25Métodos de datación radiométrica

En 2001 un equipo que trabajaba con granos detríticos de circón de Jack Hills, en Australia Occidental, informó de uno que había cristalizado hace $4404 \pm 8$ millones de años. Trabajos posteriores confirmaron la edad de estos granos: son el material más antiguo conocido de cualquier tipo formado en la Tierra, y muestran que una corteza se había formado en unos 160 millones de años desde el nacimiento del Sistema Solar. En el otro extremo de la escala, las edades por argón han situado la extinción al final del Cretácico, hace $66.00\,\mathrm{Ma}$, a menos de $32\,000$ años del impacto que se cree la causó. Ambos números proceden de contar átomos: un padre radiactivo que se desintegra a un ritmo conocido, y una hija que se acumula. Este capítulo explica cómo se leen estos relojes, por qué cada uno data un suceso distinto y cómo sujetan el cuadro de Capítulo 24 a una escala de años.

Lo que ya sabes

Los libros de física describen la desintegración radiactiva: los núcleos de un isótopo radiactivo se desintegran al azar, de forma independiente de la temperatura y la presión, de modo que el número $N$ que queda tras un tiempo $t$ sigue $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, donde $\lambda$ es la constante de desintegración; la semivida es $T = \ln 2/\lambda$. Los isótopos de un elemento tienen el mismo número de protones y distinto número de neutrones; los libros de química describen el espectrómetro de masas, que ordena los iones por masa. En el libro 2, año 12, una roca o un mineral que no ha intercambiado átomos padre ni hija con su entorno es un sistema cerrado, y los minerales del granito de Varden, representados en una isócrona rubidio–estroncio, dieron una edad de 310 millones de años. La biotita, la moscovita y la hornblenda son las micas y el anfíbol de Definición 7.10. Una edad entre dos niveles datados puede interpolarse (Proposición 24.8).

25.1 Sistemas de desintegración

Un reloj necesita dos cuentas: lo que queda del padre, y cuánta hija ha producido desde que empezó el reloj.

Definición 25.1 (Isótopo padre e hija radiogénica)

En un sistema de desintegración usado para datar, el isótopo padre es el isótopo radiactivo cuya desintegración sirve de reloj, y la hija es el isótopo que produce esa desintegración. La hija radiogénica, escrita $D^*$, es la parte de la hija producida por la desintegración del padre dentro de la muestra desde que empezó el reloj; el resto, $D_0$, estaba allí desde el principio. El número de átomos de la hija medido hoy es $D = D_0 + D^*$.

Proposición 25.2 (Crecimiento radiogénico y ecuación de la edad)

En un sistema cerrado que contiene hoy $P$ átomos del padre, la hija radiogénica producida en un tiempo $t$ es

$$D^* = P\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr),$$

siempre que cada desintegración dé un átomo de la hija. La edad es entonces

$$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{D^*}{P}\right).$$

La edad depende solo de un cociente entre dos números de átomos, que es lo que mejor mide un espectrómetro de masas. La figura siguiente muestra los dos recuentos en unidades de la semivida: tras una semivida $D^*/P = 1$, tras dos $3$, tras tres $7$ — en general $2^n - 1$ tras $n$ semividas.

Un reloj solo lee bien dentro de una ventana de edades. Mucho antes de una semivida la hija es una fracción diminuta del padre; tras muchas semividas queda muy poco padre para medir. La tabla siguiente recoge los sistemas más usados, con el material al que se aplica cada uno.

padre	hija	semivida (años)	$\lambda$ (por año)	material datado
$^{14}\mathrm{C}$	$^{14}\mathrm{N}$	$5700$	$1.216 \times 10^{-4}$	madera, carbón vegetal, hueso, concha
$^{40}\mathrm{K}$	$^{40}\mathrm{Ar}$, $^{40}\mathrm{Ca}$	$1.25 \times 10^{9}$	$5.543 \times 10^{-10}$	minerales ricos en potasio: sanidina, biotita, hornblenda
$^{87}\mathrm{Rb}$	$^{87}\mathrm{Sr}$	$4.96 \times 10^{10}$	$1.3972 \times 10^{-11}$	granitos (roca total), micas
$^{147}\mathrm{Sm}$	$^{143}\mathrm{Nd}$	$1.07 \times 10^{11}$	$6.46 \times 10^{-12}$	rocas y sus minerales (isócronas)
$^{235}\mathrm{U}$	$^{207}\mathrm{Pb}$	$7.04 \times 10^{8}$	$9.8485 \times 10^{-10}$	circón
$^{238}\mathrm{U}$	$^{206}\mathrm{Pb}$	$4.47 \times 10^{9}$	$1.551\,25 \times 10^{-10}$	circón

Hay dos juegos de números en uso para los mismos núcleos, y una edad debe indicar cuál usó. Las tablas de datos nucleares dan al potasio-40 una semivida de $1.248 \times 10^{9}$ años y envían $10.72\,\%$ de sus desintegraciones al argón; las constantes usadas por convención en geocronología dan $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}$ por año (una semivida de $1.2505 \times 10^{9}$ años) y envían $0.581/5.543 = 10.48\,\%$ de las desintegraciones al argón. Las edades por radiocarbono, como explica Sección 25.3, se calculan con una semivida de $5568$ años que se sabe demasiado corta. Las diferencias alcanzan unos pocos por ciento, muy por encima del $0.01\,\%$ con que se citan hoy las mejores edades (Sección 25.5). La incertidumbre de las constantes de desintegración del propio potasio-40, un núcleo con dos ramas y una semivida larga, limita la exactitud de sus edades.

Proposición 25.3 (Precisión de una edad)

Si el cociente $R = D^*/P$ se mide con la incertidumbre típica $\sigma_R$, la edad lleva la incertidumbre

$$\sigma_t = \frac{\sigma_R}{\lambda\,(1 + R)}.$$

En una muestra joven, $R$ es pequeño y $\sigma_t \approx \sigma_R/\lambda$: el error absoluto de la edad lo fija lo bien que puede medirse una pequeña cantidad de hija. Una semivida larga ($\lambda$ pequeño) lo amplifica. Por eso el rubidio–estroncio y el uranio–plomo sirven para rocas de más de unos diez millones de años, mientras que el potasio–argón llega a rocas tan jóvenes como unos diez mil años, y el radiocarbono cubre los últimos $70\,000$ años.

25.2 Isócronas

La ecuación de la edad necesita $D^*$, pero el instrumento mide $D = D_0 + D^*$, y $D_0$ rara vez es cero: el estroncio-87 está presente en todo mineral que incorporó estroncio al formarse. La isócrona elimina $D_0$ midiendo varias muestras que empezaron con la misma composición isotópica del elemento hijo.

