la falla dextral o sinistral? (b) Si las estrías son horizontales, ¿cuál es el deslizamiento neto? (c) Si en cambio se inclinan $20{}^{\circ}$ hacia el este, ¿cuáles son el deslizamiento neto y la componente vertical del deslizamiento, y qué bloque bajó?

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

(a) Un observador al sur de la falla, mirando al norte, ve la parte norte del dique desplazada hacia el este, a la derecha: la falla es dextral. (b) El dique es un plano vertical perpendicular a la falla, así que su desplazamiento según el rumbo es la componente de desgarre: $350\,\mathrm{m}$, que es todo el deslizamiento si las estrías son horizontales. (c) El deslizamiento forma entonces $20{}^{\circ}$ con el rumbo en el plano vertical de la falla: su componente horizontal sigue siendo $350\,\mathrm{m}$, así que el deslizamiento neto es $350/\cos20{}^{\circ} = 372.5\,\mathrm{m}$ y su componente vertical $350\tan20{}^{\circ} = 127.4\,\mathrm{m}$. El bloque norte se movió hacia el este, y las estrías bajan hacia el este, así que también bajó, en $127.4\,\mathrm{m}$. Un dique vertical no puede mostrar ese movimiento vertical, pues deslizarlo a lo largo de sí mismo deja su traza sin cambios.

Ejercicio 17.10 ★★★

Una falla sin cohesión y con coeficiente de fricción $\mu$ forma el ángulo $\theta$ con $\sigma_1$. (a) Demuéstrese que desliza cuando los esfuerzos principales efectivos alcanzan el cociente

$$\frac{\sigma_1'}{\sigma_3'} = \frac{1 + \mu\cot\theta}{1 - \mu\tan\theta} .$$

(b) Con $\mu = 0.6$ y $\sigma_1$ vertical, calcúlese el cociente para fallas normales que buzan $60{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ y $35{}^{\circ}$. (c) Demuéstrese que una falla normal que buza menos que cierto ángulo no puede deslizar nunca, y calcúlese ese ángulo. (d) Para $\mu = 0.6$ y $\mu = 0.85$, dense los buzamientos de las fallas normales y de cabalgamiento de mejor orientación.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

(a) La normal a la falla forma $90{}^{\circ} - \theta$ con $\sigma_1$, así que, según Proposición 16.5, $\sigma_n' = \sigma_1'\sin^2\theta + \sigma_3'\cos^2\theta$ y $\tau = (\sigma_1' - \sigma_3')\sin\theta\cos\theta$. El deslizamiento empieza cuando $\tau = \mu\sigma_n'$; dividiendo por $\sigma_3'\cos^2\theta$ y escribiendo $R = \sigma_1'/\sigma_3'$, $(R - 1)\tan\theta = \mu(R\tan^2\theta + 1)$, así que $R\tan\theta(1 - \mu\tan\theta) = \tan\theta + \mu$, que es la fórmula. (b) Con $\sigma_1$ vertical, $\theta$ es $90{}^{\circ}$ menos el buzamiento: $\theta = 30{}^{\circ}$ da $R = 3.12$; $\theta = 45{}^{\circ}$, $R = 4.00$; $\theta = 55{}^{\circ}$, $R = 9.92$. (c) El denominador se anula cuando $\tan\theta = 1/\mu$, $\theta = 59.0{}^{\circ}$; más allá, $R$ sería negativo: ningún cociente de esfuerzos efectivos positivos puede hacer deslizar la falla, por grande que sea $\sigma_1'$. Las fallas normales que buzan menos de $31.0{}^{\circ}$ no pueden deslizar con $\sigma_1$ vertical y $\mu = 0.6$. (d) El plano de mejor orientación está a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$. Para $\mu = 0.6$, $\phi = 31.0{}^{\circ}$: las fallas normales buzan $60.5{}^{\circ}$, los cabalgamientos $29.5{}^{\circ}$. Para $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$: $65.2{}^{\circ}$ y $24.8{}^{\circ}$.

Ejercicio 17.11 ★★★

A lo largo de un recorrido de este a oeste, atravesando pliegues en chevrón cuyas charnelas tienen tendencia norte, un clivaje axial-plano buza $60{}^{\circ}$ hacia el oeste en todas partes. La estratificación buza $40{}^{\circ}$ O en la estación A, $80{}^{\circ}$ O en la estación B y $40{}^{\circ}$ O en la estación C, de oeste a este, en rocas que estaban en posición normal antes del plegamiento. (a) ¿Qué estación está en un flanco volcado? (b) ¿En qué sentido gira el clivaje sobre la estratificación en cada estación, mirando al norte? (c) ¿Dónde están las charnelas, y cuáles son anticlinales? (d) Calcúlense el ángulo entre flancos y la actitud de los planos axiales, y dígase hacia qué lado vergen los pliegues.

