6As erupções vulcânicas

Em 15 de junho de 1991, o monte Pinatubo, nas Filipinas, lançou mais de cinco quilômetros cúbicos de material; sua nuvem de cinzas subiu a $35\,\mathrm{km}$, o cume desabou em uma caldeira de $2.5\,\mathrm{km}$ de diâmetro, e os vinte milhões de toneladas de dióxido de enxofre que ele injetou na estratosfera resfriaram o globo inteiro em cerca de meio grau durante dois anos. Uma semana antes, o primeiro magma a chegar à superfície não tinha feito nada disso: tendo perdido a maior parte de seu gás na subida, ele extravasou lentamente como um domo de lava. No Kīlauea, no Havaí, a erupção do Pu‘u ‘Ō‘ō derramou $4.4\,\mathrm{km}^{3}$ de lava, volume comparável, ao longo de trinta e cinco anos, em fontes e derrames que destruíram 215 construções sem nunca erguer uma coluna de cinzas imponente. Mesma Terra, mesma física, três comportamentos: o que os separa é a quantidade de gás que um magma carrega, se esse gás pode deixar o fundido tranquilamente e a velocidade com que o magma sobe. Este capítulo acompanha uma erupção desde as bolhas no conduto até a coluna acima da boca e os depósitos que ela deixa, depois mede as erupções, conta-as e vigia os vulcões em busca dos sinais de que uma delas se aproxima.

O que você já sabe

Dos volumes escolares: um vulcão, sua boca e sua cratera, a câmara magmática sob ele, a lava e as cinzas vulcânicas. Do Capítulo 5: os voláteis magmáticos, sua exsolução abaixo da pressão de saturação, a lei da raiz quadrada da solubilidade da água, $w = s\sqrt p$, com $s \approx 0.34$ por cento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para o basalto e $0.44$ para o riolito, e as viscosidades dos fundidos, separadas por dez ordens de grandeza. Dos livros de física: a lei dos gases ideais $pV = nRT$; o empuxo; a análise dimensional, que constrói a única combinação das grandezas dadas que tem a dimensão da resposta; o alcance de um projétil, $v^2\sin 2\theta/g$, sem resistência do ar. Dos livros de matemática: o processo de Poisson, no qual eventos independentes a uma taxa constante $\lambda$ dão pelo menos um evento em um tempo $t$ com probabilidade $1 - e^{-\lambda t}$; as retas de mínimos quadrados. Do volume do primeiro ano: os terremotos e suas magnitudes.

6.1 Efusiva ou explosiva

Definição 6.1 (Erupções efusivas e explosivas, fragmentação)

Uma erupção efusiva é dominada pelo extravasamento de lava, que escoa a partir da boca como um líquido coerente. Uma erupção explosiva produz principalmente fragmentos, cinzas, pedra-pomes e projéteis balísticos, carregados por gás em expansão. A fragmentação do magma é a ruptura de um fundido contínuo contendo bolhas em um gás contínuo que carrega gotas e fragmentos de fundido; ela transforma um escoamento efusivo em um escoamento explosivo.

O que impele a transição é o gás. Um magma que sobe da profundidade carrega água e dióxido de carbono dissolvidos; abaixo de sua pressão de saturação, os voláteis saem da solução como bolhas, e as bolhas se expandem à medida que a pressão cai. Se elas ficam no fundido, o gás logo preenche a maior parte do volume.

Proposição 6.2 (Fração volumétrica de gás na desgaseificação em sistema fechado)

Suponha-se que um magma contenha uma fração em massa $w_0$ de água, com solubilidade $w(p) = s\sqrt p$, e suponha-se que a água exsolvida permaneça com o fundido como um gás ideal à temperatura $T$. Abaixo da pressão de saturação $p_s = (w_0/s)^2$, um quilograma de magma contém $x = w_0 - s\sqrt p$ quilogramas de vapor, e a fração volumétrica de gás é

$$\phi(p) = \frac{V_g}{V_g + V_m}, \qquad V_g = \frac{x\,RT}{M p}, \qquad V_m = \frac{1 - x}{\rho_m},$$

onde $M = 0.018\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$ é a massa molar da água e $\rho_m$ a densidade do fundido.

Como $V_g$ cresce como $1/p$, a espuma incha mais depressa perto da superfície. A figura abaixo acompanha um riolito com $5\,\%$ de água e um basalto com $1\,\%$. O riolito se satura a $127\,\mathrm{MPa}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$ de profundidade; a $10\,\mathrm{MPa}$ seu gás já preenche $82\,\%$ do volume. Em um modelo publicado de escoamento no conduto, o magma se fragmenta quando o gás preenche $85\,\%$ de seu volume, nível que esse riolito atinge a $8.2\,\mathrm{MPa}$, uns $330\,\mathrm{m}$ abaixo da boca para um gradiente de pressão de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. O basalto só se satura a $8.7\,\mathrm{MPa}$ e atinge a mesma espuma a $1.8\,\mathrm{MPa}$, a menos de cem metros da superfície.

Assim, um basalto também se fragmentaria se seu gás permanecesse nele; e em uma fonte de lava havaiana é o que acontece, perto da boca. O que torna a maioria das erupções basálticas brandas é que o gás não precisa ficar. Em um fundido de baixa viscosidade, as bolhas sobem através do líquido, coalescem e escapam, e, uma vez que as bolhas se conectam em uma rede permeável, o que ocorre em frações de gás entre $30\,\%$ e $78\,\%$ nos experimentos, o gás escapa pelas paredes e pela boca sem arrastar o fundido consigo: o magma se desgaseifica em sistema aberto e chega à superfície como lava. Um magma viscoso retém suas bolhas e, em vez disso, se fragmenta, o fundido se quebrando como vidro quando é estirado mais depressa do que consegue escoar. A taxa de ascensão decide entre os dois tanto quanto a composição: em muitas erupções, a atividade efusiva acompanha taxas de descompressão perto de $0.0001\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$, e as erupções explosivas taxas perto de $1\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$, e uma variação da viscosidade do fundido de meia unidade logarítmica, cerca de um fator três, pode fazer uma erupção passar de um regime ao outro. O primeiro domo de lava do Pinatubo e sua erupção paroxísmica uma semana depois eram o mesmo magma: o primeiro lote teve tempo de perder seu gás, o seguinte não.

A água externa faz o que faz o próprio gás do magma. A água subterrânea, um lago ou o mar que encontra o magma se vaporiza instantaneamente, e a expansão da água superaquecida estilhaça o magma: experimentos mostram que mais de $30\,\%$ do calor disponível pode ser convertido em energia mecânica. Mesmo um magma pobre em gás pode então entrar em erupção explosiva.

