18La fuente del terremoto

La mañana del 18 de abril de 1906, el terreno al norte y al sur de San Francisco se rompió a lo largo de una línea de más de cuatrocientos kilómetros de longitud. Caminos, cercas e hileras de árboles que cruzaban la línea quedaron cortados, y las dos mitades de cada uno se encontraron separadas metros; la mitad occidental estaba siempre desplazada hacia el norte. Los topógrafos habían medido las posiciones de referencias de la región durante el medio siglo anterior, y cuando volvieron a medirlas, la comparación mostró algo más extraño que la rotura misma: el terreno se había ido doblando, lenta y suavemente, durante décadas antes del terremoto, y el terremoto lo había dejado recuperarse de golpe. Este capítulo sigue un terremoto desde la lenta carga de una falla hasta los pocos minutos en que se desliza, y lee el deslizamiento a partir de las ondas y del terreno: cuán grande fue, en qué dirección se movió, con qué rapidez se prepara el siguiente, y con qué frecuencia llegan terremotos de cada tamaño.

Lo que ya sabes

El foco de un terremoto es el punto donde empieza la rotura, y su epicentro el punto de la superficie situado encima; la magnitud mide el tamaño de un terremoto, la intensidad la sacudida en un lugar; un sismógrafo registra el movimiento del suelo en un sismograma (libro 1, año 7). La onda P, una onda de compresión, llega primero, y después la onda S, una onda de cizalla (libro 2, año 11). Una falla tiene un bloque superior y un bloque inferior; el vector de deslizamiento es el desplazamiento del bloque superior respecto del inferior, su cabeceo $r$ se mide en el plano de la falla desde el rumbo, y el cabeceo da el nombre de la falla: alrededor de $90{}^{\circ}$, inversa; alrededor de $-90{}^{\circ}$, normal; alrededor de 0, sinistral; alrededor de $180{}^{\circ}$, dextral (Capítulo 17). Un sólido elástico vuelve a su forma cuando se retira el esfuerzo; el módulo de cizalla $\mu$ relaciona un esfuerzo de cizalla con la deformación de cizalla que produce (física); las fallas deslizan cuando el esfuerzo de cizalla alcanza su resistencia friccional, y los terremotos empiezan en la parte frágil superior de la corteza, la capa sismogénica (Capítulo 16). Las estaciones permanentes de posicionamiento por satélite, cuyas posiciones diarias a lo largo de años dan la velocidad del terreno donde están, miden los movimientos de las placas (Capítulo 12).

18.1 Rebote elástico y ciclo sísmico

Dos placas que se deslizan una junto a otra a velocidad constante no lo hacen, en general, de manera constante a lo largo de la falla que las separa. El rozamiento mantiene bloqueada la falla mientras las placas siguen moviéndose lejos de ella, de modo que las rocas a uno y otro lado se doblan como un muelle. Cuando el esfuerzo de cizalla sobre la falla alcanza su resistencia, la falla desliza en unos segundos o minutos, y las rocas dobladas se recuperan de golpe.

Definición 18.1 (Rebote elástico, ciclo sísmico, intervalo de recurrencia)

Rebote elástico es el retorno súbito, hacia su forma sin deformar, de las rocas a uno y otro lado de una falla, cuando la falla, bloqueada mientras ellas estaban deformadas, desliza en un terremoto; la energía elástica almacenada en ellas se libera, en parte como ondas sísmicas. El ciclo sísmico de un segmento de falla es la secuencia repetida de una larga etapa intersísmica, durante la cual el segmento está bloqueado y la deformación se acumula a su alrededor, una etapa cosísmica, el terremoto, durante la cual desliza, y una etapa postsísmica, de meses a décadas, durante la cual los alrededores se ajustan al nuevo estado. El intervalo de recurrencia de un segmento es el tiempo entre dos grandes terremotos sucesivos en él.

Si la falla está bloqueada entre terremotos y cada terremoto deshace el deslizamiento que las placas han acumulado desde el anterior, el movimiento de las placas marca el ritmo del ciclo.

Proposición 18.2 (Recurrencia a partir de la velocidad de deslizamiento)

Sea un segmento de falla cargado a la velocidad de deslizamiento a largo plazo $\dot s$, bloqueado entre terremotos y que desliza la misma cantidad $D$ en cada terremoto. Entonces el intervalo de recurrencia de sus terremotos es

$$T = \frac{D}{\dot s} .$$

Si solo la fracción $c$ de la velocidad de deslizamiento está bloqueada, deslizando el resto de manera constante sin terremotos, $T = D/(c\,\dot s)$.

Con valores típicos de la falla de San Andrés, un deslizamiento de $4\,\mathrm{m}$ en cada gran terremoto y una velocidad de deslizamiento de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, el intervalo de recurrencia es de $200\,\mathrm{yr}$. En Wallace Creek, en el centro de California, un cauce de arroyo atravesado por la falla ha quedado desplazado $128\,\mathrm{m}$ en los $3587$ años desde que se excavó, un promedio de $36\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, cerca de la velocidad de unos $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medida en otros desplazamientos de allí; el último gran terremoto de ese tramo, en 1857, deslizó casi $10\,\mathrm{m}$, que a esta velocidad tarda unos tres siglos en acumularse.

Cerca de Parkfield, en la misma falla, un terremoto de magnitud alrededor de 6 en 1857 fue seguido de otros cinco, muy parecidos, en el mismo tramo de unos $30\,\mathrm{km}$, a intervalos de casi 22 años hasta 1966; el siguiente se esperaba antes de 1993, y llegó en 2004, con una magnitud de momento de 6.0 y sin ninguna señal clara de aviso. La resistencia de una falla, el deslizamiento de cada terremoto y la carga de sus vecinas varían de un ciclo a otro, y el ciclo sísmico se describe mejor con un intervalo medio de recurrencia y una dispersión alrededor de él que con un periodo.

Algunos segmentos de falla no se bloquean en absoluto. Entre Parkfield y San Juan Bautista, el tramo central de la falla de San Andrés repta: el deslizamiento constante de la falla absorbe casi todo el movimiento de las placas, y se acumula poca o ninguna deformación a uno y otro lado, así que este tramo no tiene grandes terremotos; la gran rotura de 1857 empezó en su extremo sur, y la de 1906 se detuvo en su extremo norte. Una falla que repta sobre parte de su área está bloqueada solo en parte, que es el coeficiente $c$ de la proposición.

