8A diferenciação magmática

Em 20 de fevereiro de 1943, um vulcão entrou em erupção no oeste do México, e a erupção continuou durante nove anos. Suas primeiras lavas foram andesitos basálticos com $55\,\%$ de sílica; as últimas, em fevereiro de 1952, andesitos com pouco mais de $60\,\%$. O vulcão, o Parícutin, não mudou de fonte nesse meio-tempo, e suas lavas foram analisadas uma após a outra à medida que saíam. O magma sob ele mudou por si mesmo: formou cristais e os deixou para trás, e assimilou parte da rocha granítica ao seu redor. Um magma que deixa o manto como basalto pode terminar como riolito, e as rochas que ele deixa pelo caminho registram como isso aconteceu. Este capítulo acompanha um magma enquanto ele se resfria: a ordem em que os minerais cristalizam, as leis que dizem como os elementos maiores e os elementos-traço mudam quando cristais são removidos, as rochas construídas com esses cristais, e o que acontece quando o magma incorpora outro magma ou a crosta.

O que você já sabe

Do volume do ensino médio: as rochas ígneas e suas texturas; a ordem em que os minerais cristalizam a partir de um magma basáltico, a olivina primeiro e o quartzo por último, encontrada pelos experimentos de Bowen. Do volume do segundo ano dos livros de química: os diagramas de fase binários, as soluções sólidas e a regra da alavanca. Do volume do primeiro ano: o plagioclásio, uma solução sólida entre a anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$ e a albita $\ce{NaAlSi3O8}$, e os outros silicatos formadores de rochas; as lâminas delgadas entre polarizadores cruzados. Do Capítulo 3: os coeficientes de partição mineral–fundido e global, $\bar D = \sum_i x_i D_i$, os elementos compatíveis e incompatíveis, os diagramas normalizados e a anomalia de európio. Do Capítulo 4: as razões isotópicas como traçadores e a hipérbole de mistura. Do Capítulo 7: o eutético diopsídio–anortita, a fusão incongruente, os diagramas ternários e os magmas primários.

8.1 Sequências de cristalização

Um magma basáltico não cristaliza todos os seus minerais de uma vez. Bowen verificou experimentalmente que a olivina normalmente cristaliza primeiro, entre 1200 e $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; que o plagioclásio rico em cálcio começa mais ou menos quando começa o piroxênio; e que o último líquido, rico em sílica, dá feldspato potássico, quartzo e talvez muscovita, por volta de 750 a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre os dois, os minerais máficos não simplesmente se acumulam: cada um reage com o líquido para dar o seguinte.

Definição 8.1 (Série de reações de Bowen)

A série de reações de Bowen é a ordem em que os silicatos comuns cristalizam a partir de um magma basáltico que se resfria, como dois ramos que se encontram no final. No ramo descontínuo, cada mineral máfico reage com o líquido para formar um novo mineral de outra estrutura: olivina, piroxênio, anfibólio, biotita. No ramo contínuo, o plagioclásio cristaliza durante todo o processo, com sua composição variando continuamente de rica em cálcio a rica em sódio. O último líquido cristaliza feldspato potássico, muscovita e quartzo.

Os dois ramos correspondem aos dois tipos de diagrama de fase do Capítulo 7. Uma reação descontínua é a fusão incongruente da enstatita percorrida ao contrário: cristais de forsterita reagem com um líquido mais rico em sílica para dar enstatita. O ramo contínuo é uma solução sólida. Bowen a mediu em 1913 em plagioclásios sintéticos, mantendo cada composição a uma temperatura conhecida e procurando vidro e cristais: a anortita funde a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a albita a cerca de $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, e todo plagioclásio intermediário funde em um intervalo entre uma curva inferior, o solidus, e uma superior, o liquidus (a figura abaixo).

Um líquido que cristaliza uma solução sólida se enriquece no componente que funde à temperatura mais baixa: o primeiro plagioclásio de um líquido com $50\,\%$ de anortita tem $81\,\%$, e o líquido se desloca em direção à albita. O que acontece em seguida depende de os cristais continuarem ou não a dialogar com o líquido.

Definição 8.2 (Cristalização em equilíbrio e cristalização fracionada)

Na cristalização em equilíbrio, os cristais permanecem em equilíbrio químico com a totalidade do líquido até o fim, reequilibrando-se à medida que o líquido muda; o sistema termina com a composição com que começou. Na cristalização fracionada, cada cristal, uma vez formado, é retirado da reação com o líquido, por decantação, por ser colado às paredes da câmara ou por ser encapsulado por um crescimento posterior; o líquido evolui então como se os cristais tivessem sido retirados do sistema.

Na cristalização em equilíbrio, o plagioclásio da figura acima passa de $81\,\%$ a $50\,\%$ de anortita à medida que cresce, cada cristal se reequilibrando por difusão com o líquido, e o último líquido desaparece no solidus, a $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. A difusão no feldspato é lenta, e os cristais naturais raramente acompanham: o interior de cada cristal fica isolado do líquido, que então se comporta como na cristalização fracionada e pode chegar a composições próximas da albita. A figura da última seção deste capítulo calcula os dois caminhos.

Definição 8.3 (Linha de descida do líquido)

A linha de descida do líquido de um magma é a sequência das composições assumidas por seu líquido à medida que ele cristaliza, lançada em um diagrama de variação ou em um diagrama de fase.

Uma linha de descida do líquido é uma propriedade apenas do líquido. As lavas emitidas com cristais não ficam exatamente sobre ela, e Wilcox, estudando as lavas do Parícutin, usou tanto suas análises de rocha total quanto as composições de sua matriz, a parte líquida, calculadas removendo-se os cristais.

8.2 Cristalização fracionada dos elementos maiores

Remover cristais altera a composição do líquido de maneira simples e linear, e a ferramenta mais antiga para lê-la é um gráfico de cada óxido em função da sílica.

Definição 8.4 (Diagrama de Harker)

Um diagrama de Harker (diagrama de variação em sílica) lança a porcentagem em massa de cada óxido de uma suíte de rochas aparentadas em função de sua porcentagem em massa de $\ce{SiO2}$, um painel por óxido.

