1O meio interestelar e a formação das estrelas

Na constelação de Touro, a cerca de $140\,\mathrm{pc}$ do Sol, uma mancha escura apaga as estrelas que estão atrás dela. Vista com um radiotelescópio sintonizado nas linhas do monóxido de carbono, a mancha é uma nuvem de gás frio com cerca de vinte mil vezes a massa do Sol, atravessada por filamentos; nos nós mais densos estão nascendo estrelas jovens e, em torno de uma delas, HL Tauri, um disco de poeira exibe um padrão de anéis claros e escuros onde planetas talvez já estejam se formando. O Sol, a Terra e cada átomo das rochas deste livro estiveram um dia em uma nuvem assim. Este capítulo acompanha a matéria de um sistema planetário desde o gás rarefeito entre as estrelas até um disco em torno de uma estrela recém-nascida: de que é feito o meio interestelar, por que uma nuvem sustentada pelo próprio calor chega a colapsar, quanto tempo dura o colapso, como uma estrela reúne sua massa e por que a matéria que não cai nela acaba em um disco.

O que você já sabe

Uma estrela da sequência principal brilha fundindo hidrogênio em hélio em seu núcleo e se sustenta pela própria pressão contra o próprio peso; sua posição no diagrama de Hertzsprung–Russell é fixada por sua massa (física, terceiro ano universitário). Um corpo em órbita fechada em torno de uma massa $M$ obedece à terceira lei de Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (física, primeiro ano universitário). Um corpo negro à temperatura $T$ emite $\sigma T^4$ por unidade de área (física, segundo ano universitário). Em um gás ideal de $N$ partículas, a energia cinética média de translação é $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. O parsec, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, é a unidade de distância do volume do primeiro ano.

1.1 A matéria entre as estrelas

O espaço entre as estrelas não é vazio. Perto do Sol, ele contém em média cerca de um átomo de hidrogênio por centímetro cúbico, uma densidade de massa de $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; o ar que respiramos contém umas $10^{19}$ vezes mais moléculas no mesmo volume (Exercício 1.1). Espalhada pela Galáxia, essa matéria rarefeita ainda soma $10\text{ a }15\,\%$ da massa do disco galáctico.

Definição 1.1 (Meio interestelar, poeira interestelar)

O meio interestelar é o gás e a poeira que preenchem o espaço entre as estrelas de uma galáxia. A poeira interestelar é a parte dele na forma de grãos sólidos, de alguns nanômetros a cerca de um micrômetro de diâmetro, feitos de silicatos, compostos de carbono e, nas regiões frias, gelos.

Sua composição é a medida no Sol e nos meteoritos: em massa, $70.4\,\%$ de hidrogênio, $28.1\,\%$ de hélio e $1.5\,\%$ de elementos mais pesados. Só $0.5\text{ a }1\,\%$ da massa está na poeira, e no entanto a poeira retém a maior parte de certos elementos: o gás é mais pobre que o Sol em magnésio, silício e ferro por fatores de 10 a 100, porque esses átomos estão presos nos grãos, ao passo que carbono, nitrogênio e oxigênio são empobrecidos apenas por fatores de 1.2 a 3. Os grãos são os primeiros sólidos de um futuro sistema planetário; o Capítulo 2 os acompanha.

1.1.1 Cinco fases

O gás está longe de ser uniforme. Ele se apresenta em alguns estados distintos, ou fases, cada um com sua faixa de temperatura e de densidade (tabela abaixo). Cerca de metade de sua massa está em nuvens que ocupam apenas $1\text{ a }2\,\%$ do volume; o resto, morno ou quente, preenche o espaço entre elas.

fase	temperatura (K)	densidade $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
molecular	10–20	$10^2$–$10^6$
atômica fria	50–100	20–50
atômica morna	6000–10 000	0.2–0.5
ionizada morna	cerca de 8000	0.2–0.5
ionizada quente	cerca de $10^6$	cerca de 0.0065

A tabela esconde uma regularidade. A pressão de um gás ideal é $P = n k_{\mathrm B} T$, de modo que o produto $nT$ a mede. Para o gás atômico frio, $nT$ vale cerca de $30\times75 \approx 2000$ (em $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$); para o gás atômico morno, cerca de $0.3\times8000 \approx 2400$; para o gás quente, cerca de $0.0065\times10^6 = 6500$: a menos de um fator de poucas unidades, as três fases que dividem o espaço entre as nuvens estão à mesma pressão (figura abaixo). Onde um gás quente e um gás frio se tocam à mesma pressão, nenhum empurra o outro para longe; um gás que esfria a pressão constante fica mais denso na mesma proporção e passa da fase morna para a fria. As nuvens moleculares atingem pressões muito mais altas, até milhares de vezes maiores em suas partes densas: elas são mantidas coesas pela própria gravidade, e não pela pressão do meio que as cerca.

