7Minerales formadores de rocas

Una encimera de granito muestra tres o cuatro tipos de grano: cuarzo gris vítreo, feldespato rosa o blanco, láminas de mica negra. La arena de playa es casi toda cuarzo. Los pequeños cristales verdes dispersos en un basalto son olivino, y el mismo mineral, con una composición algo distinta, forma la mayor parte del manto superior. Unos pocos minerales construyen casi todas las rocas, y casi todos son silicatos: oxígeno y silicio, los dos elementos más abundantes de la corteza, unidos en tetraedros que se enlazan de unas pocas maneras sencillas. Este capítulo explica cómo el enlace fija la fórmula y el hábito de un silicato, cómo un elemento reemplaza a otro en un cristal de modo que un mineral es una franja de composiciones y no una sola, cómo un análisis químico se convierte en una fórmula, y cuáles son los principales minerales formadores de rocas. Termina con un olivino de un basalto, analizado, recalculado y pesado.

Lo que ya sabes

Un cristal es un sólido cuyos átomos se repiten en una red; la celda unidad es la caja más pequeña que se repite, y el número de coordinación de un ion cuenta sus vecinos más próximos de carga opuesta (química, primer año universitario). Los radios iónicos dependen de la carga y de la coordinación. Un mineral se identifica en la mano por su hábito, su exfoliación, su dureza y su brillo (libro 2, año 11). La cantidad de sustancia se cuenta en moles, y una masa molar es la masa de un mol (química).

7.1 Qué es un mineral

Definición 7.1 (Mineral)

Un mineral es un sólido de origen natural con una estructura cristalina definida y una composición química que es fija o varía dentro de límites definidos. Casi todos los minerales son inorgánicos.

Una roca, en cambio, es un agregado de granos de uno o varios minerales (o de vidrio): el granito es cuarzo, feldespatos y mica; la caliza es sobre todo calcita. Las dos mitades de la definición son independientes. El vidrio de una ventana tiene la composición de un silicato pero no estructura cristalina: no es un mineral, como tampoco lo es el vidrio de una lava enfriada bruscamente. Al revés, la misma composición puede cristalizar en varias estructuras, y cada estructura es un mineral distinto.

Definición 7.2 (Polimorfo)

Dos minerales son polimorfos entre sí cuando tienen la misma composición química y distinta estructura cristalina.

El carbono cristaliza como grafito, un apilamiento de láminas de hexágonos con una densidad de $2.16\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, y como diamante, una red en la que cada átomo tiene cuatro vecinos, con una densidad de $3.51\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. El carbonato cálcico es calcita ($2.71\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) o aragonito ($2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$); la sílice es cuarzo ($2.65\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) o coesita ($2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$); $\ce{Al2SiO5}$ es cianita ($3.61\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), andalucita ($3.15\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) o sillimanita ($3.24\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$).

En cada pareja, el polimorfo más denso es el que se forma a mayor presión: a una temperatura dada, subir la presión favorece el estado de menor volumen (química, el desplazamiento de un equilibrio). El diamante en una kimberlita y la coesita en una roca alcanzada por un meteorito registran, por tanto, presiones que solo se encuentran en lo profundo del manto o en un impacto. Los tres polimorfos del $\ce{Al2SiO5}$, cuyos campos de estabilidad reparten entre ellos el plano presión–temperatura, sirven para leer las condiciones del metamorfismo (segundo año universitario).

7.2 El tetraedro de silicio y sus enlaces

En casi todos los silicatos comunes, cada átomo de silicio está en el centro de cuatro átomos de oxígeno colocados en los vértices de un tetraedro regular: la unidad $\ce{SiO4}$ recordada de la química. El ion silicio es pequeño ($0.26\,\text{Å}$ en coordinación cuádruple) y el ion óxido es grande, así que caben cuatro oxígenos alrededor del silicio y no más; el enlace silicio–oxígeno es fuerte y en parte covalente. Una unidad aislada lleva una carga $4 - 4\times2 = -4$.

Los tetraedros pueden ir aislados, con su carga equilibrada por cationes metálicos entre ellos, o compartir vértices: un oxígeno común a dos tetraedros es un oxígeno puente. Dos tetraedros nunca comparten una arista ni una cara, lo que acercaría demasiado dos silicios. Los silicatos se clasifican según el número de vértices que comparte cada tetraedro (Definición 7.3).

Definición 7.3 (Las clases de silicatos)

Los silicatos se clasifican según cómo se enlazan sus tetraedros $\ce{SiO4}$. En un nesosilicato los tetraedros están aislados; en un sorosilicato se enlazan de dos en dos por un oxígeno compartido; en un ciclosilicato forman anillos cerrados, cada uno con dos vértices compartidos; en un inosilicato forman cadenas sin fin, simples (cada tetraedro comparte dos vértices) o dobles (dos cadenas simples unidas lado a lado, con la mitad de los tetraedros compartiendo tres vértices); en un filosilicato forman láminas sin fin, cada una con tres vértices compartidos; en un tectosilicato forman un armazón tridimensional, con los cuatro vértices compartidos.

Proposición 7.4 (La razón silicio a oxígeno)

Si cada tetraedro $\ce{SiO4}$ de un silicato comparte en promedio $s$ de sus cuatro vértices con otros tetraedros, y cada oxígeno compartido pertenece exactamente a dos tetraedros, entonces la red del silicato contiene $4 - s/2$ oxígenos por silicio, y lleva una carga de $s - 4$ por silicio.

