29Jazidas minerais

O cobre constitui cerca de $0.006\,\%$ da crosta; ele é lavrado em rochas que contêm cerca de $0.5\,\%$. Toda mina de cobre assenta portanto numa rocha cerca de oitenta vezes mais rica que a crosta à sua volta, e toda jazida é obra de um concentrador natural: um magma que segregou um líquido sulfetado, uma salmoura quente que dissolveu metais e os depositou numa fratura, um rio que separou grãos pesados de leves, a chuva que lixiviou o topo de um corpo de minério e redepositou seu cobre mais abaixo. Este capítulo segue esses concentradores, depois mede seus produtos — quanto minério, com que teor — e termina com a maneira como as jazidas são encontradas.

O que você já sabe

Dos volumes escolares: jazida e fator de concentração, veio, placer, reserva e recurso; a circulação hidrotermal e as fumarolas negras das dorsais. Dos livros de química: o minério; a solubilidade, os íons complexos e a oxirredução. Do volume do primeiro ano: a velocidade de sedimentação de um grão e a lei de Stokes; a laterita; o evaporito. Do Capítulo 3: o elemento calcófilo, o coeficiente de partição mineral–fundido. Do Capítulo 8: a intrusão acamada e o cumulato. Do Capítulo 18: a formação ferrífera bandada, o cráton. Dos livros de matemática: as distribuições normal e lognormal, e a função de distribuição normal $\Phi$.

29.1 Minério, teor e concentração

Definição 29.1 (Ganga)

Num minério, a ganga é tudo o que não tem valor econômico: os minerais formadores de rocha, hidrotermais e de alteração intempérica que acompanham os minerais de minério e são separados deles e descartados durante o beneficiamento.

A maior parte do minério é ganga. Numa jazida de cobre pórfiro, a principal fonte mundial de cobre, mais de $98\,\%$ do minério é ganga, e os minerais de cobre constituem o resto.

Definição 29.2 (Teor, teor de corte, tonelagem)

O teor de um volume de rocha é a fração mássica do elemento ou mineral valioso que ele contém: em porcentagem para os metais básicos, em gramas por tonelada para o ouro, a prata e os elementos do grupo da platina. O teor de corte é o menor teor com o qual um bloco de rocha é contado como minério; abaixo dele, o bloco é estéril. A tonelagem de uma jazida é a massa de rocha acima do teor de corte; com seu teor médio $\bar g$ ela dá o metal contido, $M = T\bar g$.

A tonelagem e o teor de uma jazida não são, portanto, dois fatos sobre a rocha, mas duas respostas a uma só pergunta, feita para um dado teor de corte. Batu Hijau, uma jazida de cobre–ouro pórfiro na Indonésia, é declarada com $914\,\mathrm{Mt}$ a $0.53\,\%$ de cobre acima de um teor de corte de $0.3\,\%$, e com $1640\,\mathrm{Mt}$ a $0.44\,\%$ numa compilação mundial que adota o menor teor de corte disponível: baixar o teor de corte quase dobra a tonelagem e reduz o teor médio. Numa jazida sedimentar de zinco–chumbo, a jazida de Tom no Canadá, uma redução do teor de corte de cerca de um por cento de zinco mais chumbo multiplicaria as reservas por cinco.

Definição 29.3 (Fator de concentração)

O fator de concentração de um elemento num minério é a razão $\mathrm{CF} = g/a$ entre seu teor $g$ e sua abundância $a$ num reservatório de referência, indicado junto: a crosta continental inteira, a crosta continental superior, ou a rocha a partir da qual a jazida se formou.

O fator depende da referência. Tomando $0.006\,\%$ de cobre para a crosta e $0.5\,\%$ para o minério, obtém-se um fator de 83; tomando a crosta continental superior, $28\,\mathrm{ppm}$, e o teor médio dos cobres pórfiros de 2008, $0.44\,\%$, obtém-se 157. O ouro, a $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ na crosta superior e lavrado a alguns gramas por tonelada, tem fatores da ordem dos milhares; o ferro, a vários por cento na crosta e lavrado a cerca de $50\,\%$, precisa de um fator de apenas cerca de dez.

Definição 29.4 (Jazida)

Uma jazida é um corpo de rocha no qual processos naturais concentraram um elemento ou um mineral a um teor acima do teor de corte, numa tonelagem grande o bastante para que seja extraído com lucro. É ao mesmo tempo um objeto geológico, definido pelos processos que o formaram, e um objeto econômico, definido pelos preços, pelos custos e pela tecnologia.

Por causa de sua metade econômica, o tamanho de uma jazida muda com o tempo. Os recursos identificados de um elemento são as concentrações das quais a extração é viável hoje ou pode vir a sê-lo; suas reservas são a parte que poderia ser extraída economicamente no momento em que foram determinadas. As reservas mundiais de cobre eram de $280\,\mathrm{Mt}$ em 1970; cerca de $697\,\mathrm{Mt}$ foram lavradas desde então, e elas eram de $980\,\mathrm{Mt}$ em 2024.

Proposição 29.5 (Balanço de massa de uma jazida)

Uma jazida que contém uma massa $M$ de um elemento com teor médio $g$ foi alimentada por uma fonte na qual o elemento tinha abundância $a$. Se o processo concentrador extraiu uma fração $\eta \leq 1$ do elemento da fonte e a entregou à jazida, a massa de rocha-fonte processada foi

$$m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}$$

com $T = M/g$ a tonelagem e $\mathrm{CF} = g/a$: pelo menos CF toneladas de fonte por tonelada de minério.

