6Métodos de campo y de laboratorio I

Un geólogo que cartografía las colinas de Varden lleva poco equipo: una libreta, un lápiz, un receptor de satélite, una brújula-clinómetro, una lupa de mano y unas cuantas bolsas de muestras. Con ellos fija dónde está, mide la actitud de los estratos, nombra las rocas y trae las muestras que el laboratorio cortará, pulirá y observará al microscopio. Cada número de los capítulos anteriores —una actitud en un mapa, un buzamiento en un corte— empezó como una lectura de este tipo, con su propio error. Este capítulo describe cómo los profesionales hacen estas observaciones, y cómo se promedian las lecturas repetidas y su dispersión se convierte en una incertidumbre. Termina con una temporada de lecturas en el flanco oriental del anticlinal de Varden.

Lo que ya sabes

La actitud de un plano se escribe dirección de buzamiento/buzamiento, como $081/12$, o como un rumbo según la regla de la mano derecha con un buzamiento (Capítulo 4). La declinación magnética es el ángulo entre el norte geográfico y la dirección en la que apunta la aguja de una brújula (física, año 11). Los minerales se reconocen en la mano por su brillo, su exfoliación, su dureza y su color (libro 2, año 11). La media y la desviación típica de un conjunto de números resumen su centro y su dispersión (matemáticas).

6.1 El cuaderno y el mapa

Definición 6.1 (Estación de campo, cuaderno de campo)

Una estación de campo es un lugar numerado donde un geólogo hace y anota observaciones: su posición, las rocas vistas, su actitud y las muestras tomadas. El cuaderno de campo es el registro encuadernado de las estaciones, en el orden en que se visitaron, con sus números, croquis y medidas, escritos en el acto.

El cuaderno es el registro primario: lo que no se anota en la estación se pierde, y un mapa dibujado por la tarde vale solo lo que valen las notas en que se basa. Cada estación tiene un número que aparece en el mapa de campo, en el cuaderno y en cada bolsa de muestra tomada allí. Un croquis muestra lo que una lista de números no puede —cómo se encuentran dos unidades, hacia dónde están las capas más jóvenes, dónde se tomó una lectura en una superficie plegada— y registra su escala y su orientación. Los hechos y las interpretaciones se mantienen separados: “caliza sobre lutita, contacto neto” es una observación; “discordancia” es una inferencia, y se escribe como tal.

Sobre el terreno — Un día de cartografía

Un geólogo que cartografía plantea una travesía transversal al rumbo, de modo que encuentre cada unidad a su vez, y se detiene allí donde aparece un contacto, un cambio de roca o una superficie medible. En cada estación escribe el número y la posición, dibuja lo que ve, mide actitudes y anota las muestras. Las posiciones proceden de un receptor de satélite: un receptor corriente, como el de un teléfono inteligente, tiene normalmente una precisión de unos $4.9\,\mathrm{m}$ con cielo despejado, peor junto a acantilados y árboles, mientras que los receptores de topografía que usan dos frecuencias o servicios de corrección llegan a unos pocos centímetros. A una escala de mapa de 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ son medio milímetro: un receptor corriente basta para cartografiar, pero no para medir el lento movimiento del terreno (Capítulo 12).

6.2 Medir orientaciones

La actitud de un plano —un estrato, una falla, una diaclasa— se mide con una brújula-clinómetro: una brújula magnética para leer acimutes, y una plomada o un nivel para leer ángulos respecto de la horizontal. Su borde se apoya según el rumbo de la superficie para leer el rumbo, o el instrumento se coloca sobre la superficie según su línea de máxima pendiente para leer el buzamiento y, a partir del acimut de esa línea, la dirección de buzamiento.

Una recta —un eje de pliegue, una estría sobre una superficie de falla, el eje largo de los cantos rodados— tiene una orientación propia.

Definición 6.2 (Dirección e inmersión)

La dirección de una recta es el acimut de su proyección horizontal, medido hacia el extremo de la recta que apunta hacia abajo. Su inmersión es el ángulo entre la recta y la horizontal, medido en el plano vertical que la contiene. Una recta con inmersión de $20{}^{\circ}$ hacia $015{}^{\circ}$ se escribe $20\to015$.

