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Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer año · স্নাতক প্রথম বর্ষ

4Mapas geológicos

Un geólogo atraviesa una serie de colinas bajas con una tabla de mapas, una libreta y una brújula con clinómetro. Casi todo el terreno es hierba, bosque o campo arado; la roca aparece solo aquí y allá, en la orilla de un arroyo, en un corte de carretera, en un peñasco. A partir de esas miradas dispersas, y de la forma del terreno, el geólogo debe decir qué roca yace bajo cada metro cuadrado de las colinas, cómo están inclinadas las capas, dónde están rotas y en qué orden ocurrió todo ello. El resultado es un mapa geológico: un dibujo plano que codifica un cuerpo de roca tridimensional. Este capítulo explica cómo se hace un mapa de este tipo y cómo se lee: cómo se miden y se calculan la actitud de una superficie, por qué la traza de una capa dibuja los motivos que dibuja y cómo un mapa cuenta una historia. Sus ejemplos proceden de una región imaginaria, pero geológicamente coherente, las colinas de Varden, que reaparece a lo largo de este libro.

Lo que ya sabes

Un mapa topográfico muestra el relieve con curvas de nivel, líneas de igual altitud; su escala relaciona las distancias del mapa con las del terreno (libro 1, año 9). Las edades relativas se deducen de la superposición (una capa es más joven que las capas que tiene debajo, salvo que la sucesión esté invertida), del corte transversal (lo que corta a una roca es más joven que ella) y de la inclusión (libro 1, año 7). Una falla es una fractura a lo largo de la cual se han desplazado los dos bloques (libro 1, año 7); la geometría de los pliegues y las fallas es el tema de Capítulo 17.

4.1 Un mapa es un corte a través de tres dimensiones

Definición 4.1 (Mapa geológico)

Un mapa geológico muestra, en cada punto de la superficie del terreno, la unidad de roca que yace allí bajo el suelo, con los contactos —las superficies que separan dos unidades— y las estructuras (fallas, ejes de pliegues, actitudes de las capas) que las afectan. Una unidad cartográfica es un cuerpo de roca que puede reconocerse y seguirse en el campo y que se dibuja con un color; su afloramiento es la zona donde aparece en la superficie.

Definición 4.2 (Modelo digital de elevaciones)

Un modelo digital de elevaciones es una malla de altitudes del terreno, $z = g(x,y)$ , en puntos regularmente espaciados. Un sistema de información geográfica almacena estas mallas y las demás capas del mapa (contactos, fallas, medidas, sondeos) en un marco de coordenadas común, y calcula con ellas.

Proposición 4.3 (El afloramiento de un contacto)

Sea el terreno la superficie $z = g(x,y)$ y un contacto la superficie $z = c(x,y)$ . La traza del contacto en el mapa es la curva

g(x,y) = c(x,y),

la proyección sobre el plano horizontal de la intersección de las dos superficies; la unidad que yace encima del contacto aflora donde $g > c$ .

Demostración. Un punto del mapa está sobre la traza si y solo si la superficie del terreno en ese punto pertenece al contacto, es decir, $g(x,y) = c(x,y)$ . Donde $g(x,y) > c(x,y)$ , el terreno está por encima del contacto: la roca de la superficie pertenece a la unidad que yace encima de él. ∎

Observación 4.4 (Cómo se dibujan los mapas de este libro)

Esto es exactamente lo que hace un sistema de información geográfica para dibujar un mapa a partir de un modelo tridimensional: evalúa $g - c$ en la malla de un modelo digital de elevaciones y traza las curvas donde cambia de signo. Los mapas de las colinas de Varden de este libro se dibujaron así, a partir de un modelo geológico en el que cada superficie es conocida.

Las colinas de Varden como modelo digital de elevaciones: el terreno iluminado desde el noroeste, con curvas de nivel cada 50\, m (más gruesas en 250\, m y 500\, m) y el río, que fluye hacia el este. — Las colinas de Varden como modelo digital de elevaciones: el terreno iluminado desde el noroeste, con curvas de nivel cada $50\,\mathrm{m}$ (más gruesas en $250\,\mathrm{m}$ y $500\,\mathrm{m}$ ) y el río, que fluye hacia el este.

El mapa geológico de las colinas de Varden, con las curvas de nivel, el río, dos actitudes medidas (línea de rumbo y trazo de buzamiento, con el buzamiento en grados) y la leyenda. Las edades son las de las unidades de la región; la falla está oculta bajo el aluvión más joven del fondo del valle.

4.2 La actitud de un plano

Definición 4.5 (Rumbo, buzamiento y dirección de buzamiento)

Sea una superficie geológica —un plano de estratificación, un contacto, una falla— localmente plana. Su rumbo es la dirección de las rectas horizontales que contiene, dada como acimut (grados en el sentido de las agujas del reloj desde el norte). Su buzamiento $\delta$ es el ángulo entre el plano y la horizontal, medido en el plano vertical perpendicular al rumbo, $0 \le \delta \le 90{}^{\circ}$ . Su dirección de buzamiento $\alpha$ es el acimut de la recta de máxima pendiente descendente del plano. Juntos forman la actitud del plano, que se escribe dirección de buzamiento/buzamiento, por ejemplo $080/12$ .

