14Márgenes activos

El 11 de marzo de 2011, a las 14:46 hora local, la frontera de placas frente al noreste de Japón se rompió a lo largo de unos $400\,\mathrm{km}$ de la fosa y $150\,\mathrm{km}$ hacia abajo de su buzamiento. La falla se deslizó de 50 a $60\,\mathrm{m}$, sobre todo por encima del hipocentro, hacia la fosa de Japón; en tierra, la costa se movió horizontalmente y se hundió. La placa que se hunde allí, la placa del Pacífico, desciende bajo Japón a lo largo de un plano que los terremotos dibujan hasta cientos de kilómetros de profundidad; y donde ese plano yace a unos cien kilómetros de profundidad, una línea de volcanes corre paralela a la costa. Este capítulo lee un margen así a partir de su forma, su gravedad, su flujo de calor y, sobre todo, sus terremotos.

Lo que ya sabes

La litosfera oceánica se hunde de nuevo en el manto en las zonas de subducción, marcadas por fosas y por zonas inclinadas de terremotos, y la litosfera vieja se hunde bajo su propio peso (libro 2, año 11); el agua de la placa que se hunde baja la temperatura de fusión del manto que hay encima (libro 2, año 12). El calor se difunde a lo largo de una distancia $L$ en un tiempo del orden de $L^2/\kappa$ (Capítulo 10); una placa infinita de densidad $\rho$ y espesor $h$ atrae con $2\pi G\rho h$ (Capítulo 11); las placas se mueven alrededor de polos de Euler (Capítulo 12); el flujo de calor del fondo oceánico decae como la raíz cuadrada inversa de su edad (Capítulo 13).

14.1 La anatomía de un margen activo

Definición 14.1 (Margen activo, fosa oceánica, antearco, cuenca de tras-arco)

Un margen activo es una frontera de placas convergente en la que la litosfera oceánica se hunde bajo otra placa, bajo un continente o bajo otra placa oceánica. Una fosa oceánica es la depresión larga, estrecha y en forma de V del fondo marino a lo largo de la cual la placa que se hunde se curva hacia abajo bajo la otra. El antearco es la parte de la placa cabalgante entre la fosa y la línea de volcanes. Una cuenca de tras-arco es una cuenca detrás de los volcanes, en el lado alejado de la fosa, donde la placa cabalgante se estira y puede formarse corteza oceánica nueva.

Las fosas son los lugares más profundos de los océanos, y el más profundo de todos es el Abismo Challenger de la fosa de las Marianas. A través de la fosa de las Kuriles el fondo desciende desde unos $5200\,\mathrm{m}$ en la llanura abisal hasta $8700\,\mathrm{m}$ en el eje, unos $3.5\,\mathrm{km}$ más bajo, y la fosa tiene solo decenas de kilómetros de anchura (figura en Sección 14.2). Los márgenes convergentes de la Tierra miden unos $55\,000\,\mathrm{km}$ en total; en un modelo digital de las fronteras de placas, las fronteras de subducción suman unos $51\,000\,\mathrm{km}$, frente a unos $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsales de expansión.

Por delante de la fosa, la placa se eleva ligeramente antes de hundirse, en una elevación exterior amplia y baja. Allí la placa está curvada, y su parte superior está estirada: los terremotos de fallamiento normal se producen en las elevaciones exteriores. La anchura de la elevación exterior coincide con la flexión de una placa elástica; esta flexión de la litosfera se estudia en el libro de tercer año universitario. La propia fosa es el lugar donde el peso de la placa densa que se hunde tira de su borde delantero hacia abajo.

Definición 14.2 (Losa en subducción)

La losa en subducción es la parte de la placa que se hunde que ya ha descendido al manto: una lámina de litosfera oceánica, con su corteza encima, inclinada bajo la placa cabalgante desde la fosa hasta profundidades de varios cientos de kilómetros.

La placa cabalgante se corta en franjas paralelas a la fosa (figura de abajo): el antearco, a menudo con una pila de sedimentos raspados en su frente y una cuenca sedimentaria detrás; el arco volcánico; y, detrás de algunos arcos, una cuenca de tras-arco y un arco antiguo y extinguido más allá. Entre la losa y la placa cabalgante yace una cuña de manto, arrastrada hacia abajo a lo largo de la cima de la losa.

Sumada en el mismo modelo digital, unos $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de fondo oceánico se hunden cada año por las fronteras de subducción, cerca de los $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ que se forman en las dorsales (Capítulo 13): dentro de la precisión de un modelo así, que deja fuera la deformación lenta de las zonas de frontera amplias, el fondo oceánico se destruye tan rápido como se forma, y la superficie de la Tierra conserva su tamaño.

14.2 Gravedad y flujo de calor

Felix Vening Meinesz encontró las largas y estrechas franjas de anomalías de gravedad negativas a lo largo de las fosas (Capítulo 11). Hoy los satélites las cartografían en todas partes sobre el mar. A través de la fosa de las Kuriles (figura de abajo) la anomalía de aire libre sube hasta unos $40\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre la elevación exterior, desciende hasta $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre la fosa, y vuelve a ser fuertemente positiva sobre el antearco y las islas del arco.

La magnitud de la anomalía de la fosa indica cómo se mantiene la fosa. Supóngase que la fosa, $3.5\,\mathrm{km}$ más profunda que el fondo que la rodea, no estuviera compensada en absoluto: donde está la fosa, $3.5\,\mathrm{km}$ de roca de densidad de unos $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ se sustituyen por agua de mar. Según la placa de Bouguer (Proposición 11.9), la gravedad allí sería menor en

Esa es la magnitud de la depresión observada. Una fosa no está, por tanto, en equilibrio isostático: es una depresión sostenida, por la resistencia de la placa curvada y por el tirón de la losa, contra la flotabilidad del manto de abajo. (Una fosa de solo decenas de kilómetros de anchura atrae menos que una losa infinita, así que el agua que contiene da algo menos que esto; el resto del déficit yace más abajo, donde toda la placa curvada, con su corteza ligera incluida, se empuja hacia el manto: ejercicio 14.1.)