La proposición da de inmediato el anión de cada clase. Tetraedros aislados ($s = 0$): $\ce{SiO4^{4-}}$. Parejas ($s = 1$): $4 - 1/2 = 7/2$, es decir, $\ce{Si2O7^{6-}}$. Anillos y cadenas simples ($s = 2$): $\ce{SiO3^{2-}}$, que se escribe $\ce{Si6O18^{12-}}$ para un anillo de seis, $\ce{Si2O6^{4-}}$ para dos tetraedros de una cadena. Cadenas dobles (la mitad con $s = 2$ y la mitad con $s = 3$, así que $s = 5/2$): $4 - 5/4 = 11/4$, $\ce{Si4O11^{6-}}$. Láminas ($s = 3$): $\ce{Si2O5^{2-}}$. Armazones ($s = 4$): $\ce{SiO2}$, neutro: el cuarzo es un armazón formado solo por silicio y oxígeno. Cuanto más comparten los tetraedros, menor es la carga que equilibrar y menos cationes metálicos hacen falta: el olivino $\ce{Mg2SiO4}$ tiene dos iones metálicos por silicio, un piroxeno como la enstatita $\ce{Mg2Si2O6}$ uno, y el cuarzo ninguno.

El enlace también da forma al cristal. Un silicato laminar se separa con facilidad entre sus láminas, donde los enlaces son débiles: las micas se desprenden en láminas finas y flexibles. Los silicatos de cadena se exfolian paralelamente a sus cadenas, según dos planos que forman un ángulo fijado por cómo se empaquetan las cadenas: unos $87{}^{\circ}$ y $93{}^{\circ}$ en los piroxenos, cuyas cadenas son estrechas, y $56{}^{\circ}$ y $124{}^{\circ}$ en los anfíboles, cuyas cadenas dobles son más anchas. Los dos ángulos de exfoliación, vistos en un cristal roto o en lámina delgada, son el modo clásico de distinguir los dos grupos.

7.3 Sustitución iónica y soluciones sólidas

Un cristal es un conjunto de posiciones, y una posición se define por su tamaño y por la carga que necesita, no por un elemento concreto. Un ion del tamaño y la carga adecuados puede ocupar el lugar de otro en el cristal en crecimiento, y ninguna roca es lo bastante pura para aportar un solo elemento.

Definición 7.5 (Sustitución iónica, sustitución acoplada)

Una sustitución iónica es el reemplazo, en una posición de una estructura cristalina, de un ion por otro de radio parecido, sin cambio de la estructura. Una sustitución acoplada es un par de sustituciones en dos posiciones distintas cuyos cambios de carga se anulan, de modo que el cristal sigue siendo neutro.

Dos reglas empíricas, debidas a Goldschmidt, dicen qué sustituciones son posibles. Los radios deben ser parecidos: la sustitución es libre cuando difieren en menos de unos $15\,\%$, está limitada entre unos 15 y $30\,\%$, y es rara por encima. Las cargas no deben diferir en más de una unidad, y una diferencia de carga debe compensarse en otro lugar de la estructura. En la posición de seis coordinaciones del olivino, $\ce{Mg^{2+}}$ ($0.72\,\text{Å}$) es reemplazado libremente por $\ce{Fe^{2+}}$ ($0.78\,\text{Å}$, un $8\,\%$ mayor) y por $\ce{Ni^{2+}}$ ($0.69\,\text{Å}$), poco por $\ce{Mn^{2+}}$ ($0.83\,\text{Å}$), casi nada por $\ce{Ca^{2+}}$ ($1.00\,\text{Å}$, un $39\,\%$ mayor).

Las reglas son orientativas: la temperatura amplía el intervalo posible, porque un cristal caliente tolera más tensión, por lo que un mineral crecido a alta temperatura contiene a menudo más iones discordantes que el mismo mineral crecido frío.

Definición 7.6 (Solución sólida, término extremo)

Una solución sólida es un mineral en el que una o más posiciones estructurales están ocupadas, en proporciones que varían de forma continua, por dos o más iones. Los términos extremos de una solución sólida son las composiciones en sus límites, con cada posición variable ocupada por un solo ion; una composición intermedia viene dada por las fracciones molares de los términos extremos.

El olivino es la solución sólida entre la forsterita $\ce{Mg2SiO4}$ (Fo) y la fayalita $\ce{Fe2SiO4}$ (Fa), completa de un término extremo al otro: un olivino con el $82\,\%$ de sus posiciones de seis coordinaciones ocupadas por magnesio y el $18\,\%$ por hierro se escribe $\text{Fo}_{82}$, o $\ce{(Mg_{0.82}Fe_{0.18})2SiO4}$. El granate, el piroxeno, el anfíbol y la mica son soluciones sólidas del mismo modo. Los feldespatos plagioclasas son una solución sólida de otro tipo, entre la albita $\ce{NaAlSi3O8}$ (Ab) y la anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$ (An). El sodio y el calcio tienen radios casi iguales ($1.02\,\text{Å}$ y $1.00\,\text{Å}$ en coordinación seis) pero cargas distintas; cada calcio que entra debe ir acompañado de un aluminio que reemplaza a un silicio en un tetraedro:

a una sustitución acoplada que deja sin cambio la carga total. El aluminio puede entrar en un tetraedro porque es lo bastante pequeño ($0.39\,\text{Å}$ en coordinación cuádruple); es el reemplazo más común del silicio en los silicatos.

Las propiedades de una solución sólida varían con su composición, y por eso son útiles: una densidad medida, un índice de refracción o una dimensión de la celda dan la composición. El modelo más sencillo trata la solución sólida como una mezcla ideal en volumen: un mol de $\text{Fo}_x$ ocupa el volumen de $x$ moles de forsterita y $1 - x$ moles de fayalita. Es un modelo, que debe compararse con las medidas, y ya dice algo no obvio sobre la densidad.

Proposición 7.7 (Volumen molar y densidad de una solución sólida ideal)

Sean dos términos extremos con masas molares $M_1$, $M_2$ y volúmenes molares $V_1 = M_1/\rho_1$, $V_2 = M_2/\rho_2$. En una solución sólida con fracción molar $x$ del término extremo 1, la masa molar es $M(x) = x M_1 + (1 - x) M_2$. Si el volumen molar es $V(x) = x V_1 + (1 - x) V_2$ (mezcla ideal), la densidad es

$$\rho(x) = \frac{x M_1 + (1 - x) M_2}{x V_1 + (1 - x) V_2},$$

que vale $\rho_1$ en $x = 1$ y $\rho_2$ en $x = 0$, y es una función lineal de $x$ solo cuando $V_1 = V_2$ o $\rho_1 = \rho_2$.

