2Telescopios, detectores y fotometría

Todo lo que la astronomía sabe de las estrellas, aparte de unos pocos meteoritos y de las muestras traídas de la Luna y de los asteroides, lo ha aprendido de la luz que envían. Esa luz atraviesa la atmósfera terrestre, que absorbe franjas enteras de longitudes de onda y emborrona el resto; la recoge un espejo cuyo tamaño limita tanto lo débil como lo fino que puede ser el detalle; la cuenta un detector que convierte fotones en electrones, y cada cuenta lleva una incertidumbre estadística. Antes de que un brillo se convierta en una luminosidad o en una distancia, hay que entender y corregir cada uno de estos pasos. Este capítulo sigue la luz desde la estrella hasta el número: las ventanas de la atmósfera y la ley de la extinción, el telescopio y el seeing, el detector y su ruido, y después las magnitudes, los paralajes y los colores que convierten los flujos medidos en propiedades de las estrellas. La misma atmósfera, vista desde abajo, es el tema de los capítulos sobre el clima (Capítulo 27); la misma fotometría, aplicada a los planetas, abre el capítulo siguiente (Capítulo 3).

Lo que ya sabes

Un objetivo de telescopio recoge la luz a lo largo de su abertura y forma una imagen en su foco; la difracción por una abertura de diámetro $D$ limita el ángulo más pequeño que puede separar a unos $1.22\,\lambda/D$, el criterio de Rayleigh (el volumen de primer año de los libros de física). Una red dispersa la luz según su longitud de onda (segundo año), y una fuente que se mueve a lo largo de la visual desplaza sus líneas espectrales por efecto Doppler (año 12). Un cuerpo en equilibrio térmico emite el espectro del cuerpo negro, cuyo máximo obedece a la ley de Wien (segundo año). En química, la absorbancia de una disolución crece en proporción a la longitud del camino recorrido.

2.1 Las ventanas de la atmósfera

La atmósfera es transparente a unas longitudes de onda y opaca a otras. La radiación la absorben sobre todo el vapor de agua, el dióxido de carbono y el ozono, y, en las longitudes de onda más cortas, los átomos y moléculas de la alta atmósfera.

Definición 2.1 (Ventana atmosférica)

Una ventana atmosférica es una franja de longitudes de onda en la que la atmósfera deja pasar la mayor parte de la radiación que llega a su parte superior hasta el suelo. La ventana óptica se extiende desde el ultravioleta cercano hasta el infrarrojo cercano; la ventana de radio va desde longitudes de onda de un centímetro aproximadamente hasta unos diez metros.

La figura siguiente esboza la opacidad de la atmósfera desde los rayos gamma hasta las ondas de radio largas. Los rayos gamma, los rayos X y el ultravioleta por debajo de unos $0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ nunca llegan al suelo: se observan desde el espacio. La luz visible pasa, con cierto emborronamiento. La mayor parte del infrarrojo lo absorben el vapor de agua y el dióxido de carbono, salvo en unas estrechas ventanas que aprovechan los observatorios terrestres de sitios altos y secos; las bandas fotométricas del infrarrojo cercano se sitúan en ellas, en $1.24\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.65\,\text{µ}\mathrm{m}$ y $2.16\,\text{µ}\mathrm{m}$. Las longitudes de onda desde unas $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ hasta un milímetro vuelven a quedar bloqueadas; las ondas de radio de unos pocos centímetros hasta unos diez metros pasan, incluso a través de las nubes; las más largas las refleja la ionosfera.

Extinción

Incluso dentro de la ventana óptica la atmósfera quita parte de la luz, por absorción y por dispersión sobre moléculas y aerosoles. Una capa delgada de espesor $\mathrm ds$ a lo largo del rayo retira una fracción de la intensidad proporcional a $\mathrm ds$: $\mathrm dI = -\kappa I\,\mathrm ds$, donde el coeficiente de extinción $\kappa$ (por metro) depende de la longitud de onda y de la composición del aire a esa altura. Es la ley de la absorbancia de una disolución, aplicada a una columna de aire.

Proposición 2.2 (Ley de Bouguer)

A lo largo de un rayo que atraviesa un medio absorbente, la intensidad disminuye así:

$$I = I_0\,e^{-\tau}, \qquad \tau = \int_0^s \kappa\,\mathrm ds' ,$$

donde $I_0$ es la intensidad que entra en el medio y $\tau$, la profundidad óptica del camino, es un número puro. En una atmósfera plano-paralela, una estrella a la distancia cenital $z$ (el ángulo entre su dirección y la vertical) se observa a través de la profundidad óptica $\tau(z) = \tau_0\sec z$, donde $\tau_0$ es la profundidad óptica en el cenit.

Definición 2.3 (Masa de aire, coeficiente de extinción atmosférica)

La masa de aire $X$ de una observación es la profundidad óptica de la visual dividida por la profundidad óptica en el cenit: $X = \tau(z)/\tau_0$. Vale 1 en el cenit y, para una atmósfera plano-paralela, $X = \sec z$. El coeficiente de extinción atmosférica $k$ en una banda dada es el oscurecimiento, en magnitudes, que produce una masa de aire, de modo que una estrella de magnitud $m_0$ por encima de la atmósfera se observa en

$$m = m_0 + kX .$$

Las magnitudes se definen en Sección 2.4; basta aquí con saber que un oscurecimiento por el factor $e^{-\tau}$ añade $2.5\log_{10}e\;\tau = 1.086\,\tau$ magnitudes, de modo que $k = 1.086\,\tau_0$. La masa de aire plano-paralela es excelente hasta una altura de unos $30{}^{\circ}$ ($X = 2$) y falla cerca del horizonte, donde $\sec z$ crece sin límite mientras que el camino real a través de una atmósfera curva sigue siendo finito; por esa razón, y por el emborronamiento que crece con el camino, los observadores evitan las alturas bajas.