El flujo de calor cuenta la misma historia desde el otro lado. El fondo oceánico antiguo que llega a una fosa pierde poco calor: unos $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ según la ley de Capítulo 13 para la placa de las Kuriles, de $122\,\mathrm{Myr}$. Sobre el antearco el flujo es aún más bajo: la losa fría que hay debajo absorbe calor desde arriba, y el manto bajo el antearco es frío e inmóvil. Sobre el arco y el tras-arco es alto, de $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ de media, el doble del flujo de los interiores antiguos de los continentes (unos $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$). Un arco volcánico activo necesita una cuña de manto de unos $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a unos $100\,\mathrm{km}$ de profundidad; detrás de él, todo el tras-arco es caliente, con una litosfera de solo 50 a $60\,\mathrm{km}$ de espesor y su Moho a 800 a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

¿Por qué la losa se mantiene fría? Se hunde más rápido de lo que puede calentarse. La losa de las Kuriles de Sección 14.3 entra a unos $82\,\mathrm{mm}$ al año y buza $45{}^{\circ}$: alcanza los $600\,\mathrm{km}$ tras un recorrido de $600/\sin45{}^{\circ} \approx 850\,\mathrm{km}$, en unos diez millones de años. Según la escala de tiempo conductiva (Proposición 10.12), el calor del manto tarda en cruzar los $50\,\mathrm{km}$ hasta el centro de una losa de $100\,\mathrm{km}$ de espesor:

unas ocho veces más. El núcleo de la losa llega a los $600\,\mathrm{km}$ casi tan frío como estaba en la fosa, y las isotermas son arrastradas hacia abajo con ella, como muestra la sección de una zona de subducción de arriba.

14.3 Terremotos y forma de la losa

Definición 14.3 (Zona de Wadati–Benioff)

Una zona de Wadati–Benioff es la zona inclinada de terremotos que empieza cerca de una fosa y se hunde bajo la placa cabalgante, hasta unos $700\,\mathrm{km}$: delinea la losa en subducción.

Sus terremotos son de dos tipos. Hasta unas decenas de kilómetros ocurren en la propia frontera de placas, la falla de poco buzamiento a lo largo de la cual las dos placas se deslizan una junto a otra; los mayores terremotos de la Tierra, como el de 2011 frente a Japón, rompen esta falla. Más profundos, se producen dentro de la losa, que es la única que aún está lo bastante fría para almacenar esfuerzo. A las mayores profundidades incluso la losa debería fluir en lugar de romperse, y cómo empiezan los terremotos profundos sigue en debate. El terremoto más profundo del catálogo, de magnitud 4.2, se produjo bajo la región de Vanuatu en 2004 a $735.8\,\mathrm{km}$. En todas las zonas de subducción examinadas, la zona es doble a profundidades intermedias: dos capas de terremotos, más separadas en las placas más antiguas.

Las islas Kuriles, entre Hokkaido y Kamchatka, se asientan sobre una losa que los terremotos delinean desde la fosa hasta más de $600\,\mathrm{km}$. Allí la placa del Pacífico, de unos $120\,\mathrm{Myr}$ donde llega a la fosa, se hunde bajo la placa de Ojotsk (mapa de abajo). Los terremotos de magnitud 5 o mayor desde 1976 dibujan la losa en planta: los someros a lo largo de la fosa, los intermedios bajo las islas, los profundos bajo el mar de Ojotsk. El 24 de mayo de 2013 un terremoto de magnitud 8.3 se produjo a $598\,\mathrm{km}$ bajo el mar de Ojotsk, en la misma losa más al norte; se sintió hasta Moscú, a unos $6400\,\mathrm{km}$.

Para ver la losa en sección, retenga los terremotos a menos de $150\,\mathrm{km}$ de una línea que empiece en la fosa y corra perpendicular a ella, hacia la placa cabalgante, y represente cada uno según su distancia $x$ a lo largo de la línea y su profundidad $z$ (figura de abajo). Los puntos forman una banda; la recta que mejor la sigue se halla por mínimos cuadrados.

Método 14.4 (Ajuste de la losa por mínimos cuadrados)

Dados $n$ terremotos en $(x_i, z_i)$ dentro de la losa:

1. calcúlense las medias $\bar x = \frac1n\sum x_i$ y $\bar z = \frac1n\sum z_i$;
2. calcúlense $S_{xx} = \sum (x_i - \bar x)^2 = \sum x_i^2 - n\bar x^2$ y $S_{xz} = \sum (x_i - \bar x)(z_i - \bar z) = \sum x_i z_i - n\bar x\bar z$;
3. la recta de la losa es $z = a + s x$ con $s = S_{xz}/S_{xx}$ y $a = \bar z - s\bar x$; su buzamiento es $\delta = \arctan s$.

La recta minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales $F(a, s) = \sum_i (z_i - a - s x_i)^2$, una función cuadrática de $a$ y $s$ que es mínima allí donde ambas derivadas parciales se anulan. $\partial F/\partial a = -2\sum (z_i - a - s x_i) = 0$ da $\bar z = a + s\bar x$: la recta pasa por el centro de los puntos. Sustituyendo $a = \bar z - s\bar x$, $\partial F/\partial s = -2\sum x_i\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$; dado que $\sum \bar x\,[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, esto es $\sum (x_i - \bar x)[(z_i - \bar z) - s(x_i - \bar x)] = 0$, es decir $S_{xz} = s S_{xx}$.

Bajo las Kuriles centrales la franja contiene 599 terremotos, 121 de ellos más profundos que $70\,\mathrm{km}$, dentro de la losa. Los más someros son de poca utilidad para el ajuste: mezclan la frontera de placas y la placa que se curva, y 147 de los 478 se registran con la misma profundidad redonda de $33\,\mathrm{km}$. Los 121 más profundos dan

un buzamiento de $44.9{}^{\circ}$, unos $45{}^{\circ}$, hasta el terremoto más profundo de la franja, a $632\,\mathrm{km}$. La recta no pasa por la fosa: alcanza la superficie a $53\,\mathrm{km}$ hacia tierra desde ella. La losa no es recta: sale de la fosa con un buzamiento más suave y se empina bajo el antearco, como muestran los terremotos someros por encima de la recta.

