3Planetología comparada

Venus y la Tierra son casi gemelas: Venus tiene el $95\,\%$ del radio terrestre y el $81\,\%$ de su masa. Sin embargo, la Tierra tiene océanos, una atmósfera de nitrógeno y oxígeno y placas en movimiento, mientras que Venus se oculta bajo nubes, con una superficie a $737\,\mathrm{K}$, más caliente que cualquier horno de cocina, aplastada por una atmósfera de dióxido de carbono a $92\,\mathrm{bar}$. Marte, la mitad de grande que la Tierra, tiene una atmósfera fría y tenue, volcanes gigantes y cañones, pero no placas en movimiento. Más allá, Júpiter y Saturno están formados sobre todo por hidrógeno y helio; Urano y Neptuno, sobre todo por los hielos de agua, metano y amoníaco. Comparar los planetas es la única manera de poner a prueba lo que creemos saber de la Tierra: por qué su interior está estratificado, por qué su clima es suave, por qué solo ella tiene tectónica de placas. Este capítulo pesa y mide los planetas, lee sus interiores a partir de sus densidades y del modo en que se reparte su masa, compara sus temperaturas y atmósferas, y termina con las lunas y los cuerpos pequeños que conservan el registro de la juventud del sistema solar.

Lo que ya sabes

Los planetas giran alrededor del Sol en elipses, y el cuadrado del periodo de un satélite es proporcional al cubo de su semieje mayor (tercera ley de Kepler, en el libro de física de primer año, donde también se define el momento de inercia de un sólido; una esfera uniforme tiene $I = \tfrac25MR^2$). Un cuerpo negro radia $\sigma T^4$ por unidad de área (libro de física de segundo año). El sistema solar y sus planetas rocosos y gigantes se describieron en el libro 1 (año 6); el albedo y la temperatura de equilibrio de un planeta se vieron en el libro 2 (año 10), y el efecto invernadero, en el libro 1 (año 9).

3.1 Pesar y medir los planetas

El radio de un planeta se mide a partir de su diámetro angular y de su distancia, o, para un planeta visitado por naves espaciales, mediante altimetría por radar y por láser. Su masa es más difícil: solo se percibe por la gravedad que el planeta ejerce sobre otra cosa.

Método 3.1 (Masa de un planeta a partir de la órbita de un satélite)

Para un satélite de masa despreciable, en una órbita casi circular de radio (semieje mayor) $a$ y periodo sidéreo $T$ alrededor de un planeta de masa $M$:

1. conviértanse $a$ a metros y $T$ a segundos;
2. la tercera ley de Kepler da $GM = 4\pi^2a^3/T^2$: este producto es lo que mide la órbita, con una precisión mucho mayor que la de $G$ por sí sola;
3. divídase por $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ para obtener $M$.

Un planeta sin luna (Mercurio, Venus) se pesa de la misma manera, a partir de la órbita o de la desviación de una nave que pasa cerca de él.

Ejemplo 3.2

Ío, la mayor de las lunas interiores de Júpiter, orbita a $a = 421.8 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ en $1.769\,138$ días, es decir, $T = 152\,854\,\mathrm{s}$. Entonces

$$GM = \frac{4\pi^2\times(4.218 \times 10^{8}\,\mathrm{m})^3}{(152\,854\,\mathrm{s})^2} = 1.268 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}, \qquad M = \frac{1.268 \times 10^{17}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.900 \times 10^{27}\,\mathrm{kg},$$

que concuerda con la masa tabulada de Júpiter, $1.898 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$, con un error del $0.1\,\%$. La masa de Ío, $4.7 \times 10^{-5}$ de la de Júpiter, es despreciable; el pequeño exceso procede del abultamiento ecuatorial de Júpiter, que atrae a una luna cercana algo más fuerte de lo que lo haría una esfera de la misma masa.

Con la masa y el radio se obtiene la densidad media $\bar\rho = 3M/(4\pi R^3)$, la primera pista sobre de qué está hecho un planeta. Las densidades de los planetas se agrupan en dos grupos (véase la figura siguiente): Mercurio, Venus, la Tierra y Marte están entre unos $3900$ y $5500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, más densos que cualquier roca común; los cuatro planetas exteriores están entre $690$ y $1640\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, cerca de la densidad del agua, y Saturno incluso por debajo de ella.

