12Cinemática de placas sobre una esfera

Dos estaciones de posicionamiento por satélite llevan más de un cuarto de siglo registrando su posición cada día: una en Reikiavik, al oeste de Islandia, la otra cerca de Stavanger, en la costa oeste de Noruega. La recta que las une, de $1546\,\mathrm{km}$ de longitud, crece $17.5\,\mathrm{mm}$ cada año, casi dos centímetros. Nada en el terreno lo muestra; sin embargo, el fondo del Atlántico norte entre las dos estaciones registra el mismo ensanchamiento a lo largo de millones de años: la lava erupcionada en la dorsal medioatlántica adquirió la dirección del campo magnético terrestre al enfriarse, y el campo se ha invertido muchas veces, de modo que el fondo oceánico lleva un registro en franjas de su propio crecimiento. Este capítulo convierte las placas de los años escolares en casquetes rígidos sobre una esfera, describe sus movimientos con la geometría de las rotaciones, y muestra cómo el registro geológico y los satélites miden los mismos movimientos.

Lo que ya sabes

En una esfera, un círculo máximo es la intersección con un plano que pasa por el centro, y un círculo menor la de cualquier otro plano; el teorema del coseno da la distancia angular entre dos puntos a partir de sus latitudes y longitudes, y el acimut de una dirección se cuenta desde el norte hacia el este (Capítulo 1). Un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo tiene una velocidad angular (física). La litosfera está rota en placas que se mueven unas respecto de otras a unos centímetros al año, y el fondo oceánico lleva franjas magnéticas que registran las inversiones del campo magnético terrestre (libro 2, año 11).

12.1 Placas rígidas sobre una esfera

Una placa cubre una gran parte de la esfera: la placa euroasiática se extiende desde el centro del Atlántico hasta el este de Siberia. Su movimiento no puede describirse con una velocidad, como el de un coche; hay que describirlo con una rotación.

Definición 12.1 (Placa rígida)

Una placa rígida es una región de la litosfera cuyo interior no se deforma de forma medible: la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos permanece constante. El movimiento relativo de dos placas se absorbe a lo largo de su frontera común, una zona estrecha de fallas, terremotos y volcanes.

Ninguna placa es perfectamente rígida: las fronteras son zonas de decenas a centenares de kilómetros de ancho, y los interiores se deforman lentamente. La hipótesis es que estas desviaciones son pequeñas frente a los movimientos relativos; se comprueba por la coherencia de cada resultado de este capítulo.

Una placa rígida sobre la superficie de una esfera se mueve sin cambiar la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos, y el centro de la Tierra no se mueve. Tal movimiento se describe con una matriz $3\times3$ $R$ que conserva las longitudes, una matriz ortogonal ($R^{\mathsf T}R = I$), y que conserva la orientación del espacio, de modo que $\det R = 1$: un punto de vector de posición $\vec r$ va a $R\vec r$.

Teorema 12.2 (Teorema de la rotación de Euler)

Todo desplazamiento de una placa rígida sobre la esfera es una rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de la Tierra: existe un vector unitario $\vec n$ con $R\vec n = \vec n$, y la placa gira alrededor de $\vec n$ un cierto ángulo.

Durante un intervalo de tiempo lo bastante corto para que el movimiento no cambie, la rotación avanza a ritmo constante, y el movimiento de una placa respecto de otra es una velocidad angular alrededor de un eje fijo.

Definición 12.3 (Polo de Euler; vector de Euler)

El movimiento de una placa B respecto de una placa A es una rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de la Tierra. El polo de Euler del par es el punto donde este eje corta la superficie, elegido de modo que la rotación sea antihoraria vista desde encima de él; el punto antípoda es el polo opuesto. El vector de Euler $\vec\omega_{BA}$ es la velocidad angular de B respecto de A: apunta desde el centro de la Tierra hacia el polo de Euler, y su longitud $\omega$ es la velocidad de rotación.

Un vector de Euler se da por la latitud y la longitud de su polo y por su velocidad, habitualmente en grados por millón de años. El movimiento de la placa euroasiática respecto de la placa norteamericana, promediado sobre los últimos $3.16\,\mathrm{Myr}$ a partir de 453 velocidades de expansión medidas en las dorsales que los separan, tiene su polo en $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, en el este de Siberia, y la velocidad $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. En radianes por año,

una vuelta completa en $1714\,\mathrm{Myr}$.

12.2 Velocidades relativas

Teorema 12.4 (Velocidad en una placa que gira)

Si la placa B gira respecto de la placa A con el vector de Euler $\vec\omega$, un punto de B en el vector de posición $\vec r$ (desde el centro de la Tierra) se mueve respecto de A con la velocidad

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

El ángulo $\Delta$ es la distancia angular entre el polo de Euler y el punto, que da el teorema del coseno a partir de latitudes y longitudes.

Proposición 12.5 (Velocidad y dirección del movimiento relativo)

Sea el polo de Euler a latitud $\varphi_p$ y longitud $\lambda_p$, y el punto a $\varphi$ y $\lambda$. Entonces

1. la distancia angular $\Delta$ del polo al punto cumple $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$;
2. la velocidad relativa es $v = \omega R\sin\Delta$: nula en el polo, máxima, $\omega R$, sobre el círculo máximo a $90{}^{\circ}$ de él;
3. la dirección del movimiento es perpendicular al círculo máximo que une el punto con el polo: su acimut es el del polo, visto desde el punto, más $90{}^{\circ}$.