As lavas do Parícutin mostram tais tendências (os diagramas de Harker depois da próxima proposição): à medida que a sílica aumenta, a magnésia, a cal e a alumina diminuem e a potassa aumenta. É o que faria a remoção de olivina e de plagioclásio: a olivina retira magnésia e ferro, o plagioclásio cal e alumina, e ambos deixam o líquido mais rico em sílica e em álcalis. Saber se a remoção de minerais conhecidos pode explicar quantitativamente as tendências é uma questão de balanço de massa.

Proposição 8.5 (Balanço de massa da remoção de cristais)

Suponha-se que um magma parental de composição $\mathbf p$ (um vetor de frações em massa de óxidos) cristalize minerais de composições $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ em massas $x_1, \dots, x_k$ por unidade de massa de magma parental, e seja $\mathbf d$ a composição do líquido restante. Então

$$\mathbf p = \Big(1 - \sum_i x_i\Big)\mathbf d + \sum_i x_i \mathbf m_i .$$

Para um único mineral, o magma parental fica sobre o segmento de reta que une o líquido e o mineral em todo diagrama de variação, e a fração em massa removida é $x = (p_j - d_j)/(m_j - d_j)$ para qualquer óxido $j$: a regra da alavanca.

Com vários minerais, as massas são encontradas resolvendo as equações de conservação de outros tantos óxidos. Wilcox fez isso graficamente em 1954; hoje é um pequeno sistema linear.

Método 8.6 (Balanço de massa por mínimos quadrados)

Para testar se um líquido derivado $\mathbf d$ provém de um magma parental $\mathbf p$ pela remoção dos minerais $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ (e pela adição, se necessário, de uma rocha assimilada, introduzida com massa negativa): (1) para cada óxido $j$, escreva-se a conservação da proposição reorganizada como uma equação linear nas massas removidas por $100\,\mathrm{g}$ de magma parental,

$$\sum_i x_i\,(m_{ij} - d_j) = 100\,(p_j - d_j);$$

(2) com exatamente $k$ óxidos, escolhidos entre os que os minerais mais alteram, resolva-se o sistema $k \times k$; com mais óxidos, resolva-se por mínimos quadrados (minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os dois membros); (3) recalcule-se o líquido derivado a partir das massas encontradas e compare-se com a análise, óxido por óxido: resíduos maiores que os erros analíticos, ou uma massa negativa para um mineral, rejeitam o modelo.

Wilcox escolheu a sílica, a alumina e a magnésia como seus três controles, e três materiais: olivina de composição Fo$_{80}$, plagioclásio An$_{70}$ e a média de quatro xenólitos graníticos ($72.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $3.6\,\%$ de $\ce{K2O}$) encontrados nas lavas. Ele mostrou que nenhuma combinação de olivina e plagioclásio sozinhos se ajusta à série, e que acrescentar $25.4\,\mathrm{g}$ de xenólito e remover $2.9\,\mathrm{g}$ de olivina e $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclásio de $100\,\mathrm{g}$ da matriz da primeira lava dá $112.9\,\mathrm{g}$ de um material próximo da matriz da lava de 1950. Resolver exatamente suas três equações dá $24.6\,\mathrm{g}$, $3.1\,\mathrm{g}$ e $9.9\,\mathrm{g}$; os mínimos quadrados sobre sete óxidos dão uma resposta diferente, $28.7\,\mathrm{g}$, $2.4\,\mathrm{g}$ e $5.7\,\mathrm{g}$, o que lembra que tais resultados dependem dos controles escolhidos. De um modo ou de outro, o magma incorporou mais granito do que cristalizou. As lavas do Parícutin registram um sistema aberto, o assunto da última seção.

8.3 Os elementos-traço

Um elemento-traço não altera os minerais que cristalizam; ele os acompanha, com seu coeficiente de partição global $\bar D$ (Capítulo 3), aqui escrito $D$, entre os cristais que se formam a cada momento e o líquido.

Teorema 8.7 (Lei de fracionamento de Rayleigh)

Na cristalização fracionada perfeita com um coeficiente de partição global constante $D$, a concentração de um elemento-traço no líquido é

$$\frac{C_L}{C_0} = F^{\,D-1},$$

onde $C_0$ é sua concentração no líquido inicial e $F$ a fração em massa de líquido restante. Esta é a lei de fracionamento de Rayleigh.

Proposição 8.8 (Cristalização em equilíbrio de um elemento-traço)

Se os cristais permanecem em equilíbrio com o líquido, $C_L/C_0 = 1/(D + F(1-D))$.

Corolário 8.9 (Razões de elementos incompatíveis)

Para dois elementos de coeficientes de partição $D_1$ e $D_2$, a razão entre suas concentrações no líquido muda pelo fator $F^{\,D_1-D_2}$ na cristalização fracionada. Se ambos são fortemente incompatíveis ($D_1, D_2 \ll 1$), a razão quase não muda: conserva o valor do magma parental, e portanto de sua fonte.

A figura acima se lê em dois sentidos. Os elementos incompatíveis ($D \ll 1$) se comportam quase da mesma forma: sua concentração aumenta quase como $1/F$, de modo que um líquido enriquecido dez vezes em zircônio cristalizou cerca de nove décimos de sua massa. Os elementos compatíveis são muito mais sensíveis. O níquel entra na olivina com um coeficiente de partição de cerca de 5 nos líquidos magnesianos quentes: medido em 3.8 a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e em 5.0 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ele aumenta cerca de 0.8 a cada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de resfriamento; o estrôncio entra no plagioclásio com cerca de 2.7; um basalto que cristaliza um quinto de sua massa como olivina perde mais da metade de seu níquel (Exercício 8.5). O níquel é portanto o registro mais sensível do fracionamento da olivina, e um basalto rico em níquel está próximo de um magma primário (Capítulo 7).

Duas observações fixam o alcance dessas leis. Primeiro, $D$ não é uma constante: ele muda quando um novo mineral se junta à assembleia que cristaliza, e a lei é então aplicada por etapas (Exercício 8.12). Segundo, as mesmas equações, com os papéis do sólido e do líquido trocados, descrevem a fusão de uma fonte; como a fusão em lote e a fusão fracionada fracionam os elementos-traço é tratado no volume do terceiro ano.

8.4 Cumulatos e intrusões acamadas

Para onde vão os cristais removidos de um magma? Em uma câmara magmática que se resfria lentamente, eles decantam em seu assoalho, crescem em suas paredes e em seu teto, e constroem rochas de um tipo particular.