Una recta de dirección $t$ e inmersión $p$ tiene, en las componentes este, norte y arriba, el vector unitario hacia abajo $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$; una recta contenida en un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$ se hunde con el buzamiento aparente de ese plano en el plano vertical de acimut $t$, así que $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ (Teorema 5.4).

6.2.1 La declinación magnética

Una aguja de brújula apunta al norte magnético, no al norte geográfico; el ángulo entre ambos es la declinación magnética, que se cuenta positiva cuando el norte magnético está al este del norte geográfico. Los mapas y las actitudes de este libro usan acimutes geográficos.

Método 6.3 (Corrección del acimut de una brújula)

1. Búsquese la declinación magnética $D$ para el lugar y la fecha, en un modelo del campo terrestre (positiva al este, negativa al oeste).
2. Súmese a cada acimut leído en la brújula: acimut geográfico $=$ acimut magnético $+ D$, módulo $360{}^{\circ}$.
3. No se corrijan los buzamientos ni las inmersiones: se miden respecto de la horizontal, con la gravedad, no con la aguja.

La mayoría de las brújulas de campo pueden ajustarse para sumar $D$ mecánicamente; el ajuste, y el año para el que se hizo, se anotan en el cuaderno.

Datos de 2026

El 1 de enero de 2026, el Modelo Magnético Mundial (versión 2025) da la declinación magnética como $-0.47{}^{\circ}$ (oeste) en Edimburgo, con una variación de $+0.20{}^{\circ}$ por año; $-11.28{}^{\circ}$ en Reikiavik, con una variación de $+0.30{}^{\circ}$ por año; $+14.20{}^{\circ}$ (este) en Anchorage, con una variación de $-0.28{}^{\circ}$ por año; y $+23.23{}^{\circ}$ en Wellington. Un geólogo que olvidara la corrección en Wellington desplazaría cada acimut en más de $23{}^{\circ}$; uno que reutilizara un ajuste de Edimburgo de diez años antes arrastraría un error de unos $2{}^{\circ}$.

6.2.2 Lecturas repetidas

Una sola lectura de un plano de estratificación lleva errores: la superficie nunca es un plano perfecto, el instrumento no está perfectamente colocado y la lectura se redondea al grado. Por eso el geólogo mide varias veces la misma superficie, o varias superficies del mismo flanco, y promedia. Promediar acimutes requiere cuidado: las lecturas $355{}^{\circ}$ y $005{}^{\circ}$ describen direcciones separadas $10{}^{\circ}$, pero su media aritmética, $180{}^{\circ}$, apunta en sentido contrario. La media correcta trabaja con vectores.

Definición 6.4 (Orientación media (media vectorial))

Para un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$, sea

$$\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)$$

su normal unitaria hacia arriba, en componentes este, norte y arriba. La orientación media (o media vectorial) de $N$ lecturas de normales $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ es el plano cuya normal es $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$, donde $\vec S = \sum_i \vec n_i$ es su resultante; $\bar R = \|\vec S\|/N$ es la longitud resultante media. El buzamiento medio y la dirección de buzamiento media son $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ y $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Que $\vec n$ es la normal se sigue de Capítulo 4: el plano $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ tiene la normal hacia arriba $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, cuya longitud es $1/\cos\delta$.

Proposición 6.5 (La media vectorial es la dirección más próxima)

Entre todos los vectores unitarios $\vec u$, la normal media $\vec m$ maximiza $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, donde $\theta_i(\vec u)$ es el ángulo entre $\vec n_i$ y $\vec u$; equivalentemente, minimiza $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Además

$$\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),$$

así que $0 < \bar R \le 1$, con $\bar R = 1$ solo si todas las lecturas coinciden, y, cuando la dispersión es pequeña, el ángulo cuadrático medio entre las lecturas y su media es

$$\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radianes)}.$$

¿Cómo mueven los errores de los dos ángulos a la normal? Derivando $\vec n$,

la primera tiene longitud 1, la segunda longitud $\sin\delta$, y las dos son perpendiculares. Pequeños errores $\Delta\delta$ y $\Delta\alpha$ hacen girar, por tanto, la normal el ángulo

Sobre un estrato de buzamiento suave, un error en la dirección de buzamiento apenas cambia el plano: en un estrato que buza $12{}^{\circ}$, un error de $3{}^{\circ}$ en la dirección de buzamiento hace girar el plano solo $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. Lo inverso es la dificultad del geólogo de campo: la dirección de buzamiento de un estrato suave está mal fijada por su plano, y pequeñas ondulaciones de la superficie la dispersan mucho. El error típico de la media de $N$ lecturas independientes, de desviación típica $s$, es $s/\sqrt N$ (matemáticas): para reducirlo a la mitad hacen falta cuatro veces más lecturas.