Para el olivino, con las densidades medidas $3.275\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ para la forsterita y $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ para la fayalita, y masas molares $140.691\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, los volúmenes molares son $42.96\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y $46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$: sustituir el magnesio por el ion de hierro, más grande, hincha el cristal un $8\,\%$, y añade un $45\,\%$ a su masa. La curva de densidad queda algo por encima de la recta que une los términos extremos, hasta unos $0.02\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (Ejercicio 7.10): una interpolación lineal se aproxima, pero no es exacta.

7.4 Fórmulas minerales

Definición 7.8 (Fórmula estructural, número de Mg)

La fórmula estructural de un mineral da, para un número fijo de átomos de oxígeno, el número de átomos de cada elemento y la posición que ocupa cada uno, escribiéndose juntos los iones que comparten una posición: olivino $\mathrm{(Mg, Fe)_2SiO_4}$, un plagioclasa $\mathrm{(Na_{0.5}Ca_{0.5})(Al_{1.5}Si_{2.5})O_8}$. El número de Mg de un mineral o de una roca es

$$\mathrm{Mg\#} = 100\,\frac{\mathrm{Mg}}{\mathrm{Mg} + \mathrm{Fe^{2+}}},$$

los números de átomos se cuentan en moles (o por unidad de fórmula).

Un análisis químico de un mineral, hecho con una microsonda electrónica sobre una lámina delgada pulida (Capítulo 6), no da una fórmula: da la masa de cada elemento, expresada por convención como la masa de su óxido, en tanto por ciento de la masa de la muestra. Convertir estos porcentajes en una fórmula es un cálculo rutinario.

Método 7.9 (Recálculo de un análisis sobre un número fijo de oxígenos)

Sea un análisis que da los óxidos en porcentaje en peso, y sea $n_O$ el número de oxígenos por unidad de fórmula del mineral (4 para el olivino, 8 para un feldespato, 6 para un piroxeno, 12 para un granate).

1. Divídase el porcentaje en peso de cada óxido por su masa molar: se obtienen los moles de óxido en $100\,\mathrm{g}$ de mineral.
2. Multiplíquese por el número de oxígenos del óxido (2 para $\ce{SiO2}$, 3 para $\ce{Al2O3}$, 1 para $\ce{MgO}$) para obtener moles de oxígeno, y por el número de cationes del óxido (2 para $\ce{Al2O3}$ y $\ce{Na2O}$, 1 para $\ce{SiO2}$) para obtener moles de catión.
3. Súmense los moles de oxígeno, y calcúlese el factor $f = n_O / \sum(\text{moles de O})$.
4. Multiplíquese cada número de moles de catión por $f$: los resultados son los átomos de cada elemento por unidad de fórmula.
5. Asígnense los cationes a las posiciones (silicio y aluminio suficiente para llenar los tetraedros, el resto a las posiciones mayores), y compruébese que cada posición contiene el número de átomos de la fórmula ideal.

Ejemplo resuelto: un olivino con $40.80\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $49.40\,\%$ de $\ce{MgO}$ y $9.80\,\%$ de $\ce{FeO}$. Con las masas molares $60.083$, $40.304$ y $71.844\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, los moles en $100\,\mathrm{g}$ son $0.67906$, $1.22568$ y $0.13641$; los oxígenos son $2\times0.67906 + 1.22568 + 0.13641 = 2.72021$, y el factor es $f = 4/2.72021 = 1.47047$. Por cuatro oxígenos: Si $0.999$, Mg $1.802$, Fe $0.201$. El sitio tetraédrico contiene $0.999$ átomos y las posiciones octaédricas $1.802 + 0.201 = 2.003$, muy cerca de 1 y 2: el análisis es bueno, y el olivino es $\ce{(Mg_{1.80}Fe_{0.20})SiO4}$, $\text{Fo}_{90}$, con un número de Mg de 90. Obsérvese que las cargas suman $2n_O = 8$ de manera automática, sea cual sea el análisis, siempre que cada catión conserve la carga de su óxido: el propio recálculo hace neutra la fórmula. Las sumas por posición son la prueba real.

Una suma de cationes demasiado grande para el número de oxígenos elegido indica que parte del hierro es $\ce{Fe^{3+}}$, que aporta más oxígeno por átomo de lo que suponía el análisis (Ejercicio 7.12); una suma demasiado pequeña, o un total muy por debajo de $100\,\%$, indica que algo no se analizó —agua en un anfíbol o una mica, dióxido de carbono en un carbonato. Por eso los minerales hidratados se recalculan sobre sus oxígenos anhidros: 23 para un anfíbol cuya fórmula tiene $\ce{O22(OH)2}$, 22 para una mica con $\ce{O20(OH)4}$ en una unidad de fórmula doble.

7.5 Los principales minerales formadores de rocas

Definición 7.10 (Los principales grupos minerales)

Olivino es la solución sólida nesosilicatada $\ce{(Mg,Fe)2SiO4}$. Granate es un grupo de nesosilicatos cúbicos $\mathrm{X_3Y_2(SiO_4)_3}$, con X un ion divalente (Mg, Fe, Mn, Ca) e Y uno trivalente (Al, Fe, Cr). Un piroxeno es un inosilicato de cadena simple $\mathrm{XYSi_2O_6}$; un anfíbol es un inosilicato de cadena doble con hidroxilo, de aproximadamente $\mathrm{A_{0-1}X_2Y_5(Si,Al)_8O_{22}(OH)_2}$. Una mica es un filosilicato con un ion potasio entre las láminas, como la moscovita $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$ y la biotita $\ce{K(Mg,Fe)3(Si3Al)O10(OH)2}$. Un feldespato es un tectosilicato de aluminio con sodio, potasio o calcio. Los feldespatos plagioclasas forman la solución sólida albita $\ce{NaAlSi3O8}$ – anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$; los feldespatos alcalinos están entre la albita y la ortoclasa $\ce{KAlSi3O8}$.