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

Mirando al norte, el este está a la derecha, y los planos que buzan al oeste suben hacia la derecha. (a) En B la estratificación buza en el mismo sentido que el clivaje, y más empinada: según Proposición 17.16(a), B está en un flanco volcado; A y C, donde la estratificación es menos empinada, están en posición normal. (b) El clivaje sube con $60{}^{\circ}$; en A y C la estratificación sube con $40{}^{\circ}$, y la rotación aguda de uno a otro es en el sentido de las agujas del reloj, a través de $20{}^{\circ}$, desplazando la parte superior del clivaje hacia el este; en B la estratificación sube con $80{}^{\circ}$ y la rotación es en sentido antihorario, a través de $20{}^{\circ}$, desplazándola hacia el oeste. (c) El sentido cambia entre A y B y de nuevo entre B y C: hay una charnela en cada intervalo. En A, que está en posición normal, la parte superior del clivaje se desplaza hacia el este, hacia el anticlinal de la parte superior del flanco: la charnela entre A y B es un anticlinal, y la de entre B y C un sinclinal. (d) En la notación de la demostración, los flancos en posición normal buzan $\gamma - \iota/2 = 40{}^{\circ}$ y los flancos volcados $\gamma + \iota/2 = 80{}^{\circ}$, así que $\gamma = 60{}^{\circ}$, como dice el clivaje, e $\iota = 40{}^{\circ}$: pliegues cerrados. Los planos axiales tienen rumbo norte y buzan $60{}^{\circ}$ hacia el oeste, actitud $270/60$. Los flancos cortos han girado más allá de la vertical con sus partes superiores hacia el este: los pliegues vergen hacia el este, como en la figura del capítulo.

Ejercicio 17.12 ★★★

Un estrato de longitud $L_0$ se pliega en un tren de pliegues en chevrón simétricos de ángulo entre flancos $\iota$, sin cambiar su longitud. (a) Demuéstrese que su longitud medida a través de los pliegues pasa a ser $L_0\sin(\iota/2)$. (b) ¿Qué acortamiento representan pliegues en chevrón de ángulo entre flancos $60{}^{\circ}$? (c) ¿Qué ángulo entre flancos corresponde a un acortamiento de $30\,\%$? (d) Un tren de pliegues erguidos con flancos que buzan $12{}^{\circ}$: ¿qué acortamiento?

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

(a) En un pliegue en chevrón simétrico cada flanco forma el ángulo $\iota/2$ con el plano axial, que es perpendicular a la dirección del acortamiento; un flanco de longitud $l$ se extiende, por tanto, $l\sin(\iota/2)$ a través de los pliegues, y todo el estrato $L_0\sin(\iota/2)$. (b) $\sin30{}^{\circ} = 0.5$: un acortamiento de $50\,\%$. (c) $\sin(\iota/2) = 0.7$ da $\iota = 88.9{}^{\circ}$. (d) $\iota = 156{}^{\circ}$ y $\sin78{}^{\circ} = 0.978$: un acortamiento de $2.2\,\%$, que es también $1 - \cos12{}^{\circ}$.

17.7 Problema: las estructuras de las Varden Hills, medidas

Problema 17.1

Problema de fin de semana — el anticlinal y la falla normal de las Varden Hills, a partir de las actitudes de sus planos y del deslizamiento sobre la falla

Las Varden Hills están plegadas en un anticlinal, cuyo eje corre de norte a sur en $x = 3.5\,\mathrm{km}$, y en un sinclinal situado $4\,\mathrm{km}$ al este de él; ambos tienen flancos planos. Un levantamiento de campo midió la estratificación en el flanco este del anticlinal como $080.7/12.2$, y en su flanco oeste como $279.3/12.2$. La cobertera está cortada por una falla normal de actitud $120/60$, cuyo bloque superior bajó según el buzamiento, con un salto de $200\,\mathrm{m}$. Dense los ángulos con una precisión de $0.1{}^{\circ}$ y las longitudes con una precisión de $0.1\,\mathrm{m}$.

Parte I — Los flancos.

