15Puntos calientes y vulcanismo intraplaca

Desde enero de 1983, y durante décadas después, el Kilauea, en la isla de Hawái, entró en erupción casi sin pausa desde un cráter de su zona de rift oriental, Pu‘u ‘O‘o, vertiendo unos $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ de lava al año. El Kilauea se alza en medio de la placa del Pacífico, a miles de kilómetros de cualquier dorsal o fosa. Hacia el noroeste las islas de Hawái son cada vez más antiguas, luego se hunden bajo el mar y la cadena continúa como una línea de volcanes sumergidos durante miles de kilómetros más. La tectónica de placas explica los volcanes en las fronteras de placas; este capítulo trata de los que no explica directamente, los puntos calientes, y de lo que nos dicen a cambio: cómo se mueven las placas sobre el manto profundo, cuánto calor y roca ascienden desde abajo, y cómo se formaron unas pocas enormes emisiones de lava, las grandes provincias ígneas.

Lo que ya sabes

Un punto caliente alimenta volcanes desde lo profundo del manto mientras la placa se mueve sobre él, y la placa se lleva una traza de punto caliente cuyos volcanes son más antiguos con la distancia (libro 1, año 7; libro 2, año 11). Una placa que gira con el vector de Euler $\vec\omega$ se mueve con $\vec v = \vec\omega\times\vec r$, a la velocidad $\omega R\sin\Delta$, perpendicular al círculo máximo que la une con el polo (Capítulo 12); el relieve se sostiene por isostasia (Capítulo 11); la roca caliente es más ligera en la fracción $\alpha\,\Delta T$ (Capítulo 13).

15.1 Puntos calientes y plumas del manto

Definición 15.1 (Punto caliente)

Un punto caliente es una región de vulcanismo cuya posición no depende de las fronteras de placas, activa durante decenas de millones de años, y que se cree alimentada por manto más caliente que el que lo rodea.

Cuántos puntos calientes hay depende de lo que se cuente. La tabla de puntos calientes usada en este capítulo enumera 68, pero sus autores dejan fuera varios rasgos que juzgan que no registran el movimiento de una placa, y clasifican como solo probables algunos de los que conservan. Algunos puntos calientes, entre ellos Hawái, Islandia y Reunión, tienen trazas largas y regulares y una producción grande, como cabría esperar de una fuente profunda; otros son pequeños y de vida corta. La mayoría de los volcanes de punto caliente emiten basalto; donde un punto caliente yace bajo un continente, el basalto caliente funde la corteza, y las grandes erupciones se vuelven riolíticas, como en Yellowstone.

Definición 15.2 (Pluma del manto)

Una pluma del manto es una columna de roca del manto caliente y boyante que asciende desde una capa límite térmica situada en lo profundo del manto. Una pluma nueva tiene una cabeza grande y abultada sobre una cola larga y estrecha, o conducto; una vez que la cabeza se ha extendido bajo la litosfera, la cola sigue llevando magma a la superficie durante decenas de millones de años.

La forma viene del laboratorio. En experimentos en tanque de los años 1970, una capa de fluido ligero y menos viscoso que el fluido que tiene encima ascendía como una bolsa redonda alimentada por un tubo detrás de ella: un hongo. La cabeza de una pluma del manto que llega a la base de la litosfera se extiende y se aplana; la presión baja, y la roca caliente se funde en grandes cantidades. Los basaltos de inundación encajan en el cuadro: su vulcanismo dura unos diez millones de años, pero la mayor parte de su volumen se erupciona en un millón de años o menos, y a menudo van con la ruptura de un continente (Sección 15.4).

¿Cuál es la evidencia de las plumas? Primero, las propias cadenas con progresión de edad, que una fuente estrecha fija bajo una placa en movimiento explica de inmediato (Sección 15.2). Segundo, las lavas de algunos puntos calientes llevan relaciones inusualmente altas entre el isótopo ligero y el pesado del helio, interpretadas como la firma de un reservorio profundo que ha conservado parte del gas con el que se formó la Tierra. Tercero, las fuentes son calientes: las lavas de islas oceánicas y mesetas apuntan a un manto de 200 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más caliente que el manto bajo las dorsales, cuya temperatura potencial está entre 1280 y $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Cuarto, las imágenes sísmicas del manto: bajo Hawái, una red de sismómetros en el fondo marino y en las islas captó una columna caliente que desciende hasta el manto inferior, y un modelo de todo el manto construido en 2015 a partir de formas de onda sísmicas completas muestra columnas amplias, casi verticales, bajo muchos de los grandes puntos calientes, que ascienden desde la frontera núcleo–manto hasta unos $1000\,\mathrm{km}$ bajo la superficie; bajo Hawái, Islandia y Samoa tienen raíz en parches de velocidad sísmica muy baja en la base del manto. Cómo se hacen estas imágenes pertenece al libro de tercer año universitario.

Nada de esto es una prueba, y el debate sigue vivo. En la hipótesis de placa, defendida entre otros por Gillian Foulger y James Natland, el vulcanismo de los puntos calientes no es especialmente caliente y no necesita una pluma profunda: es un subproducto de la tectónica de placas, alimentado desde fuentes someras allí donde la litosfera se estira o se fractura. Sus oponentes sostienen que la evidencia de al menos algunas plumas profundas es fuerte, aunque las imágenes sísmicas aún no son lo bastante nítidas para zanjarlo; y los puntos calientes, como muestra la sección siguiente, no están del todo fijos.

15.2 Trazas de puntos calientes y movimiento de las placas

Definición 15.3 (Traza de punto caliente; progresión de edad)

Una traza de punto caliente es la línea de volcanes, montes submarinos y crestas volcánicas que una placa lleva lejos de un punto caliente al moverse sobre él. Su progresión de edad es el aumento regular de las edades de sus volcanes con la distancia al activo. La dirección de una traza en el punto caliente es el acimut, medido desde el norte, hacia el que su parte joven se aleja del punto caliente.

Si los puntos calientes se mantienen fijos en el manto profundo, una traza registra el movimiento de la placa sobre el manto profundo: su dirección es la de la velocidad de la placa en el punto caliente, y su progresión de edad da la velocidad. El libro 2, año 11, leyó la velocidad de la placa del Pacífico a partir de las edades de los volcanes de Hawái. Las direcciones por sí solas dicen ya más: dan el polo de Euler.