Definición 25.4 (Isócrona, cociente inicial)

Sea $S$ un isótopo estable del elemento hijo que ninguna desintegración produce ($^{86}\mathrm{Sr}$ para el estroncio, $^{144}\mathrm{Nd}$ para el neodimio). Una isócrona es la recta sobre la que se sitúan, en un gráfico de $y = D/S$ frente a $x = P/S$, las muestras que se formaron a la vez con el mismo valor de $D/S$ y han sido sistemas cerrados desde entonces. Ese valor inicial común $y_0 = (D/S)_0$ es el cociente inicial.

Teorema 25.5 (La isócrona)

Las muestras que se formaron a la vez con el mismo cociente inicial $y_0$, y han sido sistemas cerrados durante un tiempo $t$, cumplen

$$y = y_0 + \bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr)\,x .$$

Sus puntos están sobre una recta de pendiente $m = e^{\lambda t} - 1$ y ordenada en el origen $y_0$, y $t = \ln(1+m)/\lambda$.

Cuando cristalizó un granito, todas sus muestras tenían el mismo $y_0$ y se situaban sobre una recta horizontal; cada una ha subido desde entonces en proporción a su $x$, y la recta ha girado en torno a su ordenada en el origen. Las muestras necesitan valores distintos de $x$ para fijar bien la pendiente: minerales con mucho y con poco rubidio, como en el libro 2, o muestras de roca total tomadas de partes más y menos evolucionadas de un mismo cuerpo intrusivo. Un punto fuera de la recta marca una muestra que no fue cerrada, o que no compartía el cociente inicial. El cociente inicial es también un trazador: un magma procedente del manto hereda un $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ bajo, de unos $0.7025$, y uno formado por fusión de corteza continental uno alto, de unos $0.710$, porque la corteza es rica en rubidio y ha producido más estroncio-87 a lo largo de los tiempos.

Los puntos reales nunca caen exactamente sobre una recta. La estimación habitual de la recta es la que hace lo más pequeñas posible las distancias verticales al cuadrado de los puntos a ella.

Proposición 25.6 (La recta de mínimos cuadrados)

Sean $(x_i, y_i)$, $i = 1, \dots, n$, puntos con al menos dos $x_i$ distintos, de medias $\bar x$ e $\bar y$, y sea

$$S_{xx} = \sum_i (x_i - \bar x)^2, \qquad S_{xy} = \sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).$$

La recta $y = b + m x$ que minimiza $Q(b, m) = \sum_i (y_i - b - m x_i)^2$ tiene

$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad b = \bar y - m\,\bar x ,$$

y pasa por el centroide $(\bar x, \bar y)$.

La dispersión de los puntos alrededor de la recta da la incertidumbre de la pendiente. Con los residuos $r_i = y_i - b - m x_i$, la desviación típica de la dispersión es $s = \sqrt{\sum_i r_i^2/(n-2)}$ — se usan dos grados de libertad en los dos parámetros —, y las incertidumbres típicas de la pendiente y de la ordenada en el origen son

Estos dos resultados de estadística se admiten aquí; la edad lleva entonces $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1 + m)\bigr)$, por el mismo argumento de Proposición 25.3. Muestran qué hace buena a una isócrona: muchos puntos, repartidos en $x$ (un $S_{xx}$ grande), con poca dispersión.

Método 25.7 (Ajuste de una isócrona)

1. Medir $x = P/S$ e $y = D/S$ en al menos cuatro muestras de un mismo cuerpo, elegidas para repartir $x$ lo más posible.
2. Representarlas; apartar, con una razón, cualquier punto claramente alejado de la tendencia.
3. Calcular $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$, $S_{xy}$, y luego $m = S_{xy}/S_{xx}$ y $b = \bar y - m \bar x$.
4. Calcular los residuos, $s$, $\sigma_m$ y $\sigma_b$.
5. La edad es $t = \ln(1+m)/\lambda$, con $\sigma_t = \sigma_m/\bigl(\lambda(1+m)\bigr)$; el cociente inicial es $b \pm \sigma_b$.

Ejemplo 25.8 (Una riolita inventada)

Seis muestras de roca total de una serie de lavas riolíticas (datos del ejercicio) dan:

$x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	1.85	4.62	9.30	14.75	21.20	27.60
$y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71732	0.73332	0.76164	0.79420	0.83226	0.87028

Aquí $\bar x = 13.22$, $\bar y = 0.784837$, $S_{xx} = 491.41$ y $S_{xy} = 2.92308$, así que $m = 0.0059484$ y $b = 0.70620$. Los residuos dan $s = 0.00024$, $\sigma_m = 1.10 \times 10^{-5}$ y $\sigma_b = 0.00018$. La edad es $t = \ln(1.0059484)/1.3972 \times 10^{-11} = 424.5\,\mathrm{Ma}$, con $\sigma_t = 1.10 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0059) = 0.8\,\mathrm{Myr}$: $(424.5 \pm 0.8)\,\mathrm{Ma}$, cociente inicial $0.706\,20 \pm 0.000\,18$ (figura siguiente).

En el laboratorio — Pesar isótopos

Un espectrómetro de masas de ionización térmica (izquierda) mide los cocientes isotópicos de elementos como el estroncio. El elemento, separado de la muestra disuelta mediante química, se deposita sobre un filamento metálico en vacío; al calentarlo, emite iones, que se aceleran y se desvían con el campo del gran electroimán (las bobinas negras del centro), los más ligeros más que los pesados, de modo que cada isótopo llega a su propio colector. Los cocientes entre isótopos son lo que el instrumento mide mejor, y por eso los métodos basados solo en cocientes son los más precisos. (Fotografía: Radiogenic, CC0, vía Wikimedia Commons.)

25.3 Potasio–argón, uranio–plomo y radiocarbono

Un padre con dos hijas

Definición 25.9 (Desintegración ramificada)

Un padre sufre una desintegración ramificada cuando sus núcleos se desintegran por dos o más vías hacia hijas distintas. Cada vía $i$ tiene su propia constante de desintegración parcial $\lambda_i$; el padre se desintegra con la constante total $\lambda = \sum_i \lambda_i$, y una fracción $\lambda_i/\lambda$ de las desintegraciones sigue la vía $i$. El potasio-40 se desintegra en calcio-40 con $\lambda_\beta = 4.962 \times 10^{-10}$ por año, y en argón-40 con $\lambda_e = 0.581 \times 10^{-10}$ por año.

