28Ameaças e riscos geológicos

Um edifício projetado para o movimento do solo que é excedido, em média, uma vez em 475 anos tem uma chance em dez de enfrentá-lo durante uma vida útil de cinquenta anos. As duas afirmações são o mesmo número lido de duas maneiras, e passar de uma à outra é o trabalho diário da ciência das ameaças. Este capítulo constrói suas ferramentas: a probabilidade dos eventos raros, a curva de ameaça de um local, a estabilidade de uma encosta, a velocidade e a altura máxima de inundação de um tsunami, a frequência das cheias, e a física que fixa quanto aviso prévio cada ameaça pode dar.

O que você já sabe

Dos volumes escolares: ameaça natural, desastre natural e deslizamento; vulnerabilidade, risco, prevenção e o mapa de ameaças; o tsunami; o período de retorno de uma cheia, e a fórmula dos postos $T = (n + 1)/m$ para um registro de $n$ picos anuais. Do volume do primeiro ano: a lei de Gutenberg–Richter $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ e seu valor b; o momento sísmico e a magnitude de momento; a pressão de fluido nos poros, a tensão efetiva $\sigma' = \sigma - u$ e o critério de ruptura de Coulomb $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. Do Capítulo 6: as correntes de densidade piroclásticas, os lahares e a queda de tefra. Dos livros de matemática: as distribuições de Poisson e exponencial, a distribuição normal e sua função de distribuição $\Phi$. Do volume do segundo ano dos livros de física: a relação de dispersão das ondas de gravidade de superfície, $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

28.1 Ameaça, exposição e risco

Definição 28.1 (Ameaça geológica, exposição, risco de desastre)

Uma ameaça geológica é um processo ou fenômeno que se origina nos processos internos da Terra — um terremoto, uma erupção, um movimento de massa como um deslizamento ou um fluxo de detritos — e pode causar perda de vidas, ferimentos, danos ou perturbações. Ela é caracterizada por sua localização, sua intensidade ou magnitude, e sua frequência ou probabilidade. A exposição a uma ameaça é a situação das pessoas, dos edifícios, da infraestrutura e de outros bens situados onde a ameaça pode chegar, medida por seu número ou seu valor. O risco de desastre é a perda potencial de vidas, de saúde ou de bens que poderia ocorrer num período dado, determinada probabilisticamente a partir da ameaça, da exposição e da vulnerabilidade do que está exposto.

A terminologia internacional classifica os tsunamis à parte: desencadeados por terremotos e outros eventos geológicos, eles se tornam um processo oceânico e atingem como uma ameaça costeira, ligada à água. Este capítulo trata-os com as outras, porque sua fonte é geológica.

A definição contém um produto. Se eventos de intensidade $i$ ocorrem a uma taxa anual $\lambda_i$, se os bens expostos valem $E$, e se um evento de intensidade $i$ destrói uma fração $V_i$ deles (a vulnerabilidade, entre 0 e 1), a perda anual esperada é

frequentemente abreviada como risco = ameaça $\times$ exposição $\times$ vulnerabilidade. O risco anula-se quando qualquer fator se anula: um vulcão violento numa ilha vazia, uma cidade populosa num cráton tranquilo, ou edifícios que resistem ao abalo. A ciência das ameaças mede o primeiro fator; a figura abaixo o situa entre os três.

28.2 A probabilidade dos eventos raros

Definição 28.2 (Período de retorno)

Sejam eventos de um tipo dado — uma cheia acima de uma vazão, um movimento do solo acima de um nível, um terremoto acima de uma magnitude — que ocorrem a uma taxa anual média $\lambda$. Seu período de retorno é $T = 1/\lambda$: o intervalo médio entre dois deles, e o inverso de sua taxa anual, não um calendário.

Definição 28.3 (Probabilidade de excedência)

A probabilidade de excedência de um nível num tempo de exposição $t$ é a probabilidade de que o nível seja igualado ou excedido pelo menos uma vez durante $t$.

Proposição 28.4 (Modelo de recorrência de Poisson)

Suponha-se que os eventos ocorram um de cada vez, independentemente uns dos outros e do tempo decorrido, a uma taxa média constante $\lambda = 1/T$. Então o número $N$ de eventos num tempo $t$ segue a distribuição de Poisson de média $\lambda t$; a probabilidade de excedência em $t$ é

$$P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}$$

e o intervalo entre eventos sucessivos segue a distribuição exponencial de média $T$.

