5Os magmas e seu alojamento

Um fundido basáltico a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ escoa com uma viscosidade de cerca de $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: espesso, mas ele se derrama. Um fundido riolítico seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tem uma viscosidade perto de $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e um bloco dele levaria horas para ceder visivelmente sob o próprio peso. Entre os dois há dez ordens de grandeza, mais do que entre a água e o basalto, e a maior parte da diferença vem de duas coisas: a sílica, que liga o fundido em uma rede, e a temperatura, várias centenas de graus mais baixa nos magmas silícicos. Alguns por cento de água dissolvida, que um magma riolítico pode conter em profundidade, reduzem sua viscosidade por um fator $10^{5}$, e esse efeito se perde de novo quando o magma sobe e a água sai na forma de bolhas. Esses números decidem se um magma chega à superfície tranquilamente, explode ou se solidifica a quilômetros de profundidade como um dique, uma soleira ou um plúton. Este capítulo trata um magma como um material: sua densidade, sua viscosidade e seus voláteis, a física de sua ascensão por fraturas e como corpos isolados, as formas que ele assume quando para, e o calor que cede às rochas ao seu redor.

O que você já sabe

Escoamento viscoso (livros de física, volume do segundo ano): em um fluido newtoniano de viscosidade $\eta$, a tensão de cisalhamento é $\eta$ vezes o gradiente de velocidade; entre duas paredes paralelas, um gradiente de pressão impõe um perfil parabólico (de Poiseuille plano); uma esfera que se move lentamente em um fluido viscoso sofre o arrasto de Stokes $6\pi\eta a v$. Condução de calor (mesmo volume): a temperatura obedece a $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, com difusividade $\kappa = k/(\rho c)$, e um degrau de temperatura se espalha como uma função erro sobre uma distância da ordem de $\sqrt{\kappa t}$. Empuxo (livros de física, volume do primeiro ano): um corpo imerso em um fluido mais denso sofre uma força resultante para cima igual ao peso do fluido deslocado menos o seu próprio. Equilíbrio químico (livros de química): no equilíbrio, as atividades dos produtos e dos reagentes satisfazem a lei de ação das massas com uma constante $K$ que depende da temperatura. Do volume do primeiro ano desta série: a pressão litostática $p = \rho g z$ e a geoterma; dos volumes escolares: rochas máficas e félsicas, fenocristais e texturas porfiríticas.

5.1 O que é um magma

Definição 5.1 (Magma)

Um magma é rocha fundida ou parcialmente fundida sob a superfície: um fundido silicático, o líquido formado sobretudo de silício, oxigênio e cátions metálicos, junto com os cristais e as bolhas de gás que ele carrega. Um mush cristalino é um magma tão rico em cristais que estes se tocam e formam um arcabouço: ele não pode escoar como um líquido, e seu fundido só pode se mover pelos poros entre os cristais.

A composição do fundido é dada, como para as rochas, em porcentagem em peso de óxidos. Três fundidos servem de referência ao longo do capítulo, todos eles estudados em laboratório: um basalto toleítico dragado em uma dorsal meso-oceânica (cerca de $51\,\%$ de SiO$_2$, $12\,\%$ de óxido de ferro, $7\,\%$ de MgO), um andesito ($63\,\%$ de SiO$_2$) e um riolito ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O e quase nada de ferro ou de magnésio). Suas temperaturas de erupção diferem tanto quanto suas composições: os magmas basálticos entram em erupção a $1000\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (a lava que corre em um tubo no Kilauea foi medida perto de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), os magmas andesíticos a $800\text{ a }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, os magmas riolíticos a $650\text{ a }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um magma riolítico é mais frio porque é o resíduo de uma longa cristalização ou o primeiro fundido de rochas crustais, dois processos que ocorrem a baixa temperatura (Capítulo 8).

O teor de cristais decide se um magma escoa. Estudos de campo e geocronológicos de grandes corpos graníticos concluem que o escoamento magmático em massa exige uma fração de fundido de pelo menos $30\text{ a }50\,\%$ em volume; abaixo disso, os cristais estão soldados aos seus vizinhos e o material se deforma como um sólido com poros cheios de fundido. Pensa-se que boa parte do magma armazenado na crosta esteja nesse estado, como um mush que volta a ficar móvel quando magma quente é acrescentado por baixo.

5.2 Densidade e viscosidade

5.2.1 A densidade de um fundido

Um fundido silicático não tem rede cristalina, mas seu volume ainda pode ser construído a partir de seus componentes. Experimentos com muitos fundidos mostram que cada óxido contribui com um volume quase fixo por mol, seu volume molar parcial, que varia lenta e linearmente com a temperatura e a pressão; o volume do fundido é a soma dessas contribuições. A tabela abaixo dá os valores usados neste capítulo.