Sobre el terreno — Leer los terremotos pasados en una trinchera

Los instrumentos han registrado terremotos durante poco más de un siglo, mucho menos que un ciclo de la mayoría de las fallas. Los paleosismólogos extienden el registro leyendo el terreno. Se excava una trinchera de unos metros de profundidad a través de una falla activa donde se han depositado capas de sedimento de forma continua, en un pantano, un lago o un pequeño abanico aluvial. En sus paredes, cada terremoto aparece como capas cortadas y desplazadas por la falla y cubiertas, sin romper, por otras más recientes; como una escarpa enterrada por depósitos posteriores; como arena que se licuó y subió por grietas hasta extenderse sobre la superficie de entonces. La turba o los restos vegetales de las capas justo debajo y justo encima de cada rotura se datan por radiocarbono, y así acotan la fecha de cada terremoto: un pantano de la falla de San Andrés guarda el registro de doce. A lo largo de las costas, las capas de arena depositadas por tsunamis y los pantanos que se hundieron de golpe un metro o así, enterrados bajo lodo de marea, registran los grandes terremotos de subducción. En la falla de San Andrés, la mayor parte del deslizamiento de tiempos históricos llegó con terremotos de magnitud 6 o más.

Historia — Harry Fielding Reid y el rebote elástico

Harry Fielding Reid, físico estadounidense, formó parte de la comisión estatal que estudió el terremoto de 1906. Al comparar las posiciones de puntos topografiados en 1851–1865, en 1874–1892 y después del terremoto, encontró que puntos lejanos a uno y otro lado de la falla de San Andrés se habían desplazado unos $3.2\,\mathrm{m}$ uno respecto del otro desde el primer levantamiento, algo más de la mitad del deslizamiento de unos $6\,\mathrm{m}$ en la falla: medio siglo antes del terremoto, la deformación que rompió la falla ya estaba a la mitad de su carga. Solo las fuerzas elásticas podían haber movido el terreno tan de repente, y llamó a ese retorno súbito rebote elástico. Lo publicó en el segundo volumen del informe de la comisión, en 1910; sigue siendo el modelo principal del ciclo sísmico. La posición por satélite ha medido después la flexión que él solo podía inferir.

18.2 Momento sísmico y magnitud

El tamaño de un terremoto es la cantidad de deslizamiento que produjo, sobre el área de falla que deslizó, ponderada por la rigidez de las rocas.

Definición 18.3 (Momento sísmico)

Sea un terremoto que desliza la cantidad media $D$ sobre una rotura de área $A$, en rocas de módulo de cizalla $\mu$ (la letra designa también un coeficiente de fricción, en Capítulo 16; el contexto dice cuál). Su momento sísmico es

$$M_0 = \mu A D ,$$

en newton metros.

La unidad es la de un par de fuerzas. Un deslizamiento sobre una falla emite las mismas ondas que dos pares de fuerzas opuestas, dos pares de fuerzas, aplicados en el foco, y el momento sísmico es el momento de cada par (esta equivalencia, el doble par, se demuestra en el volumen del año 3). El momento tiene las dimensiones de una energía, pero no es una energía: la energía irradiada como ondas es una pequeña fracción de él. Para las rocas de la corteza, $\mu$ se toma como $30\,\mathrm{GPa}$.

El momento se calcula hoy a partir de las ondas de periodo largo registradas en todo el mundo. Para el terremoto de Tohoku, del 11 de marzo de 2011, la solución preferida del Servicio Geológico de los Estados Unidos da $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. La falla deslizó sobre un área de unos $400\,\mathrm{km}$ de longitud y $150\,\mathrm{km}$ de anchura; la definición da entonces el deslizamiento medio

y los modelos de la rotura encuentran hasta $50\text{ a }60\,\mathrm{m}$ en su parte más desplazada.

La magnitud de la que trata el libro 1 se calculaba a partir de la amplitud de las ondas en un sismograma. Tales magnitudes miden las ondas de un periodo; una vez que una rotura es mucho más larga que su longitud de onda, de unos pocos a unos cincuenta kilómetros, la amplitud deja de crecer con su tamaño, y la magnitud se satura. La magnitud de ondas de volumen se satura cerca de 6.5, la magnitud de ondas superficiales cerca de 8.3. En 2011, el primer aviso de tsunami para Tohoku se basó en una magnitud de este tipo, que se queda corta para terremotos de magnitud 8 o más, y subestimó las ondas. El momento no se satura, y la magnitud se define hoy a partir de él.

Definición 18.4 (Magnitud de momento)

La magnitud de momento de un terremoto de momento sísmico $M_0$, en newton metros, es

$$M_w = \tfrac23\left(\log_{10} M_0 - 9.1\right) .$$

Thomas Hanks y Hiroo Kanamori definieron la escala en 1979, con la constante 9.05 en lugar de 9.1, una diferencia de 0.03 en $M_w$; las constantes se eligieron para coincidir con las magnitudes antiguas donde estas no se saturan. La magnitud del libro 1 es, para los grandes terremotos, este número: para Tohoku, $M_w = \tfrac23(\log_{10}5.59 \times 10^{22} - 9.1) = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.1$; los grandes terremotos chileno de 1960 y de Alaska de 1964 tienen magnitudes de momento de 9.5 y 9.2, tamaños que las magnitudes antiguas no podían mostrar.

Proposición 18.5 (Una unidad de magnitud)

El momento sísmico es $M_0 = 10^{1.5 M_w + 9.1}$ newton metros. Una unidad de magnitud de momento lo multiplica por $10^{1.5} \approx 31.6$, dos unidades por $1000$. Si la energía irradiada es una fracción fija del momento, crece en la misma proporción.

La aproximación de Kanamori, $E_s \approx M_0/(2\times10^4)$ (admitida), es la hipótesis de la última frase; el factor de unos 32 en energía por unidad de magnitud, que se encontró en el libro 1, es esta proposición. Como $M_0 = \mu A D$ y el deslizamiento de un terremoto crece con el tamaño de su rotura, una magnitud grande necesita una falla grande. La rotura de 1906, de unos $430\,\mathrm{km}$ de longitud, rompió la capa sismogénica hasta unos $15\,\mathrm{km}$ con un deslizamiento medio de unos metros: con $D = 4\,\mathrm{m}$, $M_0 = 3 \times 10^{10}\times4.3 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{4} \times 4 = 7.7 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ y $M_w = 7.9$, la magnitud del catálogo. Una magnitud de 9 necesita una rotura de cientos de kilómetros de longitud y más de cien de anchura, que solo ofrecen las interfases de poca pendiente de las zonas de subducción.

18.3 Mecanismos focales

La onda P es la primera en llegar a un sismómetro. Su primer movimiento, el primer desplazamiento del registro vertical, es hacia arriba donde la onda llega como un empuje, con el terreno comprimido y alejado de la fuente, y hacia abajo donde llega como un tirón. Alrededor de un terremoto, los empujes y los tirones se disponen en un patrón que da la orientación de la falla y la dirección del deslizamiento.