Método 2.4 (La recta de extinción)

Para hallar la magnitud $m_0$ que tendría una estrella por encima de la atmósfera:

1. mídase la magnitud $m$ de la estrella, o de una estrella patrón, a varias masas de aire a lo largo de la noche, mientras sube o baja;
2. calcúlese cada masa de aire a partir de la distancia cenital, $X = \sec z$;
3. represéntese $m$ frente a $X$ y ajústese una recta por mínimos cuadrados;
4. la pendiente es el coeficiente de extinción $k$ de la noche en esa banda; la ordenada en el origen, en $X = 0$, es $m_0$.

El mismo $k$ corrige después cualquier otra estrella observada esa noche en la misma banda: $m_0 = m - kX$.

Ejemplo 2.5

Una noche se midió seis veces una estrella en la banda V:

$X$	1.05	1.18	1.36	1.62	1.95	2.31
$m$	8.024	8.031	8.072	8.104	8.171	8.216

La recta de mínimos cuadrados, dibujada en la figura siguiente, tiene pendiente $k = 0.160\,\mathrm{mag}$ por masa de aire y ordenada en el origen $m_0 = 7.851$. Los puntos se dispersan alrededor de ella $0.006$ magnitudes, la precisión de una buena noche de fotometría. En el cenit la estrella se oscurece $0.16$ magnitudes, una pérdida de $1 - 10^{-0.4\times0.160} = 14\,\%$ de su luz.

Seeing

El aire sobre un telescopio nunca está quieto. Celdas de aire a temperaturas algo distintas, y por tanto con índices de refracción algo distintos, se desplazan a través del haz y lo desvían en pequeños ángulos al azar, que cambian muchas veces por segundo. El ojo ve titilar una estrella; una exposición larga registra una mancha borrosa mucho mayor que la figura de difracción del telescopio.

Definición 2.6 (Seeing)

El seeing de un lugar es el diámetro angular de la imagen de una fuente puntual emborronada por la turbulencia atmosférica en una exposición larga, medido como la anchura a media altura de la imagen, en segundos de arco.

El seeing cambia de una noche a otra y de una hora a otra. Los lugares se eligen por él: en la cima del Mauna Kea, a $4204\,\mathrm{m}$, el seeing mediano de la atmósfera libre es de unos $0.40{}^{\prime\prime}$, de unos $0.45{}^{\prime\prime}$ en invierno a $0.35{}^{\prime\prime}$ en verano, y la décima parte de las mejores noches queda por debajo de unos $0.25{}^{\prime\prime}$; el mismo lugar tiene por encima solo $0.9\,\mathrm{mm}$ de vapor de agua precipitable mediano, lo que abre sus ventanas infrarrojas.

2.2 Telescopios y resolución

Un telescopio hace dos cosas: recoge la luz a lo largo del área de su objetivo y forma una imagen en la que los detalles quedan separados. El área de recogida crece como $D^2$: un espejo dos veces más ancho capta cuatro veces más fotones en el mismo tiempo y alcanza estrellas cuatro veces más débiles. La resolución la limita la difracción, a unos $1.22\,\lambda/D$, y el seeing.

Ejemplo 2.7

El Telescopio Canadá–Francia–Hawái, en el Mauna Kea, tiene una abertura de $3.58\,\mathrm{m}$. A $550\,\mathrm{nm}$ su límite de difracción es

$$1.22\times\frac{550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{3.58\,\mathrm{m}} = 1.87 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.039{}^{\prime\prime},$$

diez veces más fino que el seeing mediano de $0.40{}^{\prime\prime}$ del mismo lugar. Los dos límites son iguales para un espejo de diámetro $D = 1.22\lambda/\theta = 1.22\times550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}/(0.40/206\,265) = 0.35\,\mathrm{m}$: cualquier telescopio terrestre más ancho que unos $35\,\mathrm{cm}$ está limitado por el seeing, y no por su propia óptica, a longitudes de onda visibles.

Un gran telescopio terrestre gana, por tanto, área de recogida, no nitidez, a menos que corrija la turbulencia. La óptica adaptativa lo hace: un sensor mide, muchas veces por segundo, cómo se deforma el frente de ondas de una estrella brillante (o de una estrella artificial creada por un láser en la alta atmósfera), y un espejo delgado, doblado por muchos actuadores pequeños, cancela la deformación. La corrección funciona mejor en el infrarrojo, donde la turbulencia es más lenta y más débil, y en un campo pequeño alrededor de la estrella guía. En el espacio no hay seeing en absoluto.

2.3 Detectores

El ojo integra la luz durante una fracción de segundo y responde a una pequeña fracción de los fotones que le llegan. Las placas fotográficas integraban durante horas, pero registraban solo una pequeña fracción de la luz. La astronomía moderna usa detectores de fotones hechos de semiconductores, en los que cada fotón absorbido con energía suficiente libera un electrón.

Definición 2.8 (Eficiencia cuántica, relación señal-ruido)

La eficiencia cuántica $\eta$ de un detector a una longitud de onda dada es la fracción de los fotones incidentes que registra como fotoelectrones: $\eta = N_\mathrm{e}/N_\gamma$. La relación señal-ruido de una medida es la señal medida dividida por su desviación típica, el tamaño típico de su error aleatorio.