Una losa fría es más densa que el manto que la rodea, y su peso tira de la placa que queda detrás: es la tracción de la losa del libro 2, año 11. Su tamaño se deduce de la profundidad del fondo oceánico.

Proposición 14.5 (El peso en exceso de una losa)

Bajo las hipótesis de la ley profundidad–edad (Teorema 13.7), una placa de edad $A$ lleva, por unidad de área, la masa en exceso

$$m = (\rho_m - \rho_w)\bigl(d(A) - d_r\bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\,\rho_m\,\alpha\,(T_m - T_0)\sqrt{\kappa A}$$

sobre el manto a $T_m$. Una losa de esta placa, de longitud $L$ a lo largo de su buzamiento $\delta$ y aún no calentada, tiene el peso en exceso $F = g\,m\,L$ por unidad de longitud de fosa, del cual $F\sin\delta$ actúa a lo largo de la losa.

El fondo oceánico pesa, así, su propia masa en exceso: cada metro que se ha hundido bajo la dorsal equivale a $2300\,\mathrm{kg}$ de exceso por metro cuadrado. Para la placa de las Kuriles, de $122\,\mathrm{Myr}$, la ley del semiespacio ($C = 393$), que para un fondo tan antiguo exagera algo el hundimiento (Capítulo 13), da $d - d_r = 393\sqrt{122} = 4340\,\mathrm{m}$ y $m = 2300\times4340 \approx 1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, diez mil toneladas en cada metro cuadrado. Hasta el terremoto más profundo, $632\,\mathrm{km}$, la losa mide $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$ de longitud, así que

$6.2 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ de ella a lo largo de la losa. Esta es una cota superior: la losa se calienta en sus caras, y buena parte de su peso lo soporta el manto viscoso que empuja a un lado, en lugar de transmitirse a la placa en la superficie. Aun así, desde los análisis de las fuerzas motrices de todas las placas en los años 1970, se cree que la densidad en exceso de la litosfera que se hunde proporciona la mayor parte de la energía que mueve las placas.

14.4 Márgenes acrecionales y erosivos

La placa que se hunde lleva sus sedimentos a la fosa. Algunos se raspan y se quedan; otros bajan con la losa, y la losa puede incluso llevarse consigo roca de la placa cabalgante.

Definición 14.6 (Prisma de acreción, erosión tectónica)

Un prisma de acreción es una cuña de sedimentos, con láminas de corteza oceánica, raspada de la placa que se hunde y añadida al frente de la placa cabalgante en una fosa. La erosión tectónica es la remoción de roca de la placa cabalgante por la placa que se hunde, que la lleva hacia abajo: desde el frente de la placa cabalgante, o desde la base de su corteza.

Un prisma crece de dos maneras. En su frente, los sedimentos se arrancan de la placa que se hunde y se apilan en láminas que se alejan de la fosa; las láminas más jóvenes son las más externas, y las más antiguas, más atrás, se levantan y se empinan. En su base, los sedimentos arrastrados a lo largo de la frontera de placas se pegan a su parte inferior, un crecimiento llamado acreción basal (underplating). Las rocas franciscanas de California son un prisma antiguo cuyas partes con acreción basal son hoy mezclas caóticas de bloques en una matriz cizallada, mélanges. Un prisma, como un montón de arena empujado por una excavadora, mantiene un ahusamiento constante: una vez que el ángulo entre su superficie y su base ha alcanzado un valor crítico, crece solo como una copia más grande de sí mismo (ejercicio 14.11).

Que un margen construya un prisma o pierda roca depende del sedimento que llega a la fosa y de la velocidad de convergencia. Los márgenes acrecionales, como Cascadia, las Aleutianas y la fosa sur de Perú–Chile, reciben mucho. Los márgenes erosivos, como la fosa norte de Perú–Chile, Tonga–Kermadec o las Marianas, reciben poco, y la placa que se hunde roe su frente y la base de su corteza. La erosión prevalece donde las placas convergen más deprisa que unos $6\,\mathrm{cm}$ al año y la cubierta de sedimentos tiene menos de $1\,\mathrm{km}$ de espesor; la acreción donde la convergencia es más lenta o el sedimento de la fosa tiene más de $1\,\mathrm{km}$ de espesor.

14.5 Arcos volcánicos y cuencas de tras-arco

Definición 14.7 (Arco volcánico, brecha arco–fosa)

Un arco volcánico es una franja de volcanes sobre la placa cabalgante de una zona de subducción, paralela a la fosa y convexa hacia la placa que se hunde, alimentada por magma de la cuña de manto sobre la losa. La brecha arco–fosa es la distancia horizontal entre la fosa y el frente volcánico, la línea de volcanes más cercana a la fosa.

Los volcanes de arco se alzan donde la cima de la losa está, en promedio, a unos $105\,\mathrm{km}$ de profundidad, aunque la profundidad bajo distintos arcos, promediada sobre tramos de $500\,\mathrm{km}$, varía de 72 a $173\,\mathrm{km}$. El magma se forma donde el agua liberada por la losa, al descomponerse sus minerales hidratados, baja la temperatura de fusión del manto caliente de la cuña (libro 2, año 12; los magmas de los arcos se estudian en el libro de segundo año universitario). Bajo las Kuriles centrales el frente volcánico yace a $164\,\mathrm{km}$ de la fosa, donde la línea de la losa de las Kuriles está a $111\,\mathrm{km}$ de profundidad.