grupo	términos extremos o ejemplo	clase	densidad ($\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$)	dureza	exfoliación
olivino	forsterita $\ce{Mg2SiO4}$ – fayalita $\ce{Fe2SiO4}$	neso	3.28–4.39	6.5–7	imperfecta; fractura concoidea
granate	almandino $\ce{Fe3Al2(SiO4)3}$; piropo $\ce{Mg3Al2(SiO4)3}$	neso	4.32; 3.74	7–7.5	ninguna
piroxeno	diópsido $\ce{CaMgSi2O6}$; enstatita $\ce{Mg2Si2O6}$	ino, cadena simple	3.22–3.38; 3.2	5.5–6.5	dos, a unos $87{}^{\circ}$ y $93{}^{\circ}$
anfíbol	hornblenda $\ce{Ca2(Mg,Fe)4Al(Si7Al)O22(OH)2}$	ino, cadena doble	3.10–3.28	5–6	dos, a $56{}^{\circ}$ y $124{}^{\circ}$
mica	moscovita $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$; biotita $\ce{K(Mg,Fe)3(Si3Al)O10(OH)2}$	filo	2.77–2.88; 2.7–3.3	2.5–3	una, perfecta: láminas finas
feldespato	albita $\ce{NaAlSi3O8}$; anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$; ortoclasa $\ce{KAlSi3O8}$	tecto	2.55–2.76	6–6.5	dos buenas, {001} y {010}
cuarzo	$\ce{SiO2}$	tecto	2.65	7	ninguna; fractura concoidea
carbonatos	calcita $\ce{CaCO3}$; dolomita $\ce{CaMg(CO3)2}$	—	2.71; 2.84	3; 3.5–4	tres, romboédrica
óxidos de hierro	magnetita $\ce{Fe3O4}$	—	5.18	5.5–6.5	ninguna; fuertemente magnética

Table 7.1 reúne los minerales que forman casi todas las rocas de la corteza y del manto. Dónde aparecen se deduce de su química y de las condiciones en que cristalizan.

Los silicatos oscuros. El olivino, los piroxenos, los anfíboles, la biotita y muchos granates son ricos en magnesio y hierro; son densos y oscuros. El olivino y los piroxenos cristalizan a partir de fundidos calientes ricos en magnesio: son los minerales del basalto y del gabro, y de la peridotita del manto superior, que es sobre todo olivino. Los anfíboles y la biotita contienen hidroxilo y necesitan agua en el fundido o en la roca: aparecen en andesitas, dioritas y granitos, y en muchas rocas metamórficas. El granate crece sobre todo en rocas metamórficas —los granos rojos de un esquisto micáceo son almandino— y en rocas profundas del manto, donde el piropo es estable.

Los silicatos claros. Los feldespatos, el cuarzo y la moscovita son ricos en silicio, aluminio y alcalinos; son de color claro y de menor densidad. Los feldespatos son los minerales más abundantes de la corteza: las plagioclasas, en basaltos, gabros y la mayoría de las demás rocas ígneas, y el feldespato alcalino, en los granitos. El cuarzo cristaliza el último a partir de fundidos ricos en sílice, llenando los huecos entre los demás granos de un granito; como es duro, no tiene exfoliación y es casi insoluble, sobrevive a la meteorización y al transporte, y se acumula como arena. Los minerales de la arcilla, silicatos laminares formados en la superficie, son el tema de Capítulo 19.

Los otros. La calcita y la dolomita forman calizas, dolomías y mármoles; la calcita es el único mineral común que burbujea en ácido diluido frío, y se rompe según tres exfoliaciones en romboedros. La magnetita, presente en pequeñas cantidades en muchas rocas ígneas, lleva la mayor parte de su imantación, el registro que leen los métodos magnéticos de capítulos posteriores.

7.5.1 Minerales y densidad de las rocas

La densidad de una roca se deduce de sus minerales. Si una roca sin poros está formada por minerales en fracciones de volumen $\varphi_i$ (que suman 1) con densidades $\rho_i$, un volumen $V$ de roca contiene una masa $\sum_i \varphi_i V \rho_i$, de modo que

donde $w_i$ es la fracción en masa del mineral $i$. Tómese un granito de $30\,\%$ de cuarzo ($2.65\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), $60\,\%$ de feldespatos (unos $2.62\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) y $10\,\%$ de biotita (unos $3.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), y un gabro de $55\,\%$ de plagioclasa (unos $2.72\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), $35\,\%$ de piroxeno (unos $3.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) y $10\,\%$ de olivino (unos $3.45\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), eligiendo cada densidad dentro de los intervalos de Table 7.1. Entonces

La diferencia, de unos $12\,\%$, procede de los silicatos oscuros: el hierro y el magnesio de que carece un granito. Es la razón por la que un continente, construido en gran parte de rocas graníticas, se eleva más que un fondo oceánico de basalto y gabro, un equilibrio que se trata en Capítulo 11. En el gabro, el olivino es el $10\,\%$ del volumen pero $0.10\times3.45/3.00 = 11.5\,\%$ de la masa: un mineral denso pesa más en una roca que su parte de volumen.

En el laboratorio — Distinguir los minerales

En el laboratorio, un mineralogista que identifica una muestra de mano prueba por turno las propiedades de Table 7.1: la dureza frente a una punta de acero y una placa de vidrio, la exfoliación en una superficie fresca rota, la densidad a partir del peso de la muestra en el aire y en el agua, y, para un carbonato, la reacción con una gota de ácido clorhídrico diluido frío bajo extracción de humos. La exfoliación de la calcita es el caso de libro: un cristal se rompe una y otra vez en romboedros más pequeños con los mismos ángulos. Los granos demasiado pequeños para la mano se identifican en lámina delgada con el microscopio de polarización (Capítulo 8), y su composición exacta mediante análisis con microsonda, recalculada como en Método 7.9.