El dispositivo de carga acoplada (CCD) es el detector estándar de la ventana óptica. Es una lámina delgada de silicio dividida en una malla de píxeles, cada uno de ellos un pozo de potencial que almacena los electrones liberados por los fotones que absorbe durante la exposición. Al final de la exposición, unos voltajes aplicados en secuencia a los electrodos desplazan las cargas de píxel en píxel, fila a fila, hacia un único amplificador que las mide una a una; la imagen es la tabla de los recuentos. Un CCD registra una gran fracción de los fotones incidentes en casi todo el visible, su respuesta es proporcional a la luz recibida hasta una carga máxima por píxel (su pozo lleno), y puede integrar durante horas. Las matrices infrarrojas funcionan con el mismo principio, con otros semiconductores, leídas píxel a píxel.

Los fotones llegan al azar. Si una fuente envía en promedio $N$ fotoelectrones durante una exposición, el recuento realmente registrado fluctúa de una exposición a la siguiente con la desviación típica $\sqrt N$ (estadística de Poisson, la del recuento de sucesos raros e independientes).

Proposición 2.9 (Ruido de fotones)

Cuando domina el ruido de fotones de la propia fuente, una fuente que da $R$ fotoelectrones por segundo se mide en un tiempo $t$ con la relación señal-ruido

$$\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt}} = \sqrt{Rt} ;$$

crece como la raíz cuadrada del tiempo de exposición, y con el diámetro del telescopio (ya que $R \propto D^2$). El error en la magnitud es entonces $\sigma_m \approx 1.086/\mathrm{SNR}$.

Para medir una magnitud con un error de $0.01$ hace falta una relación señal-ruido de unos 109, es decir, unos $12\,000$ fotoelectrones. Para las fuentes débiles intervienen otros dos términos. El propio cielo brilla, y cada píxel de la imagen de la estrella recoge también fotones del cielo, a un ritmo $B$; y el amplificador añade un ruido de lectura $\sigma_r$ a cada píxel leído. La expresión completa,

sobre los $n$ píxeles de la imagen, se reduce a $\sqrt{Rt}$ para una estrella brillante y a $R\sqrt t/\sqrt B$ para una fuente más débil que el cielo. Como $B$ crece con el área del disco de seeing, un buen seeing rinde doble: una imagen más nítida separa más y recoge menos cielo (Ejercicio 2.11).

Sobre el terreno — Una noche en el telescopio

La fotometría se hace con calibraciones tanto como con estrellas. Antes de la noche, un observador de un observatorio profesional toma imágenes de bias (exposiciones de duración cero, que registran el desfase electrónico de cada píxel) y campos planos (imágenes del interior uniformemente iluminado de la cúpula o del cielo del crepúsculo, que cartografían cómo varía la sensibilidad de un píxel a otro y a lo ancho del campo); las imágenes científicas se corrigen restando el bias y dividiendo por el campo plano. Durante la noche se observan estrellas patrón de magnitud conocida a varias masas de aire, para fijar la recta de extinción y el punto cero que convierte los recuentos en magnitudes. Una noche se llama fotométrica cuando la extinción se mantiene lo bastante estable para que esta corrección valga; en la cima del Mauna Kea, el $55\,\%$ de las noches son fotométricas.

2.4 Flujos y magnitudes

Definición 2.10 (Flujo, luminosidad)

El flujo $F$ que recibimos de una fuente es la potencia de su radiación que atraviesa una unidad de área colocada perpendicularmente a su dirección, en vatios por metro cuadrado; restringido a una banda de longitudes de onda, es el flujo en esa banda. La luminosidad $L$ de la fuente es la potencia total que radia, en vatios.

Proposición 2.11 (Ley de la inversa del cuadrado)

Una fuente de luminosidad $L$ que radia por igual en todas las direcciones, vista a una distancia $d$ a través del espacio vacío, da el flujo

$$F = \frac{L}{4\pi d^2} .$$

Ejemplo 2.12

El flujo de la luminosidad del Sol, de $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, a una unidad astronómica, $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, es $3.828 \times 10^{26}/(4\pi\times (1.496 \times 10^{11})^2) = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: la irradiancia solar que recibe la Tierra en el alto de su atmósfera.

Los flujos abarcan un rango enorme, y los astrónomos los comparan en una escala logarítmica heredada de las clases en que se ordenaban las estrellas visibles a simple vista: las más brillantes, de primera magnitud, y las más débiles, de sexta.

Definición 2.13 (Magnitud aparente, banda fotométrica)

Una banda fotométrica es una franja de longitudes de onda seleccionada por un filtro estándar y designada por una letra: U (ultravioleta), B (azul), V (visual), R (rojo), I (infrarrojo cercano), y J, H, K en las ventanas infrarrojas. La magnitud aparente $m$ de una fuente en una banda se define a partir de su flujo $F$ en esa banda mediante

$$m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\frac{F_1}{F_2} ,$$

con el punto cero fijado por estrellas patrón, cercano a la magnitud de la estrella Vega en cada banda. Una diferencia de 5 magnitudes equivale a un factor de exactamente 100 en el flujo; una magnitud equivale a un factor $100^{1/5} = 2.512$. Las fuentes más brillantes tienen magnitudes más pequeñas, y posiblemente negativas.

Las longitudes de onda centrales de los filtros estándar U, B, V, R e I son $358.5\,\mathrm{nm}$, $437.1\,\mathrm{nm}$, $547.8\,\mathrm{nm}$, $650.4\,\mathrm{nm}$ y $802.0\,\mathrm{nm}$.