Proposición 18.6 (El signo del primer movimiento)

Sea una falla de normal hacia arriba $\mathbf n$ que desliza según el vector unitario $\mathbf d$ (el deslizamiento del bloque superior respecto del bloque inferior). La onda P que sale del foco en la dirección unitaria $\mathbf x$ llega como un empuje si $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) > 0$ y como un tirón si $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) < 0$. Los empujes y los tirones llenan así cuatro cuadrantes, separados por el plano de la falla ($\mathbf n\cdot\mathbf x = 0$) y por el plano perpendicular al deslizamiento ($\mathbf d\cdot\mathbf x = 0$).

El argumento da solo el signo. La amplitud del primer movimiento, que es proporcional a $2(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ y por tanto mayor a $45{}^{\circ}$ de ambos planos y nula sobre ellos, se admite aquí (volumen del año 3).

El producto $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x)$ no cambia cuando se intercambian $\mathbf n$ y $\mathbf d$. Esta simetría es el hecho central de los mecanismos focales.

Definición 18.7 (Mecanismo focal, plano nodal, plano auxiliar, eje P, eje T)

El primer movimiento de una onda P en un sismómetro es la dirección, hacia arriba o hacia abajo, del primer desplazamiento del terreno en el registro vertical. El mecanismo focal de un terremoto es la orientación del plano de la falla y la dirección del deslizamiento sobre él, tal como se deducen de sus ondas sísmicas. Los dos planos perpendiculares que pasan por el foco y separan los empujes de los tirones son sus planos nodales; uno es el plano de la falla, y el otro, perpendicular al deslizamiento, es el plano auxiliar. El eje P y el eje T son las direcciones a $45{}^{\circ}$ de ambos planos nodales, en el centro de los cuadrantes de tirón y de los cuadrantes de empuje, respectivamente:

$$\mathbf P = \frac{\mathbf n - \mathbf d}{\sqrt2}, \qquad \mathbf T = \frac{\mathbf n + \mathbf d}{\sqrt2} .$$

Proposición 18.8 (Los dos planos nodales)

Un deslizamiento $\mathbf d$ sobre el plano de normal $\mathbf n$ y un deslizamiento $\mathbf n$ sobre el plano de normal $\mathbf d$ dan los mismos primeros movimientos en cada dirección. Los primeros movimientos determinan, por tanto, los dos planos nodales, los ejes P y T y el sentido del deslizamiento sobre cada plano, pero no dicen cuál plano nodal es la falla.

Para decidir qué plano nodal deslizó, los sismólogos usan otras pruebas: el plano a lo largo del cual se alinean las réplicas, la falla vista en la superficie, el límite de placas en el que yace el terremoto. Para el gran terremoto de Sumatra–Andamán de 2004, los dos planos nodales buzan $8{}^{\circ}$ hacia el nordeste y $83{}^{\circ}$ hacia el suroeste. Los terremotos anteriores de la región y los modelos de placas sitúan la losa que se hunde a lo largo de un plano que buza suavemente hacia el nordeste, y se toma el plano somero como la falla: el terremoto rompió la interfase de placas de la zona de subducción, y sus réplicas se extendieron sobre más de $1300\,\mathrm{km}$.

Como el eje P yace en el centro de los tirones y el eje T en el centro de los empujes, a menudo se leen como las direcciones del esfuerzo de compresión mayor y menor, $\sigma_1$ y $\sigma_3$. Son solo aproximaciones de ellos. Una falla nueva se forma a $45{}^{\circ} - \phi/2$ de $\sigma_1$, no a $45{}^{\circ}$ (Capítulo 16), y una falla antigua puede deslizar a un ángulo todavía distinto, de modo que los ejes de un terremoto pueden quedar a decenas de grados de los esfuerzos principales; los esfuerzos de una región se hallan a partir de los mecanismos de muchos terremotos juntos.

Un mecanismo focal vive sobre una esfera alrededor del foco. Se dibuja en la mitad inferior de esa esfera, que cruza todo rayo hacia una estación lejana, proyectada sobre un disco: un rayo de vector unitario $\mathbf x = (E, N, U)$, con $U \le 0$, se dibuja en

la vertical en el centro y la horizontal sobre el círculo unitario. Esta proyección conserva las áreas (admitido; las proyecciones de la esfera se estudian en el volumen del año 3), de modo que cada cuadrante ocupa su parte verdadera del disco. Los cuadrantes de empuje se sombrean; el dibujo se llama pelota de playa.

Los sismólogos dan un mecanismo por el rumbo, el buzamiento y el cabeceo de cada plano nodal; el rumbo es la dirección de buzamiento menos $90{}^{\circ}$, como en Capítulo 17. Para Tohoku, los planos son $192/8/78$ y $24/81/91$ en rumbo, buzamiento y cabeceo, y los ejes P y T tienen tendencia $113$ y $296$ e inmersión $36{}^{\circ}$ y $53{}^{\circ}$. El plano auxiliar se deduce del plano de la falla: su normal es $\mathbf d$ y su deslizamiento es $\mathbf n$, de modo que se halla calculando $\mathbf n$ y $\mathbf d$ a partir del rumbo, el buzamiento y el cabeceo, intercambiándolos, y leyendo de nuevo el rumbo, el buzamiento y el cabeceo (ejercicio 18.7).

Método 18.9 (Lectura de un diagrama de pelota de playa)

1. Mírese el centro, que es la vertical. Sombreado (un empuje justo hacia abajo): una componente inversa o de cabalgamiento; blanco: una componente normal. Dos diámetros rectos que se cruzan en el centro: un mecanismo de desgarre.
2. Hállense los dos planos nodales, las curvas que delimitan los cuadrantes. Un plano que pasa por el centro es vertical; un plano buza hacia el lado del centro en el que yace su curva, tanto más suavemente cuanto más cerca del borde está la curva.
3. Hállese el eje T en el centro de los cuadrantes sombreados y el eje P en el centro de los blancos: el terreno se acortó según P y se alargó según T.
4. Para cada plano nodal, léase o calcúlese el cabeceo, y nómbrese la falla que sería con Definición 17.3. Los dos planos comparten siempre el sentido del deslizamiento de buzamiento, normal o inverso, y tienen sentidos de desgarre opuestos: un mecanismo de desgarre da un plano dextral y otro sinistral.
5. Elíjase el plano de la falla a partir de las réplicas, de la geología o del límite de placas.

En el laboratorio — En un observatorio sismológico

Pocos minutos después de un gran terremoto, sus ondas han sido registradas por cientos de estaciones, y los datos llegan a los analistas de los observatorios casi en tiempo real. Las primeras llegadas de la onda P, que llegan más tarde cuanto más lejos está la estación, se señalan en los registros para localizar el foco. Después, las ondas largas y lentas registradas en las decenas de minutos siguientes se comparan con ondas calculadas para fuentes de prueba; la fuente cuyas ondas mejor se ajustan da el tensor de momento, que contiene a la vez el momento sísmico, la magnitud de momento y los dos planos nodales. Para los terremotos pequeños, demasiado débiles para esto, los analistas leen los primeros movimientos en los registros más cercanos y ajustan a ellos los planos nodales, del modo descrito en esta sección. Cada solución se publica con sus incertidumbres, y se revisa a medida que llegan más datos.