Proposición 25.10 (El método de potasio–argón)

Un mineral que ha conservado todo el argón producido en él, y no contenía ninguno al formarse, contiene tras un tiempo $t$

$${}^{40}\mathrm{Ar}^* = \frac{\lambda_e}{\lambda}\;{}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t} - 1\bigr), \qquad\text{así}\qquad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\, \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}^*}{{}^{40}\mathrm{K}}\right),$$

donde ${}^{40}\mathrm{K}$ es el número de átomos de potasio-40 hoy y $\lambda = \lambda_\beta + \lambda_e$.

El exponente contiene la constante total, y el factor delante la parcial: usar $\lambda_e$ en el exponente, como si el argón fuera la única vía, daría una edad absurdamente errónea. La rama del calcio lleva nueve décimas partes de las desintegraciones, pero no sirve para datar, porque el calcio-40 es el isótopo común de un elemento abundante en las rocas; el argón, un gas noble, escapa de un fundido, de modo que un cristal empieza con casi nada. El potasio-40 es $0.0117\,\%$ de los átomos de potasio. El método necesita las cantidades absolutas de potasio y de argón, medidas por separado. El argón del aire, presente en toda roca, se reconoce por su argón-36 y se resta con el cociente atmosférico $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$.

El método falla de dos maneras. El exceso de argón hace las edades demasiado antiguas: una lava que se enfría deprisa puede atrapar argón del manto en burbujas, y las lavas históricas suelen dar edades de potasio–argón de 1 a 2 millones de años, un error que solo importa en rocas jóvenes. La pérdida de argón las hace demasiado jóvenes: la mayoría de los minerales pierden argón al calentarse por encima de unos $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que un metamorfismo posterior reinicia el reloj por completo o en parte, y una pérdida parcial da una edad entre los dos sucesos que no data ninguno de los dos. Se prefieren los minerales ricos en potasio: sanidina y biotita, y luego plagioclasa u hornblenda.

El método argón–argón mide solo cocientes. La muestra se irradia con neutrones rápidos en el núcleo de un reactor nuclear, junto a un mineral estándar de edad conocida; la reacción convierte parte de su potasio-39 en argón-39, que hace entonces de representante del potasio, y el estándar da el rendimiento de la reacción. Los dos isótopos se miden juntos en el mismo gas. La muestra puede calentarse después por etapas, con un horno o con un láser; cada etapa da una edad, y las edades se representan frente a la fracción acumulada de argón-39 liberada, un espectro de edades. Las etapas que concuerdan dentro de sus errores forman una meseta; un espectro sin ella advierte de que el mineral no se mantuvo cerrado. La sincronía del impacto y de la extinción al final del Cretácico descansa en edades argón–argón.

Dos relojes de uranio

El uranio tiene dos isótopos de vida larga, el uranio-238, que se desintegra en plomo-206, y el uranio-235, que lo hace en plomo-207, a ritmos distintos; hoy $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, es decir, un átomo entre 137.8. Un mineral con uranio lleva así dos relojes independientes, cada uno con su propia ecuación de crecimiento, ${}^{206}\mathrm{Pb}^* = {}^{238}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{238} t} - 1)$ y ${}^{207}\mathrm{Pb}^* = {}^{235}\mathrm{U}\,(e^{\lambda_{235} t} - 1)$. Si las dos edades concuerdan, se dice que son concordantes, y la concordancia es una prueba de que el mineral se mantuvo cerrado, algo que ningún reloj por sí solo puede aportar. El desacuerdo proviene sobre todo del plomo perdido en partes del cristal dañadas por la radiación del propio uranio; una gráfica de los dos cocientes uno frente al otro, el diagrama de concordia, recupera entonces tanto la edad del cristal como la del suceso que le hizo perder plomo — una herramienta del libro de tercer año.

Circón, $\mathrm{ZrSiO_4}$, es el mineral preferido: incorpora uranio a su estructura pero casi nada de plomo, así que casi todo su plomo es radiogénico; es duro, resiste la meteorización y sobrevive al metamorfismo, de modo que los granos erosionados de una roca conservan su edad en las arenas derivadas de ella. También se usan el apatito y la esfena, con menos frecuencia.

Radiocarbono

El carbono-14 se produce continuamente en la alta atmósfera a partir de nitrógeno-14 bombardeado por rayos cósmicos. Se une al carbono de la atmósfera; los organismos vivos intercambian carbono con la atmósfera y mantienen su proporción de carbono-14. Al morir cesa el intercambio y el carbono-14 vuelve a desintegrarse en nitrógeno-14. Como la proporción inicial es la de la atmósfera, la edad se deduce de la ley de desintegración sola, sin isócrona: $t = -\tau \ln(A/A_0)$, donde $A$ es la actividad del carbono de la muestra, $A_0$ la del carbono vivo y $\tau = 1/\lambda$ la vida media. La madera, el carbón vegetal, el hueso, los dientes y la concha se datan así, hasta unas decenas de miles de años: como mucho unos $70\,000$ años.

Definición 25.11 (Edad radiocarbónica, curva de calibración)

La edad radiocarbónica (convencional) de una muestra es

$$t = -8033 \,\ln \frac{A_{\mathrm{SN}}}{A_{\mathrm{ON}}} \ \text{años BP},$$

donde $A_{\mathrm{SN}}$ es la actividad del carbono de la muestra y $A_{\mathrm{ON}}$ la del estándar de referencia; usa la semivida de $5568$ años (vida media $8033$ años), normaliza las actividades por el fraccionamiento isotópico del carbono ($\delta^{13}\mathrm{C} = -25\,\text{‰}$), y cuenta los años antes de 1950 d. C. (BP, “antes del presente”). Una curva de calibración da la edad radiocarbónica de muestras de edad de calendario conocida; leída al revés, convierte una edad radiocarbónica en un intervalo de edades de calendario (cal BP).

La edad radiocarbónica no es una edad en años de calendario, por dos razones. La semivida de $5568$ años, el valor de Libby, conservado por convención, es más corta que los verdaderos $5700$ años, así que las edades radiocarbónicas quedan unas $2.4\,\%$ cortas. Más importante aún, la proporción de carbono-14 en la atmósfera no ha sido constante. La curva de calibración mide ambos efectos a la vez, sobre archivos fechados de forma independiente: anillos de árboles hasta unas $13\,900$ cal BP, y más allá, secuencias flotantes de anillos, sedimentos lacustres y marinos, depósitos de cuevas y corales, hasta $55\,000$ cal BP (figura siguiente).

A $2000$ cal BP la curva da $2070 \pm 14$ años BP; a $12\,000$ cal BP, $10\,306$: las edades radiocarbónicas allí son $1694$ años más jóvenes que las edades de calendario, mucho más que el $2.4\,\%$ de la semivida. La curva oscila, y donde es plana una edad radiocarbónica corresponde a un intervalo largo de edades de calendario, por muy precisa que sea la medida.