La velocidad del movimiento relativo cambia, pues, a lo largo de una frontera de placas aunque las dos placas sean perfectamente rígidas, y la dirección del movimiento gira con ella. Dos consecuencias dan forma a todo mapa de fronteras de placas.

Proposición 12.6 (Las transformantes siguen círculos menores)

Una falla transformante, a lo largo de la cual dos placas se deslizan una junto a otra sin abrirse ni cerrarse, yace sobre un círculo menor alrededor del polo de Euler de las dos placas. La dirección de expansión en una dorsal, y de convergencia en una zona de subducción, también sigue esos círculos menores.

La dorsal medioatlántica entre Eurasia y Norteamérica es una escalera de segmentos de dorsal desplazados por fallas transformantes; las transformantes se orientan cerca de los acimutes que predice el vector de Euler, y su orientación es uno de los datos que sirven para localizar el polo. La velocidad de expansión a lo largo de la misma frontera crece con la distancia angular al polo: $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en la dorsal de Gakkel, en el océano Ártico, cerca del polo, y $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ justo al norte de las Azores, a $78{}^{\circ}$ de él. La figura de abajo compara las velocidades que predice el vector de Euler a lo largo de toda la frontera con las de un modelo de placas independiente.

Método 12.7 (La velocidad en un punto)

1. Conviértase la velocidad del vector de Euler a radianes por año y calcúlese $\omega R$, en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ con $R = 6371\,\mathrm{km}$.
2. Calcúlese la distancia angular $\Delta$ del polo al punto con el teorema del coseno; la velocidad es $\omega R\sin\Delta$.
3. Calcúlese el acimut $\beta$ del polo visto desde el punto, con $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$ y el cuadrante del numerador y del denominador; el movimiento va hacia $\beta + 90{}^{\circ}$.
4. Compruébese el sentido: el movimiento es el de la segunda placa respecto de la primera. Intercambiar las placas lo invierte.

Ejemplo 12.8 (Eurasia se aleja de Norteamérica en Islandia)

Tómese el centro de Islandia a $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W, y el vector de Euler de Eurasia respecto de Norteamérica dado arriba. Entonces $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

así que $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ y $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. El polo se ve con el acimut $\beta = 13.1{}^{\circ}$, algo al este del norte, sobre el Ártico; Eurasia se mueve hacia $103.1{}^{\circ}$, este-sureste, es decir $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el este y $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur.

12.3 Composición de movimientos; uniones triples

Las velocidades relativas se suman como las velocidades de la mecánica: si B se mueve respecto de A y C respecto de B, entonces C se mueve respecto de A con la suma de las dos velocidades.

Proposición 12.9 (Los vectores de Euler se suman)

Para tres placas A, B, C,

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

Para sumar vectores de Euler, escríbase cada uno en componentes cartesianas, como sigue: $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$, súmense las componentes, y vuélvase a un polo y una velocidad. Los polos no pueden sumarse; los vectores de Euler sí. La relación es una restricción potente. El movimiento de la placa nubia (África) respecto de Eurasia es lento, y el registro geológico da pocas medidas directas: entre las Azores y Gibraltar, las únicas son los acimutes de una sola transformante, la falla de Gloria. Se deduce en cambio de los dos movimientos de expansión, bien medidos, a través del Atlántico: con $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (polo $79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) y $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ de arriba, $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ tiene su polo en $20.9{}^{\circ}$ N, $18.3{}^{\circ}$ W, frente a África occidental, y la velocidad $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ (Ejercicio 12.7).

Definición 12.10 (Unión triple; unión triple estable)

Una unión triple es un punto donde se encuentran tres placas, y con ellas tres fronteras de placas, cada una una dorsal (R), una fosa (T) o una falla transformante (F). Una unión triple es estable si, al moverse las placas, conserva la misma geometría: los mismos tres tipos de frontera que se encuentran en los mismos ángulos.

Cada frontera permite que la unión se mueva solo de ciertas maneras sin cambiar su geometría. Una dorsal simétrica se mantiene a medio camino entre sus dos placas; una transformante conserva su orientación sea cual sea lo que haga la unión a lo largo de ella; una fosa está fija a su placa cabalgante. La cuestión es si un único movimiento de la unión satisface las tres fronteras a la vez. Se responde en el espacio de velocidades: un diagrama en el que cada placa es un punto cuyo vector de posición es la velocidad de la placa en la unión, respecto de cualquiera de las placas, de modo que el lado que une dos puntos es la velocidad relativa de las dos placas.

Proposición 12.11 (Las uniones de tres dorsales son estables)

Una unión de tres dorsales, cada una en expansión simétrica y perpendicular a su eje, es estable sean cuales sean las velocidades relativas de las tres placas.

McKenzie y Morgan, que introdujeron en 1969 la distinción entre uniones estables e inestables, analizaron las combinaciones de este modo. Una transformante permite que la unión se mueva solo a lo largo de sí misma, es decir, a lo largo de la recta que pasa por los puntos de sus dos placas: una unión de tres transformantes nunca es, por tanto, estable, ya que las tres rectas que pasan por los lados de un triángulo no tienen ningún punto en común. Para los demás tipos, la estabilidad impone condiciones sobre la orientación de las fronteras y sobre las velocidades relativas.