La densidad media por sí sola no puede distinguir un planeta hecho de un solo material denso de otro con un centro muy denso y una envoltura más ligera. Un segundo número sí lo hace: cómo se reparte la masa entre el centro y la superficie.

Definición 3.3 (Factor de momento de inercia)

El factor de momento de inercia de un planeta es el número

$$C = \frac{I}{MR^2} ,$$

donde $I$ es su momento de inercia respecto de su eje de rotación, $M$ su masa y $R$ su radio medio. Una esfera uniforme tiene $C = \tfrac25 = 0.4$; un planeta cuya densidad aumenta hacia el centro tiene $C < 0.4$, tanto menor cuanto más concentrada esté la masa.

El momento de inercia se mide a partir de la lenta precesión del eje de rotación bajo la atracción del Sol, junto con el aplanamiento del campo gravitatorio del planeta. Los valores son reveladores: la Luna, con $C = 0.394$, es casi uniforme; Marte, con $0.366$, y la Tierra, con $0.3308$, están claramente estratificados; Júpiter, con $0.254$, y Saturno, con $0.210$, tienen la mayor parte de su masa concentrada hacia el centro.

3.2 De qué están hechos los planetas

Definición 3.4 (Planetas terrestres y gigantes)

Un planeta terrestre es un planeta formado sobre todo por roca silicatada y hierro, con superficie sólida: Mercurio, Venus, la Tierra y Marte. Un planeta gigante es un planeta muchas veces más masivo que la Tierra, formado sobre todo por elementos ligeros y sus compuestos, y sin superficie sólida. Un gigante gaseoso es un planeta gigante formado sobre todo por hidrógeno y helio: Júpiter y Saturno. Un gigante de hielo es un planeta gigante formado sobre todo por los compuestos que los astrónomos llaman hielos — agua, metano y amoníaco —, bajo una envoltura de hidrógeno y helio: Urano y Neptuno.

Las atmósferas que miden las sondas y los telescopios confirman la división. La de Júpiter tiene un $89.8\,\%$ de hidrógeno y un $10.2\,\%$ de helio en volumen; la de Saturno, un $96.3\,\%$ y un $3.25\,\%$; en Urano, al menos el $80\,\%$ de la masa es un fluido caliente y denso de agua, metano y amoníaco sobre un pequeño núcleo rocoso. La densidad media de un gigante gaseoso sigue siendo baja aunque su centro esté muy comprimido, porque el hidrógeno es el elemento más ligero; un gigante de hielo es más denso que Saturno porque sus hielos pesan más que el hidrógeno.

Los planetas terrestres están estratificados como la Tierra: un núcleo rico en hierro bajo un manto silicatado y una corteza delgada. El modelo más sencillo que usa los dos números medidos, la densidad media y el factor de momento de inercia, tiene dos capas.

Proposición 3.5 (El planeta de dos capas)

Modelicemos un planeta de radio $R$ como un núcleo de radio $xR$ y densidad uniforme $\rho_c$ en el interior de un manto de densidad uniforme $\rho_m$. Su densidad media y su factor de momento de inercia son

$$\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^3 , \qquad C = \frac25\,\frac{\rho_m + (\rho_c - \rho_m)\,x^5}{\bar\rho} .$$

Dados $\bar\rho$, $C$ y una densidad supuesta del manto, $\rho_m$, el radio relativo del núcleo se obtiene de:

$$x^2 = \frac{\tfrac52C\bar\rho - \rho_m}{\bar\rho - \rho_m} , \qquad \rho_c = \rho_m + \frac{\bar\rho - \rho_m}{x^3} .$$

El modelo tiene tres incógnitas y dos datos, así que una de ellas, la densidad del manto, debe suponerse a partir de lo que pesan bajo presión las rocas de la composición adecuada. La respuesta es sensible a esa elección cuando $C$ está cerca de $0.4$, porque $\tfrac52C\bar\rho - \rho_m$ es entonces una pequeña diferencia de números grandes (Ejercicio 3.10 y el problema). El modelo también ignora la compresión del manto por su propio peso, que en un planeta tan grande como la Tierra eleva la densidad del manto profundo muy por encima de la de las rocas superficiales; para la Tierra, la sismología lo hace mucho mejor (Capítulo 9). Sismómetros colocados en Marte han hecho ahora lo mismo para ese planeta: donde la tabla planetaria da un radio del núcleo de $1830\,\mathrm{km}$, los resultados recientes indican solo entre $1650\,\mathrm{km}$ y $1675\,\mathrm{km}$.

