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Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer año · 本科一年级

5Cortes geológicos

Una empresa de ingeniería planea un túnel bajo las colinas de Varden, recto de oeste a este, a una altitud constante de $200\,\mathrm{m}$ . Antes de perforar un solo metro, los geólogos deben decir qué rocas cortará la máquina, dónde cruzará la falla y cuánto tiempo pasará en la caliza, una roca que puede contener cavidades abiertas y agua. Nadie puede ver dentro de las colinas; pero el mapa geológico de Capítulo 4, unos pocos sondeos y la geometría de los planos bastan para dibujar una rebanada vertical del terreno —un corte geológico— y leer en ella las respuestas. Este capítulo enseña cómo se construye un corte a partir de un mapa, cómo cambian los buzamientos y los espesores cuando la rebanada se corta oblicuamente, cómo se correlacionan los sondeos y cómo un corte cuenta la historia de las rocas que atraviesa. Termina con el túnel.

Lo que ya sabes

La actitud de un plano viene dada por su dirección de buzamiento $\alpha$ y su buzamiento $\delta$ , y el plano que pasa por un punto de altitud $z_0$ en el origen es $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ ; tres puntos de un contacto fijan su actitud; la regla de la V permite leer el buzamiento a partir del patrón de afloramiento en los valles (Capítulo 4). Una curva de nivel une, en un mapa topográfico, puntos de igual altitud (libro 1, año 9). Las rocas más jóvenes se apoyan sobre las más antiguas, y lo que corta a una roca es más joven que ella (libro 1, año 7).

5.1 Del mapa al corte

Definición 5.1 (Corte geológico, perfil topográfico, exageración vertical)

Un corte geológico es un dibujo de las unidades de roca y de las estructuras en un plano vertical a través del terreno, a lo largo de una línea trazada en el mapa. Su borde superior es el perfil topográfico, la curva de la altitud del terreno a lo largo de la línea. La exageración vertical $e$ de un corte es el cociente entre su escala vertical y su escala horizontal; un corte es a escala verdadera cuando $e = 1$ .

Método 5.2 (Construcción de un corte geológico a partir de un mapa)

Trácese la línea del corte en el mapa y apóyese a lo largo de ella el borde de una tira de papel; márquense los puntos donde cada curva de nivel la cruza, con su altitud, y donde la cruza cada contacto y cada falla.
Trácese una línea base horizontal de la misma longitud y una escala vertical de altitudes (elíjase $e$ y escríbase en el corte).
Llévese cada marca de curva de nivel a su altitud y únanse los puntos suavemente: este es el perfil topográfico.
Llévese cada contacto y cada falla al perfil, en el punto donde cruzan la línea.
Desde cada uno de esos puntos, trácese el contacto hacia el interior del terreno con su buzamiento en el plano del corte —su buzamiento aparente (Sección 5.2)— exagerado por $e$ si $e \ne 1$ ; úsense los sondeos y las curvas de nivel de la estructura donde los haya.
Complétense las unidades entre los contactos, respetando el orden de superposición y los cortes, y añádanse la leyenda, las escalas, la orientación de la línea y $e$ .

Construcción de un corte (esquema): los cruces de las curvas de nivel con la línea X–Y se llevan hacia abajo a sus altitudes para dar el perfil topográfico; un contacto que cruza la línea se lleva al perfil y se dibuja en el terreno con su buzamiento aparente.

La sección siguiente se construyó por ordenador a partir del modelo de las colinas de Varden a lo largo de la línea C–D, que va exactamente hacia el este a través del mapa en $y = 6\,\mathrm{km}$ . Muestra el anticlinal cuyo núcleo de arenisca y basamento aparece en $x \approx 3.5\,\mathrm{km}$ , la caliza y la lutita en sus flancos, la creta en el sinclinal al este y la falla normal. La línea del túnel, a $200\,\mathrm{m}$ , y los sondeos B1, B2, B3 de Sección 5.4 se dibujan sobre ella.

Corte C–D a través de las colinas de Varden, a partir del modelo de la región. Arriba: exageración vertical e = 3; abajo: el mismo corte a escala verdadera (e = 1), donde los flancos de 12 parecen tan suaves como son. Colores como en el mapa geológico de ; la falla (línea gruesa) es la falla normal, cuyo bloque oriental está hundido. La línea roja es el túnel del problema; B1–B3 son sondeos. — Corte C–D a través de las colinas de Varden, a partir del modelo de la región. Arriba: exageración vertical $e = 3$ ; abajo: el mismo corte a escala verdadera ( $e = 1$ ), donde los flancos de $12{}^{\circ}$ parecen tan suaves como son. Colores como en el mapa geológico de Capítulo 4; la falla (línea gruesa) es la falla normal, cuyo bloque oriental está hundido. La línea roja es el túnel del problema; B1–B3 son sondeos.

La exageración vertical hace legibles las unidades delgadas y el relieve suave, pero deforma todos los ángulos: los flancos de $12{}^{\circ}$ del pliegue aparecen en torno a $32{}^{\circ}$ en el corte superior. La sección siguiente dice exactamente cómo.

5.2 Buzamiento aparente

Definición 5.3 (Buzamiento aparente)

El buzamiento aparente $\beta$ de un plano en un corte vertical dado es el ángulo entre la horizontal y la traza del plano en ese corte. Es igual al buzamiento verdadero $\delta$ cuando el corte sigue la dirección de buzamiento, y es cero cuando sigue el rumbo.