Duas consequências são usadas em toda parte. Para uma probabilidade $p$ num tempo de exposição $t$, o período de retorno é $T = -t/\ln(1 - p)$: $10\,\%$ em 50 anos dá $T = 50/0.10536 = 474.6$ anos, o movimento “de 475 anos” das normas de construção, e $2\,\%$ em 50 anos dá 2475 anos. E quando $t \ll T$, $P \approx t/T$: a taxa pode ser lida como uma probabilidade por ano. Ao longo de um período de retorno inteiro, ao contrário, a probabilidade é $1 - e^{-1} = 63\,\%$, não 1. A figura abaixo (à esquerda) traça (28.2) para três períodos de retorno.

O modelo é verdadeiro? O catálogo global de terremotos de magnitude pelo menos 7 contém 696 eventos de 1976 a 2025, 695 intervalos com uma média de 26.2 dias. Se fossem um processo de Poisson, a fração de intervalos mais longos que $t$ seria $e^{-t/26.2}$, uma reta num eixo logarítmico. A figura abaixo (à direita) mostra que quase é: $30.4\,\%$ dos intervalos são mais longos que 30 dias, contra $31.8\,\%$ para o modelo, e o desvio-padrão dos intervalos é 1.07 vez sua média, contra exatamente 1. O defeito está nos intervalos curtos: 36 pares caem no mesmo dia, réplicas e dupletos que um processo sem memória não agruparia. Os mapas de ameaça por isso removem de um catálogo os eventos dependentes, desagrupando-o, de modo que os choques principais restantes possam ser tratados como um processo de Poisson; suas taxas por magnitude vêm da lei de Gutenberg–Richter.

28.3 A ameaça sísmica

Definição 28.5 (Análise probabilística da ameaça sísmica, equação de predição do movimento do solo, aceleração de pico do solo, curva de ameaça)

A aceleração de pico do solo (PGA) num local é a maior aceleração horizontal absoluta do solo durante um terremoto, expressa em geral como uma fração de $g$. Uma equação de predição do movimento do solo (GMPE) dá a distribuição de probabilidade de uma medida do abalo, como a PGA, num local — uma mediana e uma dispersão — em função da magnitude, da distância à fonte e das condições do terreno. A análise probabilística da ameaça sísmica (PSHA) combina todos os terremotos que podem afetar um local, com suas taxas e distâncias, com uma GMPE, para dar a taxa anual à qual cada nível de abalo é excedido. A curva dessa taxa em função do nível é a curva de ameaça do local.

A PGA é o que uma partícula do solo sente. Um edifício responde à parte do movimento perto de seu próprio período natural, e as normas também mapeiam essa resposta, a aceleração espectral; a PGA mantém o raciocínio simples e é usada aqui.

Método 28.6 (Uma análise probabilística da ameaça sísmica)

1. Fontes. Mapeie as falhas e as zonas sismogênicas em torno do local, e a distância $d$ de cada uma ao local.
2. Recorrência. Para cada fonte, tome a taxa anual de terremotos por magnitude a partir de uma lei de Gutenberg–Richter, truncada numa magnitude máxima $M_{\max}$: $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$, a partir de uma magnitude mínima $M_{\min}$. Corte o intervalo em faixas de taxa $\nu_j$ em torno das magnitudes $m_j$.
3. Movimento do solo. A partir da GMPE, tome a mediana $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ e a dispersão $\sigma$ para cada faixa; a probabilidade de que a PGA exceda $a$ é $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$.
4. Soma. A taxa anual de excedência de $a$ é $\lambda(a) = \sum_j \nu_j \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$, somada sobre todas as fontes.
5. Leitura. A PGA com uma probabilidade $p$ de excedência em $t$ anos é o nível em que $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$: $2.107 \times 10^{-3}$ por ano para $10\,\%$ em 50 anos.

A GMPE usada neste capítulo é a de Boore, Joyner e Fumal, ajustada a 271 registros de 20 terremotos do oeste da América do Norte: para uma componente horizontal aleatória, em unidades de $g$,

com $M$ a magnitude de momento, $d$ a distância em quilômetros à projeção na superfície da ruptura, e uma dispersão $\sigma = 0.230$ em torno da mediana. Ela vale para $5.0 \leq M \leq 7.7$ e $d \leq 100\,\mathrm{km}$. A constante $5.57\,\mathrm{km}$ é uma profundidade fictícia ajustada pela regressão, que mantém o movimento finito acima da fonte. Uma magnitude 6 a $15\,\mathrm{km}$ dá uma mediana de $0.091\,\mathrm{g}$, uma magnitude 7.5 $0.200\,\mathrm{g}$; um desvio-padrão multiplica ou divide a mediana por $10^{0.230} = 1.70$.