Óxido	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

Proposição 5.2 (Densidade de um fundido silicático)

Suponha-se que um fundido contenha componentes óxidos $i$ de frações molares $X_i$, massas molares $M_i$ e volumes molares parciais $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Se os componentes se misturam idealmente em volume,

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

A água tem uma massa molar de apenas $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, mas um volume molar parcial de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, próximo do da sílica: ela reduz fortemente a densidade de um fundido. Aplicada aos três fundidos de referência, a proposição dá $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o basalto a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o andesito a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para o riolito seco a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; um por cento de água dissolvida tira cerca de $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ do basalto, tanto quanto várias centenas de graus de aquecimento. Um fundido basáltico é portanto mais leve que o peridotito mantélico de onde vem (cerca de $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sob a crosta no modelo de Terra de referência) e um pouco mais leve que a crosta inferior desse modelo ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), ao passo que um fundido riolítico é mais leve até que sua crosta superior ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Essa diferença impele os magmas para cima.

5.2.2 A viscosidade

A viscosidade de um fundido silicático é fixada pela rede de tetraedros SiO$_4$ ligados por oxigênios compartilhados: para escoar, o fundido precisa romper e refazer ligações silício–oxigênio. A sílica e a alumina constroem a rede; os cátions de magnésio, de ferro, de cálcio e os álcalis a rompem, e a água também, que transforma oxigênios em ponte em grupos hidroxila. As medidas de laboratório em fundidos naturais cobrem mais de quinze ordens de grandeza, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, e não seguem uma lei de Arrhenius simples: a viscosidade cresce mais depressa que uma exponencial em $1/T$ à medida que o fundido se resfria em direção à sua transição vítrea.

Proposição 5.3 (Lei de Vogel–Fulcher–Tammann)

A viscosidade de um fundido silicático de composição fixa segue, a alguns décimos de unidade logarítmica,

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

com $\eta$ em pascal-segundos e $T$ em kelvins. Para os fundidos naturais, $A$ é próximo de $-4.55$ qualquer que seja a composição; $B$ e $C$ (em kelvins) são combinações lineares das porcentagens molares dos óxidos, com alguns produtos entre elas, ajustadas a cerca de $1800$ medidas.

A figura abaixo mostra a lei para os três fundidos de referência e para o riolito com água dissolvida. A $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o basalto tem $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; o andesito a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; o riolito seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cerca de $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Quatro por cento de água levam o mesmo riolito a $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, seis por cento a $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Uma equação independente, ajustada apenas a fundidos graníticos hidratados, dá os mesmos valores a meia unidade logarítmica (Exercício 5.1). O efeito da água é máximo a baixa temperatura, onde alguns décimos de por cento alteram a viscosidade em ordens de grandeza.

Os cristais tornam um magma ainda mais rígido. Uma suspensão de partículas rígidas resiste ao cisalhamento mais que seu líquido sozinho, porque o líquido precisa contornar as partículas, e, quando as partículas estão apertadas a ponto de se tocar, elas se travam em um arcabouço.

Proposição 5.4 (Relação de Einstein–Roscoe)

Uma suspensão de uma fração volumétrica $\phi$ de esferas rígidas em um líquido newtoniano de viscosidade $\eta_{\ell}$ tem a viscosidade

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

onde $\phi_m$ é a fração de empacotamento máximo, na qual a suspensão trava. Para $\phi$ pequeno, isso se reduz à relação de Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

Vinte por cento de cristais dobram a viscosidade, quarenta por cento a multiplicam por sete, sessenta por cento por mais de sessenta (Exercício 5.5); nos magmas reais, onde os cristais são alongados e de muitos tamanhos, o travamento chega antes, perto dos $50\text{ a }70\,\%$ de cristais nos quais as evidências de campo situam o fim do escoamento em massa.

5.3 Os voláteis

Definição 5.5 (Voláteis magmáticos)

Um volátil magmático é um componente de um magma que está dissolvido no fundido em profundidade e forma uma fase gasosa separada a baixa pressão: principalmente a água, depois o dióxido de carbono, depois as espécies de enxofre. A exsolução de voláteis é a separação de um volátil do fundido em bolhas de gás. A pressão de saturação em voláteis de um fundido é a pressão abaixo da qual seus voláteis dissolvidos excedem sua solubilidade, de modo que uma fase gasosa precisa se formar.

Os magmas máficos carregam tipicamente $1\text{ a }3\,\%$ de voláteis em massa, os magmas intermediários $3\text{ a }4\,\%$, os magmas félsicos $4\text{ a }7\,\%$, e a exsolução de $4\text{ a }6\,\%$ de água impele a maioria das erupções explosivas. A quantidade de água que um fundido pode conter depende sobretudo da pressão. A figura abaixo mostra medidas em fundidos basálticos e riolíticos mantidos sob uma pressão de água conhecida até a saturação, depois temperados em vidro e analisados: a solubilidade cresce rapidamente a baixa pressão e mais lentamente a alta pressão.

Proposição 5.6 (Lei da raiz quadrada para a água)

Suponha-se que a água se dissolva em um fundido silicático sobretudo como grupos hidroxila, pela reação $\mathrm{H_2O\,(\text{gás})} + \mathrm{O^{2-}\,(fundido)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(fundido)}$, com o oxigênio do fundido em grande excesso. Então, a baixos teores de água, a água dissolvida é proporcional à raiz quadrada da pressão de água: $w \approx s\sqrt{p}$, sendo $s$ uma constante do fundido e da temperatura.