6.3 La lupa de mano y la identificación en el campo

La mayoría de las rocas se nombran en el campo, antes de cualquier trabajo de laboratorio, a partir de los minerales que muestra una lupa de mano y de la forma en que la roca se rompe. El geólogo mira una superficie fresca, pues la meteorización recubre y decolora la roca, y anota el tamaño de los granos (si se ven a simple vista, con la lupa o no se ven), sus formas, si encajan como un mosaico o están cementados como arena, y cualquier alineación. Los minerales se reconocen por las propiedades recordadas al principio del capítulo: el brillo vítreo y la ausencia de exfoliación del cuarzo, las dos exfoliaciones y la blancura mate del feldespato, las láminas de la mica, la exfoliación romboédrica de la calcita. La dureza se ensaya con una punta de acero: el cuarzo es más duro que el acero y la calcita, mucho más blanda.

Los profesionales llevan un pequeño frasco cuentagotas de ácido clorhídrico diluido: una roca carbonatada desprende burbujas de dióxido de carbono allí donde cae la gota (química). La calcita reacciona con vigor; la dolomita reacciona débilmente, salvo si está pulverizada. Los ácidos se manipulan con guantes y protección ocular, y nunca los maneja un lector de este libro: la descripción corresponde a la práctica profesional.

6.4 Muestras

Definición 6.6 (Muestra orientada)

Una muestra orientada es una muestra de roca en la que el geólogo ha marcado, antes de extraerla, la actitud de una de sus superficies (una línea de rumbo y una flecha de buzamiento, o la dirección de una recta), de modo que la muestra pueda volver a colocarse en su posición de campo en el laboratorio.

Una muestra solo es útil si es representativa de la unidad que representa —fresca, no meteorizada, no tomada de una vena ni de un bloque caído— y si su origen es seguro. Cada una recibe el número de estación y un número de muestra, escritos en la roca y en la bolsa, y se anota en el cuaderno con su posición, su unidad y la razón por la que se tomó. Las muestras destinadas a análisis químicos o isotópicos, cuyos resultados pueden publicarse décadas después, se siguen desde el campo hasta el laboratorio mediante un registro escrito de cada mano por la que pasan —una cadena de custodia—, de modo que no quede duda sobre qué roca dio qué número. Las muestras orientadas son necesarias siempre que importa la dirección de algo dentro de la roca: una alineación de minerales, una fábrica vista al microscopio o la dirección de la imantación que la roca adquirió al formarse.

6.5 Láminas delgadas y microscopio de polarización

Definición 6.7 (Lámina delgada)

Una lámina delgada es una rebanada de roca, pegada a un portaobjetos de vidrio y pulida hasta un espesor estándar de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, lo bastante fina para que la mayoría de los minerales dejen pasar la luz.

En el laboratorio — Preparación de una lámina delgada

En el laboratorio de preparación, un técnico corta un pequeño bloque de la muestra con una sierra de diamante, pule una cara perfectamente plana y la pega a un portaobjetos con una resina epoxi cuyo índice de refracción, de 1.54 a 1.55, es casi el del cuarzo. Después se corta la mayor parte del bloque y la rebanada se desbasta sobre un disco giratorio con abrasivos cada vez más finos, hasta que mide $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor. El técnico comprueba el espesor al microscopio por los colores que muestran los granos de cuarzo (Capítulo 8), y termina con un cubreobjetos fino o con una superficie pulida. Las rocas porosas o desmenuzables se empapan primero en resina para que se mantengan unidas.

La lámina delgada se estudia con un microscopio provisto de dos filtros de polarización. La polarización lineal es tema de la física: aquí basta con que un filtro de polarización solo deje pasar la luz que vibra en una dirección, y que dos filtros colocados en ángulo recto no dejen pasar nada.