Bingham Canyon, a jazida pórfira mostrada abaixo, é listada com $3230\,\mathrm{Mt}$ a $0.882\,\%$ de cobre, $28.5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Seu fator em relação à crosta superior é 315, e mesmo um processo perfeitamente eficiente teria tido de drenar $1.02 \times 10^{12}$ toneladas de crosta superior média, cerca de $377\,\mathrm{km}^{3}$: um cubo de $7.2\,\mathrm{km}$ de lado. Os processos formadores de minério são portanto processos que movem muita matéria — magma, água, sedimento — através de um pequeno volume onde o elemento fica retido.

Definição 29.6 (Tipos de jazida)

Um tipo de jazida é uma classe de jazidas que compartilham um contexto geológico, uma rocha encaixante, uma forma, uma mineralogia de minério e um processo de formação, de modo que uma descrição da classe prevê onde seus membros ocorrem. Os tipos dividem-se em quatro famílias segundo o processo: magmáticas (o metal é concentrado por um magma enquanto ele cristaliza ou se segrega), hidrotermais (por um fluido aquoso quente), sedimentares (pelo transporte e pela deposição de sedimento, ou por precipitação a partir da água na superfície), e supergênicas (pelo intemperismo de uma jazida anterior).

29.2 Jazidas magmáticas

A cromita nas intrusões acamadas. A cromita, a única fonte comercial de cromo, acumula-se em camadas de cromitito maciço, com mais de $90\,\%$ de cromita, nas partes inferiores ultramáficas das intrusões acamadas. As intrusões têm de 2 a $180\,\mathrm{km}$ de diâmetro e até $15\,\mathrm{km}$ de espessura, e as camadas vão de menos de um centímetro a 5–$8\,\mathrm{m}$; juntas elas contêm a maior parte das reservas mundiais de cromo, e o Complexo de Bushveld, encontrado no Capítulo 8, é o único lavrado para cromita hoje. Sua origem, uma camada de cumulato forçada para o campo da cromita pela mistura de magmas ou por uma mudança de pressão ou de estado de oxidação, ainda é debatida.

Sulfetos de níquel–cobre–EGP. Um magma máfico ou ultramáfico, produzido por grandes graus de fusão do manto ($20\,\%$ a $25\,\%$ ou mais, com mais de 12 por cento de MgO em massa), sobe subsaturado em enxofre. Se assimila enxofre da crosta, ou se resfria o bastante, torna-se saturado e um líquido sulfetado imiscível separa-se em gotículas. Os metais calcófilos passam para essas gotículas: a razão $D$ entre sua concentração no líquido sulfetado e no líquido silicático, o mesmo tipo de coeficiente de partição que entre um mineral e um líquido, é de $10^2$ a $10^3$ para o cobre e o níquel e de $10^3$ a $10^4$ para os elementos do grupo da platina. Quanto metal uma gotícula recolhe depende então de quanto magma ela encontra.

Proposição 29.7 (Fator R)

Suponha-se que uma massa unitária de líquido sulfetado se separe de uma massa $R$ de magma silicático, e atinja o equilíbrio com ela (essa massa é o fator R), num sistema fechado; seja $C_L$ a concentração de um metal no magma antes da separação do sulfeto, e $D$ seu coeficiente de partição sulfeto–silicato. Então a concentração do metal no sulfeto é

$$C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}$$

Para $R \gg D$, $C_S \to D\,C_L$; para $R \ll D$, $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

Os dois limites explicam por que existem dois tipos de minério sulfetado. Quando $R \ll D$ o sulfeto toma quase todo o metal do magma que encontra e $C_S$ cresce com $R$; quando $R \gg D$ ele fica saturado em $D\,C_L$ e mais magma não acrescenta nada. O níquel e o cobre, com $D$ de algumas centenas, atingem seu teto com $R$ de algumas centenas a alguns milhares, a faixa da maioria dos minérios de níquel–cobre; a platina e o paládio, com $D$ perto de $10^4$, continuam ganhando até $R$ de $10\,000$ a $100\,000$. Os minérios ricos em elementos do grupo da platina, como o Merensky Reef do Bushveld e alguns minérios de Norilsk, registram portanto uma pequena massa de sulfeto lavada por uma massa muito grande de magma (exercícios 29.5 e 29.11).

Kimberlitos e diamantes. A maioria dos diamantes, e quase todos os lavrados, formou-se na base da litosfera continental espessa, nas raízes dos crátons; os magmas kimberlíticos, vindos de profundidades maiores que 120 a $150\,\mathrm{km}$ e subindo a até $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, levam-nos à superfície depressa o bastante para que sobrevivam. Os kimberlitos irrompem preferencialmente através de litosfera espessa e antiga, que é onde a prospecção de diamantes procura.

Pegmatitos. Os pegmatitos de lítio–césio–tântalo são diques graníticos enriquecidos nesses elementos raros, produzidos em orógenos colisionais; cristalizam a cerca de 350 a $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, temperatura notavelmente baixa para um líquido granítico, em dias a anos, e formam cristais enormes — um cristal de espodumênio media $14\,\mathrm{m}$ de comprimento. Seus minerais de lítio, espodumênio, petalita e lepidolita, fornecem cerca de um quarto do lítio mundial.