3.3 Atmósferas y superficies

La temperatura de un planeta la fija primero la luz solar que absorbe. La irradiancia $S$ a su distancia $d$ del Sol decrece como $1/d^2$ (Proposición 2.11): $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en la Tierra, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en Venus, $586\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en Marte, $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en Júpiter. Una parte se refleja de inmediato.

Definición 3.6 (Albedo de Bond)

El albedo de Bond $A$ de un planeta es la fracción de la potencia total de la luz solar que cae sobre él que refleja y dispersa de vuelta al espacio, en todas las longitudes de onda y en todas las direcciones.

La nieve fresca y las nubes brillantes reflejan mucho; la roca oscura y el mar abierto, poco. Venus, envuelta en nubes brillantes, tiene $A = 0.77$; la Tierra, $0.294$; Marte, $0.250$; la Luna, roca gris oscura, $0.11$.

Definición 3.7 (Temperatura de equilibrio)

La temperatura de equilibrio $T_\mathrm{eq}$ de un planeta es la temperatura uniforme a la que un cuerpo negro del tamaño del planeta radiaría al espacio exactamente la potencia que el planeta absorbe del Sol.

Proposición 3.8 (Temperatura de equilibrio)

Un planeta de albedo de Bond $A$ que recibe la irradiancia $S$ tiene

$$T_\mathrm{eq} = \left(\frac{S(1 - A)}{4\sigma}\right)^{1/4}, \qquad \sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} .$$

Con los valores anteriores, $T_\mathrm{eq}$ es de $255\,\mathrm{K}$ para la Tierra, $227\,\mathrm{K}$ para Venus, $210\,\mathrm{K}$ para Marte y $270\,\mathrm{K}$ para la Luna. Venus, aunque está más cerca del Sol, sale más fría que la Tierra: sus nubes reflejan tres cuartas partes de la luz solar. La figura siguiente pone estos valores junto a las temperaturas superficiales medias medidas. Las diferencias son el efecto invernadero, que los párrafos siguientes y los capítulos sobre el clima (Capítulo 27) hacen cuantitativo: unos $33\,\mathrm{K}$ en la Tierra, unos $510\,\mathrm{K}$ en Venus y solo unos $4\,\mathrm{K}$ en Marte.

La temperatura media de la Luna, unos $253\,\mathrm{K}$, queda por debajo de su temperatura de equilibrio. No es una paradoja: sin atmósfera ni océano que transporten el calor, la cara diurna está muy caliente y la nocturna muy fría, y como la emisión crece como $T^4$, un cuerpo con temperaturas desiguales radia la potencia absorbida con una temperatura media más baja que uno uniforme (Ejercicio 3.11).

Una atmósfera hace dos cosas: deja pasar la mayor parte de la luz solar y absorbe parte del infrarrojo que emite el suelo, reemitiendo una parte hacia abajo. Cuánto calienta la superficie depende de cuánto gas absorbente hay encima de cada metro cuadrado. La presión superficial mide exactamente eso: $p = mg$ para una columna de masa $m$ por metro cuadrado. La atmósfera de Venus, a $92\,\mathrm{bar}$, es un $96.5\,\%$ de dióxido de carbono; la de Marte, de solo $6.36\,\mathrm{mbar}$ de media, es también un $95.1\,\%$ de dióxido de carbono, pero tiene unas sesenta veces menos gas sobre cada metro cuadrado que la de la Tierra, y muy poco vapor de agua. Ambos planetas tienen atmósferas de dióxido de carbono; solo una de ellas es espesa.