Datos de 2020

La curva en uso para el hemisferio norte es IntCal20, publicada en 2020. Sustituyó a IntCal13, añadiendo datos nuevos y extendiendo la curva hasta $55\,000$ cal BP, con curvas separadas para el hemisferio sur y para la superficie del océano. Las curvas de calibración se revisan a medida que se miden nuevos archivos, así que una edad de calendario debe nombrar la curva que la produjo.

25.4 Temperatura de cierre

Un mineral que cristaliza de un magma a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ no inicia su reloj de inmediato. Mientras está caliente, los átomos de la hija — el argón sobre todo — se difunden a través de su red y escapan; solo cuando se ha enfriado lo bastante la difusión se vuelve demasiado lenta para importar, y la hija empieza a acumularse.

Definición 25.12 (Temperatura de cierre, edad de enfriamiento)

La temperatura de cierre de un mineral para un sistema de desintegración es la temperatura por debajo de la cual los átomos padre e hija ya no se difunden hacia dentro ni hacia fuera de su red con la rapidez suficiente para importar, de modo que el mineral se comporta como un sistema cerrado. Una edad de enfriamiento es una edad medida en un mineral que se formó por encima de su temperatura de cierre: data el momento en que el mineral se enfrió por debajo de esa temperatura, no el momento en que se formó.

Las temperaturas de cierre difieren según el mineral, porque las redes difieren, y según el elemento, porque átomos distintos se difunden a través de una misma red a ritmos distintos (figura siguiente). Son aproximadas: dos tablas dan $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para el argón en la biotita, $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para el argón en la hornblenda. Las trazas de fisión, las huellas de daño que deja en un cristal la fisión espontánea de núcleos de uranio, se borran a temperaturas aún más bajas.

En un plutón que se enfrió despacio, los relojes se cierran, por tanto, uno tras otro, del más caliente al más frío: primero el circón, cerca de su cristalización; luego la hornblenda, después la moscovita y la biotita. La dispersión de sus edades registra el enfriamiento.

Proposición 25.13 (Velocidad de enfriamiento entre dos cierres)

Si dos minerales de una misma roca, de temperaturas de cierre $T_1 > T_2$, dan las edades de enfriamiento $t_1 > t_2$, la velocidad media de enfriamiento entre los dos cierres es

$$\dot T = \frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2}.$$

Si la roca estaba a una profundidad en la que la temperatura subía con la profundidad a un gradiente constante $G$ bajo una superficie a la temperatura $T_s$, estaba a la profundidad $z_i = (T_i - T_s)/G$ cuando cerró el reloj $i$.

La profundidad da una velocidad de exhumación, una vez que se conoce el momento en que la roca llegó a la superficie, como en el problema de este capítulo. El método es tosco: las temperaturas de cierre tienen una incertidumbre de decenas de grados, y se supone que el geotermo es constante en el tiempo. La termocronología, la reconstrucción detallada de las trayectorias temperatura–tiempo a partir de muchos relojes, es materia del libro de tercer año.

25.5 Datación de secuencias sedimentarias

La mayoría de las rocas sedimentarias no pueden datarse directamente. Sus granos son más antiguos que la roca: un circón detrítico, como el grano del principio de este capítulo, data la roca de la que fue erosionado. El radiocarbono solo data materia orgánica joven. Las edades de la carta proceden, por tanto, de rocas que cristalizaron en el momento en que se depositaron — cenizas volcánicas y coladas de lava dentro de la secuencia — y de rocas ígneas que la cortan.

Definición 25.14 (Edad de acotación)

Una edad de acotación es un límite impuesto a la edad de un nivel sedimentario por rocas datadas relacionadas con él mediante los principios de la estratigrafía: una edad máxima a partir de una capa datada situada debajo, o del grano detrítico más joven de esa capa; una edad mínima a partir de una capa datada situada encima, o de una intrusión que lo corta. Un nivel entre un máximo y un mínimo está acotado.

Las mejores acotaciones son cercanas y precisas: dos capas de ceniza a pocos metros una de otra, datadas en circón con una precisión de unas decenas de miles de años, con el nivel entre ellas interpolado mediante Proposición 24.8. En Meishan, el GSSP de la base del Triásico yace entre cinco capas de ceniza datadas; la extinción queda acotada entre $(251.941 \pm 0.037)\,\mathrm{Ma}$ y $(251.880 \pm 0.031)\,\mathrm{Ma}$, y la base del sistema se sitúa en $(251.902 \pm 0.024)\,\mathrm{Ma}$ (Sección 24.4). Las capas de ceniza, llevadas por el viento a través de facies distintas, son a la vez líneas de tiempo y relojes.

La carta es solo tan precisa como las capas datadas cercanas a cada límite. La base del Triásico se conoce con $0.024\,\mathrm{Myr}$ de error, una parte en diez mil; la base del Carbonífero, con $0.19\,\mathrm{Myr}$; la base del Devónico, con $1.36\,\mathrm{Myr}$. Donde no hay ninguna capa datada cerca de un límite, su edad se interpola entre otras lejanas, y su incertidumbre crece en consecuencia. Cada nueva capa de ceniza datada cerca de un límite puede moverlo, por eso la carta lleva una fecha de versión.

25.6 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

(a) Un mineral contiene tres veces más átomos de hija radiogénica que de padre. ¿Cuántas semividas tiene? (b) Calcúlese $D^*/P$ tras $310\,\mathrm{Myr}$ para el rubidio-87 y para el uranio-235, con las constantes de Table 25.1. ¿Qué cociente es más fácil de medir con precisión? (c) ¿Tras cuántas semividas queda menos del $1\,\%$ del padre?

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

(a) $D^*/P = 2^n - 1 = 3$ da $n = 2$: dos semividas. (b) Rubidio-87: $e^{\lambda t} - 1 = e^{1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.004341$; uranio-235: $e^{9.8485 \times 10^{-10} \times 3.10 \times 10^{8}} - 1 = 0.3570$. El cociente del uranio es unas 80 veces mayor: un error absoluto dado de medida es una parte mucho menor de él. (c) $2^{-n} < 0.01$ cuando $n > \log_2 100 = 6.64$: tras unas siete semividas.

Ejercicio 25.2 ★

¿Qué método de Table 25.1 usaría, y sobre qué material, para datar: (a) carbón vegetal de un hogar de unos $8000$ años; (b) una capa de ceniza que se cree de unos $66\,\mathrm{Ma}$, rica en sanidina y circón; (c) un granito de unos $2.7\,\mathrm{Ga}$; (d) una concha de unos $40\,000$ años; (e) una caliza del Jurásico sin ninguna capa volcánica?

