11Termobarometria e trajetórias P–T–t

Uma granada de alguns milímetros, crescida em um xisto, guarda em seu núcleo a composição que tinha quando começou a crescer e em sua borda a composição que tinha quando parou. Cada zona estava em equilíbrio com a biotita e o plagioclásio ao seu redor naquele momento, e a maneira como o ferro, o magnésio e o cálcio se repartiam entre esses minerais depende da temperatura e da pressão. Lida com a termodinâmica do capítulo anterior, uma granada diz a que profundidade sua rocha foi soterrada e quão quente ficou; datada, diz quando, e com que rapidez a rocha voltou a subir. Este capítulo transforma os minerais metamórficos em termômetros, barômetros e relógios, e segue uma rocha ao longo de sua trajetória através da crosta.

O que você já sabe

Do volume do ensino médio: grau metamórfico, minerais-índice e isógradas. Do volume do primeiro ano: a geoterma e a produção de calor radiogênico; a crosta continental com cerca de $35\,\mathrm{km}$ de espessura; a datação radiométrica, a temperatura de fechamento de um mineral e a idade de resfriamento que ela fornece; a crosta oceânica e seu peridotito. Dos livros de física: a equação do calor $\partial T/\partial t = \kappa\, \partial^2 T/\partial z^2$ e a difusividade térmica $\kappa$. Dos livros de química: a constante de equilíbrio, $\Delta_r G^\circ + RT\ln K = 0$, e as atividades em soluções ideais. Do Capítulo 10: as reações metamórficas, a inclinação de Clapeyron, o diagrama $\ce{Al2SiO5}$ e as fácies.

11.1 As zonas metamórficas

Nos lamitos das Terras Altas da Escócia, George Barrow mapeou na década de 1890 uma sequência de zonas, cada uma marcada pelo primeiro aparecimento de um novo mineral-índice. Em direção ao grau mais alto, à clorita se juntam sucessivamente a biotita, a granada, a estaurolita, a cianita e a silimanita; nas seções-tipo, as zonas da granada à silimanita se formaram a cerca de 500 a $650\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e 5 a $7\,\mathrm{kbar}$.

Definição 11.1 (Zonas barrovianas; gradiente metamórfico de campo)

As zonas barrovianas são as zonas metamórficas dos metapelitos na ordem clorita, biotita, granada, estaurolita, cianita, silimanita, cada uma começando na isógrada de seu mineral-índice. O gradiente metamórfico de campo de uma região é a curva, no plano pressão–temperatura, que passa pelas condições de pico registradas por suas rochas nos lugares onde elas afloram hoje.

Cada ponto de um gradiente de campo vem de uma rocha diferente, e cada rocha atingiu seu próprio pico em seu próprio momento: o gradiente de campo não é a geoterma de nenhum instante, nem a trajetória de nenhuma rocha. É o traço que os picos deixam na superfície de erosão atual.

As isógradas são mapeadas a partir dos aparecimentos de minerais, e só se tornam condições de pressão e de temperatura quando as reações por trás delas são conhecidas. Para ir além, é preciso medir a temperatura e a pressão em uma única rocha.

11.2 Termômetros e barômetros

Definição 11.2 (Geotermômetro; geobarômetro; reação de troca; reação de transferência líquida)

Um geotermômetro (geobarômetro) é um equilíbrio entre minerais cuja posição depende sobretudo da temperatura (da pressão), de modo que as composições dos minerais dão a temperatura (a pressão) de seu último equilíbrio. Uma reação de troca permuta dois elementos entre dois minerais, como o ferro e o magnésio entre granada e biotita, sem criar nem destruir nenhum dos dois minerais. Uma reação de transferência líquida produz certos minerais à custa de outros.

O termômetro mais usado dos metapelitos é a troca de ferro e magnésio entre granada e biotita,

almandina mais flogopita dando piropo mais anita. Sejam $X_{\text{Mg}}$ e $X_{\text{Fe}}$ as frações dos sítios ocupadas pelo magnésio e pelo ferro em cada mineral, e

Proposição 11.3 (Um equilíbrio de troca)

Se a granada e a biotita são soluções ideais e $\Delta_r H$, $\Delta_r S$ e $\Delta_r V$ da reação acima são constantes, então no equilíbrio

$$3RT\ln K_D = -(\Delta_r H + P\,\Delta_r V) + T\,\Delta_r S, \qquad\text{logo}\qquad T = \frac{\Delta_r H + P\,\Delta_r V}{\Delta_r S - 3R\ln K_D}.$$

As constantes vêm de experimentos em que granada e biotita sintéticas trocaram ferro e magnésio a temperatura conhecida e a $2.07\,\mathrm{kbar}$. Doze desses intervalos, de 550 a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, representados como $\ln K_D$ em função de $1/T$, ficam perto de uma reta (a figura abaixo); ajustados por mínimos quadrados com $\Delta_r V = 0.311\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, eles dão $\Delta_r H = 52\,630\,\mathrm{J}$ e $\Delta_r S = 20.19\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, os valores de recálculos publicados dos mesmos dados. A temperatura mais alta, a razão $K_D$ sobe em direção a 1: a granada toma uma parte maior do magnésio.

Para $K_D = 0.18$ a $5\,\mathrm{kbar}$, $T = (52630 + 0.311\times5000)/(20.19 - 3\times8.314 \times\ln 0.18) = 54185/62.96 = 861\,\mathrm{K}$, ou $587\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um quilobar a mais acrescenta $0.311\times1000/62.96 = 4.9\,\mathrm{K}$: a reação troca íons de mesma carga entre sítios de tamanho quase igual, sua variação de volume é pequena, e a pressão quase não importa. É isso que faz um termômetro.

