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Ciências da Terra e do espaço universitárias — 2.º ano · স্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ

25O forçamento orbital e as eras glaciais

No último milhão de anos a forma da órbita terrestre alterou a luz solar recebida pelo planeta inteiro num ano em menos de duas partes por mil: entre $340.00$ e $340.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ no topo da atmosfera. No mesmo milhão de anos a insolação média diária de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N oscilou entre cerca de 388 e $500\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , mais de um quarto. As eras glaciais seguiram o segundo número, não o primeiro. Este capítulo calcula ambos a partir dos elementos da órbita terrestre, e pergunta como a luz solar numa latitude, numa estação, pode ritmar o crescimento e o recuo de mantos de gelo que cobrem continentes.

O que você já sabe

Dos livros de física: a elipse, seu semieixo maior $a$ e sua excentricidade $e$ , as leis de Kepler. Do volume do primeiro ano: a eclíptica e a obliquidade $\varepsilon$ , a declinação do Sol $\delta$ com $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ ( $\lambda$ a longitude verdadeira do Sol, contada ao longo da eclíptica a partir do equinócio vernal), o ano trópico, a insolação média diária

\bar Q = \frac{S_0}{\pi}\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\bigl(h_0\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\sin h_0\bigr),\qquad \cos h_0 = -\tan\varphi\tan\delta ,

e sua média global e anual, $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$ . Dos volumes escolares: o ciclo glacial e o Último Máximo Glacial; o forçamento radiativo. De capítulos anteriores: a retroalimentação gelo–albedo (Definição 18.8); a compilação bentônica, o registro de EPICA Dome C e os modelos de idade (Capítulo 24).

25.1 A órbita e seus três elementos

A órbita terrestre é uma elipse com o Sol num dos focos. Os planetas, Júpiter e Saturno acima de tudo, deformam-na lentamente e fazem-na girar em seu plano; a atração do Sol e da Lua sobre o bojo equatorial faz o eixo de rotação oscilar como um pião. Três grandezas descrevem o que importa para a luz solar: quão alongada é a elipse, quão inclinado é o eixo, e em que ponto da órbita caem as estações.

Definição 25.1 (Longitude do periélio; precessão climática)

A longitude do periélio $\varpi$ é o ângulo, medido no plano da órbita a partir da direção do equinócio vernal, entre essa direção e a direção do periélio vista do Sol; ela é contada a partir do equinócio móvel, de modo que varia tanto com a oscilação do eixo quanto com a rotação da órbita. A precessão climática é a grandeza $e\sin\varpi$ , também chamada índice de precessão.

A órbita terrestre vista do lado norte, com a excentricidade exagerada para 0.3 e a longitude do periélio atual, = 101.4. A Terra move-se no sentido anti-horário (seta); os pontos marcam sua posição nos equinócios e solstícios. O periélio cai alguns dias depois do solstício de dezembro, o afélio alguns dias depois do solstício de junho. Esquemático. — A órbita terrestre vista do lado norte, com a excentricidade exagerada para 0.3 e a longitude do periélio atual, $\varpi = 101.4{}^{\circ}$ . A Terra move-se no sentido anti-horário (seta); os pontos marcam sua posição nos equinócios e solstícios. O periélio cai alguns dias depois do solstício de dezembro, o afélio alguns dias depois do solstício de junho. Esquemático.

Vista da Terra, o Sol percorre a eclíptica, e sua longitude verdadeira $\lambda$ é o ângulo a partir do equinócio vernal: $\lambda = 90{}^{\circ}$ no solstício de junho, $270{}^{\circ}$ no solstício de dezembro. A Terra está no periélio quando o Sol está na direção oposta à do periélio, em $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$ ; hoje $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ e o periélio cai em $\lambda = 281.37{}^{\circ}$ , cerca de onze dias depois do solstício de dezembro, por volta de 3 de janeiro.

Definição 25.2 (Parâmetros de Milankovitch)

Os parâmetros de Milankovitch são as três grandezas orbitais que fixam a distribuição da luz solar sobre a Terra ao longo das estações e das latitudes: a excentricidade $e$ , a obliquidade $\varepsilon$ e a precessão climática $e\sin\varpi$ . A teoria de Milankovitch afirma que suas lentas variações ritmam o crescimento e o recuo dos mantos de gelo quaternários, através da insolação de verão nas altas latitudes do norte.

Cada parâmetro varia com seus próprios ritmos. A excentricidade tem períodos principais perto de $95\,000$ , $99\,000$ , $124\,000$ e $131\,000$ anos, que se combinam num ciclo de cerca de $100\,000$ anos, e um período de $405\,000$ anos, o mais estável de todos; no último milhão de anos ela variou de $0.0046$ a $0.0565$ , e hoje, em $0.0172$ , diminui lentamente. A obliquidade varia com um período principal de $40\,978$ anos, entre $22.1{}^{\circ}$ e $24.5{}^{\circ}$ no último milhão de anos; em $23.44{}^{\circ}$ , ela diminui, passado seu último máximo há cerca de $10\,000$ anos. O eixo dá uma volta completa em cerca de $25\,770$ anos, enquanto a órbita gira em cerca de $112\,000$ ; juntos, deslocam o periélio pelas estações com períodos principais perto de $19\,000$ , $22\,400$ e $23\,700$ anos.

Os três parâmetros de Milankovitch no último milhão de anos: (a) a excentricidade; (b) a obliquidade; (c) a precessão climática, cuja envoltória é a excentricidade. Dados: Berger e Loutre (1991), NOAA NCEI Paleoclimatology, obtidos em 23 de outubro de 2026.

A precessão climática oscila depressa, mas só até onde a excentricidade permite: quando a órbita é quase circular, como há $400\,000$ anos, pouco importa onde cai o periélio. A figura mostra-o claramente: a envoltória do painel (c) é o painel (a).

25.2 A luz solar a partir da órbita

A insolação média diária lembrada acima precisa de mais um ingrediente: a distância do Sol num dado dia.

Proposição 25.3 (A distância e a longitude do Sol)

Quando a longitude verdadeira do Sol é $\lambda$ , a distância Terra–Sol é

\frac{r}{a} = \frac{1 - e^2}{1 - e\cos(\lambda - \varpi)} .

No solstício de junho ( $\lambda = 90{}^{\circ}$ ), em primeira ordem em $e$ , $(a/r)^2 \approx 1 - 2e\sin\varpi$ ; no solstício de dezembro, $(a/r)^2 \approx 1 + 2e\sin\varpi$ .