29.3 Jazidas hidrotermais

Definição 29.8 (Fluido hidrotermal e tipos de jazidas hidrotermais)

Um fluido hidrotermal é um fluido aquoso quente, liberado por um magma, por reações metamórficas, ou água do mar, água meteórica ou salmoura de bacia aquecidas, que dissolve, transporta e deposita elementos ao fluir através da rocha. Os principais tipos de jazidas hidrotermais são:

• a jazida de cobre pórfiro: um corpo grande, de baixo teor, de vênulas e sulfetos de cobre disseminados dentro e em torno de um pequeno stock pórfiro, formado por fluidos magmáticos a poucos quilômetros da superfície acima de uma zona de subducção;
• a jazida epitermal: veios e disseminações de ouro–prata formados a menos de cerca de $1.5\,\mathrm{km}$ da superfície, a cerca de 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, em arcos vulcânicos;
• a jazida de sulfeto maciço vulcanogênico (VMS): uma lente de sulfetos maciços formada sobre o fundo do mar ou logo abaixo dele, numa fonte hidrotermal num contexto vulcânico submarino;
• a jazida sedimentar exalativa (sedex): sulfetos laminados de zinco–chumbo em folhelhos marinhos de uma bacia de rifte, precipitados sobre o fundo do mar ou logo abaixo dele a partir de salmouras de bacia que sobem ao longo de falhas;
• a jazida do tipo Mississippi Valley (MVT): sulfetos de zinco–chumbo que substituem carbonatos de plataforma, epigenéticos e sem relação com atividade ígnea, depositados por salmouras de bacia;
• a jazida de ouro orogênico: veios de quartzo aurífero em cinturões metamórficos, ao longo de grandes falhas, depositados por fluidos de baixa salinidade, ricos em CO$_2$, de origem metamórfica.

Transporte e deposição. A maioria dos metais é transportada nos fluidos hidrotermais como complexos: o zinco, o chumbo e o cobre como clorocomplexos, de modo que a salinidade controla sua solubilidade, e o ouro, em fluidos reduzidos, como complexos de enxofre como AuHS(H$_2$S)$_3$. Um fluido deposita sua carga quando a solubilidade cai: quando ele se resfria; quando ferve com a queda de sua pressão, perdendo H$_2$S e CO$_2$ e mudando o pH; quando se mistura com um fluido de composição diferente — uma salmoura que encontra água rica em H$_2$S precipita esfalerita e galena quase de imediato; e quando reage com a rocha encaixante, o que muda seu pH ou seu estado de oxidação. Cada tipo de jazida é uma combinação de fluido, caminho e armadilha.

Cobre pórfiro. As jazidas pórfiras fornecem cerca de $60\,\%$ do cobre mundial e contêm cerca de $65\,\%$ de seus recursos. Elas se centram em pequenos stocks cilíndricos ou enxames de diques, os topos de plútons maiores, alojados a menos de 5–$10\,\mathrm{km}$ de profundidade em arcos acima de zonas de subducção, o contexto do Capítulo 9. Uma jazida tem de 0.1 a $1\,\mathrm{km}$ de diâmetro, com altura semelhante; a rocha alterada pode estender-se por $10\,\mathrm{km}$ ou mais à sua volta. À medida que o magma cristaliza, um fluido com 3 a 5 por cento de sal em massa separa-se dele; subindo e descomprimindo-se, divide-se numa salmoura e num vapor, ambos portadores de metais, e sua sobrepressão fratura a rocha. Veios de quartzo precipitam a cerca de 700 a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e a reação do fluido com a rocha zoneia a alteração, como no corte abaixo. Como se formam rasas em margens ativas, onde a erosão é rápida, mais de $90\,\%$ das jazidas pórfiras conhecidas são cenozoicas ou mesozoicas.

Ouro epitermal. Acima de alguns sistemas pórfiros, e nos arcos vulcânicos em geral, o mesmo tipo de fluido atinge os $1.5\,\mathrm{km}$ superiores da crosta a cerca de 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, onde ferve e se mistura com a água subterrânea; ele deposita ouro e prata em veios de quartzo, com uma alteração que registra fluidos quase neutros (adulária, illita) ou muito ácidos (caulinita, dickita, pirofilita).

Sulfetos maciços no fundo do mar. A água do mar aspirada para a crosta quente de uma dorsal ou de um arco retorna nas fontes como fumarolas negras a cerca de $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, vistas pela primeira vez na Dorsal do Pacífico Leste em 1979. Onde o campo de fontes perdura, seus sulfetos constroem um monte; o minério tem mais de $40\,\%$ de sulfetos, sobre um stockwork de veios que marca o conduto alimentador. Os metais são zoneados pela temperatura, ferro e cobre na base quente, zinco, ferro, chumbo e bário no topo e nas margens mais frias, como no monte desenhado na próxima seção. As jazidas de sulfeto maciço vulcanogênico vão de bolsões de menos de uma tonelada aos $1.5\,\mathrm{Gt}$ de Rio Tinto na Espanha, e em idade de $3.55\,\mathrm{Ga}$ a jazidas que se formam hoje.