A poeira se revela de três maneiras. Ela atenua a luz das estrelas que estão atrás dela, e atenua mais a luz azul que a vermelha, de modo que as estrelas vistas através dela parecem mais vermelhas do que são. Ela brilha no infravermelho distante e em comprimentos de onda milimétricos, à temperatura de algumas dezenas de kelvins a que a luz das estrelas a aquece. E ela esconde dos telescópios ópticos o que existe no interior de uma nuvem densa, e é por isso que a formação estelar é observada em comprimentos de onda de rádio e de infravermelho. O gás é rastreado por suas linhas: o hidrogênio atômico por sua linha de rádio de $21\,\mathrm{cm}$, o hidrogênio molecular, que quase não irradia quando frio, pelas linhas das moléculas que o acompanham, a começar pelo monóxido de carbono.

1.2 Nuvens moleculares

A fase mais fria e mais densa é aquela em que as estrelas se formam.

Definição 1.2 (Nuvem molecular, núcleo denso)

Uma nuvem molecular é uma região do meio interestelar densa e opaca o bastante para que seu hidrogênio esteja principalmente na forma de moléculas, $\ce{H2}$, protegidas pela poeira da luz ultravioleta das estrelas, que as quebraria; sua temperatura é de cerca de $10\,\mathrm{K}$ a $20\,\mathrm{K}$. Um núcleo denso é uma condensação compacta no interior de uma nuvem molecular, com alguns décimos de parsec de diâmetro ou menos, densidades de $10^4$ a $10^5$ partículas por centímetro cúbico, e da qual se forma uma única estrela ou um pequeno grupo de estrelas.

As nuvens se organizam em uma hierarquia (tabela abaixo). Uma nuvem escura como a de Touro contém grumos, e os grumos contêm núcleos, cada nível mais denso, menor e mais calmo que o de cima: em um núcleo, o gás se move a no máximo alguns décimos de quilômetro por segundo, a velocidade do som em um gás a $10\,\mathrm{K}$. A região de Touro mapeada em monóxido de carbono contém cerca de $2.4 \times 10^{4}$ massas solares de gás; apenas $0.3\text{ a }1.2\,\%$ dele se transformou nas estrelas jovens vistas ali, a uma taxa de cerca de oito estrelas a cada cem mil anos nos últimos três milhões de anos. A formação estelar é lenta e perdulária.

	nuvens escuras	grumos	núcleos densos
massa (massas solares)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
tamanho (pc)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
densidade média ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
temperatura do gás (K)	cerca de 10	10–20	8–12
exemplos	Touro, Musca	—	L1544, B68

Por que as nuvens são tão frias? Um gás perde energia emitindo fótons que escapam, e as moléculas são emissoras eficientes: uma colisão eleva uma molécula de monóxido de carbono a um nível de rotação mais alto, a molécula volta a cair emitindo um fóton de comprimento de onda milimétrico, e o fóton sai da nuvem, levando consigo a energia da colisão. A poeira, aquecida pela fraca luz estelar que penetra, irradia no infravermelho distante. O aquecimento, pelos raios cósmicos e pela luz estelar filtrada pela poeira, é fraco; o equilíbrio se estabelece perto de $10\,\mathrm{K}$. Em um gás assim, a pressão térmica é pequena, e a gravidade pode vencer.

1.3 Colapso gravitacional

Uma nuvem é um equilíbrio entre duas energias: a energia térmica de seu gás, que empurra para fora, e sua energia gravitacional, que puxa para dentro. A segunda cresce mais depressa com a massa que a primeira; acima de uma certa massa, a gravidade vence.