Notación 4.6 (Rumbo según la regla de la mano derecha)

Un rumbo puede leerse en dos sentidos opuestos. La regla de la mano derecha elige el que hace que el plano buce hacia la derecha de un observador que mira a lo largo del rumbo: rumbo $= \alpha - 90{}^{\circ}$ (módulo $360{}^{\circ}$ ). En un mapa, el símbolo es una línea de rumbo con un trazo corto que apunta hacia abajo de la pendiente, etiquetado con el buzamiento.

Un plano de rumbo norte que buza 30 hacia el este (actitud 090/30), cortando un plano horizontal según su línea de rumbo. No a escala. — Un plano de rumbo norte que buza $30{}^{\circ}$ hacia el este (actitud $090/30$ ), cortando un plano horizontal según su línea de rumbo. No a escala.

Proposición 4.7 (Ecuación de un plano buzante)

Con $x$ hacia el este, $y$ hacia el norte y $z$ hacia arriba, el plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$ que pasa por el punto $(x_0, y_0, z_0)$ es

z = z_0 - \tan\delta\,\bigl[(x - x_0)\sin\alpha + (y - y_0)\cos\alpha\bigr].

Demostración. El vector horizontal unitario que apunta en la dirección de buzamiento es $\vec u = (\sin\alpha, \cos\alpha, 0)$ (el acimut se mide desde el norte, el eje $y$ , hacia el este, el eje $x$ ). A lo largo del rumbo, perpendicular a $\vec u$ , el plano es horizontal; a lo largo de $\vec u$ desciende $\tan\delta$ por unidad de distancia horizontal. La distancia horizontal de un punto a la recta de rumbo que pasa por $(x_0, y_0)$ , contada positiva hacia abajo de la pendiente, es $(x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos\alpha$ , de donde sale la fórmula. ∎

Teorema 4.8 (Actitud a partir de tres puntos)

Sean $P_1, P_2, P_3$ tres puntos no alineados de un plano, y $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3} = (n_x, n_y, n_z)$ , elegido con $n_z > 0$ (si no, sustitúyase $\vec n$ por $-\vec n$ ). Entonces el buzamiento y la dirección de buzamiento del plano son

\delta = \arccos\frac{n_z}{\|\vec n\|}, \qquad \alpha = \text{el acimut del vector horizontal } (n_x, n_y),

es decir, el ángulo $\alpha \in [0{}^{\circ}, 360{}^{\circ})$ con $\sin\alpha = n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ y $\cos\alpha = n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2}$ (el plano es horizontal si $n_x = n_y = 0$ ).

Demostración. $\vec n$ es perpendicular a dos vectores independientes del plano, luego es normal a él. El buzamiento es el ángulo entre el plano y la horizontal, igual al ángulo entre sus normales, $\vec n$ y la vertical $\vec k$ : $\cos\delta = \vec n \cdot \vec k / \|\vec n\| = n_z/\|\vec n\|$ . Por Proposición 4.7, el plano es $z = \text{const} - \tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ , es decir, $\tan\delta\sin\alpha\,x + \tan\delta\cos\alpha\,y + z = \text{const}$ ; su normal hacia arriba es proporcional a $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$ , cuya parte horizontal apunta en la dirección de buzamiento $\alpha$ . Como $\vec n$ es un múltiplo positivo de esta normal, $(n_x, n_y)$ también apunta en la dirección de buzamiento. ∎

Método 4.9 (El problema de los tres puntos)

Para hallar la actitud de un contacto encontrado en tres sondeos (o visto en tres afloramientos):

para cada sondeo, tómese la altitud del contacto: la altitud del terreno menos la profundidad a la que se encontró el contacto;
escríbanse los tres puntos $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ en metros, con $x$ hacia el este y $y$ hacia el norte;
calcúlese $\vec n = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ y hágase positivo $n_z$ ;
aplíquese Teorema 4.8; dese la actitud como dirección de buzamiento/buzamiento y, si se pide, el rumbo según la regla de la mano derecha.

Sobre el papel, el mismo problema se resuelve con curvas de igual altitud del plano: en la recta que une el punto más alto y el más bajo, búsquese por proporción el punto a la altitud del tercero; la recta que pasa por estos dos puntos de igual altitud es una línea de rumbo; el buzamiento se deduce de la diferencia de altitud entre dos líneas de rumbo paralelas y de su separación.