Um barômetro precisa do contrário: uma reação com grande variação de volume. A reação de transferência líquida

anortita dando grossulária, cianita e quartzo, acomoda os átomos de três feldspatos em minerais mais densos: $\Delta_r V = -6.21\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, vinte vezes o da troca. Seu equilíbrio entre membros extremos, revertido em experimentos a 900 a $1250\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e 19 a $28\,\mathrm{kbar}$, segue

Em uma rocha, a grossulária é uma pequena parte da granada e a anortita uma parte do plagioclásio. Com atividades ideais, $a_{\text{grossulária}} = X_{\text{Ca,grt}}^3$ e $a_{\text{anortita}} = X_{\text{an}}$, a condição $\Delta_r G^\circ + RT\ln K = 0$ escrita em $P$ e em $P_0$ dá

Esse geobarômetro, chamado GASP a partir dos quatro minerais (granada, aluminossilicato, sílica, plagioclásio), serve onde quer que um metapelito contenha os quatro.

Método 11.4 (Temperatura e pressão de uma rocha)

(1) Meça, em minerais que cresceram juntos, as composições de que o termômetro e o barômetro precisam. (2) Suponha uma pressão e calcule a temperatura com o termômetro. (3) A essa temperatura, calcule a pressão com o barômetro. (4) Repita (2) e (3) até que nenhuma das duas mude; duas ou três rodadas bastam, já que cada equação depende pouco da variável que a outra fixa. Graficamente, a resposta está onde a linha do termômetro cruza a linha do barômetro. (5) Propague as incertezas: para erros independentes, $\sigma_T^2 = (\partial T/\partial\ln K_D)^2\sigma_{\ln K_D}^2 + (\partial T/\partial P)^2\sigma_P^2$, e analogamente para $P$.

As linhas do termômetro são quase verticais, as do barômetro inclinadas: elas se cruzam segundo um ângulo amplo, o que mantém a interseção precisa. A mistura ideal é a principal simplificação deste capítulo. As granadas reais contêm cálcio e manganês, as biotitas reais alumínio, titânio e ferro férrico, e as calibrações que os corrigem deslocam as temperaturas de dezenas de graus (em uma região bem estudada, $574\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em vez de $530\,{}^{\circ}\mathrm{C}$); as melhores reivindicam uma incerteza de cerca de $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

11.3 Trajetórias pressão–temperatura

Uma rocha não atinge sua pressão máxima e sua temperatura máxima no mesmo momento. Ela é soterrada e aquecida, depois trazida de volta e resfriada, e seus minerais reagem ao longo de todo o caminho.

Definição 11.5 (Trajetória P–T; trajetórias progressiva e retrógrada; condições do pico metamórfico)

A trajetória P–T de uma rocha é a sequência de pressões e de temperaturas pelas quais ela passou durante um evento metamórfico. Sua trajetória progressiva é a parte ao longo da qual a temperatura sobe, sua trajetória retrógrada a parte ao longo da qual ela desce. As condições do pico metamórfico são a pressão e a temperatura na temperatura mais alta da trajetória, o pico térmico; o pico de pressão, ou pico bárico, não coincide necessariamente com ele.

Uma trajetória é horária quando, desenhada com a temperatura para a direita e a pressão para cima, o pico térmico vem depois do pico bárico, durante a descompressão; é anti-horária quando o pico térmico é atingido enquanto a pressão ainda sobe. Qual sentido uma rocha segue depende de como o calor chegou até ela, e o caso mais simples pode ser calculado.

Imagine-se uma crosta de $35\,\mathrm{km}$ de espessura, em regime estacionário, com uma produção de calor de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, um fluxo de calor de $25\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ vindo de baixo, uma condutividade de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e uma difusividade de $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, as três últimas dentro das faixas medidas em rochas. Seu fluxo de calor em superfície é de $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ e seu Moho fica a $595\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Uma colisão empilha uma segunda cópia dessa crosta sobre ela, depressa em comparação com o tempo de que o calor precisa para se deslocar: as rochas da lâmina inferior conservam suas temperaturas, mas ficam $35\,\mathrm{km}$ mais fundas, de modo que a geoterma se torna um dente de serra, com rochas a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $35\,\mathrm{km}$ sob rochas quentes da lâmina superior. A crosta tem agora $70\,\mathrm{km}$ de espessura e contém o dobro de rocha produtora de calor. Trinta milhões de anos depois do empilhamento, a erosão começa e remove $35\,\mathrm{km}$ em 70 milhões de anos ($0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$).

Proposição 11.6 (Escala de tempo do relaxamento térmico)

Em uma camada de espessura $L$ cujas duas faces são mantidas a temperatura fixa, uma perturbação de temperatura da forma $\sin(\pi z/L)$ decai como $e^{-t/\tau}$, com

$$\tau = \frac{L^2}{\pi^2\kappa}.$$

O dente de serra tem um comprimento de onda da ordem da espessura de uma lâmina: com $L = 35\,\mathrm{km}$, $\tau = 3.9\,\mathrm{Myr}$, e a cunha fria a $35\,\mathrm{km}$ se apaga em dez milhões de anos. A crosta espessada inteira, $L = 70\,\mathrm{km}$, relaxa em $\tau = 16\,\mathrm{Myr}$, de modo que o aquecimento continua por dezenas de milhões de anos, em direção à geoterma muito mais quente que sustenta uma crosta duas vezes mais espessa e com o dobro de rocha produtora de calor. A figura abaixo mostra as geotermas calculadas.

Siga-se a rocha que estava na superfície antes do empilhamento e fica a $35\,\mathrm{km}$ logo depois dele, sob $9.6\,\mathrm{kbar}$. Em cinco milhões de anos, ela se aquece de 0 a $395\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sem se mover; no início da erosão, já chegou a $558\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A erosão então a faz subir, mas o calor continua chegando mais depressa do que escapa: a rocha ainda se aquece quando já subiu $6\,\mathrm{km}$, e atinge seu pico térmico, $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $7.8\,\mathrm{kbar}$, 43 milhões de anos depois do empilhamento. Só então ela se resfria, passando por $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $13\,\mathrm{km}$ de profundidade e $74\,\mathrm{Myr}$, a caminho da superfície. A trajetória (a figura abaixo) é horária. Ela também permanece a menos de $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de sua temperatura de pico durante trinta milhões de anos, cerca de um terço de toda a sua viagem, como England e Thompson constataram em 1984 para a maioria dos casos geologicamente plausíveis: uma rocha passa muito tempo perto de seu pico, e os minerais que ela conserva registram sobretudo essa etapa.