Proposición 15.4 (El polo de Euler a partir de dos trazas)

Sea una placa rígida que se mueve sobre dos puntos calientes fijos en las posiciones $\vec r_1$ y $\vec r_2$, y sean $\vec t_1$ y $\vec t_2$ los vectores unitarios horizontales a lo largo de sus trazas. Si $\vec t_1$ y $\vec t_2$ no son paralelos, el vector de Euler de la placa respecto de los puntos calientes es paralelo a $\vec t_1\times\vec t_2$, y su polo es el vector unitario

$$\vec p = \pm\frac{\vec t_1\times\vec t_2}{\lVert\vec t_1\times\vec t_2\rVert},$$

con el signo para el que $(\vec p\times\vec r_1)\cdot\vec t_1 > 0$.

Para usar la proposición se necesitan, en un punto de latitud $\varphi$ y longitud $\lambda$, los vectores unitarios hacia el este y el norte,

en los ejes de Capítulo 12 ($x$ hacia $0{}^{\circ}$ N $0{}^{\circ}$ E, $y$ hacia $0{}^{\circ}$ N $90{}^{\circ}$ E, $z$ hacia el polo norte). Una traza de acimut $\theta$ corre a lo largo de $\vec t = \sin\theta\,\vec e + \cos\theta\,\vec n$. Con la traza de Hawái, acimut $304{}^{\circ}$, y la traza de Louisville, acimut $316{}^{\circ}$, la proposición sitúa el polo de la placa del Pacífico en $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E (el problema de fin de semana hace el cálculo).

Dos trazas determinan el polo, pero no lo ponen a prueba. Muchas trazas lo sobredeterminan, y el desajuste dice si los puntos calientes se comportan como un marco fijo. W. Jason Morgan, que propuso las plumas profundas, y Jason Phipps Morgan compilaron en 2007 una tabla de 68 puntos calientes, con, donde pudieron medirse, la dirección de la traza y la velocidad de la placa sobre el punto caliente, cada una con su incertidumbre y un peso según su fiabilidad; un punto caliente bajo dos placas, como lo está Islandia, tiene una línea para cada una. Quince trazas ponderadas yacen sobre la placa del Pacífico, trece de ellas con una velocidad.

Método 15.5 (Ajuste de un polo de Euler y una velocidad a las trazas de puntos calientes)

Dados, para $N$ puntos calientes de una placa, las posiciones, las direcciones de las trazas $\theta_i \pm \sigma_i$ con pesos $w_i$, y para algunos de ellos las velocidades $v_i$:

1. Para un polo de prueba $\vec p$, calcúlese en cada punto caliente la dirección de $\vec p\times\vec r_i$, el acimut $\hat\theta_i$ del movimiento que predice (Proposición 12.5).
2. Fórmese el desajuste $S(\vec p) = \sum_i w_i\bigl((\hat\theta_i - \theta_i)/\sigma_i\bigr)^2$, con cada diferencia llevada entre $-180{}^{\circ}$ y $180{}^{\circ}$.
3. Búsquese el polo que minimiza $S$: en una malla de toda la esfera, y luego en una malla más fina alrededor del mejor punto.

4. Con el polo hallado, calcúlese para cada punto caliente con velocidad su distancia angular $\Delta_i$ al polo y $x_i = R\sin\Delta_i$. Las velocidades deben ser $v_i = \omega x_i$: la velocidad de mínimos cuadrados es

   $$\omega = \frac{\sum_i x_i v_i}{\sum_i x_i^2},$$

   ya que $\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\sum_i (v_i - \omega x_i)^2 = -2\sum_i x_i(v_i - \omega x_i)$ se anula allí.

5. Juzgúese el ajuste: si los puntos calientes fueran fijos y las incertidumbres honestas, $S$ estaría cerca del número de direcciones menos dos (las dos coordenadas del polo ajustado).

Para las quince trazas del Pacífico, el método da el polo $63.8{}^{\circ}$ S, $112.5{}^{\circ}$ E, a unos $10{}^{\circ}$ del polo de dos trazas, y a partir de las trece velocidades la velocidad $\omega = 0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. En Hawái, a $108.0{}^{\circ}$ del polo, el ajuste predice un movimiento hacia $298{}^{\circ}$ a $97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; Morgan y Morgan dan $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ y $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. El desajuste $S$ es 39, donde unos puntos calientes fijos con incertidumbres honestas darían unos 13, y las velocidades se dispersan alrededor de la recta $16\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ (valor cuadrático medio): los puntos calientes del Pacífico forman un marco de referencia bueno a unos pocos grados y a unos pocos centímetros al año, no mejor.

La prueba más conocida del marco fijo es la curva de la cadena Hawái–Emperador. La rama hawaiana corre hacia el noroeste; los montes submarinos Emperador corren casi hacia el norte, hasta el monte Meiji, de más de 81 millones de años, que está a punto de hundirse en la confluencia de las fosas de Kuriles–Kamchatka y de las Aleutianas. ¿Fue la curva un cambio en el movimiento de la placa? La imantación de las lavas del Emperador, medida en testigos perforados en los montes submarinos, registra la latitud a la que se enfrió cada una (el método pertenece al libro de tercer año universitario): se formaron más al norte de donde está hoy Hawái, y entre 81 y 47 millones de años atrás el propio punto caliente se desplazó hacia el sur a más de $40\,\mathrm{mm}$ al año. Gran parte de la cadena Emperador registra el punto caliente, no la placa. Sin embargo, la placa también cambió: nuevas edades sitúan el comienzo de la curva cerca del monte Kimmei, hace unos 50 millones de años, cuando se realinearon las dorsales de expansión del Pacífico. La pluma puede incluso ser más antigua que la cadena: se cree que la cabeza que la alimentó primero formó una meseta hace unos 100 millones de años, que se hundió en una fosa hace 20 a 30 millones de años y que yace hoy a unos $810\,\mathrm{km}$ de profundidad bajo Siberia, al oeste del mar de Ojotsk.