Proposição 1.3 (Energia gravitacional de uma esfera homogênea)

Uma esfera de densidade uniforme, de massa $M$ e raio $R$, tem a energia potencial gravitacional

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

Um corpo autogravitante em equilíbrio obedece ao teorema do virial: em média no tempo, o dobro de sua energia cinética mais sua energia gravitacional é nulo, $2K + U = 0$ (física, terceiro ano universitário, onde ele é deduzido das equações do movimento). Para uma nuvem em repouso, $K$ é a energia térmica de suas partículas. Se $2K > |U|$, o gás se expande; se $2K < |U|$, a gravidade não encontra equilíbrio que se oponha a ela, e a nuvem se contrai.

Proposição 1.4 (Critério de Jeans)

Uma nuvem homogênea e isotérmica de temperatura $T$ e densidade $\rho$, formada de partículas de massa média $\mu m_u$, colapsa sob a própria gravidade se sua massa excede a massa de Jeans

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

ou, de modo equivalente, se seu raio excede o comprimento de Jeans

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

Este é o critério de Jeans.

Definição 1.5 (Massa de Jeans, comprimento de Jeans)

A massa de Jeans $M_J$ e o comprimento de Jeans $R_J$ de um gás de temperatura e densidade dadas são a massa e o raio acima dos quais uma esfera homogênea desse gás colapsa sob a própria gravidade (Proposição 1.4).

A massa de Jeans cresce como $T^{3/2}$ e cai como $\rho^{-1/2}$: o gás frio e denso é o que colapsa com mais facilidade. Em uma nuvem molecular, a massa média por partícula é $\mu = 2.33$ unidades de massa atômica: hidrogênio molecular com um átomo de hélio para cada cinco moléculas, aproximadamente. A $10\,\mathrm{K}$ e $10^4$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $M_J = 5.5$ massas solares, dentro de um comprimento de Jeans de $0.13\,\mathrm{pc}$: a massa e o tamanho de um núcleo denso. Na densidade média de uma nuvem escura, $100$ partículas por centímetro cúbico, a massa de Jeans é dez vezes maior, 55 massas solares, e uma nuvem de $24\,000$ massas solares como a de Touro contém centenas delas (figura abaixo).

Uma nuvem que começa a colapsar fica mais densa, e sua massa de Jeans cai como $\rho^{-1/2}$ enquanto ela permanece fria, o que acontece enquanto ela consegue irradiar o calor da compressão. Partes da nuvem tornam-se então instáveis por conta própria e colapsam separadamente: a nuvem se fragmenta. É por isso que as estrelas se formam em grupos e que suas massas são pequenas comparadas com as das nuvens que as originam. A fragmentação cessa quando o gás fica denso demais para deixar sua radiação escapar: o calor da compressão fica aprisionado, a temperatura sobe e a massa de Jeans para de cair.

Quanto tempo dura um colapso? Se a pressão for desprezível, cada camada da nuvem cai livremente em direção ao centro.

Proposição 1.6 (Tempo de queda livre)

Uma esfera homogênea de densidade $\rho$, inicialmente em repouso e sem pressão, colapsa até seu centro no tempo

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

independente de seu raio.

Definição 1.7 (Tempo de queda livre)

O tempo de queda livre de um gás de densidade $\rho$ é $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, o tempo que uma esfera homogênea com essa densidade levaria para colapsar apenas sob a própria gravidade.

Para um núcleo denso de $10^4$ partículas por centímetro cúbico, o tempo de queda livre é de $0.34\,\mathrm{Myr}$; para uma nuvem escura inteira, de $10^2$, $3.4\,\mathrm{Myr}$. Se todas as nuvens moleculares da Galáxia colapsassem em um tempo de queda livre e se transformassem em estrelas, a Galáxia formaria estrelas muito mais depressa do que forma: em Touro, o gás efetivamente transformado em estrelas nos últimos três milhões de anos é cerca de um por cento da nuvem. As nuvens são contidas por movimentos turbulentos e por campos magnéticos que a fração ionizada do gás arrasta consigo, e a maior parte de seu gás é dispersa pelos ventos e pela luz das primeiras estrelas de grande massa antes de poder colapsar: daí a baixa eficiência medida em Touro.