Proposición 14.8 (La brecha arco–fosa)

Supóngase que la cima de la losa buza $\delta_1$ desde la fosa hasta la profundidad $z_1$, y luego $\delta_2$ por debajo, y que el frente volcánico yace sobre el lugar donde la cima de la losa está a la profundidad $H > z_1$. Entonces la brecha arco–fosa es

$$g = \frac{z_1}{\tan\delta_1} + \frac{H - z_1}{\tan\delta_2} .$$

Para una losa de buzamiento uniforme $\delta$, $g = H/\tan\delta$. Para $z_1$, $H$ y $\delta_1$ dados, cuanto más suave es el buzamiento $\delta_2$, más ancha es la brecha.

Una losa de $45{}^{\circ}$ con los volcanes a $111\,\mathrm{km}$ sobre ella pondría el frente a $111\,\mathrm{km}$ de la fosa si fuera recta; el frente de las Kuriles está a $164\,\mathrm{km}$ porque la losa buza más suavemente bajo el antearco (ejercicio 14.6).

Los arcos son curvos, y su curvatura se deduce de la esfera. Una placa que se hunde en el manto debe curvarse sin estirarse, pues una placa de decenas de kilómetros de espesor no puede estirarse decenas de por ciento. Sobre una esfera esto fija cómo puede verse una placa curvada.

Proposición 14.9 (Una cáscara esférica curvada)

Refléjese la calota de una esfera cortada por un círculo menor de radio angular $\rho$ en el plano de ese círculo. La calota reflejada tiene la misma forma y el mismo tamaño que la original, así que la superficie se curva sin estirarse; y a lo largo del círculo se curva un ángulo $\theta = 2\rho$. Una placa que se hunde con el buzamiento $\theta$ a lo largo de un pliegue así puede hacerlo sin estirarse a lo largo de un círculo menor de radio angular $\theta/2$.

La losa de las Kuriles buza $45{}^{\circ}$, así que la proposición predice un arco de radio angular de unos $22.5{}^{\circ}$. Los puntos PB2002 de la fosa de las Kuriles, desde Hokkaido hasta el sur de Kamchatka, se ajustan mejor con un círculo menor de radio $21.9{}^{\circ}$, centrado cerca de $58.9{}^{\circ}$ N, $123.8{}^{\circ}$ E, en el este de Siberia, del lado de la placa cabalgante. El acuerdo es cercano aquí, pero el modelo es grosero: la parte central de la misma fosa da por sí sola $18.1{}^{\circ}$. La idea es de Charles Frank, en 1968: los arcos de Kuriles–Kamchatka, de las Aleutianas y de Sumatra–Java, sobre losas que buzan unos $45{}^{\circ}$, tienen todos radios de unos $20{}^{\circ}$, unos $22{}^{\circ}$ medidos hasta sus fosas.

La corteza bajo los arcos se engrosa tanto por acortamiento como por el magma añadido desde abajo; bajo los arcos construidos sobre continentes, como los Andes, está entre las más gruesas de la Tierra.

Tras algunos arcos la placa cabalgante se separa. Dan Karig explicó estas cuencas marginales del Pacífico occidental dentro de la tectónica de placas, en 1971: cuando la losa se hunde empinada y retrocede, la fosa y el arco migran hacia la placa que se hunde, y la placa que queda detrás se estira hasta romperse, dejando a veces un arco remanente extinto al otro lado. En el modelo de placas usado arriba, la expansión de tras-arco va a unos $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en la cuenca de las Marianas cerca de $18{}^{\circ}$ N, y a más de $110\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en el norte de la cuenca de Lau, detrás de Tonga. Donde la losa es somera, en cambio, arrastra la placa cabalgante, cuya corteza se acorta y engrosa detrás del arco, como detrás de los Andes.

Sobre el terreno — Alerta de tsunami

Un centro de alerta de tsunamis dispone de minutos. En 2011 la primera alerta para la costa del noreste de Japón llegó unos tres minutos después del terremoto, a partir de una magnitud basada en las ondas sísmicas de periodo corto; para terremotos de magnitud 8 o más, esa magnitud se subestima, y con ella la altura del tsunami. La magnitud de momento, que no se satura, tardó unos quince minutos: los sismómetros de banda ancha de Japón habían sido llevados más allá de su rango. Desde 2013, cuando el tamaño de un terremoto tan grande es incierto, la primera alerta supone el terremoto mayor posible allí y describe el tsunami con palabras, como «enorme», en lugar de con un número; y los pronósticos se apoyan en medidas del mar mismo, mar adentro, con boyas posicionadas por satélite y sensores de presión en el fondo, que ven la ola antes de que llegue a la costa.

14.6 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Una fosa yace $3\,\mathrm{km}$ bajo el fondo oceánico que la rodea. (a) Si no estuviera compensada, ¿en cuánto bajaría la gravedad allí la roca que falta, de densidad $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, sustituida por agua de mar de densidad $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$? Úsese la placa de Bouguer, con $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Compárese con la anomalía observada sobre la fosa de las Kuriles, unos $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, donde la fosa yace $3.5\,\mathrm{km}$ bajo el fondo que la rodea: rehágase el cálculo para esa profundidad. (c) ¿Por qué el agua de una fosa de solo decenas de kilómetros de anchura da menos que la fórmula de la losa, y dónde debe yacer el resto del déficit?

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

(a) $2\pi G\,\Delta\rho\,h = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3000 = 2.14 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$: la gravedad sería menor en unos $214\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) Para $3.5\,\mathrm{km}$, $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700\times3500 = 2.50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: el tamaño de la depresión observada, así que la fosa está lejos del equilibrio isostático. (c) La fórmula de la losa supone que la roca que falta se extiende sin límite en todas direcciones; una fosa de solo decenas de kilómetros de anchura quita mucha menos masa alrededor del punto de medida, así que su agua sola da menos de $250\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. El resto del déficit yace más abajo: toda la placa se curva hacia abajo bajo la fosa, y su corteza, más ligera que el manto, ocupa el lugar del manto en su base.