La unión triple de las Azores, hacia $39.4{}^{\circ}$ N, $29.8{}^{\circ}$ W, donde se encuentran las placas norteamericana, euroasiática y nubia, es una unión de tres dorsales: la dorsal medioatlántica discurre al norte y al sur de ella, y el lento rift de Terceira sale de ella hacia el este-sureste. En la unión, los dos vectores de Euler del par norteamericano dan a Eurasia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $95{}^{\circ}$ y a Nubia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $104{}^{\circ}$; Eurasia se aleja, pues, de Nubia a $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $59{}^{\circ}$, una apertura este-nordeste–oeste-suroeste a través del rift de Terceira. La unión real no es un punto: la velocidad de expansión a lo largo de la dorsal disminuye gradualmente, desde $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $40{}^{\circ}$ N hasta $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $38{}^{\circ}$ N, a través de una pequeña placa de unos $100\,\mathrm{km}$ de ancho atrapada entre las tres grandes: la microplaca de las Azores.

12.4 Rotaciones finitas

El vector de Euler describe el movimiento actual, promediado sobre unos pocos millones de años. Para devolver las placas a donde estaban hace mucho tiempo, hace falta la rotación que lleva una placa de su posición actual a su posición pasada.

Definición 12.12 (Rotación finita)

Una rotación finita es la rotación de la esfera, dada por un polo (latitud, longitud) y un ángulo, que lleva una placa, o un trozo de su borde, de su posición actual a su posición en un tiempo dado respecto de otra placa. Un ángulo positivo gira en sentido antihorario visto desde encima del polo.

Proposición 12.13 (Fórmula de Rodrigues)

La rotación de ángulo $\alpha$ alrededor del vector unitario $\vec n$ lleva el vector $\vec r$ a

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

La fórmula es lineal en $\vec r$; escrita con matrices, $\vec r\,' = R\vec r$ con

una matriz ortogonal de determinante $1$, como exige el teorema de Euler. Su traza es $1 + 2\cos\alpha$, lo que da el ángulo de cualquier matriz de rotación (Ejercicio 12.10).

Las rotaciones finitas no conmutan. Si se gira el punto de $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E, situado sobre el eje $x$, $90{}^{\circ}$ alrededor del polo norte, va a $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E, sobre el eje $y$; luego, $90{}^{\circ}$ alrededor del eje $x$, llega al polo norte. Hecho en el otro orden, la primera rotación deja el punto donde está y la segunda lo lleva a $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E (Ejercicio 12.8). Una sucesión de movimientos de placas debe componerse, por tanto, multiplicando las matrices en el orden correcto, nunca sumando los ángulos; solo las velocidades angulares, que describen rotaciones infinitesimales, se suman como vectores.

El ajuste de las costas de Sudamérica y de África, notado desde hace mucho en los mapas, se convierte en un cálculo. Con la rotación de $120.6\,\mathrm{Ma}$, la costa del noreste de Brasil cerca de Recife ($8.05{}^{\circ}$ S, $34.9{}^{\circ}$ W) llega a $3.4{}^{\circ}$ N, $8.3{}^{\circ}$ E, en la costa del golfo de Guinea, tras un recorrido de unos $5000\,\mathrm{km}$ a lo largo de su círculo menor: una apertura media de unos $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. El ajuste no es perfecto en todas partes: durante unos catorce millones de años antes de que se abriera el océano, los dos continentes se estiraron lentamente alejándose, y una reconstrucción precisa debe restaurar primero los márgenes estirados y las cuencas de rift a ambos lados.

Historia — Tectónica sobre una esfera

En 1965 Edward Bullard y dos colaboradores ajustaron por ordenador los continentes alrededor del Atlántico, con un criterio de mínimos cuadrados: el mejor ajuste sigue la parte empinada del borde continental, a una profundidad de 500 brazas (unos $900\,\mathrm{m}$), y no la línea de costa. El mismo año Tuzo Wilson describió una nueva clase de fallas, las fallas transformantes, y su relación con la deriva continental. En 1967 Dan McKenzie y Robert Parker mostraron, con el Pacífico norte como ejemplo, que las zonas asísmicas de la superficie se mueven como placas rígidas sobre una esfera. En 1968 Jason Morgan describió la superficie como bloques corticales limitados por dorsales, fosas y grandes fallas, y Xavier Le Pichon vinculó la expansión del fondo marino con la deriva continental. En tres años, la deriva de los continentes se había convertido en la cinemática de casquetes rígidos sobre una esfera.

12.5 Medición de los movimientos de placas

El registro magnético del fondo oceánico

La lava erupcionada en una dorsal adquiere, al enfriarse, una imantación en la dirección del campo terrestre en ese momento, y la conserva al alejarse de la dorsal. Como el campo se invierte a intervalos irregulares, el fondo oceánico queda imantado en direcciones alternadas, en bandas paralelas a la dorsal.

Definición 12.14 (Anomalía magnética marina; cron de polaridad; escala de tiempo de polaridad)

Una anomalía magnética marina es la diferencia entre la intensidad del campo magnético medida en el mar y la intensidad de un modelo de referencia del campo principal de la Tierra en el mismo lugar: es positiva sobre una corteza imantada en la dirección del campo actual, y negativa sobre una corteza imantada en la dirección opuesta. Un cron de polaridad es un intervalo de tiempo durante el cual el campo conservó una polaridad, designada por un número y la letra n (normal, como hoy) o r (invertida). La escala de tiempo de polaridad geomagnética es la sucesión de crones de polaridad con las edades de sus límites.