História — James Jeans

James Jeans (1877–1946) publicou em 1902 a análise da estabilidade de um gás sob a própria gravidade da qual descendem a massa e o comprimento de Jeans. Ele estudou o crescimento de pequenas ondas de densidade em um gás homogêneo infinito e descobriu que as ondas mais longas que um comprimento crítico não são contidas pela pressão, mas crescem: o gás se divide em condensações com aproximadamente esse tamanho. Seu comprimento crítico difere do raio encontrado acima apenas por um fator numérico; a física, gravidade contra pressão térmica, é a mesma.

1.4 Protoestrelas

O colapso de um núcleo não é homogêneo. O centro, um pouco mais denso, cai primeiro; ali se forma um objeto pequeno, denso e quente, que cresce engolindo o gás que continua a chover sobre ele.

Definição 1.8 (Protoestrela)

Uma protoestrela é uma estrela em formação que ainda ganha a maior parte de sua massa por acreção do gás de seu núcleo de origem; ela brilha pela energia que o gás em queda libera, e não por fusão nuclear.

Com que rapidez cresce uma protoestrela? Um núcleo prestes a colapsar contém cerca de uma massa de Jeans e cai em cerca de um tempo de queda livre, de modo que a massa chega a uma taxa da ordem de $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

Proposição 1.9 (Taxa de acreção de uma protoestrela)

Seja $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ a velocidade do som isotérmica do gás de um núcleo. A razão entre a massa de Jeans e o tempo de queda livre não depende da densidade, e

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

uma protoestrela cresce a uma taxa da ordem de $c_s^3/G$, fixada apenas pela temperatura de seu núcleo.

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $c_s^3/G$ vale $1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano: uma estrela como o Sol se forma em cerca de $600\,000$ anos, um tempo comparável ao tempo de queda livre de seu núcleo. Em um núcleo mais quente, a $20\,\mathrm{K}$, a taxa é $2^{3/2} = 2.8$ vezes maior.

Enquanto acreta, a protoestrela brilha pela energia do gás em queda. Uma vez esgotado o envelope, ela continua a brilhar, ainda sem fusão, contraindo-se.

Proposição 1.10 (A contração alimenta uma estrela jovem)

Uma esfera de gás autogravitante em equilíbrio que se contrai lentamente irradia metade da energia gravitacional que libera e guarda a outra metade como calor: ela fica mais quente enquanto perde energia.

Definição 1.11 (Escala de tempo de Kelvin–Helmholtz)

A escala de tempo de Kelvin–Helmholtz de uma estrela de massa $M$, raio $R$ e luminosidade $L$ é $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, a ordem de grandeza do tempo durante o qual a contração sozinha consegue fornecer sua luminosidade.

Para o Sol atual, $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Myr}$: muito menos que sua idade, e é por isso que o Sol precisa queimar hidrogênio. Para uma estrela jovem de uma massa solar, com o dobro do raio do Sol e o dobro de sua luminosidade, são $8\,\mathrm{Myr}$ (Exercício 1.6). A contração termina quando o centro fica quente o bastante para que a fusão do hidrogênio forneça a luminosidade: a estrela chega à sequência principal (como lembrado no início do capítulo).

Definição 1.12 (Estrela T Tauri, fluxo bipolar)

Uma estrela T Tauri é uma estrela jovem de menos de cerca de duas massas solares que já se livrou de seu envelope e se tornou visível, mas que ainda não chegou à sequência principal: ela brilha por contração, varia de brilho e em geral está cercada por um disco do qual ainda acreta matéria. Um fluxo bipolar é um par de jatos ou ventos rápidos de gás ejetados por uma estrela jovem em sentidos opostos ao longo do eixo de rotação de seu disco.

Os fluxos bipolares levam embora parte do momento angular do gás que o disco entrega à estrela, e limpam o envelope ao longo do eixo; a estrela de HL Tauri, no fim de seu estágio protoestelar, produz um fluxo fortemente colimado.

1.5 Discos

Um núcleo denso gira, lentamente: de um lado a outro de um núcleo, a velocidade do gás varia de alguns décimos de quilômetro por segundo por parsec. Quando o núcleo colapsa, seu momento angular se conserva, e a rotação lenta se torna rápida.