Las trazas de puntos calientes también cruzan continentes. Mientras la placa norteamericana se desplazaba hacia el suroeste sobre el punto caliente de Yellowstone, se formó una cadena de grandes calderas, cada vez más antiguas hacia el suroeste a lo largo de la llanura del río Snake. En su extremo lejano, en la frontera de Nevada y Oregón, la caldera de McDermitt, de unos $40\,\mathrm{km}$ de ancho, se hundió hace 16.4 millones de años en una erupción de unos $1000\,\mathrm{km}^{3}$. En el propio Yellowstone, la primera de tres erupciones formadoras de caldera, hace 2.1 millones de años, liberó unos $2400\,\mathrm{km}^{3}$ de magma y dejó una caldera de más de $100\,\mathrm{km}$ de ancho; la última, hace 640 000 años, dio la caldera actual de Yellowstone, de $55\,\mathrm{km}$ por 80. Desde hace 10 millones de años el inicio de las erupciones de caldera se ha desplazado hacia el noreste a $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ al año, y Morgan y Morgan dan a la placa una velocidad de $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ sobre el punto caliente, hacia $235{}^{\circ}$; las calderas más antiguas, como muestra Ejercicio 15.8, se movieron más deprisa.

15.3 Abultamientos, flotabilidad y suministro de magma

Hawái no se alza sobre fondo oceánico ordinario. En 1953 Robert Dietz y William Menard describieron la amplia elevación del fondo marino sobre la que se asientan las islas, el abultamiento hawaiano. El abultamiento no está compensado por corteza gruesa: lo sostiene desde abajo la roca caliente y ligera de la pluma a medida que se extiende bajo la placa, un soporte dinámico. Sobre el abultamiento el flujo de calor en superficie es como mucho de 5 a $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ más alto que alrededor, y quizá no más alto en absoluto.

Su forma puede leerse en la malla global de profundidades. Tómense secciones a través de la traza, perpendiculares a su dirección, cada $50\,\mathrm{km}$ desde el punto caliente hasta $1000\,\mathrm{km}$ aguas abajo; a cada distancia del eje de la cadena, la mediana de las profundidades en estas secciones da un perfil que conserva el abultamiento y suaviza los volcanes aislados (la figura tras la siguiente proposición). Lejos de la cadena, de $1000\,\mathrm{km}$ a $1500\,\mathrm{km}$ a cada lado, el fondo yace a $5274\,\mathrm{m}$. Cerca de ella, las islas y los montes submarinos se alzan hasta $3\,\mathrm{km}$ más alto; sustitúyanse por una recta a través de los $300\,\mathrm{km}$ de la cadena, y lo que queda es el abultamiento: de unos $690\,\mathrm{m}$ de altura como mucho, de unos cientos de kilómetros de ancho a cada lado, con una sección de $A \approx 4.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ sobre el fondo lejano.

El abultamiento mide la pluma. Se lleva con la placa y se rehace sobre el punto caliente, así que la pluma debe suministrar flotabilidad tan deprisa como la placa se la lleva.

Proposición 15.6 (Flujo de flotabilidad de una pluma)

Sea una placa que se mueve a la velocidad $v$ sobre un punto caliente, y sea el abultamiento alrededor de la traza de sección $A$ sobre el fondo lejos de él, estando el abultamiento en equilibrio isostático (Definición 11.3) y sostenido por roca ligera que se lleva junto con la placa. Entonces la pluma aporta un déficit de masa, su flujo de flotabilidad, a razón de

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,v ,$$

donde $\rho_m$ es la densidad del manto y $\rho_w$ la del agua de mar.

Un flujo de flotabilidad es un flujo de masa faltante: cuenta cuán deprisa la pluma sube roca ligera. Lo que hace ligera la roca es el calor, así que el flujo de flotabilidad es también un flujo de calor.

Proposición 15.7 (Calor transportado por una pluma)

Si la roca de una pluma está $\Delta T$ más caliente que el manto que la rodea, con el coeficiente de dilatación térmica $\alpha$ y el calor específico $c_p$, su flujo de flotabilidad $B$ y el calor en exceso que transporta, $Q$, satisfacen

$$Q = \frac{c_p}{\alpha}\,B ,$$

cualquiera que sea $\Delta T$.

Para Hawái, con $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $A = 4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ y $v = 92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$,

la pluma aporta unas tres toneladas de masa faltante cada segundo. Las rocas almacenan de 2 a $3\,\mathrm{MJ}$ por metro cúbico y por kelvin; con $3\,\mathrm{MJ}$, el manto, de densidad $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, tiene $c_p \approx 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$; con $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$,

$0.2\,\%$ de los $47\,\mathrm{TW}$ que salen de toda la Tierra. La pluma más fuerte de la Tierra es un elemento pequeño en el balance térmico del planeta (Capítulo 10); la mayor parte del calor sale a través del fondo oceánico formado en las dorsales.

El magma cuenta la misma historia. Desde hace 81 millones de años el punto caliente ha construido la cadena Hawái–Emperador, unos dos millones de kilómetros cúbicos de basalto una vez contado el hundimiento de la placa bajo su carga, un promedio de $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ al año; pero cerca de un cuarto de ello se erupcionó en los últimos seis millones de años, y el Kilauea solo recibe hoy unos $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ de magma al año. El Mauna Loa, el mayor volcán de las islas, contiene unos $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$, y el Mauna Kea, su vecino, se alza $4205\,\mathrm{m}$ sobre el mar. Sin embargo, las dorsales producen unos $21\,\mathrm{km}^{3}$ de corteza oceánica al año, doscientas veces el suministro actual del Kilauea.

Historia — Un marco fijo para las placas

En 1963 John Tuzo Wilson explicó las islas hawaianas, cada vez más antiguas a lo largo de una línea, por una fuente de lava mantenida en el núcleo lento de una celda de convección del manto, mientras que la parte superior más rápida de la celda llevaba el fondo oceánico sobre ella. En 1971 y 1972 W. Jason Morgan convirtió esa fuente en una pluma, de unos $150\,\mathrm{km}$ de ancho, que asciende desde la parte más baja del manto y así casi fija mientras las placas se mueven sobre ella; los experimentos en tanque pronto mostraron cómo se ve una pluma así. Los puntos calientes se volvieron un marco en el que las placas podían medirse frente al manto, no solo unas frente a otras. Medio siglo después se sabe que el marco se desplaza, el punto caliente hawaiano entre otros, pero con la lentitud suficiente para que las trazas del Pacífico sigan dando el movimiento de la placa sobre el manto con unos pocos grados y unos pocos centímetros al año, como mostró el ajuste de este capítulo.