La escala de tiempo se construye datando las secuencias de inversiones en tierra y en testigos de sedimento marino profundo, y ajustando el patrón de las anomalías del fondo oceánico, cuyos anchos conservan las duraciones relativas de los crones. El cron normal actual, C1n, comenzó hace $0.781\,\mathrm{Ma}$, y el campo se ha invertido a intervalos irregulares: la escala cuenta veinticinco intervalos normales en los últimos once millones de años, algunos de más de un millón de años, otros de poco más de diez mil años. La figura de abajo muestra esa historia, hasta el final del cron C5n, y las franjas que escribe en el fondo de una dorsal lenta y en el de una rápida.

Definición 12.15 (Velocidades de expansión media y total)

En una dorsal, la velocidad de expansión media de un flanco es la velocidad a la que la corteza de ese flanco se aleja del eje de la dorsal. La velocidad de expansión total es la velocidad a la que se separan las dos placas, la suma de las dos medias; es el doble de la media cuando la expansión es simétrica.

Método 12.16 (Una velocidad de expansión a partir de anomalías magnéticas)

1. En un perfil magnético perpendicular a la dorsal, identifíquese la sucesión de anomalías en ambos flancos por su patrón de franjas anchas y estrechas, y asígnese a la escala de tiempo de polaridad.
2. Mídase la distancia desde el eje hasta el mismo límite de cron en cada flanco, y divídase por su edad: estas son las dos velocidades de expansión medias, promediadas desde entonces. La velocidad total es su suma, o la distancia entre los dos límites dividida por la edad.
3. Prefiérase un límite antiguo a uno joven: un error de un kilómetro en una distancia pesa menos sobre una distancia de cien kilómetros que sobre una de diez.
4. Si el perfil no es perpendicular a la dorsal, proyéctense las distancias sobre la dirección de la expansión.

El tercer punto no es solo cuestión de errores de lectura. La corteza no adquiere su imantación a lo largo de una sola línea: la lava fluye sobre la corteza contigua, algo más antigua, los diques se intruyen en ella, y la corteza inferior se imanta más tarde que la superior. Todos estos procesos desplazan hacia fuera del eje los límites entre franjas, de modo que la distancia entre dos límites de la misma edad supera la anchura de corteza realmente formada. El desplazamiento total de los dos lados es de $1\text{ a }3\,\mathrm{km}$ como máximo en la mayoría de las dorsales, y alcanza los $5.0\,\mathrm{km}$ en la dorsal de Reykjanes. Las compilaciones cuidadosas corrigen las velocidades a la baja por este desplazamiento hacia fuera, en $0.6\text{ a }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y las promedian durante los últimos $3.16\,\mathrm{Myr}$ en las dorsales lentas, hasta las anomalías del cron C2An, y durante $0.78\,\mathrm{Myr}$ en las rápidas. En la dorsal de Gakkel, escasa de magma, faltan las anomalías del subcron corto de Jaramillo y del cron C2n, mientras que en la dorsal de Reykjanes, al sur de Islandia, que se expande a menos de $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pero con un abundante suministro de magma, están claramente reconocidas.

Geodesia por satélite

Desde los años 1990, las posiciones de las estaciones permanentes se miden cada día por posicionamiento por satélite. Una serie de posiciones diarias durante diez años o más da la velocidad de una estación, una vez tratados los movimientos estacionales y los saltos causados por terremotos o por cambios de equipo (Ejercicio 12.12).

Sobre el terreno — Una estación permanente

Una estación permanente de posicionamiento por satélite es un instrumento tranquilo. La antena, bajo su cúpula impermeable, se apoya sobre la cima de un pilar o de un mástil arriostrado anclado en la roca, de modo que se mueve con la corteza y con nada más; el receptor, en la base, registra de forma continua las señales de cada satélite a la vista y las envía a un centro de datos. Allí, los analistas calculan una posición para cada día, en un sistema de referencia ligado a una red mundial de estaciones, y publican series temporales y velocidades. La historia de una estación importa tanto como sus datos: cada cambio de antena o de receptor se registra, porque puede desplazar la posición calculada.

Las velocidades de las estaciones en el interior de dos placas dan un vector de Euler propio, independiente del registro geológico. Para Eurasia respecto de Norteamérica, un vector así predice $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en Islandia, cerca de un $8\,\%$ menos que los $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ promediados sobre $3.16\,\mathrm{Myr}$ (figura de arriba). La recta entre Reikiavik y Stavanger, ambas en partes estables de sus placas, se alarga $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; el vector de satélite predice $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, el geológico $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A través del Atlántico norte, una velocidad medida a lo largo de unas pocas décadas y una velocidad promediada sobre tres millones de años concuerdan así dentro de una décima: allí, las placas se mueven hoy casi como se han movido durante millones de años.

Dentro de la zona de frontera el cuadro es menos sencillo, porque las estaciones se mueven con más que las placas. Más de una décima parte de Islandia yace bajo casquetes de hielo, y la mayoría de ellos pierden masa desde hacia 1890: la corteza bajo ellos se eleva a medida que disminuye la carga, y se mueve horizontalmente alejándose del hielo que adelgaza. La estación de Höfn, en la costa sureste cerca del mayor casquete, se eleva $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12.6 Ejercicios

Tómese $R = 6371\,\mathrm{km}$ en todo el capítulo.

Ejercicio 12.1 ★

El vector de Euler de Eurasia respecto de Norteamérica tiene la velocidad $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (a) Conviértase a $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y a $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) ¿Cuánto tardaría una vuelta completa? (c) Calcúlese $\omega R$ en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

(a) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ por millón de años, es decir $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; con $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Myr}$, más de un tercio de la edad de la Tierra. (c) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Ejercicio 12.2 ★

Con el mismo vector de Euler, calcúlese la velocidad relativa de las dos placas a $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$ del polo de Euler. ¿Dónde a lo largo de la frontera de placas sería más rápida la expansión?