Teorema 5.4 (Cálculo del buzamiento aparente)

Un plano de buzamiento $\delta$ y dirección de buzamiento $\alpha$ , cortado por un corte vertical de acimut $\theta$ , muestra el buzamiento aparente $\beta$ con

\tan\beta = \tan\delta\,\cos\gamma, \qquad \gamma = \alpha - \theta ,

el plano desciende en la dirección $\theta$ cuando $\cos\gamma > 0$ . En particular $|\beta| \le \delta$ , con igualdad solo en la dirección de buzamiento.

Demostración. Tómese el plano $z = z_0 - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ de Capítulo 4. A lo largo del corte, un paso horizontal de longitud $s$ en la dirección $\theta$ es $(x, y) = s(\sin\theta, \cos\theta)$ , así que $z = z_0 - s\tan\delta\,(\sin\theta\sin\alpha + \cos\theta\cos\alpha) = z_0 - s\tan\delta\cos(\alpha - \theta)$ . La traza es una recta que desciende $\tan\delta\cos\gamma$ por unidad de distancia horizontal: es decir, $\tan\beta$ . Como $|\cos\gamma| \le 1$ , $|\tan\beta| \le \tan\delta$ . ∎

Buzamiento aparente (bloque esquemático). Un plano que buza hacia el este (azul) muestra su buzamiento verdadero en la cara frontal, una cara vertical cortada en la dirección de buzamiento; en el corte vertical gris, cortado oblicuamente, su traza (roja) desciende más suavemente, con el buzamiento aparente ; en un corte a lo largo del rumbo, norte–sur, sería horizontal. — Buzamiento aparente (bloque esquemático). Un plano que buza hacia el este (azul) muestra su buzamiento verdadero $\delta$ en la cara frontal, una cara vertical cortada en la dirección de buzamiento; en el corte vertical gris, cortado oblicuamente, su traza (roja) desciende más suavemente, con el buzamiento aparente $\beta$ ; en un corte a lo largo del rumbo, norte–sur, sería horizontal.

Proposición 5.5 (Ángulos en un corte exagerado)

En un corte dibujado con exageración vertical $e$ , una recta de buzamiento aparente $\beta$ se dibuja con el ángulo $\beta'$ , con $\tan\beta' = e\tan\beta$ .

Demostración. Sobre una distancia horizontal $s$ la recta desciende $s\tan\beta$ ; dibujada con una escala vertical $e$ veces la horizontal, la caída aparece como $es\tan\beta$ sobre la misma longitud dibujada $s$ . ∎

Ejemplo 5.6

El flanco oriental del anticlinal de Varden buza $12.16{}^{\circ}$ hacia $080.7{}^{\circ}$ (Capítulo 4). En el corte oeste–este C–D, $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ , y $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2154\times0.9868 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ . Dibujado con $e = 3$ , aparece en $\arctan(3\times0.2126) = 32.5{}^{\circ}$ . En el corte A–B de acimut $071.6{}^{\circ}$ , $\gamma = 9.1{}^{\circ}$ y $\beta = 12.0{}^{\circ}$ también: ambos cortes siguen de cerca la dirección de buzamiento. La falla, que buza $60{}^{\circ}$ hacia $120{}^{\circ}$ , tiene en C–D el buzamiento aparente $\arctan(\tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ}) = \arctan 1.5 = 56.3{}^{\circ}$ .

5.3 Espesor

Definición 5.7 (Espesor verdadero, espesor vertical)

El espesor verdadero $t$ de una capa es la distancia entre su base y su techo medida perpendicularmente a la estratificación. Su espesor vertical $h$ es la misma distancia medida a lo largo de la vertical, tal como la corta un sondeo vertical.

Proposición 5.8 (Espesor de una capa buzante)

Para una capa de buzamiento $\delta$ :

$t = h\cos\delta$ ;
sobre terreno horizontal, si el afloramiento de la capa tiene la anchura $w$ medida perpendicularmente al rumbo, $t = w\sin\delta$ ;
sobre un terreno con pendiente $\sigma$ en la dirección perpendicular al rumbo, con $w$ medida a lo largo del terreno, $t = w\sin(\delta + \sigma)$ si el terreno desciende en sentido contrario al buzamiento, y $t = w\sin(\delta - \sigma)$ si desciende en el mismo sentido, pero menos inclinado que los estratos.

Demostración. En el plano vertical perpendicular al rumbo, la base y el techo de la capa son dos rectas paralelas inclinadas $\delta$ , separadas una distancia $t$ . (1) Un segmento vertical que las une forma con su normal común el ángulo $\delta$ , así que $t = h\cos\delta$ . (2)–(3) Un segmento de longitud $w$ que las une a lo largo del terreno forma con la estratificación el ángulo $\delta$ cuando el terreno es horizontal, $\delta + \sigma$ cuando el terreno sube en sentido contrario al buzamiento (las dos inclinaciones se suman), y $\delta - \sigma$ cuando baja en el mismo sentido; la distancia entre las rectas paralelas es la longitud del segmento por el seno de ese ángulo. ∎

Espesores de una capa buzante en el plano vertical perpendicular al rumbo: el espesor verdadero t, perpendicular a la estratificación; el espesor vertical h = t/; la anchura del afloramiento w = t/ sobre terreno horizontal (esquema, con = 25). — Espesores de una capa buzante en el plano vertical perpendicular al rumbo: el espesor verdadero $t$ , perpendicular a la estratificación; el espesor vertical $h = t/\cos\delta$ ; la anchura del afloramiento $w = t/\sin\delta$ sobre terreno horizontal (esquema, con $\delta = 25{}^{\circ}$ ).