Definição 8.10 (Cumulato; intrusão acamada)

Um cumulato é uma rocha ígnea formada pela acumulação de cristais (os cristais cúmulus) a partir de um magma, junto com os minerais que cresceram depois a partir do líquido aprisionado entre eles (o material intercúmulus); sua composição é a de cristais mais um pouco de líquido, e não a de um magma. Uma intrusão acamada é um grande corpo, resfriado lentamente, de cumulatos máficos ou ultramáficos dispostos em camadas, que registra a cristalização fracionada do magma que o preencheu.

A intrusão de Skaergaard, no leste da Groenlândia, com cerca de $56\,\mathrm{Ma}$, é a referência. Seus gabros acamados afloram em cerca de 11 por $8\,\mathrm{km}$, e registram a diferenciação ininterrupta de um basalto toleítico: uma Série Acamada cresceu no assoalho, uma Série Marginal nas paredes e no teto, e as duas se encontraram no Horizonte Sanduíche, onde o último líquido, o mais evoluído, cristalizou no interior (a figura abaixo). Os cumulatos do assoalho são divididos, da base para o topo, em uma Zona Oculta, não exposta, e nas Zonas Inferior, Média e Superior, expostas. Seus estudiosos estimaram a fração em massa $F$ de líquido restante quando cada nível cristalizou, ajustada ao longo da seção de referência da Série Acamada por

($H$ em metros acima da base da Zona Inferior). Um quarto do magma já tinha cristalizado, nas paredes, no teto e em uma zona oculta, quando a sequência exposta do assoalho começou; o Horizonte Sanduíche, $F = 0$, fica uns $2.2\,\mathrm{km}$ acima (Exercício 8.7).

As análises de rocha total de 134 amostras ao longo dessa seção mostram as leis da seção anterior em ação (a figura abaixo). O níquel, compatível, cai de cerca de $180\,\mathrm{ppm}$ nos cumulatos da Zona Inferior para $54\,\mathrm{ppm}$ na Zona Média e $6\,\mathrm{ppm}$ na Zona Superior. Um cumulato contém $D$ vezes o níquel do líquido a partir do qual cresceu, de modo que, em eixos logarítmicos, $\ln \mathrm{Ni} = \text{const} + (D-1)\ln F$: a inclinação sobre as Zonas Inferior e Média, 1.38, dá um coeficiente aparente $D \approx 2.4$. O zircônio, incompatível, quase não varia nos cumulatos: ele permanece no líquido, e só entra em um cumulato pelo líquido aprisionado, até as últimas rochas da Zona Superior, cristalizadas a partir de um líquido em que ele havia se acumulado.

As intrusões mais espessas contêm minério: as intrusões acamadas que hospedam cromititos têm em média pelo menos $2\,\mathrm{km}$ de espessura. O Complexo de Bushveld, na África do Sul, com $(2043 \pm 11)\,\mathrm{Ma}$, cobre $60\,000\text{ a }65\,000\,\mathrm{km}^{2}$, e sua suíte acamada tem cerca de $5\,\mathrm{km}$ de espessura, até $9\,\mathrm{km}$ em alguns lugares. Sua Zona Crítica, de 1500 a $1700\,\mathrm{m}$ de espessura, repete ciclos de piroxenito, norito e anortosito e contém camadas de cromitito, uma rocha com mais de $90\,\%$ de cromita; uma delas, a camada LG6, tem de 0.5 a $1.05\,\mathrm{m}$ de espessura. Os modelos térmicos dão cerca de $75\,000$ anos ao alojamento de seus magmas e $200\,000$ à sua cristalização. Como se formam camadas tão finas e tão regulares, por decantação de cristais, por cristalização no lugar sobre o assoalho, por afluxos de magma novo, ainda é debatido.

8.5 Sistemas abertos

Uma câmara magmática raramente é fechada. Magma novo chega por baixo, e as paredes da câmara são rochas que o magma pode aquecer, fundir e dissolver.

Definição 8.11 (Mistura de magmas; assimilação crustal; AFC)

A mistura de magmas é a combinação de dois magmas de composições diferentes em um só. A assimilação crustal é a incorporação de rocha crustal a um magma, por fusão e dissolução da rocha das paredes ou de blocos caídos nele. A assimilação–cristalização fracionada (AFC) é sua combinação em uma mesma câmara: o magma cristaliza, e o calor latente liberado funde e assimila a rocha das paredes.

Proposição 8.12 (A mistura é linear nas concentrações)

Uma mistura de uma fração em massa $s$ do magma A e $1-s$ do magma B tem toda concentração $C = sC_A + (1-s)C_B$: em qualquer diagrama de uma concentração em função de outra, as misturas ficam sobre o segmento de reta de A a B, e a regra da alavanca dá $s$.

A mistura e a remoção de cristais traçam ambas retas nos diagramas de Harker; as razões isotópicas as distinguem. A cristalização não altera uma razão isotópica, ao passo que a mistura com uma rocha de razão diferente a altera, ao longo da hipérbole do Capítulo 4. Um aumento de $^{87}$Sr/$^{86}$Sr com a sílica em uma suíte vulcânica é portanto a marca da assimilação.

Proposição 8.13 (Assimilação com cristalização fracionada)

Um magma cristaliza cristais de coeficiente de partição global $D$ para um elemento e assimila rocha das paredes de concentração $C_a$ a uma taxa igual a $r$ vezes a taxa de cristalização ($r \ne 1$). Sendo $F$ a massa de magma relativa à sua massa inicial e $z = (r + D - 1)/(r - 1)$,

$$\frac{C}{C_0} = F^{-z} + \frac{r}{r - 1 + D}\,\frac{C_a}{C_0}\,\bigl(1 - F^{-z}\bigr).$$

Para $r = 0$, esta é a lei de Rayleigh. A razão isotópica do elemento no magma é a média da do magma inicial e da da rocha das paredes, ponderada pelos dois termos desta soma.

DePaolo deu essas equações em 1981, e elas são o modelo padrão de um magma contaminado em sua passagem pela crosta. Elas escondem uma restrição térmica. O calor para assimilar rocha vem do calor latente dos cristais: aquecer crosta de 150 a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ exige cerca de $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{g}$, fundi-la $300\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$, enquanto o magma que cristaliza fornece cerca de $400\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$; assim, uns $3.25\,\mathrm{g}$ de magma precisam cristalizar para cada grama de rocha assimilada, e $r$ fica bem abaixo de 1. Wilcox fez o mesmo cálculo para o Parícutin: seus $25.4\,\mathrm{g}$ de quartzo-monzonito, tomados a cerca de $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, precisavam de uns $31\,350\,\mathrm{J}$ para serem aquecidos a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e fundidos, o calor da cristalização de cerca de $85\,\mathrm{g}$ de plagioclásio, muito mais que os $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais que seu balanço de massa removia. O magma emitido não poderia ter pago sua própria assimilação: o calor deve ter vindo de um corpo de magma maior que aquele que entrou em erupção, cristalizando longe da vista (Exercício 8.11).