Definición 6.8 (Microscopio de polarización, luz polarizada plana, nicoles cruzados)

Un microscopio de polarización es un microscopio de luz transmitida con un filtro de polarización (el polarizador) bajo una platina que gira $360{}^{\circ}$ frente a una escala graduada, y un segundo filtro de polarización (el analizador) entre el objetivo y el ocular, que puede moverse dentro o fuera del camino de la luz, con su dirección de vibración en ángulo recto con la del polarizador. Con el analizador fuera, la muestra se ve en luz polarizada plana; con el analizador dentro, se ve entre nicoles cruzados.

Entre nicoles cruzados, el vidrio del portaobjetos, la resina y cualquier mineral isótropo (uno cuyas propiedades ópticas son iguales en todas las direcciones, como los cristales cúbicos) permanecen negros cualquiera que sea la rotación de la platina. La mayoría de los minerales no son isótropos: cambian la polarización de la luz que los atraviesa, y aparecen con colores de interferencia que cambian al girar la platina y se extinguen cuatro veces en una vuelta completa. Por qué lo hacen, y cómo los colores y los ángulos identifican un mineral, es el tema de Capítulo 8. Los minerales en lámina delgada se examinan normalmente con aumentos de unos $16\times$ a $400\times$.

Seguridad

La práctica del campo y del laboratorio se hace segura con normas profesionales, no con la suerte. En el campo, los geólogos trabajan por parejas o dejan por escrito su itinerario y la hora de regreso; llevan la previsión del tiempo, mapas y primeros auxilios, se mantienen lejos del pie y del borde de los acantilados y de los frentes de cantera, y usan casco y protección ocular allí donde la roca puede caer o astillarse; el trabajo en lugares activos sigue las normas del operador. En el laboratorio, las sierras y los discos trabajan protegidos por resguardos y con agua para reducir el polvo; las resinas y los ácidos se manipulan con guantes y gafas bajo extracción, y cada producto químico tiene su ficha de datos de seguridad. Ninguna de estas actividades es solo para un lector de este libro: el capítulo describe la práctica profesional.

6.6 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

Un receptor de satélite da posiciones con unos $4.9\,\mathrm{m}$ de error. ¿Cuánto es eso en un mapa a 1:10 000? ¿Y a 1:25 000?

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

A 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ se convierten en $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; a 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, aproximadamente el grosor de un trazo de lápiz.

Ejercicio 6.2 ★

Una brújula sin ajuste de declinación lee en un estrato la dirección de buzamiento $052{}^{\circ}$. Dése la dirección de buzamiento geográfica si la lectura se hizo en Reikiavik el 1 de enero de 2026, y después en Wellington el mismo día (recuadro de datos).

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

En Reikiavik $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. En Wellington $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. La misma lectura de brújula significa direcciones separadas $34.5{}^{\circ}$.

Ejercicio 6.3 ★

Una recta de inmersión $20{}^{\circ}$ hacia $015{}^{\circ}$. Escríbase su orientación como en el texto, y dese su vector unitario hacia abajo en componentes este, norte y arriba.

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

$20\to015$. Con $t = 15{}^{\circ}$ y $p = 20{}^{\circ}$, el vector unitario hacia abajo es

$$(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) = (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).$$

Ejercicio 6.4 ★

Tres lecturas de una diaclasa vertical dan los acimutes de su normal $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ y $006{}^{\circ}$. Calcúlese su media aritmética y después el acimut de la suma de los tres vectores unitarios horizontales. ¿Cuál de las dos medias es la correcta?

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

La media aritmética es $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, casi opuesta a las tres lecturas. Los vectores horizontales unitarios $(\sin a, \cos a)$ suman $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, cuyo acimut es $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$, es decir, $358.0{}^{\circ}$: la media correcta, en el centro de las lecturas.

Ejercicio 6.5 ★★

Cinco lecturas del buzamiento de un mismo estrato son $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ y $36{}^{\circ}$. Calcúlense su media, su desviación típica y el error típico de la media.

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

Media $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Desviaciones $-1, 2, 0, -2, 1$; suma de cuadrados 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Error típico $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

Ejercicio 6.6 ★★

Un geólogo promedia una lectura en cada flanco de un pliegue simétrico: $090/30$ y $270/30$. Calcúlense la media vectorial y $\bar R$. ¿Qué ha salido mal?