Ejemplo 4.10 (El flanco oriental del anticlinal de Varden)

Tres sondeos, E1 en $(4000, 6000)$ , E2 en $(4600, 7200)$ y E3 en $(5100, 6400)$ (metros al este y al norte de la esquina suroeste del mapa), encuentran la base de la caliza a las altitudes $174$ , $4$ y $-74\,\mathrm{m}$ . Entonces $\overrightarrow{P_1P_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (1100, 400, -248)$ ; su producto vectorial es $(-229\,600, -38\,200, -1\,080\,000)$ , que apunta hacia abajo, así que

\vec n = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000).

Así, $\cos\delta = 1\,080\,000/\|\vec n\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ , y la dirección de buzamiento es el acimut de $(229\,600, 38\,200)$ , $\alpha \approx 80.6{}^{\circ}$ : la actitud es $081/12$ , con rumbo $351{}^{\circ}$ según la regla de la mano derecha. La base de la caliza buza suavemente hacia el este-nordeste.

4.3 Patrones de afloramiento

Proposición 4.11 (Contactos horizontales y verticales)

La traza de un contacto horizontal sigue la curva de nivel de su altitud. La traza de un contacto vertical es una recta en el mapa, sea cual sea el relieve.

Demostración. Para $c(x,y) = z_0$ , la traza $g(x,y) = z_0$ es la curva de nivel $z_0$ (Proposición 4.3). Un plano vertical es el conjunto de puntos cuya posición horizontal está sobre una recta, a cualquier altitud; su traza en el mapa es esa recta. ∎

Teorema 4.12 (La regla de la V)

Un contacto plano cruza un valle cuyo fondo desciende aguas abajo con pendiente $s > 0$ . Sea $a$ la tangente del buzamiento aparente del contacto en la dirección aguas abajo ( $a > 0$ si buza hacia aguas abajo, $a < 0$ si buza hacia aguas arriba, $a = 0$ si es horizontal). Entonces la traza del afloramiento dibuja una V cuyo vértice está en el fondo del valle y

apunta aguas abajo si $a > s$ : el contacto buza hacia aguas abajo más deprisa de lo que desciende el fondo del valle;
apunta aguas arriba si $a < s$ : el contacto es horizontal, buza hacia aguas arriba, o buza hacia aguas abajo menos deprisa que el fondo.

Un contacto vertical no dibuja ninguna V.

Demostración. Sea $\xi$ la distancia medida aguas abajo a lo largo del fondo del valle. El fondo está a la altitud $z_g(\xi) = z_0 - s\xi$ ; en la sección vertical a lo largo del valle, el contacto está en $z_c(\xi) = c - a\xi$ . En el fondo, la traza está donde $z_g = z_c$ :

\xi_{\text{fondo}} = \frac{c - z_0}{a - s}.

En un flanco del valle, en un punto más alto que el fondo en $h > 0$ y a la misma distancia del nacimiento del valle, el terreno está en $z_0 - s\xi + h$ , así que la traza está donde $c - a\xi = z_0 - s\xi + h$ :

\xi_{\text{flanco}} = \frac{c - z_0 - h}{a - s}, \qquad \xi_{\text{fondo}} - \xi_{\text{flanco}} = \frac{h}{a - s}.

Si $a > s$ , la traza queda más aguas abajo en el fondo que en los flancos: la V apunta aguas abajo. Si $a < s$ , ocurre lo contrario. Un contacto vertical cruza el fondo y los flancos en el mismo $\xi$ . ∎

El cálculo de la regla de la V. En cada panel, un río (flecha azul) fluye hacia el norte por un valle cuyas curvas de nivel (cada 10\, m) apuntan aguas arriba; un contacto de rumbo este–oeste se traza en rojo. Horizontal, sigue las curvas de nivel; buzando hacia aguas arriba, o hacia aguas abajo menos inclinado que el fondo del valle, dibuja una V que apunta aguas arriba; buzando hacia aguas abajo más inclinado (aquí 10), una V que apunta aguas abajo. Un contacto vertical cruzaría en línea recta. — El cálculo de la regla de la V. En cada panel, un río (flecha azul) fluye hacia el norte por un valle cuyas curvas de nivel (cada $10\,\mathrm{m}$ ) apuntan aguas arriba; un contacto de rumbo este–oeste se traza en rojo. Horizontal, sigue las curvas de nivel; buzando hacia aguas arriba, o hacia aguas abajo menos inclinado que el fondo del valle, dibuja una V que apunta aguas arriba; buzando hacia aguas abajo más inclinado (aquí $10{}^{\circ}$ ), una V que apunta aguas abajo. Un contacto vertical cruzaría en línea recta.

Observación 4.13 (El ancho de un afloramiento)

El ancho del afloramiento de una unidad depende de su espesor, de su buzamiento y de la pendiente del terreno: una capa delgada que buza en la misma dirección que la pendiente puede aflorar en una zona amplia. El espesor se calcula a partir de un mapa y de un corte transversal en Capítulo 5.