Proposição 1.13 (Raio centrífugo)

Um gás de momento angular específico $j$ (momento angular por unidade de massa) que cai em direção a uma massa $M$ não consegue chegar ao centro: ele se instala em uma órbita circular de raio

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

O gás que cai ao longo do eixo de rotação tem pouco momento angular e vai direto para a estrela; o gás que cai no plano equatorial conserva sua rotação. O gás que cai de lados opostos por trajetórias diferentes colide acima e abaixo do plano equatorial, perde seu movimento vertical e se acumula em um disco fino em rotação, de raio da ordem de $r_c$. Para um núcleo de $0.1\,\mathrm{pc}$ que dá uma volta em uns vinte milhões de anos, $r_c$ é de algumas centenas de unidades astronômicas (Exercício 1.11): o tamanho dos discos observados.

Definição 1.14 (Disco protoplanetário)

Um disco protoplanetário (ou disco protoestelar) é o disco achatado de gás e poeira em rotação quase kepleriana em torno de uma estrela jovem, formado pela matéria de seu núcleo de origem que conservou momento angular demais para cair na estrela; os planetas se formam nele.

O disco é aquecido pela estrela. Um grão à distância $r$ absorve a luz estelar em sua seção transversal e irradia por toda a sua superfície.

Proposição 1.15 (Temperatura de um grão iluminado por uma estrela)

Um grão pequeno que se comporta como um corpo negro, à distância $r$ de uma estrela de luminosidade $L$ e iluminado de um só lado, estabiliza-se à temperatura

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

que decresce como $r^{-1/2}$.

A $1\,\mathrm{au}$ de uma estrela como o Sol, o grão está a $278\,\mathrm{K}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, onde Júpiter orbita, a $122\,\mathrm{K}$. O gelo de água se condensa onde os grãos estão mais frios que cerca de $180\,\mathrm{K}$ (as temperaturas de condensação são as do Capítulo 2), isto é, além de cerca de $2.4\,\mathrm{au}$: o primeiro indício da fronteira, a linha de neve, que separa os planetas rochosos dos gelados. Um disco real é opaco, e seu plano médio fica protegido da luz estelar direta; a proposição dá a ordem de grandeza certa e a inclinação certa para as camadas superficiais que a estrela enxerga.

Os discos não duram. O excesso infravermelho, o brilho da poeira morna acima do que a estrela sozinha emitiria, revela se uma estrela ainda tem um disco. Contar as estrelas que têm esse excesso em aglomerados de idades diferentes dá a fração de estrelas que conservam seu disco em função do tempo (figura abaixo): a maioria das estrelas tem um ao nascer, metade já o perdeu por volta de três milhões de anos, e quase nenhuma o conserva além de seis. Os gigantes gasosos, que precisam reunir seu gás no disco, têm de se formar nesses poucos milhões de anos.

No laboratório — Ver através da poeira com ondas de rádio

O gás frio e a poeira são invisíveis aos telescópios ópticos, mas brilham em comprimentos de onda milimétricos, nos quais a atmosfera só é transparente acima de locais altos e secos. Uma antena de rádio do tamanho de uma casa resolve pouco nesses comprimentos de onda, por isso os astrônomos combinam muitas: em um interferômetro, cada par de antenas, separadas por uma linha de base, mede uma componente do padrão de brilho do céu, e um computador monta a imagem a partir das centenas de pares que umas trinta antenas formam. A resolução é a de um único telescópio tão largo quanto a linha de base mais longa: com antenas espalhadas por $15\,\mathrm{km}$, o disco de HL Tauri foi fotografado com detalhes de algumas unidades astronômicas a $140\,\mathrm{pc}$. Operadores deslocam as antenas em transportadores entre configurações, e o correlacionador combina seus sinais em tempo real.

1.6 Exercícios

Exercício 1.1 ★

A densidade interestelar média perto do Sol é $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Tomando a massa de um átomo de hidrogênio como $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$, calcule o número de átomos de hidrogênio por centímetro cúbico. Compare com o número de moléculas por centímetro cúbico do ar a $101\,325\,\mathrm{Pa}$ e $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

Solução

Solução de Exercício 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ átomos de hidrogênio por centímetro cúbico. No ar, $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, $2.5 \times 10^{19}$ moléculas por centímetro cúbico: cerca de $1.6\times10^{19}$ vezes mais.