La superficie conserva el registro de lo que la moldeó. Los cráteres de impacto se acumulan sobre cualquier superficie expuesta al espacio; así, una superficie muy cráterizada, como la mayor parte de la de la Luna o de Mercurio, es antigua, y una superficie con pocos cráteres ha sido renovada: por coladas de lava, por erosión o por las placas que devuelven el fondo oceánico terrestre al manto. Llanuras volcánicas y volcanes se encuentran en todos los planetas terrestres. Fallas, grietas y cinturones plegados muestran que las litosferas de Venus y de Marte se han deformado; pero de todos los planetas, solo la Tierra muestra hoy una litosfera dividida en placas que se mueven como bloques rígidos, con dorsales donde se forman y fosas donde se hunden. Por qué solo la Tierra tiene tectónica de placas sigue discutiéndose; la presencia de agua, que debilita las rocas, es una de las razones propuestas.

3.4 Lunas y cuerpos pequeños

La Luna, con un cuarto del diámetro terrestre, es grande para un satélite. Su densidad, $3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, parecida a la de las rocas del manto terrestre, y su factor de momento de inercia, cercano a $0.4$, muestran que tiene a lo sumo un pequeño núcleo de hierro. Los planetas gigantes tienen sistemas de lunas que son mundos en sí mismos (véanse las fotografías siguientes). Ío, la más interior de las cuatro grandes lunas de Júpiter, es el mundo más activo volcánicamente del sistema solar, con cientos de volcanes, calentado por las mareas que Júpiter levanta en él; el vulcanismo la renueva más deprisa de lo que los impactos pueden marcarla con grandes cráteres. Europa, de densidad $3010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, es roca bajo una corteza de hielo, y hay pruebas sólidas de un océano salado bajo esa corteza. Ganímedes y Calisto, con densidades de $1940$ y $1830\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, están hechas de roca y hielo en cantidades comparables. Titán, la mayor luna de Saturno, es la única luna con una atmósfera densa, sobre todo de nitrógeno con un poco de metano, y el único mundo, aparte de la Tierra, con ríos, lagos y mares en su superficie —de metano y etano líquidos—; probablemente también esconde un océano de agua.

Definición 3.9 (Asteroide, cometa, objeto transneptuniano)

Un asteroide es un cuerpo pequeño, rocoso o metálico, que orbita el Sol, demasiado pequeño para ser un planeta y sin la envoltura de gas y polvo de un cometa; la mayoría orbita entre Marte y Júpiter. Un cometa es un cuerpo pequeño de hielo y polvo que, cuando su órbita lo acerca al Sol, libera gas y polvo que forman a su alrededor una envoltura luminosa y colas que apuntan en dirección opuesta al Sol. Un objeto transneptuniano es un cuerpo del sistema solar cuya órbita está, en promedio, más allá de la de Neptuno.

Los objetos transneptunianos del cinturón de Kuiper, una zona en forma de disco más allá de Neptuno, son cuerpos de hielo y roca que quedaron de la formación de los planetas; Plutón, clasificado como planeta enano desde 2006, es uno de ellos. Los asteroides son los restos de una región donde no se formó ningún planeta. Fragmentos de asteroides, y algunos de la Luna y de Marte, caen sobre la Tierra como meteoritos. Son las únicas muestras de otros mundos que tenemos en la mano, aparte de las traídas por naves espaciales, y algunos han cambiado poco desde que se formó el sistema solar; sus clases, y lo que dicen sobre la composición de la Tierra y la edad del sistema solar, son el tema del libro 4, segundo año.

3.5 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

Júpiter tiene una masa de $1898.13 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y un radio medio de $69\,911\,\mathrm{km}$. Calcúlese su densidad media y compárese con la del agua, $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$V = \tfrac43\pi(6.9911 \times 10^{7}\,\mathrm{m})^3 = 1.4313 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{3}$ y $\bar\rho = 1898.13 \times 10^{24}/1.4313 \times 10^{24} = 1326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, solo 1.33 veces la densidad del agua, aunque Júpiter tiene 318 veces la masa de la Tierra: está formado sobre todo por los elementos más ligeros.