En las colinas de Varden, un sondeo que entra en la caliza por arriba la atraviesa a lo largo de $180\,\mathrm{m}$ de testigo: ese es su espesor vertical. Su espesor verdadero es $180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ . Una unidad delgada y una unidad gruesa pueden mostrar la misma anchura de afloramiento si sus buzamientos difieren, y una capa empinada puede mostrar un afloramiento ancho en una ladera que corre con ella: el espesor nunca se lee directamente de un mapa.

5.4 Sondeos y curvas de nivel de la estructura

Definición 5.9 (Registro de sondeo, correlación)

Un registro de sondeo es la anotación, frente a la profundidad, de las rocas que atraviesa un sondeo: las unidades, las profundidades de sus contactos y cualquier propiedad medida. La correlación es el emparejamiento de las mismas unidades y contactos de un registro a otro.

Tres sondeos perforados en la línea C–D dan las siguientes profundidades bajo el terreno de la base de cada unidad (un guion: el contacto queda por encima del terreno, erosionado):

sondeo	$x$ (km)	terreno (m)	creta	lutita	caliza	arenisca
B1	1.5	524.02	388.98	488.98	668.98	788.98
B2	3.5	380.64	—	—	100.48	220.48
B3	5.5	529.98	394.93	494.93	674.93	794.93

B2 empieza en la caliza, en la cresta del anticlinal; B1 y B3 empiezan en la creta, en sus flancos. Restando las profundidades a la altitud del terreno se obtienen las altitudes de los contactos: la base de la caliza queda en $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ en B2 y en $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ en B3, $425.11\,\mathrm{m}$ más abajo a lo largo de $2\,\mathrm{km}$ , una pendiente de $0.2126$ : el buzamiento aparente de $12.0{}^{\circ}$ hallado antes. B1 y B3 dan los mismos espesores, $100\,\mathrm{m}$ de lutita, $180\,\mathrm{m}$ de caliza y $120\,\mathrm{m}$ de arenisca: las unidades tienen el mismo espesor vertical en ambos flancos.

Los registros de los sondeos B1, B2 y B3 sobre la línea C–D, colgados a sus altitudes verdaderas (no a escala horizontal), y su correlación: la base de la caliza (roja) y la de la arenisca (azul) suben desde ambos flancos hasta la cresta del anticlinal en B2.

Donde hay muchos sondeos, la forma de un contacto enterrado se cartografía con curvas de nivel estructurales.

Definición 5.10 (Curva de nivel estructural, mapa de curvas de nivel estructurales)

Una curva de nivel estructural de una superficie geológica es una línea que une puntos de la superficie a la misma altitud. Un mapa de curvas de nivel estructurales dibuja las curvas de nivel estructurales de una superficie a intervalos regulares, tanto si la superficie queda enterrada como si ha sido erosionada.

Para un plano, las curvas de nivel estructurales son rectas, paralelas al rumbo y equidistantes: un intervalo $\Delta z$ entre curvas corresponde a la separación horizontal $\Delta z/\tan\delta$ . Donde una superficie se pliega, sus curvas se doblan alrededor del pliegue; donde una falla la corta, se interrumpen y reaparecen desplazadas, con un hueco o un solapamiento.

Método 5.11 (Trazado de un mapa de curvas de nivel estructurales)

Para cada sondeo, y para cada punto donde la superficie aflora, calcúlese la altitud de la superficie (la altitud del terreno menos la profundidad; en un afloramiento, la propia altitud del terreno).
Donde la superficie se parezca a un plano, tómense tres puntos y hállese su actitud por el método de los tres puntos de Capítulo 4; trácense curvas paralelas al rumbo, separadas $\Delta z/\tan\delta$ .
Donde no, interpólese linealmente entre puntos vecinos (triángulos de puntos), y únanse las altitudes iguales.
Trácense primero las fallas, y cartografíese cada bloque de falla por separado.

Curvas de nivel estructurales de la base de la caliza de las colinas de Varden, cada 100\, m (rojas, rotuladas cada 200\, m), sobre las curvas de nivel topográficas (grises). En los flancos corren casi de norte a sur, paralelas al rumbo; alrededor de las charnelas de los pliegues con inmersión forman V; en la falla (trazos en el bloque hundido) se detienen en las dos líneas de corte de la superficie, separadas por el salto horizontal, y reaparecen desplazadas en el bloque superior. El corte C–D está en trazos. — Curvas de nivel estructurales de la base de la caliza de las colinas de Varden, cada $100\,\mathrm{m}$ (rojas, rotuladas cada $200\,\mathrm{m}$ ), sobre las curvas de nivel topográficas (grises). En los flancos corren casi de norte a sur, paralelas al rumbo; alrededor de las charnelas de los pliegues con inmersión forman V; en la falla (trazos en el bloque hundido) se detienen en las dos líneas de corte de la superficie, separadas por el salto horizontal, y reaparecen desplazadas en el bloque superior. El corte C–D está en trazos.