6.2 Os estilos eruptivos

Os vulcanólogos nomeiam as erupções a partir de exemplos clássicos. Os nomes descrevem o aspecto de uma erupção, e passam gradualmente de um a outro; uma mesma erupção muitas vezes atravessa vários estilos.

Definição 6.3 (Estilos eruptivos)

Em ordem de explosividade crescente, entre as erupções impelidas pelo próprio gás do magma:

• uma erupção havaiana produz fontes de lava basáltica muito fluida, com dezenas a centenas de metros de altura, que alimentam derrames de lava;
• uma erupção estromboliana é uma série de explosões discretas que lançam fragmentos incandescentes de magma basáltico a andesito-basáltico até uns cem metros, sem coluna sustentada;
• uma erupção vulcaniana é uma explosão curta e violenta de gás acumulado sob um tampão de lava solidificada, que estilhaça o tampão e lança blocos e uma coluna escura de cinzas finas, tipicamente a partir de magma intermediário;
• uma erupção pliniana é um jato sustentado de gás e de magma fragmentado, geralmente silícico, que alimenta uma coluna que sobe até a estratosfera durante horas a dias e espalha um manto de pedra-pomes e cinzas sobre milhares de quilômetros quadrados.

Quando a água externa impele a fragmentação, uma erupção freatomagmática expele vapor junto com fragmentos de magma fresco, ao passo que uma erupção freática é uma explosão impelida pelo vapor de água subterrânea ou superficial aquecida por magma ou rocha quente, que expele vapor e fragmentos de rocha mais antiga, mas nenhum magma fresco.

Cada estilo tem suas erupções-tipo. O Pu‘u ‘Ō‘ō, no Kīlauea, foi havaiano durante a maior parte de seus trinta e cinco anos e sessenta e um episódios, com fontes que tipicamente subiam $10\text{ a }100\,\mathrm{m}$ e às vezes mais de $500\,\mathrm{m}$. O Stromboli, o “farol do Mediterrâneo”, deu seu nome às explosões que constroem cones de escória. Explosões vulcanianas sacudiram o Trident, no Alasca, de modo intermitente entre 1953 e 1974. O Vesúvio em 79 d.C., descrito por Plínio, o Jovem, deu seu nome às erupções plinianas; o monte Santa Helena em 18 de maio de 1980 e o Novarupta em 1912, cuja coluna subiu acima de $30\,\mathrm{km}$ em uma erupção que durou quase três dias, são exemplos modernos. Os casos intermediários, com colunas abaixo de cerca de $20\,\mathrm{km}$, sustentadas mas instáveis, são chamados subplinianos. Com água, uma erupção estromboliana torna-se surtseiana, nome dado a partir da erupção de 1963 de Surtsey, ao largo da Islândia, e constrói baixos anéis de tufo e maares; uma pliniana torna-se freatopliniana. No Pinatubo, explosões de vapor abriram três crateras no flanco norte em março e abril de 1991, dois meses antes da erupção paroxísmica: eram freáticas.

Definição 6.4 (Domo de lava)

Um domo de lava é um monte de flancos íngremes de lava viscosa, tipicamente dacito ou riolito, extrudido lentamente de uma boca e que se acumula sobre ela em vez de escoar.

Os domos são o que um magma viscoso produz quando perdeu seu gás: o primeiro magma do Pinatubo em junho de 1991, e o domo que cresceu na cratera do monte Santa Helena em dezessete episódios entre 1980 e 1986 até $267\,\mathrm{m}$ acima do fundo da cratera. Um domo também pode ser o tampão sob o qual se prepara a explosão vulcaniana seguinte, e seu colapso pode liberar a pressão sobre o magma rico em gás abaixo dele. As fotografias abaixo mostram os dois extremos da gama.

6.3 As colunas eruptivas

Definição 6.5 (Coluna eruptiva)

Uma coluna eruptiva é a massa ascendente de gás e de fragmentos acima de uma boca explosiva. Ela tem três partes: um jato, ou região de impulso gasoso, no qual a mistura deixa a boca depressa, mas mais densa que o ar, e sobe por sua quantidade de movimento; uma região convectiva, na qual a mistura, tendo englobado e aquecido ar suficiente para se tornar mais leve que o ambiente, sobe por empuxo; e uma nuvem em guarda-chuva, que se espalha lateralmente no nível em que a densidade da coluna se iguala à da atmosfera.

A altura que uma coluna atinge depende sobretudo de quanto calor ela traz a cada segundo, isto é, da vazão mássica eruptiva $Q$. A análise dimensional dá a forma da lei.

Proposição 6.6 (Altura de uma pluma flutuante)

Se a altura do topo $H$ de uma pluma flutuante acima de uma fonte pontual estacionária depende apenas do fluxo de empuxo $F$ da fonte (dimensão $\mathrm{m^4\,s^{-3}}$) e da frequência de empuxo $N$ de uma atmosfera estavelmente estratificada (dimensão $\mathrm{s^{-1}}$), então

$$H = c\,F^{1/4}N^{-3/4}$$

sendo $c$ uma constante adimensional. Como $F$ é proporcional ao fluxo de calor, e portanto à vazão mássica eruptiva, $H \propto Q^{1/4}$ em uma atmosfera dada.

A constante $c$ vem da rapidez com que a pluma engloba ar, que a teoria das plumas trata com um coeficiente de entranhamento medido em experimentos; ela é admitida aqui. As colunas reais não são fontes pontuais estacionárias em uma atmosfera calma, de modo que os vulcanólogos ajustam a lei a erupções cuja altura e cuja vazão mássica foram ambas medidas.

Proposição 6.7 (Altura da coluna e vazão mássica eruptiva)

Para a altura do topo $H$ acima da boca em quilômetros e a vazão mássica eruptiva $Q$ em quilogramas por segundo, a compilação de erupções bem documentadas dá

$$H = 0.304\,Q^{0.241},$$

e um conjunto de dados maior e independente, de 130 eventos, dá $H = 0.345\,Q^{0.226}$. A dispersão é grande: o erro quadrático médio relativo sobre $H$ é de $53\text{ a }60\,\%$.

Os dois expoentes são próximos do $1/4$ da teoria das plumas. A figura abaixo mostra os dois ajustes e as erupções de exemplo nas quais se baseiam os parâmetros de fonte usados pelos centros de previsão de cinzas. Uma coluna de $15\,\mathrm{km}$ de altura, como a do monte Santa Helena, requer $10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, dez mil toneladas a cada segundo; dobrar a altura requer quase dezoito vezes a vazão. Lida ao contrário, uma altura medida dá a vazão, mas apenas a um fator de vários, porque $Q$ varia como $H^4$ (Exercício 6.3). Os vulcanólogos exprimem a vazão pela intensidade $I = \log_{10}Q + 3$, com $Q$ em quilogramas por segundo.