Demonstração. Numa elipse com o Sol num foco, $r/a = (1 - e^2)/(1 + e\cos v)$ , onde a anomalia verdadeira $v$ é o ângulo no Sol do periélio à Terra. A Terra é vista do Sol na direção oposta à do Sol visto da Terra, de modo que sua longitude vista do Sol é $\lambda + 180{}^{\circ}$ , e $v = \lambda + 180{}^{\circ} - \varpi$ , $\cos v = -\cos(\lambda - \varpi)$ . Em $\lambda = 90{}^{\circ}$ , $\cos(\lambda - \varpi) = \sin\varpi$ e $(a/r)^2 = (1 - e\sin\varpi)^2/(1 - e^2)^2 = 1 - 2e\sin\varpi + O(e^2)$ ; em $\lambda = 270{}^{\circ}$ o sinal muda. ∎

A precessão climática é portanto o índice certo: ela mede quanto mais perto do Sol, ou mais longe, a Terra está no solstício de junho. Quando $e\sin\varpi$ é grande e positivo, como hoje e muito mais há $116\,000$ anos, o verão boreal cai perto do afélio e é fraco; quando é grande e negativo, como há cerca de $10\,000$ anos, o verão boreal cai perto do periélio.

Exemplo 25.4 (O Sol de junho a $65{}^{\circ}$ N, hoje)

Hoje $e = 0.017236$ , $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ , $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$ , e as tabelas usam $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . No solstício de junho $\delta = \varepsilon$ ; em $\varphi = 65{}^{\circ}$ , $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ} = -0.9301$ , logo $h_0 = 158.44{}^{\circ} = 2.7654\,\mathrm{rad}$ : o Sol fica acima do horizonte durante $2 \times 158.44/360 \times 24 = 21.1$ horas. O parêntese da fórmula da insolação vale $2.7654 \times 0.9063 \times 0.3979 + 0.4226 \times 0.9174 \times 0.3674 = 1.1397$ , e à distância média $\bar Q = 432.90 \times 1.1397 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . O fator de distância é $(a/r)^2 = 0.9671$ , logo $\bar Q = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

A segunda lei de Kepler acrescenta uma sutileza. Perto do afélio a Terra move-se mais devagar: a estação que cai ali é mais fraca, mas dura mais. Os verões boreais são hoje cerca de 4.5 dias mais longos que os invernos boreais, e as primaveras cerca de três dias mais longas que os outonos.

Proposição 25.5 (As médias anuais não dependem da precessão)

A energia recebida por unidade de área no topo da atmosfera entre duas longitudes dadas do Sol não depende de $\varpi$ , e a insolação média anual em qualquer latitude é a de uma órbita circular de raio $a$ multiplicada por $1/\sqrt{1 - e^2}$ . Num polo a média anual é

\bar Q_{\text{polo}} = \frac{S_0\sin\varepsilon}{\pi\sqrt{1 - e^2}} ,

que cresce com a obliquidade.

Demonstração. Pela segunda lei de Kepler o raio varre área à taxa constante $\pi ab/T$ , e a área varrida enquanto a Terra gira de $\mathrm d\lambda$ é $\frac12 r^2\,\mathrm d\lambda$ , logo $\mathrm dt = T r^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi ab)$ , com $b = a\sqrt{1 - e^2}$ . A insolação numa dada latitude e longitude do Sol é $(a/r)^2$ vezes seu valor $Q_a(\lambda)$ à distância $a$ , de modo que a energia recebida é $\int Q_a(\lambda)(a/r)^2\,\mathrm dt = \frac{T}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int Q_a(\lambda)\,\mathrm d\lambda$ : a distância cancelou-se, e com ela $\varpi$ . Ao longo do ano inteiro, $\lambda$ percorre $360{}^{\circ}$ e a média é $\frac{1}{2\pi\sqrt{1-e^2}}\int_0^{2\pi} Q_a\,\mathrm d\lambda$ . No Polo Norte $Q_a = S_0\sin\delta = S_0\sin\varepsilon\sin\lambda$ para $0 < \lambda < \pi$ e 0 no resto; a integral é $2S_0\sin\varepsilon$ . ∎

A precessão desloca a luz solar de uma estação para outra, nunca para dentro ou para fora de um ano; a excentricidade altera o total anual por um fator $1/\sqrt{1 - e^2}$ , no máximo $0.16\,\%$ no último milhão de anos; a obliquidade desloca a luz solar entre latitudes, elevando a média anual nos polos e baixando-a ligeiramente no equador. Só o padrão sazonal e latitudinal muda muito, e é isso que a figura abaixo mostra.

(a) Insolação média diária no solstício de junho, hoje e há 10\,000 anos, quando o verão boreal caía perto do periélio e a obliquidade era maior: cerca de 50\, W\, m-2 a mais nas altas latitudes do norte. (b) Insolação média anual para as duas obliquidades extremas do último milhão de anos, com a excentricidade atual: uma inclinação maior manda mais luz solar para os polos e um pouco menos para os trópicos. Calculadas a partir dos elementos orbitais com S_0 = 1360\, W\, m-2. — (a) Insolação média diária no solstício de junho, hoje e há $10\,000$ anos, quando o verão boreal caía perto do periélio e a obliquidade era maior: cerca de $50\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a mais nas altas latitudes do norte. (b) Insolação média anual para as duas obliquidades extremas do último milhão de anos, com a excentricidade atual: uma inclinação maior manda mais luz solar para os polos e um pouco menos para os trópicos. Calculadas a partir dos elementos orbitais com $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

25.3 Calcular a curva de insolação

A curva de insolação que Milankovitch construiu é hoje um cálculo de rotina. Os elementos orbitais do passado são calculados integrando os movimentos dos planetas; tabelados a cada mil anos, eles são os dados de entrada. Para cada idade, o método abaixo dá a insolação em qualquer latitude e estação.

Método 25.6 (A insolação do passado)

Ler $e$ , $\varpi$ e $\varepsilon$ para a idade desejada.
Escolher a estação pela longitude verdadeira do Sol $\lambda$ : $90{}^{\circ}$ para o solstício de junho; o meio de julho das tabelas corresponde a $\lambda = 120{}^{\circ}$ .
Calcular $\delta$ a partir de $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ , e o ângulo horário do pôr do sol $h_0$ na latitude $\varphi$ (dia ou noite polar se $|\tan\varphi\tan\delta| > 1$ ).
Calcular o fator de distância $(a/r)^2$ com a Proposição 25.3.
Multiplicar: $\bar Q = (S_0/\pi)(a/r)^2(h_0\sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\sin h_0)$ .