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $30{}^{\circ}$, $20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $60{}^{\circ}$ y $23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $90{}^{\circ}$. La expansión es más rápida donde la frontera está más lejos del polo, hasta $90{}^{\circ}$: entre Eurasia y Norteamérica, en el extremo sur de la frontera, cerca de las Azores, a $78{}^{\circ}$ del polo.

Ejercicio 12.3 ★

El subcron normal de Jaramillo duró desde $1.072\,\mathrm{Ma}$ hasta $0.988\,\mathrm{Ma}$. (a) ¿Cuál es la anchura de la franja que forma en cada flanco de una dorsal con una velocidad de expansión media de $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? ¿Y de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? (b) ¿Cuál es la anchura total de la franja del cron normal actual, que comenzó hace $0.781\,\mathrm{Ma}$, en una dorsal con una velocidad media de $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

El subcron dura $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Myr}$, y una velocidad de expansión media en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ es también una velocidad en $\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$. (a) $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$ a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$ a $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) La franja se reparte a ambos lados del eje: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 12.4 ★

En un perfil a través de una dorsal, el borde joven de la anomalía del cron C2An, de $2.581\,\mathrm{Ma}$, yace a $66\,\mathrm{km}$ al oeste del eje y a $64\,\mathrm{km}$ al este de él. Calcúlense las dos velocidades de expansión medias y la velocidad total. ¿Es simétrica la expansión?

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el oeste y $64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el este; la velocidad total es $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. La expansión es casi simétrica: el flanco oeste ha crecido un $3\,\%$ más rápido.

Ejercicio 12.5 ★★

Un punto de la dorsal de Gakkel, en el océano Ártico, se sitúa en $85{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E. Calcúlese su distancia angular al polo de Euler de Eurasia respecto de Norteamérica ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) y la velocidad de expansión allí. Compárese con las velocidades medidas de $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$, así que $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ y $v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Esto está un poco por encima de los $11\text{ a }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medidos, pero el vector de Euler es un único mejor ajuste a 453 velocidades, de las que las velocidades se apartan $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ de media, y las velocidades individuales cerca de la lenta dorsal de Gakkel están entre las menos precisas.

Ejercicio 12.6 ★★

En la unión triple de las Azores, en $39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W, calcúlense (a) la distancia angular al polo de Euler de Eurasia respecto de Norteamérica, (b) la velocidad de expansión y (c) el acimut del movimiento relativo. (d) ¿Qué orientación predice para las fallas transformantes de la dorsal situada justo al norte de la unión?

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

(a) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$. (b) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, el $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ medido justo al norte de la unión. (c) Con la fórmula del método, el numerador es $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$ y el denominador $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: el polo se ve con $\beta = 5.08{}^{\circ}$, casi exactamente al norte, y Eurasia se mueve hacia $95.1{}^{\circ}$. (d) Las transformantes son paralelas al movimiento relativo: se orientan hacia $095{}^{\circ}$, casi este–oeste.

Ejercicio 12.7 ★★

(a) Escríbanse en componentes cartesianas los vectores de Euler $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$) y $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ N, $40.2{}^{\circ}$ E, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$), en ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) Dedúzcase $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$, su polo y su velocidad. (c) ¿Por qué es esta la mejor manera de conocer el movimiento de Nubia respecto de Eurasia?

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

(a) La velocidad angular del polo de Euler es $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ y $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$, en ${}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$, de longitud

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Myr}.$$

Su polo está en la latitud $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ N y la longitud $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$, es decir $18.3{}^{\circ}$ W (la componente $x$ es positiva, así que no se suma $180{}^{\circ}$). (c) La frontera entre Nubia y Eurasia ofrece pocas medidas directas: entre las Azores y Gibraltar, solo los acimutes de la falla de Gloria. Las dos expansiones a través del Atlántico están medidas por centenares de velocidades, y su diferencia hereda su precisión.

Ejercicio 12.8 ★★

Sea $\vec e_x$ el vector hacia $0{}^{\circ}$ N, $0{}^{\circ}$ E, $\vec e_y$ hacia $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E y $\vec e_z$ hacia el polo norte. Con la fórmula de Rodrigues, calcúlese la imagen de $\vec e_x$ (a) por la rotación de $90{}^{\circ}$ alrededor de $\vec e_z$ seguida de la rotación de $90{}^{\circ}$ alrededor de $\vec e_x$; (b) por las mismas dos rotaciones en orden inverso. (c) ¿Qué significa esto para la reconstrucción de las posiciones pasadas de una placa?

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

(a) Alrededor de $\vec e_z$ en $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$, $\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ y $\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$, así que $\vec e_x$ va a $\vec e_y$. Luego alrededor de $\vec e_x$ en $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ y $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$, así que $\vec e_y$ va a $\vec e_z$: el punto termina en el polo norte. (b) Primero alrededor de $\vec e_x$: $\vec e_x$ está sobre el eje, $\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ y $(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$, así que no se mueve; luego, alrededor de $\vec e_z$, va a $\vec e_y$, a $0{}^{\circ}$ N, $90{}^{\circ}$ E. (c) Los resultados difieren: las rotaciones finitas no conmutan. Las reconstrucciones sucesivas deben componerse multiplicando las matrices de rotación en el orden correcto, nunca sumando ángulos o polos.