Ejercicio 14.2 ★

La placa del Pacífico entra en la fosa de las Kuriles a $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) ¿Qué longitud de placa se hunde en 10 millones de años? (b) Si la losa se hundiera a lo largo de una trayectoria recta que buza $45{}^{\circ}$, ¿a qué profundidad estaría entonces su borde delantero? (c) ¿Cuánto tarda en alcanzar los $600\,\mathrm{km}$?

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

(a) $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, así que $820\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{Myr}$. (b) $820\sin45{}^{\circ} = 580\,\mathrm{km}$. (c) El camino hasta $600\,\mathrm{km}$ es $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, recorrido en $849/82 = 10.3\,\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 14.3 ★

Los volcanes se alzan sobre el lugar donde una losa recta está a $110\,\mathrm{km}$ de profundidad. Calcúlese la brecha arco–fosa para una losa que buza $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ y $60{}^{\circ}$. ¿Qué arco yace más lejos de su fosa?

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$g = 110/\tan\delta$: $191\,\mathrm{km}$ para $30{}^{\circ}$, $110\,\mathrm{km}$ para $45{}^{\circ}$, $64\,\mathrm{km}$ para $60{}^{\circ}$. El arco sobre la losa de buzamiento más suave yace más lejos de su fosa.

Ejercicio 14.4 ★

En el modelo digital de placas del capítulo, unos $2.7\,\mathrm{km}^{2}$ de fondo oceánico se hunden cada año por las fronteras de subducción, a lo largo de unos $51\,000\,\mathrm{km}$, y unos $3.0\,\mathrm{km}^{2}$ se forman a lo largo de unos $67\,000\,\mathrm{km}$ de dorsales de expansión. (a) Calcúlense la velocidad media de convergencia y la velocidad media total de expansión, en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) En el conjunto de sus fronteras el modelo destruye tanta área como forma. ¿Adónde va el resto del fondo nuevo?

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

(a) Convergencia: $2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.053\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, unos $53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Expansión: $3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{yr}^{-1}/6.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 0.045\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}$, unos $45\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Con una longitud total menor, las fronteras de subducción consumen fondo oceánico más deprisa de lo que las dorsales lo producen, pero consumen menos en total. (b) El $0.3\,\mathrm{km}^{2}$ restante aproximadamente se absorbe a lo largo de las otras fronteras convergentes del modelo, como las colisiones continentales y las zonas convergentes dentro de los océanos, donde las placas se acortan en lugar de subducirse; y las dorsales no son las únicas fronteras divergentes: los rifts continentales y algunas transformantes también se abren un poco.

Ejercicio 14.5 ★★

Cuatro terremotos de una sección yacen en $(x, z) = (200, 150)$, $(300, 250)$, $(400, 330)$ y $(500, 430)$, en kilómetros. (a) Ajústese la recta de la losa por mínimos cuadrados y dése su buzamiento. (b) ¿Dónde alcanza la recta la superficie? (c) Compárese con el buzamiento de la recta que pasa solo por el primero y el último terremoto.

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

(a) $\bar x = 350$, $\bar z = 290$; las desviaciones de $x$ son $-150$, $-50$, $50$, $150$, y las de $z$ son $-140$, $-40$, $40$, $140$, así que $S_{xx} = 2(150^2 + 50^2) = 50\,000$ y $S_{xz} = 2(150\times140 + 50\times40) = 46\,000$. Entonces $s = 0.92$, $a = 290 - 0.92\times350 = -32\,\mathrm{km}$, y el buzamiento es $\arctan 0.92 = 42.6{}^{\circ}$. (b) $z = 0$ en $x = 32/0.92 = 34.8\,\mathrm{km}$ de la fosa. (c) Con los puntos extremos la pendiente es $280/300 = 0.933$, un buzamiento de $43.0{}^{\circ}$: cercano, pero usa solo dos de los cuatro terremotos.

Ejercicio 14.6 ★★

Una losa modelo buza $25{}^{\circ}$ desde la fosa hasta $50\,\mathrm{km}$, y luego $45{}^{\circ}$. El frente volcánico se alza donde la losa está a $110\,\mathrm{km}$ de profundidad. (a) Calcúlese la brecha arco–fosa. (b) Compárese con una losa que buza $45{}^{\circ}$ en todo su recorrido. (c) El segmento profundo, prolongado hacia arriba, alcanza la superficie: ¿dónde? Compárese con la recta de las Kuriles, que la alcanza $53\,\mathrm{km}$ hacia tierra desde la fosa. (d) ¿Qué brecha daría un segmento profundo de $60{}^{\circ}$?

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

(a) $50/\tan25{}^{\circ} + 60/\tan45{}^{\circ} = 107.2 + 60.0 = 167.2\,\mathrm{km}$. (b) Una losa de $45{}^{\circ}$ en todo su recorrido da $110\,\mathrm{km}$: el segmento somero y suave ensancha la brecha en $57\,\mathrm{km}$. (c) El segmento profundo es $z = 50 + (x - 107.2)$; alcanza $z = 0$ en $x = 57.2\,\mathrm{km}$, hacia tierra desde la fosa, como hace la recta de las Kuriles a $53\,\mathrm{km}$: un segmento somero suave explica el desplazamiento de las Kuriles. (d) $107.2 + 60/\tan60{}^{\circ} = 107.2 + 34.6 = 141.9\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 14.7 ★★

(a) Según la proposición de la cáscara curvada, ¿qué radio angular, y qué radio en kilómetros ($R = 6371\,\mathrm{km}$), debe tener un arco sobre una losa que buza $45{}^{\circ}$? ¿$30{}^{\circ}$? ¿$70{}^{\circ}$? (b) ¿Qué arcos están más estrechamente curvados? (c) La losa de las Kuriles buza $44.9{}^{\circ}$ y la fosa de las Kuriles se ajusta a un círculo de $21.9{}^{\circ}$: calcúlese la diferencia relativa respecto de la predicción.