Ejercicio 3.2 ★

Con la figura de densidades y radios, clasifíquense Mercurio, Saturno, Urano y Venus como planetas terrestres, gigantes gaseosos o gigantes de hielo, y justifíquese cada elección por su radio y su densidad.

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

Mercurio (radio $2440\,\mathrm{km}$, $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) y Venus ($6052\,\mathrm{km}$, $5243\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) son pequeños y más densos que la roca: planetas terrestres, de roca y hierro. Saturno ($60\,268\,\mathrm{km}$, $687\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) es enorme y más ligero que el agua: un gigante gaseoso, formado sobre todo por hidrógeno y helio. Urano ($25\,559\,\mathrm{km}$, $1270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$) es un gigante, pero mucho más pequeño que Saturno y casi el doble de denso: un gigante de hielo, cuyas aguas, metano y amoníaco pesan más que el hidrógeno.

Ejercicio 3.3 ★

Venus recibe $2601.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ y tiene un albedo de Bond de 0.77. Calcúlese su temperatura de equilibrio. ¿Por qué es más baja que la de la Tierra, aunque Venus esté más cerca del Sol?

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$T_\mathrm{eq} = (2601.3\times0.23/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = (2.638 \times 10^{9})^{1/4} = 226.6\,\mathrm{K}$. Venus recibe 1.9 veces más luz solar que la Tierra, pero sus nubes reflejan el $77\,\%$ de ella: absorbe solo $2601.3\times0.23 = 598\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, frente a $1361\times0.706 = 961\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ de la Tierra.

Ejercicio 3.4 ★

Ordénense la Luna ($C = 0.394$), Marte (0.366), la Tierra (0.3308), Júpiter (0.254) y Saturno (0.210) de la más uniforme a la más concentrada en el centro. ¿Cuál sería $C$ para un planeta cuya masa entera estuviera en un punto de su centro?

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

De más uniforme a más concentrada: la Luna, Marte, la Tierra, Júpiter, Saturno. Una masa puntual en el centro tiene $I = 0$, y por tanto $C = 0$.

Ejercicio 3.5 ★★

Titán orbita Saturno a $a = 1221.87 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ en $15.945\,421$ días. Calcúlese la masa de Saturno y compárese con el valor tabulado, $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

$T = 15.945421\times86400 = 1\,377\,684\,\mathrm{s}$; $GM = 4\pi^2(1.221\,87 \times 10^{9})^3/1\,377\,684^2 = 3.794 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$; $M = 3.794 \times 10^{16}/6.6743 \times 10^{-11} = 5.685 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, a menos del $0.03\,\%$ de $568.32 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

Ejercicio 3.6 ★★

La Tierra recibe $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $149.6 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$ del Sol. Calcúlese la irradiancia en Marte ($228.0 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$) y en Júpiter ($778.5 \times 10^{6}\,\mathrm{km}$), y compárese con los valores tabulados $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ y $50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$S = 1361\times(149.6/228.0)^2 = 585.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en Marte, y $1361\times(149.6/778.5)^2 = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ en Júpiter, de acuerdo con las tablas (la pequeña diferencia en Marte procede del redondeo de las distancias medias).

Ejercicio 3.7 ★★

Demuéstrese que, para un albedo dado, $T_\mathrm{eq}$ varía como $d^{-1/2}$. Calcúlese $T_\mathrm{eq}$ para Júpiter ($S = 50.26\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $A = 0.343$). Si se observara que Júpiter radia más potencia de la que absorbe del Sol, ¿qué implicaría eso sobre su interior?

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

$S \propto d^{-2}$ y $T_\mathrm{eq} \propto S^{1/4}$, luego $T_\mathrm{eq} \propto d^{-1/2}$. Para Júpiter, $T_\mathrm{eq} = (50.26\times0.657/(4\times 5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 109.8\,\mathrm{K}$. Un planeta que radia más de lo que absorbe debe tener una fuente interna de calor: Júpiter estaría liberando el calor almacenado desde su formación, o producido al contraerse lentamente.