4.4 Pliegues, fallas, intrusiones y discordancias en un mapa

Definición 4.14 (Anticlinal y sinclinal)

Un pliegue es una curvatura de capas que fueron planas. Un anticlinal es un pliegue cuyas capas son convexas hacia arriba (un pliegue hacia arriba); un sinclinal es un pliegue cuyas capas son cóncavas hacia arriba (un pliegue hacia abajo). Los dos lados de un pliegue son sus flancos; su eje de pliegue es la recta a lo largo de la cual las capas se curvan más, y el eje se hunde cuando no es horizontal. Una recta como un eje de pliegue se localiza por su rumbo, el acimut de su proyección horizontal tomado en la dirección de la pendiente, y su inmersión, el ángulo que forma con la horizontal (Capítulo 6). La geometría de los pliegues en tres dimensiones es el tema de Capítulo 17.

Proposición 4.15 (Patrones de pliegues)

En un mapa de capas plegadas y erosionadas, un anticlinal muestra en su núcleo las unidades más antiguas, y hacia fuera, a ambos lados, unidades cada vez más jóvenes; un sinclinal muestra en su núcleo las más jóvenes. Si el eje del pliegue se hunde, los afloramientos se cierran alrededor del pliegue: el cierre de un anticlinal apunta en la dirección de la inmersión, y el de un sinclinal, en sentido contrario.

Demostración parcial. En un anticlinal las capas suben hacia el eje, así que una superficie de erosión casi horizontal corta más profundamente la sucesión allí y deja al descubierto sus unidades más antiguas y más bajas; en un sinclinal, las unidades más jóvenes se conservan más bajas, en el núcleo. Si el eje se hunde, considérese un contacto de un anticlinal: es un arco cuya cresta desciende a lo largo de la inmersión. Donde la cresta está sobre el terreno, el terreno corta el arco según dos flancos; donde la cresta pasa por debajo del terreno, el contacto ya no llega a la superficie. Las dos ramas de la traza se unen, por tanto, alrededor del punto en que la cresta se encuentra con el terreno, y ese cierre está en la dirección de la inmersión. Un sinclinal es una artesa cuyo fondo sube en sentido contrario, así que su cierre apunta contra la inmersión. El argumento supone un relieve suave comparado con el descenso del eje. ∎

Proposición 4.16 (Fallas, intrusiones y discordancias)

On a map:

una falla interrumpe y desplaza los contactos que cruza; en el bloque que se hundió, unidades más jóvenes llegan a la superficie frente a otras más antiguas; la traza de una falla buzante obedece la regla de la V como cualquier plano;
un plutón o un dique cortan los contactos de las rocas que intruyen, y son más jóvenes que ellas;
en una discordancia, los contactos de las rocas antiguas quedan cortados a lo largo de la base de las más jóvenes, que pueden descansar, a su vez, sobre varias unidades antiguas.

Método 4.17 (Leer la historia en un mapa)

Enumérense las unidades por orden de edad, a partir de la leyenda y de la superposición.
Búsquese qué corta a qué: fallas, intrusiones, discordancias; cada una es más joven que todo lo que corta y más antigua que todo lo que la sella.
Búsquense los pliegues y sus ejes; un pliegue es más joven que la unidad más joven que pliega.
Escríbanse los acontecimientos en orden, cada uno con la evidencia en el mapa.

Ejemplo 4.18 (La historia de las colinas de Varden)

En el mapa de las colinas de Varden: el esquisto es la unidad más antigua; el granito lo corta, así que es más joven; la arenisca descansa sobre ambos, cortando el contorno del granito: es una discordancia, tras una larga erosión. La arenisca, la caliza, la lutita y la creta se suceden sin interrupción y están plegadas juntas en un anticlinal (arenisca y basamento en el núcleo, cerca de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ) y un sinclinal (creta en el núcleo, al este del centro del mapa): el plegamiento es posterior a la sedimentación de la creta. La falla desplaza los contactos plegados: es posterior al plegamiento. Por último, el río se ha encajado y ha extendido su aluvión, que ninguna falla rompe.

Sobre el terreno — Medir una actitud

En una superficie limpia de estratificación, el geólogo apoya el borde de un clinómetro-brújula en horizontal y lee el rumbo en la brújula; luego lo coloca según la pendiente más inclinada y lee el buzamiento en el clinómetro. Cada medida se anota en la libreta con su posición y se dibuja en el mapa en el acto, de modo que una lectura incoherente se detecta mientras el afloramiento sigue a la vista. Hoy las posiciones llegan de receptores de satélite, las medidas se introducen en tabletas que ejecutan un sistema de información geográfica, y los afloramientos se fotografían y se sitúan sobre modelos digitales de elevaciones.

Historia — El primer mapa geológico de un país

El agrimensor William Smith, que excavó canales y drenó tierras en Inglaterra, observó que cada capa de roca contenía sus propios fósiles, en un orden que era el mismo en todas partes. Usando los fósiles para reconocer las capas, las siguió por el país durante más de quince años. Su mapa, titulado A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland, fechado el 1 de agosto de 1815, se considera el primer mapa geológico de un país completo.