Ajustada por mínimos quadrados às medidas, $w = s\sqrt p$ dá $s = 0.34$ por cento em peso por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para os basaltos e $s = 0.44$ para os riolitos; toda medida fica a menos de um por cento de água de sua curva. A pressão de saturação de um fundido com $w$ por cento de água é então $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ para um riolito com $5\,\%$ de água, cerca de $5\,\mathrm{km}$ de profundidade na crosta, mas apenas $2\,\mathrm{MPa}$ para um basalto com $0.5\,\%$, cem metros ou menos.

O dióxido de carbono é muito menos solúvel que a água. Ele se dissolve como moléculas nos riolitos e como grupos carbonato nos basaltos, mais nos fundidos alcalinos que nos toleítos, e sua solubilidade também cresce com a pressão. Um magma que carrega os dois gases começa portanto a exsolver em profundidade, com um gás muito rico em CO$_2$, e o gás se enriquece em água à medida que o magma sobe. Os basaltos emitidos no fundo do mar profundo contêm vesículas com mais de $95\,\%$ de CO$_2$, o que exigiu saturação em CO$_2$ mesmo sob $5\,\mathrm{km}$ de água. As estimativas do teor inicial de CO$_2$ dos basaltos parentais do Kilauea vão de $0.2\text{ a }0.6\,\%$, e inclusões de fundido aprisionadas em seus cristais de olivina registram pressões de saturação de até $500\,\mathrm{MPa}$.

O gás exsolvido ocupa um grande volume. Um por cento de água em um magma a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ocupa, como gás ideal, cerca de $12\,\%$ do volume a $100\,\mathrm{MPa}$, $57\,\%$ a $10\,\mathrm{MPa}$ e mais de $99\,\%$ à pressão atmosférica (Exercício 5.7). As bolhas reduzem ainda mais a densidade do magma e o impelem para cima mais depressa; em um magma viscoso elas não conseguem escapar, e o Capítulo 6 mostra como elas o fragmentam.

5.4 A ascensão

Um corpo de magma menos denso que suas encaixantes sofre uma força de empuxo de $\Delta\rho\,g$ por unidade de volume, onde $\Delta\rho$ é a diferença de densidade. Ele pode subir de duas maneiras: por uma fratura que abre à sua frente, ou como um corpo quente e mole que empurra a rocha ao redor para os lados.

5.4.1 Os diques

Em profundidade a rocha está sob uma grande pressão litostática, mas uma fratura preenchida por magma a uma pressão ligeiramente superior à tensão principal mínima pode se abrir e se alongar em sua ponta. O magma preenche a fratura à medida que ela cresce, e o resultado é uma fina lâmina de magma, com metros de largura e quilômetros de comprimento, que abre caminho para cima: um dique em formação. O magma escoa então entre duas paredes quase paralelas.

Proposição 5.7 (Escoamento do magma em um dique)

Um magma newtoniano de viscosidade $\eta$, impelido para cima por um gradiente de pressão $G$ (para um escoamento por empuxo, $G = \Delta\rho\,g$) entre duas paredes paralelas separadas por uma distância $w$, escoa com a velocidade média

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

e o fluxo volumétrico por unidade de comprimento de dique é $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

O cubo da largura torna os diques largos muito mais eficientes que os estreitos. Um basalto de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em um dique de $1\,\mathrm{m}$ de largura, com $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, sobe a cerca de $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e atravessa $10\,\mathrm{km}$ de crosta em uma hora; um riolito de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ no mesmo dique levaria mais de um ano, e se solidificaria no caminho, de modo que os magmas silícicos precisam de diques muito mais largos (Exercício 5.6). O número de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ desses escoamentos é pequeno o bastante para que permaneçam laminares. As velocidades de ascensão estimadas para os magmas durante as erupções separam as erupções efusivas, abaixo de cerca de $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, das explosivas, acima disso, com um intervalo de transição de $0.005\text{ a }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em que os dois estilos ocorrem; os kimberlitos, que vêm de profundidades além de $150\,\mathrm{km}$, foram estimados em $0.1\text{ a }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e um estudo de difusão de um deles dá $0.02\text{ a }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em média sobre os últimos $80\text{ a }110\,\mathrm{km}$, uma viagem de $5\text{ a }74$ dias.

5.4.2 Os diápiros

Definição 5.8 (Diápiro, nível de flutuabilidade neutra, desmoronamento magmático)

Um diápiro é um corpo de material flutuante, magma ou rocha parcialmente fundida, que sobe através de suas encaixantes fazendo-as escoar para os lados. O nível de flutuabilidade neutra de um magma é a profundidade na qual sua densidade é igual à da rocha ao redor: abaixo dele o magma flutua, acima dele é mais denso que suas encaixantes. O desmoronamento magmático é o desprendimento de blocos da rocha das paredes ou do teto, que afundam no magma; os blocos que ficam inclusos na rocha solidificada são xenólitos.