Salmouras de bacia: sedex e MVT. As salmouras de bacia com 10 a $30\,\%$ de sais dissolvidos, aquecidas a 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ pelo soterramento, transportam zinco e chumbo como clorocomplexos e formam os dois tipos hospedados em sedimentos. As jazidas sedex formam-se onde a salmoura sai numa bacia restrita e redutora ao longo de uma falha de rifte e encontra sulfeto de hidrogênio, produzindo lamas sulfetadas laminadas; elas contêm mais da metade das reservas mundiais de zinco e chumbo. As jazidas MVT formam-se onde a salmoura, expulsa de uma bacia, atinge uma plataforma carbonática em sua margem e a substitui a 75 a cerca de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; elas contêm $38\,\%$ do chumbo e do zinco das jazidas hospedadas em sedimentos, com cerca de dez vezes mais zinco que chumbo.

Ouro orogênico. Nos cinturões metamórficos, reações de desvolatilização liberam um fluido quase neutro, de baixa salinidade e rico em CO$_2$; canalizado ao longo de grandes falhas, ele deposita veios de quartzo auríferos a cerca de $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e 4 a $12\,\mathrm{km}$ de profundidade. Os veios são contínuos ao longo de grandes alturas: $3.2\,\mathrm{km}$ em Kolar, na Índia.

29.4 Jazidas sedimentares e supergênicas

Definição 29.9 (Depósito de placer)

Um placer é uma jazida sedimentar de minerais densos e duráveis concentrados pela água ou pelo vento em movimento porque, para o mesmo tamanho, eles sedimentam mais depressa e são arrastados com menos facilidade que os grãos de quartzo à sua volta.

Os minerais com densidade acima de cerca de 2.85 são chamados pesados, contra 2.65 para o quartzo: ilmenita e zircão perto de 4.7, magnetita 5.2, ouro 15 a 19.3. Pela lei de Stokes a velocidade de sedimentação de um grão cresce com seu excesso de densidade $\rho_s - \rho_w$, onze vezes maior para o ouro que para o quartzo, de modo que o ouro de um dado tamanho fica junto com quartzo três vezes maior (exercício 29.3); o ouro fica em geral nos cascalhos fluviais sobre o embasamento, enquanto a ilmenita, o rutilo e o zircão chegam às praias e às dunas. Os teores das areias de minerais pesados são a porcentagem em massa de minerais pesados.

Os sedimentos químicos também são minérios. As formações ferríferas bandadas do Capítulo 18, precipitadas quando o ferro dissolvido dos oceanos foi oxidado, são um minério de ferro comum; os evaporitos fornecem a halita e os sais de potássio; as lateritas, resíduo do intemperismo tropical profundo, concentram o alumínio como bauxita. O intemperismo também enriquece jazidas anteriores.

Definição 29.10 (Enriquecimento supergênico, gossan)

O enriquecimento supergênico é a concentração de um metal pela água subterrânea descendente: acima do nível freático, a água oxigenada e ácida dissolve o metal dos sulfetos de um corpo de minério, e abaixo dele, em condições redutoras, deposita-o de novo, sobretudo substituindo os sulfetos primários. Um gossan é a rocha porosa, rica em óxidos de ferro, deixada na superfície sobre um corpo sulfetado intemperizado, com seus sulfetos substituídos por goethita, hematita e jarosita.

Nas jazidas pórfiras, o capeamento lixiviado acima do nível freático tem até várias centenas de metros de espessura; abaixo dele, zonas de sulfetos enriquecidos em calcocita, com dezenas a várias centenas de metros de espessura, atingem mais de $1.5\,\mathrm{Gt}$ a 0.4 a $1.7\,\%$ de cobre, sempre mais ricas que o minério primário hipogênico subjacente. Os óxidos de ferro de um gossan e de um capeamento lixiviado conservam as texturas dos sulfetos que substituíram, e guiam a busca em profundidade; os gossans e suas manchas de ferro revelaram muitas jazidas de sulfeto maciço aos antigos mineradores.

29.5 Teor e tonelagem

Uma compilação mundial lista 422 jazidas de cobre pórfiro com sua tonelagem, ao menor teor de corte disponível, e seu teor médio de cobre. Um décimo delas excede $1500\,\mathrm{Mt}$ e um décimo contém menos de $33\,\mathrm{Mt}$, com uma mediana de $240\,\mathrm{Mt}$; os teores vão de $0.24\,\%$ a $0.75\,\%$ entre os mesmos decis, com uma mediana de $0.44\,\%$. Entre os decis a tonelagem espalha-se por um fator de 45, o teor por um fator de 3. Em eixos logarítmicos os dois histogramas aproximam-se de curvas normais, como mostra a figura abaixo: os logaritmos da tonelagem têm média de 2.373 e desvio-padrão de 0.654, os do teor $-0.364$ e 0.199 (logaritmos de base 10, tonelagem em megatoneladas, teor em porcentagem). O ajuste é imperfeito: os teores são mais concentrados em torno do pico que uma lei lognormal, e algumas jazidas de teor muito baixo fazem-nos afastar-se dela num teste formal. E as duas grandezas são quase independentes, com uma correlação de 0.1 entre seus logaritmos.