Uma coluna também pode não conseguir subir. O jato deixa a boca mais denso que o ar; se esgota sua quantidade de movimento antes de ter englobado ar suficiente para se tornar flutuante, por exemplo porque seu teor de gás diminui, a coluna colapsa e a mistura desce pelos flancos como uma corrente quente e densa. As colunas plinianas podem colapsar dessa maneira, e no Pinatubo os fluxos piroclásticos de 1991 preencheram vales com depósitos de até $200\,\mathrm{m}$ de espessura.

6.4 Os produtos piroclásticos

Definição 6.8 (Tefra e piroclastos)

Um piroclasto é um fragmento produzido pela fragmentação explosiva do magma ou das rochas ao seu redor. Tefra é o nome coletivo de todos os piroclastos lançados ao ar, qualquer que seja seu tamanho. Por tamanho, os piroclastos mais finos que $2\,\mathrm{mm}$ formam as cinzas vulcânicas; os de $2\text{ a }64\,\mathrm{mm}$ são lápili; os maiores que $64\,\mathrm{mm}$ são blocos, se eram sólidos e angulosos ao serem ejetados, e uma bomba vulcânica, se estavam total ou parcialmente fundidos e tomaram uma forma arredondada ou fusiforme em voo.

A tefra cai da nuvem em guarda-chuva e da coluna, a sotavento, como um depósito de queda que recobre o terreno: espesso perto da boca, mais delgado e mais fino longe dela. Sua espessura é cartografada por isópacas, linhas de igual espessura, e, em regra, decresce exponencialmente com a distância. Como o vento estica as isópacas em elipses, a distância é mais bem medida pela raiz quadrada da área que cada isópaca encerra.

Proposição 6.9 (Volume de um depósito que se adelgaça exponencialmente)

Se a espessura de um depósito de queda decresce com a raiz quadrada $x = \sqrt A$ da área da isópaca como $T = T_0\,e^{-kx}$, seu volume aparente é

$$V = \frac{2T_0}{k^2}.$$

Metade desse volume fica além da isópaca $x_{1/2} = 1.678/k$.

Os depósitos reais se adelgaçam com duas ou mais inclinações, forte perto da boca e suave longe, porque os lápili grossos caem depressa da coluna e as cinzas finas derivam. Cada segmento é ajustado separadamente e a integral é calculada trecho por trecho.

Método 6.10 (Volume de um depósito de queda a partir de suas isópacas)

Lance-se $\ln T$ em função de $\sqrt A$ para cada isópaca e ajuste-se uma reta a cada série de pontos alinhados. Para dois segmentos, $T_0e^{-k_1x}$ dentro do ponto de cruzamento $X$ das duas retas e o segundo além dele, o volume é

$$V = \frac{2T_0}{k_1^2} + 2T_0e^{-k_1X}\left[\frac{k_2X + 1}{k_2^2} - \frac{k_1X + 1}{k_1^2}\right]$$

(Exercício 6.10). Converta-se o volume aparente em equivalente em rocha densa, o volume da mesma massa sob forma de magma sem bolhas, por $V_{\mathrm{DRE}} = V\rho_{\mathrm{deposit}}/\rho_{\mathrm{magma}}$.

A figura abaixo aplica o método a uma queda de escória emitida pelo Cotopaxi, no Equador, há cerca de $1200$ anos. Dois segmentos se ajustam às seis isópacas, com distâncias de meia espessura $\ln 2/k$ de $1.9\,\mathrm{km}$ e $5.0\,\mathrm{km}$ (o estudo publicado, cujo ajuste difere ligeiramente, encontra $1.9\,\mathrm{km}$ e $5.3\,\mathrm{km}$), e o volume resulta em $0.29\,\mathrm{km}^{3}$, como nesse estudo. Mais de $40\,\%$ dele está no delgado segmento distal, e é por isso que as cinzas distais, facilmente erodidas ou nunca cartografadas, pesam tanto no total. As cinzas recém-caídas têm uma densidade aparente de $500\text{ a }1500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, bem abaixo da do magma, de modo que o equivalente em rocha densa é aproximadamente metade do volume aparente, ou menos.

Nem toda tefra cai do céu. Quando uma coluna colapsa, um domo desmorona ou uma explosão lateral rasga o flanco de um vulcão, a mistura quente corre rente ao solo.

Definição 6.11 (Correntes de densidade piroclásticas)

Uma corrente de densidade piroclástica é uma mistura de gás quente e piroclastos, rente ao solo, que escoa encosta abaixo ou para fora porque é mais densa que o ar. Um fluxo piroclástico é uma corrente concentrada de fragmentos de rocha, cinzas e gás, geralmente a $200\text{ a }700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, que se move a dezenas de metros por segundo; um surge piroclástico é uma nuvem mais diluída de cinzas, rocha e gás, a várias centenas de graus, que se move à velocidade de um vento de furacão. Um ignimbrito é a rocha depositada pelas correntes de densidade piroclásticas, que pode ser soldada por seu próprio calor.

Em 18 de maio de 1980, o colapso do flanco norte do monte Santa Helena, o maior deslizamento de terra da história registrada, com cerca de $2.8\,\mathrm{km}^{3}$, descobriu o magma e liberou uma explosão lateral que varreu cerca de $600\,\mathrm{km}^{2}$ a até $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; fluxos piroclásticos de pelo menos $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ chegaram então a $8\,\mathrm{km}$ da cratera. Os fluxos do Pinatubo de 1991 ainda estavam a até $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em seu interior cinco anos depois.

Definição 6.12 (Lahar)

Um lahar é uma mistura rápida de água e detritos vulcânicos que desce por um vale fluvial, com uma consistência que vai da água barrenta ao concreto úmido. Os lahars se formam quando correntes piroclásticas derretem neve e gelo, quando chuvas fortes caem sobre depósitos vulcânicos soltos, quando um lago represado por depósitos vulcânicos se rompe, ou a partir de uma avalanche de detritos.

Os lahars sobrevivem às erupções. Em torno do Pinatubo, as chuvas de monção e de tufão transformaram as cinzas de 1991 em lahars durante anos, e eles causaram mais destruição que a própria erupção.

Definição 6.13 (Caldeira)

Uma caldeira é uma grande depressão vulcânica em forma de bacia, com $2\text{ a }50\,\mathrm{km}$ de diâmetro e muito mais larga que qualquer boca em seu interior, formada pelo colapso do terreno em um reservatório magmático raso que uma erupção esvaziou em parte.