Os termos $G_B$ e $G_C$ carregam o efeito de sítio. Os locais são classificados pela velocidade média das ondas de cisalhamento em seus $30\,\mathrm{m}$ superiores: classe A acima de $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$), classe B de 360 a $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) e classe C de 180 a $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). Um terreno mole multiplica o movimento da rocha por $10^{0.162} = 1.45$ na classe B e $10^{0.251} = 1.78$ na classe C: uma onda que entra num material mais lento desacelera, encurta e cresce em amplitude, e uma camada mole ou uma bacia preenchida de sedimentos pode entrar em ressonância e aprisioná-la.

A figura abaixo aplica o método a uma única zona sismogênica a $15\,\mathrm{km}$ de um local em rocha, com $a = 4.0$, $b = 1.0$, $M_{\min} = 5$ e $M_{\max} = 7.5$: cerca de 0.1 terremoto de magnitude 5 ou mais por ano. Para PGA pequenas a curva tende a essa taxa, pois todo terremoto excede um nível fraco. A PGA de $10\,\%$ em 50 anos é $0.22\,\mathrm{g}$. Se cada terremoto tivesse produzido exatamente sua mediana, a mesma taxa seria atingida a $0.13\,\mathrm{g}$, e nenhum nível acima da mediana do maior terremoto, $0.20\,\mathrm{g}$, poderia jamais ser excedido. A dispersão domina os níveis raros: o movimento de 475 anos vem em grande parte de terremotos moderados que abalam mais forte que sua mediana.

28.4 A ameaça vulcânica

Um vulcão ameaça por meio de vários processos ao mesmo tempo, cada um com seu próprio alcance: a tefra cai longe na direção do vento, as correntes de densidade piroclásticas e os lahares seguem os vales, os derrames de lava avançam lentamente (Capítulo 6). Seu mapa de ameaças traça uma zona para cada um, a partir dos depósitos de erupções passadas e de modelos de escoamento e de queda. As probabilidades são construídas de modo diferente das dos terremotos, porque um vulcão que desperta não é um processo estacionário. Uma árvore de eventos leva da agitação aos desfechos por ramos, cada um de um evento prévio necessário a um desfecho mais específico — agitação, magmática ou não; erupção ou não; explosiva ou efusiva; um fluxo piroclástico que atinge um dado vale ou não. A probabilidade de um desfecho é o produto das probabilidades condicionais ao longo de seu ramo. Com $M$ uma agitação magmática, $E$ uma erupção, $X$ uma erupção explosiva e $V$ um fluxo no vale,

cada fator estimado a partir do passado do vulcão, de vulcões comparáveis ou de modelos, e revisto com o teorema de Bayes à medida que chegam novos dados de monitoramento (Exercício 28.8).

28.5 Os deslizamentos

Uma encosta permanece de pé enquanto a resistência de seu material, ao longo de qualquer superfície sobre a qual poderia deslizar, excede a tensão que a gravidade aplica ali. A resistência é o critério de Coulomb do volume do primeiro ano, escrito em tensão efetiva: a água nos poros suporta parte da carga normal e reduz o atrito.

Definição 28.7 (Fator de segurança, fluxo de detritos)

O fator de segurança $F$ de uma encosta ao longo de uma superfície potencial de deslizamento é a razão entre a resistência ao cisalhamento disponível na superfície e a tensão de cisalhamento necessária para o equilíbrio. A encosta é estável para $F > 1$ e rompe quando $F$ cai a 1. Um fluxo de detritos é um escoamento rápido de lama, areia, cascalho, blocos e madeira saturados de água que desce por um canal como uma só massa densa, os grãos suportando grande parte de seu peso, e se espalha no leque na saída do canal.

Proposição 28.8 (Encosta infinita)

Uma camada de solo de peso específico $\gamma$ e espessura $z$, medida na vertical, repousa sobre uma superfície de deslizamento paralela ao terreno a um ângulo $\beta$; sua resistência é $c'$ e $\varphi'$, e a pressão neutra na superfície é $u = r_u \gamma z$. Se a camada for longa o bastante para que suas extremidades sejam desprezadas,

$$F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}$$

Para uma camada seca e sem coesão, $F = \tan\varphi'/\tan\beta$: ela se mantém até $\beta = \varphi'$.

A equação (28.4) nomeia os dois gatilhos comuns. A chuva eleva o nível freático e com ele $r_u$; $F$ cai linearmente com $r_u$, de modo que uma encosta segura quando seca rompe quando molhada: na figura acima, a encosta de $35{}^{\circ}$ rompe em $r_u = 0.19$, a de $25{}^{\circ}$ só em 0.46. O abalo acrescenta uma força horizontal: se ela é representada por $kW$, sendo $k$ uma fração de $g$, o numerador perde $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ e o denominador ganha $\gamma z k\cos^2\beta$ — uma análise pseudoestática, admitida aqui, que substitui um abalo breve por uma força constante. O termo de coesão, $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$, diminui à medida que a camada se espessa, de modo que a coesão protege os solos finos mais que os profundos.