8.6 Ler cristais zonados

Definição 8.14 (Zonação composicional)

Um cristal de uma solução sólida apresenta zonação composicional quando sua composição varia do núcleo à borda, registrando o líquido em mudança a partir do qual cresceram as camadas sucessivas. A zonação é normal quando a borda é mais rica no componente de baixa temperatura (o sódio no plagioclásio), inversa quando é mais rica no de alta temperatura, e oscilatória quando alterna.

Um cristal zonado é a cristalização fracionada apanhada em flagrante: seu núcleo não se reequilibrou com o líquido posterior. A figura abaixo calcula, sobre o fuso de Bowen, o plagioclásio que cresce a partir de um líquido com $50\,\%$ de anortita. Em equilíbrio, os cristais permanecem homogêneos e terminam com $50\,\%$; na cristalização fracionada perfeita, cada nova camada está em equilíbrio com um líquido cada vez mais sódico, e a borda dos últimos cristais é quase albita pura. A zonação normal, de núcleo cálcico a borda sódica, é o que a série de Bowen prevê para um magma que se resfria. Uma zona inversa, uma faixa cálcica por fora de uma faixa sódica, diz que o cristal foi subitamente banhado por um líquido mais quente ou mais cálcico: muitas vezes a chegada de magma novo, a mistura na câmara.

No laboratório — Ler cristais zonados

Os petrólogos leem a zonação primeiro entre polarizadores cruzados, onde as zonas de um plagioclásio se extinguem em ângulos ligeiramente diferentes e aparecem como faixas concêntricas. Em seguida, eles a medem: uma microssonda eletrônica (Capítulo 31) analisa pontos de alguns micrômetros ao longo de um perfil do núcleo à borda, e mapas de cálcio e de sódio mostram as zonas diretamente. A partir de tal perfil, eles calculam a composição do líquido a partir do qual cada zona cresceu, com o fuso da figura acima ou com coeficientes de partição, e contam as zonas inversas como o número de recargas da câmara. Os elementos-traço medidos ao longo do mesmo perfil por ablação a laser, e as razões isotópicas medidas zona por zona, separam cristalização, mistura e assimilação na história de um único cristal.

8.7 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Use as medidas de Bowen sobre os plagioclásios (solidus / liquidus, ${}^{\circ}\mathrm{C}$): An$_{100}$ 1550 / 1550; An$_{83.3}$ 1465 / 1521; An$_{66.7}$ 1372 / 1490; An$_{50}$ 1287 / 1450; An$_{33.3}$ 1205 / 1394; An$_{20}$ liquidus 1334; An$_{11.1}$ liquidus 1265, e interpole linearmente entre pontos vizinhos. Um líquido com $50\,\%$ de anortita se resfria em equilíbrio. (a) A que temperatura ele começa a cristalizar, e qual é a composição do primeiro cristal? (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, quais são as composições do líquido e dos cristais, e que fração em massa cristalizou (use as frações molares como se fossem frações em massa)? (c) Qual é a composição da última gota de líquido?

Solução

Solução de Exercício 8.1.

(a) O liquidus de An$_{50}$ é $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. O primeiro cristal fica sobre o solidus a essa temperatura, entre An$_{66.7}$ (1372) e An$_{83.3}$ (1465): $66.7 + 16.6\times(1450 - 1372)/(1465 - 1372) = 66.7 + 13.9 = 80.6\,\%$ de anortita. (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o líquido está sobre o liquidus, An$_{33.3}$; os cristais, sobre o solidus, $66.7 + 16.6\times22/93 = 70.6\,\%$. Pela regra da alavanca, a fração cristalizada é $(50 - 33.3)/(70.6 - 33.3) = 16.7/37.3 = 0.448$. (c) O último líquido desaparece quando os cristais chegam a An$_{50}$, à temperatura do solidus $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; o liquidus ali fica entre An$_{11.1}$ (1265) e An$_{20}$ (1334): $11.1 + 8.9\times22/69 = 13.9\,\%$ de anortita.

Exercício 8.2 ★

Um cumulato gabroico contém $50\,\%$ de plagioclásio, $35\,\%$ de clinopiroxênio e $15\,\%$ de olivina. Com os coeficientes de partição (olivina / clinopiroxênio / plagioclásio) Sr 0.000063 / 0.157 / 2.7, Zr 0.00068 / 0.195 / 0.001 e Rb 0.000044 / 0.0033 / 0.025, calcule o coeficiente de partição global de cada elemento, e diga qual é compatível.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$\bar D_{\ce{Sr}} = 0.15\times0.000063 + 0.35\times0.157 + 0.50\times2.7 = 0.00001 + 0.0550 + 1.35 = 1.40$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.0001 + 0.0683 + 0.0005 = 0.069$; $\bar D_{\ce{Rb}} = 0.00001 + 0.0012 + 0.0125 = 0.014$. Só o estrôncio, retido pelo plagioclásio, é compatível ($\bar D > 1$); o zircônio e o rubídio são incompatíveis, o rubídio ainda mais.

Exercício 8.3 ★

O cumulato do Exercício 8.2 cristaliza a partir de um basalto, por cristalização fracionada, até que reste metade do líquido. (a) Por que fator cada um de Sr, Zr e Rb variou no líquido (tome os coeficientes globais 1.40, 0.069 e 0.014)? (b) Por que fator a razão Zr/Rb variou? Comente com o corolário sobre as razões.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

(a) $C_L/C_0 = 0.5^{D-1}$: Sr $0.5^{0.40} = 0.758$ (ele cai); Zr $0.5^{-0.931} = 1.907$; Rb $0.5^{-0.986} = 1.981$, perto do limite 2. (b) Zr/Rb varia por um fator de $0.5^{0.069 - 0.014} = 0.5^{0.055} = 0.963$, menos de $4\,\%$, enquanto cada elemento quase dobrou: como diz o corolário, a razão de dois elementos incompatíveis conserva o valor do magma parental, e assim informa sobre a fonte, não sobre a cristalização.