7.6 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Nómbrese la clase de silicato de cada anión, y dése el número $s$ de vértices compartidos por cada tetraedro: $\ce{SiO4^{4-}}$, $\ce{Si2O7^{6-}}$, $\ce{Si6O18^{12-}}$, $\ce{Si2O5^{2-}}$, $\ce{SiO2}$. ¿A qué clase podría pertenecer $\ce{SiO3^{2-}}$?

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$\ce{SiO4^{4-}}$: nesosilicato, $s = 0$. $\ce{Si2O7^{6-}}$: sorosilicato, $s = 1$. $\ce{Si6O18^{12-}}$: ciclosilicato, $s = 2$. $\ce{Si2O5^{2-}}$: filosilicato, $s = 3$. $\ce{SiO2}$: tectosilicato, $s = 4$. $\ce{SiO3^{2-}}$ tiene $4 - s/2 = 3$, así que $s = 2$: un anillo (ciclosilicato) o una cadena simple (inosilicato); la razón por sí sola no permite distinguirlos.

Ejercicio 7.2 ★

Con los pesos atómicos O $15.999$, Si $28.085$, Mg $24.305$ y Fe $55.845\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, calcúlense las masas molares de la forsterita y la fayalita, y después sus volúmenes molares a partir de las densidades $3.275$ y $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

Forsterita: $2\times24.305 + 28.085 + 4\times15.999 = 140.691\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$; fayalita: $2\times55.845 + 28.085 + 4\times15.999 = 203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. Volúmenes molares: $140.691/3.275 = 42.96\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y $203.771/4.392 = 46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Ejercicio 7.3 ★

En coordinación seis los radios son $\ce{Mg^{2+}}$ $0.72\,\text{Å}$, $\ce{Fe^{2+}}$ $0.78\,\text{Å}$, $\ce{Ni^{2+}}$ $0.69\,\text{Å}$, $\ce{Mn^{2+}}$ $0.83\,\text{Å}$ y $\ce{Ca^{2+}}$ $1.00\,\text{Å}$. Calcúlese la diferencia de cada uno respecto del radio de $\ce{Mg^{2+}}$ en tanto por ciento, y dígase, según las reglas de Goldschmidt, cuáles pueden reemplazar libremente al magnesio en el olivino.

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

$(0.78 - 0.72)/0.72 = +8.3\,\%$ para $\ce{Fe^{2+}}$; $-4.2\,\%$ para $\ce{Ni^{2+}}$; $+15.3\,\%$ para $\ce{Mn^{2+}}$; $+38.9\,\%$ para $\ce{Ca^{2+}}$. El hierro y el níquel, por debajo del $15\,\%$, reemplazan libremente al magnesio; el manganeso, justo por encima, está limitado; el calcio, más allá del $30\,\%$, apenas entra. Los cuatro tienen la misma carga que el magnesio.

Ejercicio 7.4 ★

El grafito y el diamante tienen densidades $2.16$ y $3.51\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; la calcita y la aragonita, $2.71$ y $2.93\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. ¿En qué porcentaje aumenta la densidad en cada cambio? ¿Qué polimorfo de cada pareja se forma a mayor presión?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$(3.51 - 2.16)/2.16 = 62.5\,\%$ del grafito al diamante; $(2.93 - 2.71)/2.71 = 8.1\,\%$ de la calcita a la aragonita. Los polimorfos más densos, el diamante y la aragonita, son las formas de alta presión.

Ejercicio 7.5 ★★

Escríbase la fórmula estructural de la plagioclasa $\text{An}_{30}$ ($30\,\%$ de las posiciones grandes ocupadas por calcio), y compruébese que es neutra.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

Con $x = 0.30$ en $\mathrm{Na}_{1-x}\mathrm{Ca}_x\mathrm{Al}_{1+x}\mathrm{Si}_{3-x}\mathrm{O}_8$: $\mathrm{(Na_{0.7}Ca_{0.3})(Al_{1.3}Si_{2.7})O_8}$. Cargas: $0.7 + 2\times0.3 + 3\times1.3 + 4\times2.7 = 0.7 + 0.6 + 3.9 + 10.8 = +16$, y $8\times(-2) = -16$.

Ejercicio 7.6 ★★

En una cadena doble, la mitad de los tetraedros comparten dos vértices y la mitad tres. Cuéntense directamente en el panel (f) de la figura de enlaces los oxígenos de un grupo que se repite de cuatro tetraedros, y compruébese la fórmula $\ce{Si4O11^{6-}}$ que da Proposición 7.4.

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

Una agrupación que se repite tiene dos tetraedros que comparten tres vértices (aquellos cuyo ápice une las dos cadenas) y dos que comparten dos. Los cuatro tetraedros tienen $4\times4 = 16$ vértices, de los que $3 + 3 + 2 + 2 = 10$ son compartidos, es decir, $10/2 = 5$ oxígenos compartidos; los $16 - 10 = 6$ restantes no son compartidos. En total $5 + 6 = 11$ oxígenos para 4 silicios: $\ce{Si4O11}$, con carga $4\times4 - 11\times2 = -6$. La proposición da lo mismo con $s = 5/2$: $4 - 5/4 = 11/4$ oxígenos por silicio, carga $5/2 - 4 = -3/2$ por silicio.

Ejercicio 7.7 ★★

Recalcúlese en cuatro oxígenos el análisis de un olivino $40.20\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $47.10\,\%$ de $\ce{MgO}$, $12.20\,\%$ de $\ce{FeO}$ y $0.40\,\%$ de $\ce{NiO}$ (masa molar del $\ce{NiO}$: $74.692\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$). Dése su fórmula estructural, compruébese, y dése su contenido en forsterita. Después muéstrese que el contenido en forsterita puede hallarse solo con los porcentajes de $\ce{MgO}$ y $\ce{FeO}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

Moles en $100\,\mathrm{g}$: $\ce{SiO2}$ $40.20/60.083 = 0.66907$; $\ce{MgO}$ $47.10/40.304 = 1.16862$; $\ce{FeO}$ $12.20/71.844 = 0.16981$; $\ce{NiO}$ $0.40/74.692 = 0.00536$. Oxígenos: $2\times0.66907 + 1.16862 + 0.16981 + 0.00536 = 2.68194$; $f = 4/2.68194 = 1.49146$. Por cuatro oxígenos: Si $0.998$, Mg $1.743$, Fe $0.253$, Ni $0.008$. Las posiciones octaédricas contienen $1.743 + 0.253 + 0.008 = 2.004$, la tetraédrica $0.998$: buen análisis, $\ce{(Mg_{1.743}Fe_{0.253}Ni_{0.008})SiO4}$. $\mathrm{Fo} = 100\times1.743/(1.743 + 0.253) = 87.3$. El factor $f$ multiplica Mg y Fe por igual, así que se cancela en el cociente: $\mathrm{Fo} = 100\,(47.10/40.304)/(47.10/40.304 + 12.20/71.844) = 100\times1.16862/1.33843 = 87.3$.