Em dezembro de 1999 uma tempestade de três dias despejou $911\,\mathrm{mm}$ de chuva em Maiquetía, no litoral ao norte de Caracas. Milhares de deslizamentos rasos começaram nas encostas da Serra de Ávila, em declives de $30{}^{\circ}$ a mais de $60{}^{\circ}$, $42{}^{\circ}$ em média. Nos canais eles se juntaram em fluxos de detritos, que se moviam a 3 a $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ segundo a superelevação de sua superfície nas curvas, e transportaram blocos de até $11\,\mathrm{m}$ de comprimento. No leque de Caraballeda, mostrado abaixo, deixaram até $6\,\mathrm{m}$ de detritos com blocos, cerca de 1.8 milhão de metros cúbicos. O número de mortos é geralmente dado como cerca de $30\,000$.

28.6 Os tsunamis

Um tsunami produzido pelo soerguimento brusco do fundo do mar tem um comprimento de onda de dezenas a centenas de quilômetros, muito mais que a profundidade do oceano. É uma onda longa, e sua velocidade depende apenas da profundidade.

Proposição 28.9 (Ondas longas)

Uma onda de gravidade de superfície cujo comprimento de onda é muito maior que a profundidade $h$ da água propaga-se a $c = \sqrt{gh}$, qualquer que seja seu comprimento de onda. Onde ela avança lentamente para águas mais rasas sem se refletir nem quebrar, sua amplitude $A$ cresce como $h^{-1/4}$.

Sobre $4000\,\mathrm{m}$ de água um tsunami propaga-se a $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; sobre $5000\,\mathrm{m}$, $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, os “mais de 800 km/h” citados pelos serviços de alerta. Perto da costa, em $10\,\mathrm{m}$ de água, ele desacelera para $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; sua frente é alcançada pela água de trás, a onda encurta e se empina, e sua altura cresce.

Definição 28.10 (Altura máxima de inundação de um tsunami)

A altura máxima de inundação de um tsunami num ponto da costa é a altura, acima do nível do mar no momento, do terreno mais alto que a água atinge ali, terra adentro. A distância horizontal da linha de costa até esse ponto é a distância de inundação.

As equipes de levantamento medem as alturas máximas de inundação a partir de marcas de água, linhas de detritos e danos depois de cada tsunami. O banco de dados global de tsunamis contém $2177$ observações de altura máxima de inundação para o tsunami do oceano Índico de 26 de dezembro de 2004, produzido por um terremoto de magnitude 9.1 ao largo de Sumatra, com uma altura máxima da água de $50.9\,\mathrm{m}$, e $6429$ para o tsunami de 11 de março de 2011 ao largo de Honshu, também de magnitude 9.1, com um máximo de $39.3\,\mathrm{m}$. Os dois mataram $227\,899$ e $18\,423$ pessoas. Em Banda Aceh, a água atingiu o meio do segundo andar da mesquita abaixo.

28.7 As cheias

Definição 28.11 (Curva de frequência de cheias)

A curva de frequência de cheias de um rio numa estação fluviométrica é a curva da vazão de pico anual em função de seu período de retorno, ou de sua probabilidade anual de excedência, construída a partir do registro de picos anuais da estação e em geral estendida por uma lei de probabilidade ajustada.

A fórmula dos postos dos volumes escolares posiciona os pontos da curva. Ela tem uma razão.

Proposição 28.12 (Posição de plotagem de Weibull)

Sejam $n$ picos anuais independentes e extraídos da mesma distribuição contínua, e seja $G(x)$ a probabilidade de que o pico de um ano exceda $x$. O pico de posto $m$, contado a partir do maior, tem uma probabilidade de excedência esperada $m/(n + 1)$, de modo que é plotado em $T = (n + 1)/m$.

O maior pico de um registro de 30 anos é portanto plotado em 31 anos, e nada no registro fixa a cheia de 100 anos. Para alcançá-la, os picos são ajustados com uma lei de extremos, frequentemente a de Gumbel, $\Pr(\text{pico} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$, cuja cheia de $T$ anos é $x_T = u - \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$: uma reta em função de $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$, extrapolada além do registro com um risco que cresce com a distância.