Ejercicio 12.9 ★★

Tres placas A, B y C se encuentran en una unión de tres dorsales. Respecto de A, la placa B se mueve a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el este y la placa C a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur. (a) Dibújese el triángulo de velocidades. (b) Calcúlese la velocidad y el acimut de C respecto de B. (c) ¿Cuál es la orientación de la dorsal entre B y C si se expande perpendicular a su eje?

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

(a) En el espacio de velocidades ponga $a$ en el origen, $b$ a $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el este y $c$ a $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur. (b) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (componentes este y norte): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el acimut $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$, suroeste. (c) La dorsal es perpendicular a esta dirección: su orientación es $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$, es decir noroeste–sureste.

Ejercicio 12.10 ★★★

(a) Muéstrese que la traza de la matriz $R$ de una rotación de ángulo $\alpha$ alrededor de cualquier eje es $1 + 2\cos\alpha$. (b) La matriz

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

es ortogonal con determinante $1$. Hállense su eje, como latitud y longitud, y su ángulo. (c) Compruébese la respuesta aplicando $R$ a $\vec e_x$, $\vec e_y$ y $\vec e_z$.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

(a) En la matriz de Rodrigues, la identidad aporta $3\cos\alpha$, la matriz $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ la traza $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$, multiplicada por $1 - \cos\alpha$, y la matriz antisimétrica nada: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$. (b) Aquí $\operatorname{tr}R = 0$, así que $\cos\alpha = -1/2$ y $\alpha = 120{}^{\circ}$. El eje cumple $R\vec n = \vec n$: $R(x, y, z) = (z, x, y)$, así que $x = y = z$ y $\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$, en latitud $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ N y longitud $45{}^{\circ}$ E. (c) $R\vec e_x = \vec e_y$, $R\vec e_y = \vec e_z$, $R\vec e_z = \vec e_x$: los tres ejes se permutan, como lo hace un tercio de vuelta alrededor de la diagonal. La fórmula de Rodrigues con $\alpha = +120{}^{\circ}$ alrededor de $\vec n$ en efecto da $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$, así que la rotación es antihoraria vista desde encima de $35.26{}^{\circ}$ N, $45{}^{\circ}$ E.

Ejercicio 12.11 ★★★

Antes del posicionamiento por satélite, los polos de Euler se hallaban a partir de las orientaciones de las fallas transformantes. (a) Muéstrese que el polo de Euler yace sobre el círculo máximo que pasa por un punto de una falla transformante y es perpendicular a la falla allí, y que por tanto el polo está en la dirección de $\vec t_1\times\vec t_2$, donde $\vec t_1$ y $\vec t_2$ son vectores unitarios a lo largo de dos fallas transformantes de la misma frontera. (b) Las fallas transformantes se orientan a $95{}^{\circ}$ cerca de la unión triple de las Azores ($39.44{}^{\circ}$ N, $29.83{}^{\circ}$ W) y a $103{}^{\circ}$ en Islandia ($64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W). El vector unitario horizontal en la latitud $\varphi$ y longitud $\lambda$ que apunta hacia el acimut $\beta$ es $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$, con $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ y $\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$. Localícese el polo. (c) ¿Qué tan bien determinan dos transformantes el polo?

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

(a) En una transformante la velocidad relativa $\vec\omega\times\vec r$ va a lo largo de la falla, luego paralela a $\vec t$; es perpendicular a $\vec\omega$, de donde $\vec t\cdot\vec\omega = 0$. El plano perpendicular a $\vec t$ que pasa por el centro contiene $\vec r$ (ya que $\vec t$ es horizontal) y $\vec\omega$: es el plano del círculo máximo que pasa por el punto y es perpendicular a la falla, y el polo yace sobre ese círculo. Dos planos así se cortan a lo largo de la recta de $\vec t_1\times\vec t_2$. (b) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ en la unión y $\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ en Islandia, así que $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$, de longitud $0.06362$. Su latitud es $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ N y su longitud $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ E (componente $x$ negativa): el polo del capítulo. (c) Mal: los dos círculos máximos se cortan con un ángulo pequeño, ya que las orientaciones difieren solo en $8{}^{\circ}$ a lo largo de $26{}^{\circ}$ de frontera. Cambiar cualquiera de las orientaciones en un grado desplaza el polo unos $15{}^{\circ}$. Las determinaciones reales combinan muchas transformantes con velocidades de expansión, cuya variación a lo largo de la frontera fija la distancia angular al polo.

Ejercicio 12.12 ★★★

La posición hacia el este de una estación, cada tres meses durante tres años, es (en milímetros, desde $t = 0$):

$t$ (yr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

Se compone de un movimiento estable, de una oscilación estacional y de un salto causado por un terremoto. (a) Calcúlese la velocidad a partir de las posiciones primera y última. (b) Calcúlense las nueve diferencias entre posiciones separadas exactamente un año, y su mediana. (c) Explíquese por qué la mediana de las diferencias anuales es una estimación robusta de la velocidad estable, y cuándo fallaría.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

(a) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Las diferencias separadas exactamente un año son $24 - 4 = 20$, $25 - 5 = 20$, $26 - 6 = 20$, $65 - 15 = 50$, $74 - 24 = 50$, $75 - 25 = 50$, $76 - 26 = 50$, $85 - 65 = 20$ y $94 - 74 = 20$ (mm). Ordenadas: cinco valores de 20 y cuatro de 50; la mediana es $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Dos posiciones separadas un año están en la misma fase de la oscilación estacional, que se cancela en su diferencia. Un salto afecta solo a los pares que lo cruzan; aquí, cuatro de los nueve. Mientras menos de la mitad de los pares cruce un salto, la mediana lo ignora, mientras que la estimación de los extremos del apartado (a) toma todo el salto como movimiento y resulta un $50\,\%$ demasiado alta. El método falla cuando los saltos son tan frecuentes que la mayoría de los pares anuales contienen uno, o cuando la estación se mueve de forma irregular, por ejemplo tras un gran terremoto.