18.4 Medir la carga: geodesia

Entre terremotos, una falla bloqueada es invisible para los sismómetros, pero el terreno a su alrededor se mueve. Las estaciones permanentes de posicionamiento por satélite miden ese movimiento, y la manera en que cambian sus velocidades a través de una falla indica hasta qué profundidad está bloqueada.

Definición 18.10 (Profundidad de bloqueo)

La profundidad de bloqueo de una falla es la profundidad hasta la que está bloqueada entre terremotos, deslizando la falla por debajo de ella de manera constante a la velocidad a largo plazo; es la profundidad de la parte de la falla que desliza en el siguiente terremoto.

Proposición 18.11 (Velocidad intersísmica a lo largo de una falla de desgarre)

Sea una falla de desgarre vertical en un semiespacio elástico, bloqueada desde la superficie hasta la profundidad $D$, y que desliza a la velocidad $V$ por debajo de ella. La velocidad de la superficie paralela a la falla, a la distancia $x$ de ella, es

$$v(x) = \frac{V}{\pi}\arctan\frac{x}{D} .$$

Si la falla desliza después $s$ desde la superficie hasta la profundidad $D$ en un terremoto, la superficie se mueve $u(x) = (s/\pi)\arctan(D/x)$ para $x > 0$, y $-u(-x)$ para $x < 0$.

Este modelo, debido a Savage y Burford, es la forma más simple del rebote elástico, y la curva de la cerca de la primera figura. Sus propiedades se siguen de la fórmula.

Proposición 18.12 (Lectura del perfil intersísmico)

En el modelo de Proposición 18.11:

1. lejos de la falla la velocidad tiende a $\pm V/2$, moviéndose las dos placas a $V$ una respecto de la otra;
2. la mitad del cambio de velocidad a través de la falla ocurre a una distancia $D$ de ella: $v(\pm D) = \pm V/4$;
3. la velocidad de deformación de cizalla de la superficie, $\mathrm dv/\mathrm dx$, es mayor sobre la falla, donde vale $V/(\pi D)$;
4. si la falla, tras cargar durante el tiempo $t$, desliza $s = Vt$ en un terremoto, el terreno acaba desplazado $\pm s/2$ en todas partes a uno y otro lado: el ciclo no deja flexión permanente, solo el desplazamiento $s$ sobre la falla.

La propiedad (b) da la profundidad de bloqueo a partir de un perfil de estaciones: es la distancia a la falla a la que la velocidad ha cambiado en un cuarto de $V$ respecto de su valor sobre la falla. Un bloqueo somero concentra la deformación cerca de la falla (la figura de abajo), y uno profundo la reparte en una banda ancha. A lo largo del sistema de San Andrés, las profundidades de bloqueo halladas por geodesia van de casi 0, en los tramos que reptan, a $26\,\mathrm{km}$, y concuerdan con las profundidades de los terremotos: la parte bloqueada es la capa sismogénica de Capítulo 16. Para una velocidad de deslizamiento de $34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y una profundidad de bloqueo de $15\,\mathrm{km}$, la velocidad de deformación de cizalla sobre la falla es $0.034/(\pi\times15\,000) = 7.2 \times 10^{-7}$ por año, que dobla una línea que cruza la falla en menos de un milímetro por kilómetro al año, pero que acumula, en dos siglos, los varios metros de deslizamiento de un gran terremoto.

La posición por satélite mide el terreno en unas pocas estaciones. Los satélites de radar lo miden en todas partes: dos imágenes de radar de la misma zona tomadas desde la misma órbita en momentos distintos se comparan onda a onda, y la diferencia de fase cartografía el cambio de la distancia entre el terreno y el satélite, punto a punto, cada cien metros, sin necesidad de una red de estaciones instalada de antemano. El primer mapa de este tipo, de un gran terremoto californiano de 1992, mostró su desplazamiento cosísmico en una sola imagen y concordó con el deslizamiento medido sobre el terreno y con topografía; la técnica, la interferometría de radar, pertenece al volumen del año 3.

18.5 Con qué frecuencia: la ley de Gutenberg–Richter

Los terremotos pequeños son mucho más comunes que los grandes, y de una manera notablemente regular.

Proposición 18.13 (Ley de Gutenberg–Richter)

En una región y un periodo, el número $N$ de terremotos de magnitud al menos $M$ sigue

$$\log_{10} N = a - bM ,$$

para todo $M$ por encima de la magnitud de completitud del catálogo, con constantes $a$ y $b$ que dependen de la región; $b$ está cerca de 1 en la mayoría de las regiones activas.

La ley es un resultado de la observación, publicado por Beno Gutenberg y Charles Richter para California en 1944 y encontrado después en todas partes; ninguna teoría la deduce todavía, ni deduce el valor de $b$.

Definición 18.14 (Valor b, magnitud de completitud)

La constante $b$ de la ley de Gutenberg–Richter de una región es su valor b. La magnitud de completitud de un catálogo es la menor magnitud por encima de la cual registra todos los terremotos de la región y el periodo.

Un valor b de 1 significa diez veces menos terremotos por cada unidad de magnitud. Por debajo de la magnitud de completitud, los recuentos quedan por debajo de la recta, porque los terremotos pequeños son registrados por muy pocas estaciones para localizarlos: la ley parece doblarse, y $b$ debe medirse por encima de ella. Para toda la Tierra, dividida en terremotos someros, intermedios y profundos, los valores medidos están entre 0.72 y 1.34, pero difieren en un $30\,\%$ o más de un catálogo, intervalo de magnitudes o método a otro: un valor alejado de 1 es, ante todo, una razón para revisar el catálogo.

Para el catálogo mundial de la figura, la ley con $a = 8.20$ y $b = 1.01$ predice 14 terremotos de magnitud 7 o más al año, como se observa, y 1.35 de magnitud 8 o más, mientras que se registraron 40 en cincuenta años, 0.8 al año. Si los terremotos más grandes son realmente menos de los que indica la recta, como sugeriría el tamaño finito de las fallas, o solo son lo bastante raros para faltar en cincuenta años, no queda resuelto con tan pocos sucesos. Alrededor de uno de cada nueve valores de magnitud de este catálogo es una magnitud de ondas superficiales o de ondas de volumen, que se saturan; los mayores sucesos tienen todos magnitudes de momento.

Los muchos terremotos pequeños hacen poco del trabajo. Su número crece diez veces por cada unidad de magnitud menos, pero sus momentos se reducen 31.6 veces.