Exercício 1.2 ★

Usando o valor $M_J = 5.46$ massas solares a $10\,\mathrm{K}$ e $10^4$ partículas por centímetro cúbico, e a dependência de $M_J$ com a densidade, calcule a massa de Jeans a $10\,\mathrm{K}$ e $10^2$ partículas por centímetro cúbico. Quantas massas de Jeans contém a nuvem de Touro, de $24\,000$ massas solares?

Solução

Solução de Exercício 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$: dividir $n$ por 100 multiplica $M_J$ por 10, de modo que $M_J = 54.6$ massas solares com $10^2$ partículas por centímetro cúbico. A nuvem contém $24\,000/54.6 \approx 440$ massas de Jeans: ela não pode ser estável como um todo e precisa se fragmentar.

Exercício 1.3 ★

Calcule a velocidade do som isotérmica $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ do gás molecular ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) a $10\,\mathrm{K}$ e a $100\,\mathrm{K}$. Quanto tempo uma onda sonora leva para atravessar um núcleo de raio $0.1\,\mathrm{pc}$ a $10\,\mathrm{K}$, em milhões de anos?

Solução

Solução de Exercício 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $10\,\mathrm{K}$; $\sqrt{10}$ vezes mais, $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, a $100\,\mathrm{K}$. Travessia de $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, isto é, $0.52\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 1.4 ★

Calcule o tempo de queda livre de um núcleo denso de $10^5$ partículas por centímetro cúbico e de uma nuvem escura de $10^2$ ($\mu = 2.33$). Qual colapsa mais depressa, e por que fator?

Solução

Solução de Exercício 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ com $n$ em $\mathrm{m}^{-3}$. Para $10^5$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Myr}$; para $10^2$, $\rho$ é $1000$ vezes menor e $t_{\mathrm{ff}}$, $\sqrt{1000} = 31.6$ vezes mais longo, $3.38\,\mathrm{Myr}$. O núcleo denso colapsa 32 vezes mais depressa.

Exercício 1.5 ★★

Mostre que $M_J$ pode ser escrita $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. A temperatura fixa, por que fator a densidade de um núcleo precisa aumentar para reduzir sua massa de Jeans à metade? A densidade fixa, por que fator muda a massa de Jeans se o núcleo se aquece de $10\,\mathrm{K}$ para $20\,\mathrm{K}$?

Solução

Solução de Exercício 1.5.

Com $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, o que dá a fórmula. Como $M_J \propto \rho^{-1/2}$, reduzir $M_J$ à metade exige uma densidade quatro vezes maior. Como $M_J \propto T^{3/2}$, aquecer de $10\,\mathrm{K}$ para $20\,\mathrm{K}$ a multiplica por $2^{3/2} = 2.83$.

Exercício 1.6 ★★

Uma estrela jovem tem a massa do Sol, o dobro de seu raio e o dobro de sua luminosidade ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Calcule seu tempo de Kelvin–Helmholtz em milhões de anos e compare-o com as durações de vida dos discos.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, isto é, $7.8\,\mathrm{Myr}$. É mais longo que a duração de vida da maioria dos discos (metade desaparece depois de cerca de $3\,\mathrm{Myr}$): a estrela ainda está se contraindo quando seu disco desaparece.

Exercício 1.7 ★★

Calcule a taxa de acreção $c_s^3/G$ de uma protoestrela em um núcleo a $10\,\mathrm{K}$, em massas solares por ano, e o tempo que ela leva para reunir uma massa solar. Mesmas perguntas para um núcleo a $20\,\mathrm{K}$.

Solução

Solução de Exercício 1.7.

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, isto é, $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano, e uma massa solar leva $0.62\,\mathrm{Myr}$. A $20\,\mathrm{K}$, a taxa é $2^{3/2} = 2.83$ vezes maior, $4.5 \times 10^{-6}$ massas solares por ano, e uma massa solar leva $0.22\,\mathrm{Myr}$.