Proposição 5.9 (Ascensão de Stokes)

Uma esfera de raio $a$ e déficit de densidade $\Delta\rho$ que sobe lentamente através de um meio newtoniano de viscosidade $\eta$ atinge a velocidade terminal

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

se for rígida, e $1.5$ vez essa velocidade se for um fluido de viscosidade desprezível.

A rocha em torno de um diápiro não é um fluido de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, mas um sólido quente, cuja viscosidade é muitas ordens de grandeza maior que a de qualquer fundido: na crosta, uma esfera de magma de um quilômetro de diâmetro sobe apenas milímetros por ano, e perde seu calor muito antes de ter subido muito (Exercício 5.9). Os diápiros funcionam onde as encaixantes são quentes e moles, no manto e nas raízes profundas das cadeias de montanhas, e onde o material flutuante é uma massa parcialmente fundida de quilômetros de diâmetro; a crosta rasa é atravessada por diques.

5.5 O alojamento

A maior parte do magma nunca chega à superfície. Ela para onde deixa de flutuar, ou onde é bloqueada por uma camada mais resistente, e se espalha em um corpo cuja forma registra como ele abriu espaço para si.

Definição 5.10 (Corpos intrusivos)

Um plúton é qualquer corpo de magma que se solidificou dentro da crosta. Um dique é um plúton tabular que corta o acamamento de sua rocha encaixante (ou qualquer lâmina, se a encaixante não tem acamamento); uma soleira é um plúton tabular paralelo ao acamamento. Um lacólito é uma soleira que se espessou empurrando para cima as camadas sobrejacentes em forma de domo. Um batólito é um grande plúton, ou um conjunto de plútons, com área exposta de mais de $100\,\mathrm{km}^{2}$.

O lugar onde um magma para depende primeiro de sua densidade. Em uma crosta cuja densidade aumenta com a profundidade, um magma sobe até seu nível de flutuabilidade neutra e ali se espalha lateralmente, como uma soleira ou uma lente; os sedimentos leves perto da superfície são armadilhas especialmente eficazes para o magma basáltico denso. Uma camada resistente e rígida também pode deter um dique e desviá-lo ao longo de sua base. A figura abaixo mostra o princípio.

Um plúton precisa abrir espaço para si. Ele pode levantar seu teto, como faz um lacólito; pode empurrar suas paredes para os lados onde elas são moles; pode preencher o espaço aberto por falhamento; e pode desmoronar seu teto, bloco por bloco. Os grandes plútons foram por muito tempo imaginados como enormes tanques de magma alojados de uma só vez. A datação mudou essa imagem. Os zircões da Suíte Intrusiva de Tuolumne, um batólito granítico na Califórnia, mostram que ela foi alojada entre $95$ e $85\,\mathrm{Ma}$, mais antiga nas margens e mais jovem no centro, e uma de suas unidades sozinha ao longo de mais de $3\,\mathrm{Myr}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ e $88.8\,\mathrm{Ma}$. Um único corpo de magma de $5\,\mathrm{km}$ de espessura e $20\,\mathrm{km}$ de largura alojado a $15\,\mathrm{km}$ de profundidade teria se resfriado abaixo de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, temperatura em que está cerca de meio cristalizado, em cerca de $500\,000$ anos. Tais plútons devem ter sido montados incrementalmente, a partir de muitas intrusões menores, como lâminas e diques, ao longo de milhões de anos (Exercício 5.11).

5.6 Resfriamento e metamorfismo de contato

Uma intrusão perde seu calor por condução para suas rochas encaixantes. O modelo mais simples trata a intrusão e sua encaixante como um único meio condutor de difusividade uniforme $\kappa$: no instante zero, uma lâmina de espessura $b$ está à temperatura de intrusão $T_m$ e a encaixante a $T_0$. A solução da equação do calor, com $x$ medido a partir do meio da lâmina, é

A figura abaixo a mostra para uma soleira de $100\,\mathrm{m}$ de espessura.

Proposição 5.11 (Temperatura de contato)

Nesse modelo, enquanto $\sqrt{\kappa t}$ é pequeno comparado com $b$, a temperatura no contato da intrusão permanece na média $(T_m + T_0)/2$ das temperaturas da intrusão e da encaixante.

Um dique basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em rochas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aquece assim seu contato a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O calor de cristalização, tipicamente de $700\text{ a }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, mantém o magma quente por mais tempo e eleva esse valor: com $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ liberados entre $1150$ e $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o mesmo modelo dá $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, enquanto condutividades dependentes da temperatura e encaixantes úmidas reduzem as duas estimativas em 50 a $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

A escala de tempo do resfriamento é o tempo de que o calor precisa para se difundir através da intrusão, da ordem de $(b/2)^2/\kappa$: cerca de $16$ dias para um dique de $2\,\mathrm{m}$ de largura, um século para uma soleira de $100\,\mathrm{m}$ de espessura, cem mil anos para um plúton de alguns quilômetros. O calor latente a alonga, assim como a necessidade de solidificar o magma, e não apenas resfriá-lo.