Ejercicio 7.8 ★★

Compruébese que la moscovita $\ce{KAl2(Si3Al)O10(OH)2}$ es neutra. Sus láminas de tetraedros tienen un aluminio por cada tres silicios: ¿qué carga da esto a la lámina por unidad de fórmula, y qué ion la equilibra?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Positivas: $1 + 2\times3 + 3\times4 + 3 = +22$; negativas: $10\times(-2) + 2\times(-1) = -22$. Una lámina de composición $\ce{Si4O10}$ llevaría $-4$ (Proposición 7.4, $s = 3$); sustituir un silicio de cada cuatro por aluminio añade una carga negativa, así que $\ce{(Si3Al)O10}$ lleva $-5$. Los dos aluminios octaédricos con los dos hidroxilos, $6 - 2 = +4$, equilibran cuatro de las cinco cargas; el ion potasio entre las láminas equilibra la quinta.

Ejercicio 7.9 ★★

Con los volúmenes molares $42.96$ y $46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ y las masas molares $140.691$ y $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$: (a) calcúlese la densidad de $\text{Fo}_{50}$ por mezcla ideal, y compárese con la media de las densidades de los términos extremos; (b) hállese el contenido en forsterita de un olivino de densidad $3.600\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

(a) $M = (140.691 + 203.771)/2 = 172.231\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = (42.96 + 46.40)/2 = 44.68\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $\rho = 172.231/44.68 = 3.855\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; la media de las densidades es $(3.275 + 4.392)/2 = 3.834\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $0.021\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ menos. (b) Resuélvase $203.771 + x(140.691 - 203.771) = 3.600\,\bigl(46.40 + x(42.96 - 46.40)\bigr)$: $203.771 - 63.080x = 167.040 - 12.384x$, así que $x = 36.731/50.696 = 0.7245$: el olivino es $\text{Fo}_{72}$ (al entero por ciento más próximo).

Ejercicio 7.10 ★★★

Con la notación de Proposición 7.7, demuéstrese que

$$\rho(x) - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr) = \frac{x(1 - x)(\rho_1 - \rho_2)(V_1 - V_2)}{V(x)} .$$

Dedúzcase que la densidad del olivino queda por encima de la recta que une los términos extremos, y calcúlese la diferencia en $\text{Fo}_{50}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

Con $M_i = \rho_i V_i$,

$$\rho(x) - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr) = \frac{x\rho_1V_1 + (1 - x)\rho_2V_2 - \bigl(x\rho_1 + (1 - x)\rho_2\bigr)\bigl(xV_1 + (1 - x)V_2\bigr)}{V(x)} .$$

Al desarrollar el producto, el numerador es $x\rho_1V_1 - x^2\rho_1V_1 + (1 - x)\rho_2V_2 - (1 - x)^2\rho_2V_2 - x(1 - x)(\rho_1V_2 + \rho_2V_1)$, y $x - x^2 = x(1 - x)$, $(1 - x) - (1 - x)^2 = x(1 - x)$, así que vale $x(1 - x)(\rho_1V_1 + \rho_2V_2 - \rho_1V_2 - \rho_2V_1) = x(1 - x)(\rho_1 - \rho_2)(V_1 - V_2)$. Para el olivino (1 = forsterita) ambas diferencias son negativas, $3.275 - 4.392 = -1.117$ y $42.96 - 46.40 = -3.44$, así que su producto es positivo y la densidad queda por encima de la recta. En $\text{Fo}_{50}$: $0.25\times1.117\times3.44/44.68 = 0.0215\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, que concuerda con Ejercicio 7.9 dentro del redondeo de los volúmenes molares.

Ejercicio 7.11 ★★★

Un plagioclasa de un gabro da $54.10\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $28.90\,\%$ de $\ce{Al2O3}$, $11.20\,\%$ de $\ce{CaO}$, $5.10\,\%$ de $\ce{Na2O}$ y $0.30\,\%$ de $\ce{K2O}$ (masas molares $60.083$, $101.961$, $56.077$, $61.979$, $94.195\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$). Recalcúlese en ocho oxígenos; compruébese que los sitios tetraédricos (Si + Al) contienen 4 átomos y la posición grande (Ca + Na + K) 1; compruébese la sustitución acoplada comparando $\mathrm{Al} - 1$ con Ca; dése el contenido en anortita $100\,\mathrm{Ca}/(\mathrm{Ca} + \mathrm{Na} + \mathrm{K})$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

Total $99.60\,\%$. Moles de óxido: $\ce{SiO2}$ $0.90042$, $\ce{Al2O3}$ $0.28344$, $\ce{CaO}$ $0.19973$, $\ce{Na2O}$ $0.08229$, $\ce{K2O}$ $0.00318$. Oxígenos: $1.80084 + 0.85033 + 0.19973 + 0.08229 + 0.00318 = 2.93636$; $f = 8/2.93636 = 2.72446$. Cationes (el doble de los moles de $\ce{Al2O3}$, $\ce{Na2O}$, $\ce{K2O}$): Si $2.453$, Al $1.544$, Ca $0.544$, Na $0.448$, K $0.017$. Posiciones tetraédricas: $2.453 + 1.544 = 3.997$; posición grande: $0.544 + 0.448 + 0.017 = 1.009$. Entonces $\mathrm{Al} - 1 = 0.544$, igual a Ca dentro del redondeo: cada calcio entró con un aluminio. $\mathrm{An} = 100\times0.544/1.009 = 53.9$: una labradorita, $\text{An}_{54}$.