As caldeiras do Pinatubo e do Novarupta têm ambas cerca de $2.5\,\mathrm{km}$ de diâmetro, no extremo inferior da gama. Uma caldeira difere de uma cratera, que é menor e escavada por explosões.

6.5 Medir e contar as erupções

Definição 6.14 (Índice de explosividade vulcânica)

O índice de explosividade vulcânica (VEI) é um inteiro de 0 a 8 que mede o tamanho de uma erupção, principalmente pelo volume aparente de sua tefra: VEI 0 para menos de $10^{4}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 1 até $10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, depois um degrau a cada fator dez, até VEI 8 além de $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$, $1000\,\mathrm{km}^{3}$. A altura da coluna e as descrições da erupção são usadas quando o volume não é conhecido. Uma erupção não explosiva tem VEI 0, qualquer que seja o volume de sua lava.

VEI	volume aparente de tefra ($\mathrm{m}^{3}$)	altura da coluna ($\mathrm{km}$)	estilo usual
0	$< 10^{4}$	$< 0.1$	havaiano
1	$10^{4}$–$10^{6}$	0.1–1	havaiano, estromboliano
2	$10^{6}$–$10^{7}$	1–5	estromboliano, vulcaniano
3	$10^{7}$–$10^{8}$	3–15	vulcaniano
4	$10^{8}$–$10^{9}$	10–25	vulcaniano, pliniano
5	$10^{9}$–$10^{10}$	$> 25$	pliniano
6	$10^{10}$–$10^{11}$	$> 25$	pliniano
7	$10^{11}$–$10^{12}$	$> 25$	pliniano
8	$> 10^{12}$	$> 25$	pliniano

O índice é logarítmico como a magnitude de um terremoto, mas mais grosseiro. O monte Santa Helena em 1980, com $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ de cinzas, foi classificado como VEI 5, “mas por pouco”; o Pinatubo em 1991, como VEI 6; o Tambora em 1815, que expeliu de trinta a oitenta vezes mais cinzas que o monte Santa Helena, como VEI 7, a maior erupção explosiva dos tempos históricos. Para o trabalho quantitativo, os vulcanólogos preferem a magnitude $M = \log_{10}m - 7$, sendo $m$ a massa emitida em quilogramas, que evita a densidade aparente do depósito, e a intensidade definida acima para a vazão.

As pequenas erupções são frequentes e as grandes, raras. O catálogo global das erupções do Holoceno torna a relação quantitativa, desde que se levem em conta suas lacunas: uma erupção só está no catálogo se alguém a registrou ou encontrou seu depósito, e as pequenas erupções longe de observadores, ou com mais de alguns séculos, muitas vezes passaram despercebidas. O registro das grandes erupções é completo há mais tempo que o das pequenas. No painel da esquerda da figura abaixo, as erupções de cada tamanho registradas desde 1500 se acumulam com o tempo; um registro completo a uma taxa constante seguiria a diagonal. As erupções de VEI 3 ou mais se concentram no último século, porque a maioria das anteriores nunca foi registrada; o registro de VEI 6 fica perto da diagonal.

Dados de 2026

O catálogo do Global Volcanism Program lista $7747$ erupções confirmadas do Holoceno com um VEI. Contando do início de uma janela até o fim de 2024, houve 399 erupções de VEI 3 ou mais desde 1950, 95 de VEI 4 ou mais desde 1900, 22 de VEI 5 ou mais desde 1800 e 8 de VEI 6 ou mais desde 1500 (a mais recente, o Pinatubo em 1991). Só duas erupções de VEI 7 estão registradas desde o ano 1000: o Rinjani em 1257 e o Tambora, cuja erupção começou em 1812 e culminou em 1815.

Proposição 6.15 (Lei frequência–tamanho das erupções)

Seja $\lambda_v$ o número médio de erupções de VEI $\ge v$ por ano na Terra, cada um estimado sobre uma janela na qual seu registro é quase completo (desde 1950 para $v = 3$, 1900 para $v = 4$, 1800 para $v = 5$, 1500 para $v = 6$). Então, por mínimos quadrados,

$$\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v .$$

Cada degrau de VEI é cerca de sete vezes mais raro que o anterior.

A lei é empírica, um ajuste a quatro pontos, e seu expoente depende das janelas escolhidas; ela prevê uma erupção de VEI 7 ou mais a cada $470$ anos, perto das duas dos últimos mil anos, que não foram usadas para ajustá-la. Como as erupções são quase independentes umas das outras, elas se comportam como um processo de Poisson, e a probabilidade de pelo menos uma erupção de VEI $\ge v$ em $t$ anos é $1 - e^{-\lambda_vt}$ (problema de fim de semana).

6.6 Vigiar os vulcões

O magma não chega à superfície sem aviso. Ele precisa romper a rocha para abrir seu caminho, empurra o solo para cima ao se acumular, libera gás à medida que a pressão sobre ele cai e aquece o solo. Os observatórios vulcanológicos monitoram os quatro sinais.

Sismicidade. O magma que se move pela crosta rompe a rocha e desencadeia enxames de pequenos terremotos. Antes de 18 de maio de 1980, o monte Santa Helena produziu mais de $10\,000$ deles em dois meses; o Pinatubo produziu milhares entre abril e junho de 1991, a partir de magma que subia de mais de $32\,\mathrm{km}$ de profundidade. As magnitudes e os momentos sísmicos do volume do primeiro ano se aplicam sem mudança; o que difere são as fontes, fraturas que se abrem e condutos cheios de fluido que ressoam, além de falhas.

Deformação. Um reservatório que se enche infla e levanta o solo acima dele. O nivelamento, os inclinômetros e o posicionamento por satélite medem o soerguimento; a interferometria de radar por satélite o cartografa sobre vulcões inteiros, uma técnica que o volume do terceiro ano desta série explica. O modelo mais simples trata o reservatório como uma pequena esfera.

Proposição 6.16 (Fonte de Mogi)

Uma pequena fonte esférica à profundidade $z_0$ em um semiespaço elástico homogêneo de coeficiente de Poisson $\nu$, cujo volume varia de $\Delta V$, uma fonte de Mogi, levanta a superfície à distância horizontal $r$ de

$$u_z(r) = \frac{(1 - \nu)\,\Delta V}{\pi}\,\frac{z_0}{(r^2 + z_0^2)^{3/2}} .$$

O soerguimento é máximo acima da fonte, $u_z(0) = (1 - \nu)\Delta V/(\pi z_0^2)$, e cai à metade desse valor em $r = z_0\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z_0$: a largura do abaulamento dá a profundidade da fonte, e sua altura dá então a variação de volume. Como só $\Delta V$ intervém, a pressão no reservatório e seu tamanho não podem ser separados, de modo que são variações de volume, e não pressões, o que os geodesistas relatam. A fórmula é o primeiro termo de uma solução exata para uma esfera de raio $a$; a correção é de $12\,\%$ quando $a = z_0/2$ e de $3\,\%$ quando $a = z_0/3$.