5.5 Del corte a la historia

A un corte no solo muestra dónde están las rocas, sino cómo llegaron a estar allí. Los contactos entre unidades registran una sedimentación continua o un hueco.

Definición 5.12 (Discordancia, discordancia angular, paraconformidad)

Una discordancia es una superficie de erosión o de no depósito que separa rocas más jóvenes de otras más antiguas, y que por tanto marca un hueco en el registro. En una discordancia angular los estratos antiguos se inclinaron o plegaron antes de que se depositaran los jóvenes sobre sus bordes erosionados, de modo que los dos conjuntos de estratos se encuentran formando un ángulo. En una paraconformidad los estratos de encima y de debajo son paralelos, y el hueco solo aparece como una superficie de erosión o como fósiles o edades que faltan.

Definición 5.13 (Salto vertical, salto horizontal)

El salto vertical de una falla es la componente vertical del desplazamiento de una superficie marcadora a través de ella; su salto horizontal es la componente horizontal, medida en la dirección de buzamiento de la falla. Para una falla de desplazamiento según el buzamiento, de buzamiento $\varphi$ , $\text{salto horizontal} = \text{salto vertical}/\tan\varphi$ .

La falla normal de las colinas de Varden buza $60{}^{\circ}$ y tiene un salto vertical de $200\,\mathrm{m}$ : su salto horizontal es $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ . En el corte C–D, oblicuo a la dirección de buzamiento de la falla, la falla aparece con $56.3{}^{\circ}$ , y los mismos $200\,\mathrm{m}$ de salto vertical separan los dos cortes de un contacto por $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$ a lo largo del corte. Para restituir el corte —ver las rocas como estaban antes de que la falla se moviera—, el bloque del techo se desliza hacia arriba por el plano de falla en la magnitud del deslizamiento; restituir también el plegamiento, desdoblando las capas, devolvería la cobertera subhorizontal sobre el basamento erosionado. Leyendo un corte de abajo arriba, se sigue la historia de las colinas de Varden: el esquisto, el granito que lo intruye, la erosión, la discordancia angular, la cobertera depositada casi plana, el plegamiento, el fallamiento y la erosión que dio las colinas de hoy.

Historia — Hutton en Siccar Point

En Siccar Point, en la costa sureste de Escocia, capas casi verticales de arenisca y lutita grises, de edad silúrica temprana, están cortadas por una superficie de erosión y cubiertas por brecha, conglomerado y arenisca rojos, suavemente inclinados, de edad devónica tardía. James Hutton describió esta discordancia angular en su Theory of the Earth, leído ante la Real Sociedad de Edimburgo e impreso en sus Transactions en 1788, y luego ampliado en un libro en 1795; un dibujo de Sir James Hall recoge lo que Hutton vio. Las capas inferiores se habían depositado planas en el fondo del mar, se habían levantado de canto, elevado y desgastado; solo entonces se depositaron las capas superiores sobre ellas, y todo el conjunto volvió a elevarse. Cada paso exigía un lapso de tiempo mucho más largo del que nadie había imaginado, y la lectura de Hutton de este afloramiento suele citarse como el momento en que la geología descubrió la antigüedad de la Tierra.

Discordancia de Hutton en Siccar Point: capas grises silúricas casi verticales debajo, capas rojas devónicas suavemente inclinadas encima. Fotografía PawełS, CC BY-SA 4.0 (Wikimedia Commons).

Sobre el terreno — Geología para un túnel

Antes de diseñar un túnel, los geólogos de ingeniería construyen cortes a lo largo de su línea a partir del mapa geológico, de sondeos perforados a intervalos a lo largo del trazado y de prospecciones geofísicas. Predicen cada unidad que cortará el túnel, las fallas que cruzará y los puntos donde puede entrar agua. Durante la excavación, los geólogos del contratista registran la roca que queda al descubierto en el frente en cada avance, la comparan con la predicción y actualizan el corte; los sondeos de reconocimiento que se perforan por delante de la máquina ponen a prueba el terreno antes de que llegue a él, sobre todo cerca de una falla prevista o en la caliza, que puede contener cavidades. Una zona de falla de roca triturada es un peligro clásico, tanto más cuando la misma roca aparece a ambos lados y nada en el frente lo anuncia.

5.6 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

A partir de un mapa a escala 1:25 000 se dibuja un corte con una escala vertical de $1\,\mathrm{cm}$ por cada $100\,\mathrm{m}$ . ¿Cuál es su exageración vertical?

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

A 1:25 000, $1\,\mathrm{cm}$ del mapa son $250\,\mathrm{m}$ sobre el terreno. La escala vertical es de $1\,\mathrm{cm}$ por cada $100\,\mathrm{m}$ , así que la escala vertical es $250/100 = 2.5$ veces la horizontal: $e = 2.5$ .

Ejercicio 5.2 ★

Un estrato buza $40{}^{\circ}$ hacia $090{}^{\circ}$ . ¿Cuál es su buzamiento aparente en un corte vertical de acimut $060{}^{\circ}$ ? ¿Y en uno de acimut $000{}^{\circ}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

$\gamma = 90{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ , y $\tan\beta = \tan40{}^{\circ} \cos30{}^{\circ} = 0.8391\times0.8660 = 0.7267$ : $\beta = 36.0{}^{\circ}$ , el estrato baja hacia el extremo este del corte. En el corte de acimut $000{}^{\circ}$ , $\gamma = 90{}^{\circ}$ y $\beta = 0$ : el corte sigue el rumbo y el estrato aparece horizontal.