En la banda V, el Sol tiene una magnitud aparente de $-26.74$, Sirio, la estrella más brillante del cielo nocturno, $-1.46$, y Vega $0.03$. El Sol es, pues, $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 1.29 \times 10^{10}$ veces más brillante que Sirio en nuestro cielo; eso no dice todavía cuál de las dos brilla más de verdad, para lo cual hacen falta las distancias.

Paralaje y parsec

A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, una estrella cercana parece desplazarse frente a las estrellas de fondo, mucho más lejanas, describiendo en un año una pequeña elipse. Ese movimiento aparente es la medida más directa de las distancias estelares: usa la órbita terrestre como base de triangulación de un agrimensor.

Definición 2.14 (Paralaje anual, parsec)

La paralaje anual $p$ de una estrella es el ángulo que subtiende en la estrella el radio de la órbita terrestre, una unidad astronómica, visto perpendicularmente a la visual; es el semieje mayor de la elipse anual que parece describir la estrella. El parsec ($\mathrm{pc}$) es la distancia a la que una unidad astronómica subtiende un segundo de arco:

$$1\,\mathrm{pc} = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan1{}^{\prime\prime}} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly} .$$

Como $p$ es muy pequeño, $\tan p \approx p$ en radianes, y la distancia se obtiene de inmediato:

La paralaje de Sirio es $0.379\,21{}^{\prime\prime}$, así que se encuentra a $1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$, es decir, $8.60\,\mathrm{ly}$. Incluso las estrellas más cercanas tienen paralajes inferiores a un segundo de arco, más pequeñas que el seeing: la paralaje se halla a partir del desplazamiento del centro de la imagen de la estrella, que muchos fotones localizan con una precisión mucho mayor que la anchura de la imagen. Una misión espacial descrita al final de este capítulo ha medido de este modo las posiciones de casi dos mil millones de objetos.

Definición 2.15 (Magnitud absoluta, módulo de distancia)

La magnitud absoluta $M$ de una estrella en una banda es la magnitud aparente que tendría a la distancia de $10\,\mathrm{pc}$, vista a través del espacio vacío. La diferencia $m - M$ es su módulo de distancia.

Proposición 2.16 (El módulo de distancia)

Para una estrella a la distancia $d$ vista a través del espacio vacío,

$$m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} .$$

Si la luz se atenúa en su camino por $A$ magnitudes de extinción, $m - M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) + A$. En una banda, el cociente de las luminosidades de dos estrellas es $L_1/L_2 = 10^{0.4(M_2 - M_1)}$.

El Sol tiene una magnitud absoluta $M_\odot = 4.83$ y una luminosidad de $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. Comparando la magnitud absoluta de una estrella en V con la del Sol se obtiene su luminosidad en V en unidades solares, $L/L_\odot = 10^{0.4(4.83 - M)}$ — una luminosidad en la banda V, ya que una estrella mucho más caliente o más fría que el Sol emite otra parte de su potencia fuera de la banda V.

Color

Definición 2.17 (Índice de color)

El índice de color de una estrella es la diferencia de sus magnitudes en dos bandas, primero la más azul; el más usado es $B - V$. Un $B - V$ pequeño o negativo indica una estrella azul, y uno grande, una estrella roja.

El índice de color no depende de la distancia, pues la ley de la inversa del cuadrado atenúa ambas bandas por igual; mide la forma del espectro y, con ella, la temperatura de la superficie de la estrella. Una estrella radia más o menos como un cuerpo negro cuyo espectro tiene el máximo en $\lambda_\mathrm{max} = b/T$ (ley de Wien, con $b = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, que se toma del libro de física de segundo año). La figura siguiente dibuja tres espectros de cuerpo negro: un cuerpo frío a $3500\,\mathrm{K}$ tiene el máximo en el infrarrojo cercano y da más flujo en V que en B; la temperatura efectiva del Sol, $5772\,\mathrm{K}$, sitúa su máximo en $502\,\mathrm{nm}$, entre B y V; un cuerpo a $10\,000\,\mathrm{K}$ tiene el máximo en el ultravioleta y es más brillante en B que en V. El cociente entre las radiancias en B y en V crece de forma constante con la temperatura, de $0.46$ a $0.97$ y $1.53$ en las tres curvas, y por eso $B - V$ disminuye al aumentar $T$.

Cuatro estrellas brillantes muestran la gama de colores:

Rigel es blanca azulada y Betelgeuse, en la misma constelación, naranja rojiza: una diferencia de color visible a simple vista. Sus tipos espectrales, B8 y M1–M2, dicen lo mismo en el lenguaje de los espectros, tema del libro 5, tercer año.

2.5 Espectrógrafos

La fotometría mide la luz en unas pocas bandas anchas; un espectrógrafo la extiende en un espectro. La luz del foco del telescopio atraviesa una rendija estrecha, se hace paralela con un colimador, se dispersa en una red de difracción (o en un prisma) y una cámara la enfoca sobre el detector, donde cada longitud de onda cae en una columna distinta de píxeles (véase la figura siguiente). Una red con $N$ líneas iluminadas, usada en el orden $k$, separa dos longitudes de onda separadas $\Delta\lambda$ cuando $\lambda/\Delta\lambda \le kN$: es su poder resolutor (recordado del libro de física de segundo año).

Un espectro lleva tres clases de información. Sus líneas, oscuras donde los átomos y iones de la atmósfera de la estrella absorben, brillantes donde un gas caliente y tenue emite, identifican los elementos químicos presentes. La forma de su continuo, y las intensidades relativas de las líneas formadas a distintas temperaturas, dan la temperatura del gas. Y el desplazamiento Doppler de las líneas da la velocidad a lo largo de la visual: una línea de longitud de onda en reposo $\lambda$ se desplaza en $\Delta\lambda = \lambda v_r/c$ para una velocidad radial $v_r$ mucho menor que $c$. Medir $v_r$ con una precisión de $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ exige un poder resolutor del orden de $c/v_r = 300\,000$, o un poder resolutor moderado y muchas líneas medidas en conjunto. Cómo los espectros revelan la estructura, la composición y los movimientos de estrellas y galaxias es el tema del libro 5, tercer año.