28.8 Monitoramento e alerta precoce

Definição 28.13 (Sistema de alerta precoce)

Um sistema de alerta precoce é um sistema integrado de monitoramento de ameaças, previsão, avaliação de risco, comunicação e preparação que permite uma ação oportuna antes de um evento perigoso. Ele reúne quatro elementos: o conhecimento do risco; a detecção, o monitoramento e a previsão da ameaça; a difusão dos alertas; e a preparação para responder.

A física fixa quanto tempo cada alerta pode dar. As ondas sísmicas não podem ser ultrapassadas, mas as ondas S destrutivas propagam-se a cerca de $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ na crosta superior, contra $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ para as ondas P: um alerta calculado a partir das primeiras ondas P registradas perto do epicentro chega a uma cidade antes das ondas S, em $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ por quilômetro de distância $d$, menos o tempo de detectar e calcular. Uma cidade a $100\,\mathrm{km}$ ganha no máximo $14\,\mathrm{s}$; perto da fonte uma zona cega não ganha nada (Exercício 28.12). Um tsunami que atravessa $100\,\mathrm{km}$ de mar de $2000\,\mathrm{m}$ de profundidade leva 12 minutos; através de um oceano, leva horas. Em 2011, o alerta japonês foi emitido cerca de três minutos depois do terremoto, mas com uma magnitude estimada baixa demais, porque os instrumentos saturaram; ele foi atualizado com dados de uma boia GPS ao largo cerca de 28 minutos depois. Registradores de pressão de oceano profundo, que convertem a pressão no fundo do mar a cada 15 segundos numa altura da superfície do mar, transmitem hoje por satélite a passagem dos tsunamis.

No campo — Acompanhar uma encosta em movimento

Numa encosta conhecida por rastejar, as equipes de monitoramento instalam instrumentos que medem as variáveis da equação da encosta infinita. Piezômetros em furos de sondagem registram a pressão neutra na superfície de deslizamento; tubos inclinométricos, lidos a intervalos de profundidade, mostram onde o terreno se curva e com que rapidez; estações GNSS e extensômetros registram o movimento da superfície; um pluviômetro registra o gatilho. As equipes comparam o movimento com a chuva e a pressão da água, estação após estação, e procuram a aceleração que precede a ruptura.

Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; peso específico da água $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$; a GMPE (28.3) em rocha ($G_B = G_C = 0$), $\sigma = 0.230$; velocidades P e S na crosta superior 5.8 e $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Arredonde a três algarismos significativos.

Exercício 28.1 ★

Pelo modelo de Poisson: (a) qual é a probabilidade de pelo menos uma cheia de 100 anos em 30 anos? (b) Qual é a probabilidade de que um século passe sem uma cheia de 100 anos? (c) Encontre o período de retorno do movimento com uma chance de $5\,\%$ de excedência em 50 anos.

Solução

Solução de Exercício 28.1.

(a) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (b) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$: mais de um século em cada três passa sem nenhuma. (c) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ anos.

Exercício 28.2 ★

Duas cidades enfrentam abalos fortes. Na cidade A, eles ocorrem a uma taxa de uma vez em 200 anos e destruiriam $2\,\%$ de seus 5000 edifícios; na cidade B, uma vez em 50 anos, destruindo $10\,\%$ de seus 800 edifícios. (a) Encontre o número esperado de edifícios destruídos por ano em cada cidade. (b) Qual cidade tem o maior risco, embora tenha a menor exposição? (c) Qual dos três fatores faz a diferença?

Solução

Solução de Exercício 28.2.

(a) Cidade A: $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ edifício por ano; cidade B: $(1/50) \times 800 \times 0.10 = 1.6$. (b) A cidade B, com 6.25 vezes menos edifícios expostos. (c) Sua ameaça é 4 vezes mais frequente e sua vulnerabilidade 5 vezes maior: juntas, um fator 20, que supera a exposição menor.

Exercício 28.3 ★

(a) Encontre a velocidade de um tsunami sobre profundidades de 4000, 200 e $10\,\mathrm{m}$. (b) Quanto tempo ele leva para atravessar $1500\,\mathrm{km}$ de oceano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidade? (c) A que profundidade ele se propagaria a $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

Solução

Solução de Exercício 28.3.

(a) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$, $2.10\,\mathrm{h}$. (c) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, e $h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

Exercício 28.4 ★

Uma areia seca e sem coesão com $\varphi' = 33{}^{\circ}$ forma uma encosta longa. (a) Encontre seu fator de segurança a $25{}^{\circ}$. (b) Qual é a encosta mais íngreme que ela pode formar? (c) A encosta fica saturada, com o nível freático na superfície e percolação paralela a ela, de modo que $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ com $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Mostre que $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ e calcule-o a $25{}^{\circ}$.

Solução

Solução de Exercício 28.4.