Ejercicio 5.3 ★

Un sondeo vertical atraviesa $120\,\mathrm{m}$ de arenisca cuyos estratos buzan $12.16{}^{\circ}$ . ¿Cuál es el espesor verdadero de la arenisca?

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$t = h\cos\delta = 120\times\cos12.16{}^{\circ} = 120\times0.9776 = 117.3\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 5.4 ★

Un contacto que buza $12{}^{\circ}$ en el plano de un corte se dibuja con exageraciones verticales de 2, 3 y 5. ¿A qué ángulos aparece?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

$\tan12{}^{\circ} = 0.2126$ . Con $e = 2$ : $\arctan 0.4251 = 23.0{}^{\circ}$ ; con $e = 3$ : $\arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ ; con $e = 5$ : $\arctan 1.0628 = 46.7{}^{\circ}$ . El ángulo crece mucho menos que $e$ y nunca llega a $90{}^{\circ}$ .

Ejercicio 5.5 ★★

Una capa buza $25{}^{\circ}$ . Su afloramiento tiene $300\,\mathrm{m}$ de anchura, medida perpendicularmente al rumbo. Calcúlese su espesor verdadero (a) sobre terreno horizontal; (b) sobre un terreno con una pendiente de $10{}^{\circ}$ en sentido contrario al buzamiento, siendo la anchura medida a lo largo del terreno; (c) sobre un terreno con una pendiente de $10{}^{\circ}$ en el mismo sentido que el buzamiento.

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

(a) $t = 300\sin25{}^{\circ} = 126.8\,\mathrm{m}$ . (b) $t = 300\sin35{}^{\circ} = 172.1\,\mathrm{m}$ . (c) $t = 300\sin15{}^{\circ} = 77.6\,\mathrm{m}$ . Una misma anchura de afloramiento puede corresponder a espesores que difieren más de un factor dos: hay que tener siempre en cuenta la pendiente del terreno.

Ejercicio 5.6 ★★

Un estrato muestra un buzamiento aparente de $20{}^{\circ}$ hacia el norte en un corte norte–sur, y de $30{}^{\circ}$ hacia el este en un corte este–oeste. Hállense su dirección de buzamiento y su buzamiento verdadero.

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

Con dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$ , el teorema da en el corte norte–sur ( $\theta = 0$ ) $\tan20{}^{\circ} = \tan\delta\cos\alpha$ , y en el corte este–oeste ( $\theta = 90{}^{\circ}$ ) $\tan30{}^{\circ} = \tan\delta\cos(\alpha - 90{}^{\circ}) = \tan\delta\sin\alpha$ . Dividiendo, $\tan\alpha = 0.5774/0.3640 = 1.586$ , $\alpha = 057.8{}^{\circ}$ ; sumando los cuadrados, $\tan\delta = \sqrt{0.3640^2 + 0.5774^2} = 0.6825$ , $\delta = 34.3{}^{\circ}$ . Los dos buzamientos aparentes son menores que el verdadero, como debe ser.

Ejercicio 5.7 ★★

El muro de la caliza en el flanco oriental buza $12.16{}^{\circ}$ . ¿Cuál es la separación horizontal de sus curvas de nivel estructurales trazadas cada $100\,\mathrm{m}$ ? Compruébese en el mapa de curvas de nivel estructurales.

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

$100/\tan12.16{}^{\circ} = 100/0.2155 = 464.1\,\mathrm{m}$ . En el mapa, las curvas de nivel estructurales del flanco oriental están, en efecto, a un poco menos de medio kilómetro, equidistantes y paralelas: el flanco es un plano.

Ejercicio 5.8 ★★

A partir de la tabla de sondeos, calcúlese la altitud de la base de la lutita en B1 y en B3. Sobre B2 la lutita ha sido erosionada: a partir del espesor vertical de la caliza, hállese la altitud que tendría su base allí, y el buzamiento aparente de ese contacto entre B1 y B2 en el corte C–D. ¿Qué indica sobre el pliegue la comparación de B1 y B3?

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

B1: $524.02 - 488.98 = 35.04\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 494.93 = 35.05\,\mathrm{m}$ . Sobre B2, la base de la lutita es el techo de la caliza, $180\,\mathrm{m}$ por encima de su base: $280.16 + 180 = 460.16\,\mathrm{m}$ , más alta que el terreno ( $380.64\,\mathrm{m}$ ), por eso está erosionada allí. Entre B1 y B2 el contacto sube $460.16 - 35.04 = 425.12\,\mathrm{m}$ a lo largo de $2000\,\mathrm{m}$ : una pendiente de $0.2126$ , un buzamiento aparente de $12.0{}^{\circ}$ . B1 y B3, a la misma distancia a cada lado de B2, encuentran cada contacto a la misma altitud con $1\,\mathrm{cm}$ de diferencia: el pliegue es simétrico respecto de un plano axial vertical en $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , sus dos flancos buzan igual, y ninguna falla corta el corte entre ellos.

Ejercicio 5.9 ★★

Una falla normal que buza $50{}^{\circ}$ hacia $180{}^{\circ}$ tiene un salto vertical de $150\,\mathrm{m}$ . Calcúlese su salto horizontal. En un corte vertical de acimut $150{}^{\circ}$ , ¿cuáles son el buzamiento aparente de la falla y la separación de los dos cortes de un estrato horizontal a lo largo del corte?