2.6 Observación desde el espacio

Por encima de la atmósfera no hay ventanas cerradas, ni extinción, ni seeing, y en el infrarrojo no hay resplandor del aire caliente. Los telescopios espaciales pagan esto con coste, con la masa y el tamaño limitados que puede lanzar un cohete y, en la mayoría de los casos, con la imposibilidad de repararlos. Se usan donde el suelo no puede competir: para los rayos gamma, los rayos X y la luz ultravioleta, que nunca llegan al suelo; para el infrarrojo más allá de las ventanas estrechas; para imágenes en el límite de difracción sobre un campo amplio; y para medidas, como las paralajes de muchísimas estrellas, que necesitan un instrumento estable fuera del aire turbulento.

Datos de 2026

Tres observatorios espaciales muestran la gama. El Telescopio Espacial Hubble, lanzado en 1990, tiene un espejo primario de $2.4\,\mathrm{m}$ de diámetro. El Telescopio Espacial James Webb, lanzado el 25 de diciembre de 2021, tiene un espejo primario de $6.5\,\mathrm{m}$ formado por 18 segmentos hexagonales, con un área colectora de $25\,\mathrm{m}^{2}$; trabaja desde $0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ hasta $28.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y orbita el Sol cerca del segundo punto de Lagrange, L2, a $1.5$ millones de kilómetros de la Tierra, en el lado opuesto al Sol. Gaia, lanzado el 19 de diciembre de 2013 a la misma región, usó dos telescopios sobre un plano focal común de CCD para cartografiar las posiciones y los movimientos de casi dos mil millones de objetos en tres dimensiones; sus observaciones han terminado y sus catálogos se están publicando.

2.7 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

Calcúlese el cociente de los flujos de dos estrellas de magnitudes 1.0 y 6.0. ¿Y el de Rigel ($V = 0.13$) y Polaris ($V = 2.02$)? ¿Cuál brilla más en el cielo?

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

Una diferencia de 5 magnitudes equivale a un factor de 100: la estrella de magnitud 1.0 envía 100 veces más flujo. Rigel y Polaris: $10^{0.4\times(2.02 - 0.13)} = 10^{0.756} = 5.70$; Rigel, con la magnitud menor, es la más brillante.

Ejercicio 2.2 ★

La paralaje de Altair es $0.194\,95{}^{\prime\prime}$. Dése su distancia en parsecs, en unidades astronómicas y en años luz.

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

$d = 1/0.19495 = 5.13\,\mathrm{pc}$, es decir, $5.1295\times206265 = 1.058 \times 10^{6}\,\mathrm{au}$ y $5.1295\times3.2616 = 16.7\,\mathrm{ly}$.

Ejercicio 2.3 ★

Calcúlese el límite de difracción de un telescopio espacial de $2.4\,\mathrm{m}$ a $550\,\mathrm{nm}$, en segundos de arco, y compárese con un seeing de $0.40{}^{\prime\prime}$. Repítase para un telescopio de $6.5\,\mathrm{m}$ a $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

$1.22\times550 \times 10^{-9}/2.4 = 2.80 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.058{}^{\prime\prime}$, unas siete veces más fino que un seeing de $0.40{}^{\prime\prime}$: en el espacio el telescopio alcanza su límite de difracción. Para $6.5\,\mathrm{m}$ a $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: $1.22\times2.0 \times 10^{-6}/6.5 = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.077{}^{\prime\prime}$.

Ejercicio 2.4 ★

A partir de la tabla de las cuatro estrellas brillantes, ordénense Rigel, Altair, Polaris y Betelgeuse de la superficie más caliente a la más fría. ¿Por qué puede compararse el índice de color entre estrellas a distancias muy diferentes?

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

$B - V$ sube de Rigel ($-0.03$) a Altair (0.22), Polaris (0.60) y Betelgeuse (1.85): la más caliente es Rigel, luego Altair, Polaris y Betelgeuse. La distancia atenúa ambas bandas por el mismo factor, así que $B - V$ no cambia por ella (mientras no haya polvo que enrojezca la luz en el camino).

Ejercicio 2.5 ★★

Una estrella se mide con magnitud 6.412 a la distancia cenital $30{}^{\circ}$ y con 6.590 a $60{}^{\circ}$ la misma noche. Suponiendo una atmósfera plano-paralela, calcúlense las dos masas de aire, el coeficiente de extinción y la magnitud de la estrella por encima de la atmósfera.

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

$X_1 = \sec30{}^{\circ} = 1.1547$, $X_2 = \sec60{}^{\circ} = 2.0000$. $k = (6.590 - 6.412)/(2.0000 - 1.1547) = 0.178/0.8453 = 0.211$ por masa de aire, y $m_0 = 6.412 - 0.2106\times1.1547 = 6.169$.

Ejercicio 2.6 ★★

Una estrella da 400 fotoelectrones en una exposición de $10\,\mathrm{s}$, y domina el ruido de fotones de la propia estrella. ¿Cuál es la relación señal-ruido? ¿Cuánto hay que exponer para alcanzar una relación señal-ruido de 100? ¿Y para medir la magnitud con un error de $0.01$?