Ejercicio 7.12 ★★★

Una microsonda no distingue $\ce{Fe^{2+}}$ de $\ce{Fe^{3+}}$ y da todo el hierro como $\ce{FeO}$. (a) Muéstrese que la magnetita pura $\ce{Fe3O4}$, analizada así, suma un $93.09\,\%$. (b) Recalcúlese este análisis en cuatro oxígenos, y dígase por qué el resultado es imposible para un mineral con tres cationes por cuatro oxígenos. (c) Recalcúlese en tres cationes, y hállense los números de $\ce{Fe^{2+}}$ y $\ce{Fe^{3+}}$ exigiendo que la fórmula sea neutra. (d) Exprésese de nuevo el análisis como $\ce{FeO}$ y $\ce{Fe2O3}$, y dese el nuevo total.

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

(a) $M(\ce{Fe3O4}) = 3\times55.845 + 4\times15.999 = 231.531\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. Sus tres hierros, dados como $\ce{FeO}$, pesan $3\times71.844 = 215.532\,\mathrm{g}$, es decir, $215.532/231.531 = 93.09\,\%$; el oxígeno ligado al $\ce{Fe^{3+}}$, más allá de lo que da $\ce{FeO}$, falta en el total. (b) $93.09/71.844 = 1.29572$ mol de $\ce{FeO}$ y de oxígeno; $f = 4/1.29572 = 3.08708$; cuatro hierros por cuatro oxígenos, $\ce{Fe4O4}$. La magnetita tiene tres cationes por cuatro oxígenos. Los oxígenos se contaron de menos: cada $\ce{Fe^{3+}}$ tiene uno y medio oxígenos, no uno como supone $\ce{FeO}$. (c) Sobre tres cationes, Fe $= 3$ con $a$ $\ce{Fe^{2+}}$ y $b$ $\ce{Fe^{3+}}$: $a + b = 3$ y $2a + 3b = 8$, así que $b = 2$, $a = 1$: $\mathrm{Fe^{2+}Fe^{3+}_2O_4}$. (d) Un $\ce{FeO}$ y un $\ce{Fe2O3}$ por unidad de fórmula: $71.844/231.531 = 31.03\,\%$ de $\ce{FeO}$ y $159.687/231.531 = 68.97\,\%$ de $\ce{Fe2O3}$, total $100.00\,\%$.

7.7 Problema: un olivino de un basalto

Problema 7.1

Problema de fin de semana — recalcular un análisis de microsonda de un olivino, escribir y comprobar su fórmula, y hallar su composición, su densidad y su masa en un metro cúbico de basalto

Los cristales verdes de un basalto son olivino. Un análisis con microsonda de uno de ellos da, en porcentaje en peso de óxidos:

óxido	$\ce{SiO2}$	$\ce{FeO}$	$\ce{MnO}$	$\ce{MgO}$	$\ce{NiO}$	$\ce{CaO}$
% en masa	39.50	16.53	0.23	43.32	0.20	0.22

Los pesos atómicos son O $15.999$, Si $28.085$, Fe $55.845$, Mn $54.938$, Mg $24.305$, Ni $58.693$, Ca $40.078\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$. La forsterita tiene densidad $3.275\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ y la fayalita $4.392\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

Parte I — De los óxidos a los cationes.

1. Calcúlense las masas molares de los seis óxidos.
2. Calcúlese el total del análisis. ¿Qué habría sugerido un total de $97\,\%$?
3. Calcúlense los moles de cada óxido en $100\,\mathrm{g}$ de olivino.
4. Calcúlense los moles de oxígeno que contienen, y su suma.
5. Calcúlense los moles de cada catión.
6. Calcúlese el factor que lleva los oxígenos a cuatro.
7. Dése el número de átomos de cada elemento por cuatro oxígenos, con tres decimales.

Parte II — La fórmula estructural.

8. El olivino tiene una posición tetraédrica y dos octaédricas por cuatro oxígenos. Calcúlese la suma de los cationes distintos del silicio, y compárense ambos totales de posiciones con la fórmula ideal.
9. Escríbase la fórmula estructural del olivino.
10. Compruébese que la fórmula es neutra, y explíquese por qué esta comprobación, a diferencia de la de la pregunta 8, no podría haber fallado.
11. Con los radios iónicos ($\ce{Mg^{2+}}$ $0.72\,\text{Å}$, $\ce{Fe^{2+}}$ $0.78\,\text{Å}$, $\ce{Ni^{2+}}$ $0.69\,\text{Å}$, $\ce{Mn^{2+}}$ $0.83\,\text{Å}$, $\ce{Ca^{2+}}$ $1.00\,\text{Å}$, todos en seis coordinaciones), explíquese por qué el níquel es frecuente en el olivino y el calcio raro.
12. La microsonda da todo el hierro como $\ce{FeO}$. Explíquese por qué el número total de cationes hallado en la pregunta 7 muestra que el olivino no contiene $\ce{Fe^{3+}}$ significativo.

Parte III — La composición.

13. Calcúlese el contenido en forsterita $\mathrm{Fo} = 100\,\mathrm{Mg}/(\mathrm{Mg} + \mathrm{Fe})$, con un decimal.
14. ¿Cuál es el número de Mg del olivino? ¿Por qué es igual aquí al contenido en forsterita?
15. Escríbase el olivino como una solución sólida binaria $\mathrm{Fo}_x\mathrm{Fa}_{1-x}$, ignorando Mn, Ni y Ca, y dése la proporción de sus posiciones octaédricas ocupadas por hierro.
16. Muéstrese que el contenido en forsterita puede calcularse solo con los porcentajes de $\ce{MgO}$ y $\ce{FeO}$, sin el factor de la pregunta 6, y hágase.
17. Un olivino que creció más tarde en la misma lava tiene $40.5\,\%$ de $\ce{MgO}$ y $20.0\,\%$ de $\ce{FeO}$. Calcúlese su contenido en forsterita. ¿Qué olivino es más rico en hierro?