Proposição 5.12 (Solidificação de uma intrusão)

Suponha-se que um magma à sua temperatura de solidificação $T_m$, com calor latente $L$ por unidade de volume, ocupe o semiespaço $y > 0$ ao lado de uma rocha encaixante a $T_0$ que ocupa $y < 0$, ambos de capacidade térmica $\rho c$ por unidade de volume e difusividade $\kappa$. A frente de solidificação avança como $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, onde $\lambda$ é a raiz de

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

e o contato permanece a $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Uma soleira de espessura $b$, que se solidifica a partir das duas paredes, está sólida após $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

Com o calor latente de um basalto e uma encaixante a cerca de $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vale cerca de $0.65$: uma soleira de $100\,\mathrm{m}$ de espessura se solidifica em cerca de setenta anos, e seu contato permanece perto de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em vez de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante esse tempo. O problema de fim de semana percorre esse caso. Como o tempo cresce com o quadrado da espessura, uma soleira dez vezes mais espessa leva cem vezes mais tempo.

Definição 5.13 (Auréola de contato e suas rochas)

Uma margem resfriada é a borda de granulação fina ou vítrea de uma intrusão, onde o magma se resfriou depressa contra uma encaixante mais fria. Uma auréola de contato é a zona de rocha encaixante em torno de uma intrusão que foi metamorfizada por seu calor. O hornfels é a rocha dura, de granulação fina e não foliada em que se transformam os lamitos e as rochas vulcânicas em uma auréola de contato. O escarnito é a rocha formada onde fluidos magmáticos quentes reagem com uma encaixante carbonática, depositando silicatos de cálcio, ferro e magnésio, como granada e piroxênio, muitas vezes com magnetita e sulfetos metálicos.

As auréolas de contato vão de alguns centímetros em torno de pequenos diques e soleiras a várias dezenas de metros em torno de um grande stock, e o metamorfismo de contato abrange de cerca de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a mais de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Um lamito torna-se um hornfels, um calcário um mármore, um arenito um quartzito. Um magma alojado em profundidade em rochas já quentes quase não produz auréola: a largura depende do tamanho e da temperatura da intrusão e da temperatura de sua encaixante, como prevê o modelo de resfriamento (Exercício 5.12). Os minerais que crescem em uma auréola, e o que eles dizem sobre a temperatura, pertencem ao Capítulo 10; os metais que os escarnitos concentram, ao Capítulo 29.

No campo — Ler os contatos de um dique

Onde um dique aflora, um geólogo segue primeiro seus contatos com a rocha encaixante. Uma margem de granulação mais fina ou mais vítrea que o centro do dique mostra que o magma foi resfriado bruscamente contra rocha fria; um dique de $25\,\mathrm{cm}$ de largura estudado na costa da Colúmbia Britânica tem margens resfriadas de $2\,\mathrm{cm}$ de espessura. A rocha encaixante é examinada junto ao contato em busca de cozimento: uma mudança de cor, um endurecimento, minerais novos que desaparecem à medida que se afasta do dique. A largura da zona cozida e da margem resfriada, comparada com a largura do dique, indica quão quente estava a encaixante quando o dique chegou; um dique sem margem resfriada e sem auréola foi intrudido em rochas que já estavam quentes. Coletam-se amostras através do dique, da margem ao centro, para a geoquímica de seu fundido e para o tamanho de seus cristais.

5.7 Exercícios

Exercício 5.1 ★

Para fundidos graníticos hidratados, uma equação ajustada às medidas dá $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$, com $\eta$ em $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ o teor de água em porcentagem em peso e $T$ em kelvins. Calcule $\log_{10}\eta$ a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $w = 1$ e $w = 4$, e o fator pelo qual os três por cento adicionais de água reduzem a viscosidade.

Solução

Solução de Exercício 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Para $w = 1$, $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Para $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$, e $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. A viscosidade cai por um fator $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

Exercício 5.2 ★

Com a lei da raiz quadrada, $s = 0.44$ para um riolito e $s = 0.34$ para um basalto (por cento em peso por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calcule a pressão de saturação de um riolito com $6\,\%$ de água e de um basalto com $0.5\,\%$, e as profundidades correspondentes em uma crosta de densidade $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Solução

Solução de Exercício 5.2.

Riolito: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, a uma profundidade de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. Basalto: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, a $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. O riolito começa a formar bolhas no interior profundo da crosta, o basalto só perto da superfície (se não carregar CO$_2$).

Exercício 5.3 ★

Calcule a temperatura de contato de um dique basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ intrudido em rochas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, depois em rochas a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Qual dos dois diques terá a margem resfriada mais larga?

Solução

Solução de Exercício 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O dique na rocha fria é resfriado mais bruscamente em seu contato, e tem a margem resfriada mais larga.