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

(a) Radiocarbono sobre el carbón vegetal. (b) Uranio–plomo sobre el circón, o argón–argón (potasio–argón) sobre la sanidina, un mineral rico en potasio. (c) Uranio–plomo sobre circón, que sobrevive a una historia larga; el rubidio–estroncio sobre roca total es posible; el potasio–argón arriesgaría edades rebajadas por el argón perdido en un calentamiento posterior. (d) Radiocarbono sobre el carbonato de la concha, cerca del límite del método (unos $70\,000$ años). (e) Ninguno directamente: su edad queda acotada por rocas volcánicas datadas encima y debajo, o se obtiene correlacionando sus fósiles con una sección datada (Capítulo 24).

Ejercicio 25.3 ★

El carbono de un trozo de madera tiene una cuarta parte de la actividad del estándar, tras la normalización. (a) Calcúlese su edad radiocarbónica convencional. (b) Calcúlese su edad con la semivida de $5700$ años. (c) ¿Por qué ninguna de estas es su edad en años de calendario, y cómo se obtiene esa edad?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

(a) $t = -8033 \ln 0.25 = 8033 \times 1.3863 = 11\,136$ años BP. (b) La vida media es $5700/\ln 2 = 8223$ años: $t = 8223 \times 1.3863 = 11\,400$ años. (c) Ambos suponen que la proporción de carbono-14 en el carbono vivo era entonces la misma que en el estándar; no lo era. La edad de calendario se lee en una curva de calibración como IntCal20, como un intervalo de años cal BP.

Ejercicio 25.4 ★

Un granito da una edad uranio–plomo en circón de $420\,\mathrm{Ma}$, una edad potasio–argón en hornblenda de $410\,\mathrm{Ma}$ y otra en biotita de $398\,\mathrm{Ma}$. (a) ¿Por qué las tres edades son distintas, y en este orden? (b) Con las temperaturas de cierre de la figura de Sección 25.4, calcúlese la velocidad media de enfriamiento entre los cierres de la hornblenda y de la biotita. (c) ¿Qué puede decirse de la velocidad de enfriamiento entre el cierre del circón y el de la hornblenda?

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

(a) Cada reloj empieza cuando su mineral se enfría por debajo de su temperatura de cierre: el circón (por encima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) cierra primero, la hornblenda (unos $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) después, y la biotita (unos $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) la última, así que las edades disminuyen en ese orden a medida que se enfrió el granito. (b) $(530 - 280)/(410 - 398) = 250/12 = 21\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años. (c) El circón cerró por encima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, así que el granito se enfrió al menos $750 - 530 = 220\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $10\,\mathrm{Myr}$: al menos $22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años, una cota inferior.

Ejercicio 25.5 ★★

Cuatro muestras de roca total de un gneis (datos del ejercicio) dan $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 2.0$, $5.0$, $9.0$, $14.0$ y $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr} = 0.7323$, $0.7741$, $0.8307$, $0.9010$. (a) Calcúlese la recta de mínimos cuadrados por el método de Método 25.7. (b) Calcúlense la edad y el cociente inicial. (c) Calcúlense $s$ y la incertidumbre de la edad. (d) ¿Apunta el cociente inicial a una fuente en el manto o en la corteza?

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

(a) $\bar x = 7.5$, $\bar y = 0.809525$, $S_{xx} = 81.0$, $S_{xy} = 1.13965$; $m = 1.13965/81.0 = 0.0140698$, $b = 0.809525 - 7.5 \times 0.0140698 = 0.70400$. (b) $t = \ln(1.0140698)/1.3972 \times 10^{-11} = 1000.0\,\mathrm{Ma}$; cociente inicial $0.7040$. (c) Los residuos son $+1.6$, $-2.5$, $+0.7$ y $+0.2$ (en unidades de $10^{-4}$): $s = \sqrt{9.34 \times 10^{-8}/2} = 0.00022$, $\sigma_m = 0.00022/\sqrt{81} = 2.40 \times 10^{-5}$ y $\sigma_t = 2.40 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0141) = 1.7\,\mathrm{Myr}$: $(1000.0 \pm 1.7)\,\mathrm{Ma}$. (d) $0.7040$ está cerca del valor del manto, $0.7025$, y bien por debajo del de la corteza, $0.710$: una fuente sobre todo en el manto.

Ejercicio 25.6 ★★

Una sanidina de una capa de ceniza contiene $10.0\,\%$ de potasio en masa y $1.169\,\mathrm{nmol}$ de argón-40 radiogénico por gramo. (a) Con la masa atómica del potasio, $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, y la abundancia del potasio-40, calcúlese el número de moles de potasio-40 por gramo. (b) Calcúlese la edad potasio–argón. (c) Si se hubiera atrapado el $0.5\,\%$ del argón medido cuando cayó la ceniza, en lugar de producirse por desintegración, ¿en cuánto sería demasiado antigua la edad? ¿Es esto una preocupación aquí?

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

(a) $0.100/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.992 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ de potasio-40 por gramo. (b) ${}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{40}\mathrm{K} = 1.169 \times 10^{-9}/2.992 \times 10^{-7} = 0.0039065$; $\lambda/\lambda_e = 5.543/0.581 = 9.5404$; $t = \ln(1 + 9.5404 \times 0.0039065)/5.543 \times 10^{-10} = \ln(1.037269)/5.543 \times 10^{-10} = 66.01\,\mathrm{Ma}$. (c) El argón radiogénico sería $0.995 \times 1.169$ nanomoles, dando $65.69\,\mathrm{Ma}$: la edad medida sería $0.32\,\mathrm{Myr}$ demasiado antigua, diez veces los $32\,000$ años en que el impacto y la extinción al final del Cretácico se muestran hoy coincidentes. El argón en exceso preocupa sobre todo en rocas jóvenes y en rocas totales; un mineral como la sanidina no debe incorporar argón al cristalizar, y un espectro de edades argón–argón lo revelaría.

Ejercicio 25.7 ★★

La curva IntCal20 da las edades radiocarbónicas $2070 \pm 14$ años BP a $2000$ cal BP, $7178$ a $8000$ cal BP y $10\,306$ a $12\,000$ cal BP. (a) Una semilla da $2070 \pm 14$ años BP. ¿Cuál es su edad de calendario? (b) Otra da $2480 \pm 15$ años BP; con el panel de la derecha de la figura de Sección 25.3, calcúlese su intervalo de edades de calendario y explíquese por qué es tan amplio. (c) ¿En cuántos años, y en qué sentido, difieren las edades radiocarbónicas de las edades de calendario a $2000$, $8000$ y $12\,000$ cal BP? ¿Crece la diferencia en proporción a la edad?