15.4 Grandes provincias ígneas

Definición 15.8 (Gran provincia ígnea)

Una gran provincia ígnea (LIP) es una acumulación de roca ígnea, en su mayor parte basalto, que no se forma por la expansión ordinaria en una dorsal, cubre más de $10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, contiene más de $10^{5}\,\mathrm{km}^{3}$ y se emplazó en como máximo unos 50 millones de años, la mayor parte en pulsos de 1 a 5 millones de años que llevan más de tres cuartos de su volumen. En tierra las LIP son sobre todo basaltos de inundación; en los océanos, mesetas oceánicas.

Un LIP típico cubre cerca de un millón de kilómetros cuadrados y contiene cerca de un millón de kilómetros cúbicos de lava, la mayor parte erupcionada en un millón de años o menos. Sus lavas se apilan en coladas casi planas, que la erosión corta en escalones, los traps que dan nombre a estas provincias. La tabla enumera las principales de los últimos 260 millones de años.

provincia	edad (Ma)	área ($\mathrm{Mkm}^{2}$)	primer volumen ($\mathrm{Mkm}^{3}$)
Columbia River	16	0.2	0.2
Etiopía–Yemen	30	0.7	1.2
Atlántico Norte	61 y 56	1.2	más de 2
Deccan	65.5	0.5 (una vez 1.8)	de 2 a 4
Ontong Java	122 y 90	2	44 (corteza entera)
Paraná–Etendeka	133	1.5 (una vez más de 2)	más de 2.3
Karoo–Ferrar	183	3.1	más de 2.5
Atlántico Central (CAMP)	201	una vez hasta 7	más de 2
Traps siberianos	250	0.4 (una vez más de 4)	más de 3
Emeishan	259	0.5 (una vez de 2 a 5)	más de 1

El modelo de pluma esbozado en Sección 15.1 explica tanto el tamaño como la prisa: una cabeza de pluma de cientos de kilómetros de ancho llega a la base de la litosfera, se descomprime y se funde, e inunda la superficie; después la cola sigue construyendo una traza ordinaria de punto caliente. Se cree que varias provincias yacen en el extremo antiguo de una traza viva: las trampas del Deccan y el punto caliente de Reunión, Paraná–Etendeka y Tristán da Cunha, unidas por la dorsal de Walvis, y los basaltos del Columbia River y Yellowstone.

Las trampas del Deccan del centro-oeste de la India son una pila de coladas de lava de unos $2500\,\mathrm{m}$ de espesor, de los cuales al menos $1800\,\mathrm{m}$ se erupcionaron hace cerca de 65.5 millones de años, en mucho menos de un millón de años; hoy cubren unos $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, quizá $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ antes de la erosión. La meseta de Ontong Java, en el suroeste del Pacífico, es la mayor de todas las mesetas oceánicas: cubre unos $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, y su corteza, de unos $36\,\mathrm{km}$ de espesor, contiene unos $44\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de roca ígnea. Las mesetas de Manihiki e Hikurangi, hoy alejadas de ella por fondo oceánico más joven, pueden haberse formado junto con ella como una sola meseta. La Provincia Magmática del Atlántico Central, erupcionada hace unos 201 millones de años cuando el Atlántico empezaba a abrirse, está hoy dispersa, en forma de lavas, diques y filones capa, por cuatro continentes: el este de Norteamérica, el noreste de Sudamérica, África occidental y el suroeste de Europa; quizá cubrió en su día hasta $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$.

Varias provincias coinciden en el tiempo con las grandes extinciones masivas que describe la biología: las trampas siberianas con la mayor de todas, al final del Pérmico; la provincia del Atlántico Central con el final del Triásico; las Karoo–Ferrar con una extinción en el Jurásico temprano; las Emeishan con una en el Pérmico medio; y las trampas del Deccan con el final del Cretácico. Las cuatro mayores extinciones de los últimos 260 millones de años caen cada una, tan cerca como permiten fechar, sobre una de estas provincias, y se considera más probable un vínculo causal. Los mecanismos propuestos son atmosféricos: aerosoles de sulfato que enfrían el clima durante poco tiempo, dióxido de carbono que lo calienta durante mucho más, y océanos privados de oxígeno. Para el final del Cretácico, las erupciones del Deccan empezaron antes del impacto de Chicxulub y continuaron después; una revisión de los registros de la frontera concluyó en 2010 que el impacto desencadenó la extinción.

No todo vulcanismo lejos de las fronteras de placas necesita una pluma. Pequeños campos volcánicos crecen donde una placa se estira o se fractura, y las cadenas sin una progresión de edad limpia pueden alimentarse del manto superior; este es el modelo de placa en acción. Lo que llegan a ser las islas oceánicas después de que el punto caliente las ha dejado, al hundirse, desgastarse y crecer arrecifes, pertenece al libro de segundo año universitario.

15.5 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

(a) El Mauna Kea se alza $4205\,\mathrm{m}$ sobre el nivel del mar, y el fondo marino lejos de la cadena hawaiana yace a $5274\,\mathrm{m}$ de profundidad. ¿Cuánto se alza el volcán sobre ese fondo? ¿Por qué su altura real desde su base es aún mayor? (b) El Mauna Loa contiene unos $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$. ¿Cuánto tardaría en construirse con el suministro actual del Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ al año, y con la velocidad media de toda la cadena, $0.025\,\mathrm{km}^{3}$ al año? (c) La erupción del Pu‘u ‘O‘o vertió unos $0.12\,\mathrm{km}^{3}$ al año de 1983 a 2002. ¿Qué volumen es ese, y qué fracción del Mauna Loa?

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

(a) $4205 + 5274 = 9479\,\mathrm{m}$, casi $9.5\,\mathrm{km}$. El volcán es más pesado que el agua que desaloja: la placa se curva hacia abajo bajo su carga, así que su base yace más abajo que el fondo lejano, y su altura real es mayor. (b) $74000/0.1 = 740\,000$ años con el suministro del Kilauea; $74000/0.025 = 3.0 \times 10^{6}$ años con la velocidad media de la cadena. (c) $0.12\times19 = 2.3\,\mathrm{km}^{3}$, unas $3 \times 10^{-5}$ del Mauna Loa: tres milésimas de uno por ciento.