Mapa de William Smith de 1815 (dominio público).

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Defínanse el rumbo, el buzamiento y la dirección de buzamiento de un plano. Una capa tiene la actitud $135/40$ : calcúlese su rumbo según la regla de la mano derecha y dibújese su símbolo en el mapa.

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

Rumbo: acimut de las rectas horizontales del plano; buzamiento: ángulo entre el plano y la horizontal, medido perpendicularmente al rumbo; dirección de buzamiento: acimut de la recta de máxima pendiente descendente. Para $135/40$ , el rumbo según la regla de la mano derecha es $135 - 90 = 045{}^{\circ}$ . Símbolo: una línea de rumbo orientada N 45 E, con un trazo en su lado sureste (hacia $135{}^{\circ}$ ) etiquetado con 40.

Ejercicio 4.2 ★

Escríbase la ecuación del plano de actitud $090/30$ que pasa por el punto $(0, 0, 500)$ , con coordenadas en metros. ¿A qué altitud está en $(1000, 0)$ y en $(0, 1000)$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

$z = 500 - \tan30{}^{\circ}\,(x\sin90{}^{\circ} + y\cos90{}^{\circ}) = 500 - 0.577\,x$ . En $(1000, 0)$ : $500 - 577 = -77\,\mathrm{m}$ . En $(0, 1000)$ : $500\,\mathrm{m}$ , ya que el plano es horizontal a lo largo de su rumbo norte–sur.

Ejercicio 4.3 ★

En un mapa, la traza de un contacto sigue exactamente la curva de nivel de $350\,\mathrm{m}$ a lo largo de varios kilómetros de colinas y valles. ¿Qué puede decirse del contacto? ¿Y si su traza es una recta que atraviesa colinas y valles?

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

Una traza que sigue una curva de nivel es un contacto horizontal, a $350\,\mathrm{m}$ . Una traza que atraviesa en línea recta colinas y valles pertenece a un contacto vertical.

Ejercicio 4.4 ★

En el mapa de las colinas de Varden, ¿qué unidad aflora en el núcleo del anticlinal a lo largo del río, y qué unidad ocupa el núcleo del sinclinal? Explíquese por qué con el principio de superposición.

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

A lo largo del río, el núcleo del anticlinal muestra el esquisto y el granito (bajo la arenisca); el núcleo del sinclinal lo ocupa la creta. Las unidades más antiguas quedan más abajo en la sucesión: donde las capas se arquean hacia arriba y la erosión corta más hondo, aparecen las más antiguas; donde se hunden, se conservan las más jóvenes en el centro.

Ejercicio 4.5 ★★

Un contacto se encuentra a las altitudes $300\,\mathrm{m}$ en $(0, 0)$ , $300\,\mathrm{m}$ en $(1000, 0)$ y $200\,\mathrm{m}$ en $(0, 500)$ (metros, $x$ hacia el este, $y$ hacia el norte). Calcúlense su rumbo, su dirección de buzamiento y su buzamiento, primero razonando con las curvas de nivel de la estructura y después con Teorema 4.8.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

Los dos primeros puntos están a la misma altitud: la recta $y = 0$ es una línea de rumbo, así que el rumbo es este–oeste. El contacto está $100\,\mathrm{m}$ más bajo $500\,\mathrm{m}$ al norte: buza hacia el norte, $\tan\delta = 100/500 = 0.2$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ ; dirección de buzamiento $000{}^{\circ}$ , rumbo $270{}^{\circ}$ según la regla de la mano derecha. Con el teorema: $\overrightarrow{P_1P_2} = (1000, 0, 0)$ , $\overrightarrow{P_1P_3} = (0, 500, -100)$ , $\vec n = (0, 100\,000, 500\,000)$ , $\cos\delta = 500\,000/509\,902 \approx 0.981$ , $\delta \approx 11.3{}^{\circ}$ , y $(n_x, n_y) = (0, 100\,000)$ apunta al norte: el mismo resultado.

Ejercicio 4.6 ★★

Un fondo de valle desciende hacia el norte a $30\,\mathrm{m}$ por km. ¿Hacia qué lado apunta la V del afloramiento de un contacto si el contacto (a) es horizontal; (b) buza $20{}^{\circ}$ hacia el sur; (c) buza $1{}^{\circ}$ hacia el norte; (d) buza $20{}^{\circ}$ hacia el norte? Justifíquese con Teorema 4.12.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Aguas abajo es el norte, $s = 0.03$ ( $1.72{}^{\circ}$ ). (a) $a = 0 < s$ : la V apunta aguas arriba (al sur), a lo largo de las curvas de nivel. (b) $a = -\tan20{}^{\circ} < 0 < s$ : V aguas arriba. (c) $a = \tan1{}^{\circ} \approx 0.017 < s$ : V aguas arriba. (d) $a = \tan20{}^{\circ} \approx 0.364 > s$ : V aguas abajo (al norte).