Exercício 5.4 ★

Dê o nome de cada corpo. (a) Uma lâmina de dolerito de $30\,\mathrm{m}$ de espessura situada entre duas camadas de arenito ao longo de $20\,\mathrm{km}$. (b) Uma lâmina vertical de basalto de $2\,\mathrm{m}$ de largura que corta calcários horizontais. (c) Um granito exposto em $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formado por uma dúzia de unidades de idades diferentes. (d) Uma lente de pórfiro de $1\,\mathrm{km}$ de diâmetro, plana na base, acima da qual as camadas estão arqueadas. (e) Uma lâmina horizontal de basalto em um granito.

Solução

Solução de Exercício 5.4.

(a) Uma soleira, paralela ao acamamento. (b) Um dique, que corta o acamamento. (c) Um batólito, com mais de $100\,\mathrm{km}^{2}$ e montado a partir de muitas intrusões. (d) Um lacólito, que arqueou seu teto em domo. (e) Um dique: o granito não tem acamamento, de modo que qualquer lâmina nele é um dique, qualquer que seja sua orientação.

Exercício 5.5 ★★

Um fundido basáltico tem $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Com a relação de Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calcule a viscosidade do magma com $5\,\%$, $20\,\%$, $40\,\%$ e $60\,\%$ de cristais, e compare o primeiro valor com a fórmula diluída de Einstein. Em que fração de cristais a relação prevê o travamento?

Solução

Solução de Exercício 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: para $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, portanto $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, contra $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, com a fórmula de Einstein (próximos, como deve ser no limite diluído). Para $0.20$: $0.73^{-2.5} = 2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, cerca de $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Travamento em $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

Exercício 5.6 ★★

Um magma com densidade $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ menor que a de suas paredes sobe por um dique. (a) Para um basalto ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) em um dique de $1\,\mathrm{m}$ de largura, calcule a velocidade média, o fluxo por metro de dique, o número de Reynolds e o tempo para subir $10\,\mathrm{km}$. (b) O mesmo tempo para um riolito de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ em um dique de $1\,\mathrm{m}$ de largura, depois de $10\,\mathrm{m}$ de largura. (c) Um dique de $1\,\mathrm{m}$ de largura perde seu calor em um tempo da ordem de $(w/2)^2/\kappa$, com $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: qual das três ascensões pode ter êxito?

Solução

Solução de Exercício 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminar; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, cerca de $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ dias; com $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ é cem vezes maior, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ dias. (c) O dique de $1\,\mathrm{m}$ se resfria em cerca de $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 dias; o dique de $10\,\mathrm{m}$ em $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 dias. O basalto ($1.1\,\mathrm{h}$) e o riolito no dique largo (4.7 dias) chegam antes que seus diques se solidifiquem; o riolito no dique de $1\,\mathrm{m}$ (472 dias) não consegue.

Exercício 5.7 ★★

Um magma de densidade $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libera $1\,\%$ de sua massa como vapor de água. Tratando o vapor como gás ideal ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calcule a fração volumétrica de gás no magma a $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ e $0.1\,\mathrm{MPa}$. Qual dos três valores é o menos confiável, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 5.7.

Por quilograma de magma, $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ de água e $nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; o fundido restante ocupa $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fração $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. A $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fração $0.57$. A $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fração $0.992$. O valor a $100\,\mathrm{MPa}$ é o menos confiável: o vapor de água a essa pressão é denso e está longe de ser ideal (e boa parte da água ainda estaria, na verdade, dissolvida).

Exercício 5.8 ★★

Em uma bacia, a densidade das rochas aumenta com a profundidade $z$ como $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ em $\mathrm{km}$) até $10\,\mathrm{km}$. (a) Onde está o nível de flutuabilidade neutra de um fundido basáltico de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) O modelo de densidade deste capítulo mostra que um por cento de água dissolvida reduz a densidade de um fundido basáltico em cerca de $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Onde para um fundido com um por cento a mais de água? (c) Qual é a força de empuxo por metro cúbico do fundido seco $2\,\mathrm{km}$ abaixo de seu nível de flutuabilidade neutra?

Solução

Solução de Exercício 5.8.

(a) $2300 + 60z = 2650$ dá $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) O fundido tem $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, cerca de $1.2\,\mathrm{km}$ mais acima. (c) Em $z = 7.8\,\mathrm{km}$ a rocha tem $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; a força é $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ por metro cúbico, para cima.

Exercício 5.9 ★★

Suponha que um diápiro granítico de raio $1\,\mathrm{km}$ e déficit de densidade $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ suba através de uma crosta inferior de viscosidade $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calcule sua velocidade de Stokes (esfera rígida) em milímetros por ano e o tempo para subir $10\,\mathrm{km}$. Compare com a escala de tempo $a^2/\kappa$ de seu resfriamento, com $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. O que você conclui?

Solução

Solução de Exercício 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ou $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ por ano, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Subir $10\,\mathrm{km}$ leva $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. A escala de tempo do resfriamento é $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: o corpo se solidifica depois de subir cerca de $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Um diápiro magmático não consegue atravessar uma crosta assim; ele precisa de encaixantes mais quentes e mais moles.