O modelo mostra também por que algumas trajetórias giram no outro sentido. O espessamento sozinho só aquece uma rocha depois que ela foi soterrada, de modo que seu pico térmico vem durante a exumação. Uma rocha cuja temperatura sobe enquanto ainda está sendo soterrada precisa de calor de outra origem, como um magma que sobe na crosta acima ou ao lado dela, e segue uma trajetória anti-horária. E, na crosta espessada, a base se aquece muito acima de sua temperatura inicial: England e Thompson concluíram que uma fusão considerável da crosta é uma consequência provável do espessamento, o assunto do Capítulo 12.

11.4 Acrescentar o tempo

Definição 11.7 (Trajetória P–T–t)

A trajetória P–T–t de uma rocha é sua trajetória P–T com o momento em que cada ponto foi atingido.

O tempo vem da datação radiométrica. Um mineral que cresceu durante o evento e conservou seus isótopos-filhos desde então, como uma zona de granada datada pelo método samário–neodímio, data seu próprio crescimento, e sua composição dá a pressão e a temperatura desse momento. Um mineral que cresceu antes, a temperatura mais alta, dá em vez disso uma idade de resfriamento: o momento em que a rocha se resfriou abaixo da temperatura de fechamento daquele mineral e daquele sistema isotópico (volume do primeiro ano). Para o argônio em um grão de muscovita de $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de raio, resfriando-se a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos, a temperatura de fechamento é de $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $5\,\mathrm{kbar}$ e de $425\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $10\,\mathrm{kbar}$.

Definição 11.8 (Exumação; taxa de exumação)

A exumação é o movimento de uma rocha em direção à superfície da Terra, pela remoção das rochas acima dela. A taxa de exumação é a taxa de diminuição de sua profundidade.

Proposição 11.9 (Taxas a partir de dois pontos datados)

Se uma rocha estava à temperatura $T_1$ e à profundidade $z_1$ no tempo $t_1$ e a $T_2$, $z_2$ em um tempo posterior $t_2$ (idades contadas para trás a partir de hoje, $t_1 > t_2$), suas taxas médias de resfriamento e de exumação no intervalo são

$$\frac{T_1 - T_2}{t_1 - t_2} \qquad\text{e}\qquad \frac{z_1 - z_2}{t_1 - t_2},$$

e suas incertezas, para erros independentes nas duas idades, decorrem de $\sigma_{t_1 - t_2}^2 = \sigma_{t_1}^2 + \sigma_{t_2}^2$.

A profundidade em que uma idade de resfriamento foi fixada raramente é medida: ela é estimada a partir da geoterma da época, e é por isso que as taxas de exumação são menos certas que as taxas de resfriamento. Uma pressão, quando uma assembleia mineral fornece uma, fixa diretamente a profundidade, como $z = P/(\bar\rho g)$, com $\bar\rho$ a densidade média das rochas acima.

11.5 Séries metamórficas e cinturões pareados

Definição 11.10 (Série metamórfica; cinturões metamórficos pareados)

Uma série metamórfica (ou série de fácies) é uma sequência de fácies metamórficas desenvolvidas sob a mesma faixa de razões entre pressão e temperatura, e que ocupa portanto um setor radial do plano pressão–temperatura. Os cinturões metamórficos pareados são dois cinturões paralelos de mesma idade, um de série de alta pressão e outro de série de baixa pressão.

Três séries são comumente distinguidas. Uma razão alta entre pressão e temperatura, ao longo de um gradiente frio, leva da fácies zeólita aos xistos azuis e eclogitos: a série das zonas de subducção. Uma razão intermediária leva pelas fácies xisto verde, anfibolito e granulito, com cianita e depois silimanita nos metapelitos: a série barroviana. Uma razão baixa, ao longo de gradientes quentes como os que há perto das intrusões, produz andaluzita e depois silimanita: a série de baixa pressão, ou série de Buchan. A figura abaixo traça três gradientes através do diagrama dos aluminossilicatos.

A ideia das séries veio do Japão, onde Akiho Miyashiro as definiu em 1961. No sudoeste do país, o cinturão de Sanbagawa, de metamorfismo de alta pressão e baixa temperatura, estende-se por mais de $800\,\mathrm{km}$ ao lado do cinturão de Ryoke, de metamorfismo de alta temperatura e baixa pressão, os dois separados por uma falha importante: o par clássico. O cinturão de Sanbagawa é uma antiga zona de subducção, o cinturão de Ryoke o arco vulcânico acima dela. Uma zona de subducção produz assim as duas séries ao mesmo tempo, rochas frias arrastadas para baixo pela placa que afunda, rochas quentes aquecidas no arco; cinturões pareados do mesmo tipo são conhecidos em torno do Pacífico.

11.6 Ultra-alta pressão e exumação

Em 1984 foi descrito, no maciço de Dora Maira, nos Alpes Ocidentais, um quartzito cujas granadas, de até $25\,\mathrm{cm}$ e quase de piropo puro, englobam grãos de coesita, o polimorfo denso da sílica, em parte retransformada em quartzo; a expansão durante essa inversão fraturou radialmente a granada hospedeira em torno de cada grão. A coesita e seus minerais companheiros implicam pelo menos $28\,\mathrm{kbar}$ a cerca de $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: rochas da crosta continental superior, antes sedimentos, tinham descido a $90\,\mathrm{km}$ ou mais e voltado.

Definição 11.11 (Metamorfismo de ultra-alta pressão)

O metamorfismo de ultra-alta pressão é o metamorfismo de rochas crustais a pressões altas o bastante para que cresça coesita, ou diamante.

Seis anos depois, diamantes com média de $12\,\text{µ}\mathrm{m}$ foram encontrados em gnaisses, xistos e rochas de granada–piroxênio do maciço de Kokchetav, no norte do Cazaquistão, englobados em granada e zircão, que os protegeram da transformação em grafita: eles cresceram a $40\,\mathrm{kbar}$ ou mais e acima de 900 a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A crosta continental, leve como é, pode ser arrastada a mais de cem quilômetros de profundidade.