Aplicado às 1001 idades do último milhão de anos, o método reproduz a insolação tabelada de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N com diferença de até $0.012\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , o arredondamento das tabelas, e os valores tabelados de junho no presente exatamente. As tabelas põem a origem do tempo em 1950.

Em cima: insolação média diária a 65 N nos últimos 400\,000 anos, em meados de julho tal como tabelada por Berger e Loutre (cinza, largo) e tal como calculada pelo método acima (vermelho), e no solstício de junho (azul, tracejado). Embaixo: valores de meados de julho calculados menos tabelados, em W\, m-2. — Em cima: insolação média diária a $65{}^{\circ}$ N nos últimos $400\,000$ anos, em meados de julho tal como tabelada por Berger e Loutre (cinza, largo) e tal como calculada pelo método acima (vermelho), e no solstício de junho (azul, tracejado). Embaixo: valores de meados de julho calculados menos tabelados, em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

Dois traços se destacam. A curva é dominada pela precessão climática, com picos separados por cerca de $20\,000$ anos cuja altura aumenta e diminui com a excentricidade; a obliquidade acrescenta uma modulação mais lenta. E as oscilações são grandes: nos últimos $800\,000$ anos o valor de meados de julho variou de 388 a $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

25.4 A teoria de Milankovitch e os ciclos glaciais

História — A insolação a sessenta e cinco graus norte

Milutin Milankovitch, nascido em 1879, construiu uma teoria matemática do clima a partir das variações sazonais e latitudinais da luz solar. Combinando as três variações orbitais, calculou a insolação das latitudes e as temperaturas de superfície correspondentes para $600\,000$ anos antes de 1800. Por sugestão do climatólogo Köppen, escolheu a insolação de verão a $65{}^{\circ}$ N como a grandeza decisiva: os grandes mantos de gelo tinham crescido perto dessa latitude, e os verões frescos derretem menos da neve do inverno, de modo que a neve se acumula de ano para ano. Ele considerava a obliquidade o mais importante dos três parâmetros. Durante cerca de cinquenta anos a teoria foi em grande parte ignorada; Milankovitch morreu em 1958. Em 1976 Hays, Imbrie e Shackleton encontraram em sedimentos de mar profundo dos últimos $450\,000$ anos picos espectrais de variabilidade climática em cerca de $23\,000$ , $42\,000$ e $100\,000$ anos, os períodos da precessão, da obliquidade e da excentricidade, e concluíram que as variações da órbita terrestre são a causa fundamental das eras glaciais quaternárias.

A figura abaixo repete seu teste com os registros do Capítulo 24. Ela compara os espectros de amplitude, a intensidade de cada período, da insolação de julho a $65{}^{\circ}$ N e da compilação bentônica, em duas janelas de $700\,000$ anos.

Espectros de amplitude, cada um normalizado pelo seu próprio máximo, da insolação de meados de julho a 65 N nos últimos 700\,000 anos e da compilação bentônica LR04 na mesma janela e de 1\,250\,000 a 1\,950\,000 anos atrás (tendência removida, com janela de ponderação). A insolação tem sua potência nos períodos da precessão, perto de 19 a 24 mil anos, e no período da obliquidade; o volume de gelo recente tem seu pico perto de 100\,000 anos, onde a insolação quase nada tem; o volume de gelo mais antigo tem seu pico em 41\,000 anos. — Espectros de amplitude, cada um normalizado pelo seu próprio máximo, da insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N nos últimos $700\,000$ anos e da compilação bentônica LR04 na mesma janela e de $1\,250\,000$ a $1\,950\,000$ anos atrás (tendência removida, com janela de ponderação). A insolação tem sua potência nos períodos da precessão, perto de 19 a 24 mil anos, e no período da obliquidade; o volume de gelo recente tem seu pico perto de $100\,000$ anos, onde a insolação quase nada tem; o volume de gelo mais antigo tem seu pico em $41\,000$ anos.

Glaciais, interglaciais e terminações

Definição 25.7 (Período glacial; interglacial; terminação glacial)

No registro quaternário, um período glacial é um intervalo em que grandes mantos de gelo cobrem os continentes do norte, registrado por um $\delta^{18}$ O bentônico alto e um nível do mar baixo; um interglacial é um intervalo com pouco gelo continental no Hemisfério Norte fora da Groenlândia, como o presente. Uma terminação glacial é uma das grandes transições que encerram um ciclo glacial, de condições plenamente glaciais a condições interglaciais, muito mais rápida que o crescimento que a precedeu.

No último meio milhão de anos o período dominante do clima é próximo de $100\,000$ anos, embora o forçamento nesse período, que vem só da excentricidade, seja desprezível diante do da obliquidade e da precessão. Os ciclos são também assimétricos: o $\delta^{18}$ O bentônico registra uma acumulação de gelo em degraus ao longo de cerca de $90\,000$ anos, depois um recuo em cerca de $10\,000$ , um dente de serra cujas bordas descendentes são as terminações. O último interglacial, de cerca de $129\,000$ a $116\,000$ anos atrás, terminou quando a insolação de verão a $65{}^{\circ}$ N caiu para um de seus valores mais baixos dos últimos $800\,000$ anos: o valor do solstício de junho atingiu seu mínimo, $438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , há $116\,000$ anos, e o valor de meados de julho seu segundo mínimo mais baixo, $392.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , há $114\,000$ anos. O Último Máximo Glacial veio cerca de $95\,000$ anos depois.

Com que rapidez um manto de gelo pode seguir seu forçamento? O modelo mais simples trata o volume de gelo $V$ como relaxando em direção ao volume $V_{\mathrm{eq}}$ que a insolação presente sustentaria, com um tempo de resposta $\tau$ :

\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{V_{\mathrm{eq}}(t) - V}{\tau} .

Proposição 25.8 (Uma resposta defasada)

Para um forçamento $V_{\mathrm{eq}} = A\sin\omega t$ a solução do modelo de atraso tende para

V = \frac{A}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}\,\sin\bigl(\omega(t - t_{\ell})\bigr),\qquad t_{\ell} = \frac{\arctan(\omega\tau)}{\omega} :

o gelo segue quase totalmente um forçamento lento e só fracamente um forçamento rápido, sempre com atraso. A resposta a uma soma de senoides é a soma das respostas: o modelo não cria nenhum período que falte a seu forçamento.