Ejercicio 15.2 ★

Una placa gira sobre los puntos calientes a $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Tómese $R = 6371\,\mathrm{km}$. (a) Exprésese $\omega$ en radianes por millón de años. (b) Calcúlese la velocidad, en $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, de los puntos calientes a $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ y $108.0{}^{\circ}$ del polo. (c) ¿Por qué la velocidad de Hawái, a $108.0{}^{\circ}$, es menor que a $90{}^{\circ}$?

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

(a) $0.92\times\pi/180 = 0.0161\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. (b) En radianes por millón de años por kilómetros, $\omega R\sin\Delta$ está en kilómetros por millón de años, es decir milímetros al año: $0.016057\times6371 = 102.3$, así que $v = 102.3\sin\Delta$, lo que da $51.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $30{}^{\circ}$, $88.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $60{}^{\circ}$, $102.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $90{}^{\circ}$ y $97.3\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $108.0{}^{\circ}$. (c) La velocidad es proporcional a la distancia $R\sin\Delta$ al eje, máxima sobre el círculo máximo a $90{}^{\circ}$ del polo; más allá, el punto se acerca otra vez al eje, del lado del polo opuesto.

Ejercicio 15.3 ★

(a) Calcúlese el espesor medio de las trampas del Deccan tal como son hoy, $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sobre $0.5\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, y el de la provincia del Atlántico Central, $2\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ sobre $7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (b) Compárese con el espesor de la sección del Deccan, $2500\,\mathrm{m}$. (c) ¿Por qué el espesor medio de la provincia del Atlántico Central dice poco sobre el espesor de sus pilas de lava?

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

(a) Deccan: $10^{6}/5 \times 10^{5} = 2\,\mathrm{km}$. Atlántico Central: $2 \times 10^{6}/7 \times 10^{6} = 0.29\,\mathrm{km}$, unos $290\,\mathrm{m}$. (b) La media para el Deccan se acerca a su sección de $2.5\,\mathrm{km}$: la provincia es una meseta gruesa y continua. (c) El área del Atlántico Central es la de toda la región, en cuatro continentes, sobre la que se encuentran sus restos: lavas, diques y filones capa hoy separados por un océano y muy erosionados. La roca se concentra en algunos lugares y falta en la mayor parte del área, así que la media no dice nada de una sola pila.

Ejercicio 15.4 ★

La roca de la pluma, $250\,\mathrm{K}$ más caliente que el manto que la rodea, tiene $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) ¿En cuánto es más ligera, en $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$? (b) ¿Qué espesor de tal roca, extendida bajo la placa, sostendría isostáticamente un abultamiento de $690\,\mathrm{m}$ de altura bajo el mar ($\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

(a) $\rho_m\alpha\,\Delta T = 3300\times3.2 \times 10^{-5}\times250 = 26.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (b) La columna del abultamiento tiene la masa en exceso $(\rho_m - \rho_w)h = 2300\times690 = 1.587 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, que la capa ligera debe equilibrar: $H = 1.587 \times 10^{6}/26.4 = 6.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, unos $60\,\mathrm{km}$ de roca caliente.

Ejercicio 15.5 ★★

Dos puntos calientes yacen en el ecuador, A a $0{}^{\circ}$ E y B a $90{}^{\circ}$ E, y ambas trazas corren hacia el oeste (acimut $270{}^{\circ}$). (a) Calcúlense los vectores de traza $\vec t_A$ y $\vec t_B$. (b) Calcúlese $\vec t_A\times\vec t_B$. (c) Aplíquese la regla de signos de Proposición 15.4: ¿dónde está el polo de Euler? Explíquese el resultado sin cálculo. (d) Si A se mueve a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ¿cuánto vale $\omega$ en grados por millón de años?

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

(a) En A ($\lambda = 0$, $\varphi = 0$), $\vec e = (0, 1, 0)$ y $\vec n = (0, 0, 1)$; con $\sin270{}^{\circ} = -1$ y $\cos270{}^{\circ} = 0$, $\vec t_A = -\vec e = (0, -1, 0)$. En B ($\lambda = 90{}^{\circ}$), $\vec e = (-1, 0, 0)$, $\vec n = (0, 0, 1)$ y $\vec t_B = (1, 0, 0)$. (b) $\vec t_A\times\vec t_B = (0, 0, 1)$. (c) Con $\vec p' = (0, 0, 1)$ y $\vec r_A = (1, 0, 0)$, $\vec p'\times\vec r_A = (0, 1, 0)$, y $(\vec p'\times\vec r_A)\cdot\vec t_A = -1 < 0$: el polo es $-\vec p' = (0, 0, -1)$, el polo sur. Un movimiento hacia el oeste a lo largo del ecuador es horario visto desde encima del polo norte, así que antihorario visto desde encima del polo sur. (d) A $90{}^{\circ}$ del polo, $\omega = 50/6371 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1} = 0.45{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 15.6 ★★

Tres puntos calientes de una placa yacen a las distancias $x = R\sin\Delta = 3000$, 5000 y $6000\,\mathrm{km}$ del eje de rotación y se mueven a 30, 48 y $57\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Ajústese $v = \omega x$ por mínimos cuadrados y dése $\omega$ en radianes y en grados por millón de años. (b) Calcúlense los residuos. (c) ¿Por qué debe pasar la recta por el origen?

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

(a) $\sum x_i v_i = 90000 + 240000 + 342000 = 672\,000$ y $\sum x_i^2 = 7.0 \times 10^{7}$, así que $\omega = 0.0096\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, o $0.55{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. (b) Las predicciones son 28.8, 48.0 y $57.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; los residuos $+1.2$, $0.0$ y $-0.6$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Para una rotación rígida la velocidad es proporcional a la distancia al eje, y un punto sobre el eje no se mueve: no hay ordenada en el origen que ajustar.

Ejercicio 15.7 ★★

Un abultamiento de sección transversal $3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ rodea una traza de punto caliente sobre una placa que se mueve a $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Tómense $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. (a) Calcúlense su flujo de flotabilidad y su flujo de calor. (b) Compárese con el de Hawái, $3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Dos puntos calientes tienen el mismo abultamiento; uno yace bajo una placa que se mueve el doble de deprisa. ¿Qué pluma es más fuerte?

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

(a) $v = 50 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 1.58 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que $B = 2300\times3 \times 10^{8}\times1.58 \times 10^{-9} = 1090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times1090 = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$. (b) Un tercio del flujo hawaiano. (c) $B$ crece con $A\,v$: la pluma bajo la placa más rápida debe rehacer el mismo abultamiento el doble de deprisa, y su flujo es el doble.