Proposição 29.11 (Produto de variáveis lognormais)

Se $\log_{10} T$ e $\log_{10} g$ são conjuntamente normais, com médias $\mu_T$ e $\mu_g$, desvios-padrão $\sigma_T$ e $\sigma_g$ e correlação $\rho$, então o metal contido $M = Tg/100$ ($g$ em porcentagem) é lognormal: $\log_{10} M$ é normal com

$$\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad \sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}$$

Para as jazidas pórfiras, $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times 0.199} = 0.702$ e $\mu_M = 0.009$: a jazida mediana contém cerca de $1\,\mathrm{Mt}$ de cobre, e o metal contido espalha-se ainda mais amplamente que a tonelagem. Uma lei lognormal com dispersão tão grande põe a maior parte do metal em poucas jazidas: o décimo maior contém cerca de $63\,\%$ do cobre segundo a lei, $64\,\%$ nos dados (exercício 29.12). A figura abaixo situa cada jazida por sua tonelagem e seu teor, com linhas de igual cobre contido; Bingham, com $28.5\,\mathrm{Mt}$, fica entre as linhas de 10 e de $100\,\mathrm{Mt}$.

Definição 29.12 (Curva teor–tonelagem)

A curva teor–tonelagem de uma jazida dá, como funções do teor de corte $c$, a tonelagem $T(c)$ dos blocos com teor acima de $c$ e seu teor médio $\bar g(c)$.

Proposição 29.13 (Curva teor–tonelagem de uma jazida lognormal)

Se os teores dos blocos de uma jazida de tonelagem total $T_0$ são lognormais, com $\ln g$ normal de média $\mu$ (o teor mediano é $e^{\mu}$) e desvio-padrão $s$, então, com $z = (\mu - \ln c)/s$,

$$T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad \bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}$$

e o metal acima do teor de corte é $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, uma fração $\Phi(z + s)$ do total.

Para $c \to 0$ toda a jazida é mantida, com o teor médio $e^{\mu + s^2/2}$, que está acima da mediana. Elevar o teor de corte remove tonelagem mais depressa que metal, porque os blocos removidos são os mais pobres: na jazida ilustrativa da figura, elevar o teor de corte de 0.2 para $0.5\,\%$ mantém $41\,\%$ da tonelagem mas $61\,\%$ do cobre.

29.6 A prospecção

As jazidas são encontradas pelos vestígios que deixam além de seu minério. O halo de alteração de um sistema pórfiro tem quilômetros de largura, e onde a rocha aflora seus minerais podem ser mapeados a partir de aviões e satélites por seus espectros infravermelhos; seus metais dispersam-se nos solos, nos sedimentos de corrente, nas águas e nas plantas em volta; e seus sulfetos e rochas alteradas mudam as propriedades físicas que a geofísica mede.

Definição 29.14 (Anomalia geoquímica)

Uma anomalia geoquímica é uma concentração de um elemento, ou de um grupo de elementos, num meio amostrado — rocha, solo, sedimento de corrente, água, plantas — que se afasta de seu fundo regional, a faixa de concentrações encontrada onde nenhuma mineralização está presente.

Como os teores, as concentrações espalham-se por ordens de grandeza, de modo que uma anomalia é em geral julgada em logaritmos; um limiar simples, usado no exercício 29.9, é a média dos logaritmos do fundo mais duas vezes seu desvio-padrão. Uma amostra de sedimento de corrente mistura o sedimento de toda a sua bacia, de modo que uma anomalia se atenua a jusante à medida que sedimento limpo se junta a ela, e o gradiente das concentrações aponta rio acima, em direção à fonte. Em solos sobre pegmatitos soterrados, anomalias de lítio, rubídio, césio, tântalo e estanho foram rastreadas acima de corpos que não afloram.

Os métodos geofísicos são escolhidos pelo contraste que um tipo de jazida oferece. Os sulfetos disseminados fazem uma rocha agir como um capacitor: o método de polarização induzida, que mede essa cargabilidade, foi desenvolvido para o cobre pórfiro e responde sobretudo à zona sericítica rica em pirita, sendo o núcleo potássico mais pobre em sulfetos. Os levantamentos magnéticos e gravimétricos mapeiam os plútons aos quais as jazidas estão relacionadas. Nenhum método vê o minério diretamente, e toda interpretação é não única até que um furo de sondagem a teste.

Método 29.15 (Das análises a uma estimativa de recursos)

Os dados são furos de sondagem numa malha através da jazida, com seus testemunhos descritos e analisados em intervalos de comprimento conhecido.

1. Compostas. Faça a média das análises sobre comprimentos iguais, ponderando cada análise por seu comprimento, de modo que cada amostra composta represente o mesmo volume.
2. Modelo. Divida a jazida em blocos e estime o teor de cada um a partir das compostas próximas, ponderando-as pela distância e pela correlação espacial dos teores (o método geoestatístico da krigagem, admitido).
3. Relatório. Aplique um teor de corte: tonelagem e teor médio dos blocos acima dele, com a densidade da rocha, em cada nível de confiança permitido pelo espaçamento dos furos.

No campo — Descrever testemunhos de sondagem

Num projeto de prospecção, os testemunhos de cada furo são dispostos em caixas metálicas na ordem em que saíram do terreno. Os geólogos percorrem as caixas, intervalo por intervalo, e registram qual é a rocha, como está alterada, que veios a cortam e em que proporção, e que sulfetos ela contém; marcam onde o testemunho será serrado e amostrado. A descrição vem antes das análises e é comparada com elas: uma zona de alteração ou um tipo de veio que carrega o metal torna-se a coisa a seguir de furo em furo, e a partir da descrição os geólogos traçam as seções com as quais os próximos furos são planejados.

Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: crosta continental superior, cobre $28\,\mathrm{ppm}$, ouro $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, cromo $92\,\mathrm{ppm}$; a população de cobres pórfiros da Seção 29.5, $\log_{10}$ da tonelagem (Mt) com média 2.373 e desvio-padrão 0.654, $\log_{10}$ do teor (%) com média $-0.364$ e desvio-padrão 0.199, correlação $\rho = 0.100$. Arredonde a três algarismos significativos.

Exercício 29.1 ★

Encontre o fator de concentração em relação à crosta superior de: (a) um minério de cobre a $0.5\,\%$; (b) um minério de ouro a $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$; (c) um cromitito com $90\,\%$ de cromita, tomando a cromita como FeCr$_2$O$_4$ (massas atômicas Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

Solução

Solução de Exercício 29.1.

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, e $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, e $6000/1.5 = 4000$. (c) A cromita contém $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$ de cromo em massa; o cromitito, $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, ou $418\,000\,\mathrm{ppm}$, e $418000/92 = 4540$.

Exercício 29.2 ★

Batu Hijau é declarada com $914\,\mathrm{Mt}$ a $0.53\,\%$ de Cu e $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au acima de um teor de corte de $0.3\,\%$, e com $1640\,\mathrm{Mt}$ a $0.44\,\%$ de Cu e $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au ao menor teor de corte disponível. (a) Encontre o cobre contido (Mt) e o ouro (t) de cada estimativa. (b) Que tonelagem e que cobre os blocos adicionais da segunda estimativa acrescentam, e com que teor médio? (c) Por que as duas estimativas estão corretas?

Solução

Solução de Exercício 29.2.

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ de cobre e $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, $366\,\mathrm{t}$ de ouro; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ e $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 = 726\,\mathrm{Mt}$ contendo $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ de cobre, com teor médio de $2.372/726 = 0.327\,\%$: os blocos adicionais ficam abaixo do teor de corte de $0.3\,\%$ e logo acima dele. (c) Elas respondem à pergunta para dois teores de corte; nenhuma é o tamanho da jazida sem seu teor de corte.

Exercício 29.3 ★

Na lei de Stokes a velocidade de sedimentação de um grão de diâmetro $d$ é proporcional a $(\rho_s - \rho_w)\,d^2$. Tome $\rho_w = 1.00$, quartzo 2.65, ouro 19.3, zircão 4.7 (em $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) Quantas vezes mais depressa um grão de ouro sedimenta que um grão de quartzo do mesmo tamanho? (b) Qual é a razão entre os diâmetros de um grão de ouro e de um de quartzo que sedimentam à mesma velocidade? (c) Que grão de quartzo sedimenta como um grão de zircão de $0.1\,\mathrm{mm}$?

Solução

Solução de Exercício 29.3.

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Velocidades iguais exigem $(\rho_g - 1)d_g^2 = (\rho_q - 1)d_q^2$, donde $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$: um grão de ouro sedimenta como um grão de quartzo cerca de três vezes maior. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

Exercício 29.4 ★

Um minério primário de cobre tem um teor de $0.4\,\%$. O intemperismo lixivia todo o seu cobre numa espessura de $150\,\mathrm{m}$ e redeposita-o num manto de $50\,\mathrm{m}$ de espessura logo abaixo, sendo a densidade a mesma. (a) Encontre o teor do manto. (b) O mesmo se apenas $80\,\%$ do cobre lixiviado for redepositado. (c) Que espessura lixiviada daria $1.7\,\%$ com redeposição completa?

Solução

Solução de Exercício 29.4.

Por unidade de área e de densidade, o manto conserva seu próprio cobre e recebe o da coluna lixiviada: $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1) = 163\,\mathrm{m}$. Esses teores estão na faixa de 0.4–$1.7\,\%$ dos mantos de enriquecimento das jazidas pórfiras.

Exercício 29.5 ★★

Um magma contém $10\,\mathrm{ppb}$ de platina e $200\,\mathrm{ppm}$ de níquel; tome $D_{\mathrm{Pt}} = 10^4$ e $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) Usando (29.2), encontre os teores de platina (ppm) e de níquel (% em massa) do sulfeto para $R = 100$, $1000$, $10\,000$ e $100\,000$. (b) Encontre seus limites para $R \to \infty$. (c) Explique por que um minério de níquel diz pouco sobre $R$, e um minério de platina muito.

Solução

Solução de Exercício 29.5.

(a) Platina, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb: $1.00\,\mathrm{ppm}$ para $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ para $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ para $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ para $100\,000$. Níquel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm: $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$: $100\,\mathrm{ppm}$ de platina, $10\,\%$ de níquel. (c) O níquel fica a menos de $5\,\%$ de seu teto a partir de $R = 10\,000$, de modo que seu teor quase não muda ao longo de um fator dez em $R$; a platina ainda quase dobra nessa faixa, de modo que seu teor mede $R$.