Exercício 1.8 ★★

Com a Proposição 1.15 e $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calcule a distância ao Sol, em unidades astronômicas, na qual um grão atinge $1300\,\mathrm{K}$, perto da temperatura em que os silicatos comuns se condensam (Capítulo 2), e a temperatura de um grão à distância de Júpiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

Solução

Solução de Exercício 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ com $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: a $1300\,\mathrm{K}$, $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, bem dentro da órbita de Mercúrio. A $5.2\,\mathrm{au}$, $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

Exercício 1.9 ★★

O gás do disco de HL Tauri gira em torno de uma estrela de cerca de $1.3$ massas solares. Calcule a velocidade kepleriana e o período orbital a $100\,\mathrm{au}$. Se o sistema tem um milhão de anos, quantas voltas o gás a $100\,\mathrm{au}$ deu desde que a estrela se formou?

Solução

Solução de Exercício 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ anos (ou, de modo equivalente, $\sqrt{100^3/1.3}$ anos). Em um milhão de anos, o gás deu $10^6/877 \approx 1140$ voltas: o disco é velho comparado com sua própria rotação, e é por isso que seus anéis são círculos regulares.

Exercício 1.10 ★★★

Determine a energia gravitacional de uma esfera de raio $R$ na qual a densidade decresce como $\rho(r) = \rho_0 R/r$, e compare-a com a de uma esfera homogênea de mesma massa e mesmo raio. Concentrar a massa em direção ao centro torna a nuvem mais fácil ou mais difícil de sustentar por sua energia térmica?

Solução

Solução de Exercício 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, e, dentro de $r$, $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Com $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$,

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

usando $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Ela vale $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ vezes o valor homogêneo: a nuvem concentrada é mais fortemente ligada e precisa de $11\,\%$ mais energia térmica para ser sustentada; ela colapsa mais facilmente.

Exercício 1.11 ★★★

Um núcleo de raio $0.1\,\mathrm{pc}$ gira como um corpo rígido à velocidade angular $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcule seu período de rotação, o momento angular específico $j = \Omega R^2$ do gás em seu equador e o raio centrífugo desse gás em torno de uma estrela de uma massa solar, em unidades astronômicas. Por que o gás do interior do núcleo cai mais perto da estrela?

Solução

Solução de Exercício 1.11.

Período $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, cerca de $20\,\mathrm{Myr}$. Com $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$, $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. Em rotação de corpo rígido, $j = \Omega r^2$ cresce com o quadrado da distância ao eixo: o gás do interior do núcleo tem menos momento angular e cai mais perto da estrela.

Exercício 1.12 ★★★

As frações de estrelas com disco dos cinco aglomerados mais jovens da figura da última seção são $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$ e $0.12$ a 0.3, 1.5, 2.3, 3.2 e $5.0\,\mathrm{Myr}$. Ajuste à mão uma reta de mínimos quadrados $f = a - bt$ (calcule as médias, depois $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ e $\sum(t - \bar t)^2$). Com que idade ela atinge um meio, e zero? Por que uma reta é um modelo ruim além dessa idade?

Solução

Solução de Exercício 1.12.

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, portanto $b = 2.018/12.612 = 0.160$ por milhão de anos e $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. A reta atinge $0.5$ em $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Myr}$ e zero em $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Myr}$, como na figura. Uma fração não pode cair abaixo de zero: aglomerados mais velhos, como NGC 1960, com $30\,\mathrm{Myr}$, conservam uma pequena fração próxima de zero que uma reta não consegue descrever.

1.7 Problema: um núcleo na nuvem de Aldra

Problema 1.1

Problema de fim de semana — a massa e a estabilidade de um núcleo denso lidas em um mapa de poeira, o nascimento de sua protoestrela e o tamanho de seu disco

A nuvem de Aldra é uma nuvem escura inventada. Um mapa milimétrico de sua poeira mostra um núcleo redondo de raio $0.08\,\mathrm{pc}$, com uma densidade de coluna média de $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ moléculas de hidrogênio por centímetro quadrado. Uma linha da amônia dá a temperatura do gás, $10\,\mathrm{K}$, e um gradiente de velocidade de $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por parsec de um lado a outro do núcleo, interpretado como rotação de corpo rígido. Use $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$; a massa por molécula de hidrogênio, hélio incluído, é $2.8\,m_u$, e a massa média por partícula, $2.33\,m_u$.