Ejercicio 4.7 ★★

En la situación de la regla de la V, un contacto buza aguas abajo con $a = 0.364$ ( $20{}^{\circ}$ ) y el fondo del valle desciende con $s = 0.03$ . Un punto del flanco del valle está $80\,\mathrm{m}$ más alto que el fondo. ¿A qué distancia aguas arriba del vértice está la traza en ese punto?

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

$\xi_{\text{fondo}} - \xi_{\text{flanco}} = h/(a - s) = 80/(0.364 - 0.03) \approx 240\,\mathrm{m}$ : la traza en el flanco queda unos $240\,\mathrm{m}$ aguas arriba del vértice.

Ejercicio 4.8 ★★

Los afloramientos del anticlinal de Varden se cierran alrededor del extremo norte de su núcleo. ¿En qué dirección se hunde el eje del pliegue? ¿Se cierran los afloramientos del sinclinal al norte o al sur?

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

El cierre del anticlinal apunta en la dirección de la inmersión: el eje se hunde hacia el norte. Con un eje que se hunde hacia el norte, los afloramientos de un sinclinal se cierran hacia el sur.

Ejercicio 4.9 ★★

En el mapa geológico, a lo largo de la falla, ¿qué lado muestra en superficie unidades más jóvenes? ¿Qué bloque se hundió? Compruébese con el símbolo del mapa.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

El lado sureste-este-sureste muestra unidades más jóvenes (creta y lutita frente a unidades más antiguas situadas enfrente): ese bloque se hundió. Los trazos del símbolo de la falla están en ese lado, el bloque hundido.

Ejercicio 4.10 ★★★

Demuéstrese que dos planos de actitudes $(\alpha_1, \delta_1)$ y $(\alpha_2, \delta_2)$ se cortan según una recta paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$ , donde $\vec n_i = (\tan\delta_i\sin\alpha_i, \tan\delta_i\cos\alpha_i, 1)$ . Aplíquese a los planos $090/30$ y $270/30$ : ¿qué recta es, y qué tipo de pliegue forman los dos planos?

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Una recta común a los dos planos es perpendicular a las dos normales, luego paralela a $\vec n_1 \times \vec n_2$ . Para $090/30$ : $\vec n_1 = (0.577, 0, 1)$ ; para $270/30$ : $\vec n_2 = (-0.577, 0, 1)$ . Entonces $\vec n_1 \times \vec n_2 = (0\cdot 1 - 1\cdot 0,\ 1\cdot(-0.577) - 0.577\cdot 1,\ 0) = (0, -1.155, 0)$ : una recta norte–sur horizontal. El primer plano buza hacia el este, el segundo hacia el oeste: buzan alejándose de la recta, que es la cresta de un anticlinal de eje horizontal.

Ejercicio 4.11 ★★★

Un dique vertical tiene un rumbo de $045{}^{\circ}$ y aflora en el origen, sobre el fondo de un valle a la altitud $0\,\mathrm{m}$ . ¿Dónde puede estar su traza en una colina a $300\,\mathrm{m}$ ? Un segundo dique tiene el mismo rumbo, buza $60{}^{\circ}$ hacia el sureste y también aflora en el origen. ¿A qué distancia del origen, y en qué dirección, está su traza en un terreno a $300\,\mathrm{m}$ , medida perpendicularmente al rumbo?

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

La traza de un dique vertical es la recta que pasa por el origen con rumbo $045{}^{\circ}$ , sea cual sea la altitud: en la colina queda sobre esa misma recta. El dique buzante es el plano $z = -\tan60{}^{\circ}\,d$ , donde $d$ es la distancia horizontal a la recta de rumbo que pasa por el origen, contada positiva hacia el sureste. A $z = 300\,\mathrm{m}$ : $d = -300/\tan60{}^{\circ} \approx -173\,\mathrm{m}$ : la traza queda a $173\,\mathrm{m}$ al noroeste de la recta de rumbo que pasa por el origen, del lado de la pendiente hacia arriba.

Ejercicio 4.12 ★★★

En un modelo digital de elevaciones con una malla de $100\,\mathrm{m}$ , el terreno en $(x, y)$ y en $(x + 100, y)$ está a 420 y $405\,\mathrm{m}$ , y en $(x, y + 100)$ a $412\,\mathrm{m}$ . Tratando el terreno de esa celda como un plano, calcúlense su pendiente (en grados) y el acimut hacia el que mira (dirección de la pendiente descendente).

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

\frac{\partial z}{\partial x} \approx \frac{405 - 420}{100} = -0.15, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} \approx \frac{412 - 420}{100} = -0.08,

así que la pendiente es $\arctan\sqrt{0.15^2 + 0.08^2} = \arctan 0.17 \approx 9.6{}^{\circ}$ . El terreno desciende a lo largo de $-\nabla z = (0.15, 0.08)$ , cuyo acimut es $\arctan(0.15/0.08) \approx 62{}^{\circ}$ : la celda mira al este-nordeste.