Ejercicio 15.8 ★★

A lo largo de la traza de Yellowstone, las erupciones de caldera empezaron en el campo volcánico de McDermitt hace 16.1 millones de años y en el campo de Picabo, unos $350\,\mathrm{km}$ al noreste, hace 10.3 millones de años; desde entonces se han desplazado a $(2.9 \pm 0.5)\,\mathrm{cm}$ al año hacia N $54{}^{\circ}$ E. (a) ¿A qué velocidad media migró el vulcanismo de McDermitt a Picabo? (b) Compárense ambas velocidades con la de la placa sobre el punto caliente, $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $235{}^{\circ}$. (c) ¿Es la dirección de la traza joven la esperada? (d) La parte antigua de la traza yace en una región que se estiró a medida que pasaba el vulcanismo. ¿Cómo puede esto explicar la diferencia?

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

(a) La velocidad es $350/(16.1 - 10.3) = 350/5.8 = 60\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, es decir $60\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) La traza joven, $(29 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, concuerda con los $(26 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ de la placa dentro de las incertidumbres; la parte antigua fue más del doble de rápida, $60 - 26 = 34$, casi siete incertidumbres estándar de la velocidad de la placa. (c) Sí: N $54{}^{\circ}$ E es el acimut $54{}^{\circ}$, opuesto a $235{}^{\circ}$ dentro de un grado. El vulcanismo se mueve sobre la placa en sentido opuesto a la placa sobre el punto caliente. (d) El estiramiento separó las calderas más antiguas, alargando las distancias entre ellas y con ello la velocidad aparente; la placa en sí no fue más rápida.

Ejercicio 15.9 ★★

La pluma de Hawái transporta unos $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$ de calor en exceso. (a) Si todo saliera por los $1000\,\mathrm{km}$ por $1000\,\mathrm{km}$ de fondo marino más cercanos al punto caliente, ¿en cuánto aumentaría el flujo de calor allí? (b) Compárese con el exceso observado, de $5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $10\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ como mucho. (c) ¿Cuánto tarda el calor en difundirse por una placa de $100\,\mathrm{km}$ de espesor ($\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$)? ¿Cuánto tarda la placa en cruzar $1000\,\mathrm{km}$ a $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? Concluya.

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

(a) $9.2 \times 10^{10}/10^{12} = 0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Entre nueve y dieciocho veces el exceso observado, que incluso podría ser nulo. (c) $L^2/\kappa = 10^{10}/10^{-6} = 10^{16}\,\mathrm{s}$, unos $320\,\mathrm{Myr}$; la placa cruza $1000\,\mathrm{km}$ en $1000/92 = 11\,\mathrm{Myr}$. El calor desde abajo ha tenido tiempo de cruzar solo una pequeña parte de la placa mientras esta yace sobre el abultamiento: la mayor parte del calor de la pluma se queda en el manto bajo la placa y se lleva con ella, y la superficie ve poco de él.

Ejercicio 15.10 ★★★

Las trampas del Deccan contienen unos $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ de lava. Supóngase que procedía de una cabeza de pluma esférica de la que se fundió una décima parte. (a) ¿Cuál fue el volumen y el radio de la cabeza? (b) Aplanada bajo la litosfera en un disco de $100\,\mathrm{km}$ de espesor, ¿qué diámetro tendría la cabeza? Compárese su área con el área que las trampas pudieron cubrir en su día, $1.8\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (c) Si la lava se erupcionó en un millón de años, compárese su velocidad con el suministro actual del Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ al año. (d) ¿Por qué una cabeza de pluma debe ser grande, mientras que la cola que sigue es estrecha?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

(a) Diez veces el fundido, $10^{7}\,\mathrm{km}^{3}$, de radio $(3V/4\pi)^{1/3} = 134\,\mathrm{km}$. (b) $10^{7}/100 = 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$, un disco de diámetro $2\sqrt{10^{5}/\pi} = 357\,\mathrm{km}$: dieciocho veces menor en área que las trampas. La cabeza fue mayor o se fundió menos, o se extendió más y más delgada, o las lavas fluyeron mucho más allá de ella. (c) $1\,\mathrm{km}^{3}$ al año, diez veces el suministro actual del Kilauea. (d) Una pluma nueva debe reunir roca caliente y ligera suficiente para abrirse paso hacia arriba a través del manto viscoso, y un volumen grande asciende mucho más deprisa que uno pequeño; la cola que sigue fluye hacia arriba por el camino caliente y débil que ha abierto la cabeza, y basta un conducto estrecho.

Ejercicio 15.11 ★★★

Entre 81 y 47 millones de años atrás el punto caliente de Hawái se desplazó hacia el sur a más de $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (a) Tomando $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, ¿cuánto se desplazó? (b) Supóngase que la placa se movió mientras tanto a $80\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $340{}^{\circ}$ sobre el manto profundo. Con $x$ hacia el este e $y$ hacia el norte, calcúlese la velocidad de la placa respecto del punto caliente que deriva, su velocidad y su acimut. (c) ¿En qué porcentaje, y en cuántos grados, representaría mal el movimiento de la placa sobre el manto profundo una traza construida entonces?

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

(a) $40\,\mathrm{km}\,\mathrm{Myr}^{-1}\times(81 - 47)\,\mathrm{Myr} = 1360\,\mathrm{km}$. (b) La placa se mueve a $(-80\sin20{}^{\circ}, 80\cos20{}^{\circ}) = (-27.4, 75.2)$ y el punto caliente en $(0, -40)$: respecto del punto caliente la placa se mueve a $(-27.4, 115.2)$ $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, una velocidad de $118.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ hacia $360{}^{\circ} - \arctan(27.4/115.2) = 346.6{}^{\circ}$. (c) La traza daría una velocidad $48\,\%$ demasiado alta y una dirección $6.6{}^{\circ}$ demasiado al este: un punto caliente que deriva registra el movimiento de la placa respecto de sí mismo, no respecto del manto profundo.