Exercício 8.4 ★

A primeira lava do Parícutin (fevereiro de 1943) tinha $55.04\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $5.68\,\%$ de $\ce{MgO}$ e $0.85\,\%$ de $\ce{K2O}$; a última (fevereiro de 1952), 60.07, 3.73 e $1.67\,\%$. (a) Calcule a variação de cada óxido. (b) A potassa não entra em nenhum dos minerais que cristalizam. Se ela tivesse sido concentrada apenas pela cristalização fracionada, que fração do líquido teria restado? (c) O balanço de massa de Wilcox remove apenas cerca de $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais por $100\,\mathrm{g}$ de magma. O que a comparação sugere?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

(a) $\ce{SiO2}$ $+5.03$, $\ce{MgO}$ $-1.95$, $\ce{K2O}$ $+0.82$ (por cento), a potassa multiplicada por $1.67/0.85 = 1.96$. (b) Para um elemento perfeitamente incompatível, $C_L/C_0 = 1/F$, logo $F = 0.85/1.67 = 0.509$: metade do magma teria de cristalizar. (c) Remover $12.5\,\mathrm{g}$ por $100\,\mathrm{g}$ deixa $F \approx 0.88$ e elevaria a potassa apenas por um fator de cerca de $1/0.88 = 1.14$: a cristalização sozinha não pode explicar o aumento. A potassa veio de fora, dos xenólitos graníticos, ricos em potassa ($3.6\,\%$), que o magma assimilou.

Exercício 8.5 ★★

Compare a cristalização fracionada e a cristalização em equilíbrio: calcule $C_L/C_0$ pelas duas leis (a) para o níquel, $D = 5$, quando $20\,\%$ do líquido cristalizou; (b) para um elemento incompatível, $D = 0.01$, quando $90\,\%$ cristalizaram. (c) Quais são os limites das duas leis quando $F \to 0$? Qual lei pode esgotar completamente um líquido de um elemento compatível?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

(a) $F = 0.8$, $D = 5$. Fracionada: $0.8^{4} = 0.410$; equilíbrio: $1/(5 + 0.8\times(1 - 5)) = 1/1.8 = 0.556$. (b) $F = 0.1$, $D = 0.01$. Fracionada: $0.1^{-0.99} = 9.77$; equilíbrio: $1/(0.01 + 0.1\times0.99) = 1/0.109 = 9.17$. (c) Quando $F \to 0$, a lei de Rayleigh tende a $0$ para $D > 1$ e ao infinito para $D < 1$, ao passo que a lei de equilíbrio tende a $1/D$ (o último líquido em equilíbrio com cristais da composição global). Só a cristalização fracionada pode esgotar completamente um líquido de um elemento compatível.

Exercício 8.6 ★★

(a) Calcule as porcentagens em massa de $\ce{MgO}$, $\ce{FeO}$ e $\ce{SiO2}$ na olivina Fo$_{80}$, $(\ce{Mg}_{0.8}\ce{Fe}_{0.2})_2\ce{SiO4}$ ($M$ = 40.30, 71.84 e $60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Um basalto com $10.0\,\%$ de $\ce{MgO}$ e $49.0\,\%$ de $\ce{SiO2}$ cristaliza apenas essa olivina até que seu líquido tenha $8.0\,\%$ de $\ce{MgO}$. Que fração em massa de olivina foi removida? (c) Qual é então o teor de sílica do líquido?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

(a) Uma unidade de fórmula contém 1.6 $\ce{MgO}$, 0.4 $\ce{FeO}$ e um $\ce{SiO2}$: $1.6\times 40.30 = 64.48$, $0.4\times71.84 = 28.74$, 60.08, total $153.30\,\mathrm{g}$. Porcentagens em massa: $\ce{MgO}$ $42.06\,\%$, $\ce{FeO}$ $18.75\,\%$, $\ce{SiO2}$ $39.19\,\%$. (b) Regra da alavanca sobre $\ce{MgO}$: $x = (10.0 - 8.0)/(42.06 - 8.0) = 2.0/34.06 = 0.0587$, cerca de $6\,\%$ de olivina. (c) Sílica do líquido: $(49.0 - 0.0587\times39.19)/(1 - 0.0587) = 46.70/0.9413 = 49.61\,\%$. Remover olivina, mais pobre em sílica que o basalto, eleva a sílica do líquido, mas só lentamente.

Exercício 8.7 ★★

Para a intrusão de Skaergaard, $F = 1.091 \times 10^{-7}H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}H + 0.7678$. (a) Calcule $F$ em $H = 0$, 1000 e $2000\,\mathrm{m}$. (b) A que altura $F = 0$? (c) Que fração do magma tinha cristalizado antes de se formar a base da sequência exposta do assoalho, e onde ela poderia estar?

Solução

Solução de Exercício 8.7.

(a) $F(0) = 0.768$; $F(1000) = 0.1091 - 0.5906 + 0.7678 = 0.286$; $F(2000) = 0.4364 - 1.1813 + 0.7678 = 0.023$. (b) O discriminante é $(5.9064\times10^{-4})^2 - 4\times1.091\times10^{-7}\times0.7678 = 3.4885\times10^{-7} - 3.3507\times10^{-7} = 1.379\times10^{-8}$, de raiz quadrada $1.174\times10^{-4}$; a raiz menor é $H = (5.9064 - 1.174)\times10^{-4}/(2.182\times10^{-7}) = 2169\,\mathrm{m}$, o Horizonte Sanduíche. (c) $1 - 0.768 = 0.232$: quase um quarto do magma tinha cristalizado antes de se formar a base da Zona Inferior exposta, na Zona Oculta abaixo dela e na Série Marginal ao longo das paredes e do teto.