Ejercicio 3.8 ★★

Calcúlese el calentamiento por efecto invernadero $T_\mathrm{surf} - T_\mathrm{eq}$ de Venus ($737\,\mathrm{K}$), de la Tierra ($288\,\mathrm{K}$, $A = 0.294$) y de Marte ($214\,\mathrm{K}$). Exprésese cada uno como fracción de $T_\mathrm{eq}$.

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

Venus: $737 - 226.6 = 510\,\mathrm{K}$, $225\,\%$ de $T_\mathrm{eq}$. La Tierra: $T_\mathrm{eq} = (1361\times0.706/(4\sigma))^{1/4} = 255.1\,\mathrm{K}$, $288 - 255.1 = 33\,\mathrm{K}$, $13\,\%$. Marte: $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$, $2\,\%$.

Ejercicio 3.9 ★★

Para una esfera uniforme, demuéstrese que $C = 0.4$ integrando los momentos de inercia de capas esféricas delgadas (una capa de radio $r$ y masa $\mathrm dm$ tiene $\mathrm dI = \tfrac23 r^2\,\mathrm dm$). ¿Qué valor tiene una capa esférica hueca de radio $R$?

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

Con $\mathrm dm = 4\pi\rho r^2\,\mathrm dr$: $I = \int_0^R\tfrac23r^2\,4\pi \rho r^2\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{15}\rho R^5$, y $MR^2 = \tfrac43\pi\rho R^5$, así que $C = \tfrac{8}{15}\cdot\tfrac34 = \tfrac25$. Una capa hueca tiene toda su masa en $r = R$: $I = \tfrac23MR^2$, $C = \tfrac23$.

Ejercicio 3.10 ★★★

Mercurio tiene $\bar\rho = 5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $C = 0.35$ y un radio de $2439.7\,\mathrm{km}$. Con una densidad del manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, úsese el modelo de dos capas para hallar el radio de su núcleo, la densidad del núcleo y la fracción de su masa que está en el núcleo. ¿Qué tiene de notable Mercurio?

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750.4$; $x^2 = (4750.4 - 3300)/(5429 - 3300) = 1450.4/2129 = 0.6812$, $x = 0.8254$, radio del núcleo $0.8254\times2439.7 = 2014\,\mathrm{km}$. $x^3 = 0.5623$ y $\rho_c = 3300 + 2129/0.5623 = 7086\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. El núcleo tiene $0.5623\times7086/5429 = 73\,\%$ de la masa. El núcleo de Mercurio alcanza el $83\,\%$ de su radio, frente a $3485/6371 = 55\,\%$ en la Tierra: Mercurio es sobre todo núcleo, con un manto rocoso delgado.

Ejercicio 3.11 ★★★

Modélese un cuerpo sin atmósfera cuyo hemisferio diurno está a la temperatura uniforme $T_1$ y el nocturno a $T_2$, radiando juntos la potencia absorbida. (a) Demuéstrese que si $T_1^4 + T_2^4 = 2T_\mathrm{eq}^4$, la temperatura media $(T_1 + T_2)/2$ es como mucho $T_\mathrm{eq}$, con igualdad solo cuando $T_1 = T_2$. (b) Para la Luna, $T_\mathrm{eq} = 270\,\mathrm{K}$; tómese $T_2 = 100\,\mathrm{K}$. Calcúlense $T_1$ y la temperatura media.

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

(a) La función $t\mapsto t^4$ es convexa, así que $\bigl(\tfrac{T_1 + T_2}{2}\bigr)^4 \le \tfrac{T_1^4 + T_2^4}{2} = T_\mathrm{eq}^4$, con igualdad solo si $T_1 = T_2$. (b) $T_1^4 = 2\times270^4 - 100^4 = 1.0529 \times 10^{10}$, $T_1 = 320\,\mathrm{K}$, y la temperatura media es $(320 + 100)/2 = 210\,\mathrm{K}$, $60\,\mathrm{K}$ por debajo de $T_\mathrm{eq}$.

Ejercicio 3.12 ★★★

Venus tiene un radio de $6051.8\,\mathrm{km}$, una gravedad superficial de $8.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ y una presión superficial de $92\,\mathrm{bar}$. Calcúlese la masa de su atmósfera, compárese con la de la Tierra, $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$, y con la masa de Venus, $4.8673 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. ¿Qué sugiere la comparación sobre dónde se guarda el dióxido de carbono de la Tierra?