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

(a) El radio es la mitad del buzamiento, y $r = R\,\theta$ con $\theta$ en radianes: $22.5{}^{\circ}$ y $6371\times0.3927 = 2502\,\mathrm{km}$ para $45{}^{\circ}$; $15{}^{\circ}$ y $1668\,\mathrm{km}$ para $30{}^{\circ}$; $35{}^{\circ}$ y $3892\,\mathrm{km}$ para $70{}^{\circ}$. (b) Los arcos sobre losas de buzamiento más suave. (c) La predicción es $44.9/2 = 22.45{}^{\circ}$; el ajuste, $21.9{}^{\circ}$, es $0.55/22.45 = 2.4\,\%$ más pequeño.

Ejercicio 14.8 ★★

Tómese una conductividad de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y una temperatura en superficie de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Calcúlese el gradiente de temperatura en superficie bajo un antearco que pierde $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ y bajo un tras-arco que pierde $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Extrapolando linealmente estos gradientes, estímese la temperatura a $30\,\mathrm{km}$ en cada uno. (c) Los Moho de tras-arco se miden a 800 a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Por qué la estimación lineal es demasiado alta?

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

(a) $q/k$: $0.035/2.5 = 0.014\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 14\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo el antearco, $0.080/2.5 = 32\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo el tras-arco. (b) $10 + 14\times30 = 430\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $10 + 32\times30 = 970\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Parte del flujo de calor en superficie lo produce la radiactividad dentro de la propia corteza, así que menos calor atraviesa los niveles más profundos y el gradiente disminuye con la profundidad: una extrapolación lineal del gradiente en superficie sobrestima la temperatura en profundidad.

Ejercicio 14.9 ★★

En el modelo de placas del capítulo, la cuenca de las Marianas se abre cerca de $18{}^{\circ}$ N a una velocidad total de unos $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Exprésese esta velocidad en $\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, y dése la velocidad media de cada flanco si la expansión es simétrica. (b) ¿Cuánto tardaría la cuenca en abrirse $100\,\mathrm{km}$ a esta velocidad? (c) Dense dos razones por las que la edad de una cuenca de tras-arco no puede leerse simplemente a partir de su anchura y de su velocidad actual.

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

(a) $32\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ es $32\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$; la velocidad media es $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) $100/32 = 3.1\,\mathrm{Myr}$. (c) La velocidad no tiene por qué haber sido constante; parte de la anchura puede venir del estiramiento y el rifting del arco antes de que empezara la expansión; y el eje puede haber saltado o haberse expandido de forma asimétrica.

Ejercicio 14.10 ★★★

Una losa de $100\,\mathrm{km}$ de espesor se hunde a $82\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a lo largo de una trayectoria que buza $45{}^{\circ}$. Tómese $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) ¿Cuánto tarda en alcanzar los $600\,\mathrm{km}$? (b) ¿Hasta dónde se difunde el calor en ese tiempo, por $\sqrt{\kappa t}$? (c) ¿Cuánto tardaría el calor en llegar a su centro? (d) Concluya sobre la temperatura de la losa a $600\,\mathrm{km}$ y sobre sus terremotos.

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

(a) El camino es $600/\sin45{}^{\circ} = 849\,\mathrm{km}$, recorrido a $82\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ en $10.3\,\mathrm{Myr}$, es decir $3.27 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$. (b) $\sqrt{10^{-6}\times3.27 \times 10^{14}} = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, unos $18\,\mathrm{km}$. (c) $(5 \times 10^{4}\,\mathrm{m})^2/10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, unos $79\,\mathrm{Myr}$. (d) El calor solo ha llegado a los $18\,\mathrm{km}$ exteriores de cada cara de la losa: su núcleo llega a los $600\,\mathrm{km}$ casi tan frío como cuando salió de la fosa, más frío y más resistente que el manto que lo rodea, lo que explica por qué aún puede romperse en terremotos a esa profundidad.

Ejercicio 14.11 ★★★

Un prisma de acreción modelo tiene sección triangular: su superficie inclina $\alpha = 4{}^{\circ}$ hacia la fosa y su base buza $\beta = 6{}^{\circ}$ bajo él, ambas se encuentran en su pie; mantiene estos ángulos al crecer. (a) Muéstrese que su área es $A = \frac12 L^2(\tan\alpha + \tan\beta)$ para una anchura $L$, cuando los ángulos son lo bastante pequeños para que la altura en la parte posterior sea $L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) Llega a una placa convergente a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ una capa de sedimento de $1\,\mathrm{km}$ de espesor, y todo se acreciona: calcúlese la anchura tras 1, 4 y 10 millones de años. ¿Cómo crece $L$ con el tiempo? (c) ¿Qué pasa si la mitad del sedimento se hunde con la losa?

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

(a) A la distancia $L$ detrás del pie, la superficie se alza $L\tan\alpha$ sobre el nivel del pie y la base yace $L\tan\beta$ por debajo: la parte posterior del prisma tiene una altura de $L(\tan\alpha + \tan\beta)$, y el triángulo tiene el área $\frac12 L\times L(\tan\alpha + \tan\beta)$. (b) $\tan4{}^{\circ} + \tan6{}^{\circ} = 0.175$. El prisma recibe $1\,\mathrm{km}\times40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 40\,\mathrm{km}^{2}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ de sección, así que $A = 40t$ y $L = \sqrt{2A/0.175}$: $21.4\,\mathrm{km}$ tras $1\,\mathrm{Myr}$, $42.8\,\mathrm{km}$ tras $4\,\mathrm{Myr}$, $67.6\,\mathrm{km}$ tras $10\,\mathrm{Myr}$. $L$ crece como $\sqrt t$: cuatro veces más tiempo da el doble de anchura. (c) $A$ se reduce a la mitad y $L$ se divide por $\sqrt2$: $15.1\,\mathrm{km}$, $30.2\,\mathrm{km}$ y $47.8\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 14.12 ★★★

(a) Muéstrese que la recta de mínimos cuadrados pasa por el punto medio $(\bar x, \bar z)$. (b) Un catálogo enumera cada profundidad $10\,\mathrm{km}$ demasiado profunda. ¿Cómo cambian la pendiente y la ordenada en el origen de la recta ajustada? (c) Las distancias $x$ se miden todas desde un punto de la fosa situado $20\,\mathrm{km}$ demasiado hacia tierra, de modo que cada $x$ es $20\,\mathrm{km}$ demasiado pequeña. ¿Cómo cambian la pendiente y la ordenada en el origen? (d) ¿Cambia alguno de estos errores el buzamiento?