Exercício 8.8 ★★

Ao longo da seção de Skaergaard, o cumulato mediano contém $177\,\mathrm{ppm}$ de Ni em $F = 0.70$ (Zona Inferior a), $54\,\mathrm{ppm}$ em $F = 0.29$ (Zona Média) e $6.2\,\mathrm{ppm}$ em $F = 0.17$ (Zona Superior a). (a) Supondo que os cumulatos contêm $D$ vezes o níquel de seu líquido e que o líquido segue a lei de Rayleigh, calcule o $D$ aparente entre os dois primeiros níveis. (b) Faça o mesmo entre os dois últimos. (c) O que pode fazer o $D$ aparente variar?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

O cumulato contém $D\,C_L = D\,C_0F^{D-1}$, de modo que, entre dois níveis, $\ln(\mathrm{Ni}_2/\mathrm{Ni}_1) = (D - 1)\ln(F_2/F_1)$. (a) $D - 1 = \ln(54/177)/ \ln(0.29/0.70) = (-1.187)/(-0.881) = 1.35$, logo $D \approx 2.35$ (a regressão sobre os 66 cumulatos com $F \ge 0.23$ dá 2.38). (b) $D - 1 = \ln(6.2/54)/\ln(0.17/0.29) = (-2.164)/(-0.534) = 4.05$, logo $D \approx 5.05$. (c) O $D$ global muda quando a assembleia que cristaliza muda (um novo mineral que capta níquel, ou um que sai), e os próprios coeficientes mineral–fundido aumentam à medida que o líquido se resfria e muda de composição, como foi medido para a olivina; o líquido aprisionado nos cumulatos borra a estimativa.

Exercício 8.9 ★★

Verifique a resposta de Wilcox: $100\,\mathrm{g}$ de matriz da primeira lava ($\ce{SiO2}$ 55.53, $\ce{MgO}$ 4.66, $\ce{K2O}$ $0.88\,\%$) mais $25.4\,\mathrm{g}$ de xenólito médio (72.48, 0.77, 3.64) menos $2.9\,\mathrm{g}$ de olivina Fo$_{80}$ (39.19, 42.06, 0) menos $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclásio An$_{70}$ (50.54, 0, 0). (a) Que massa resta? (b) Calcule seus teores de $\ce{SiO2}$, $\ce{MgO}$ e $\ce{K2O}$ e compare com a matriz da lava 19 (60.16, 3.19 e $1.75\,\%$). (c) Qual óxido se ajusta pior?

Solução

Solução de Exercício 8.9.

(a) $100 + 25.4 - 2.9 - 9.6 = 112.9\,\mathrm{g}$. (b) Gramas de $\ce{SiO2}$: $55.53 + 25.4\times0.7248 - 2.9\times0.3919 - 9.6\times0.5054 = 55.53 + 18.41 - 1.14 - 4.85 = 67.95\,\mathrm{g}$, logo $67.95/112.9 = 60.19\,\%$, contra 60.16. $\ce{MgO}$: $4.66 + 0.20 - 1.22 = 3.64\,\mathrm{g}$, $3.22\,\%$ contra 3.19. $\ce{K2O}$: $0.88 + 0.92 = 1.80\,\mathrm{g}$, $1.60\,\%$ contra 1.75. (c) A sílica e a magnésia, dois dos três controles, ajustam-se a menos de 0.03; a potassa, não usada como controle, fica baixa em 0.15, quase um décimo de seu valor: o material assimilado tinha mais potassa que o xenólito médio, ou um fundido rico em potassa foi tomado preferencialmente.

Exercício 8.10 ★★★

Um magma assimila rocha das paredes a $r = 0.2$ enquanto cristaliza, com $D_{\ce{Sr}} = 1.5$, $C_a/C_0 = 0.5$, $^{87}$Sr/$^{86}$Sr inicial = 0.7035 e rocha das paredes 0.7200. (a) Calcule $z$, $F^{-z}$ e $C/C_0$ em $F = 0.7$. (b) Compare com a cristalização fracionada pura no mesmo $F$, e explique a diferença pela massa de cristais formada em cada caso. (c) Calcule a $^{87}$Sr/$^{86}$Sr do magma.

Solução

Solução de Exercício 8.10.

(a) $z = (0.2 + 1.5 - 1)/(0.2 - 1) = 0.7/(-0.8) = -0.875$; $F^{-z} = 0.7^{0.875} = 0.7319$; $C^*/C_0 = 0.2\times0.5/(0.2 - 1 + 1.5) = 0.1/0.7 = 0.1429$, logo $C/C_0 = 0.7319 + 0.1429\times(1 - 0.7319) = 0.7319 + 0.0383 = 0.770$. (b) Rayleigh: $0.7^{0.5} = 0.837$. O magma AFC tem menos estrôncio por duas razões: para perder $30\,\%$ de sua massa enquanto ganha $r$ vezes o que cristaliza, ele precisa cristalizar $(1 - 0.7)/(1 - 0.2) = 0.375$ em vez de 0.30, e o estrôncio que ganha vem de uma rocha duas vezes mais pobre. (c) $(0.7319\times0.7035 + 0.0383\times0.7200)/0.7702 = (0.5149 + 0.0276)/0.7702 = 0.70432$: a razão subiu 0.0008, ao passo que a cristalização sozinha a teria deixado em 0.7035.

Exercício 8.11 ★★★

Siga o balanço térmico de Wilcox para o Parícutin. (a) Quanto calor um grama de quartzo-monzonito precisa para ir de 200 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (capacidade térmica $1.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})$) e depois fundir ($250\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$)? (b) Quanto para $25.4\,\mathrm{g}$? (c) Que massa de plagioclásio An$_{70}$ (calor latente $370\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) precisa cristalizar para fornecê-lo? (d) Compare com os $12.5\,\mathrm{g}$ de cristais do balanço de massa, calcule a razão $r$ entre assimilação e cristalização, e diga o que isso implica.

Solução

Solução de Exercício 8.11.

(a) $1.1\times(1100 - 200) + 250 = 990 + 250 = 1240\,\mathrm{J}$ por grama. (b) $25.4\times1240 = 31\,496\,\mathrm{J}$, perto dos $31\,350\,\mathrm{J}$ de Wilcox. (c) $31496/370 = 85.1\,\mathrm{g}$ de plagioclásio. (d) O balanço de massa removia apenas $2.9 + 9.6 = 12.5\,\mathrm{g}$ de cristais, cujo calor latente (cerca de $4600\,\mathrm{J}$) cobre menos de um sexto da necessidade; $r = 25.4/12.5 = 2.03$, duas vezes mais rocha assimilada que cristais formados, ao passo que o balanço térmico admite $r$ bem abaixo de 1. O magma emitido não pode ter fornecido o calor por si mesmo: uma massa maior de magma deve ter cristalizado e se resfriado em profundidade, longe da vista.