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

Las normales son $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ y $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ es vertical: la media es un plano horizontal, y $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, cada lectura a $30{}^{\circ}$ de la media. Las dos lecturas no muestrean una misma superficie con errores: pertenecen a dos flancos de un pliegue, dos poblaciones distintas, y su promedio no describe ninguna de ellas. Cada flanco se promedia por separado; juntos definen el eje del pliegue, la recta común a los dos planos, aquí horizontal y norte–sur.

Ejercicio 6.7 ★★

Unas estrías sobre una superficie de estratificación de actitud $080/12$ tienen la dirección $120{}^{\circ}$. ¿Cuál es su inmersión? ¿Cuál sería para la dirección $170{}^{\circ}$?

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 = 0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, con las estrías inmersas hacia $120{}^{\circ}$. Para la dirección $170{}^{\circ}$, $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: la recta es horizontal, a lo largo del rumbo.

Ejercicio 6.8 ★★

En Edimburgo la declinación magnética es $-0.47{}^{\circ}$ el 1 de enero de 2026 y cambia $+0.20{}^{\circ}$ por año. Suponiendo que el cambio sea constante, ¿cuándo se anula, y cuánto vale el 1 de enero de 2030?

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

$0.47/0.20 = 2.35$ años después del 1 de enero de 2026, es decir, en la primavera de 2028. El 1 de enero de 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, al este del norte geográfico.

Ejercicio 6.9 ★★

Tres lecturas de un mismo estrato son $080/10$, $080/12$ y $080/14$. Demuéstrese que su media vectorial es $080/12$, calcúlense $\bar R$ y la estimación $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ de $\theta_{\text{rms}}$, y compárese con el ángulo cuadrático medio exacto.

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

Las tres normales están en el plano vertical de acimut $080{}^{\circ}$, a $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ y $14{}^{\circ}$ de la vertical; las dos exteriores son simétricas respecto de la central, así que su suma queda sobre ella: la media es $080/12$, con $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Entonces $\bar R = (1 + 2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, y $\sqrt{2(1 - \bar R)} = \sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; exactamente, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

Ejercicio 6.10 ★★★

Una lámina delgada corta un grano esférico de radio $r$ a una distancia $h$ de su centro, con $h$ igual de probable en cualquier punto entre 0 y $r$. Demuéstrese que el radio medio del círculo que se ve en la lámina es $\pi r/4$. ¿Qué tamaño medio aparece en la lámina un grano de cuarzo de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diámetro?

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

La sección es un círculo de radio $\sqrt{r^2 - h^2}$. Su media es $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r}{4}$, ya que la integral es el área de un cuarto de disco. Un grano de cuarzo de $0.50\,\mathrm{mm}$ de diámetro aparece en promedio con $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ de diámetro: una lámina delgada subestima el tamaño de los granos.

Ejercicio 6.11 ★★★

Demuéstrese que si a cada dirección de buzamiento de un conjunto de lecturas se le suma el mismo ángulo $D$, la dirección de buzamiento de su media vectorial aumenta en $D$ y su buzamiento no cambia. ¿Por qué importa esto para la corrección de la declinación?

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

La rotación de $D$ alrededor de la vertical, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, envía $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ a $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: suma $D$ a cada dirección de buzamiento. Al ser lineal, envía la resultante $\vec S$ a la resultante de las normales giradas; conserva las longitudes y la componente vertical, así que el buzamiento medio $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ no cambia, y hace girar la parte horizontal de $\vec S$ en $D$, de modo que la dirección de buzamiento media aumenta en $D$. Corregir cada lectura por la declinación, o solo su media, da el mismo resultado.

Ejercicio 6.12 ★★★

Sobre un estrato que buza $12{}^{\circ}$, la normal de una sola lectura se dispersa con una desviación típica de $2{}^{\circ}$ en cada una de dos direcciones perpendiculares: a lo largo de la línea de máximo buzamiento, lo que cambia el buzamiento, y a través de ella, lo que cambia la dirección de buzamiento. ¿Cuántas lecturas hacen falta para un error típico de $0.5{}^{\circ}$ en el buzamiento medio? ¿Y de $1{}^{\circ}$ en la dirección de buzamiento media?