Proposición 18.15 (Los terremotos más grandes liberan la mayor parte del momento)

Sean los terremotos que siguen la ley de Gutenberg–Richter con $b < 1.5$, hasta una magnitud máxima $M_{\max}$, y agrupados en intervalos de una unidad de magnitud de ancho, terminando el intervalo superior en $M_{\max}$. Entonces los terremotos del intervalo superior liberan más de la fracción $1 - 10^{-(1.5 - b)}$ del momento total, por pequeña que sea la menor magnitud contada: más del $68\,\%$ para $b = 1$.

En el catálogo mundial la fracción es de este orden: la unidad superior de magnitud, de 8.1 a 9.1, liberó más de la mitad del momento de cincuenta años, y los dos mayores terremotos, Sumatra–Andamán en 2004 y Tohoku en 2011, de magnitudes 9.1, liberaron por sí solos el $29\,\%$ de él. El momento que un límite de placas debe liberar lo fija su velocidad de deslizamiento; la proposición dice que se libera casi por completo en sus mayores terremotos, y que los muchos pequeños, por frecuentes que sean, no alivian una falla del próximo gran terremoto.

18.6 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

(a) Calcúlese la magnitud de momento de un terremoto de momento sísmico $4 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (b) El terremoto de Tohoku tenía $M_0 = 5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: compruébese su magnitud. (c) ¿Qué momento sísmico tiene un terremoto de magnitud 7.0?

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

(a) $\log_{10}(4 \times 10^{17}) = 17.60$, así que $M_w = \tfrac23(17.60 - 9.1) = 5.67$. (b) $\log_{10}(5.59 \times 10^{22}) = 22.75$ y $M_w = \tfrac23(22.75 - 9.1) = 9.10$. (c) $M_0 = 10^{1.5\times7.0 + 9.1} = 10^{19.6} = 3.98 \times 10^{19}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 18.2 ★

Una falla de desgarre se carga a $25\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y sus terremotos deslizan cada uno unos $3\,\mathrm{m}$. (a) ¿Cuál es su intervalo de recurrencia si la falla está completamente bloqueada entre ellos? (b) ¿Y si la mitad de la velocidad de deslizamiento se absorbe por reptación constante?

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

(a) $T = D/\dot s = 3\,\mathrm{m}/0.025\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 120\,\mathrm{yr}$. (b) Con $c = 0.5$, $T = D/(c\dot s) = 240\,\mathrm{yr}$: la reptación absorbe la mitad del movimiento, y los terremotos, del mismo deslizamiento, llegan la mitad de a menudo.

Ejercicio 18.3 ★

¿Cuántas veces mayor es el momento sísmico de un terremoto de magnitud 7.4 que el de uno de magnitud 6.2? ¿Cuántos terremotos de magnitud 6.2 liberarían el mismo momento?

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

Por Proposición 18.5, el cociente de los momentos es $10^{1.5\times(7.4 - 6.2)} = 10^{1.8} = 63.1$: hacen falta 63 terremotos de magnitud 6.2 para liberar el momento de uno de magnitud 7.4.

Ejercicio 18.4 ★

En una región con $b = 1$, se registran cada año mil terremotos de magnitud 3 o más. ¿Cuántos de magnitud 5 o más, y de magnitud 6 o más, se esperan cada año? ¿Cuál es el tiempo medio entre terremotos de magnitud 7 o más?

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

Con $b = 1$, cada unidad de magnitud divide el recuento por 10: 10 terremotos de magnitud 5 o más al año, 1 de magnitud 6 o más, y 0.1 de magnitud 7 o más, es decir, uno cada 10 años de media.

Ejercicio 18.5 ★★

El terremoto de 1906 rompió la falla de San Andrés a lo largo de unos $430\,\mathrm{km}$. (a) Suponiendo que la rotura llegó a $15\,\mathrm{km}$ de profundidad con un deslizamiento medio de $4\,\mathrm{m}$, y $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, calcúlense su momento sísmico y su magnitud de momento. (b) ¿Cuánto cambia la magnitud si la rotura solo llegó a $10\,\mathrm{km}$ de profundidad? (c) ¿Cuál de las dos estimaciones está más cerca de 7.9?

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

(a) $A = 4.3 \times 10^{5} \times 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 6.45 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, y $M_0 = 3 \times 10^{10}\times6.45 \times 10^{9}\times4 = 7.74 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\log_{10}M_0 = 20.89$ y $M_w = \tfrac23(20.89 - 9.1) = 7.86$. (b) Una profundidad de $10\,\mathrm{km}$ divide el área y el momento por 1.5, lo que baja la magnitud en $\tfrac23\log_{10}1.5 = 0.12$, hasta 7.74. (c) La primera, 7.86, redondea al 7.9 del catálogo; la segunda queda un poco baja. La magnitud no es muy sensible a la profundidad: un factor de 1.5 en el área equivale solo a 0.12 de magnitud.

Ejercicio 18.6 ★★

La rotura del terremoto de Tohoku tuvo unos $400\,\mathrm{km}$ de longitud y $150\,\mathrm{km}$ de anchura, y su momento fue $5.59 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (a) Calcúlese su deslizamiento medio con $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$. (b) La placa del Pacífico se hunde bajo Japón a unos $83\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: ¿cuánto tarda en acumular este deslizamiento si la interfase está completamente bloqueada? (c) ¿Y si la fracción bloqueada es 0.8, o 0.5?

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

(a) $D = M_0/(\mu A) = 5.59 \times 10^{22}/(3 \times 10^{10}\times4 \times 10^{5}\times1.5 \times 10^{5}) = 31.1\,\mathrm{m}$. (b) $31.1\,\mathrm{m}/0.083\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1} = 374\,\mathrm{yr}$. (c) Con la fracción bloqueada 0.8, $31.1/(0.8\times0.083) = 468\,\mathrm{yr}$; con 0.5, $749\,\mathrm{yr}$. Cuanto menos bloqueada está la interfase, más tarda en acumularse el deslizamiento de un gran terremoto; el deslizamiento medio hallado aquí, con un rectángulo de $400\,\mathrm{km} \times 150\,\mathrm{km}$ y $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, es en sí mismo solo una estimación, pues el deslizamiento real estuvo lejos de ser uniforme.

Ejercicio 18.7 ★★

Un plano nodal del terremoto de Sumatra–Andamán de 2004 tiene rumbo $329$, buzamiento $8{}^{\circ}$ y cabeceo $110{}^{\circ}$. (a) Escríbanse $\mathbf n$ y $\mathbf d$ en componentes hacia el este, el norte y arriba. (b) Hállense el rumbo, el buzamiento y el cabeceo del plano auxiliar. (c) Hállense las tendencias y las inmersiones de los ejes P y T. (d) ¿Qué plano es la falla, y de qué clase de falla se trata?