4.6 Problema: resolver las colinas de Varden

Problema 4.1

Problema de fin de semana — de los sondeos y un mapa al eje del pliegue, la falla y la historia de una región

Una empresa que perfora pozos de agua en las colinas de Varden registra dónde sus sondeos encuentran la base de la caliza; sus geólogos localizan también la falla donde cruza el terreno. Las coordenadas están en metros al este y al norte de la esquina suroeste del mapa; las altitudes, en metros sobre el nivel del mar. La parte I usa el mapa geológico en color de Sección 4.1.

Parte I — Lectura del mapa.

Enumérense las unidades de la región de la más antigua a la más joven.
¿Qué unidades atraviesa el río, de oeste a este?
¿Qué unidad ocupa el núcleo del pliegue cerca de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ ? ¿Qué tipo de pliegue es?
¿Qué unidad ocupa el núcleo del pliegue cerca de $x = 7.5\,\mathrm{km}$ ? ¿Qué tipo de pliegue es?
¿Por qué el esquisto y el granito solo son visibles cerca del río, en el núcleo del primer pliegue?
¿Qué tipo de contacto separa la arenisca del granito? Justifíquese a partir del mapa.

Los sondeos (profundidad $d$ hasta la base de la caliza, altitud del terreno $z_g$ ) y los tres puntos F1–F3 donde la falla cruza la parte superior del lecho rocoso (F2, en el valle, queda bajo el aluvión delgado, que la falla no corta):

	este	norte	$z_g$	$d$
E1	4000	6000	435	261
E2	4600	7200	432	428
E3	5100	6400	512	586
W1	1500	6000	524	669
W2	2200	7200	421	459
W3	2600	5400	319	209
	este	norte	$z_g$
F1	4197	1000	405
F2	5824	3500	129
F3	7321	6500	482

Parte II — El flanco oriental.

Calcúlense las altitudes de la base de la caliza en E1, E2 y E3.
Escríbanse los vectores $\overrightarrow{E_1E_2}$ y $\overrightarrow{E_1E_3}$ .
Calcúlese su producto vectorial y oriéntese hacia arriba.
Dedúzcase el buzamiento de la base de la caliza en el flanco oriental.
Dedúzcase su dirección de buzamiento y luego su rumbo según la regla de la mano derecha.
¿Es coherente el resultado con el símbolo de rumbo y buzamiento del flanco oriental en el mapa?

Parte III — El pliegue.

Calcúlense las altitudes de la base de la caliza en W1, W2 y W3.
Calcúlese una normal hacia arriba $\vec n_W$ a la base de la caliza en el flanco occidental.
Dedúzcase la actitud del flanco occidental.
Calcúlese una dirección de la intersección de los dos flancos, el eje del pliegue, como $\vec n_E \times \vec n_W$ (con $\vec n_E$ de la pregunta 9).
Dése el rumbo (el acimut de la proyección horizontal del eje, tomado hacia abajo) y la inmersión (su ángulo bajo la horizontal) del eje del pliegue.
La base de la arenisca está sobre el eje a $230\,\mathrm{m}$ donde el río lo cruza, cerca de $y = 4\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto más baja está sobre el eje $8\,\mathrm{km}$ más al norte? ¿Es coherente esto con la pregunta 3 de la parte I y con el cierre de los afloramientos?

Parte IV — La falla y la historia.

A partir de F1, F2 y F3, calcúlese la actitud de la falla.
A lo largo de la falla, las unidades en superficie del lado este-sureste son más jóvenes que las que tienen enfrente. ¿Qué bloque se hundió? ¿Es la falla normal o inversa?
La recta de F1 a F3 pasa unos $200\,\mathrm{m}$ al oeste de F2. ¿Por qué la traza de la falla se curva hacia el este-sureste al cruzar el valle del río, en F2?
Póngase en orden: plegamiento; sedimentación de la creta; fallamiento; intrusión del granito; erosión antes de la arenisca; sedimentación del aluvión.
La creta tiene 90 millones de años y está plegada; el aluvión se depositó en los últimos 2.58 millones de años y no está fallado. ¿Entre qué edades tuvieron lugar el plegamiento y el fallamiento?
Para alcanzar la falla a $1000\,\mathrm{m}$ bajo el nivel del mar bajo F1, ¿a qué distancia de F1 y en qué dirección debe perforarse un pozo vertical?

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. Esquisto, granito, arenisca, caliza, lutita, creta, aluvión.

2. De oeste a este: creta y lutita, caliza, arenisca, luego esquisto y granito cerca de $x = 3.5\,\mathrm{km}$ , arenisca, caliza y lutita otra vez, después creta; aluvión a lo largo de todo el fondo.

3. La arenisca, con el esquisto y el granito bajo ella a lo largo del río: las unidades más antiguas en el núcleo, un anticlinal.