Demonstração. Tente-se $V = B\sin\omega t + C\cos\omega t$ : substituindo, $\omega B\tau = -C$ e $-\omega C\tau = A - B$ , logo $B = A/(1 + \omega^2\tau^2)$ , $C = -\omega\tau A/(1 + \omega^2\tau^2)$ , uma amplitude $\sqrt{B^2 + C^2} = A/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ e um atraso de fase $\arctan(\omega\tau)$ . Qualquer outra solução difere desta por um múltiplo de $\mathrm e^{-t/\tau}$ , que se extingue. A equação é linear, de modo que as soluções se somam. ∎

O modelo de atraso movido pela insolação de meados de julho a 65 N (menos sol, mais gelo), comparado com a compilação bentônica, as três padronizadas (média 0, desvio-padrão 1); os valores positivos significam mais gelo. O modelo segue as ondulações de precessão da compilação, mas não tem nenhum de seus grandes ciclos em dente de serra. O tempo de resposta de 10\, kyr é uma escolha do modelo. — O modelo de atraso movido pela insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N (menos sol, mais gelo), comparado com a compilação bentônica, as três padronizadas (média 0, desvio-padrão 1); os valores positivos significam mais gelo. O modelo segue as ondulações de precessão da compilação, mas não tem nenhum de seus grandes ciclos em dente de serra. O tempo de resposta de $10\,\mathrm{kyr}$ é uma escolha do modelo.

Nos últimos $800\,000$ anos, o modelo defasado correlaciona-se com a compilação com $r = 0.42$ , a própria insolação com apenas $0.23$ : o atraso ajuda, mas um manto de gelo linear não consegue fazer ciclos de $100\,000$ anos a partir de um forçamento que não os tem. As terminações devem envolver um comportamento não linear que amplifica um empurrão modesto da insolação. Os candidatos são retroalimentações que agem sobre o clima inteiro: a retroalimentação gelo–albedo da Definição 18.8, já que um planeta com mais neve e gelo reflete mais luz solar; e o dióxido de carbono, que nos testemunhos de gelo antárticos sobe em escalas de milênios sempre que a circulação de revolvimento do Atlântico enfraquece, como acontece quando a água de degelo dos mantos de gelo se despeja no Atlântico Norte. Acima de um limiar de dióxido de carbono, as condições interglaciais podem estabilizar-se.

Definição 25.9 (Transição do Pleistoceno Médio)

A transição do Pleistoceno Médio é a mudança, de cerca de $1\,250\,000$ a $700\,000$ anos atrás, de ciclos glaciais de cerca de $41\,000$ anos e pequena amplitude para ciclos quase periódicos de cerca de $100\,000$ anos e grande amplitude, com mantos de gelo mais espessos, sem nenhuma mudança correspondente no forçamento orbital.

Antes da transição os mantos de gelo seguiam a obliquidade, como mostra o espectro tracejado da figura acima; uma contagem encontra uma terminação glacial em 67, 88 e $52\,\%$ dos ciclos de obliquidade do Quaternário inicial, médio e final. A teoria orbital sozinha não explica a mudança; os candidatos são a dinâmica dos próprios mantos de gelo, talvez depois da remoção do regolito mole sobre o qual deslizavam, e um declínio gradual do dióxido de carbono durante os mínimos glaciais. Nenhuma explicação é ainda geralmente aceita.

25.5 O dióxido de carbono nos ciclos glaciais

Os testemunhos de gelo antárticos mostram que o dióxido de carbono acompanha os ciclos glaciais: entre 188 e $194\,\mathrm{ppm}$ no Último Máximo Glacial, entre 266 e $282\,\mathrm{ppm}$ no último interglacial; o registro composto do Capítulo 24 dá $189.7\,\mathrm{ppm}$ para 19 a $23\,\mathrm{ka}$ e $279.4\,\mathrm{ppm}$ nos dois mil anos anteriores à indústria. Seu forçamento radiativo cresce perto do logaritmo da concentração, $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ por duplicação.

Exemplo 25.10 (A órbita contra o dióxido de carbono)

De $189.7\,\mathrm{ppm}$ a $279.4\,\mathrm{ppm}$ , o forçamento é $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93 \times 0.559 = 2.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , sobre o globo inteiro e o ano inteiro. A órbita, no último milhão de anos, alterou a média global e anual da insolação em no máximo $340.54 - 340.00 = 0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , mas a insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N em cerca de $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

A órbita é um marca-passo, não um motor. Ela redistribui a luz solar entre estações e latitudes e fixa o calendário; os mantos de gelo, por seu albedo e sua lentidão, e o dióxido de carbono, por seu forçamento global, transformam um sinal regional numa mudança global do clima.

Exercícios

Dados para os exercícios, salvo indicação em contrário: $S_0 = 1360\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (o valor das tabelas); um ano trópico de $365.2422$ dias; os elementos orbitais das tabelas, dos quais os de hoje são $e = 0.017236$ , $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ , $\varepsilon = 23.446{}^{\circ}$ .

Exercício 25.1 ★

Tome $e = 0.0167$ . (a) Calcule a razão entre a distância no afélio $a(1 + e)$ e a distância no periélio $a(1 - e)$ . (b) Exprima sua diferença em porcentagem de $a$ . (c) Por que fator a luz solar no periélio é mais forte que no afélio?

Solução

Solução de Exercício 25.1.

(a) $1.0167/0.9833 = 1.0340$ : o afélio está $3.4\,\%$ mais longe que o periélio. (b) $a(1 + e) - a(1 - e) = 2ea = 0.0334\,a$ , $3.34\,\%$ de $a$ , perto dos 3.4 por cento habitualmente citados. (c) A luz solar diminui com o inverso do quadrado da distância: $1.0340^2 = 1.069$ , cerca de $7\,\%$ mais luz solar no periélio.

Exercício 25.2 ★

As tabelas dão $e = 0.017236$ , $\varpi = 101.37{}^{\circ}$ hoje; $e = 0.019971$ , $\varpi = 293.86{}^{\circ}$ há $10\,000$ anos; $e = 0.019249$ , $\varpi = 359.99{}^{\circ}$ há $6000$ anos. (a) Calcule a precessão climática para cada idade. (b) Para cada uma, dê a longitude do Sol no periélio. (c) Em que idade o periélio estava mais perto do solstício de junho, e em qual do equinócio de setembro?

Solução

Solução de Exercício 25.2.