1. Escríbanse las normales unitarias hacia arriba $\mathbf n_1$ (flanco este) y $\mathbf n_2$ (flanco oeste) en componentes hacia el este, el norte y arriba.
2. Calcúlense $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2$ y el ángulo entre las normales.
3. Dedúzcase el ángulo entre flancos del anticlinal.
4. Clasifíquese el anticlinal por su ángulo entre flancos.
5. Los dos flancos buzan $12.2{}^{\circ}$. ¿Por qué el ángulo entre flancos no es exactamente $180{}^{\circ} - 2\times12.2{}^{\circ}$? Calcúlese el buzamiento aparente de cualquiera de los flancos en una sección vertical este–oeste.
6. El sinclinal comparte el flanco este del anticlinal, y su propio flanco este es paralelo al flanco oeste del anticlinal. ¿Cuál es su ángulo entre flancos?

Parte II — La línea de charnela y el plano axial.

7. Calcúlese $\mathbf n_1\times\mathbf n_2$, y la tendencia y la inmersión de la línea de charnela.
8. Dése la actitud del plano axial. ¿Es el anticlinal erguido, inclinado o recumbente?
9. Dése la descripción completa del pliegue: estrechez, actitud del plano axial, inmersión.
10. En el mapa geológico de Capítulo 4, ¿hacia qué lado se cierran los afloramientos del anticlinal, y qué aflora en su núcleo?
11. La lutita de la cobertera tiene un clivaje axial-plano. Dése su actitud, y la tendencia y la inmersión de su linación de intersección en el flanco este.
12. En el flanco este, ¿en qué sentido gira el clivaje sobre la estratificación, visto mirando al norte, y en qué lado está la charnela del anticlinal?

Parte III — La falla y los esfuerzos.

13. Dése el rumbo de la falla por la regla de la mano derecha, e indique en qué lado de su traza yace el bloque superior.
14. Según Anderson, ¿qué esfuerzo principal era vertical cuando se formó la falla?
15. Dense las direcciones de los dos esfuerzos principales horizontales.
16. ¿Qué ángulo de fricción interna implica el buzamiento? ¿Qué coeficiente de fricción interna?
17. Dese la actitud del conjunto conjugado de fallas que podrían haber formado los mismos esfuerzos, y el ángulo entre los dos conjuntos.
18. ¿Estaría la falla bien orientada para deslizar de nuevo bajo el mismo régimen, con la fricción de Byerlee de 0.85?

Parte IV — El deslizamiento.

19. Dése el cabeceo del vector de deslizamiento, y su tendencia e inmersión.
20. Escríbase el vector unitario del deslizamiento en componentes hacia el este, el norte y arriba.
21. Calcúlese el salto horizontal de la falla.
22. Calcúlense las componentes hacia el este y hacia el norte del desplazamiento horizontal del bloque superior.
23. Compruébese que el deslizamiento neto $L$, el salto $h$ y el salto horizontal $e$ cumplen $L^2 = h^2 + e^2$, y explíquese por qué.
24. Redondeando al metro, ¿cuál es el deslizamiento neto de la falla de Varden?

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. $\mathbf n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ da

$$\mathbf n_1 = (0.20855, 0.03415, 0.97742), \qquad \mathbf n_2 = (-0.20855, 0.03415, 0.97742).$$

2. $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2 = -0.04349 + 0.00117 + 0.95535 = 0.91302$, y el ángulo entre las normales es $24.1{}^{\circ}$.

3. Por Proposición 17.10, $\iota = 180{}^{\circ} - 24.1{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$.

4. Entre $170{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$: un pliegue abierto.

5. Los flancos buzan hacia $080.7$ y $279.3$, no exactamente hacia el este y el oeste, porque el pliegue se inmerge: sus rectas de máxima pendiente no están en el perfil, que solo muestra un buzamiento aparente. En una sección este–oeste, según Teorema 5.4, $\tan\beta = \tan12.2{}^{\circ} \cos9.3{}^{\circ} = 0.2134$, así que $\beta = 12.0{}^{\circ}$, y $180{}^{\circ} - 2\times12.0{}^{\circ} = 155.9{}^{\circ}$ (el perfil está inclinado $2{}^{\circ}$ respecto de esa sección, lo que no cambia nada con esta precisión).

6. Sus flancos son paralelos a los del anticlinal, así que su ángulo entre flancos es también $155.9{}^{\circ}$.

7. $\mathbf n_1\times\mathbf n_2 = (0.03415\times0.97742 - 0.97742\times0.03415,\; 0.97742\times(-0.20855) - 0.20855\times0.97742,\; 0.20855\times0.03415 + 0.03415\times0.20855) = (0, -0.40768, 0.01424)$. Tomado hacia abajo, $(0, 0.40768, -0.01424)$: la línea de charnela tiene tendencia $000$ e inmersión $\arctan(0.01424/0.40768) = 2.0{}^{\circ}$ hacia el norte.