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

$\mathrm{SNR} = \sqrt{400} = 20$. La relación señal-ruido crece como $\sqrt t$: para 100, $t = 10\,\mathrm{s}\times(100/20)^2 = 250\,\mathrm{s}$. Un error de $0.01$ en la magnitud exige $\mathrm{SNR} = 1.086/0.01 = 108.6$, así que $t = 10\times(108.6/20)^2 = 295\,\mathrm{s}$.

Ejercicio 2.7 ★★

Rigel tiene $V = 0.13$ y una paralaje de $0.003\,78{}^{\prime\prime}$. Despreciando la extinción entre ella y nosotros, calcúlese su distancia, su magnitud absoluta y su luminosidad en V en unidades solares ($M_\odot = 4.83$).

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

La distancia es $d = 1/0.00378 = 264.6\,\mathrm{pc}$, y la magnitud absoluta $M = 0.13 - 5\log_{10}26.46 = 0.13 - 7.11 = -6.98$. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 + 6.98)} = 10^{4.724} = 5.3 \times 10^{4}$ en V.

Ejercicio 2.8 ★★

Compárense las áreas colectoras de un espejo circular de $2.4\,\mathrm{m}$ (sin tener en cuenta su obstrucción central) y del telescopio Webb ($25\,\mathrm{m}^{2}$). ¿Cuánto más corta es la exposición en la que el telescopio Webb recoge el mismo número de fotones? ¿Qué fracción de un disco completo de $6.5\,\mathrm{m}$ de diámetro representa su área colectora, y por qué es menor que uno?

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

$\pi\times1.2^2 = 4.52\,\mathrm{m}^{2}$, y $25/4.52 = 5.5$: el telescopio Webb recoge el mismo número de fotones en una exposición 5.5 veces más corta. Un disco completo de $6.5\,\mathrm{m}$ de diámetro tendría $\pi\times3.25^2 = 33.2\,\mathrm{m}^{2}$; el espejo real tiene $25/33.2 = 75\,\%$ de él, porque 18 hexágonos dejan sin cubrir el borde de ese disco, y los huecos entre segmentos y la abertura central no recogen nada.

Ejercicio 2.9 ★★

(a) A partir de la luminosidad del Sol, $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calcúlese su flujo a $10\,\mathrm{pc}$. (b) Las magnitudes aparente y absoluta del Sol son $-26.74$ y $4.83$. Úsese el módulo de distancia para recuperar la distancia Sol–Tierra, en unidades astronómicas.

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

(a) $10\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{17}\,\mathrm{m}$, y $F = 3.828 \times 10^{26}/(4\pi \times(3.0857 \times 10^{17})^2) = 3.828 \times 10^{26}/1.1965 \times 10^{36} = 3.20 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $1361/3.20 \times 10^{-10} = 4.3 \times 10^{12}$ veces menos que en la Tierra. (b) $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = -26.74 - 4.83 = -31.57$, así que $d = 10\,\mathrm{pc}\times10^{-6.314} = 4.853 \times 10^{-6}\,\mathrm{pc}$, es decir, $4.853 \times 10^{-6}\times206265 = 1.001\,\mathrm{au}$.

Ejercicio 2.10 ★★★

Demuéstrese a partir de Proposición 2.2 que $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0$. Para la noche de la recta de extinción ($k = 0.160$), calcúlese la profundidad óptica en el cenit $\tau_0$ y la fracción de la luz que llega al telescopio en el cenit y a $X = 2.31$. ¿Qué predice una atmósfera plano-paralela para la masa de aire a una distancia cenital de $85{}^{\circ}$, y por qué no debe confiarse en ese valor?

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

Por encima de la atmósfera el flujo es $F_0$; por debajo, $F = F_0e^{-\tau_0X}$. Entonces $m - m_0 = -2.5\log_{10}(F/F_0) = 2.5\log_{10}e\;\tau_0X$, que es $kX$ con $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0 = 1.0857\,\tau_0$. Para $k = 0.160$: $\tau_0 = 0.160/1.0857 = 0.147$. En el cenit llega $e^{-0.147} = 0.863$ de la luz, el $86\,\%$; a $X = 2.31$, $e^{-0.147\times2.31} = e^{-0.340} = 0.712$, el $71\,\%$. A $z = 85{}^{\circ}$, $\sec z = 11.5$; pero el modelo plano-paralelo hace infinito el camino en el horizonte, mientras que el camino a través de una atmósfera curva sigue siendo finito, y además la refracción curva el rayo: cerca del horizonte la fórmula sobrestima la masa de aire y sus errores crecen deprisa.

Ejercicio 2.11 ★★★

Una galaxia débil da $R = 50$ fotoelectrones por segundo en un telescopio, y el cielo en el área de su imagen da $B = 2000$ por segundo cuando el seeing es $0.80{}^{\prime\prime}$. El ruido de lectura es despreciable. (a) ¿Cuánto hay que exponer para una relación señal-ruido de 10? (b) El cielo en la imagen crece con el área del disco de seeing. Repítase para un seeing de $0.40{}^{\prime\prime}$. (c) Demuéstrese que, para una fuente mucho más débil que el cielo, el tiempo de exposición necesario para una relación señal-ruido dada varía como $\theta^2/D^2$, donde $\theta$ es el seeing y $D$ el diámetro del telescopio.