Ejercicio 15.12 ★★★

(a) Un basalto de inundación de $10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ se enfría desde unos $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta la temperatura de la superficie. Con una capacidad calorífica de $3\,\mathrm{MJ}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, ¿cuánto calor libera (sin contar el calor latente de cristalización)? (b) Repartido en un millón de años, ¿qué potencia es? Compárese con la pluma de Hawái, $9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, y con los $47\,\mathrm{TW}$ de toda la Tierra. (c) Una cabeza de pluma también calienta la base de la litosfera sin fundir toda ella. ¿Es la potencia de (b) una cota superior o inferior del calor que aporta la cabeza?

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

(a) $3 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}\times1300\,\mathrm{K}\times10^{15}\,\mathrm{m}^{3} = 3.9 \times 10^{24}\,\mathrm{J}$. (b) En $3.16 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $1.2 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$: casi el calor que transporta hoy la pluma hawaiana (1.3 veces), y $0.26\,\%$ de los $47\,\mathrm{TW}$ de la Tierra. (c) Una cota inferior: la cabeza también eleva el calor en exceso de los nueve décimos de su roca que no se funde, y calienta la base de la litosfera; el calor latente se ha dejado fuera.

15.6 Problema: el velocímetro de la placa del Pacífico

Problema 15.1

Problema de fin de semana — el polo de Euler de la placa del Pacífico a partir de dos trazas de puntos calientes, su velocidad a partir de una tercera medición, una prueba con otros puntos calientes, y la flotabilidad y el suministro de la pluma de Hawái

Morgan y Morgan sitúan el punto caliente de Hawái en $19.0{}^{\circ}$ N, $155.2{}^{\circ}$ W, con una traza hacia $304{}^{\circ}\pm3{}^{\circ}$ y una velocidad de $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y el punto caliente de Louisville en $53.6{}^{\circ}$ S, $140.6{}^{\circ}$ W, con una traza hacia $316{}^{\circ}\pm5{}^{\circ}$ y una velocidad de $(67 \pm 5)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Úsense los ejes y los vectores $\vec e$, $\vec n$, $\vec t$ de Sección 15.2, con $R = 6371\,\mathrm{km}$. Dense las componentes con cuatro decimales.

Parte I — El polo a partir de dos trazas.

1. Calcúlense $\vec r$, $\vec e$ y $\vec n$ en Hawái, y luego el vector de traza $\vec t_H$.
2. Hágase lo mismo en Louisville: $\vec r_L$, $\vec e$, $\vec n$ y $\vec t_L$.
3. Compruébese que $\vec t_H$ es un vector unitario perpendicular a $\vec r_H$.
4. Calcúlense $\vec t_H\times\vec t_L$ y su longitud. ¿Qué ángulo forman los dos vectores de traza?
5. Normalícese el producto vectorial y aplíquese la regla de signos de Proposición 15.4.
6. Dése la latitud y la longitud del polo de Euler de la placa del Pacífico respecto de los puntos calientes.

Parte II — La velocidad.

7. Calcúlense las distancias angulares $\Delta_H$ y $\Delta_L$ del polo a los dos puntos calientes.
8. Calcúlese $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L$. Explíquese por qué es igual a $\sin\Delta_L$, y qué dice su signo sobre el movimiento en Louisville.
9. A partir de la velocidad en Louisville, calcúlese $\omega$ en radianes y en grados por millón de años.
10. ¿Cuánto tarda la placa del Pacífico en dar una vuelta completa alrededor de este polo?
11. El polo de mínimos cuadrados de las quince trazas del Pacífico yace en $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E, con $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$. Calcúlese el ángulo entre los dos polos y compárense las dos velocidades.

Parte III — Una prueba con otros tres puntos calientes. Morgan y Morgan dan el punto caliente de la Sociedad ($18.2{}^{\circ}$ S, $148.4{}^{\circ}$ W) $(109 \pm 10)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn ($25.4{}^{\circ}$ S, $129.3{}^{\circ}$ W) $(90 \pm 15)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y Cobb ($46.0{}^{\circ}$ N, $130.1{}^{\circ}$ W) $(43 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. Calcúlese la distancia angular desde el polo de la pregunta 6 a cada uno de los tres puntos calientes.
13. Prevéanse las tres velocidades con la velocidad de la pregunta 9.
14. ¿Qué predicciones concuerdan con las velocidades medidas dentro de sus incertidumbres, y cuáles no?
15. Dos trazas de direcciones distintas siempre dan un polo. ¿Por qué dos trazas casi paralelas son una mala elección?

Parte IV — La pluma y el velocímetro. El abultamiento hawaiano tiene la sección transversal $4.83 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$. Tómense $\rho_m - \rho_w = 2300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c_p = 910\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $\alpha = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$.

16. Conviértanse $92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ a $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y calcúlese el flujo de flotabilidad de la pluma de Hawái.
17. Calcúlese el calor en exceso que transporta, y compárese con los $47\,\mathrm{TW}$ que salen de la Tierra.
18. Las dorsales producen unos $21\,\mathrm{km}^{3}$ de corteza al año a lo largo de unos $67\,000\,\mathrm{km}$. ¿Qué longitud de dorsal produce tanta corteza como la que recibe el Kilauea, $0.1\,\mathrm{km}^{3}$ al año?
19. A ese ritmo, ¿cuánto tardaría en crecer el Mauna Loa, de unos $74\,000\,\mathrm{km}^{3}$?
20. El punto caliente construyó unos $2 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{3}$ de la cadena en 81 millones de años. Calcúlese su producción media y compárese con el suministro actual del Kilauea.
21. Con el polo y la velocidad de las partes I y II, calcúlese la velocidad que predice la traza de Louisville para la placa del Pacífico sobre el punto caliente de Hawái.
22. Compárese con la velocidad medida, $(92 \pm 3)\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: ¿en cuánto, y en cuántas incertidumbres estándar, difieren?
23. A partir de las edades de los volcanes hawaianos, el libro 2 halló $9.1\,\mathrm{cm}$ al año, y los autores de las edades, ajustando toda la cadena, $8.6\,\mathrm{cm}$ al año. Compárense estos promedios de decenas de millones de años con las dos velocidades del punto caliente.
24. Con un decimal, en centímetros al año, ¿qué velocidad da la traza de Louisville a la placa del Pacífico sobre el punto caliente de Hawái?