Como ela volta é contado por seus relógios. Nas rochas subductadas mais profundas dos Alpes, a titanita datada em estágios sucessivos mostra que uma rocha calcissilicática atingiu cerca de $3.5\,\mathrm{GPa}$ a $35.1 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, estava a $1 \pm 0.15\,\mathrm{GPa}$ a $32.9 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, e perto de 0.4 a $0.5\,\mathrm{GPa}$ a $31.8 \pm 0.5\,\mathrm{Ma}$. As taxas médias de exumação, 3.4 e depois $1.6\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, igualam as velocidades das placas: as rochas voltaram mais ou menos tão depressa quanto desceram, muito mais depressa do que a erosão poderia tê-las desnudado. Os autores invocam a flutuabilidade, a crosta leve subindo através do manto mais denso, e o falhamento normal, que adelgaça as rochas acima.

11.7 O metamorfismo de fundo oceânico

Definição 11.12 (Metamorfismo de fundo oceânico; serpentinização)

O metamorfismo de fundo oceânico é o metamorfismo regional da litosfera oceânica perto dos centros de expansão, por fluidos aquosos quentes que circulam sob fortes gradientes geotérmicos; a recristalização é em geral incompleta e a temperatura tipicamente aumenta com a profundidade. A serpentinização é a hidratação de rochas ricas em olivina em serpentina.

A água do mar aspirada para a crosta jovem perto do eixo de uma dorsal se aquece, reage com as rochas e volta a subir. Os basaltos que ela atravessa se recristalizam, de forma incompleta, em minerais hidratados, em uma ampla faixa de temperaturas. Onde a água chega ao peridotito, como nas dorsais lentas, onde a rocha do manto sobe até o fundo do mar e alimenta fontes como as do campo de Lost City (volume do primeiro ano), a olivina absorve água:

forsterita dando serpentina e brucita. Os volumes molares, 43.65 para a forsterita, 107.50 para a serpentina e $24.63\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ para a brucita, mostram o que isso faz à rocha: $87.30\,\mathrm{cm}^{3}$ de olivina se tornam $132.13\,\mathrm{cm}^{3}$ de sólidos, $51\,\%$ a mais, e a densidade cai de 3.22 para $2.54\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. A rocha incha e fica mais leve, e a água que ela fixou desce com ela quando a placa é subductada.

No laboratório — Ler uma granada

Para ler uma trajetória P–T, um petrólogo primeiro corta uma lâmina delgada pelo centro de uma granada, já que uma seção fora do centro não alcança o núcleo. Ao microscópio, as inclusões são mapeadas: pequenos grãos de quartzo, biotita, plagioclásio ou cianita aprisionados enquanto a granada crescia, às vezes alinhados em trilhas que preservam uma foliação mais antiga da rocha. Uma microssonda eletrônica mede então a composição ao longo de uma linha do núcleo à borda, e um mapa de magnésio, ferro, cálcio e manganês mostra as zonas de crescimento. Cada zona é emparelhada com os minerais que cresceram com ela: as inclusões para o núcleo, a matriz em contato para a borda. Termômetro e barômetro são aplicados a cada par, e as zonas são datadas quando um mineral o permite. O Capítulo 31 descreve os instrumentos.

11.8 Exercícios

Exercício 11.1 ★

Seis amostras de uma mesma formação de lamito, coletadas ao longo de uma estrada, contêm: (A) clorita, muscovita, quartzo; (B) biotita, clorita, muscovita, quartzo; (C) granada, biotita, muscovita, quartzo; (D) estaurolita, granada, biotita, muscovita, quartzo; (E) cianita, estaurolita, biotita, muscovita, quartzo; (F) silimanita, biotita, muscovita, quartzo. (a) Em que zona barroviana fica cada uma? (b) Quantas isógradas a estrada atravessa, e quais? (c) Por que não basta conhecer as isógradas para traçar o gradiente metamórfico de campo?

Solução

Solução de Exercício 11.1.

(a) A zona da clorita, B zona da biotita, C zona da granada, D zona da estaurolita, E zona da cianita, F zona da silimanita. (b) Cinco: as isógradas da biotita, da granada, da estaurolita, da cianita e da silimanita, cada uma entre duas amostras sucessivas, com o grau subindo de A para F. (c) Uma isógrada diz apenas que uma reação ocorreu; um gradiente de campo precisa de pressões e temperaturas, que vêm de reações calibradas ou da termobarometria da assembleia de pico de cada rocha.

Exercício 11.2 ★

Uma granada tem $X_{\text{Mg}} = 0.10$ e $X_{\text{Fe}} = 0.80$, a biotita ao lado dela $X_{\text{Mg}} = 0.45$ e $X_{\text{Fe}} = 0.50$. (a) Calcule $K_D$ e $\ln K_D$. (b) Com a calibração deste capítulo, calcule a temperatura a $5\,\mathrm{kbar}$ e a $7\,\mathrm{kbar}$. (c) O resultado é um indicador de temperatura ou de pressão?

Solução

Solução de Exercício 11.2.

(a) $(X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}})_{\text{grt}} = 0.10/0.80 = 0.125$, $(X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}})_{\text{bt}} = 0.45/0.50 = 0.900$; $K_D = 0.1389$, $\ln K_D = -1.9741$. (b) $3R = 24.942$; denominador $20.19 + 24.942\times1.9741 = 69.428$; a $5\,\mathrm{kbar}$, $T = 54185/69.428 = 780.5\,\mathrm{K} = 507\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; a $7\,\mathrm{kbar}$, $T = (52630 + 2177)/69.428 = 789.4\,\mathrm{K} = 516\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Dois quilobares a mudam em apenas $9\,\mathrm{K}$: um termômetro.

Exercício 11.3 ★

Um metapelito dá $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $6.0\,\mathrm{kbar}$. (a) Sob rochas de densidade média $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), a que profundidade ele estava? (b) Que gradiente de temperatura isso implica a partir de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície? (c) A linha experimental cianita $=$ silimanita passa por $3.67\,\mathrm{kbar}$ a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e por $5.77\,\mathrm{kbar}$ a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: que aluminossilicato a rocha deveria conter?