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

(a) El rumbo es $\phi = 329$, la dirección de buzamiento $a = 059$, el buzamiento $\delta = 8{}^{\circ}$. Entonces $\mathbf s = (\sin329, \cos329, 0) = (-0.5150, 0.8572, 0)$, $\mathbf u = (-\cos8\sin59, -\cos8\cos59, \sin8) = (-0.8488, -0.5100, 0.1392)$, $\mathbf n = (\sin8\sin59, \sin8\cos59, \cos8) = (0.1193, 0.0717, 0.9903)$, y con $r = 110{}^{\circ}$,

$$\mathbf d = \cos110\,\mathbf s + \sin110\,\mathbf u = (-0.6215, -0.7724, 0.1308) .$$

(b) El plano auxiliar tiene la normal $\mathbf d$ y el deslizamiento $\mathbf n$. Tomando la normal hacia arriba, buza $\arccos 0.1308 = 82.5{}^{\circ}$ hacia $\arctan(-0.6215/-0.7724) = 218.8$, así que su rumbo es $128.8$; el deslizamiento $\mathbf n$ proyectado sobre sus vectores de rumbo y de máxima pendiente da el cabeceo $87.2{}^{\circ}$. Redondeado: $129/83/87$, el segundo plano de la solución publicada. (c) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ tiene tendencia $221$ e inmersión $37{}^{\circ}$; $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$ tiene tendencia $036$ e inmersión $52{}^{\circ}$ (publicado: $222/38$ y $36/52$). (d) El plano somero, que buza $8{}^{\circ}$ hacia $059$, a lo largo de la losa en subducción: una falla inversa con cabeceo de $110{}^{\circ}$, y, al buzar menos de $45{}^{\circ}$, un cabalgamiento, la interfase de placas de la zona de subducción.

Ejercicio 18.8 ★★

Una falla vertical de rumbo $045$ desliza de forma dextral. (a) Para ondas que salen del foco horizontalmente hacia estaciones situadas al norte, al este, al sur y al oeste, ¿cuáles llegan como empujes y cuáles como tirones? (b) Dense las tendencias de los ejes P y T. (c) Demuéstrese que un deslizamiento sinistral sobre un plano vertical de rumbo $135$ da los mismos primeros movimientos.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

(a) El plano buza hacia $135$, así que $\mathbf n = (\sin135, \cos135, 0) = (0.707, -0.707, 0)$; un deslizamiento dextral tiene $r = 180{}^{\circ}$, $\mathbf d = -\mathbf s = (-0.707, -0.707, 0)$. Hacia el norte, $\mathbf x = (0, 1, 0)$: $(\mathbf n\cdot\mathbf x)(\mathbf d\cdot\mathbf x) = (-0.707)(-0.707) > 0$, un empuje. Al este: $(0.707)(-0.707) < 0$, un tirón. Al sur, empuje; al oeste, tirón. (b) $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2 = (1, 0, 0)$: el eje P es horizontal y tiene tendencia $090$–$270$; $\mathbf T = (0, -1, 0)$ tiene tendencia $000$–$180$. (c) El plano vertical de rumbo $135$–$315$ tiene la normal $\mathbf d$. Con el deslizamiento $\mathbf n$, el bloque de su lado suroeste, hacia el que apunta $\mathbf d$, se mueve hacia $135$; visto desde el bloque nordeste, mirando al suroeste, eso queda a la izquierda: un deslizamiento sinistral. Por Proposición 18.8, este deslizamiento da los mismos primeros movimientos en todas las direcciones.

Ejercicio 18.9 ★★

A través de una falla de desgarre bloqueada, las estaciones lejanas a uno y otro lado se mueven a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ una respecto de la otra. Una estación a $10\,\mathrm{km}$ de la falla se mueve a $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ respecto de la traza de la falla. (a) Hállese la profundidad de bloqueo. (b) Prevéase la velocidad de una estación a $30\,\mathrm{km}$ de la falla. (c) Calcúlese la velocidad de deformación de cizalla sobre la falla.

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

(a) $V = 40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y $v = V/4$ a $10\,\mathrm{km}$, así que por Proposición 18.12(b) $D = 10\,\mathrm{km}$; directamente, $D = x/\tan(\pi v/V) = 10/\tan(\pi/4) = 10\,\mathrm{km}$. (b) $v(30) = (40/\pi)\arctan 3 = 15.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) $V/(\pi D) = 0.040/(\pi\times10\,000) = 1.27 \times 10^{-6}$ por año.

Ejercicio 18.10 ★★★

(a) Demuéstrese que, si $b$ fuera mayor que 1.5, el momento total de los terremotos de una región estaría dominado por los más pequeños. (b) ¿Qué fracción del momento libera, como mínimo, la unidad superior de magnitud, para $b = 0.8$? (c) Con $a = 8.20$ y $b = 1.01$ por año del catálogo mundial, ¿cuántos terremotos de magnitud 9 o más predice la ley en cincuenta años? El catálogo de 1976–2025 contiene dos; coméntese.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

(a) Los momentos de los intervalos siguen siendo $C q^k$ con $q = 10^{1.5 - b}$, pero ahora $q < 1$: el momento de los intervalos decrece hacia las magnitudes grandes, y el intervalo inferior, $k = 0$, lleva la fracción $C/S = (1 - q)/(1 - q^{K+1}) > 1 - q$, la imagen especular de Proposición 18.15. Los terremotos más pequeños contados dominarían entonces, y el total crecería sin límite a medida que se incluyeran otros cada vez más pequeños. (b) $1 - 10^{-0.7} = 0.80$: al menos $80\,\%$. (c) $\log_{10}N = 8.20 - 1.01\times9 = -0.89$, así que $N = 0.13$ al año y unos 6.4 en cincuenta años, tres veces los dos observados. La recta, ajustada entre las magnitudes 6 y 7.5, sobrestima los mayores terremotos; o bien la ley se curva hacia abajo en lo alto, como sugiere el tamaño finito de las fallas, o cincuenta años son pocos para muestrear sucesos que llegan una vez cada decenas de años. Ambas cosas son posibles con dos sucesos.

Ejercicio 18.11 ★★★

Una cerca recta se construye a través de una falla dextral bloqueada con $V = 34\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y $D = 15\,\mathrm{km}$. (a) Tras 150 años, ¿cuánto se han desplazado a lo largo de la falla los postes situados a $1\,\mathrm{km}$, $15\,\mathrm{km}$ y $50\,\mathrm{km}$ al este de ella, respecto del poste sobre la falla? (b) La falla desliza entonces todo el déficit en un terremoto. ¿Cuál es el deslizamiento, y cuánto se mueve cada uno de los tres postes en el terremoto? (c) Compruébese la parte (d) de Proposición 18.12 sobre los tres postes.