Parte IV — Densidad y masa.

18. Calcúlense las masas molares y los volúmenes molares de la forsterita y la fayalita (volúmenes molares con dos decimales).
19. Tomando el olivino como el binario $\mathrm{Fo}_x\mathrm{Fa}_{1-x}$ de la pregunta 15, con $x$ redondeado a tres decimales, calcúlense su masa molar y su volumen molar por mezcla ideal.
20. Dedúzcase su densidad, con tres decimales.
21. Compárese con la interpolación lineal entre las densidades de los términos extremos.
22. El basalto contiene un $12\,\%$ de olivino en volumen. ¿Qué masa de olivino contiene un metro cúbico del basalto?
23. El basalto tiene una densidad de $2.95\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. ¿Cuál es la proporción de olivino en masa?
24. ¿Cuál es el contenido en forsterita del olivino, redondeado al entero por ciento?

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. $\ce{SiO2}$ $28.085 + 2\times15.999 = 60.083$; $\ce{FeO}$ 71.844; $\ce{MnO}$ 70.937; $\ce{MgO}$ 40.304; $\ce{NiO}$ 74.692; $\ce{CaO}$ 56.077 ($\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$).

2. $39.50 + 16.53 + 0.23 + 43.32 + 0.20 + 0.22 = 100.00\,\%$. Un total de $97\,\%$ habría sugerido un componente no analizado (agua, u oxígeno ligado a $\ce{Fe^{3+}}$ dado como $\ce{FeO}$), o un análisis deficiente.

3. $\ce{SiO2}$ $39.50/60.083 = 0.65742$; $\ce{FeO}$ 0.23008; $\ce{MnO}$ 0.00324; $\ce{MgO}$ 1.07483; $\ce{NiO}$ 0.00268; $\ce{CaO}$ 0.00392.

4. $2\times0.65742 = 1.31485$ para $\ce{SiO2}$, los mismos números que en la pregunta 3 para los demás; suma $1.31485 + 0.23008 + 0.00324 + 1.07483 + 0.00268 + 0.00392 = 2.62960$.

5. Cada óxido tiene un catión: los números de la pregunta 3.

6. $f = 4/2.62960 = 1.52114$.

7. Si $0.65742\times1.52114 = 1.000$; Fe 0.350; Mn 0.005; Mg 1.635; Ni 0.004; Ca 0.006.

8. $1.635 + 0.350 + 0.005 + 0.004 + 0.006 = 2.000$ para las posiciones octaédricas y 1.000 para la tetraédrica: exactamente el 2 y el 1 ideales.

9. $\ce{(Mg_{1.635}Fe_{0.350}Mn_{0.005}Ni_{0.004}Ca_{0.006})SiO4}$.

10. $2\times2.000 + 4\times1.000 = +8.000$ frente a $4\times(-2) = -8$. Cada catión se contó con la carga de su óxido, así que las cargas positivas son el doble de los oxígenos por construcción: la comprobación no puede fallar. Los totales por posición de la pregunta 8 sí podrían haber fallado.

11. El níquel difiere del magnesio en $(0.69 - 0.72)/0.72 = -4\,\%$, muy por debajo del $15\,\%$: sustituye libremente. El calcio es $(1.00 - 0.72)/0.72 = 39\,\%$ mayor, más allá del $30\,\%$: apenas entra.

12. El hierro contado como $\ce{FeO}$ cuando parte de él es $\ce{Fe^{3+}}$ da demasiado pocos oxígenos por catión, de ahí más de tres cationes sobre cuatro oxígenos (Ejercicio 7.12). La suma es $1.000 + 2.000 = 3.000$: sin $\ce{Fe^{3+}}$ significativo.

13. $\mathrm{Fo} = 100\times1.635/(1.635 + 0.350) = 163.5/1.985 = 82.4$.

14. $\mathrm{Mg\#} = 82.4$: todo el hierro es $\ce{Fe^{2+}}$ (pregunta 12), así que $\mathrm{Fe^{2+}} = \mathrm{Fe}$ y las dos definiciones coinciden.

15. $\text{Fo}_{82.4}\text{Fa}_{17.6}$, $x = 0.824$; el hierro ocupa el $17.6\,\%$ de las posiciones octaédricas en el modelo binario ($0.350/2.000 = 17.5\,\%$ con los elementos menores).

16. El factor multiplica Mg y Fe por igual y se cancela: $\mathrm{Fo} = 100\times1.07483/(1.07483 + 0.23008) = 82.4$.

17. $40.5/40.304 = 1.00486$ y $20.0/71.844 = 0.27838$; $\mathrm{Fo} = 100\times1.00486/1.28324 = 78.3$. El olivino posterior es más rico en hierro.

18. $M = 140.691$ y $203.771\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$; sus volúmenes molares son $V = 140.691/3.275 = 42.96$ y para el segundo, $203.771/4.392 = 46.40\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

19. $M = 0.824\times140.691 + 0.176\times203.771 = 115.929 + 35.864 = 151.793\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$; $V = 0.824\times42.96 + 0.176\times46.40 = 35.399 + 8.166 = 43.565\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

20. $\rho = 151.793/43.565 = 3.484\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

21. $0.824\times3.275 + 0.176\times4.392 = 2.699 + 0.773 = 3.472\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $0.012\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ($0.3\,\%$) por debajo del valor de mezcla ideal: cerca, como predice Ejercicio 7.10.

22. $0.12\times3484\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\times1\,\mathrm{m}^{3} = 418\,\mathrm{kg}$.

23. $418/2950 = 14.2\,\%$: el olivino denso forma una parte mayor de la masa que del volumen.

24. El olivino es $\text{Fo}_{82}$: su contenido en forsterita es 82 por ciento.