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

Salto horizontal $= 150/\tan50{}^{\circ} = 150/1.1918 = 125.9\,\mathrm{m}$ . En el corte de acimut $150{}^{\circ}$ , $\gamma = 30{}^{\circ}$ y $\tan\beta = 1.1918\times0.8660 = 1.0321$ : la falla aparece con el buzamiento aparente $45.9{}^{\circ}$ . Los cortes de un estrato horizontal están separados $150\,\mathrm{m}$ en vertical en esa traza, luego $150/1.0321 = 145.3\,\mathrm{m}$ de separación a lo largo del corte, más que el salto horizontal, ya que el corte cruza la falla oblicuamente.

Ejercicio 5.10 ★★★

Para un estrato que buza $40{}^{\circ}$ , ¿en qué direcciones de corte el buzamiento aparente es la mitad del verdadero, es decir, $20{}^{\circ}$ ? Demuéstrese que el buzamiento aparente varía poco cerca de la dirección de buzamiento y deprisa cerca del rumbo.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

$\cos\gamma = \tan20{}^{\circ}/\tan40{}^{\circ} = 0.3640/0.8391 = 0.4338$ , así que $\gamma = 64.3{}^{\circ}$ : los cortes de acimutes $\alpha \pm 64.3{}^{\circ}$ (y las direcciones opuestas, donde el estrato sube). El buzamiento aparente es $40.0{}^{\circ}$ , $39.6{}^{\circ}$ , $38.3{}^{\circ}$ y $36.0{}^{\circ}$ para $\gamma = 0$ , $10{}^{\circ}$ , $20{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ , pero $22.8{}^{\circ}$ , $16.0{}^{\circ}$ , $8.3{}^{\circ}$ y $0$ para $\gamma = 60{}^{\circ}$ , $70{}^{\circ}$ , $80{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ . En efecto, derivando $\tan\beta = \tan\delta\cos\gamma$ , $\dfrac{\mathrm d\beta}{\mathrm d\gamma} = -\dfrac{\tan\delta\sin\gamma}{1 + \tan^2\delta\cos^2\gamma}$ , que es cero en $\gamma = 0$ y vale $-\tan\delta$ en $\gamma = 90{}^{\circ}$ : un corte algo apartado de la dirección de buzamiento muestra casi el buzamiento verdadero, mientras que cerca del rumbo cada grado de acimut cambia el buzamiento aparente casi un grado.

Ejercicio 5.11 ★★★

Un sondeo atraviesa la caliza del flanco oriental (espesor verdadero $176.0\,\mathrm{m}$ , buzamiento $12.16{}^{\circ}$ hacia $080.7{}^{\circ}$ ). ¿Qué longitud de testigo recupera (a) si es vertical; (b) si está inclinado $60{}^{\circ}$ bajo la horizontal hacia $260.7{}^{\circ}$ ; (c) inclinado $60{}^{\circ}$ hacia $080.7{}^{\circ}$ ? (Pista: la longitud es $t/\cos\psi$ , donde $\psi$ es el ángulo entre el sondeo y la normal a la estratificación.)

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

Los estratos buzan hacia el este, así que la normal a la estratificación, seguida hacia abajo, está inclinada $12.16{}^{\circ}$ desde la vertical hacia el oeste, hacia $260.7{}^{\circ}$ . (a) Un sondeo vertical forma con ella el ángulo $\psi = 12.16{}^{\circ}$ : $176.0/\cos12.16{}^{\circ} = 180.0\,\mathrm{m}$ , el espesor vertical. (b) Un sondeo que se hunde $60{}^{\circ}$ hacia $260.7{}^{\circ}$ está inclinado $30{}^{\circ}$ desde la vertical, del mismo lado que la normal: $\psi = 30{}^{\circ} - 12.16{}^{\circ} = 17.84{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.9519$ , y el testigo mide $176.0/0.9519 = 184.9\,\mathrm{m}$ de longitud. (c) Hacia $080.7{}^{\circ}$ está inclinado al otro lado: $\psi = 30{}^{\circ} + 12.16{}^{\circ} = 42.16{}^{\circ}$ , $\cos\psi = 0.7413$ , y el testigo mide $176.0/0.7413 = 237.4\,\mathrm{m}$ . El testigo es más corto, igual a $t$ , cuando el sondeo sigue la normal, hundiéndose $77.84{}^{\circ}$ hacia $260.7{}^{\circ}$ .

Ejercicio 5.12 ★★★

En una discordancia angular, los estratos inferiores buzan $70{}^{\circ}$ hacia $090{}^{\circ}$ y los superiores $20{}^{\circ}$ hacia $270{}^{\circ}$ , con el mismo rumbo. Gírese todo el afloramiento alrededor del rumbo para devolver a la horizontal los estratos superiores: ¿cuál era el buzamiento de los inferiores cuando se depositaron los superiores? Escríbase en orden la historia del afloramiento.