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

(a) $\partial F/\partial a = -2\sum(z_i - a - s x_i) = 0$ da $n\bar z = na + sn\bar x$, es decir $\bar z = a + s\bar x$. (b) Cada $z_i$ y $\bar z$ crecen $10\,\mathrm{km}$, así que las desviaciones $z_i - \bar z$ y $S_{xz}$ no cambian: la pendiente es la misma, y $a = \bar z - s\bar x$ crece en $10\,\mathrm{km}$. (c) Las desviaciones $x_i - \bar x$ no cambian, así que la pendiente es la misma; $\bar x$ disminuye en 20, así que $a$ aumenta en $20s$. (d) Ninguno: el buzamiento depende solo de la pendiente. Los errores compartidos por todos los puntos mueven la recta sin girarla.

14.7 Problema: Leer una zona de subducción a partir de sus terremotos

Problema 14.1

Problema de fin de semana — la losa de las Kuriles a partir de ocho terremotos, a qué velocidad se hunde, lo que dicen su gravedad y su flujo de calor, y dónde deben situarse sus volcanes

Ocho terremotos de la losa de las Kuriles, todos más profundos que $70\,\mathrm{km}$, se enumeran según su distancia $x$ a la fosa a lo largo de la línea de sección, hacia el mar de Ojotsk, y su profundidad $z$, ambas redondeadas al kilómetro.

terremoto	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$ ($\mathrm{km}$)	155	222	305	319	431	533	578	609
$z$ ($\mathrm{km}$)	96	169	245	272	389	489	518	573
magnitud	5.5	5.1	5.0	5.4	5.3	5.3	5.2	6.4

Parte I — La recta de la losa.

1. Represéntense los ocho terremotos a la misma escala en ambos ejes, con la profundidad hacia abajo.
2. Calcúlense $\sum x_i$, $\sum z_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i z_i$ y las medias $\bar x$ y $\bar z$.
3. Calcúlense $S_{xx}$ y $S_{xz}$, y luego la pendiente de la recta de mínimos cuadrados con tres decimales y su ordenada en el origen con un decimal.
4. ¿Cuál es el buzamiento de la losa?
5. ¿Dónde alcanza la recta la superficie? ¿Qué dice esto de la forma de la losa cerca de la fosa?
6. Calcúlese el desajuste $z_i - (a + s x_i)$ de cada terremoto. ¿Cuáles yacen más lejos de la recta, y cuánto?

Parte II — Con qué velocidad se hunde la losa. Al principio de la sección el modelo PB2002 da una convergencia de $87.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: respecto de la placa de Ojotsk, la placa del Pacífico se mueve hacia el acimut $300{}^{\circ}$. La línea de sección, perpendicular a la fosa, corre hacia el acimut $320.9{}^{\circ}$.

7. Calcúlese el ángulo entre la convergencia y la línea de sección, y luego las componentes de la convergencia perpendicular y paralela a la fosa.
8. ¿Qué longitud de placa se hunde en la fosa en 10 millones de años?
9. Usando el buzamiento de la pregunta 4 (redondeado a $45{}^{\circ}$), ¿cuánto tarda la losa en llevar un punto de su cima desde la fosa hasta el terremoto más profundo de la franja, a $632\,\mathrm{km}$? Despréciese el buzamiento más suave cerca de la fosa.
10. La placa tiene unos $122\,\mathrm{Myr}$ en la fosa. ¿Qué edad tiene el fondo marino que está ahora a $632\,\mathrm{km}$ de profundidad?
11. Según $\sqrt{\kappa t}$, con $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, ¿hasta dónde se ha difundido el calor en la losa durante ese descenso? Compárese con su espesor, unos $100\,\mathrm{km}$.

Parte III — Gravedad y flujo de calor. Tómese una conductividad de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

12. El fondo oceánico antiguo frente a la fosa pierde unos $43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, el tras-arco unos $80\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$; tómense $35\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ para el antearco. Calcúlese el gradiente de temperatura cerca de la superficie de cada uno.
13. Explíquese por qué el antearco pierde menos calor que el fondo oceánico antiguo que tiene delante.
14. La anomalía de aire libre sobre la fosa de las Kuriles es de unos $-260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. ¿Qué espesor de roca, $1700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ más densa que el agua, necesitaría una placa de Bouguer para dar este déficit? Compárese con la profundidad de la fosa bajo el fondo que la rodea, unos $3.5\,\mathrm{km}$.
15. Supóngase ahora que toda la placa se empuja hacia abajo $3.5\,\mathrm{km}$: el agua ocupa el lugar de la roca en su parte superior, y su corteza el lugar del manto en su base, de modo que en total el manto de densidad $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ se sustituye por agua. Calcúlese la anomalía de la placa de Bouguer. ¿Por qué la fosa real, de solo decenas de kilómetros de anchura, da menos?
16. La fosa y la elevación exterior no están en equilibrio isostático. ¿Qué las mantiene fuera de él?

Parte IV — Dónde deben estar los volcanes. Úsese la recta de la pregunta 3, con su pendiente y su ordenada redondeadas.