12.7 Problema: Islandia se separa

Problema 12.1

Problema de fin de semana — la apertura del Atlántico norte a través de Islandia, medida de tres maneras

Islandia se asienta sobre la dorsal medioatlántica, entre la placa norteamericana al oeste y la placa euroasiática al este. Tómese $R = 6371\,\mathrm{km}$ y, para Eurasia respecto de Norteamérica, el vector de Euler con su polo en $61.8{}^{\circ}$ N, $139.6{}^{\circ}$ E y la velocidad $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Parte I — El vector de placa.

1. Conviértase la velocidad a $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y calcúlese $\omega R$ en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
2. Calcúlese la distancia angular $\Delta$ del polo al centro de Islandia, $64.5{}^{\circ}$ N, $18{}^{\circ}$ W.
3. Dedúzcase la velocidad de expansión total a través de Islandia que predice el vector de placa.
4. Calcúlese el acimut del polo visto desde Islandia, y el acimut del movimiento de Eurasia respecto de Norteamérica.
5. Descompóngase esta velocidad en sus componentes hacia el este y hacia el norte.
6. En la dorsal de Gakkel, a $86{}^{\circ}$ N, $60{}^{\circ}$ E, ¿qué velocidad da el mismo vector? ¿Por qué la frontera allí es tanto más lenta?

Parte II — Las franjas magnéticas. Un perfil magnético de un barco a través de la dorsal de Reykjanes, al suroeste de Islandia hacia $63{}^{\circ}$ N, $23{}^{\circ}$ W, recorrido en la dirección de expansión, da las siguientes distancias desde el eje a tres límites de crones (un perfil construido para este problema):

límite	edad (Ma)	al oeste del eje (km)	al este del eje (km)
base de C1n	0.781	9.7	10.1
borde joven de C2An	2.581	26.8	27.3
borde joven de C5n	9.779	94	97

7. Desde el borde joven de C5n, calcúlense las dos velocidades de expansión medias.
8. Dedúzcase la velocidad de expansión total desde $9.8\,\mathrm{Ma}$.
9. Calcúlese también la velocidad total a partir de los dos límites más jóvenes. ¿Concuerdan las tres? Descríbase cómo cambian con la edad del límite.
10. ¿Es simétrica la expansión? ¿Cambia la asimetría la velocidad total?
11. En la dorsal de Reykjanes, los límites entre franjas están desplazados hacia fuera del eje $5.0\,\mathrm{km}$ en total, en ambos flancos juntos. Corríjanse las tres velocidades totales. ¿Por qué la corrección importó más para el límite más joven?
12. ¿Cuál es la anchura de la franja del subcron de Jaramillo ($1.072\text{ a }0.988\,\mathrm{Ma}$) en cada flanco, con la velocidad media corregida? Compárese con el desplazamiento de la pregunta 11. La anomalía de Jaramillo se reconoce, no obstante, con claridad en los perfiles de la dorsal de Reykjanes, pero falta en la dorsal de Gakkel: ¿qué sugiere eso?
13. El vector de placa predice $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en el perfil. Compárese con sus velocidades corregidas.

Parte III — Los satélites. Las estaciones permanentes REYK (Reikiavik, $64.139{}^{\circ}$ N, $21.955{}^{\circ}$ W) y STAS (Stavanger, $59.018{}^{\circ}$ N, $5.599{}^{\circ}$ E) se sitúan en las placas norteamericana y euroasiática. Sus velocidades medidas hacen que la recta entre ellas se alargue $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Calcúlese la distancia angular entre las dos estaciones, y la longitud de la recta.
15. ¿Cuánto tarda la recta en alargarse un metro?
16. El vector de placa da a STAS una velocidad de $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $114.8{}^{\circ}$ respecto de Norteamérica. El círculo máximo desde REYK llega a STAS con rumbo a $123.1{}^{\circ}$. Calcúlese la componente de la velocidad a lo largo de esta dirección, y después el alargamiento previsto de la recta, que forma el ángulo $\Delta/2$ con la horizontal en STAS.
17. Compárense el alargamiento medido y el previsto. ¿Qué podría explicar la diferencia?
18. Respecto de Norteamérica, REYK se mueve $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el oeste y $0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur, y la estación HOFN (Höfn, sureste de Islandia) a $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el este y $6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur. Calcúlense la velocidad y el acimut de HOFN respecto de REYK.
19. Compárese con la Parte I. HOFN también se eleva $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. ¿Por qué las estaciones dentro de Islandia son una mala medida del movimiento de la placa?

Parte IV — Diez millones de años, y la unión del sur.