Solução

Solução de Exercício 11.3.

(a) $z = P/(\bar\rho g) = 6.0\times10^8/(2800\times9.81) = 21.8\,\mathrm{km}$. (b) $(580 - 10)/21.8 = 26\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. (c) A $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a linha fica em $3.67 + 0.8\times2.10 = 5.35\,\mathrm{kbar}$; a $6.0\,\mathrm{kbar}$, a rocha está do lado de alta pressão: cianita.

Exercício 11.4 ★

Para a serpentinização da forsterita escrita neste capítulo: (a) verifique que a equação está equilibrada em massa, com as massas molares 140.693 (forsterita), 18.015 (água), 277.112 (serpentina) e $58.320\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (brucita); (b) calcule a variação de volume dos sólidos; (c) calcule as densidades da olivina e dos produtos. (d) O que essa variação faz a um peridotito serpentinizado sob o fundo do mar?

Solução

Solução de Exercício 11.4.

(a) Reagentes $2\times140.693 + 3\times18.015 = 335.431\,\mathrm{g}$; produtos $277.112 + 58.320 = 335.432\,\mathrm{g}$: equilibrada dentro do arredondamento. (b) $2\times43.65 = 87.30\,\mathrm{cm}^{3}$ se tornam $107.50 + 24.63 = 132.13\,\mathrm{cm}^{3}$: $+51.4\,\%$. (c) Olivina $281.386/87.30 = 3.223\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; produtos $335.432/132.13 = 2.539\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. (d) A rocha incha metade de seu volume e fica mais leve; ela também armazena água em seus minerais.

Exercício 11.5 ★★

Calibre o termômetro a partir de quatro dos experimentos a $2.07\,\mathrm{kbar}$: $\ln K_D = -1.157$ e $-1.255$ a $799\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $-1.738$ e $-1.826$ a $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Faça a média de cada par e encontre a reta $\ln K_D = a/T + b$ que passa pelas duas médias. (b) Deduza $\Delta_r H$ e $\Delta_r S$, com $\Delta_r V = 0.311\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$. (c) Compare as temperaturas que sua calibração e a do capítulo dão a $5\,\mathrm{kbar}$ para $K_D = 0.18$, $0.10$ e $0.30$. O que você conclui sobre a extrapolação de uma calibração?

Solução

Solução de Exercício 11.5.

(a) Médias $-1.206$ a $1072.15\,\mathrm{K}$ e $-1.782$ a $823.15\,\mathrm{K}$. Com $1/T = 9.3271\times10^{-4}$ e $1.21485\times10^{-3}$, $a = (-1.206 + 1.782)/(9.3271\times10^{-4} - 1.21485\times10^{-3}) = -2041.5$ K e $b = -1.206 + 2041.5/1072.15 = 0.6982$. (b) $\Delta_r H + 2070\times0.311 = 2041.5\times24.942 = 50\,920\,\mathrm{J}$, logo $\Delta_r H = 50\,276\,\mathrm{J}$; $\Delta_r S = 0.6982\times24.942 = 17.41\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$. (c) A $5\,\mathrm{kbar}$: para $K_D = 0.18$, 588.1 contra $587.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; para $0.10$, 419 contra $425\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; para $0.30$, 819 contra $806\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Dentro do intervalo dos experimentos, as duas calibrações concordam, embora suas constantes difiram de $2.4\,\mathrm{kJ}$ e $2.8\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$; os erros de $\Delta_r H$ e $\Delta_r S$ se compensam ali e crescem fora dele. Uma calibração não deve ser usada longe das condições de seus experimentos.

Exercício 11.6 ★★

(a) A partir dos volumes molares a $298\,\mathrm{K}$ (almandina 115.32, piropo 113.12, anita 154.30, flogopita 149.65, grossulária 125.28, anortita 100.79, cianita 44.15, quartzo $22.69\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$), calcule o $\Delta_r V$ da troca e da reação GASP, e compare com os valores que as calibrações usam, $0.311$ e $-6.21\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$. (b) Para $K_D = 0.18$, de quantos kelvin um erro de $1\,\mathrm{kbar}$ desloca a temperatura? (c) Ao longo da linha GASP de uma rocha com $X_{\text{Ca}}/X_{\text{an}} = 0.20$, de quantos bar um erro de $17\,\mathrm{K}$ desloca a pressão?

Solução

Solução de Exercício 11.6.

(a) Troca: $(113.12 + 154.30) - (115.32 + 149.65) = +2.45\,\mathrm{cm}^{3} = 0.245\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, contra 0.311. GASP: $125.28 + 2\times44.15 + 22.69 - 3\times100.79 = -66.10\,\mathrm{cm}^{3} = -6.61\,\mathrm{J}\,\mathrm{bar}^{-1}$, contra $-6.21$, o valor da calibração a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $10\,\mathrm{kbar}$, onde a dilatação térmica e a compressão mudam os volumes. Nos dois casos, a variação da GASP é de vinte a trinta vezes a da troca. (b) $\partial T/\partial P = 0.311/62.96 = 4.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}/\mathrm{bar}$: $4.9\,\mathrm{K}$ por quilobar. (c) A inclinação da linha é $22.80 + 8.314\times3\ln 0.20/6.21 = 22.80 - 6.46 = 16.3\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$; $17\,\mathrm{K}$ deslocam a pressão de $280\,\mathrm{bar}$.

Exercício 11.7 ★★

A $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, uma granada tem $X_{\text{Ca}} = 0.08$ e o plagioclásio ao lado dela $X_{\text{an}} = 0.30$. (a) Calcule a pressão GASP. (b) Refaça o cálculo com $X_{\text{an}} = 0.35$. (c) A que profundidade estava a rocha, para uma densidade média de $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solução

Solução de Exercício 11.7.

(a) $P_0 = 22.80\times600 - 1093 = 12\,587\,\mathrm{bar}$; $3\ln(0.08/0.30) = -3.9653$; $RT = 8.314\times873.15 = 7259.4\,\mathrm{J}$; $P = 12587 + 7259.4\times(-3.9653)/6.21 = 12587 - 4635 = 7952\,\mathrm{bar}$. (b) $3\ln(0.08/0.35) = -4.4277$, $P = 12587 - 5176 = 7411\,\mathrm{bar}$: $0.54\,\mathrm{kbar}$ a menos, de modo que o plagioclásio deve ser analisado com cuidado. (c) $7952\times10^5/(2800\times9.81) = 29.0\,\mathrm{km}$.