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

$m = 4\pi R^2p/g = 4\pi\times(6.0518 \times 10^{6})^2\times9.2 \times 10^{6}/8.9 = 4.602 \times 10^{14}\times1.034 \times 10^{6} = 4.76 \times 10^{20}\,\mathrm{kg}$: 93 veces la masa de la atmósfera terrestre, y $9.8 \times 10^{-5}$ de la masa de Venus. La Tierra guarda una cantidad comparable de carbono, no en su aire, sino en rocas carbonatadas (calizas) y en el océano, donde el agua líquida permitió almacenarlo.

3.6 Problema: pesar y sondear Marte

Problema 3.1

Problema de fin de semana — la masa de Marte a partir de su luna, su densidad y su temperatura, y el tamaño de su núcleo

Fobos, la mayor de las lunas de Marte, orbita a una distancia media de $9378\,\mathrm{km}$ del centro de Marte en $0.318\,91$ días. Marte tiene un radio medio de $3389.5\,\mathrm{km}$, un periodo de rotación de $24.6\,\mathrm{h}$, un factor de momento de inercia $C = 0.366$, un albedo de Bond de 0.250 y una presión superficial media de $6.36\,\mathrm{mbar}$; recibe $586.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ del Sol, y su temperatura superficial media es de unos $214\,\mathrm{K}$. Fobos tiene una masa de $1.06 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. Tómese $G = 6.6743 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ y $\sigma = 5.6704 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Parte I — Pesar Marte.

1. Conviértase el periodo de Fobos a segundos.
2. Calcúlese $GM$ para Marte.
3. Dedúzcase la masa de Marte.
4. ¿Es correcto despreciar la masa de Fobos?
5. Calcúlese la velocidad orbital de Fobos.
6. Compárese el periodo de Fobos con la rotación de Marte. ¿En qué sentido cruza Fobos el cielo de Marte?

Parte II — Densidad y gravedad.

7. Calcúlese el volumen de Marte.
8. Calcúlese su densidad media, redondeada a $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.
9. Compárese con la de la Tierra, $5514\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Dense dos razones por las que la Tierra es más densa.
10. Calcúlese la gravedad en la superficie de Marte.
11. Calcúlese la velocidad de escape desde la superficie de Marte.

Parte III — Temperatura y atmósfera.

12. Calcúlese la temperatura de equilibrio de Marte.
13. Compárese con la temperatura superficial media. ¿Cuánto vale el calentamiento por efecto invernadero?
14. Calcúlese la masa de la atmósfera sobre cada metro cuadrado de Marte, y compárese con la de la Tierra ($p = 1014\,\mathrm{hPa}$, $g = 9.82\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$).
15. Calcúlese la masa total de la atmósfera de Marte.
16. La atmósfera de Marte es un $95\,\%$ de dióxido de carbono, y sin embargo su calentamiento por efecto invernadero es pequeño. Sugiérase por qué.

Parte IV — El núcleo de Marte.

17. ¿Cuál sería $C$ si Marte fuera uniforme? ¿Qué indica el valor medido?
18. Escríbase la densidad media de un Marte de dos capas en función del radio relativo del núcleo $x$, de la densidad del manto $\rho_m$ y de la densidad del núcleo $\rho_c$.
19. Escríbase su factor de momento de inercia en los mismos términos.
20. Demuéstrese que $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$.
21. Con la densidad media de la pregunta 8 y $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcúlense $x$ y la densidad del núcleo.
22. ¿Qué fracción de la masa de Marte está en su núcleo?
23. Repítase la pregunta 21 con $\rho_m = 3450$ y $3550\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. ¿Qué concluye sobre la precisión del modelo?
24. Dése el radio del núcleo de Marte según el modelo con $\rho_m = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y compárese con el valor de la tabla planetaria, $1830\,\mathrm{km}$, y con el resultado sísmico reciente, de $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $T = 0.31891\times86400 = 27\,553.8\,\mathrm{s}$.

2. $GM = 4\pi^2\times(9.378 \times 10^{6})^3/27\,553.8^2 = 4.289 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$.