(a) Hoje $0.017236 \times \sin101.37{}^{\circ} = 0.017236 \times 0.9804 = 0.01690$ ; há $10\,000$ anos $0.019971 \times \sin293.86{}^{\circ} = 0.019971 \times (-0.9145) = -0.01826$ ; há $6000$ anos $0.019249 \times \sin359.99{}^{\circ} \approx 0$ , os valores das tabelas. (b) A longitude do Sol no periélio é $\varpi + 180{}^{\circ}$ : $281.37{}^{\circ}$ hoje, $473.86{}^{\circ}$ $-$ $360{}^{\circ}$ $=$ $113.86{}^{\circ}$ há $10\,000$ anos, $179.99{}^{\circ}$ há $6000$ anos. (c) Há $10\,000$ anos o periélio caía $24{}^{\circ}$ depois do solstício de junho, o mais próximo dele dos três, no verão boreal; há $6000$ anos caía no equinócio de setembro, onde a precessão climática é nula.

Exercício 25.3 ★

O eixo de rotação precessiona com um período de cerca de $25\,770$ anos em relação às estrelas, enquanto a órbita gira com um período de cerca de $112\,000$ anos. Suponha que os dois movimentos desloquem o periélio em relação ao equinócio no mesmo sentido, de modo que suas frequências se somem. (a) Combine as duas frequências para encontrar o período com que o periélio percorre as estações. (b) Compare com os períodos principais da precessão climática, $19.0$ , $22.4$ e $23.7$ mil anos.

Solução

Solução de Exercício 25.3.

(a) As frequências somam-se: $1/25.77 + 1/112 = 0.03880 + 0.00893 = 0.047\,73\,\mathrm{kyr}^{-1}$ , um período de $1/0.04773 = 21.0$ mil anos. (b) O resultado fica dentro do intervalo dos períodos principais, 19.0 a 23.7 mil anos. Um só número não pode reproduzi-los: a rotação da órbita é ela mesma a soma de vários movimentos de frequências diferentes, cada um dos quais se combina com a precessão do eixo para dar um período da precessão climática; a média é os $23\,000$ anos habitualmente citados.

Exercício 25.4 ★

Com a Proposição 25.5 e $e = 0.0167$ , calcule a insolação média anual no Polo Norte para obliquidades de $22.1{}^{\circ}$ e $24.5{}^{\circ}$ . Em que porcentagem ela cresce entre as duas?

Solução

Solução de Exercício 25.4.

$\sqrt{1 - 0.0167^2} = 0.99986$ . Para $22.1{}^{\circ}$ : $1360 \times 0.37622/(\pi \times 0.99986) = 162.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; para $24.5{}^{\circ}$ : $1360 \times 0.41469/(\pi \times 0.99986) = 179.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . A razão é $\sin24.5{}^{\circ}/\sin22.1{}^{\circ} = 1.102$ : a média anual no polo cresce $10.2\,\%$ , cerca de $16.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , entre os dois extremos.

Exercício 25.5 ★★

(a) Calcule exatamente o fator de distância $(a/r)^2$ no solstício de junho hoje e há $116\,000$ anos ( $e = 0.043988$ , $\varpi = 92.71{}^{\circ}$ ), e compare com a aproximação $1 - 2e\sin\varpi$ . (b) Calcule ambos no solstício de dezembro. (c) Por que a aproximação é pior há $116\,000$ anos?

Solução

Solução de Exercício 25.5.

(a) No solstício de junho, tem-se $(a/r)^2 = \bigl((1 - e\sin\varpi)/(1 - e^2)\bigr)^2$ . Hoje, $e\sin\varpi = 0.016898$ e $(0.983102/0.999703)^2 = 0.9671$ , contra $1 - 0.033796 = 0.9662$ ; há $116\,000$ anos $e\sin\varpi = 0.043939$ e $(0.956061/0.998065)^2 = 0.9176$ , contra $1 - 0.087878 = 0.9121$ . (b) No solstício de dezembro $(a/r)^2 = \bigl((1 + e\sin\varpi)/(1 - e^2)\bigr)^2$ : hoje $1.0347$ contra $1.0338$ , há $116\,000$ anos $1.0940$ contra $1.0879$ . (c) Os termos desprezados são de ordem $e^2$ : $(1 - x)^2/(1 - e^2)^2 \approx 1 - 2x + x^2 + 2e^2$ com $x = e\sin\varpi$ , aqui cerca de $3e^2$ . Valem $3 \times 0.0172^2 = 0.0009$ hoje e $3 \times 0.0440^2 = 0.0058$ há $116\,000$ anos, perto das diferenças encontradas, $0.0009$ e $0.0055$ : a aproximação é seis vezes pior quando a excentricidade é duas vezes e meia maior.

Exercício 25.6 ★★

Reproduza o Exemplo 25.4 passo a passo: o ângulo horário do pôr do sol a $65{}^{\circ}$ N no solstício de junho, a duração do dia, a insolação à distância média e a insolação de hoje.

Solução

Solução de Exercício 25.6.

No solstício de junho $\delta = \varepsilon = 23.446{}^{\circ}$ . $\cos h_0 = -\tan65{}^{\circ}\tan23.446{}^{\circ} = -2.14451 \times 0.43369 = -0.93006$ , logo $h_0 = 158.44{}^{\circ} = 2.7654\,\mathrm{rad}$ . O dia dura $2 \times 158.44/15 = 21.13$ horas (a Terra gira $15{}^{\circ}$ por hora). Com $\sin65{}^{\circ} = 0.90631$ , $\cos65{}^{\circ} = 0.42262$ , $\sin\delta = 0.39788$ , $\cos\delta = 0.91744$ e $\sin h_0 = 0.36742$ , o parêntese vale $2.7654 \times 0.90631 \times 0.39788 + 0.42262 \times 0.91744 \times 0.36742 = 0.99720 + 0.14246 = 1.13966$ . À distância média $\bar Q = (1360/\pi) \times 1.13966 = 432.90 \times 1.13966 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; com o fator de distância do Exercício 25.5, $493.4 \times 0.9671 = 477.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Como verificação, as mesmas etapas a $60{}^{\circ}$ N dão $475.96\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , onde as tabelas dão $475.95$ .