Exercício 8.12 ★★★

Um basalto com $250\,\mathrm{ppm}$ de Ni cristaliza primeiro só olivina ($D = 5$) até $F = 0.8$, depois olivina com plagioclásio e clinopiroxênio (coeficiente global $D = 1.5$). (a) Calcule o fator pelo qual o níquel varia em cada etapa, e o teor de níquel do líquido em $F = 0.5$. (b) O que uma lei única com $D = 5$ teria previsto? (c) Explique por que a lei de Rayleigh deve ser aplicada por etapas.

Solução

Solução de Exercício 8.12.

(a) Etapa 1, $F$ de 1 a 0.8 com $D = 5$: fator $0.8^{4} = 0.4096$. Etapa 2, de 0.8 a 0.5 com $D = 1.5$: a lei se aplica ao líquido restante, de modo que o fator é $(0.5/0.8)^{0.5} = 0.7906$. Níquel: $250\times0.4096\times0.7906 = 81.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $250\times0.5^{4} = 15.6\,\mathrm{ppm}$, cinco vezes baixo demais. (c) A lei de Rayleigh supõe um $D$ constante; quando a assembleia que cristaliza muda, $D$ salta, e a lei deve ser reiniciada a partir da composição do líquido atingida na mudança, com $F$ medido em relação a esse líquido.

8.8 Problema: a intrusão que escreveu sua própria história

Problema 8.1

Problema de fim de semana — das camadas de um gabro à fração de seu magma que ainda estava líquida no fim

Uma soleira de gabro acamado (inventada) cristalizou a partir de um basalto cuja margem resfriada fornece a composição parental: $\ce{SiO2}$ 49.5, $\ce{Al2O3}$ 16.0, $\ce{FeO}$ 10.0, $\ce{MgO}$ 9.0, $\ce{CaO}$ 11.5, $\ce{Na2O}$ 2.5, $\ce{K2O}$ $0.30\,\%$; $150\,\mathrm{ppm}$ de Ni e $80\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Os cumulatos da zona inferior são formados de $20\,\%$ de olivina, $50\,\%$ de plagioclásio e $30\,\%$ de clinopiroxênio; acima do nível em que a olivina desaparece, de $55\,\%$ de plagioclásio e $45\,\%$ de clinopiroxênio. Tome os coeficientes de partição (olivina / plagioclásio / clinopiroxênio) Ni 5.0 / 0 / 2.0 e Zr 0.0007 / 0.001 / 0.195. Composições dos minerais ($\%$): olivina $\ce{MgO}$ 42.06, $\ce{CaO}$ 0, $\ce{Al2O3}$ 0, $\ce{SiO2}$ 39.19; plagioclásio 0, 14.36, 31.70, 50.54; clinopiroxênio 16.0, 20.5, 3.0, 51.5. Um dique de rocha de granulação fina, alimentado pela câmara quando a camada mais alta cristalizou, tem $\ce{SiO2}$ 50.0, $\ce{Al2O3}$ 14.1, $\ce{FeO}$ 16.7, $\ce{MgO}$ 4.9, $\ce{CaO}$ 7.3, $\ce{Na2O}$ 3.4, $\ce{K2O}$ $0.75\,\%$ e $188\,\mathrm{ppm}$ de Zr.

Parte I — Os coeficientes de partição das camadas.

1. Calcule o coeficiente de partição global do níquel na zona inferior.
2. Calcule o do zircônio na zona inferior.
3. Calcule ambos na zona superior.
4. Qual elemento é compatível em cada zona? O níquel continua compatível quando a olivina desaparece?
5. Que mineral contém a maior parte do zircônio dos cumulatos, e por quê?
6. Por que fator Ni/Zr no líquido varia a cada redução de $F$ à metade na zona inferior?

Parte II — Curvas de Rayleigh ao longo da seção.

7. Que teor de níquel você espera no cumulato mais baixo, cristalizado em $F = 1$?
8. Um cumulato da zona inferior, mais acima, contém $190\,\mathrm{ppm}$ de Ni. Em que $F$ ele se formou?
9. Qual era então o teor de zircônio do líquido?
10. Nesse $F$, compare o níquel do líquido dado pelas leis fracionada e de equilíbrio.
11. A olivina desaparece em $F = 0.55$. Calcule o teor de níquel do líquido nesse ponto.
12. Calcule o níquel dos cumulatos formados logo abaixo e logo acima desse nível. Que feição um geólogo veria no perfil?
13. Calcule o níquel do líquido e do cumulato em $F = 0.40$. Explique a tendência.

Parte III — O balanço de massa do último líquido.

14. Escreva a equação de conservação do método para um óxido, com as massas $x_{\mathrm{ol}}, x_{\mathrm{pl}}, x_{\mathrm{cpx}}$ removidas por $100\,\mathrm{g}$ de magma parental e o dique como líquido derivado.
15. Escreva-a para $\ce{MgO}$, $\ce{CaO}$ e $\ce{Al2O3}$.
16. Resolva o sistema $3 \times 3$.
17. Que fração do magma parental resta como líquido?
18. Verifique a resposta com $\ce{SiO2}$: recalcule a sílica do líquido a partir das massas encontradas.
19. Compare as proporções dos minerais removidos com as modas das duas zonas.
20. A potassa não entra em nenhum dos minerais: que fração de líquido ela dá?

Parte IV — A fração de líquido no topo.

21. Por que fator o zircônio tinha aumentado no líquido quando a olivina desapareceu em $F = 0.55$? Dê o teor de zircônio nesse momento.
22. A partir do zircônio do dique, calcule a fração de líquido restante quando ele se formou, aplicando a lei da zona superior a partir de $F = 0.55$.
23. Refaça o cálculo com um $D = 0.07$ único desde o início. A resposta é sensível aos detalhes de $D$?
24. O ferro subiu de 10.0 para $16.7\,\%$ no líquido enquanto a sílica quase não mudou. Que minerais são responsáveis, e que tipo de série magmática isso prenuncia (Capítulo 9)?
25. Os cumulatos mais altos contêm $47\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Os cristais cúmulus sozinhos conteriam $\bar D$ vezes o zircônio do líquido; que fração em massa de líquido aprisionado (com a composição do dique) explica a análise?
26. Indique a fração do magma original ainda líquida quando a camada mais alta cristalizou, o número-chave deste problema, e compare as três estimativas (elementos maiores, potassa, zircônio).

Solução

Solução de Problema 8.1.

Parte I.