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

(a) En 150 años un poste en $x$ se mueve $150\,v(x) = 150\times(34/\pi) \arctan(x/15)$ milímetros respecto del poste sobre la falla: $0.11\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{km}$, $2.08\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{km}$, hacia el sur para una falla dextral vista desde el oeste. (b) El déficit de deslizamiento es $s = 0.034\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times150\,\mathrm{yr} = 5.1\,\mathrm{m}$. Durante el terremoto los postes se mueven $(s/\pi)\arctan(D/x)$: $2.44\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{km}$, $1.28\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{km}$, $0.47\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{km}$. (c) Las sumas son $0.11 + 2.44$, $1.28 + 1.28$ y $2.08 + 0.47$, todas $2.55\,\mathrm{m}$ $= s/2$: tras el terremoto la cerca vuelve a estar recta en el lado este, desplazada $s/2$, y el lado oeste, por simetría, $-s/2$.

Ejercicio 18.12 ★★★

Un terremoto tiene un eje P horizontal de tendencia $000$ y un eje T horizontal de tendencia $090$. (a) Demuéstrese que sus planos nodales son verticales y tienen rumbo $045$ y $135$, usando $\mathbf n$, $\mathbf d = (\mathbf T \pm \mathbf P)/\sqrt2$. (b) Dense el sentido del deslizamiento sobre cada plano. (c) Si la falla se hubiera formado como falla nueva en una roca con $\phi = 30{}^{\circ}$, bajo un $\sigma_1$ según el eje P, ¿en qué rumbos estaría, y por qué el eje P es solo una aproximación de $\sigma_1$? (d) Una falla cartografiada cercana tiene rumbo $040$. ¿Cuál plano nodal es probablemente la falla, y cuál es su sentido de deslizamiento?

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

(a) $\mathbf P = (0, 1, 0)$ y $\mathbf T = (1, 0, 0)$. El par $\mathbf n = (\mathbf T + \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, 0.707, 0)$, $\mathbf d = (\mathbf T - \mathbf P)/\sqrt2 = (0.707, -0.707, 0)$ cumple $\mathbf P = (\mathbf n - \mathbf d)/\sqrt2$ y $\mathbf T = (\mathbf n + \mathbf d)/\sqrt2$. Ambos vectores son horizontales, así que ambos planos nodales son verticales: el plano de normal $\mathbf n$ (hacia $045$) tiene rumbo $135$–$315$, el plano de normal $\mathbf d$ (hacia $135$) tiene rumbo $045$–$225$. (b) En el plano de rumbo $315$, el bloque del lado nordeste se mueve según $\mathbf d$, hacia $135$: visto desde el otro bloque, a la derecha, un deslizamiento dextral. En el plano de rumbo $045$, el bloque del lado sudeste se mueve según $\mathbf n$, hacia $045$: un deslizamiento sinistral. (c) Una falla nueva forma $45{}^{\circ} - \phi/2 = 30{}^{\circ}$ con $\sigma_1$: con $\sigma_1$ con tendencia $000$, las fallas tendrían rumbo $030$ (sinistral) y $330$ (dextral), a $15{}^{\circ}$ de los planos nodales. El eje P queda fijado a $45{}^{\circ}$ de los planos nodales por la geometría, sea cual sea la fricción de la roca, así que coincide con $\sigma_1$ solo si la falla deslizó a $45{}^{\circ}$ de él. (d) La falla de rumbo $040$ está a $5{}^{\circ}$ del plano nodal de rumbo $045$: ese plano es probablemente la falla, y el deslizamiento sobre él es sinistral.

18.7 Problema: el próximo gran terremoto en una falla bloqueada

Problema 18.1

Problema de fin de semana — un segmento bloqueado de un límite de placas de desgarre, desde su carga y sus terremotos pasados hasta la magnitud del siguiente

Una falla de desgarre vertical y recta forma el límite entre dos placas. Un segmento de ella, de $250\,\mathrm{km}$ de longitud, está bloqueado; sus terremotos empiezan a una profundidad no mayor de $15\,\mathrm{km}$. Las trincheras excavadas a través de ella datan sus últimos cuatro grandes terremotos hacia 1050, 1290, 1480 y 1712, con desplazamientos de $7.0$, $6.0$, $5.5$ y $7.5\,\mathrm{m}$. Las estaciones permanentes lejos de la falla a uno y otro lado se mueven a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ una respecto de la otra. Tómese $\mu = 30\,\mathrm{GPa}$, 2025 como año presente, y dense las magnitudes con una precisión de 0.01.

Parte I — La carga.

1. Calcúlense los intervalos entre los cuatro terremotos y su media.
2. Calcúlese el desplazamiento medio, y el intervalo de recurrencia que implica con Proposición 18.2 para una falla completamente bloqueada.
3. Calcúlese la velocidad de deslizamiento que implica la trinchera sola, a partir de los desplazamientos de los tres últimos terremotos y del tiempo entre el primero y el último. Compárese con la velocidad geodésica.
4. ¿Hace cuánto tiempo fue el último terremoto, y qué déficit de deslizamiento se ha acumulado desde entonces, si el segmento está completamente bloqueado?
5. Compárese este déficit con los desplazamientos de la trinchera. ¿Está retrasado el siguiente terremoto?
6. ¿Por qué la trinchera no puede dar la fecha del siguiente?

Parte II — El tamaño del siguiente terremoto.

7. ¿Cuál es el área de la parte bloqueada del segmento?
8. Calcúlese el momento sísmico de un terremoto que liberaría todo el déficit.
9. Calcúlese la magnitud de momento del terremoto de 1712, suponiendo que rompió la misma área con su desplazamiento de trinchera como deslizamiento medio.
10. ¿Por qué factor supera el momento del siguiente terremoto al de 1712, y cuántas unidades de magnitud son?
11. Si solo se rompiera la mitad del segmento, con el mismo deslizamiento, ¿cuál sería la magnitud?
12. Dése el momento sísmico que acumula el segmento cada año.

Parte III — Frecuencia y energía.

13. El catálogo regional sigue $\log_{10} N = 4.3 - M$ por año, para todas las fallas de la región. ¿Cuál es su valor b, y cuántos terremotos de magnitud 5 o más, y de magnitud 6 o más, da cada año?
14. ¿Qué tiempo medio entre terremotos de magnitud 7 o más da, y cuál entre los de magnitud 8 o más?
15. Compárese la recurrencia de un gran terremoto según el catálogo con la de la trinchera. ¿Qué dice la diferencia sobre el uso de la ley de los terremotos pequeños para predecir los grandes?
16. Los terremotos de magnitud 5 a 8 de la ley regional liberan, en conjunto, unos $5.5 \times 10^{17}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ al año. ¿Qué fracción del momento del segmento es esa?
17. ¿Cuántas veces más energía que un terremoto de magnitud 6 radiaría el siguiente gran terremoto?
18. Con Proposición 18.15, explíquese por qué los terremotos moderados del segmento no lo alivian.