(a) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (b) $F = 1$ quando $\beta = \varphi' = 33{}^{\circ}$. (c) Com $c' = 0$, $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$, e $\cos^2\beta - r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$, logo $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$: a água reduz o atrito à metade. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$: a encosta rompe.

Exercício 28.5 ★★

O catálogo global contém 696 terremotos de magnitude pelo menos 7 nos 50 anos de 1976–2025, e o intervalo médio entre eles é de 26.2 dias. (a) Encontre sua taxa anual média. (b) Pelo modelo de Poisson, qual é a probabilidade de que 30 dias passem sem nenhum? Compare com a fração observada de intervalos mais longos que 30 dias, 0.304. (c) Qual é a probabilidade de pelo menos um numa semana dada?

Solução

Solução de Exercício 28.5.

(a) $696/50 = 13.9$ por ano. (b) $e^{-30/26.2} = 0.318$, contra 0.304 observado: próximo. O valor observado é um pouco menor porque as réplicas e os dupletos agrupados acrescentam intervalos curtos. (c) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

Exercício 28.6 ★★

(a) Encontre a PGA mediana de um terremoto de magnitude 6.5 em rocha a $d = 0$, 10, 30 e $100\,\mathrm{km}$. (b) Qual seria ela a $10\,\mathrm{km}$ num local de classe C? (c) Entre que valores fica a PGA em rocha a $10\,\mathrm{km}$ com uma probabilidade de cerca de $68\,\%$?

Solução

Solução de Exercício 28.6.

(a) O termo de magnitude é $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. Para $d = 0$, 10, 30 e $100\,\mathrm{km}$, $r = 5.57$, 11.45, 30.51 e $100.2\,\mathrm{km}$, $\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$, $-0.814$, $-1.145$ e $-1.547$, e a PGA mediana é 0.269, 0.153, 0.0715 e $0.0284\,\mathrm{g}$. (b) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (c) Um desvio-padrão de cada lado: de $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ a $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

Exercício 28.7 ★★

Os picos anuais de um rio ao longo de 12 anos foram, em $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$: 212, 148, 305, 176, 251, 133, 188, 420, 160, 229, 195, 268. (a) Dê os períodos de retorno dos quatro maiores. (b) Estime a cheia de 10 anos interpolando linearmente em $\ln T$ entre os dois maiores. (c) Por que este registro não pode dizer nada confiável sobre a cheia de 100 anos?

Solução

Solução de Exercício 28.7.

(a) Em ordem: 420 ($T = 13/1 = 13$ anos), 305 (6.5), 268 (4.33), 251 (3.25). (b) $305 + (420 - 305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) O maior pico é plotado em 13 anos; qualquer valor em 100 anos extrapola muito além do registro, com uma lei de extremos cuja escolha e cujos parâmetros os 12 pontos mal restringem.

Exercício 28.8 ★★

Num vulcão agitado o observatório estima: agitação magmática 0.6; erupção se magmática 0.4; explosiva se houver erupção 0.5; um fluxo piroclástico que atinge um dado vale se explosiva 0.3. (a) Encontre a probabilidade de um fluxo piroclástico no vale. (b) Encontre a probabilidade de uma erupção, e de uma erupção sem fluxo no vale. (c) Novos dados de deformação elevam a probabilidade de uma erupção, se a agitação é magmática, para 0.7. Atualize (a).

Solução

Solução de Exercício 28.8.

(a) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (b) $P(\text{erupção}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$; sem fluxo no vale, $0.24 - 0.036 = 0.204$. (c) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 = 0.063$.

Exercício 28.9 ★★

Um solo seco com $c' = 8\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 30{}^{\circ}$ e $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ repousa sobre uma encosta de $35{}^{\circ}$. (a) Encontre a espessura $z_c$ para a qual $F = 1$. (b) Encontre $F$ para uma camada de $2\,\mathrm{m}$ de espessura. (c) A mesma camada fica saturada, com o nível freático na superfície e $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. Encontre $F$.

Solução

Solução de Exercício 28.9.

Aqui $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$, $\cos^2\beta = 0.6710$ e $\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} = 0.8245$. (a) $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ dá $z_c = 8/(19 \times 0.4698 \times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (b) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 = 1.27$. (c) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$; $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times 0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$: a camada saturada rompe.

Exercício 28.10 ★★★

(a) Mostre que o modelo de Poisson não tem memória: a probabilidade de nenhum evento em $[s, s + t]$, dado que não houve nenhum em $[0, s]$, é $e^{-t/T}$, qualquer que seja $s$. (b) Uma falha tem um período de retorno de 475 anos para seus grandes terremotos e não teve nenhum nos últimos 400 anos. Qual é, segundo o modelo, a probabilidade de um nos próximos 50 anos? (c) O rebote elástico do volume do primeiro ano sugere que a probabilidade deveria, ao contrário, crescer com o tempo desde o último terremoto. Que hipótese do modelo de Poisson ele contradiz, e por que os mapas de ameaça mantêm o modelo para as fontes areais?