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

(a) Hacia $2000$ cal BP: la curva pasa por $2070$ años BP allí. (b) De unos $2495$ a $2699$ cal BP, doscientos años: la curva es casi plana entre $2500$ y $2700$ cal BP, de modo que cada edad de calendario en ese intervalo tiene casi la misma edad radiocarbónica, y una medida más precisa no estrecharía el intervalo. (c) A $2000$ cal BP la edad radiocarbónica es $70$ años más antigua que la edad de calendario; a $8000$ cal BP, $822$ años más jóvenes ($10\,\%$); a $12\,000$ cal BP, $1694$ años más jóvenes ($14\,\%$). La diferencia no es proporcional a la edad: incluso cambia de signo. No puede proceder de la semivida sola, que daría un $2.4\,\%$ constante.

Ejercicio 25.8 ★★

En una sección marina, una capa de ceniza a $4\,\mathrm{m}$ se data en $(94.50 \pm 0.10)\,\mathrm{Ma}$ y una colada de lava a $20\,\mathrm{m}$ en $(93.80 \pm 0.12)\,\mathrm{Ma}$; un dique que corta toda la sección se data en $(93.20 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. El circón detrítico más joven de una arenisca a $6\text{ a }10\,\mathrm{m}$ es $(95.3 \pm 0.4)\,\mathrm{Ma}$. Un límite de piso se sitúa a $12\,\mathrm{m}$. (a) ¿Cuáles de las cuatro edades acotan el límite, y cuáles no sirven para él? (b) Interpólese su edad y su incertidumbre con Proposición 24.8. (c) ¿Qué dice el circón detrítico sobre la arenisca?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

(a) La capa de ceniza inferior ($94.50\,\mathrm{Ma}$) da una edad máxima, y la colada de lava superior ($93.80\,\mathrm{Ma}$) una mínima: el límite queda acotado entre ellas. El dique es también una mínima, pero más débil, y más joven que la lava. El circón detrítico es una máxima solo para la arenisca, y más débil que la capa de ceniza, que yace bajo la arenisca. (b) $f = (12 - 4)/(20 - 4) = 0.5$; $t = 94.50 - 0.5 \times 0.70 = 94.15\,\mathrm{Ma}$; $\sigma_t = \sqrt{0.25 \times 0.10^2 + 0.25 \times 0.12^2} = 0.08\,\mathrm{Myr}$: $(94.15 \pm 0.08)\,\mathrm{Ma}$. (c) Sus granos proceden de una roca de al menos $95.3\,\mathrm{Ma}$, erosionada en algún lugar de la zona fuente; muestra que la arenisca es más joven que $95.3\,\mathrm{Ma}$, lo que la capa de ceniza inferior ya demuestra con más ajuste.

Ejercicio 25.9 ★★

Dos circones de un mismo granito dan $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.08401$ y $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.6688$ (grano A), y $0.05881$ y $0.4682$ (grano B). (a) Calcúlense las dos edades de cada grano. (b) ¿Qué grano es concordante? (c) El grano B ha perdido hace poco parte de su plomo. Muéstrese que ambos cocientes son el $70\,\%$ de los del grano A, y explíquese por qué sus dos edades difieren aunque la pérdida fue la misma para ambos isótopos.

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

(a) Grano A: $\ln(1.08401)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$ y $\ln(1.6688)/9.8485 \times 10^{-10} = 520.0\,\mathrm{Ma}$. Grano B: $368.4\,\mathrm{Ma}$ y $389.9\,\mathrm{Ma}$. (b) El grano A es concordante. (c) $0.05881/0.08401 = 0.7000$ y $0.4682/0.6688 = 0.7001$. La edad es $\ln(1 + R)/\lambda$, no proporcional a $R$: para el cociente pequeño del uranio-238, $\ln(1+R) \approx R$ y la edad baja casi un $30\,\%$ (hasta $368\,\mathrm{Ma}$); para el cociente mayor del uranio-235 el logaritmo baja menos, y la edad solo hasta $390\,\mathrm{Ma}$. Ambas son demasiado jóvenes, y discrepan: el grano es discordante.

Ejercicio 25.10 ★★★

(a) Muéstrese que cuando $\lambda t \ll 1$ la ecuación de la edad se reduce a $t \approx (D^*/P)/\lambda$, y que el error relativo de esta aproximación es cercano a $\lambda t/2$. (b) Calcúlese el error para el rubidio-87 a $310\,\mathrm{Ma}$, para el potasio-40 a $296\,\mathrm{Ma}$ y para el uranio-238 a $4.4\,\mathrm{Ga}$. (c) Si $D^*/P$ se mide con un error de $0.1\,\%$, ¿cuál es la incertidumbre de una edad rubidio–estroncio de $310\,\mathrm{Ma}$?

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

(a) Con $u = \lambda t$, $D^*/P = e^u - 1 = u + u^2/2 + \dots$, así que $(D^*/P)/\lambda = t\,(1 + u/2 + \dots)$: la aproximación sobrestima la edad con un error relativo cercano a $u/2$. (b) Rubidio-87 a $310\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.00433$, error $0.22\,\%$ ($0.7\,\mathrm{Myr}$); potasio-40 a $296\,\mathrm{Ma}$: $u = 0.164$, error $8.7\,\%$ ($26\,\mathrm{Myr}$; $u/2$ da $8.2\,\%$); uranio-238 a $4.4\,\mathrm{Ga}$: $u = 0.683$, error $43\,\%$ — la aproximación e incluso su estimación del error ($u/2 = 34\,\%$) fallan. (c) $R = 0.004341$, $\sigma_R = 4.34 \times 10^{-6}$; por Proposición 25.3, $\sigma_t = 4.34 \times 10^{-6}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 0.31\,\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 25.11 ★★★

Una biotita cristalizó y cerró hace $400\,\mathrm{Myr}$. Hace $200\,\mathrm{Myr}$ un breve calentamiento le hizo perder una fracción $f$ de su argón, tras lo cual volvió a cerrarse. (a) Muéstrese que hoy

$$\frac{\lambda}{\lambda_e}\,\frac{^{40}\mathrm{Ar}^*}{^{40}\mathrm{K}} = (1 - f)\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr) + e^{\lambda t_2} - 1,$$

con $t_1 = 400\,\mathrm{Myr}$ y $t_2 = 200\,\mathrm{Myr}$. (b) Calcúlese la edad potasio–argón aparente para $f = 0$, $0.3$, $0.6$ y $1$. (c) ¿Por qué una sola edad potasio–argón no puede distinguir una pérdida parcial de un suceso más joven?