Exercício 29.6 ★★

Usando (29.3) para a população de cobres pórfiros: (a) encontre a média e o desvio-padrão de $\log_{10} M$, e o cobre contido mediano. (b) Que fração das jazidas contém mais de $10\,\mathrm{Mt}$ de cobre? Quantas das 422? (c) Refaça (b) ignorando a correlação.

Solução

Solução de Exercício 29.6.

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$; $\sigma_M = 0.702$; mediana $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$: cerca de 33 jazidas das 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, cerca de 31: a fraca correlação acrescenta algumas gigantes.

Exercício 29.7 ★★

Para a jazida ilustrativa da figura ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, mediana $0.40\,\%$, $s = 0.60$), use (29.4) para encontrar a tonelagem, o teor médio e o cobre contido acima de teores de corte de $0.3\,\%$ e $0.6\,\%$. Verifique um ponto na figura.

Solução

Solução de Exercício 29.7.

Média de todos os blocos $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Para $c = 0.3$: $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 = 0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$: $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times 0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Para $c = 0.6$: $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$: $250\,\mathrm{Mt}$ a $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. Na figura, com teor de corte de $0.3\,\%$, a curva azul dá cerca de $680\,\mathrm{Mt}$ e a vermelha cerca de $0.6\,\%$.

Exercício 29.8 ★★

Uma jazida pórfira contém $5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Suponha que seu fluido magmático transportasse $1000\,\mathrm{ppm}$ de cobre, metade do qual tenha sido depositada no minério, e que o magma tenha liberado $3.5\,\%$ de sua massa como fluido. (a) Encontre a massa de fluido e de magma necessária. (b) Encontre o volume do magma, de densidade $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Se o magma continha $50\,\mathrm{ppm}$ de cobre, que fração dele terminou no minério?

Solução

Solução de Exercício 29.8.

(a) Fluido: $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$; magma: $1 \times 10^{10}/0.035 = 2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, $110\,\mathrm{km}^{3}$, um cubo de magma de cerca de $4.8\,\mathrm{km}$ de lado. (c) O magma continha $2.86 \times 10^{11} \times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ de cobre, e o minério $5/14.3 = 0.350$ dele.

Exercício 29.9 ★★

Oito sedimentos de corrente de fundo dão $\log_{10}$ Cu (ppm) de 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48 e 1.40. (a) Encontre a média e o desvio-padrão (populacional) dos logaritmos, a mediana de fundo e o limiar média mais dois desvios-padrão, em ppm. (b) Um afluente que drena $4\,\mathrm{km}^{2}$ de terreno mineralizado transporta sedimento a $400\,\mathrm{ppm}$; ele se junta a uma corrente que drena $36\,\mathrm{km}^{2}$ com a mediana de fundo. Supondo que cada quilômetro quadrado forneça a mesma massa de sedimento, o sedimento misturado é anômalo? (c) Até que área total de bacia a anomalia permanece acima do limiar?

Solução

Solução de Exercício 29.9.

(a) A média dos logaritmos é 1.411 e seu desvio-padrão, 0.0664; a mediana é $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$; limiar $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 = 63.2\,\mathrm{ppm}$, acima de $35.0\,\mathrm{ppm}$: ainda anômalo após a diluição por nove partes de sedimento limpo. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ dá $A = 4 \times (400 - 25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

Exercício 29.10 ★★★

(a) Prove que $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) Deduza a média de uma variável lognormal, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Mostre que a fração do metal acima do teor de corte, $\Phi(z + s)$, sempre excede a fração da tonelagem, $\Phi(z)$, e interprete.

Solução

Solução de Exercício 29.10.

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$; divida por $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] = e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}$. (c) $\Phi$ é crescente e $s > 0$, logo $\Phi(z + s) > \Phi(z)$: os blocos mantidos são mais ricos que os descartados, de modo que cada teor de corte mantém uma parcela maior do metal que da rocha; a diferença cresce com $s$, a variabilidade da jazida.

Exercício 29.11 ★★★

(a) A partir de (29.2), encontre o $R$ para o qual $C_S$ atinge uma fração $f$ de seu teto $D\,C_L$. (b) Calcule-o para $f = 0.5$ e $0.9$ com $D = 300$ (níquel) e $D = 10^4$ (platina). (c) Compare com as faixas de $R$ dos minérios de níquel–cobre e dos recifes de EGP dadas no texto.

Solução

Solução de Exercício 29.11.

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ dá $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$: $R = D - 2$, 298 e $9998$; $f = 0.9$: $R = 9D - 10$, $2690$ e $89\,990$. (c) O níquel atinge $50\,\%$ de seu teto dentro da faixa dos minérios de níquel–cobre (100 a $2000$), e 90 logo acima dela; a platina precisa de $R$ de $10\,000$ a $100\,000$, a faixa dos recifes de EGP.

Exercício 29.12 ★★★

(a) Para uma variável lognormal $M$ com $\ln M$ de desvio-padrão $s$, mostre que as jazidas acima do quantil de ordem $q$ contêm uma fração $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ do metal total. (b) Calcule-a para a população de pórfiros e $q = 0.9$. (c) O mesmo para $q = 0.99$; compare com as quatro maiores jazidas, que contêm $26.6\,\%$ do cobre da compilação.

Solução

Solução de Exercício 29.12.