Exercício 25.7 ★★

(a) Usando $\mathrm dt = T(r/a)^2\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$ e $(r/a)^2 \approx 1 + 2e\cos(\lambda - \varpi)$ , mostre que o semestre do equinócio de março ao de setembro dura cerca de $T/2 + (2T/\pi)\,e\sin\varpi$ . (b) Calcule em quantos dias ele excede o outro semestre hoje. (c) Compare com os 4.5 dias em que os verões boreais excedem os invernos e os três dias em que as primaveras excedem os outonos.

Solução

Solução de Exercício 25.7.

(a) O equinócio de março é $\lambda = 0$ , o equinócio de setembro $\lambda = \pi$ . Com $\sqrt{1 - e^2} \approx 1$ , a duração é $\frac{T}{2\pi}\int_0^{\pi}\bigl(1 + 2e\cos(\lambda - \varpi)\bigr)\,\mathrm d\lambda = \frac{T}{2\pi}\bigl(\pi + 2e[\sin(\lambda - \varpi)]_0^{\pi}\bigr) = \frac{T}{2\pi}(\pi + 4e\sin\varpi) = \frac T2 + \frac{2T}{\pi}e\sin\varpi$ . (b) O outro semestre é mais curto na mesma quantidade, de modo que a diferença é $(4T/\pi)\,e\sin\varpi = (4 \times 365.2422/\pi) \times 0.016898 = 465.04 \times 0.016898 = 7.86$ dias. (c) Primavera e verão juntos excedem outono e inverno em $4.5 + 3 = 7.5$ dias; as duas diferenças citadas são arredondadas, e a concordância fica dentro desse arredondamento.

Exercício 25.8 ★★

No último milhão de anos a excentricidade variou de $0.0046$ a $0.0565$ . (a) Calcule a insolação média global e anual $S_0/(4\sqrt{1 - e^2})$ nos dois extremos. (b) Em quanto, em $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ e em porcentagem, a órbita a alterou? (c) Compare com a amplitude da insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N, 388 a $497\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ .

Solução

Solução de Exercício 25.8.

(a) Para $e = 0.0046$ : $\sqrt{1 - e^2} = 0.999989$ e $340/0.999989 = 340.004\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Para $e = 0.0565$ : $\sqrt{1 - 0.003192} = 0.998403$ e $340/0.998403 = 340.544\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) A diferença é $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $0.16\,\%$ . (c) A insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N oscilou $497 - 388 = 109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , cerca de $25\,\%$ de sua média e duzentas vezes a variação da média global anual: a órbita age sobre o clima deslocando a luz solar entre estações e latitudes, não alterando o total.

Exercício 25.9 ★★

Com o modelo de atraso e $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ , calcule a amplitude relativa e o atraso do volume de gelo para forçamentos senoidais de períodos 23, 41 e $100$ mil anos. Que banda o manto de gelo favorece, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 25.9.

Com $\omega = 2\pi/P$ e $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ : para $P = 23$ , $\omega\tau = 2.732$ , uma amplitude relativa $1/\sqrt{1 + 7.464} = 0.344$ e um atraso $\arctan(2.732)/\omega = 1.2199/0.2732 = 4.47$ kyr; para $P = 41$ , $\omega\tau = 1.532$ , amplitude $0.546$ , atraso $0.9926/0.1532 = 6.48$ kyr; para $P = 100$ , $\omega\tau = 0.628$ , amplitude $0.847$ , atraso $0.5610/0.0628 = 8.93$ kyr. O manto de gelo favorece o forçamento lento: segue $85\,\%$ de um ciclo de $100\,000$ anos, mas só um terço de um ciclo de precessão, pois tem pouco tempo para crescer ou diminuir antes que um forçamento rápido se inverta. Ele age como um filtro passa-baixa.

Exercício 25.10 ★★★

A insolação de meados de julho a $65{}^{\circ}$ N quase não tem potência em $100\,000$ anos, e no entanto o volume de gelo dos últimos $700\,000$ anos tem ali a maior parte da sua. (a) Mostre que, se o forçamento é $A_1\sin \omega_1 t + A_2\sin\omega_2 t$ , o modelo de atraso responde apenas em $\omega_1$ e $\omega_2$ . (b) Mostre que uma resposta que contém o termo $V^2$ , por exemplo $\mathrm dV/\mathrm dt = (V_{\mathrm{eq}} - V)/\tau + kV^2$ , pode criar as frequências $\omega_1 - \omega_2$ e $\omega_1 + \omega_2$ , substituindo a solução linear em $V^2$ . (c) Dois termos de precessão de períodos $23.7$ e $19.0$ mil anos batem com que período? O que você conclui sobre os ciclos de $100\,000$ anos?

Solução

Solução de Exercício 25.10.

(a) A equação é linear: se $V_1$ responde a $A_1\sin\omega_1t$ e $V_2$ responde a $A_2\sin\omega_2t$ , $V_1 + V_2$ responde à sua soma. Pela Proposição 25.8 $V_1$ e $V_2$ são senoides de frequências $\omega_1$ e $\omega_2$ (uma vez extinto o transitório), de modo que a resposta não contém nenhuma outra frequência. (b) Com $V \approx B_1\sin(\omega_1t - \phi_1) + B_2\sin(\omega_2t - \phi_2)$ ,

\begin{aligned} V^2 &= \tfrac12(B_1^2 + B_2^2) - \tfrac12B_1^2\cos(2\omega_1t - 2\phi_1) - \tfrac12B_2^2\cos(2\omega_2t - 2\phi_2)\\ &\quad + B_1B_2\bigl[\cos\bigl((\omega_1 - \omega_2)t - \phi_1 + \phi_2\bigr) - \cos\bigl((\omega_1 + \omega_2)t - \phi_1 - \phi_2\bigr)\bigr], \end{aligned}

de modo que o termo $kV^2$ força a equação nas frequências diferença e soma, e nas frequências duplas. (c) $1/(1/19.0 - 1/23.7) = 1/(0.05263 - 0.04219) = 95.8$ mil anos; o par 19.0 e 22.4 dá 125 mil anos. As frequências diferença dos termos de precessão caem na banda da excentricidade, como devem, já que a precessão climática é $e\sin\varpi$ . Um manto de gelo não linear poderia portanto extrair da precessão um ritmo de $100\,000$ anos; um linear não. Os ciclos de $100\,000$ anos são indício de um comportamento não linear, embora este cálculo sozinho não mostre qual.