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

(a) Sea ${}^{40}\mathrm{K}$ el potasio-40 de hoy. En el tiempo $t_2$ antes del presente había ${}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}$ átomos, y el argón producido entre $t_1$ y $t_2$ fue, por Proposición 25.10 aplicada a ese intervalo, $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,e^{\lambda t_2}\bigl(e^{\lambda (t_1 - t_2)} - 1\bigr) = (\lambda_e/\lambda)\, {}^{40}\mathrm{K}\,\bigl(e^{\lambda t_1} - e^{\lambda t_2}\bigr)$. Una fracción $1 - f$ de ella permaneció. Desde $t_2$, el mineral cerrado ha producido $(\lambda_e/\lambda)\,{}^{40}\mathrm{K}\,(e^{\lambda t_2} - 1)$ más. Sumando y multiplicando por $\lambda/(\lambda_e\,{}^{40}\mathrm{K})$ se obtiene la expresión. (b) La edad aparente es $\ln(1 + \text{expresión})/\lambda$: $400.0\,\mathrm{Myr}$ para $f = 0$, $342.3\,\mathrm{Myr}$ para $0.3$, $282.7\,\mathrm{Myr}$ para $0.6$ y $200.0\,\mathrm{Myr}$ para $1$. (c) Cada edad entre $200\,\mathrm{Myr}$ y $400\,\mathrm{Myr}$ puede producirse por alguna pérdida parcial, y un solo número no puede decir si registra un suceso real en ese momento o una mezcla; hacen falta un espectro de edades, u otros relojes de la misma roca.

Ejercicio 25.12 ★★★

A $12\,000$ cal BP la curva IntCal20 da una edad radiocarbónica de $10\,306$ años BP. (a) Recalcúlese la edad a partir del mismo cociente de actividades con la semivida de $5700$ años. (b) ¿Cuánto de los $1694$ años en que la edad radiocarbónica queda por debajo de la edad de calendario explica la convención de la semivida? (c) Suponiendo que el resto procede de una proporción mayor de carbono-14 en la atmósfera hace $12\,000$ años, calcúlese en cuánto, en tanto por ciento, superó la proporción del estándar.

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

(a) La edad es proporcional a la vida media usada: $10306 \times 8223/8033 = 10\,550$ años. (b) $10550 - 10306 = 244$ años, una séptima parte de los $1694$. (c) Si la actividad inicial era $k A_0$, la edad verdadera es $t = \tau \ln(k A_0/A) = 10\,550 + \tau \ln k$; con $t = 12\,000$, $\ln k = 1450/8223 = 0.176$ y $k = 1.19$: unos $19\,\%$ más carbono-14 que en el estándar.

25.7 Problema: datación del granito de Varden y de su cobertera

Problema 25.1

Problema de fin de semana — cómo cuatro relojes datan la cristalización, el enfriamiento y la exhumación de un granito

El granito de las colinas de Varden, región inventada de la serie, intruye el sótano de esquistos y está cubierto, sobre una discordancia, por la arenisca triásica. Úsense las constantes de Table 25.1, las temperaturas de cierre de la figura de Sección 25.4, la masa atómica del potasio $39.098\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y la abundancia del potasio-40, $0.0117\,\%$ de los átomos de potasio. Todos los análisis son datos del ejercicio.

Parte I — Una isócrona de roca total. Seis muestras de roca total dan:

$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.92	2.15	3.40	5.05	7.60	10.30
$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$	0.71211	0.71718	0.72284	0.72986	0.74113	0.75261

1. Represéntense las seis muestras. ¿Están sobre una recta?
2. Calcúlense $\bar x$, $\bar y$, $S_{xx}$ y $S_{xy}$, y luego la pendiente de mínimos cuadrados.
3. Calcúlese la ordenada en el origen. ¿Qué representa?
4. Calcúlese la edad del granito.
5. Calcúlense los residuos, $s$ y la incertidumbre de la edad.
6. ¿Está el cociente inicial más cerca del del manto o del de la corteza continental? Si el magma fuera una mezcla de fundidos con $0.7025$ y $0.710$, igualmente ricos en estroncio, ¿qué parte de su estroncio procedía de la corteza?

Parte II — Potasio y argón. Una biotita contiene $7.40\,\%$ de potasio en masa y $4.139\,\mathrm{nmol}$ de argón-40 radiogénico por gramo; una hornblenda, $1.10\,\%$ y $0.6333\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$.

7. Calcúlese el número de átomos de potasio-40 en un gramo de la biotita.
8. Calcúlese la edad potasio–argón de la biotita.
9. Calcúlese la de la hornblenda.
10. ¿Qué edad daría la biotita si se olvidara la ramificación y todas las desintegraciones se contaran como argón? ¿Por qué no se usa el calcio-40 en su lugar?
11. ¿Por qué el argón en exceso, atrapado cuando se formaron los minerales, preocupa poco aquí?
12. Ambas edades son más jóvenes que la edad de la isócrona. Den dos explicaciones, y díganse cómo un espectro de edades argón–argón podría distinguirlas.

Parte III — Enfriamiento. Un circón del granito da $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.049361$ y $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.35784$.

13. Calcúlense las dos edades uranio–plomo. ¿Son concordantes?
14. Asígnese a cada edad de las partes I a III el suceso que data. Dibújese la temperatura del granito frente al tiempo desde el circón hasta la biotita.
15. Calcúlese la velocidad media de enfriamiento entre los cierres de la hornblenda y de la biotita.
16. ¿Qué puede decirse de la velocidad de enfriamiento entre el cierre del circón y el de la hornblenda?
17. Con una incertidumbre de $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en cada una de las dos temperaturas de cierre, independientes, ¿qué intervalo de velocidades de enfriamiento es posible?
18. Con la otra tabla citada en el capítulo ($550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para la hornblenda, $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para la biotita), ¿qué velocidad se obtiene? ¿Qué dice esto del resultado?
19. Supóngase un geotermo de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo una superficie a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿A qué profundidad estaba el granito cuando cerró la biotita?

Parte IV — La discordancia. Una capa de ceniza a $18\,\mathrm{m}$ por encima de la base de la arenisca triásica contiene circones con $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.039108$ y $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.27577$. Una segunda capa de ceniza, $58\,\mathrm{m}$ por encima de la base, se data en $245.30\,\mathrm{Ma}$. Los circones detríticos del metro más bajo de la arenisca dan edades de unos $310\,\mathrm{Ma}$.