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

(a) $\mathrm{SNR} = Rt/\sqrt{(R + B)t}$, así que $t = \mathrm{SNR}^2(R + B)/R^2 = 100\times2050/2500 = 82\,\mathrm{s}$. (b) Reducir a la mitad el seeing divide el área de la imagen, y con ella $B$, por 4: $B = 500$ y $t = 100\times550/2500 = 22\,\mathrm{s}$. (c) Para $B \gg R$, $t \approx \mathrm{SNR}^2B/R^2$. La tasa de la fuente $R$ crece como $D^2$; la tasa del cielo $B$ crece como el área colectora $D^2$ por el área del cielo en la imagen, $\theta^2$. Por tanto, $t \propto \theta^2D^2/D^4 = \theta^2/D^2$: reducir a la mitad el seeing vale tanto como duplicar el diámetro.

Ejercicio 2.12 ★★★

Una red de 1200 líneas por milímetro se ilumina sobre $100\,\mathrm{mm}$ y se usa en el primer orden. (a) ¿Cuál es su poder resolutor, y cuál es la menor diferencia de longitud de onda separable a $550\,\mathrm{nm}$? (b) ¿A qué velocidad radial corresponde esa diferencia? (c) La Tierra se mueve alrededor del Sol a $29.78\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. ¿En cuánto puede desplazar ese movimiento una línea a $550\,\mathrm{nm}$, y cuántos elementos de resolución son? ¿Qué debe hacer, por tanto, un observador que mide la velocidad de una estrella?

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

(a) $N = 1200\times100 = 120\,000$ líneas; en el primer orden el poder resolutor es $1.2 \times 10^{5}$, y $\Delta\lambda = 550/(1.2 \times 10^{5}) = 4.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$. (b) $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = c/(1.2 \times 10^{5}) = 2.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\Delta\lambda = 550\times29.78/299\,792 = 0.055\,\mathrm{nm}$, unos 12 elementos de resolución. El observador debe calcular, para la fecha y la hora de la observación, la componente de la velocidad orbital de la Tierra hacia la estrella, y restarla, para obtener la velocidad de la estrella respecto del Sol.

2.8 Problema: pesar la luz de Sirio

Problema 2.1

Problema de fin de semana — a qué distancia está Sirio, cuánto brilla y cuántos fotones envía, y cuántos soles supera en brillo

Sirio, la estrella más brillante del cielo nocturno, tiene una compañera débil, la enana blanca Sirio B. Utilícense los datos:

objeto	$V$	paralaje
Sirio	$-1.46$	$0.379\,21{}^{\prime\prime}$
Sirio B	$8.44$	—
Vega	$0.03$	$0.130\,23{}^{\prime\prime}$
el Sol	$-26.74$	—

con $M_\odot = 4.83$ en V, $1\,\mathrm{pc} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly}$, y un coeficiente de extinción $k = 0.15$ por masa de aire en el observatorio.

Parte I — ¿A qué distancia está Sirio?

1. Calcúlese la distancia de Sirio en parsecs.
2. Exprésese en unidades astronómicas y en metros.
3. Exprésese en años luz. ¿Cuánto tiempo hace que la luz que vemos esta noche salió de Sirio?
4. En el transcurso de un año, ¿qué ángulo total recorre la dirección de Sirio de un lado a otro? Compárese con un seeing de $0.40{}^{\prime\prime}$. ¿Por qué puede medirse aún el balanceo hasta una pequeña fracción del seeing?
5. Si la paralaje estuviera equivocada en $0.001{}^{\prime\prime}$, ¿en qué fracción sería errónea la distancia, y en cuántos años luz?

Parte II — ¿Cuánto brilla?

6. Calcúlese el cociente de los flujos de Sirio y de Vega en V.
7. Calcúlese el cociente de los flujos del Sol y de Sirio.
8. Calcúlese el cociente de los flujos de Sirio y de Sirio B.
9. Desde el Observatorio de Paranal, Sirio cruza el meridiano a una altura de $82.09{}^{\circ}$ (Capítulo 1). Calcúlense la masa de aire, la extinción y la magnitud medida en ese momento.
10. Repítase a una altura de $30{}^{\circ}$. ¿Qué fracción de la luz se pierde en el camino?
11. ¿Por qué la fórmula $X = \sec z$ induciría a error a un observador que mide Sirio justo después de salir?

Parte III — Contar fotones. Una cámara en un telescopio de $1\,\mathrm{m}$ registra $3.0 \times 10^{4}$ fotoelectrones por segundo de una estrella de magnitud $V = 10.0$, una vez corregida la extinción. Cada píxel guarda como máximo $1.0 \times 10^{5}$ electrones (su pozo lleno).

12. ¿Cuántos fotoelectrones por segundo registra la cámara de Sirio B?
13. ¿Cuánto debe durar una exposición para que Sirio B tenga una relación señal-ruido de 1000, con ruido de fotones solo de la estrella? ¿Cuál es entonces el error en su magnitud?
14. ¿Cuántos fotoelectrones por segundo registra la cámara de Sirio?
15. Si el $20\,\%$ de la luz de Sirio cae en su píxel más brillante, ¿cuánto tarda en llenarse ese píxel?
16. En la imagen, las alas débiles de la imagen de Sirio depositan, en el lugar de Sirio B, $10^{-4}$ de la luz de Sirio por píxel, y el píxel más brillante de Sirio B recoge el $20\,\%$ de su propia luz. Compárense las dos tasas en ese píxel.
17. ¿Cuál es la exposición más larga que no satura ese píxel? Calcúlese la relación señal-ruido de Sirio B en ese píxel en una exposición de $0.5\,\mathrm{s}$, contando el ruido de fotones de ambas fuentes. ¿Es detectable Sirio B, y qué lo hace difícil?

Parte IV — ¿Cuántos soles?