Exercício 25.11 ★★★

No Polo Norte, a energia recebida por metro quadrado durante o dia polar é $E = \int S_0(a/r)^2 \sin\delta\,\mathrm dt$ ao longo do semestre em que $\delta > 0$ . (a) Mostre com a demonstração da Proposição 25.5 que $E = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$ . (b) Calcule $E$ em $\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ para $\varepsilon = 22.1{}^{\circ}$ e $24.5{}^{\circ}$ , com $e = 0.0167$ e $T$ = 365.25 dias. (c) A precessão não aparece em $E$ . Por que ela pode, mesmo assim, alterar o derretimento de um manto de gelo?

Solução

Solução de Exercício 25.11.

(a) Como na demonstração da Proposição 25.5, $(a/r)^2\,\mathrm dt = T\,\mathrm d\lambda/(2\pi\sqrt{1 - e^2})$ , e $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin\lambda$ é positivo para $0 < \lambda < \pi$ . Logo $E = \frac{S_0T\sin\varepsilon}{2\pi\sqrt{1 - e^2}}\int_0^{\pi}\sin\lambda \,\mathrm d\lambda = S_0T\sin\varepsilon/(\pi\sqrt{1 - e^2})$ . (b) $T = 365.25 \times 86400 = 3.1558 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $S_0T/\pi = 1.3661 \times 10^{10}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; para $22.1{}^{\circ}$ , $E = 1.3661 \times 10^{10} \times 0.37622/0.99986 = 5.14\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; para $24.5{}^{\circ}$ , $5.67\,\mathrm{GJ}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $10\,\%$ a mais. (c) A precessão fixa como a mesma energia se distribui no tempo: um verão no periélio é mais curto e mais intenso, um verão no afélio mais longo e mais fraco. O derretimento só começa acima de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , de modo que um verão curto e intenso pode derreter mais que um longo e fresco que receba o mesmo total.

Exercício 25.12 ★★★

(a) Calcule o forçamento radiativo da subida do dióxido de carbono de $189.7\,\mathrm{ppm}$ para $279.4\,\mathrm{ppm}$ , com $3.93\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ por duplicação e uma lei logarítmica. (b) Os intervalos dados para o Último Máximo Glacial e o último interglacial são 188 a $194\,\mathrm{ppm}$ e 266 a $282\,\mathrm{ppm}$ : calcule o menor e o maior forçamento que eles permitem. (c) Compare com a variação da insolação global anual do Exercício 25.8 e com a oscilação da insolação de verão a $65{}^{\circ}$ N. Qual é o gatilho e qual o amplificador?

Solução

Solução de Exercício 25.12.

(a) $3.93\log_2(279.4/189.7) = 3.93\log_2 1.4729 = 3.93 \times 0.5586 = 2.20\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) A menor subida é de 194 para $266\,\mathrm{ppm}$ : $3.93\log_2 1.3711 = 3.93 \times 0.4554 = 1.79\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; a maior de 188 para $282\,\mathrm{ppm}$ : $3.93\log_2 1.5 = 3.93 \times 0.5850 = 2.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (c) O forçamento do dióxido de carbono é quatro vezes a maior variação da insolação global anual, $0.54\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , e age em toda parte e o ano todo; a insolação de verão a $65{}^{\circ}$ N oscila cerca de $109\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , mas numa latitude e numa estação. A órbita é o gatilho, através dos verões dos mantos de gelo do norte; o dióxido de carbono, com a retroalimentação gelo–albedo, é um amplificador que espalha a mudança sobre o globo.

Problema 25.1

Problema de fim de semana — a luz solar a $65{}^{\circ}$ N

O último interglacial terminou há cerca de $116\,000$ anos. Quanta luz solar recebia então o verão da latitude dos grandes mantos de gelo do norte, em comparação com hoje? Use os dados dos exercícios. As tabelas dão, para $116\,000$ anos atrás, $e = 0.0440$ , $\varpi = 92.7{}^{\circ}$ , $\varepsilon = 22.52{}^{\circ}$ ; hoje, arredondados da mesma maneira, $e = 0.0172$ , $\varpi = 101.4{}^{\circ}$ , $\varepsilon = 23.45{}^{\circ}$ .

Parte I — A órbita então e agora.

Calcule a precessão climática então e agora.
Calcule as distâncias no periélio e no afélio, em unidades de $a$ , então e agora.
Em que longitude do Sol a Terra estava no periélio então, e agora? Perto de que solstício?
Por que fator a luz solar no periélio era mais forte que no afélio, então e agora?
A obliquidade era maior ou menor que hoje? O que isso significa para os verões das altas latitudes?
Calcule a insolação média global e anual então e agora. A diferença é significativa?

Parte II — A distância no solstício de junho.

Mostre a partir da Proposição 25.3 que no solstício de junho $r/a = (1 - e^2)/(1 - e\sin\varpi)$ .
Calcule $r/a$ no solstício de junho então e agora.
Calcule $(a/r)^2$ então e agora.
Compare com a aproximação $1 - 2e\sin\varpi$ .
Em que porcentagem a luz solar do solstício era mais fraca que à distância média, então e agora?

Parte III — A insolação a $65{}^{\circ}$ N.

Dê a declinação do Sol no solstício de junho então e agora.
Calcule o ângulo horário do pôr do sol a $65{}^{\circ}$ N nesse dia, então e agora.
Deduza a duração do dia.
Calcule a insolação média diária à distância média.
Calcule a insolação média diária, então e agora.
As tabelas dão, para meados de julho, 397.60 e $426.76\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Por que os valores do solstício são mais altos?
O que pesou mais na diferença entre então e agora, a obliquidade ou a distância?

Parte IV — A resposta do manto de gelo.

No modelo de atraso com $\tau = 10\,\mathrm{kyr}$ , que fração de uma variação súbita de $V_{\mathrm{eq}}$ o manto de gelo realizou depois de 5, 10 e $20\,\mathrm{kyr}$ ?
A insolação de junho a $65{}^{\circ}$ N caiu de um máximo há cerca de $128\,000$ anos até o mínimo de $116\,000$ anos atrás, meio ciclo de precessão. Para uma senoide de período $23\,\mathrm{kyr}$ , que fração do forçamento o manto de gelo segue, e com que atraso?
Por que um manto de gelo não pode atingir, num só ciclo de precessão, o tamanho que uma insolação de verão baixa sustentaria?
O gelo levou uns $90\,000$ anos para se acumular até o Último Máximo Glacial e cerca de $10\,000$ anos para derreter. Por que o modelo de atraso não pode produzir essa assimetria?
O dióxido de carbono estava entre 266 e $282\,\mathrm{ppm}$ no último interglacial e entre 188 e $194\,\mathrm{ppm}$ no Último Máximo Glacial. Como ele ajuda uma mudança regional de insolação a tornar-se uma mudança global do clima?
Em resumo: qual era a insolação média diária a $65{}^{\circ}$ N no solstício de junho quando o último interglacial terminou, há $116\,000$ anos?