Solução

Solução de Exercício 28.10.

(a) $\Pr(\text{nenhum em } [0, s+t] \mid \text{nenhum em } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (b) Os 400 anos tranquilos não mudam nada: $1 - e^{-50/475} = 0.0999$, $10\,\%$. (c) Ele contradiz a hipótese de que a taxa não depende do tempo decorrido: depois do rebote a tensão precisa acumular-se de novo, de modo que a taxa é baixa logo após um terremoto e cresce depois. Uma zona sismogênica contém muitas falhas em fases diferentes de seus ciclos; a soma de muitas sequências independentes de eventos comporta-se quase como um processo de Poisson, e a taxa é tudo o que se conhece de cada uma.

Exercício 28.11 ★★★

Um tsunami de amplitude $0.5\,\mathrm{m}$ e período de 20 minutos atravessa um oceano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidade. (a) Usando o argumento do fluxo de energia da proposição sobre as ondas longas, encontre sua amplitude em $10\,\mathrm{m}$ de água. (b) Encontre seu comprimento de onda nas duas profundidades. (c) Dê duas razões pelas quais a altura máxima de inundação na costa pode diferir muito desta estimativa.

Solução

Solução de Exercício 28.11.

(a) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (b) $\lambda = cT$: $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ no oceano profundo, $9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ em $10\,\mathrm{m}$ de água. (c) A amplitude já não é pequena diante da profundidade ($2.2\,\mathrm{m}$ em $10\,\mathrm{m}$), de modo que a onda se empina e pode quebrar; parte da energia é refletida ou concentrada pela forma do fundo do mar e das baías; em terra a altura máxima de inundação depende da declividade e da rugosidade do terreno.

Exercício 28.12 ★★★

Um sistema de alerta sísmico precoce emite um alerta 4 segundos depois que a onda P atinge sua estação mais próxima do epicentro, a $10\,\mathrm{km}$. Despreze a profundidade da fonte. (a) Quando o alerta é emitido depois do terremoto? (b) Quantos segundos antes da onda S uma cidade a $50\,\mathrm{km}$ do epicentro o recebe? E uma cidade a $100\,\mathrm{km}$? (c) Encontre o raio da zona cega, onde a onda S chega antes do alerta.

Solução

Solução de Exercício 28.12.

(a) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (b) A onda S atinge $50\,\mathrm{km}$ depois de $50/3.2 = 15.6\,\mathrm{s}$: $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ de aviso; a $100\,\mathrm{km}$, $31.3 - 5.72 = 25.5\,\mathrm{s}$. (c) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

Problema 28.1

Problema de fim de semana — uma cidade entre uma falha e uma encosta

Uma cidade sobre rocha fica a $10\,\mathrm{km}$ de uma zona sismogênica; todos os seus terremotos são tomados a $d = 10\,\mathrm{km}$. Sua recorrência é $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ por ano para $M \geq 5$, truncada em $M_{\max} = 7.5$. O abalo segue a GMPE (28.3) com $\sigma = 0.230$. Acima da cidade, uma camada de solo de $3\,\mathrm{m}$ de espessura repousa sobre uma encosta de $30{}^{\circ}$, com $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c' = 4\,\mathrm{kPa}$ e $\varphi' = 34{}^{\circ}$; a água tem peso específico $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Arredonde a três algarismos significativos.

Parte I — Recorrência.

1. Encontre as taxas anuais de terremotos de magnitude pelo menos 5, 6 e 7, ignorando a truncagem.
2. Dê os períodos de retorno correspondentes.
3. Com a truncagem, encontre a taxa de terremotos acima de 7.5, e a taxa dos que ficam entre 7 e 7.5.
4. Encontre as taxas das classes de magnitude 5–6 e 6–7.
5. Qual é a probabilidade de pelo menos um terremoto de magnitude 6 ou mais em 50 anos?
6. E de magnitude 7 ou mais?

Parte II — O movimento do solo na cidade.

7. Encontre $r$, e o termo de distância $-0.778\log_{10} r$.
8. Represente as três classes pelas magnitudes 5.5, 6.5 e 7.25. Encontre o $\log_{10}\mathrm{PGA}$ mediano e a PGA mediana de cada uma.
9. Encontre a PGA excedida com uma probabilidade de $16\,\%$ por uma magnitude 6.5.
10. Qual é a probabilidade de que uma magnitude 6.5 produza mais de $0.3\,\mathrm{g}$?
11. Qual é a PGA mediana do maior terremoto possível?