Parte IV — La profundidad de bloqueo a partir de las estaciones.

19. Un perfil de estaciones a través del segmento da, respecto de la traza de la falla, las velocidades $-11.6$, $-7.5$, $-3.1$, $3.1$, $7.5$ y $11.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en $x = -40$, $-15$, $-5$, $5$, $15$ y $40\,\mathrm{km}$. Compruébese que el perfil es antisimétrico, y dense las velocidades esperadas lejos de la falla.
20. A partir de la estación situada a $15\,\mathrm{km}$, calcúlese la profundidad de bloqueo.
21. Calcúlese de nuevo a partir de las estaciones situadas a $5\,\mathrm{km}$ y $40\,\mathrm{km}$, y explíquense las pequeñas diferencias.
22. Compárese la profundidad de bloqueo con la profundidad de los terremotos, y dígase por qué deben coincidir.
23. Calcúlese la velocidad de deformación de cizalla sobre la falla.
24. Con una precisión de 0.01, ¿cuál es la magnitud de momento del terremoto que liberaría todo el déficit de deslizamiento del segmento?

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. Los intervalos son $1290 - 1050 = 240$, $1480 - 1290 = 190$ y $1712 - 1480 = 232$ años; su media es $220.7\,\mathrm{yr}$.

2. El desplazamiento medio es $(7.0 + 6.0 + 5.5 + 7.5)/4 = 6.5\,\mathrm{m}$, y $T = 6.5/0.030 = 216.7\,\mathrm{yr}$, cerca del intervalo medio.

3. Los desplazamientos de los tres últimos terremotos, $6.0 + 5.5 + 7.5 = 19.0\,\mathrm{m}$, se acumularon entre 1050 y 1712, en 662 años: $19.0\,\mathrm{m} /662\,\mathrm{yr} = 28.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, un $4\,\%$ menos que la velocidad geodésica de $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Ambas concuerdan dentro de la incertidumbre de las fechas y de los desplazamientos: el segmento libera casi toda su carga en sus grandes terremotos.

4. $2025 - 1712 = 313$ años, y el déficit es $0.030\,\mathrm{m}\,\mathrm{yr}^{-1}\times313\,\mathrm{yr} = 9.39\,\mathrm{m}$.

5. El déficit supera cada desplazamiento de la trinchera, el mayor de los cuales es $7.5\,\mathrm{m}$, y el tiempo desde 1712 supera el intervalo más largo, 240 años. En ese sentido el segmento va retrasado; no significa que el terremoto sea inminente, solo que la falla ya contiene más deslizamiento del que ha liberado nunca de una vez en el registro.

6. Los intervalos van de 190 a 240 años y los desplazamientos de $5.5\text{ a }7.5\,\mathrm{m}$: el ciclo no es periódico, y la resistencia de la falla en el próximo terremoto es desconocida. La trinchera da una media y una dispersión, a partir de las cuales puede estimarse una probabilidad, no una fecha.

7. $A = 250\,\mathrm{km}\times15\,\mathrm{km} = 3750\,\mathrm{km}^{2} = 3.75 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$.

8. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times9.39 = 1.06 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

9. $M_0 = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times7.5 = 8.44 \times 10^{20}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, así que $M_w = \tfrac23(20.926 - 9.1) = 7.88$.

10. El cociente es $9.39/7.5 = 1.25$, que equivale a $\tfrac23\log_{10}1.25 = 0.07$ de magnitud.

11. La mitad del área reduce a la mitad el momento y baja la magnitud en $\tfrac23\log_{10}2 = 0.20$: $M_w = 7.75$.

12. $\mu A V = 3 \times 10^{10}\times3.75 \times 10^{9}\times0.030 = 3.38 \times 10^{18}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ por año.

13. $b = 1$. $N(5) = 10^{4.3 - 5} = 0.20$ al año y $N(6) = 0.020$ al año.

14. $N(7) = 0.0020$ al año: uno cada 500 años; $N(8) = 0.00020$ al año: uno cada $5000$ años.

15. La ley da un terremoto de magnitud 7.95 o más cada $1/10^{4.3 - 7.95} = 4500$ años, y la trinchera uno cada 220 años, veinte veces más a menudo. La ley se ajusta a los muchos terremotos pequeños de todas las fallas de la región; extrapolada a los grandes terremotos de un solo segmento, los subestima mucho. La recurrencia de los grandes terremotos de una falla se toma de su propio registro y de su carga, no de los pequeños.

16. $5.5 \times 10^{17}/3.38 \times 10^{18} = 0.16$: los terremotos moderados liberan $16\,\%$ del momento que acumula el segmento.

17. Por Proposición 18.5, $10^{1.5\times(7.95 - 6)} = 10^{2.92} \approx 840$ veces más.

18. Con $b = 1$, el momento de los terremotos lo domina el mayor: lo que hagan los moderados, liberan una parte menor, aquí $16\,\%$, y el resto, $84\,\%$, el déficit de deslizamiento, espera al gran terremoto.

19. $v(-x) = -v(x)$ para cada par, así que el perfil es antisimétrico. Lejos de la falla las velocidades tienden a $\pm V/2 = \pm15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

20. $D = x/\tan(\pi v/V) = 15/\tan(\pi\times7.5/30) = 15/\tan45{}^{\circ} = 15\,\mathrm{km}$: a la profundidad de bloqueo la velocidad es $V/4$.

21. A $5\,\mathrm{km}$: $D = 5/\tan(\pi\times3.1/30) = 5/\tan18.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$; a $40\,\mathrm{km}$: $D = 40/\tan69.6{}^{\circ} = 14.9\,\mathrm{km}$. Las velocidades se dan con $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y solo ese redondeo mueve $D$ unos $0.1\,\mathrm{km}$; con datos reales, el ruido de cada estación sería mayor, y la profundidad de bloqueo se ajustaría a todas las estaciones a la vez.

22. La profundidad de bloqueo, $15\,\mathrm{km}$, iguala la profundidad de los terremotos más profundos. La parte bloqueada de la falla es su parte frágil, la capa sismogénica, donde el rozamiento la mantiene entre terremotos y falla en ellos; por debajo, la roca más caliente fluye lentamente (Capítulo 16) y la falla desliza de manera constante, que es el deslizamiento a la velocidad $V$ por debajo de $D$ del modelo.

23. $V/(\pi D) = 0.030/(\pi\times15\,000) = 6.4 \times 10^{-7}$ por año.

24. Con $M_0 = 1.056 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $\log_{10}M_0 = 21.024$ y $M_w = \tfrac23(21.024 - 9.1) = 7.949$. Con una precisión de 0.01, el terremoto que liberaría todo el déficit del segmento tiene la magnitud de momento 7.95.