Parte I — Massa e densidade.

1. Converta o raio do núcleo em metros.
2. Calcule a massa por metro quadrado da coluna, $2.8\,m_u N$.
3. Deduza a massa do núcleo, em quilogramas e em massas solares.
4. Calcule seu volume e sua densidade média.
5. Calcule o número de partículas por centímetro cúbico.
6. Trata-se de um núcleo denso no sentido da tabela da segunda seção?

Parte II — Estabilidade.

7. Calcule a massa de Jeans do gás do núcleo, em massas solares.
8. Quantas massas de Jeans o núcleo contém? Ele é estável?
9. Calcule o comprimento de Jeans e compare-o com o raio do núcleo.
10. Qual seria a massa de Jeans se o gás estivesse a $20\,\mathrm{K}$? O núcleo ainda colapsaria?
11. Calcule o tempo de queda livre do núcleo, em milhares de anos.
12. Compare-o com o tempo que uma onda sonora leva para atravessar o núcleo. Qual processo é mais rápido, e o que isso significa?

Parte III — A protoestrela.

13. Calcule a velocidade do som no núcleo.
14. Calcule a taxa de acreção $c_s^3/G$, em massas solares por ano.
15. Calcule o tempo necessário para reunir uma massa solar a essa taxa.
16. Se um terço do núcleo acaba em estrelas, quantas estrelas de uma massa solar ele pode formar?
17. Desaparecido o envelope, a estrela tem uma massa solar, três raios solares e quatro luminosidades solares. Calcule seu tempo de Kelvin–Helmholtz.
18. Ele é mais longo ou mais curto que o tempo de acreção? Que tipo de estrela ela é então?

Parte IV — O disco.

19. Converta o gradiente de velocidade em uma velocidade angular $\Omega$, em $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. Calcule o momento angular específico $j = \Omega R^2$ do gás no equador do núcleo.
21. Calcule seu raio centrífugo em torno de uma estrela de uma massa solar, em unidades astronômicas.
22. Calcule a temperatura de um grão a $1\,\mathrm{au}$ e a $30\,\mathrm{au}$ de uma estrela de uma luminosidade solar.
23. Onde fica a linha de neve desse disco, se o gelo de água sobrevive abaixo de $180\,\mathrm{K}$?
24. Indique o tempo necessário para formar a estrela da pergunta 15, o número-chave deste problema, em milhares de anos, e compare-o com o tempo de queda livre da pergunta 11.

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, portanto $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, isto é, $6.7$ massas solares.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ e $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, isto é, $5.5 \times 10^{4}$ partículas por centímetro cúbico.

6. Sim: sua densidade fica entre $10^4$ e $10^5$, seu raio entre 0.03 e $0.2\,\mathrm{pc}$; sua massa, 6.7 massas solares, está no topo da faixa dos núcleos.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ massas solares.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ massas de Jeans: o núcleo é instável e colapsa.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, menor que o raio, $0.08\,\mathrm{pc}$: a mesma conclusão.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ massas solares: aproximadamente a massa do núcleo. A $20\,\mathrm{K}$, o núcleo seria marginal; é o frio que o faz colapsar.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, cerca de $145\,000$ anos.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ anos: três vezes mais que a queda livre. Uma onda de pressão não consegue atravessar o núcleo antes que ele tenha colapsado; a pressão não consegue reagir depressa o bastante para deter o colapso.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Exercício 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ massas solares por ano.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ anos.

16. Um terço de 6.7 é $2.2$: duas estrelas de uma massa solar.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Myr}$.

18. Mais longo, quatro vezes o tempo de acreção: quando a acreção cessa, a estrela ainda está se contraindo, brilhando sem fusão; é uma estrela T Tauri, ainda fora da sequência principal.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, isto é, $314\,\mathrm{au}$: maior que o disco de HL Tauri, como se espera de um gás vindo da borda do núcleo.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ a $1\,\mathrm{au}$, e $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ a $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, isto é, $2.4\,\mathrm{au}$, como no texto.

24. A estrela de uma massa solar leva $624\,$ mil anos para se formar, cerca de quatro vezes o tempo de queda livre de seu núcleo ($145\,000$ anos): o gás exterior chega à protoestrela só aos poucos, de dentro para fora.