Gás e calor. À medida que o magma sobe e se desgaseifica, o fluxo de dióxido de enxofre na superfície cresce, e ele é medido a partir do solo, de aeronaves e de satélites; o Pinatubo emitiu muitos milhares de toneladas dele nas semanas anteriores à sua erupção. O calor do magma raso aparece nas imagens térmicas do solo e da boca.

A partir desses dados, um observatório fixa um nível de alerta. Nos Estados Unidos, o nível de alerta vulcânico em terra, em uso desde 2006, tem quatro degraus, NORMAL, ADVISORY, WATCH e WARNING, e um código de cores paralelo para a aviação, de GREEN a RED, avisa as aeronaves sobre as cinzas. Não há limiares fixos: cada mudança é decidida pelos cientistas do observatório a partir de todos os dados de monitoramento, do comportamento passado do vulcão e do que se sabe sobre os processos em curso. A previsão continua probabilística: quando uma erupção vai começar e qual será seu tamanho são difíceis de prever. No Pinatubo, a previsão de 1991 permitiu que as pessoas que viviam perto do vulcão se afastassem a tempo e salvou pelo menos $5000$ vidas. O modo como tais previsões entram nas decisões sobre perigo e risco pertence ao Capítulo 28.

No campo — Em um observatório vulcanológico

Um observatório vigia seus vulcões dia e noite. Os sismômetros nos flancos enviam seus sinais por rádio a telas nas quais cientistas de plantão procuram enxames, o tremor, a vibração contínua do fluido que se move em um conduto, e mudanças na profundidade dos eventos. Estações de posicionamento e inclinômetros registram a inflação do solo, câmeras a boca, espectrômetros de gás o fluxo de dióxido de enxofre na pluma. Quando um sinal se afasta do ruído de fundo do vulcão, os cientistas o comparam com episódios anteriores, reúnem-se e decidem se o nível de alerta deve mudar; o aviso que emitem diz o que se observa e o que pode seguir, sem exagerar nem um nem outro.

6.7 Exercícios

Exercício 6.1 ★

Dê o VEI indicado apenas pelo volume aparente de tefra para: (a) as cinzas do monte Santa Helena, 18 de maio de 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$; (b) a queda da Camada 5 do Cotopaxi, $0.29\,\mathrm{km}^{3}$; (c) uma pequena erupção de $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. (d) O material expelido pelo Pinatubo em 1991 é dado como “mais de $5\,\mathrm{km}^{3}$”, mas a erupção é classificada como VEI 6. Que volume aparente essa classificação implica, no mínimo?

Solução

Solução de Exercício 6.1.

(a) $1.3\,\mathrm{km}^{3} = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^9$ e $10^{10}$: VEI 5. (b) $2.9 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$: VEI 4. (c) $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^6$ e $10^7$: VEI 2. (d) O VEI 6 começa em $10^{10}\,\mathrm{m}^{3}$, de modo que a tefra deve ter um volume aparente de pelo menos $10\,\mathrm{km}^{3}$; “mais de $5\,\mathrm{km}^{3}$” é um limite inferior, não uma contradição.

Exercício 6.2 ★

Dê o nome de cada piroclasto: (a) um fragmento de vidro de $0.5\,\mathrm{mm}$ de comprimento; (b) um fragmento de pedra-pomes de $3\,\mathrm{cm}$ de diâmetro; (c) um pedaço anguloso de lava antiga de $20\,\mathrm{cm}$ de diâmetro; (d) um coágulo fusiforme de $8\,\mathrm{cm}$ de comprimento com as pontas torcidas.

Solução

Solução de Exercício 6.2.

(a) Cinza (mais fina que $2\,\mathrm{mm}$). (b) Um lápilo ($2\text{ a }64\,\mathrm{mm}$). (c) Um bloco: maior que $64\,\mathrm{mm}$, anguloso, sólido ao ser ejetado. (d) Uma bomba vulcânica, uma bomba fusiforme: maior que $64\,\mathrm{mm}$ e moldada enquanto fundida, em voo.

Exercício 6.3 ★

Com $H = 0.304\,Q^{0.241}$ ($H$ em quilômetros acima da boca, $Q$ em $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): (a) calcule $H$ para $Q = 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ e $10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; (b) calcule a vazão mássica eruptiva implicada por uma coluna de $35\,\mathrm{km}$ de altura, e sua intensidade $I = \log_{10}Q + 3$; (c) por que fator $Q$ varia se a altura medida for $20\,\%$ alta demais?

Solução

Solução de Exercício 6.3.

(a) $0.304\times(10^6)^{0.241} = 0.304\times27.9 = 8.5\,\mathrm{km}$; $0.304\times(10^8)^{0.241} = 0.304\times84.7 = 25.8\,\mathrm{km}$. (b) $Q = (35/0.304)^{1/0.241} = 115.1^{4.149} = 3.6 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, e $I = 8.55 + 3 = 11.6$. (c) $Q \propto H^{4.15}$, de modo que uma altura $20\,\%$ alta demais superestima $Q$ por um fator $1.2^{4.15} = 2.1$.

Exercício 6.4 ★

A queda da Camada 5 do Cotopaxi tem um volume aparente de $0.29\,\mathrm{km}^{3}$. Tomando uma densidade aparente de $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o depósito e de $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o magma, calcule seu volume equivalente em rocha densa, sua massa e sua magnitude $M = \log_{10}m - 7$.

Solução

Solução de Exercício 6.4.

$V_{\mathrm{DRE}} = 0.29\times1000/2500 = 0.116\,\mathrm{km}^{3}$; $m = 0.29 \times 10^{9}\times1000 = 2.9 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$; $M = \log_{10}(2.9 \times 10^{11}) - 7 = 11.46 - 7 = 4.46$.

Exercício 6.5 ★★

Um depósito de queda tem $40\,\mathrm{cm}$ de espessura na isópaca de $\sqrt A = 5\,\mathrm{km}$ e $10\,\mathrm{cm}$ na de $\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$, e se adelgaça segundo uma única exponencial. Calcule $k$, $T_0$, a distância de meia espessura $\ln 2/k$, o volume aparente e o VEI.

Solução

Solução de Exercício 6.5.