Solução

Solução de Problema 25.1.

1. Então $0.0440 \times \sin92.7{}^{\circ} = 0.0440 \times 0.99889 = 0.04395$ ; agora $0.0172 \times \sin101.4{}^{\circ} = 0.0172 \times 0.98027 = 0.01686$ , cerca de 2.6 vezes menos. 2. Então $1 - 0.0440 = 0.956$ e $1 + 0.0440 = 1.044$ ; agora $0.9828$ e $1.0172$ . 3. Em $\lambda = \varpi + 180{}^{\circ}$ : então $272.7{}^{\circ}$ , agora $281.4{}^{\circ}$ , ambos perto do solstício de dezembro ( $\lambda = 270{}^{\circ}$ ); então a Terra passava pelo periélio menos de três dias depois dele, e pelo afélio no solstício de junho. 4. Então $(1.044/0.956)^2 = 1.0921^2 = 1.193$ , agora $(1.0172/0.9828)^2 = 1.0350^2 = 1.071$ : $19\,\%$ mais luz solar no periélio então, $7\,\%$ agora. 5. Menor, $22.52{}^{\circ}$ contra $23.45{}^{\circ}$ : o sol de verão ficava mais baixo nas altas latitudes, e as altas latitudes recebiam menos luz solar no verão e ao longo do ano. 6. Então $340/\sqrt{1 - 0.001936} = 340/0.999032 = 340.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; agora $340/0.999852 = 340.05\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . A diferença, $0.28\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ou menos de uma parte por mil, é insignificante. 7. Em $\lambda = 90{}^{\circ}$ , $\cos(90{}^{\circ} - \varpi) = \sin\varpi$ na Proposição 25.3. 8. Então $(1 - 0.001936)/(1 - 0.04395) = 0.998064/0.956049 = 1.04395$ ; agora $(1 - 0.000296)/(1 - 0.01686) = 0.999704/0.983139 = 1.01685$ . 9. Então $1/1.04395^2 = 0.91758$ ; agora $1/1.01685^2 = 0.96714$ . 10. Então $1 - 2 \times 0.04395 = 0.91210$ ; agora $1 - 2 \times 0.01686 = 0.96628$ : a aproximação erra em $0.0055$ então, $0.0009$ agora. 11. Então $1 - 0.91758 = 8.2\,\%$ mais fraca, agora $3.3\,\%$ . 12. No solstício $\delta = \varepsilon$ : $22.52{}^{\circ}$ então, $23.45{}^{\circ}$ agora. 13. Então $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.41462 = -0.88916$ , $h_0 = 152.77{}^{\circ} = 2.6663\,\mathrm{rad}$ ; agora $\cos h_0 = -2.14451 \times 0.43378 = -0.93023$ , $h_0 = 158.47{}^{\circ} = 2.7659\,\mathrm{rad}$ . 14. $2h_0/15{}^{\circ}$ por hora: então $20.37$ horas, agora $21.13$ horas. 15. Então $2.6663 \times 0.90631 \times 0.38301 + 0.42262 \times 0.92375 \times 0.45759 = 0.92554 + 0.17864 = 1.10418$ ( $1.104\,17$ sem arredondar), e $432.90 \times 1.10417 = 478.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; agora $2.7659 \times 0.90631 \times 0.39795 + 0.42262 \times 0.91741 \times 0.36697 = 0.99757 + 0.14228 = 1.13985$ ( $1.139\,82$ sem arredondar), e $432.90 \times 1.13982 = 493.4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . 16. Então $478.0 \times 0.91758 = 438.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; agora $493.4 \times 0.96714 = 477.2\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a mais que então. 17. Em meados de julho a longitude do Sol é $120{}^{\circ}$ : $\sin\delta = \sin\varepsilon\sin120{}^{\circ}$ , uma declinação de cerca de $20{}^{\circ}$ em vez de $23{}^{\circ}$ , logo um dia mais curto e um sol mais baixo: a $65{}^{\circ}$ N a insolação média diária é máxima perto do solstício, quando a declinação é máxima. 18. Com a distância de hoje, a variação da obliquidade sozinha custa $(493.4 - 478.0) \times 0.96714 = 14.9\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; com a obliquidade antiga, a distância sozinha custa $478.0 \times (0.96714 - 0.91758) = 23.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ . As duas somam $38.6\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; a distância pesou cerca de três quintos. 19. Depois de uma variação súbita o manto de gelo realizou $1 - \mathrm e^{-t/\tau}$ dela: $1 - \mathrm e^{-0.5} = 0.39$ depois de $5\,\mathrm{kyr}$ , $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ depois de $10\,\mathrm{kyr}$ , $1 - \mathrm e^{-2} = 0.86$ depois de $20\,\mathrm{kyr}$ . 20. $\omega\tau = 2\pi \times 10/23 = 2.732$ : o manto de gelo segue $1/\sqrt{1 + 2.732^2} = 0.34$ do forçamento, com $\arctan(2.732)/\omega = 4.5$ kyr de atraso. 21. Meio ciclo de precessão, uns 11 a $12\,\mathrm{kyr}$ , é cerca de um tempo de resposta: antes que o manto de gelo tenha percorrido dois terços do caminho, a insolação inverte-se e puxa-o de volta. 22. No modelo linear o gelo cresce e diminui ao mesmo ritmo para forçamentos do mesmo tamanho: um forçamento que sobe e um que desce dão respostas simétricas. Uma acumulação lenta seguida de um colapso rápido exige uma resposta que dependa do estado ou do sentido da variação, isto é, uma resposta não linear. 23. O dióxido de carbono subiu $3.93\log_2(266/194) = 1.8$ a $3.93\log_2(282/188) = 2.3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ do glacial ao interglacial: um forçamento sobre o globo inteiro e o ano inteiro. Liberado quando a circulação atlântica enfraquece, ele leva a mudança dos verões do norte ao planeta inteiro e, com o albedo do gelo que encolhe, amplifica-a. 24. Quando o último interglacial terminou, a insolação média diária do solstício de junho a $65{}^{\circ}$ N era de cerca de $439\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $39\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a menos que hoje e seu valor mais baixo do ciclo.

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