Exercício 11.8 ★★

Use as idades da titanita das rochas subductadas mais profundas dos Alpes: cerca de $3.5\,\mathrm{GPa}$ a $35.1 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, $1.0\,\mathrm{GPa}$ a $32.9 \pm 0.9\,\mathrm{Ma}$, $0.45\,\mathrm{GPa}$ a $31.8 \pm 0.5\,\mathrm{Ma}$. (a) Com uma densidade média de $3000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, converta as pressões em profundidades. (b) Calcule as duas taxas médias de exumação e compare com os 3.4 e $1.6\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ publicados. (c) Qual é a incerteza do primeiro intervalo de tempo, e que faixa de taxas ela admite? (d) Compare com a taxa de erosão do modelo de espessamento, $0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solução

Solução de Exercício 11.8.

(a) $z = P/(\bar\rho g)$: $118.9\,\mathrm{km}$, $34.0\,\mathrm{km}$ e $15.3\,\mathrm{km}$. (b) $(118.9 - 34.0)/2.2 = 38.6\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 3.9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ e $(34.0 - 15.3)/1.1 = 17.0\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 1.7\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, um pouco acima dos 3.4 e 1.6 publicados: sua conversão de pressão em profundidade dá diferenças de profundidade um pouco menores. (c) $\sigma = \sqrt{0.9^2 + 0.9^2} = 1.3\,\mathrm{Myr}$, logo $2.2 \pm 1.3$ milhões de anos e uma taxa entre $84.9/3.47 = 24$ e $84.9/0.93 = 91\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$, 2.4 a $9.1\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: rápida em qualquer caso. (d) Mesmo a taxa mais baixa é cerca de cinquenta vezes os $0.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ do modelo: a erosão sozinha não pode fazê-lo.

Exercício 11.9 ★★

Para $K_D = 0.18$ a $5\,\mathrm{kbar}$, (a) calcule $\partial T/\partial\ln K_D$ e $\partial T/\partial P$ a partir da proposição; (b) com $\sigma_{\ln K_D} = 0.05$ (um erro de $5\,\%$ em $K_D$) e $\sigma_P = 1\,\mathrm{kbar}$, calcule $\sigma_T$. (c) Que erro domina? Compare com a incerteza de $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ reivindicada para as melhores calibrações.

Solução

Solução de Exercício 11.9.

(a) $\partial T/\partial\ln K_D = 3RT/(\Delta_r S - 3R\ln K_D) = 24.942\times860.6/62.96 = 341\,\mathrm{K}$; $\partial T/\partial P = 0.311/62.96 = 4.9\,\mathrm{K}$ por quilobar. (b) $\sigma_T = \sqrt{(341\times0.05)^2 + 4.9^2} = \sqrt{17.0^2 + 4.9^2} = 17.7\,\mathrm{K}$. (c) O erro analítico sobre $K_D$ domina; sozinho, ele vale dois terços dos $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ das melhores calibrações, que incluem também os erros da própria calibração.

Exercício 11.10 ★★★

Uma borda de granada tem $X_{\text{Mg}} = 0.10$, $X_{\text{Fe}} = 0.75$, $X_{\text{Ca}} = 0.07$; a biotita da matriz, $X_{\text{Mg}} = 0.42$, $X_{\text{Fe}} = 0.52$; o plagioclásio, $X_{\text{an}} = 0.25$. (a) Aplique o método deste capítulo, partindo de $6\,\mathrm{kbar}$, até que a temperatura varie menos de $1\,\mathrm{K}$. (b) Que aluminossilicato a rocha deveria conter (use a linha experimental do Exercício 11.3)? (c) Por que o barômetro deve usar o aluminossilicato realmente presente?

Solução

Solução de Exercício 11.10.

(a) Granada $0.10/0.75 = 0.1333$, biotita $0.42/0.52 = 0.8077$, $K_D = 0.1650$, $\ln K_D = -1.8018$, denominador $20.19 + 24.942\times1.8018 = 65.130$; $3\ln(0.07/0.25) = -3.8189$. A $6000\,\mathrm{bar}$: $T = 54496/65.130 = 836.7\,\mathrm{K} = 563.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, depois $P = 22.80\times563.6 - 1093 + 8.314\times836.7\times(-3.8189)/6.21 = 7479\,\mathrm{bar}$. A $7479\,\mathrm{bar}$: $T = 570.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $P = 7603\,\mathrm{bar}$. A $7603\,\mathrm{bar}$: $T = 571.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $P = 7614\,\mathrm{bar}$; mais uma vez, $T = 571.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A rocha se equilibrou a cerca de $571\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $7.6\,\mathrm{kbar}$. (b) A $571\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a linha cianita $=$ silimanita fica em $3.67 + 0.71\times2.10 = 5.16\,\mathrm{kbar}$: cianita. (c) O barômetro foi calibrado para a cianita; com silimanita, a reação, e sua linha, são outras, já que os dois polimorfos não têm a mesma energia de Gibbs.

Exercício 11.11 ★★★

Com $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: (a) calcule o tempo de relaxamento da proposição para $L = 35\,\mathrm{km}$ e para $L = 70\,\mathrm{km}$. (b) O modelo erode $35\,\mathrm{km}$ em 70 milhões de anos; compare esse tempo com os dois de (a). (c) Explique, a partir desses tempos, por que a rocha do modelo atinge seu pico térmico depois de seu pico de pressão. (d) Se a erosão fosse dez vezes mais rápida, o que mudaria na trajetória?

Solução

Solução de Exercício 11.11.