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

En el plano vertical este–oeste, con los ángulos medidos desde el este, los estratos superiores suben hacia el este con $20{}^{\circ}$ y los inferiores bajan hacia el este con $70{}^{\circ}$ . Girando el afloramiento alrededor del rumbo $20{}^{\circ}$ , con el lado este hacia abajo, los estratos superiores quedan horizontales y los inferiores pasan a $70{}^{\circ} + 20{}^{\circ} = 90{}^{\circ}$ : estaban verticales cuando se depositaron los superiores. Historia, desde el acontecimiento más antiguo: los estratos inferiores se depositan planos; se levantan de canto, hasta la vertical, y se elevan; sus bordes se erosionan hasta una superficie; los estratos superiores se depositan sobre esa superficie; el conjunto se inclina $20{}^{\circ}$ hacia el oeste; la erosión corta la superficie del terreno de hoy. Es la historia del afloramiento de Hutton en Siccar Point.

5.7 Problema: un túnel bajo las colinas de Varden

Problema 5.1

Problema de fin de semana — qué rocas cortará un túnel, dónde encontrará la falla y cuánta caliza perforará

El túnel discurre exactamente hacia el este a lo largo de la línea C–D ( $y = 6\,\mathrm{km}$ ), a la altitud constante de $200\,\mathrm{m}$ , desde $x = 1\,\mathrm{km}$ hasta $x = 9\,\mathrm{km}$ . La altitud del terreno a lo largo de C–D es, cada kilómetro desde $x = 0$ :

$x$ (km)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$z$ (m)	509	556	467	370	435	534	501	455	406	339	405

Utilícense la tabla de sondeos del capítulo, el corte C–D dibujado con $e = 3$ , la actitud del flanco oriental (buzamiento $12.16{}^{\circ}$ hacia $080.7{}^{\circ}$ ; el flanco occidental es su imagen especular, que buza hacia $279.3{}^{\circ}$ ), y la falla normal, que buza $60{}^{\circ}$ hacia $120{}^{\circ}$ , tiene un salto vertical de $200\,\mathrm{m}$ y pasa por el punto $x = 4.30\,\mathrm{km}$ , $y = 1.00\,\mathrm{km}$ , $z = 250\,\mathrm{m}$ .

Parte I — El perfil y las unidades.

¿Cuáles son el mayor y el menor espesor de roca sobre el túnel en los puntos kilométricos entre $x = 1$ y $x = 9$ ?
En el corte impreso, $1\,\mathrm{km}$ de distancia horizontal mide $1.4\,\mathrm{cm}$ , y $1\,\mathrm{km}$ de altitud mide $4.2\,\mathrm{cm}$ . Compruébese que $e = 3$ .
A partir del registro de B2, hállese la altitud de la base de la arenisca en la cresta del anticlinal.
¿En qué unidad está el túnel en $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ?
Calcúlese la altitud de la base de la caliza en B1 y en B3.
A partir del corte, enumérense en orden las unidades que atraviesa el túnel desde $x = 1$ hasta $x = 9\,\mathrm{km}$ .

Parte II — Buzamientos en el corte.

Calcúlese el buzamiento aparente del flanco oriental en C–D a partir de su actitud.
Compruébese a partir de las altitudes de la base de la caliza en B2 y en B3.
¿Con qué ángulo se dibuja el flanco oriental en el corte con $e = 3$ ?
Calcúlese el buzamiento aparente de la falla en C–D.
¿Por qué el buzamiento aparente de los flancos en C–D está tan cerca de su buzamiento verdadero, y el de la falla, menos?

Parte III — La falla.

Muéstrese que, en el plano $y = 6\,\mathrm{km}$ , la falla está en

$x = 4300 + \frac{2500 - (z - 250)\tan30{}^{\circ}}{\sin120{}^{\circ}} \quad\text{(metros)}.$
¿Dónde encuentra el túnel a la falla?
Calcúlese el salto horizontal de la falla y la separación de los cortes de un contacto a lo largo de C–D.
¿Qué bloque está hundido, y qué unidad queda a la altura del túnel a cada lado de la falla?
¿Por qué es la falla un peligro que la cuadrilla no podía ver venir desde la roca del frente? ¿Cómo lo previenen los ingenieros?

Parte IV — La caliza.

¿Cuál es el espesor vertical de la caliza en B1?
¿Cuál es su espesor verdadero?
Muéstrese que, al oeste de la falla en C–D, la base de la arenisca está en

$z_b = 160.16 - |x - 3500|\tan12.0{}^{\circ} \quad\text{(metros)}.$
El túnel está en la caliza cuando su base queda por debajo de $200\,\mathrm{m}$ y su techo por encima. Muéstrese que esto ocurre para $377.1 < |x - 3500| < 1224.0$ .
Dense los cuatro puntos donde el túnel entra en la caliza y sale de ella.
Muéstrese que la longitud perforada en cada flanco es $h/\tan\beta$ , donde $h$ es el espesor vertical y $\beta$ el buzamiento aparente, y calcúlese.
¿Qué longitud total de caliza atraviesa el túnel?

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. El espesor sobre el túnel es $z - 200$ : mayor en $x = 1\,\mathrm{km}$ , $556 - 200 = 356\,\mathrm{m}$ ; menor en $x = 9\,\mathrm{km}$ , $339 - 200 = 139\,\mathrm{m}$ .

2. $1\,\mathrm{km}$ de altitud mide $4.2\,\mathrm{cm}$ , y $1\,\mathrm{km}$ de distancia mide $1.4\,\mathrm{cm}$ : $e = 4.2/1.4 = 3$ .

3. $380.64 - 220.48 = 160.16\,\mathrm{m}$ .