$k = \ln(40/10)/(15 - 5) = 1.386/10 = 0.139\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 40\,e^{0.139\times5} = 40\times2.00 = 80\,\mathrm{cm}$; $\ln2/k = 5.0\,\mathrm{km}$. Com $T_0 = 8.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}$: $V = 2\times8.0 \times 10^{-4}/0.139^2 = 0.083\,\mathrm{km}^{3} = 8.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 3.

Exercício 6.6 ★★

(a) Mostre que o volume dentro da isópaca $x = \sqrt A$ de um depósito que se adelgaça como $T_0e^{-kx}$ é $\frac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Resolva $(1 + u)e^{-u} = 1/2$ com três algarismos significativos por substituições sucessivas ou por bissecção. (c) Para o depósito do Exercício 6.5, além de qual isópaca fica a metade do volume? Compare com a distância à boca da isópaca mais externa que foi cartografada.

Solução

Solução de Exercício 6.6.

(a) $\int_0^x T_0e^{-ky}2y\,dy = 2T_0\big[-\tfrac{y}{k}e^{-ky} - \tfrac{1}{k^2}e^{-ky}\big]_0^x = \tfrac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Iterando $u = \ln(2(1 + u))$ a partir de $u = 1$: $1.386$, $1.564$, $1.635$, $1.662$, $1.672$, …, que converge para $u = 1.678$, para o qual $(1 + u)e^{-u} = 2.678\times0.1867 = 0.500$. (c) $x_{1/2} = 1.678/0.139 = 12.1\,\mathrm{km}$, dentro da isópaca mais externa ($\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$); no entanto, o volume além dessa isópaca é $(1 + 2.09)e^{-2.09} = 38\,\%$ do total. Quase dois quintos do depósito ficam onde nada foi medido: o volume repousa sobre a extrapolação.

Exercício 6.7 ★★

Um magma riolítico a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1123\,\mathrm{K}$) contém $5.0\,\%$ de água, com solubilidade $s = 0.444$ por cento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; seu fundido tem uma densidade de $2300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Calcule sua pressão de saturação, e a profundidade em que ela é atingida para um gradiente de pressão de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. (b) Calcule a fração volumétrica de gás a $10\,\mathrm{MPa}$ se o gás permanecer no magma ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $M = 0.018\,015\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$). (c) Por que os magmas basálticos se fragmentam com muito menos frequência, embora a $1\,\mathrm{MPa}$ um basalto em sistema fechado com $1\,\%$ de água tivesse $92\,\%$ de gás?

Solução

Solução de Exercício 6.7.

(a) $p_s = (5.0/0.444)^2 = 127\,\mathrm{MPa}$, a $127/0.025 = 5.1\,\mathrm{km}$. (b) $x = (5.0 - 0.444\sqrt{10})/100 = (5.0 - 1.404)/100 = 0.0360$; $V_g = 0.0360\times8.314\times1123/(0.018015\times10^7) = 1.86 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$; $V_m = 0.964/2300 = 4.19 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; $\phi = 1.86/(1.86 + 0.419) = 0.82$. (c) Um fundido basáltico é de milhares a bilhões de vezes menos viscoso que um fundido riolítico (Capítulo 5): suas bolhas sobem, coalescem e escapam, e o gás sai por uma espuma permeável ou pela boca, de modo que o magma se desgaseifica em sistema aberto em vez de reter seu gás; sua fragmentação, quando ocorre, fica restrita a uma fonte perto da boca. Uma ascensão mais lenta deixa mais tempo para isso.

Exercício 6.8 ★★

(a) Uma fonte de Mogi a $5\,\mathrm{km}$ de profundidade cresce de $10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$. Calcule o soerguimento acima dela ($\nu = 0.25$). (b) Outro abaulamento cai à metade de seu máximo a $3.8\,\mathrm{km}$ de seu centro: a que profundidade está sua fonte? (c) Que fração do soerguimento máximo uma estação vê a uma distância horizontal igual à profundidade da fonte?

Solução

Solução de Exercício 6.8.

(a) $u_z(0) = 0.75\times10^7/(\pi\times(5000)^2) = 0.095\,\mathrm{m} = 95\,\mathrm{mm}$. (b) $z_0 = 3.8/0.766 = 5.0\,\mathrm{km}$. (c) $(1 + 1)^{-3/2} = 0.35$ do máximo.

Exercício 6.9 ★★

Uma explosão vulcaniana lança blocos para fora de uma cratera. Desprezando a resistência do ar e a altura da borda da cratera, calcule o maior alcance de um bloco lançado a $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, depois a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). A resistência do ar faz desses alcances um limite superior ou inferior? Por que uma zona de perigo balístico em torno de uma boca varia com o quadrado da velocidade de lançamento?

Solução

Solução de Exercício 6.9.

O maior alcance é a $45{}^{\circ}$: $R = v^2/g = 100^2/9.81 = 1.0\,\mathrm{km}$, e $200^2/9.81 = 4.1\,\mathrm{km}$. A resistência do ar encurta o voo, de modo que esses são limites superiores, próximos da verdade para blocos grandes e longos demais para os pequenos. Como $R = v^2/g$, a zona de perigo cresce com o quadrado da velocidade de lançamento: dobrar a velocidade da explosão quadruplica seu raio.

Exercício 6.10 ★★★

(a) Deduza o volume de um depósito com dois segmentos exponenciais dado no quadro de método, supondo que a espessura é contínua onde as retas se cruzam. (b) Para a queda da Camada 5 do Cotopaxi, os segmentos ajustados são $T = 1285\,\mathrm{cm}\times e^{-0.365x}$ e um segmento distal de inclinação $k_2 = 0.138\,\mathrm{km}^{-1}$, que se cruzam em $X = 8.56\,\mathrm{km}$. Calcule o volume, e a fração dele além do ponto de cruzamento.

Solução

Solução de Exercício 6.10.

(a) Com $T = T_0e^{-k_1x}$ para $x < X$ e $T = T_Xe^{-k_2(x - X)}$ além, $T_X = T_0e^{-k_1X}$ (continuidade), use-se $\int_0^X ye^{-ky}dy = \frac{1}{k^2} - e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$ e $\int_X^\infty ye^{-ky}dy = e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$: a parte proximal dá $2T_0\big[\frac{1}{k_1^2} - e^{-k_1X}\frac{k_1X + 1}{k_1^2}\big]$ e a parte distal $2T_Xe^{k_2X}\int_X^\infty ye^{-k_2y}dy = 2T_X\frac{k_2X + 1}{k_2^2}$; com $T_X = T_0e^{-k_1X}$, sua soma é a fórmula do quadro de método. (b) $T_0 = 0.012\,85\,\mathrm{km}$: $2T_0/k_1^2 = 0.0257/0.1332 = 0.193\,\mathrm{km}^{3}$; $e^{-0.365\times8.56} = 0.0440$; $(0.138\times8.56 + 1)/0.138^2 = 114.5$ e $(0.365\times8.56 + 1)/0.365^2 = 30.96$; a correção é $0.0257\times0.0440\times83.6 = 0.094\,\mathrm{km}^{3}$ e $V = 0.287\,\mathrm{km}^{3}$, os $0.29\,\mathrm{km}^{3}$ publicados. Além de $X$ ficam $2T_X(X/k_2 + 1/k_2^2) = 2\times5.65 \times 10^{-4}\times114.5 = 0.129\,\mathrm{km}^{3}$, isto é, $45\,\%$.