1. $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.20\times5.0 + 0.50\times0 + 0.30\times2.0 = 1.60$.

2. $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.20\times0.0007 + 0.50\times0.001 + 0.30\times0.195 = 0.00014 + 0.0005 + 0.0585 = 0.059$.

3. Zona superior: $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.45\times2.0 = 0.90$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.55\times0.001 + 0.45\times0.195 = 0.088$.

4. O níquel é compatível na zona inferior (1.60) e se torna ligeiramente incompatível (0.90) quando a olivina desaparece; o zircônio é incompatível nas duas.

5. O clinopiroxênio: ele fornece $0.0585$ dos $0.059$ da zona inferior, quase tudo, porque é o único mineral com um coeficiente longe de zero.

6. $(C_{\ce{Ni}}/C_{\ce{Zr}})$ varia por um fator de $F^{D_{\ce{Ni}} - D_{\ce{Zr}}}$; a cada redução à metade, $0.5^{1.60 - 0.059} = 0.5^{1.541} = 0.344$.

Parte II.

7. $1.60\times150 = 240\,\mathrm{ppm}$.

8. O líquido tinha $190/1.60 = 118.75\,\mathrm{ppm}$; $F = (118.75/150)^{1/0.6} = 0.7917^{1.667} = 0.68$.

9. $80\times0.68^{-0.941} = 80\times1.438 = 115\,\mathrm{ppm}$.

10. Fracionada: $150\times0.68^{0.6} = 150\times0.793 = 119.0\,\mathrm{ppm}$; equilíbrio: $150/(1.6 + 0.68\times(1 - 1.6)) = 150\times0.839 = 125.8\,\mathrm{ppm}$. A diferença é de apenas $6\,\%$ depois que um terço do magma cristalizou: para um elemento moderadamente compatível, as duas leis permanecem próximas no início.

11. $150\times0.55^{0.6} = 104.8\,\mathrm{ppm}$.

12. Logo abaixo: $1.60\times104.8 = 167.7\,\mathrm{ppm}$; logo acima: $0.90\times104.8 = 94.3\,\mathrm{ppm}$. O perfil de níquel dos cumulatos cai abruptamente $44\,\%$ no nível em que a olivina desaparece das camadas: um degrau, não uma curva suave.

13. Líquido: $104.8\times(0.40/0.55)^{0.90 - 1} = 104.8\times1.032 = 108.2\,\mathrm{ppm}$; cumulato $0.90\times108.2 = 97.4\,\mathrm{ppm}$. Com $\bar D < 1$, o níquel agora sobe lentamente no líquido e nos cumulatos: o perfil, depois de seu degrau, sobe suavemente.

Parte III.

14. $x_{\mathrm{ol}}(m_{\mathrm{ol},j} - d_j) + x_{\mathrm{pl}} (m_{\mathrm{pl},j} - d_j) + x_{\mathrm{cpx}}(m_{\mathrm{cpx},j} - d_j) = 100\,(p_j - d_j)$.

15. $\ce{MgO}$: $37.16\,x_{\mathrm{ol}} - 4.9\,x_{\mathrm{pl}} + 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 410$; $\ce{CaO}$: $-7.3\,x_{\mathrm{ol}} + 7.06\,x_{\mathrm{pl}} + 13.2\,x_{\mathrm{cpx}} = 420$; $\ce{Al2O3}$: $-14.1\,x_{\mathrm{ol}} + 17.6\,x_{\mathrm{pl}} - 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 190$.

16. Resolvendo (por eliminação ou pela regra de Cramer): $x_{\mathrm{ol}} = 9.03$, $x_{\mathrm{pl}} = 30.84$, $x_{\mathrm{cpx}} = 20.32$ gramas por $100\,\mathrm{g}$.

17. Cristais $9.03 + 30.84 + 20.32 = 60.19\,\mathrm{g}$; líquido $39.81\,\mathrm{g}$: $F = 0.398$.

18. $(4950 - 9.03\times39.19 - 30.84\times50.54 - 20.32\times51.5)/39.81 = (4950 - 353.9 - 1558.7 - 1046.5)/39.81 = 1990.9/39.81 = 50.0\,\%$, como no dique: o óxido não usado como controle é reproduzido.

19. Os cristais removidos são $9.03/60.19 = 15\,\%$ de olivina, $51\,\%$ de plagioclásio e $34\,\%$ de clinopiroxênio, entre as modas das duas zonas. Eles correspondem à assembleia inferior cristalizando de $F = 1$ a 0.55 ($0.45\times20 = 9.0$, $0.45\times50 = 22.5$, $0.45\times30 = 13.5$) seguida da superior de 0.55 a 0.40 ($0.15\times55 = 8.25$, $0.15\times45 = 6.75$): 9.0, 30.75 e 20.25 gramas.

20. $0.30/0.75 = 0.40$.

Parte IV.

21. $0.55^{0.059 - 1} = 0.55^{-0.941} = 1.755$; $80\times1.755 = 140.4\,\mathrm{ppm}$.

22. $188/140.4 = 1.339 = (F/0.55)^{0.088 - 1}$, logo $F = 0.55\times1.339^{-1/ 0.912} = 0.55\times0.726 = 0.399$.

23. $(188/80)^{1/(0.07 - 1)} = 2.35^{-1.075} = 0.399$. Para elementos incompatíveis, $C_L/C_0 \approx 1/F$ qualquer que seja o $D$ pequeno: a resposta quase não depende dos detalhes de $D$, o que faz dos elementos incompatíveis os melhores medidores de $F$.

24. O plagioclásio, que não contém ferro, forma metade dos cristais, e o piroxênio e a olivina juntos contêm menos ferro do que magnésia: o líquido se enriquece em ferro e se empobrece em magnésia sem ganhar sílica. Esse enriquecimento em ferro com sílica quase constante é a marca da série toleítica do capítulo seguinte.

25. Cristais cúmulus puros conteriam $0.088\times188 = 16.5\,\mathrm{ppm}$. Com uma fração em massa $t$ de líquido aprisionado, $16.5(1 - t) + 188\,t = 47$, logo $t = (47 - 16.5)/(188 - 16.5) = 30.5/171.5 = 0.18$: cerca de $18\,\%$ de líquido aprisionado.

26. As três estimativas, elementos maiores (0.398), potassa (0.40) e zircônio (0.399), concordam: quando a camada mais alta cristalizou, $40\,\%$ do magma original ainda estava líquido.