8. El plano axial contiene la línea de charnela y biseca los dos flancos; su normal es según $\mathbf n_1 - \mathbf n_2 = (0.41710, 0, 0)$, horizontal y este–oeste. Es vertical y tiene rumbo norte–sur: $090/90$. El anticlinal es erguido.

9. Un pliegue abierto y erguido, que se inmerge $2.0{}^{\circ}$ hacia el norte.

10. Según Proposición 4.15, los afloramientos de un anticlinal se cierran en la dirección de la inmersión: hacia el norte. Su núcleo contiene las rocas más antiguas: la arenisca de la base de la cobertera y, allí donde el río ha cortado más hondo, el basamento de esquisto y granito que yace debajo.

11. Axial-plano, el clivaje es vertical y tiene rumbo norte–sur, $090/90$. Según Proposición 17.14, su linación de intersección con la estratificación es paralela a la línea de charnela: tendencia $000$, inmersión $2.0{}^{\circ}$. Directamente: el plano $080.7/12.2$ corta al plano vertical de rumbo norte según una recta de inmersión $\arctan(\tan12.2{}^{\circ} \cos80.7{}^{\circ}) = 2.0{}^{\circ}$ hacia $000$.

12. Mirando al norte, el flanco este sube hacia la izquierda con $12.0{}^{\circ}$ y el clivaje es vertical: la rotación aguda del clivaje a la estratificación, a través de $78.0{}^{\circ}$, es en sentido antihorario y desplaza la parte superior del clivaje hacia el oeste. El flanco está en posición normal, así que según Proposición 17.16(b) la charnela del anticlinal está al oeste, en $x = 3.5\,\mathrm{km}$, como muestra el mapa.

13. El rumbo es $120 - 90 = 030$; el plano buza hacia $120$, así que el bloque superior yace en el lado este-sudeste de la traza.

14. La falla es normal: $\sigma_1$ era vertical.

15. $\sigma_2$ es horizontal según el rumbo, $030$–$210$; $\sigma_3$, horizontal y transversal a él, $120$–$300$.

16. $45{}^{\circ} + \phi/2 = 60{}^{\circ}$ da $\phi = 30{}^{\circ}$, y $\mu = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

17. El conjunto conjugado tiene también rumbo $030$ y buza $60{}^{\circ}$ en sentido contrario: $300/60$. Los dos conjuntos se cortan con $180{}^{\circ} - 2\times60{}^{\circ} = 60{}^{\circ}$, con la $\sigma_1$ vertical bisecando el ángulo agudo.

18. Con $\mu = 0.85$, $\phi = 40.4{}^{\circ}$ y las fallas normales de mejor orientación buzan $65.2{}^{\circ}$; la falla de Varden, con $60{}^{\circ}$, está a $5.2{}^{\circ}$ de ella. Según Ejercicio 17.10, desliza con el cociente $\sigma_1'/\sigma_3' = (1 + 0.85\cot30{}^{\circ})/(1 - 0.85\tan30{}^{\circ}) = 4.85$, frente a $4.68$ del mejor plano: está casi, pero no exactamente, en la mejor orientación, y volvería a deslizar con un cociente de esfuerzos solo $4\,\%$ mayor.

19. El deslizamiento es hacia abajo según el buzamiento: $r = -90{}^{\circ}$; el vector de deslizamiento tiene tendencia $120$ e inmersión $60{}^{\circ}$.

20. $(\cos60{}^{\circ}\sin120{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}\cos120{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ}) = (0.4330, -0.2500, -0.8660)$.

21. $e = 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$.

22. Este: $115.47\sin120{}^{\circ} = 100.0\,\mathrm{m}$; norte: $115.47\cos120{}^{\circ} = -57.7\,\mathrm{m}$, es decir, $57.7\,\mathrm{m}$ hacia el sur.

23. $L = 200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$, y $200^2 + 115.47^2 = 40\,000 + 13\,333 = 53\,333 = 230.94^2$. El salto y el salto horizontal son las componentes vertical y horizontal del deslizamiento, que yace en el plano vertical del buzamiento: son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el deslizamiento.

24. Redondeando al metro, el deslizamiento neto de la falla de Varden es $231\,\mathrm{m}$.