4. La creta, la unidad más joven: un sinclinal.

5. La base de la arenisca es más alta sobre el eje del anticlinal, y solo a lo largo del río la erosión ha cortado por debajo de ella.

6. Una discordancia: la arenisca descansa sobre dos unidades antiguas distintas, esquisto y granito, y corta el contorno del granito.

7. $435 - 261 = 174$ , $432 - 428 = 4$ , $512 - 586 = -74\,\mathrm{m}$ .

8. $\overrightarrow{E_1E_2} = (600, 1200, -170)$ , $\overrightarrow{E_1E_3} = (1100, 400, -248)$ .

9. El producto vectorial es

(-229\,600,\ -38\,200,\ -1\,080\,000);

orientado hacia arriba, $\vec n_E = (229\,600,\ 38\,200,\ 1\,080\,000)$ .

10. $\|\vec n_E\| \approx 1\,104\,800$ ; $\cos\delta \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ .

11. Acimut de $(229\,600, 38\,200)$ : $\arctan(229\,600/38\,200) \approx 80.6{}^{\circ}$ ; actitud $081/12$ , rumbo $\approx 351{}^{\circ}$ .

12. Sí: el símbolo del flanco oriental tiene una línea de rumbo casi norte–sur y un trazo de buzamiento hacia el este, etiquetado con 12.

13. $524 - 669 = -145$ , $421 - 459 = -38$ , $319 - 209 = 110\,\mathrm{m}$ .

14. $\overrightarrow{W_1W_2} = (700, 1200, 107)$ y $\overrightarrow{W_1W_3} = (1100, -600, 255)$ . Su producto vectorial, orientado hacia arriba, es

(370\,200,\ -60\,800,\ -1\,740\,000) \quad\longrightarrow\quad \vec n_W = (-370\,200,\ 60\,800,\ 1\,740\,000).

15. Así, $\cos\delta = 1\,740\,000/\|\vec n_W\| \approx 0.9776$ , $\delta \approx 12.2{}^{\circ}$ ; dirección de buzamiento: acimut de $(-370\,200, 60\,800)$ , $\approx 279.3{}^{\circ}$ . Actitud $279/12$ , rumbo $\approx 189{}^{\circ}$ : el flanco occidental buza hacia el oestenoroeste, y el flanco oriental, hacia el estenordeste.

16. $\vec n_E \times \vec n_W = (804 \times 10^6,\ -799\,320 \times 10^6,\ 28\,101 \times 10^6)$ (redondeado).

17. La dirección hacia abajo es $(-804, 799\,320, -28\,101) \times 10^6$ : rumbo $\arctan(-804/799\,320) \approx 0{}^{\circ}$ , es decir, el norte; inmersión $\arctan\bigl(28\,101/\sqrt{804^2 + 799\,320^2}\bigr) \approx 2.0{}^{\circ}$ . El eje se hunde $2{}^{\circ}$ hacia el norte.

18. $8000 \times \tan2.0{}^{\circ} \approx 280\,\mathrm{m}$ más bajo, hacia $-50\,\mathrm{m}$ . El núcleo del anticlinal es más alto cerca del río y se hunde hacia el norte, así que su afloramiento se cierra hacia el norte, como muestra el mapa.

19. $\overrightarrow{F_1F_2} = (1627, 2500, -276)$ y $\overrightarrow{F_1F_3} = (3124, 5500, 77)$ dan la normal hacia arriba

(1\,710\,500,\ -987\,503,\ 1\,138\,500), \qquad \delta = \arccos\frac{1\,138\,500}{2\,279\,700} \approx 60{}^{\circ},

y una dirección de buzamiento $\approx 120{}^{\circ}$ . Actitud $120/60$ , rumbo $030{}^{\circ}$ .

20. La falla buza hacia el estesureste, así que ese lado es el bloque superior, el que queda encima del plano de falla buzante; se hundió (unidades más jóvenes en superficie): es una falla normal.

21. El plano de falla buza hacia el estesureste, aguas abajo y mucho más deprisa que desciende el fondo del río: el terreno más bajo corta el plano más abajo en la pendiente, así que la traza gira hacia el estesureste en el valle — la regla de la V aplicada al plano de falla.

22. Intrusión del granito; erosión antes de la arenisca; sedimentación de la creta; plegamiento; fallamiento; sedimentación del aluvión.

23. Después de hace 90 millones de años (la creta está plegada) y antes de hace 2.58 millones de años (el aluvión no está fallado); el plegamiento vino primero, y el fallamiento después.

24. La falla desciende $1405\,\mathrm{m}$ desde F1 ( $405\,\mathrm{m}$ ) hasta $-1000\,\mathrm{m}$ ; con un buzamiento de $60{}^{\circ}$ , eso supone una distancia horizontal, en la pendiente, de $1405/\tan60{}^{\circ} \approx 811\,\mathrm{m}$ . El pozo debe perforarse unos $810\,\mathrm{m}$ al estesureste de F1 (acimut $120{}^{\circ}$ ).

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