3. $M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.426 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, a menos del $0.14\,\%$ de la $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ tabulada.

4. $1.06 \times 10^{16}/6.426 \times 10^{23} = 1.6 \times 10^{-8}$: Fobos es despreciable.

5. $v = 2\pi a/T = 2\pi\times9.378 \times 10^{6}/27553.8 = 2138\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, unos $2.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $T = 7.65\,\mathrm{h}$, 3.2 veces menos que la rotación de Marte: Fobos da la vuelta más deprisa de lo que el suelo gira bajo él, así que adelanta a la rotación. Visto desde Marte, sale por el oeste y se pone por el este.

7. $V = \tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3 = 1.6312 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}$.

8. $\bar\rho = 6.426 \times 10^{23}/1.6312 \times 10^{20} = 3939$, es decir, $3940\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

9. $3940/5514 = 0.715$. La Tierra, más grande y más masiva, comprime su interior con más fuerza; y su núcleo de hierro es una parte mayor del planeta.

10. $g = GM/R^2 = 4.289 \times 10^{13}/(3.3895 \times 10^{6})^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $38\,\%$ de la terrestre.

11. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2\times4.289 \times 10^{13}/ 3.3895 \times 10^{6}} = 5.03\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

12. $T_\mathrm{eq} = (586.2\times0.75/(4\times5.6704 \times 10^{-8}))^{1/4} = 209.8\,\mathrm{K}$.

13. $214 - 209.8 = 4\,\mathrm{K}$: un calentamiento por efecto invernadero débil.

14. $m = p/g = 636/3.733 = 170\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$; para la Tierra $101400/9.82 = 10\,326\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, 61 veces más.

15. $4\pi R^2\times170.4 = 1.444 \times 10^{14}\times170.4 = 2.46 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

16. Sobre cada metro cuadrado hay sesenta veces menos gas que en la Tierra, así que la absorción infrarroja, aunque sea por dióxido de carbono, es débil; y el aire de Marte contiene muy poco vapor de agua, el otro gran absorbente.

17. Un Marte uniforme tendría $C = 0.4$; el valor medido, 0.366, muestra que su densidad aumenta hacia el centro: Marte tiene un núcleo denso.

18. $\bar\rho = \rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^3$.

19. $C = \tfrac25[\rho_m + (\rho_c - \rho_m)x^5]/\bar\rho$.

20. A partir de 18 y 19, $(\rho_c - \rho_m)x^3 = \bar\rho - \rho_m$ y $(\rho_c - \rho_m)x^5 = \tfrac52C\bar\rho - \rho_m$; dividiendo se obtiene $x^2$.

21. $\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.366\times3940 = 3605.1$; $x^2 = (3605.1 - 3500)/(3940 - 3500) = 105.1/440 = 0.2389$, $x = 0.4887$. $x^3 = 0.1167$ y $\rho_c = 3500 + 440/0.1167 = 7269\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

22. $x^3\rho_c/\bar\rho = 0.1167\times7269/3940 = 0.215$, es decir, $21.5\,\%$ de la masa.

23. Con $\rho_m = 3450$: $x^2 = 155.1/490 = 0.3165$, $x = 0.5626$, radio del núcleo $1907\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 6202\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Con $\rho_m = 3550$: $x^2 = 55.1/390 = 0.1413$, $x = 0.3759$, $1274\,\mathrm{km}$, $\rho_c = 10\,894\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Un cambio del $1.4\,\%$ en la densidad supuesta del manto desplaza el radio del núcleo varios cientos de kilómetros: la densidad media y $C$ por sí solos no pueden fijar con precisión el núcleo de Marte, y por eso se enviaron sismómetros.

24. $0.4887\times3389.5 = 1657\,\mathrm{km}$: el radio del núcleo de Marte según el modelo es de unos $1660\,\mathrm{km}$, dentro del rango sísmico reciente de $1650\,\mathrm{km}$ a $1675\,\mathrm{km}$ y muy por debajo de los $1830\,\mathrm{km}$ de la tabla planetaria — un acuerdo que la pregunta 23 muestra que es en parte casualidad en la elección de $\rho_m$.