Exercício 6.11 ★★★

(a) Usando a Proposição 6.6, por que fator a altura de uma coluna aumenta quando a vazão eruptiva é multiplicada por 100? Compare com os expoentes empíricos $0.241$ e $0.226$. (b) Em que sentido uma atmosfera mais fortemente estratificada altera a altura, e em quanto se $N$ crescer $20\,\%$? (c) Dê duas razões pelas quais os expoentes medidos podem ficar abaixo de $1/4$.

Solução

Solução de Exercício 6.11.

(a) $100^{1/4} = 3.16$; as leis empíricas dão $100^{0.241} = 3.03$ e $100^{0.226} = 2.83$. (b) $H \propto N^{-3/4}$: uma atmosfera mais fortemente estratificada detém a coluna mais abaixo; para $N$ maior em $20\,\%$, $1.2^{-0.75} = 0.87$, uma altura $13\,\%$ menor. (c) As plumas fracas são inclinadas pelo vento, o que as rebaixa, enquanto o ar úmido libera nelas calor latente, o que as eleva; esses efeitos pesam de modo diferente sobre as pequenas e as grandes erupções e não estão na lei simples. E as vazões só são conhecidas a menos de fatores de vários, um erro na variável do eixo horizontal que enviesa uma inclinação ajustada em direção a zero.

Exercício 6.12 ★★★

O catálogo global lista 132 erupções de VEI 4 ou mais iniciadas entre 1500 e 1899, e 95 entre 1900 e 2024. (a) Calcule a taxa por século em cada período. (b) Se a taxa desde 1900 for a verdadeira, que fração das erupções anteriores foi registrada? (c) Um estudo das grandes erupções encontra 21 erupções de magnitude 4 a 4.9 por século entre 1500 e 1900 e 56 desde 1900; compare. (d) Por que essa fração depende do tamanho das erupções?

Solução

Solução de Exercício 6.12.

(a) $132/400\times100 = 33$ por século antes de 1900; $95/125\times100 = 76$ por século desde então. (b) $33/76 = 43\,\%$. (c) $21/56 = 38\,\%$: o mesmo sub-registro, por um fator de dois a três. (d) As erupções maiores são vistas de mais longe e deixam depósitos mais espessos e extensos que resistem à erosão por mais tempo; uma erupção de VEI 4 em uma ilha remota em 1700 podia passar sem registro, uma erupção de VEI 6 dificilmente.

6.8 Problema: ler um depósito pliniano

Problema 6.1

Problema de fim de semana — das isópacas de uma queda de pedra-pomes ao tamanho de sua erupção, à altura de sua coluna e à frequência de tais erupções

Um vulcão imaginário deixou uma queda de pedra-pomes de uma única fase pliniana que durou $10\,\mathrm{h}$. Suas isópacas, depois de removido o alongamento devido ao vento pelo uso da raiz quadrada de suas áreas, são:

$\sqrt A$ ($\mathrm{km}$)	10	20	40	80	120
espessura $T$ ($\mathrm{cm}$)	200	100	48	14	4.0

Dados: densidade aparente do depósito $900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; densidade do magma $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; altura da coluna medida a partir dos maiores clastos, $31\,\mathrm{km}$ acima da boca; tropopausa a $16\,\mathrm{km}$. Use $H = 0.304\,Q^{0.241}$ e $H = 0.345\,Q^{0.226}$ ($H$ em quilômetros, $Q$ em $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$).

Parte I — O depósito.

1. Calcule $\ln T$ para cada isópaca e mostre que os pontos caem sobre dois segmentos retos quando lançados em função de $\sqrt A$. Onde está a quebra?
2. Calcule a inclinação $k_1$ e o intercepto $T_0$ do segmento proximal que passa pelas duas primeiras isópacas.
3. A reta de mínimos quadrados que passa pelas três isópacas distais é $T = 167\,\mathrm{cm}\times e^{-0.0311\sqrt A}$. Verifique que ela passa a menos de $5\,\%$ de cada uma delas.
4. Calcule o valor de $\sqrt A$ em que as duas retas se cruzam.
5. Calcule as distâncias de meia espessura $\ln 2/k$ dos dois segmentos.
6. Calcule o volume que o depósito teria se se adelgaçasse com a inclinação proximal em toda parte.
7. Calcule o volume aparente com os dois segmentos, e a fração devida à correção para o segmento distal mais suave.
8. Por que fator o volume seria subestimado se apenas o depósito proximal tivesse sido cartografado? Por que esse é um risco real para depósitos antigos?

Parte II — O tamanho da erupção.

9. Dê o VEI da erupção.
10. Calcule o volume equivalente em rocha densa.
11. Calcule a massa emitida.
12. Calcule a magnitude $M = \log_{10}m - 7$.
13. Quantas vezes este depósito é maior que a queda de cinzas do monte Santa Helena em 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$?
14. Que altura de coluna a tabela do VEI associa a esta erupção, e que estilo?

Parte III — A coluna.

15. Calcule a vazão mássica eruptiva média durante a fase pliniana, e sua intensidade $I = \log_{10}Q + 3$.
16. Calcule a altura da coluna prevista pela primeira lei empírica.
17. O mesmo com a segunda lei.
18. Compare com os $31\,\mathrm{km}$ medidos a partir dos clastos, dada a dispersão das leis.
19. Que vazão mássica eruptiva $31\,\mathrm{km}$ implicariam pela primeira lei? Por que fator ela difere da vazão da questão 15, e o que poderia explicar isso?
20. A coluna injetou gás na estratosfera? O que poderia decorrer disso para o clima, e qual seria o gás-chave?

Parte IV — Com que frequência?