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. En Hawái ($\varphi = 19.0{}^{\circ}$, $\lambda = -155.2{}^{\circ}$), con $\sin304{}^{\circ} = -0.8290$ y $\cos304{}^{\circ} = 0.5592$:

$$\begin{aligned} \vec r_H &= (-0.8583,\ -0.3966,\ 0.3256), & \vec e &= (0.4195,\ -0.9078,\ 0),\\ \vec n &= (0.2955,\ 0.1366,\ 0.9455), & \vec t_H &= (-0.1825,\ 0.8289,\ 0.5287). \end{aligned}$$

2. En Louisville ($\varphi = -53.6{}^{\circ}$, $\lambda = -140.6{}^{\circ}$), con $\sin316{}^{\circ} = -0.6947$ y $\cos316{}^{\circ} = 0.7193$:

$$\begin{aligned} \vec r_L &= (-0.4586,\ -0.3767,\ -0.8049), & \vec e &= (0.6347,\ -0.7727,\ 0),\\ \vec n &= (-0.6220,\ -0.5109,\ 0.5934), & \vec t_L &= (-0.8883,\ 0.1693,\ 0.4269). \end{aligned}$$

3. $\lVert\vec t_H\rVert^2 = 0.0333 + 0.6871 + 0.2795 = 0.9999$ y $\vec t_H\cdot\vec r_H = 0.1566 - 0.3287 + 0.1721 = 0.0000$, dentro del redondeo.

4. $\vec t_H\times\vec t_L = (0.2643, -0.3917, 0.7054)$, de longitud $0.8491$. El ángulo entre las trazas es $\arcsin0.8491 = 58.1{}^{\circ}$ (su producto escalar, $0.528$, es positivo, así que el ángulo es agudo).

5. $\vec p' = (0.3113, -0.4613, 0.8308)$. Entonces $(\vec p'\times\vec r_H)\cdot\vec t_H = -0.98 < 0$: el polo es $\vec p = (-0.3113, 0.4613, -0.8308)$.

6. $\arcsin(-0.8308) = -56.18{}^{\circ}$ y $\operatorname{atan2}(0.4613, -0.3113) = 124.01{}^{\circ}$: el polo yace en $56.2{}^{\circ}$ S, $124.0{}^{\circ}$ E, en el océano Austral al sur de Australia.

7. $\vec p\cdot\vec r_H = 0.2672 - 0.1830 - 0.2705 = -0.1863$, así que $\Delta_H = 100.7{}^{\circ}$; $\vec p\cdot\vec r_L = 0.1428 - 0.1738 + 0.6687 = 0.6377$, así que $\Delta_L = 50.4{}^{\circ}$.

8. El vector $\vec p\times\vec r_L$ es perpendicular a $\vec p$ y a $\vec r_L$, como lo es $\vec t_L$ (por construcción de $\vec p$, y porque una traza es horizontal); ambos yacen sobre la misma recta, y su longitud es $\sin\Delta_L$. Así que $(\vec p\times\vec r_L)\cdot\vec t_L = \pm\sin\Delta_L$, y el cálculo da $+0.770 = \sin50.4{}^{\circ}$: la placa se mueve en Louisville a lo largo de $+\vec t_L$, en el sentido en que corre la traza. La regla de signos, aplicada en Hawái, podría haber dado el sentido equivocado en Louisville; no lo hizo, así que ambas direcciones se reproducen exactamente, $304{}^{\circ}$ y $316{}^{\circ}$.

9. $\omega = 67/(6371\sin50.38{}^{\circ}) = 67/4908 = 0.013\,65\,\mathrm{rad}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, es decir $0.782{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$.

10. $360/0.782 = 460\,\mathrm{Myr}$.

11. La regla del coseno entre $56.18{}^{\circ}$ S, $124.01{}^{\circ}$ E y $63.78{}^{\circ}$ S, $112.48{}^{\circ}$ E da $9.5{}^{\circ}$. La velocidad de dos trazas, $0.78{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$, es un $15\,\%$ menor que los $0.92{}^{\circ}/\mathrm{Myr}$ ajustados a trece velocidades.

12. Sociedad $73.6{}^{\circ}$, Pitcairn $77.8{}^{\circ}$, Cobb $134.7{}^{\circ}$.

13. La velocidad $\omega R = 0.01365\times6371 = 86.98\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, por $\sin\Delta$: Sociedad $83.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Pitcairn $85.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, Cobb $61.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Pitcairn concuerda: $5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menos que lo medido, dentro de su $15\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Sociedad es $25.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ demasiado lenta, 2.6 incertidumbres, y Cobb $18.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ demasiado rápida, más de seis: ninguna concuerda.

15. El polo es perpendicular a ambos vectores de traza. Si son casi paralelos, su producto vectorial es corto, y un error de unos grados en cualquier sentido lo gira un ángulo grande: el polo está mal determinado.

16. $v = 92 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 2.92 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $B = 2300\times4.83 \times 10^{8}\times2.92 \times 10^{-9} = 3240\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $Q = (910/3.2 \times 10^{-5})\times3240 = 9.2 \times 10^{10}\,\mathrm{W}$, $0.20\,\%$ de $47\,\mathrm{TW}$.

18. Las dorsales producen $21/67000 = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ al año por kilómetro; $0.1/3.1 \times 10^{-4} = 320\,\mathrm{km}$ de dorsal.

19. $74000/0.1 = 740\,000$ años.

20. $2 \times 10^{6}/81 \times 10^{6} = 0.025\,\mathrm{km}^{3}$ al año: el Kilauea solo recibe hoy cuatro veces la producción media de todo el punto caliente, que está cerca de su máximo.

21. $v_H = 86.98\sin100.73{}^{\circ} = 86.98\times0.9825 = 85.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

22. $92 - 85.5 = 6.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, 2.2 incertidumbres estándar de la velocidad medida: los dos puntos calientes no concuerdan del todo sobre el movimiento de una sola placa rígida sobre un marco fijo.

23. Las edades dan $9.1\,\mathrm{cm}$ y $8.6\,\mathrm{cm}$ al año, promediadas sobre toda la cadena; el $9.2\,\mathrm{cm}$ al año de Morgan y Morgan se acerca al primero, y la predicción de Louisville, $8.5\,\mathrm{cm}$ al año, al segundo. Las cuatro están a menos de $0.7\,\mathrm{cm}$ al año unas de otras: trazas, edades y direcciones cuentan la misma historia con un margen de unos $8\,\%$.

24. Con un decimal, la traza de Louisville da a la placa del Pacífico sobre el punto caliente de Hawái la velocidad $8.5\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.