Parte III — A curva de ameaça.

12. Encontre a taxa anual de excedência de $0.2\,\mathrm{g}$, somada sobre as três classes.
13. O mesmo para $0.3\,\mathrm{g}$.
14. O mesmo para $0.4\,\mathrm{g}$.
15. Que taxa anual corresponde a $10\,\%$ em 50 anos?
16. Entre quais dos três níveis fica essa taxa?
17. Interpolando linearmente em $\ln\lambda$ em função de $\ln a$, encontre a PGA com uma chance de $10\,\%$ de excedência em 50 anos.
18. Que classes contribuem mais para a taxa a $0.3\,\mathrm{g}$? Comente, usando a resposta à questão 11.

Parte IV — A encosta acima da cidade.

19. Encontre o fator de segurança da encosta seca.
20. Encontre-o quando a camada está saturada, com o nível freático na superfície ($r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$).
21. Até que fração da espessura da camada o nível freático pode subir antes que a encosta rompa?
22. Numa análise pseudoestática (admitida), o abalo acrescenta uma força horizontal $kW$. Encontre o $k$ crítico da encosta seca, para o qual $F = 1$.
23. Tomando $k$ igual à PGA em unidades de $g$, que magnitude produz o valor crítico como sua mediana na cidade? Compare com a resposta à questão 17.
24. Em resumo: qual é a aceleração de pico do solo com uma chance de $10\,\%$ de ser excedida em 50 anos na cidade?

Solução

Solução de Problema 28.1.

Os logaritmos são mantidos com quatro casas decimais nas etapas intermediárias. 1. $10^{4-5} = 0.1$, $10^{4-6} = 0.01$ e $10^{4-7} = 0.001$ por ano. 2. 10, 100 e 1000 anos. 3. $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ por ano; $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ por ano. 4. $0.1 - 0.01 = 0.09$ e $0.01 - 0.001 = 0.009$ por ano. 5. $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. 6. $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. 7. $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$; $\log_{10} r = 1.0588$ e $-0.778 \times 1.0588 = -0.8237$. 8. $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$: $-1.0432$, $-0.8142$ e $-0.6424$; medianas 0.0905, 0.153 e $0.228\,\mathrm{g}$. 9. $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. 10. $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$, e $1 - \Phi(1.266) = 0.103$. 11. $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$: $0.260\,\mathrm{g}$. 12. As probabilidades de exceder $0.2\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) são 0.0672 ($z = 1.497$), 0.308 ($z = 0.501$) e 0.597 ($z = -0.246$): $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009 \times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} = 9.23 \times 10^{-3}$ por ano. 13. Para $0.3\,\mathrm{g}$: $z = 2.262$, 1.266 e 0.520, probabilidades 0.0118, 0.103 e 0.302; $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ por ano. 14. Para $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$): $z = 2.805$, 1.810 e 1.063, probabilidades 0.00251, 0.0352 e 0.144; $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} = 6.41 \times 10^{-4}$ por ano. 15. $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ por ano, um período de retorno de 475 anos. 16. Entre $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) e $0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). 17. A inclinação é $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$, e $a = 0.3 \times (2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. 18. A $0.3\,\mathrm{g}$, a classe 5–6 dá $48.5\,\%$ da taxa, a 6–7 $42.1\,\%$ e a 7–7.5 apenas $9.4\,\%$. Mesmo o maior terremoto tem uma mediana de $0.260\,\mathrm{g}$, abaixo de $0.3\,\mathrm{g}$: o nível só é atingido na cauda superior da dispersão, e são os terremotos moderados frequentes que fornecem a maior parte dele. 19. $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. 20. $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$; $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times 0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$: a encosta saturada rompe. 21. Com o nível freático a uma fração $m$ da espessura, $r_u = 0.387\,m$. $F = 1$ quando $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$: $m = 0.548$, um nível freático a $55\,\%$ da camada. 22. Dividindo $F = 1$ por $\gamma z$: $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 + 0.75\,k$, logo $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. 23. $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ dá $M = 6.29$. Esses terremotos ocorrem a $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ por ano, cerca de uma vez em 208 anos, e a PGA de 475 anos da questão 17 é mais que o dobro dos $0.137\,\mathrm{g}$ críticos: segundo esta análise, a encosta seca rompe com um abalo muito inferior ao movimento de 475 anos. 24. A aceleração de pico do solo com uma chance de $10\,\%$ de ser excedida em 50 anos na cidade é de $0.303\,\mathrm{g}$.