20. Calcúlese la edad de la capa de ceniza inferior.
21. ¿De dónde proceden los circones detríticos, y qué dicen sobre la edad de la arenisca?
22. Calcúlese la velocidad de acumulación de la arenisca entre las capas de ceniza, y la edad de su base, suponiendo la misma velocidad por debajo de la ceniza inferior.
23. ¿Cuánto dura el hueco en el registro en la discordancia, desde la cristalización del granito hasta la sedimentación de la arenisca?
24. Calcúlese la velocidad media de erosión que llevó el granito desde la profundidad de la pregunta 19 hasta la superficie. ¿Qué supuesto hace esto sobre el lugar donde estaba la roca erosionada?
25. ¿Cuál es la velocidad de enfriamiento del granito?

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. Los puntos suben de forma constante con $x$; sus desviaciones de una recta son como mucho dos unidades en la cuarta cifra decimal, frente a un intervalo de $0.04$ en $y$: están sobre una recta, con poca dispersión.
2. $\bar x = 4.90333$, $\bar y = 0.729288$, $S_{xx} = 62.1253$, $S_{xy} = 0.269335$; $m = 0.269335/62.1253 = 0.0043354$.
3. $b = 0.729288 - 0.0043354 \times 4.90333 = 0.70803$: la $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ del granito cuando cristalizó, compartida por todas sus partes.
4. $t = \ln(1.0043354)/1.3972 \times 10^{-11} = 309.6\,\mathrm{Ma}$.
5. Los residuos son $+9.1$, $-17.2$, $+6.9$, $-6.4$, $+15.1$ y $-7.5$ (en unidades de $10^{-5}$); $s = 0.000137$, $\sigma_m = 0.000137/\sqrt{62.1253} = 1.74 \times 10^{-5}$, $\sigma_t = 1.74 \times 10^{-5}/(1.3972 \times 10^{-11} \times 1.0043) = 1.2\,\mathrm{Myr}$: $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, y $\sigma_b = 0.00010$.
6. $0.7080$ está más cerca del $0.710$ de la corteza que del $0.7025$ del manto. Para una mezcla, $(0.70803 - 0.7025)/(0.710 - 0.7025) = 0.74$: unas tres cuartas partes del estroncio procedían de la corteza fundida.
7. $0.0740/39.098 \times 1.17 \times 10^{-4} = 2.214 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol}$ por gramo, por $6.022 \times 10^{23}$: $1.33 \times 10^{17}$ átomos.
8. $^{40}\mathrm{Ar}^*/^{40}\mathrm{K} = 4.139 \times 10^{-9}/2.2144 \times 10^{-7} = 0.018691$; $1 + 9.5404 \times 0.018691 = 1.17832$; $t = \ln(1.17832)/5.543 \times 10^{-10} = 296.0\,\mathrm{Ma}$.
9. $^{40}\mathrm{K} = 3.292 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}\,\mathrm{g}^{-1}$, cociente $0.019239$, $\ln(1.18355)/5.543 \times 10^{-10} = 304.0\,\mathrm{Ma}$.
10. $\ln(1.018691)/5.543 \times 10^{-10} = 33.4\,\mathrm{Ma}$, nueve veces demasiado joven, porque solo una desintegración de cada diez da argón. El calcio-40 es el isótopo común del calcio, abundante en las rocas: lo poco producido por desintegración no puede distinguirse del calcio que los minerales contenían desde el principio.
11. El exceso de argón desplaza las edades en cantidades del orden de un millón de años, lo que importa en rocas jóvenes; aquí sería muy por debajo del $1\,\%$ de la edad. Y los cristales de mica y de anfíbol apenas incorporan argón al formarse.
12. O bien el granito se enfrió despacio y las micas y el anfíbol cerraron después de cristalizar (edades de enfriamiento), o un calentamiento posterior expulsó parte de su argón. Una meseta plana en un espectro de edades argón–argón respalda una edad de enfriamiento; un espectro sin meseta advierte de que los minerales perdieron argón. El orden de las edades, con la hornblenda antes que la biotita como predicen sus temperaturas de cierre, también apunta al enfriamiento.
13. $\ln(1.049361)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$ y $\ln(1.35784)/9.8485 \times 10^{-10} = 310.6\,\mathrm{Ma}$: concordantes.
14. Circón $310.6\,\mathrm{Ma}$, cierre por encima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: cristalización; la isócrona de roca total, $(309.6 \pm 1.2)\,\mathrm{Ma}$, también la data, y concuerda dentro de su incertidumbre; hornblenda $304.0\,\mathrm{Ma}$: enfriamiento por debajo de unos $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; biotita $296.0\,\mathrm{Ma}$: enfriamiento por debajo de unos $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La gráfica desciende desde más de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $310.6\,\mathrm{Ma}$ hasta $280\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $296.0\,\mathrm{Ma}$.
15. $(530 - 280)/(304.02 - 296.03) = 250/7.99 = 31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años.
16. $(750 - 530)/(310.60 - 304.02) = 220/6.58 = 33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años como mínimo, ya que el circón cerró por encima de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: el enfriamiento fue al menos tan rápido al principio.
17. La diferencia de temperaturas, $250 \pm \sqrt{40^2 + 40^2} = 250 \pm 57$, da $24\text{ a }38\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años.
18. $(550 - 350)/7.99 = 25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años, dentro del intervalo de la pregunta 17: la incertidumbre procede de las temperaturas de cierre, no de las edades.
19. $(280 - 10)/30 = 9.0\,\mathrm{km}$.
20. $\ln(1.039108)/1.551\,25 \times 10^{-10} = 247.30\,\mathrm{Ma}$, y lo mismo a partir del cociente del uranio-235: concordantes.
21. Del granito, erosionado en la discordancia: su edad es la de su cristalización. Solo muestran que la arenisca es más joven que $310\,\mathrm{Ma}$: una edad máxima, mucho más débil que la capa de ceniza.
22. $(58 - 18)/(247.30 - 245.30) = 20.0\,\mathrm{m}$ por millón de años; la base está $18/20.0 = 0.90\,\mathrm{Myr}$ más antigua que la ceniza inferior: $248.20\,\mathrm{Ma}$.
23. Desde $309.6\,\mathrm{Ma}$ (isócrona) o $310.6\,\mathrm{Ma}$ (circón) hasta $248.2\,\mathrm{Ma}$: unos $62\,\mathrm{Myr}$.
24. $9.0\,\mathrm{km}$ en $296.0 - 248.2 = 47.8\,\mathrm{Myr}$: $0.19\,\mathrm{km}$ por millón de años, $0.19\,\mathrm{mm}$ por año. Esto supone que la biotita datada procedía justo por debajo de la discordancia, de modo que toda la roca que la cubría en el granito y en el esquisto se eliminó cuando llegó la arena, y que el geotermo se mantuvo constante.
25. El granito se enfrió a unos $31\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por millón de años entre los cierres de la hornblenda y de la biotita.