4. En B2 la base de la caliza está en $380.64 - 100.48 = 280.16\,\mathrm{m}$ y la base de la arenisca en $160.16\,\mathrm{m}$ : el túnel, a $200\,\mathrm{m}$ , está en la arenisca.

5. B1: $524.02 - 668.98 = -144.96\,\mathrm{m}$ ; B3: $529.98 - 674.93 = -144.95\,\mathrm{m}$ .

6. De oeste a este: creta, lutita, caliza, arenisca (en el núcleo del anticlinal), caliza, lutita, y de nuevo creta hasta $x = 9\,\mathrm{km}$ , a través del sinclinal y cruzando la falla.

7. $\gamma = 80.7{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = -9.3{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan12.16{}^{\circ}\cos9.3{}^{\circ} = 0.2155\times0.9869 = 0.2126$ : $\beta = 12.0{}^{\circ}$ , hacia abajo, hacia el este.

8. $(280.16 + 144.95)/2000 = 425.11/2000 = 0.2126$ : $12.0{}^{\circ}$ .

9. $\arctan(3\times0.2126) = \arctan 0.6377 = 32.5{}^{\circ}$ .

10. $\gamma = 120{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 30{}^{\circ}$ ; $\tan\beta = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.732\times0.866 = 1.500$ : $\beta = 56.3{}^{\circ}$ .

11. Los flancos buzan hacia $080.7{}^{\circ}$ o $279.3{}^{\circ}$ , solo $9.3{}^{\circ}$ respecto de la línea del corte, y $\cos9.3{}^{\circ} = 0.987$ ; la falla buza hacia $120{}^{\circ}$ , $30{}^{\circ}$ respecto de él, y $\cos30{}^{\circ} = 0.866$ .

12. El plano de falla es $z = 250 - \tan60{}^{\circ}\,[(x - 4300) \sin120{}^{\circ} + (y - 1000)\cos120{}^{\circ}]$ . Con $y = 6000$ , $(y - 1000) \cos120{}^{\circ} = -2500$ , así que $(x - 4300)\sin120{}^{\circ} = 2500 - (z - 250)/ \tan60{}^{\circ}$ , y $1/\tan60{}^{\circ} = \tan30{}^{\circ}$ .

13. A $z = 200$ : $x = 4300 + (2500 + 50\times0.5774)/0.8660 = 4300 + 2528.9/0.8660 = 7220\,\mathrm{m}$ , es decir, $7.22\,\mathrm{km}$ de C.

14. Salto horizontal $= 200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$ ; separación a lo largo de C–D $= 200/1.500 = 133.3\,\mathrm{m}$ .

15. La falla buza hacia el estesureste y es normal: el bloque del techo, al este, está hundido. A la altura del túnel la creta queda a ambos lados de la falla: al oeste, la creta del sinclinal; al este, creta llevada $200\,\mathrm{m}$ hacia abajo.

16. El túnel sigue en la creta al cruzar la falla, así que ningún cambio de roca en el frente lo anuncia; solo lo hace una zona de roca triturada, y quizá agua. Los ingenieros la predicen a partir del corte (aquí $7.22\,\mathrm{km}$ ), perforan sondeos de reconocimiento por delante de la máquina al acercarse y preparan el sostenimiento de la zona triturada.

17. $668.98 - 488.98 = 180.00\,\mathrm{m}$ .

18. $t = 180\cos12.16{}^{\circ} = 176.0\,\mathrm{m}$ .

19. En la cresta ( $x = 3500$ ) la base de la arenisca está en $160.16\,\mathrm{m}$ (pregunta 3); baja en ambos flancos con el buzamiento aparente $12.0{}^{\circ}$ de la pregunta 7, es decir, en $\tan12.0{}^{\circ}$ por metro de distancia horizontal desde el eje.

20. La base de la caliza está $120\,\mathrm{m}$ por encima de la base de la arenisca, en $280.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ con $u = |x - 3500|$ , y su techo $180\,\mathrm{m}$ más arriba, en $460.16 - u\tan12.0{}^{\circ}$ . Con $\tan12.0{}^{\circ} = 0.21256$ : la base queda por debajo de $200\,\mathrm{m}$ cuando $u > 80.16/0.21256 = 377.1$ , y el techo por encima cuando $u < 260.16/0.21256 = 1224.0$ .

21. $x = 3500 \pm 377.1$ y $3500 \pm 1224.0$ : el túnel está en la caliza desde $2276\,\mathrm{m}$ hasta $3123\,\mathrm{m}$ , y desde $3877\,\mathrm{m}$ hasta $4724\,\mathrm{m}$ .

22. A lo largo de una línea horizontal, la base y el techo de la caliza, separados $180\,\mathrm{m}$ en vertical y ambos inclinados con $\tan\beta$ , se cruzan a una distancia horizontal $h/\tan\beta$ : $180/0.21256 = 846.8\,\mathrm{m}$ en cada flanco, lo mismo, con el redondeo, que $1224.0 - 377.1 = 846.9$ .

23. $2\times846.8 = 1693.7\,\mathrm{m}$ : el túnel perfora unos $1694\,\mathrm{m}$ de caliza, más de una quinta parte de sus $8\,\mathrm{km}$ de longitud, en dos tramos de $847\,\mathrm{m}$ a cada lado del núcleo de arenisca del anticlinal.

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