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

La dispersión a lo largo de la línea de máximo buzamiento es una dispersión del buzamiento: el error típico es $2/\sqrt N \le 0.5$ para $N \ge 16$. A través de ella, un giro de la normal de $2{}^{\circ}$ cambia la dirección de buzamiento en $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; el error típico de la dirección de buzamiento media es $9.62/\sqrt N \le 1$ para $N \ge 92.5$, es decir, 93 lecturas. Un buzamiento suave se conoce pronto; su dirección, no.

6.7 Problema: una temporada de campo en el flanco oriental de Varden

Problema 6.1

Problema de fin de semana — promediar doce lecturas de brújula, medir su dispersión, corregirlas y compararlas con los sondeos

Un geólogo midió la estratificación del flanco oriental del anticlinal de Varden en doce estaciones, con una brújula ajustada para la declinación, redondeando al grado. La tabla da cada lectura (dirección de buzamiento/buzamiento) y las componentes de su normal unitaria hacia arriba $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, redondeadas a cuatro decimales.

	medida	$n_E$	$n_N$	$n_U$		medida	$n_E$	$n_N$	$n_U$
1	$076/11$	0.1851	0.0462	0.9816	7	$083/11$	0.1894	0.0233	0.9816
2	$081/13$	0.2222	0.0352	0.9744	8	$083/12$	0.2064	0.0253	0.9781
3	$078/16$	0.2696	0.0573	0.9613	9	$085/12$	0.2071	0.0181	0.9781
4	$081/11$	0.1885	0.0298	0.9816	10	$078/11$	0.1866	0.0397	0.9816
5	$076/10$	0.1685	0.0420	0.9848	11	$081/13$
6	$083/14$	0.2401	0.0295	0.9703	12	$082/11$

Parte I — La actitud media.

1. Calcúlense las medias aritméticas de las doce direcciones de buzamiento y de los doce buzamientos.
2. Dé un ejemplo de dos lecturas para las que la media aritmética de las direcciones de buzamiento es absurda, y diga por qué aquí es segura.
3. Demuéstrese que $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ es un vector unitario perpendicular a la línea de máximo buzamiento y a la línea de rumbo del plano $\alpha/\delta$.
4. Complétese la tabla para las lecturas 11 y 12.
5. Calcúlese la resultante $\vec S$ de las doce normales.
6. Calcúlense $\|\vec S\|$ y la longitud resultante media $\bar R$.
7. Dedúzcase la media vectorial: su dirección de buzamiento y su buzamiento.

Parte II — La dispersión.

8. Calcúlense las desviaciones típicas muestrales de las direcciones de buzamiento y de los buzamientos.
9. Con Proposición 6.5, estímese el ángulo cuadrático medio $\theta_{\text{rms}}$ entre las lecturas y su media, en grados.
10. Prevea $\theta_{\text{rms}}$ a partir de las dos desviaciones típicas de la pregunta 8 y de la fórmula de error del capítulo, y compárese.
11. ¿Cuál de las dos desviaciones típicas contribuye más a $\theta_{\text{rms}}$, y por qué?
12. Calcúlense los errores típicos del buzamiento medio y de la dirección de buzamiento media.
13. ¿Es la dispersión de las direcciones de buzamiento, $2.9{}^{\circ}$, señal de una medida descuidada? Explíquese.

Parte III — La declinación.

14. Un segundo geólogo olvidó ajustar la declinación. Sus doce lecturas tienen como media vectorial $083.1/12.1$ en acimutes magnéticos. Supóngase que la declinación magnética en las colinas de Varden ese año es de $2.5{}^{\circ}$ oeste. ¿Cuál es su media en acimutes geográficos?
15. ¿Por qué su buzamiento medio es correcto sin corrección?
16. ¿Podría haber corregido cada lectura antes de promediar, en lugar de la media? ¿Cambia la respuesta (Ejercicio 6.11)?
17. Diez años después, un estudiante reutiliza su ajuste de declinación mientras la declinación ha cambiado $0.2{}^{\circ}$ por año. ¿Cuánto vale el error, comparado con el error típico de la pregunta 12?
18. Dé el rumbo de la actitud media del primer geólogo según la regla de la mano derecha.

Parte IV — Brújula y sondeos.