Exercício 5.10 ★★★

A água se dissolve em um fundido ao mesmo tempo como moléculas, $x_m = K_1 f$, e como grupos hidroxila, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (com o oxigênio do fundido em grande excesso), de modo que a água dissolvida total é $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprima $x$ em função de $f$ e mostre que ele se comporta como $\sqrt f$ para $f$ baixo e como $f$ para $f$ alto. (b) Em que fugacidade as duas formas de água são igualmente abundantes? (c) Com $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ e $K_2 = 0.2$, calcule essa fugacidade e a fração de água dissolvida como hidroxila a $100\,\mathrm{MPa}$.

Solução

Solução de Exercício 5.10.

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, logo $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. A razão entre o primeiro termo e o segundo é $2\sqrt{K_1f/K_2}$: ela tende a zero quando $f \to 0$ (a raiz quadrada domina) e cresce sem limite com $f$ (o termo linear domina). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ dá $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$, logo $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$, logo $x = 0.0324$ e a fração em hidroxila é $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

Exercício 5.11 ★★★

Um plúton granítico de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ é montado ao longo de $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Calcule seu suprimento médio de magma em $\mathrm{km}^{3}$ por ano e em $\mathrm{m}^{3}$ por segundo. (b) Um único dique de $1\,\mathrm{km}$ de comprimento e $2\,\mathrm{m}$ de largura, com velocidade média de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o alimenta: quanto tempo o dique levaria para fornecer todo o plúton? Que fração dos $4\,\mathrm{Myr}$ isso representa? (c) Se o plúton é formado por lâminas de $20\,\mathrm{m}$ de espessura e $10\,\mathrm{km}$ por $10\,\mathrm{km}$ de extensão, quantas lâminas são necessárias, e quanto tempo separa duas delas em média? (d) Com $\lambda = 0.65$ e $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, quanto tempo uma lâmina leva para se solidificar? O plúton chega a ser um único grande corpo de magma?

Solução

Solução de Exercício 5.11.

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ por ano, isto é, $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ por ano, ou $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, cerca de oito litros por segundo. (b) O dique transporta $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, e fornece $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ em $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, cerca de 20 anos: $5 \times 10^{-6}$ dos $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Cada lâmina contém $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$, logo 500 lâminas, uma a cada $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ anos em média. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 anos. Cada lâmina se solidifica milhares de anos antes que chegue a seguinte: a menos que o suprimento venha em pulsos rápidos, o plúton nunca é um único grande corpo de magma, como sugere a datação dos grandes plútons.

Exercício 5.12 ★★★

Longe de um dique delgado de largura $b$ (a distâncias $x \gg b$), seu calor age como uma fonte plana instantânea: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Mostre que, à distância $x$, a temperatura é máxima em $t^* = x^2/(2\kappa)$, e que essa elevação máxima é $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Para um dique de $2\,\mathrm{m}$ de largura com $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$, a que distância a rocha se aquece no máximo $100\,\mathrm{K}$, e quando ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) Por que as auréolas dos diques delgados são tão estreitas?

Solução

Solução de Exercício 5.12.

(a) Com $x$ fixo, $\ln(T - T_0) = \text{const} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, cuja derivada $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ se anula em $t^* = x^2/(2\kappa)$. Então $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ e $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, logo $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, atingidos após $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, cerca de 230 dias (a apenas 2.7 larguras de dique, a aproximação de fonte plana é grosseira). (c) O aquecimento decresce como $b/x$: um dique delgado carrega pouco calor, e a rocha só é aquecida de modo apreciável a poucas larguras de dique.

5.8 Problema: a soleira sob o planalto

Problema 5.1

Problema de fim de semana — seguir um magma basáltico de seu dique alimentador até uma soleira, sua água e o tempo que a soleira leva para se solidificar

Sob um planalto imaginário, sedimentos (folhelho e arenito) de densidade média $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ repousam a $3.0\,\mathrm{km}$ de profundidade sobre um embasamento cristalino de densidade $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Um magma basáltico subiu de $15\,\mathrm{km}$ por um dique de $2.0\,\mathrm{m}$ de largura e se espalhou ao longo da base dos sedimentos como uma soleira de dolerito de $100\,\mathrm{m}$ de espessura. Dados: temperatura de intrusão $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; lei de viscosidade do fundido $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ em kelvins); densidade do fundido com sua água $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $20\,\%$ de cristais em volume (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); água dissolvida $0.40\,\%$, solubilidade $s = 0.34$ por cento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatura da encaixante no nível da soleira $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, calor latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, sendo o magma tratado como se solidificando à sua temperatura de intrusão; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; um ano vale $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

Parte I — O magma.