20. En $10\,\mathrm{Myr}$, ¿qué ángulo gira Eurasia respecto de Norteamérica alrededor del polo?
21. ¿Cuánto recorre un punto de Eurasia en el centro de Islandia a lo largo de su círculo menor en ese tiempo? Compárese con la anchura corregida de la corteza formada desde el borde joven de C5n en la Parte II.
22. En la unión triple de las Azores, los vectores de placa dan a Eurasia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $95.1{}^{\circ}$ y a Nubia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $103.8{}^{\circ}$, ambos respecto de Norteamérica. Calcúlese la velocidad de Eurasia respecto de Nubia.
23. ¿Es estable esta unión? ¿Qué tipo de frontera implica entre Eurasia y Nubia la velocidad de la pregunta 22?
24. Reúnanse las velocidades de apertura de las Partes I, II y III. ¿Cuáles concuerdan, y qué método mide el movimiento de las placas en el intervalo de tiempo más corto?
25. Con precisión de milímetro por año, ¿qué velocidad de expansión total a través de Islandia dan a la vez el vector de placa y las franjas magnéticas corregidas?

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$, así que $\Delta = 52.60{}^{\circ}$.

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. El numerador es $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$ y el denominador

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

ambos son positivos, así que $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$. Eurasia se mueve hacia $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$.

5. Este: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; norte: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, es decir $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia el sur.

6. $\cos\Delta = 0.8851$, $\Delta = 27.74{}^{\circ}$, $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Las dos placas giran alrededor de un polo en el este de Siberia: la dorsal de Gakkel está cerca de él, y la velocidad cae con $\sin\Delta$ aunque las placas sean las mismas.

7. Oeste: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; este: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

9. Desde C2An: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; desde la base de C1n: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. No concuerdan: cuanto más joven es el límite, mayor es la velocidad. Un cambio real de velocidad es posible, pero un exceso constante en las distancias, el mismo a todas las edades, produciría exactamente esto.

10. La razón entre las distancias del oeste y del este es de 0.96 a 0.98: el flanco este ha crecido algunos por ciento más. La velocidad total depende solo de la suma de las dos distancias, así que la asimetría no la cambia.

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Los tres concuerdan ahora dentro de $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Los mismos $5\,\mathrm{km}$ son un cuarto de los $19.8\,\mathrm{km}$ del par más joven, pero menos del $3\,\%$ de los $191\,\mathrm{km}$ del más antiguo; los límites antiguos dan las velocidades más fiables.

12. La velocidad media corregida es $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y $9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$, un tercio de los $2.5\,\mathrm{km}$ en que se desplaza cada límite. Se esperaría que una franja tan estrecha se difuminara. Que se reconozca en la dorsal de Reykjanes, mientras que falta en la dorsal de Gakkel, escasa de magma, sugiere que un suministro abundante de magma registra el campo fielmente incluso en franjas estrechas.

13. Las velocidades corregidas, de 18.95 a $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, concuerdan con los $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ del vector de placa; sin la corrección lo superaban en un 3 a un 33 por ciento.

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$, así que $\Delta = 13.94{}^{\circ}$; la recta es $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$.

15. $1000/17.5 = 57$ años.

16. Las dos direcciones difieren en $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$: la componente horizontal a lo largo del círculo máximo es $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y a lo largo de la recta $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, unos $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

17. La recta se alarga $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $6\,\%$ menos que los $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ predichos. Ambas estaciones están lejos de la frontera de placas, así que la diferencia no es local. O bien las placas se mueven hoy algo más despacio que de media en los últimos tres millones de años, o una de las dos estimaciones lleva un pequeño error sistemático; las medidas por sí solas no lo dicen. Un vector de Euler calculado solo con posicionamiento por satélite predice $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ para esta recta, cerca del valor medido.

18. Este: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; norte: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Velocidad $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, hacia $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$.

19. La dirección es cercana a los $103{}^{\circ}$ del vector de placa, pero la velocidad supera sus $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en un cuarto. Ambas estaciones están dentro de la zona donde la frontera se deforma, y Höfn, cerca del mayor casquete, se mueve con el rebote de la corteza a medida que el hielo adelgaza: hacia arriba $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y lateralmente, alejándose del hielo. Las estaciones dentro de la zona de frontera miden el movimiento de la placa más la deformación local.

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$.

21. El punto recorre un círculo menor de radio $R\sin\Delta$: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$. La anchura corregida de la corteza formada desde el borde joven de C5n, $186\,\mathrm{km}$ en $9.8\,\mathrm{Myr}$, es casi la misma: el movimiento ha sido estable durante diez millones de años.

22. Componentes (este, norte): Eurasia $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) = (22.81, -2.04)$, Nubia $(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$. Eurasia respecto de Nubia: $(4.16, 2.54)$, es decir $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$, este-nordeste.

23. Una unión de tres dorsales es estable sean cuales sean las velocidades. La velocidad de la pregunta 22 hace que Eurasia y Nubia se separen, de este-nordeste a oeste-suroeste: su frontera en la unión debe abrirse, lentamente; es el rift de Terceira, cuya orientación este-sureste hace que la apertura sea oblicua.

24. Parte I: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en el centro de Islandia ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ en el perfil de la Parte II). Parte II: 18.95 a $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ una vez corregidas. Parte III: la recta Reikiavik–Stavanger se alarga $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, donde el vector de placa predice $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; el par dentro de Islandia da $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, que no es el movimiento de la placa. El vector de placa y las franjas concuerdan; los satélites difieren en un $6\,\%$. Las franjas promedian hasta unos diez millones de años, el vector de placa sobre $3.16\,\mathrm{Myr}$; los satélites miden el movimiento de los últimos veinte a treinta años.

25. El vector de placa da $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a través de Islandia, y las franjas corregidas dan $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ junto a él: con precisión de milímetro por año, la velocidad de expansión total a través de Islandia es $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.