19. A partir de tres sondeos, Capítulo 4 halló para la base de la caliza la actitud $080.6/12.2$. Compárese con la media vectorial de la pregunta 7, ángulo a ángulo.
20. Calcúlese el ángulo entre las dos normales.
21. El error típico de la dirección media es aproximadamente $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$. ¿Es significativa la diferencia de la pregunta 20?
22. ¿Cuántas lecturas reducirían a la mitad ese error típico?
23. Nombre dos errores que ningún número de lecturas reduciría.
24. Dé la actitud media del flanco oriental a partir de las doce lecturas, en la forma dirección de buzamiento/buzamiento redondeada al grado.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. Direcciones de buzamiento: $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; buzamientos: $145/12 = 12.1{}^{\circ}$.

2. $355{}^{\circ}$ y $005{}^{\circ}$ promedian $180{}^{\circ}$, la dirección opuesta. Aquí todas las direcciones de buzamiento están entre $076{}^{\circ}$ y $085{}^{\circ}$, lejos del salto en $000{}^{\circ}$, así que la media aritmética funciona.

3. $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\delta = 1$. La línea de máximo buzamiento hacia abajo tiene la dirección $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, y su producto escalar con $\vec n$ es $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; la línea de rumbo es horizontal y perpendicular a la dirección de buzamiento, $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, y su producto escalar con $\vec n$ es $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

4. La lectura 11 es la misma que la 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. Lectura 12:

$$(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) = (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).$$

5. $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

6. $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, y $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

7. $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ y $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: la media vectorial es $080.6/12.1$, la misma que las medias aritméticas aquí.

8. Direcciones de buzamiento: $s = 2.94{}^{\circ}$; buzamientos: $s = 1.68{}^{\circ}$.

9. $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} = 0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

10. $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 + 0.38} = 1.79{}^{\circ}$, cerca de $1.72{}^{\circ}$: las lecturas se comportan como dice el modelo de error, dentro de los efectos del redondeo al grado y de una muestra pequeña.

11. El buzamiento: aporta 2.82 de los 3.20 (en grados cuadrados). La dirección de buzamiento cuenta solo a través de $\sin\delta = 0.21$, porque en un estrato suave un cambio de dirección de buzamiento gira muy poco el plano.

12. Buzamiento medio: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; dirección de buzamiento media: $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

13. No: $2.9{}^{\circ}$ de dirección de buzamiento en un estrato que buza $12{}^{\circ}$ es solo $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ de giro del plano, menos que los $1.7{}^{\circ}$ de los buzamientos. Cualquier pequeña ondulación de una superficie de estratificación suave dispersa mucho su dirección de buzamiento.

14. $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; su media es $080.6/12.1$, la misma que la del primer geólogo.

15. El buzamiento se lee con el clinómetro, frente a la vertical que da la gravedad; la aguja no interviene.

16. Sí: una rotación alrededor de la vertical mueve cada lectura y la media en el mismo ángulo (Ejercicio 6.11); la respuesta es la misma.

17. $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ de error en cada dirección de buzamiento, más del doble del error típico de $0.85{}^{\circ}$: un error sistemático que el promedio no puede detectar.

18. $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; la actitud es rumbo $351{}^{\circ}$, buzamiento $12{}^{\circ}$ hacia el este.

19. Direcciones de buzamiento $080.6$ y $080.6$: ninguna diferencia a esta precisión; buzamientos $12.1$ y $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

20. Las normales $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ}, \sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ y $\vec S/\|\vec S\|$ forman un ángulo de $0.13{}^{\circ}$.

21. $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; la diferencia, $0.13{}^{\circ}$, es una cuarta parte de ese valor: no es significativa. La brújula y los sondeos concuerdan.

22. Cuatro veces más: 48 lecturas.

23. Por ejemplo: un ajuste de declinación erróneo o desfasado; una brújula desviada por hierro cercano (un vehículo, herramientas, rocas magnéticas); un clinómetro desajustado; lecturas tomadas solo en las superficies mejor expuestas, que pueden no representar el flanco. El promedio reduce los errores aleatorios, no los sistemáticos.

24. La actitud media del flanco oriental es 081/12: dirección de buzamiento $081{}^{\circ}$, buzamiento $12{}^{\circ}$.