1. Calcule $\log_{10}\eta$ e $\eta$ do fundido a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. O mesmo a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Por que fator a viscosidade varia nesses $50\,\mathrm{K}$?
3. Calcule a viscosidade do magma com seus cristais a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. Em que fração de cristais a relação de Einstein–Roscoe faria o magma travar? Compare com a estimativa de campo do fim do escoamento em massa.
5. Calcule a diferença de densidade entre o magma e o embasamento, e entre o magma e os sedimentos.
6. Calcule a pressão litostática no nível da soleira.

Parte II — Subindo pelo dique.

7. Calcule o gradiente de pressão de empuxo $\Delta\rho\,g$ que impele o magma através do embasamento.
8. Calcule a velocidade média do magma no dique.
9. Calcule o fluxo por metro de dique, e o fluxo total se o dique tiver $1.0\,\mathrm{km}$ de comprimento.
10. Calcule o número de Reynolds do escoamento. Ele é laminar?
11. Quanto tempo o magma leva para subir de $15\,\mathrm{km}$ a $3.0\,\mathrm{km}$?
12. Compare com a escala de tempo $(w/2)^2/\kappa$ em que o dique perde seu calor. Ele consegue permanecer aberto?
13. Explique por que o magma parou a $3.0\,\mathrm{km}$ e se espalhou lateralmente, usando o vocabulário do capítulo.

Parte III — A água.

14. Calcule a pressão de saturação da água do fundido, e a profundidade nos sedimentos em que ela é atingida.
15. Quanta água o fundido poderia conter no nível da soleira? O magma da soleira exsolve água?
16. As vesículas da margem resfriada da soleira contêm sobretudo CO$_2$. Explique.
17. Se todos os $0.40\,\%$ de água saíssem na superfície, a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $0.1\,\mathrm{MPa}$, que fração volumétrica do magma o vapor ocuparia (gás ideal)?

Parte IV — Resfriamento e solidificação.

18. Desprezando o calor latente, calcule a temperatura de contato da soleira.
19. Desprezando o calor latente, calcule a temperatura $10\,\mathrm{m}$ acima do contato superior $10$ anos após a intrusão.
20. Mesmo modelo: calcule a temperatura no meio da soleira após $10$ anos e $50$ anos.
21. Mesmo modelo: $80\,\mathrm{m}$ acima do contato superior, calcule a temperatura após $300$, $363$ e $420$ anos. A rocha ali chega a atingir $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?
22. Calcule $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ para a soleira.
23. Calcule $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ para $\lambda = 0.64$, $0.65$ e $0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$, $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$, $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$), e dê $\lambda$ com duas casas decimais.
24. Com calor latente, calcule a temperatura de contato enquanto a soleira se solidifica. Por que ela é mais alta que na questão 18?
25. Calcule a escala de tempo $(b/2)^2/\kappa$ em anos.
26. Calcule o tempo que a soleira leva para se solidificar, em anos, o número-chave deste problema, e explique por que ele é mais curto que a escala de tempo da questão anterior, embora o calor latente precise ser removido.

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: um fator de $480/172 = 2.8$ para $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. As evidências de campo situam o fim do escoamento em massa em uma fração de fundido de $30\text{ a }50\,\%$, isto é, $50\text{ a }70\,\%$ de cristais: antes, porque os cristais reais não são esferas de um só tamanho.

5. Embasamento: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, o magma é mais leve. Sedimentos: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, o magma é mais denso.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; ao longo de $1.0\,\mathrm{km}$, cerca de $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminar.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, cerca de $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 dias, muito mais que $4.3\,\mathrm{h}$: o dique permanece aberto enquanto o magma escoa.

13. A $3.0\,\mathrm{km}$ o magma encontra sedimentos mais leves que ele: a base dos sedimentos é seu nível de flutuabilidade neutra. Acima dela o magma seria mais denso que suas encaixantes, de modo que se espalha lateralmente ao longo do contato como uma soleira.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, atingida a $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, muito mais que os $0.40\,\%$ presentes: o magma da soleira não exsolve água.

16. O CO$_2$ é muito menos solúvel que a água: ele satura e forma bolhas logo no início da ascensão, em profundidade, de modo que o primeiro gás de um basalto é sobretudo CO$_2$.

17. Por quilograma, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; o fundido ocupa $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; a fração é $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Após 10 anos, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. O ponto está a $x = 60\,\mathrm{m}$ do meio: $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. No meio, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: após 10 anos, $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; após 50 anos, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Em $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 300 anos, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 363 anos (o máximo), $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ após 420 anos. Sem calor latente, a rocha $80\,\mathrm{m}$ acima da soleira nunca chega a atingir $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. O valor $0.608$ fica entre $0.65$ e $0.66$, perto de $0.65$: $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O calor latente liberado na frente de solidificação mantém o lado do magma a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por mais tempo, de modo que o contato recebe mais calor.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 anos.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, logo $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: a soleira está sólida após $67\,$ anos. É mais curto que $(b/2)^2/\kappa$ pelo fator $1/(4\lambda^2) = 0.59$: essa escala de tempo só fixa a ordem de grandeza, e as duas paredes da soleira extraem calor para uma encaixante fria ao mesmo tempo, depressa o bastante para remover também o calor latente.