21. A partir das contagens do catálogo (399 erupções de VEI $\ge 3$ de 1950 a 2024, 95 de VEI $\ge 4$ desde 1900, 22 de VEI $\ge 5$ desde 1800, 8 de VEI $\ge 6$ desde 1500, todas as janelas terminando em 2024 inclusive), calcule as quatro taxas anuais e seus logaritmos.
22. Verifique que a reta $\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v$ passa a menos de $10\,\%$ de cada taxa.
23. Por que cada janela começa mais para trás no tempo para as erupções maiores?
24. A partir da reta, calcule a taxa de erupções de VEI $\ge 5$, seu período de retorno médio e a probabilidade de pelo menos uma nos próximos 10 anos.
25. A partir da reta, calcule a taxa de erupções de VEI $\ge 7$ e compare-a com as duas registradas desde o ano 1000.
26. A partir da reta, calcule a taxa de erupções de VEI $\ge 6$ e a probabilidade, em por cento, de pelo menos uma em algum lugar da Terra nos próximos 100 anos, o número-chave deste problema. Em que hipótese ela se baseia?

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. $\ln T = 5.298$, $4.605$, $3.871$, $2.639$, $1.386$. As inclinações entre isópacas sucessivas são $-0.0693$, $-0.0367$, $-0.0308$ e $-0.0313$ por km: um segmento íngreme entre 10 e $20\,\mathrm{km}$, um suave de 40 a $120\,\mathrm{km}$; a quebra fica entre 20 e $40\,\mathrm{km}$.

2. $k_1 = \ln(200/100)/10 = 0.0693\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 200\,e^{0.693} = 400\,\mathrm{cm}$.

3. $167e^{-1.244} = 48.1\,\mathrm{cm}$, $167e^{-2.488} = 13.9\,\mathrm{cm}$, $167e^{-3.732} = 4.00\,\mathrm{cm}$: a menos de $1\,\%$ de 48, 14 e 4.0.

4. $400e^{-0.0693X} = 167e^{-0.0311X}$ dá $X = \ln(400/167)/(0.0693 - 0.0311) = 0.873/0.0382 = 22.9\,\mathrm{km}$.

5. $\ln2/0.0693 = 10.0\,\mathrm{km}$ e $\ln2/0.0311 = 22.3\,\mathrm{km}$.

6. $T_0 = 0.0040\,\mathrm{km}$: $V = 2\times0.0040/0.0693^2 = 1.67\,\mathrm{km}^{3}$.

7. $e^{-0.0693\times22.9} = 0.205$; $(0.0311\times22.9 + 1)/0.0311^2 = 1770$; $(0.0693\times22.9 + 1)/0.0693^2 = 539$; correção $2\times0.0040\times0.205\times1231 = 2.02\,\mathrm{km}^{3}$; $V = 1.67 + 2.02 = 3.68\,\mathrm{km}^{3}$, dos quais a correção representa $55\,\%$.

8. $3.68/1.67 = 2.2$. As cinzas distais finas são delgadas, facilmente erodidas, retrabalhadas ou caídas no mar; em um depósito antigo, muitas vezes estão perdidas ou nunca foram cartografadas, e o volume é então subestimado por um fator de dois ou mais.

9. $3.68 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ fica entre $10^9$ e $10^{10}$: VEI 5.

10. $V_{\mathrm{DRE}} = 3.68\times900/2400 = 1.38\,\mathrm{km}^{3}$.

11. $m = 3.68 \times 10^{9}\times900 = 3.31 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$.

12. $M = \log_{10}(3.31 \times 10^{12}) - 7 = 12.52 - 7 = 5.52$.

13. $3.68/1.3 = 2.8$ vezes.

14. Uma coluna mais alta que $25\,\mathrm{km}$, e um estilo pliniano.

15. $Q = 3.31 \times 10^{12}/36000 = 9.2 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $I = 7.96 + 3 = 11.0$.

16. $0.304\times(9.2 \times 10^{7})^{0.241} = 0.304\times83.0 = 25.2\,\mathrm{km}$.

17. $0.345\times(9.2 \times 10^{7})^{0.226} = 0.345\times63.1 = 21.8\,\mathrm{km}$.

18. Os $31\,\mathrm{km}$ medidos ficam $23\,\%$ acima da primeira previsão e $42\,\%$ acima da segunda, dentro da dispersão de $53\text{ a }60\,\%$ das leis: compatível.

19. $Q = (31/0.304)^{1/0.241} = 102.0^{4.149} = 2.2 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, 2.3 vezes a vazão média. Os clastos registram a coluna mais alta, no pico da erupção, enquanto a questão 15 faz a média sobre toda a fase; e parte da massa pode estar ausente do depósito (cinzas distais, fluxos piroclásticos).

20. Sim: de 22 a $31\,\mathrm{km}$, bem acima da tropopausa, a $16\,\mathrm{km}$. O gás levado à estratosfera se espalha em torno do globo; o gás-chave é o dióxido de enxofre, e os vinte milhões de toneladas que o Pinatubo lá injetou em 1991 resfriaram o globo em cerca de meio grau durante dois anos.

21. $\lambda_3 = 399/75 = 5.32$, $\lambda_4 = 95/125 = 0.760$, $\lambda_5 = 22/225 = 0.0978$, $\lambda_6 = 8/525 = 0.0152$ por ano; logaritmos $0.726$, $-0.119$, $-1.010$, $-1.817$.

22. A reta dá $10^{0.73} = 5.37$, $10^{-0.12} = 0.759$, $10^{-0.97} = 0.107$ e $10^{-1.82} = 0.0151$: a $1\,\%$, $0\,\%$, $10\,\%$ e $1\,\%$ das contagens.

23. O registro das grandes erupções permanece completo mais para trás no tempo, porque elas são notadas de mais longe e seus depósitos sobrevivem por mais tempo; uma janela que começasse em 1500 subestimaria muito as erupções de VEI 3, enquanto uma janela que começasse em 1950 não conteria quase nenhuma erupção de VEI 6.

24. $\lambda_5 = 0.107$ por ano, um período de retorno de $1/0.107 = 9.3\text{ anos}$; $1 - e^{-1.07} = 1 - 0.343 = 66\,\%$ em dez anos.

25. $\lambda_7 = 10^{3.28 - 5.95} = 10^{-2.67} = 0.00214$ por ano, uma a cada 470 anos; o registro dá $2/1025 = 0.00195$ por ano: concordância a menos de $10\,\%$, para um ponto não usado no ajuste.

26. $\lambda_6 = 10^{3.28 - 5.10} = 10^{-1.82} = 0.0151$ por ano; $\lambda t = 1.51$ e $1 - e^{-1.51} = 1 - 0.220 = 0.780$: a probabilidade de pelo menos uma erupção de VEI 6 ou mais em algum lugar da Terra nos próximos cem anos é de $78\,\%$. Ela repousa sobre uma taxa constante, sobre erupções independentes umas das outras (um processo de Poisson) e sobre um catálogo completo dentro de suas janelas.