18. Calcúlese el módulo de distancia de Sirio.
19. Dedúzcase la magnitud absoluta de Sirio en V, con dos decimales.
20. Calcúlese la distancia y la magnitud absoluta de Vega.
21. ¿Cuál de Sirio y de Vega es intrínsecamente más luminosa en V, y en qué factor?
22. ¿Cuál sería la magnitud aparente del Sol visto desde la distancia de Sirio? Tomando 6.0 como la magnitud más débil visible a simple vista en una noche oscura, ¿sería visible?
23. ¿Hasta qué distancia seguiría siendo visible Sirio a simple vista?
24. Calcúlese la luminosidad de Sirio en V en unidades solares: ¿cuántos soles supera Sirio en brillo?

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $d = 1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$.

2. $2.637\times206265 = 5.44 \times 10^{5}\,\mathrm{au}$; $2.637\times3.0857 \times 10^{16} = 8.14 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$.

3. $2.637\times3.2616 = 8.60\,\mathrm{ly}$: la luz salió de Sirio hace 8.6 años.

4. La dirección oscila $2p = 0.758{}^{\prime\prime}$, unas dos veces el seeing. La oscilación se mide a partir de la posición del centro de la imagen, no de su borde: promediado sobre muchos fotones, el centro se halla con una fracción pequeña de la anchura de la imagen, tanto más precisamente cuantos más fotones se cuenten.

5. $\Delta d/d = \Delta p/p = 0.001/0.37921 = 0.26\,\%$, es decir, $8.60\times0.0026 = 0.023\,\mathrm{ly}$.

6. $10^{0.4\times(0.03 + 1.46)} = 10^{0.596} = 3.94$.

7. $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 10^{10.112} = 1.29 \times 10^{10}$.

8. $10^{0.4\times(8.44 + 1.46)} = 10^{3.96} = 9120$.

9. $z = 90{}^{\circ} - 82.09{}^{\circ} = 7.91{}^{\circ}$, $X = \sec7.91{}^{\circ} = 1.0096$; extinción $0.15\times1.0096 = 0.151$ magnitudes; medida $m = -1.46 + 0.151 = -1.31$.

10. $z = 60{}^{\circ}$, $X = 2.000$; extinción de 0.30 magnitudes, $m = -1.16$. La fracción transmitida es $10^{-0.4\times0.30} = 0.759$: $24\,\%$ de la luz se pierde.

11. Al salir $z = 90{}^{\circ}$ y $\sec z$ es infinito, mientras que el camino real a través de la atmósfera curva es largo pero finito; la refracción además curva el rayo. Cerca del horizonte la extinción es grande y cambia deprisa, y la corrección plano-paralela es incorrecta.

12. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 - 8.44)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{0.624} = 3.0 \times 10^{4}\times4.21 = 1.26 \times 10^{5}$ fotoelectrones por segundo.

13. Una relación señal-ruido de 1000 exige $N = 1000^2 = 1.0 \times 10^{6}$ fotoelectrones: $t = 1.0 \times 10^{6}/1.26 \times 10^{5} = 7.9\,\mathrm{s}$. El error en la magnitud es $1.086/1000 = 0.0011$.

14. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 + 1.46)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{4.584} = 1.15 \times 10^{9}$ fotoelectrones por segundo.

15. $0.20\times1.15 \times 10^{9} = 2.30 \times 10^{8}$ por segundo en el píxel más brillante, que se llena en $1.0 \times 10^{5}/2.30 \times 10^{8} = 4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, menos de medio milisegundo.

16. Las alas de Sirio dan $1.15 \times 10^{9}\times10^{-4} = 1.15 \times 10^{5}$ por segundo; Sirio B da $0.20\times1.26 \times 10^{5} = 2.52 \times 10^{4}$ por segundo. El resplandor de Sirio es 4.6 veces más brillante que el pico de Sirio B.

17. El píxel recibe $1.15 \times 10^{5} + 2.52 \times 10^{4} = 1.40 \times 10^{5}$ por segundo y se llena en $1.0 \times 10^{5}/1.40 \times 10^{5} = 0.71\,\mathrm{s}$. En $0.5\,\mathrm{s}$: señal $2.52 \times 10^{4}\times0.5 = 1.26 \times 10^{4}$, total $7.01 \times 10^{4}$, ruido $\sqrt{7.01 \times 10^{4}} = 265$, así que $\mathrm{SNR} = 1.26 \times 10^{4}/265 = 48$. Sirio B es detectable en lo que respecta al ruido de fotones; lo que lo hace difícil es que el resplandor debe conocerse y restarse con una precisión muy superior a una quinta parte de su valor, mientras que el núcleo de Sirio se satura en menos de un milisegundo.

18. $m - M = 5\log_{10}(2.637/10) = 5\times(-0.579) = -2.89$.

19. $M = -1.46 + 2.89 = 1.43$.

20. $d = 1/0.13023 = 7.679\,\mathrm{pc}$; $m - M = 5\log_{10}0.7679 = -0.57$, así que $M = 0.03 + 0.57 = 0.60$.

21. Vega, con la magnitud absoluta menor, por el factor $10^{0.4\times(1.43 - 0.60)} = 10^{0.332} = 2.15$. Sirio parece más brillante solo porque está más cerca.

22. $m = M_\odot + (m - M) = 4.83 - 2.89 = 1.94$: el Sol sería una estrella bastante brillante a simple vista.

23. $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = 6.0 - 1.43 = 4.57$, así que $d = 10\times10^{0.914} = 82.0\,\mathrm{pc}$, unos $267\,\mathrm{ly}$.

24. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 - 1.43)} = 10^{1.36} = 22.9$: en la banda V, Sirio supera en brillo a unos 23 soles.