17. El primer volcán de la franja está a $164\,\mathrm{km}$ de la fosa. ¿Qué profundidad tiene la losa bajo él?
18. ¿Está esta profundidad dentro del rango encontrado bajo los arcos, de 72 a $173\,\mathrm{km}$? ¿A qué distancia está del promedio, $105\,\mathrm{km}$?
19. ¿A qué distancia de la fosa la losa está a $100\,\mathrm{km}$ de profundidad?
20. Según la proposición de la cáscara curvada, ¿qué radio angular debe tener el arco de las Kuriles, y qué radio en kilómetros?
21. La fosa de las Kuriles se ajusta a un círculo menor de $21.9{}^{\circ}$. Compárese.
22. Los volcanes de arco se alzan, en promedio, donde la losa está a unos $105\,\mathrm{km}$ de profundidad. ¿A qué distancia de la fosa alcanza la recta de la losa esa profundidad?
23. Compárese esta distancia con los $164\,\mathrm{km}$ observados: ¿en cuántos kilómetros y en qué fracción difiere?
24. Al kilómetro más próximo, ¿qué brecha arco–fosa predice la recta de la losa de las Kuriles para volcanes que se alzan sobre la losa a $105\,\mathrm{km}$?

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. Los ocho puntos yacen cerca de una recta que buza unos $45{}^{\circ}$, desde $96\,\mathrm{km}$ de profundidad a $155\,\mathrm{km}$ de la fosa hasta $573\,\mathrm{km}$ de profundidad a $609\,\mathrm{km}$.

2. $\sum x_i = 3152$, $\sum z_i = 2751$, $\sum x_i^2 = 1\,442\,910$, $\sum x_i z_i = 1\,290\,548$; $\bar x = 394.0\,\mathrm{km}$, $\bar z = 343.875\,\mathrm{km}$.

3. $S_{xx} = 1442910 - 8\times394^2 = 201\,022$ y $S_{xz} = 1290548 - 8\times394\times343.875 = 206\,654$. Entonces $s = 206654/201022 = 1.028$ y $a = 343.875 - 1.02802\times394 = -61.2\,\mathrm{km}$: $z = -61.2 + 1.028\,x$.

4. $\arctan1.028 = 45.8{}^{\circ}$.

5. En $x = 61.2/1.028 = 59.5\,\mathrm{km}$ hacia tierra desde la fosa. Una losa que hubiera salido de la fosa con este buzamiento llegaría a la superficie allí; llega a ella en la fosa, así que buza más suavemente cerca de la fosa y se empina debajo.

6. Los desajustes son $-2.1$, $2.0$, $-7.3$, $5.3$, $7.1$, $2.3$, $-15.0$ y $8.1$ $\mathrm{km}$. El terremoto 7 yace $15\,\mathrm{km}$ por encima de la recta, el 8 $8\,\mathrm{km}$ por debajo; los demás yacen a unos $7\,\mathrm{km}$ de ella, una fracción del espesor de la losa.

7. $320.9{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 20.9{}^{\circ}$. Perpendicular a la fosa: $87.4\cos20.9{}^{\circ} = 81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; paralela: $87.4\sin20.9{}^{\circ} = 31.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. La convergencia es oblicua.

8. $81.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ es $81.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$: $816\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{Myr}$.

9. El camino es $632/\sin45{}^{\circ} = 894\,\mathrm{km}$, recorrido en $894/81.6 = 11.0\,\mathrm{Myr}$.

10. $122 + 11 = 133\,\mathrm{Myr}$.

11. $t = 10.95\,\mathrm{Myr} = 3.46 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ y $\sqrt{10^{-6}\times3.46 \times 10^{14}} = 1.86 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, unos $19\,\mathrm{km}$ de cada cara: mucho menos que los $50\,\mathrm{km}$ hasta el centro de una losa de $100\,\mathrm{km}$ de espesor, cuyo núcleo sigue frío.

12. $q/k$: $17.2\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo el fondo oceánico antiguo, $14.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo el antearco y $32.0\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ bajo el tras-arco.

13. Bajo el antearco la losa fría yace solo a unas decenas de kilómetros de profundidad; absorbe calor de la roca que tiene encima, así que llega menos calor a la superficie.

14. $h = 2.60 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times1700) = 3647\,\mathrm{m}$, unos $3.6\,\mathrm{km}$: tanto como, o un poco más que, toda la profundidad de la fosa bajo el fondo que la rodea, unos $3.5\,\mathrm{km}$. La fosa carece de masa que nada compensa.

15. La diferencia de densidad es $3300 - 1000 = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y $2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times2300\times3500 = 3.38 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $338\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. La fórmula de la losa cuenta la masa que falta hasta cualquier distancia; la fosa real está curvada hacia abajo solo en una franja de decenas de kilómetros de anchura, así que su déficit es menor, unos $260\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, entre las dos estimaciones de la losa.

16. La resistencia de la placa curvada, que mantiene la fosa hacia abajo y la elevación exterior hacia arriba como lo haría una placa elástica, y el tirón de la losa densa que se hunde en el manto.

17. $-61.2 + 1.028\times164 = 107.4\,\mathrm{km}$.

18. Sí: $107\,\mathrm{km}$ yace entre 72 y $173\,\mathrm{km}$, y solo unos $2\,\mathrm{km}$ más profundo que el promedio, $105\,\mathrm{km}$.

19. $x = (100 + 61.2)/1.028 = 156.8\,\mathrm{km}$.

20. $45.8{}^{\circ}/2 = 22.9{}^{\circ}$, y $6371\times22.9\times\pi/180 = 2546\,\mathrm{km}$.

21. El ajuste, $21.9{}^{\circ}$, es $1.0{}^{\circ}$ menor, unos $4\,\%$: la cáscara curvada describe bien la curvatura del arco de las Kuriles.

22. $x = (105 + 61.2)/1.028 = 166.2/1.028 = 161.7\,\mathrm{km}$.

23. $164 - 161.7 = 2.3\,\mathrm{km}$ más cerca de la fosa que el frente observado, $2.3/164 = 1.4\,\%$: los volcanes de las Kuriles se alzan sobre una losa algo más profunda que el promedio, como encontró la pregunta 18.

24. Al kilómetro más próximo, la recta de la losa de las Kuriles predice una brecha arco–fosa de $162\,\mathrm{km}$ para volcanes sobre la losa a $105\,\mathrm{km}$ (observada: $164\,\mathrm{km}$).