(a) Com $\ln M = m + s u$, as jazidas acima do quantil são as que têm $u > \Phi^{-1}(q)$, e seu metal é $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) - s)]$, e dividir pelo total $e^{m + s^2/2}$ dá $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 = 1.616$; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, contra 0.266 para as quatro maiores: as maiores jazidas são um pouco maiores do que a lei lognormal prevê.

Problema 29.1

Problema de fim de semana — um prospecto pórfiro

Um prospecto pórfiro (inventado) foi sondado. Seu furo de descoberta cortou oito intervalos, de cima para baixo (comprimento em metros, teor de cobre em porcentagem): 30 m a 0.12; 40 a 0.35; 50 a 0.62; 60 a 0.48; 40 a 0.27; 30 a 0.81; 50 a 0.41; 30 a 0.18. Um estudo geoestatístico de todos os furos conclui que os teores dos blocos são lognormais, com mediana $0.38\,\%$ e $s = 0.55$ para $\ln g$. O corpo mineralizado é próximo de um cilindro vertical de raio $450\,\mathrm{m}$ e altura $700\,\mathrm{m}$, de densidade $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Use os dados dos exercícios, e arredonde a três algarismos significativos (as probabilidades a quatro).

Parte I — O furo de descoberta.

1. Encontre o comprimento amostrado do furo e seu teor médio ponderado pelo comprimento.
2. Encontre a média aritmética dos oito teores. Por que a média ponderada é a correta?
3. Que fração do comprimento está acima de $0.3\,\%$, e com que teor médio?
4. Encontre o fator de concentração do teor médio ponderado em relação à crosta superior.
5. O mesmo para o intervalo mais rico.
6. Encontre o teor médio de todos os blocos da jazida. O furo de descoberta é representativo?

Parte II — A tonelagem acima do teor de corte.

7. Encontre o volume e a tonelagem $T_0$ do corpo; mantenha $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$.
8. Para um teor de corte de $0.3\,\%$, encontre $z$ e a fração dos blocos acima dele.
9. Encontre a tonelagem acima de teores de corte de 0.2, 0.3 e $0.5\,\%$.
10. Encontre o teor médio acima do teor de corte de $0.3\,\%$.
11. O mesmo acima de 0.2 e de $0.5\,\%$.
12. Elevando o teor de corte de 0.3 para $0.5\,\%$: por que fatores mudam a tonelagem e o teor médio?
13. Com que teor de corte metade da tonelagem é mantida, e qual é seu teor médio?

Parte III — O prospecto entre os pórfiros do mundo.

14. Encontre o cobre contido no corpo inteiro, com seu teor médio.
15. Encontre o escore padrão de sua tonelagem na população mundial, e seu percentil.
16. O mesmo para seu teor médio.
17. Encontre o desvio-padrão de $\log_{10} M$ com a correlação, e sem ela.
18. Encontre o percentil de seu cobre contido.
19. Quantas das 422 jazidas se esperaria que contivessem mais cobre?

Parte IV — O cobre acima do teor de corte.

20. Encontre o cobre contido acima do teor de corte de $0.2\,\%$.
21. O mesmo acima de $0.5\,\%$.
22. Que fração do cobre está acima de $0.3\,\%$, e que fração da tonelagem?
23. Explique por que baixar o teor de corte abaixo de $0.3\,\%$ acrescenta muita rocha e pouco cobre, usando as respostas às questões 9 e 20.
24. Em resumo: quanto cobre o prospecto contém acima do teor de corte de $0.3\,\%$?

Solução

Solução de Problema 29.1.

1. $330\,\mathrm{m}$; $\sum l\,g = 138.4$, média $138.4/330 = 0.419\,\%$. 2. $3.24/8 = 0.405\,\%$; cada intervalo representa um comprimento de testemunho, portanto um volume de rocha: um intervalo longo deve pesar mais que um curto. 3. $230/330 = 0.697$, a $118.6/230 = 0.516\,\%$. 4. $4190/28 = 150$. 5. $8100/28 = 289$. 6. $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$; o furo, com $0.419\,\%$, fica a menos de $6\,\%$ disso: representativo. 7. $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. 8. $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$; $\Phi(z) = 0.6663$. 9. $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. 10. $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 = 0.555\,\%$. 11. $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$; $0.442 \times 0.5203/0.3089 = 0.744\,\%$. 12. Tonelagem $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$; teor $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. 13. Na mediana, $0.38\,\%$ ($z = 0$): $600\,\mathrm{Mt}$ a $0.442 \times \Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. 14. $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. 15. $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$; $\Phi = 0.8599$: percentil 86, uma jazida grande. 16. $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$; $\Phi = 0.5187$: um teor comum, percentil 52. 17. 0.702 com a correlação, 0.684 sem ela. 18. $\mu_M = 0.009$; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$; $\Phi = 0.8459$: percentil 85. 19. $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. 20. $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 = 5.08\,\mathrm{Mt}$. 21. $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. 22. $\Phi(z + s) = 0.8364$ do cobre, em $\Phi(z) = 0.6663$ da tonelagem. 23. De 0.3 para $0.2\,\%$ a tonelagem cresce $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) e o cobre $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$): os blocos acrescentados têm em média $0.64/254 = 0.25\,\%$, os mais pobres da jazida. 24. $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$: o prospecto contém $4.44\,\mathrm{Mt}$ de cobre acima do teor de corte de $0.3\,\%$.