(a) $\tau = L^2/(\pi^2\kappa)$: para $35\,\mathrm{km}$, $1.225\times10^9/(9.870\times10^{-6}) = 1.24 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{Myr}$; para $70\,\mathrm{km}$, quatro vezes mais, $15.7\,\mathrm{Myr}$. (b) Setenta milhões de anos são de quatro a dezoito vezes esses tempos: o calor se propaga pela crosta espessada muito mais depressa do que a erosão a remove. (c) A rocha atinge sua maior profundidade de uma vez, no empilhamento; o calor chega ao longo das dezenas de milhões de anos seguintes, enquanto a erosão a traz lentamente para cima: a temperatura continua subindo por algum tempo durante a descompressão. (d) Uma erosão em sete milhões de anos traria a rocha para cima antes que a condução a tivesse aquecido: um pico térmico mais baixo, atingido cedo, a pressão mais alta, e uma trajetória fria de volta à superfície.

Exercício 11.12 ★★★

Tome uma crosta de $35\,\mathrm{km}$ de espessura e densidade $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ sobre um manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (a) A que profundidade a pressão chega a $28\,\mathrm{kbar}$, o mínimo para a coesita de Dora Maira? (b) E a $40\,\mathrm{kbar}$, para os diamantes de Kokchetav? (c) Que gradiente médio $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à profundidade de (a) implica, e em que série ele cai? (d) A $3.4\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, quanto tempo leva a subida da profundidade de (a) até $35\,\mathrm{km}$?

Solução

Solução de Exercício 11.12.

(a) A crosta pesa $35000\times2800\times9.81 = 0.961\,\mathrm{GPa}$; os $1.839\,\mathrm{GPa}$ restantes exigem $1.839\times10^9/(3300\times9.81) = 56.8\,\mathrm{km}$ de manto: profundidade de $91.8\,\mathrm{km}$, como os $90\,\mathrm{km}$ ou mais do estudo original. (b) $(4.0 - 0.961)\times10^9/(3300\times9.81) = 93.9\,\mathrm{km}$, profundidade de $128.9\,\mathrm{km}$. (c) $700/91.8 = 7.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$: uma razão muito alta entre pressão e temperatura, a série das zonas de subducção. (d) $(91.8 - 35)/34 = 1.7\,\mathrm{Myr}$.

11.9 Problema: a viagem de uma granada

Problema 11.1

Problema de fim de semana — termobarometria, trajetória e taxa de exumação de um xisto

Um xisto a cianita, granada e biotita contém granadas com um núcleo e uma borda. O núcleo engloba biotita, plagioclásio e cianita; a borda toca a biotita e o plagioclásio da matriz. Em torno das granadas, parte da cianita é substituída por silimanita, e nas bordas das granadas cresceu um pouco de clorita. As análises são:

	$X_{\text{Mg}}$	$X_{\text{Fe}}$	$X_{\text{Ca}}$ ou $X_{\text{an}}$
núcleo da granada	0.080	0.760	0.050
biotita incluída no núcleo	0.40	0.58	—
plagioclásio incluído no núcleo	—	—	0.25
borda da granada	0.120	0.720	0.060
biotita da matriz	0.46	0.53	—
plagioclásio da matriz	—	—	0.28

Use o termômetro granada–biotita e o barômetro GASP deste capítulo (mistura ideal), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, uma densidade média de $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ acima da rocha, e arredonde cada razão a quatro casas decimais.

Parte I — As temperaturas.

1. Calcule $X_{\text{Mg}}/X_{\text{Fe}}$ no núcleo da granada e na biotita incluída, e depois $K_D$ e $\ln K_D$ para o núcleo.
2. Faça o mesmo para a borda e a biotita da matriz.
3. Calcule a temperatura do núcleo a $6\,\mathrm{kbar}$.
4. Calcule a temperatura da borda a $6\,\mathrm{kbar}$.
5. De quantos kelvin um erro de $1\,\mathrm{kbar}$ mudaria essas temperaturas?
6. Por que o núcleo é emparelhado com a biotita incluída, e a borda com a biotita da matriz?

Parte II — As pressões.

7. Calcule a pressão $P_0$ dos membros extremos da reação GASP às duas temperaturas das questões 3 e 4.
8. Calcule a pressão GASP do núcleo à temperatura da questão 3.
9. Calcule a pressão GASP da borda à temperatura da questão 4.
10. Recalcule a temperatura da borda à pressão da questão 9, depois sua pressão a essa temperatura, e mais uma vez a temperatura. Dê a temperatura e a pressão da borda.
11. Faça o mesmo uma vez para o núcleo. Por que ele muda tão pouco?
12. Converta as pressões do núcleo e da borda em profundidades.
13. A linha experimental cianita $=$ silimanita passa por 3.67, 5.77 e $7.86\,\mathrm{kbar}$ a 500, 600 e $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Que aluminossilicato era estável quando o núcleo cresceu, e quando a borda cresceu? A cianita do núcleo é coerente?

Parte III — A trajetória.

14. Entre o núcleo e a borda, de quanto variaram a temperatura e a pressão? A granada crescia na trajetória progressiva ou na retrógrada?
15. A silimanita substitui a cianita em torno das granadas. À temperatura da borda, abaixo de que pressão a rocha deve ter passado para que isso aconteça? O que a rocha fez depois que a borda cresceu?
16. A clorita cresce nas bordas das granadas. Que parte da trajetória ela registra?
17. Desenhe a trajetória: núcleo, borda, silimanita, clorita. Ela é horária ou anti-horária? Que pico veio primeiro?
18. O modelo de espessamento deste capítulo leva sua rocha a um pico térmico de $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $7.8\,\mathrm{kbar}$. A trajetória do xisto é do mesmo tipo?

Parte IV — Com que rapidez.

19. A borda da granada dá uma idade samário–neodímio de $412.0 \pm 1.5\,\mathrm{Ma}$, tomada como a idade do pico; uma muscovita da matriz dá uma idade argônio de $398.0 \pm 1.0\,\mathrm{Ma}$, o momento em que a rocha se resfriou abaixo de $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcule a taxa média de resfriamento entre as duas.
20. A temperatura de fechamento de $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ supõe um resfriamento a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos. A taxa da questão 19 pede um valor mais alto ou mais baixo, e por quê?
21. A $398\,\mathrm{Ma}$, tome uma geoterma de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ a partir de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ na superfície. A que profundidade a muscovita se fechou?
22. Quanto a rocha subiu entre o pico e o fechamento da muscovita?
23. Qual é a incerteza do intervalo de tempo?
24. Calcule a taxa média de exumação do pico ao fechamento da muscovita, em milímetros por ano e arredondada ao décimo: o número-chave deste problema.

Solução

Solução de Problema 11.1.

Parte I.

1. Núcleo da granada $0.080/0.760 = 0.1053$, biotita $0.40/0.58 = 0.6897$; $K_D = 0.1527$, $\ln K_D = -1.8793$.

2. Borda $0.120/0.720 = 0.1667$, biotita da matriz $0.46/0.53 = 0.8679$; $K_D = 0.1921$, $\ln K_D = -1.6497$.

3. $3R = 24.942$; numerador $52630 + 0.311\times6000 = 54496$; denominador $20.19 + 24.942\times1.8793 = 67.064$; $T = 812.6\,\mathrm{K} = 539.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

4. Denominador $20.19 + 24.942\times1.6497 = 61.337$; $T = 54496/61.337 = 888.5\,\mathrm{K} = 615.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. $0.311\times1000/67.064 = 4.6\,\mathrm{K}$ para o núcleo e $0.311\times1000/61.337 = 5.1\,\mathrm{K}$ para a borda.

6. Um termômetro se aplica a minerais que estiveram em equilíbrio juntos. A biotita incluída no núcleo ficou isolada do resto da rocha quando o núcleo cresceu; a biotita da matriz trocou por último com a borda. Emparelhar o núcleo com a matriz misturaria dois momentos.

Parte II.

7. Núcleo $22.80\times539.5 - 1093 = 11\,208\,\mathrm{bar}$; borda $22.80\times615.3 - 1093 = 12\,936\,\mathrm{bar}$.

8. $3\ln(0.050/0.25) = -4.8283$; $RT = 8.314\times812.65 = 6756.4\,\mathrm{J}$; $P = 11208 - 6756.4\times4.8283/6.21 = 11208 - 5253 = 5955\,\mathrm{bar}$.

9. $3\ln(0.060/0.28) = -4.6213$; $RT = 8.314\times888.45 = 7386.6\,\mathrm{J}$; $P = 12936 - 5497 = 7439\,\mathrm{bar}$.

10. A $7439\,\mathrm{bar}$: $T = (52630 + 2314)/61.337 = 895.8\,\mathrm{K} = 622.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; a essa temperatura, $P = 13102 - 5542 = 7560\,\mathrm{bar}$; depois $T = 623.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A borda cresceu a cerca de $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $7.56\,\mathrm{kbar}$.

11. A $5954\,\mathrm{bar}$, $T = 539.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $P = 5950\,\mathrm{bar}$: o núcleo cresceu a cerca de $539\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $5.95\,\mathrm{kbar}$. A primeira estimativa, $6\,\mathrm{kbar}$, já estava próxima, e o termômetro se desloca apenas $4.6\,\mathrm{K}$ por quilobar.

12. Núcleo $5950\times10^5/(2800\times9.81) = 21.7\,\mathrm{km}$; borda $7560\times10^5/27468 = 27.5\,\mathrm{km}$.

13. A $539\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a linha fica em $3.67 + 0.39\times2.10 = 4.49\,\mathrm{kbar}$, abaixo de $5.95\,\mathrm{kbar}$: cianita, coerente com a cianita incluída no núcleo. A $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ela fica em $5.77 + 0.23\times2.09 = 6.25\,\mathrm{kbar}$, abaixo de $7.56\,\mathrm{kbar}$: cianita de novo.

Parte III.

14. $+84\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $+1.6\,\mathrm{kbar}$ (cerca de $6\,\mathrm{km}$ mais fundo): a rocha estava sendo soterrada e aquecida, em sua trajetória progressiva.

15. A $623\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ou mais, abaixo de $6.25\,\mathrm{kbar}$: depois que a borda cresceu, a rocha perdeu pelo menos $1.3\,\mathrm{kbar}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$ de cobertura, permanecendo pelo menos tão quente. Ela foi exumada ainda quente.

16. A clorita é um mineral hidratado de baixo grau: ela registra a trajetória retrógrada tardia, o resfriamento a pequena profundidade, com água.

17. Soterramento e aquecimento até a borda, descompressão sem resfriamento, depois resfriamento: desenhada com a temperatura para a direita e a pressão para cima, a trajetória gira no sentido horário. O pico de pressão veio primeiro, na borda; o pico térmico ao mesmo tempo ou depois, durante a descompressão.

18. Sim: o modelo também atinge primeiro seu pico de pressão, e seu pico térmico, $593\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $7.8\,\mathrm{kbar}$, durante a subida, perto das condições da borda do xisto. O espessamento seguido de uma erosão lenta explica a trajetória do xisto.

Parte IV.

19. $(623 - 405)/(412.0 - 398.0) = 218/14.0 = 15.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por milhão de anos.

20. A rocha se resfriou cerca de uma vez e meia mais depressa do que o suposto. Um mineral que se resfria mais depressa tem menos tempo para perder seu argônio, de modo que se fecha a uma temperatura mais alta: a verdadeira temperatura de fechamento fica um pouco acima de $405\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e o fechamento um pouco mais fundo.

21. $(405 - 10)/30 = 13.2\,\mathrm{km}$.

22. $27.5 - 13.2 = 14.3\,\mathrm{km}$ (com as profundidades não arredondadas, 27.52 e 13.17, $14.35\,\mathrm{km}$).

23. $\sqrt{1.5^2 + 1.0^2} = 1.8\,\mathrm{Myr}$: $14.0 \pm 1.8\,\mathrm{Myr}$, logo uma taxa entre $14.35/15.8 = 0.91$ e $14.35/12.2 = 1.18\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$.

24. $14.35/14.0 = 1.03\,\mathrm{km}$ por milhão de anos, isto é, $1.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, cerca de trinta vezes mais lenta que a primeira etapa de exumação das rochas alpinas mais profundas, e cerca de duas vezes a taxa de erosão do modelo de espessamento.