2Formação dos planetas e meteoritos

Todos os anos, cerca de quinze mil toneladas de poeira vinda do espaço entram na atmosfera da Terra; a maior parte queima ou se deposita como esférulas microscópicas, e de vez em quando uma pedra do tamanho de um punho cai com uma bola de fogo e um estrondo sônico. A maioria dessas pedras são fragmentos de asteroides, e muitas quase não mudaram desde que se formaram. Serrada uma delas e polida a superfície, ela mostra contas milimétricas de rocha que já esteve fundida, grãos brancos irregulares de minerais de cálcio e de alumínio, lascas de metal, tudo preso em um cimento escuro de grão fino. Os grãos brancos são os sólidos mais antigos do Sistema Solar: os isótopos do chumbo os datam de 4567 milhões de anos. Um segundo relógio, o decaimento de um isótopo radioativo do alumínio desaparecido há muito tempo, data os outros componentes em relação a eles com precisão de uma fração de milhão de anos. Este capítulo acompanha o disco do capítulo anterior enquanto ele se transforma em planetas: que sólidos se condensam a partir do gás que esfria, e onde; como a poeira cresce até corpos de quilômetros de diâmetro e depois até planetas; o que são os meteoritos, e como eles datam esses acontecimentos; e por que alguns dos primeiros corpos fundiram e formaram núcleos de ferro, enquanto outros permaneceram como se haviam formado.

O que você já sabe

As estrelas jovens são cercadas por discos protoplanetários, que desaparecem em poucos milhões de anos; um grão iluminado, à distância $r$ de uma estrela de luminosidade $L$, estabiliza-se em $T = \bigl(L/(16\pi\sigma r^2)\bigr)^{1/4}$ (Capítulo 1). Os asteroides são os pequenos corpos rochosos ou metálicos do Sistema Solar, a maioria dos quais orbita entre Marte e Júpiter (volume do primeiro ano). Um núcleo radioativo decai com a probabilidade $\lambda$ por unidade de tempo: $N = N_0 e^{-\lambda t}$; a meia-vida é $\ln 2/\lambda$, e a vida média, $\tau = 1/\lambda$ (física). Em um sistema fechado, amostras cogenéticas de razões pai/filho diferentes ficam sobre uma reta, a isócrona, cuja inclinação dá a idade e cujo intercepto é a razão inicial (volume do primeiro ano). Aquecer uma massa $m$ de capacidade térmica específica $c$ de $\Delta T$ exige a energia $mc\,\Delta T$ (física).

2.1 A nebulosa solar

Definição 2.1 (Nebulosa solar)

A nebulosa solar é o disco protoplanetário de gás e poeira que cercava o Sol jovem e a partir do qual se formaram os planetas, seus satélites, os asteroides e os cometas.

Quanta matéria ela continha? Um limite inferior vem dos próprios planetas. Acrescente-se a cada planeta hidrogênio e hélio suficientes para lhe dar a composição do Sol, espalhe-se o resultado sobre um anel centrado em sua órbita, e a densidade superficial, a massa por unidade de área do disco, decresce com a distância ao Sol. Essa reconstrução é a nebulosa solar de massa mínima. Em uma versão muito usada, a densidade superficial do gás é

e a dos sólidos, $\Sigma_p = 33\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\,Z_{\mathrm{rel}}\, (r/1\,\mathrm{au})^{-3/2}$, em que $Z_{\mathrm{rel}}$ é a fração da matéria condensável efetivamente sólida: $0.33$ onde só a rocha e o metal se condensaram, cerca de $0.78$ onde o gelo de água se juntou a eles, $1$ além do ponto em que o metano congela. Os números são incertos: o teor de elementos pesados de Júpiter só é conhecido a menos de um fator quatro, e os planetas não precisam ter se formado onde orbitam hoje.

Proposição 2.2 (Massa de um disco)

Um disco de densidade superficial $\Sigma(r) = \Sigma_1 (r/r_1)^{-3/2}$ contém, dentro do raio $R$, a massa

$$M(R) = 4\pi\Sigma_1 r_1^2 \left(\frac{R}{r_1}\right)^{1/2}.$$

A maior parte da massa fica longe: dobrar o raio acrescenta $41\,\%$ à massa.

Com $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ em $r_1 = 1\,\mathrm{au}$, a nebulosa de massa mínima contém $0.03$ massa solar dentro de $100\,\mathrm{au}$ (Exercício 2.5). Os discos observados em torno de estrelas de um milhão de anos, pesados pelo brilho milimétrico de sua poeira, contêm $0.001\text{ a }0.1$ massa solar: a nebulosa de massa mínima fica confortavelmente entre eles.

Quase toda essa massa é gás que nunca se condensará. O Sol nasceu com uma fração mássica de hidrogênio $X_0 = 0.711$, de hélio $Y_0 = 0.274$ e de todos os elementos mais pesados juntos de apenas $Z_0 = 0.0149$. Resfriar um gás com essa composição até que tudo o que pode congelar tenha congelado transforma em sólidos apenas $1.5\,\%$ de sua massa: $0.49\,\%$ de rocha e metal, e $1.0\,\%$ de gelos de água, metano e amônia, sendo o gelo de água sozinho $0.57\,\%$. Todos os planetas rochosos, e os núcleos dos gigantes, foram construídos a partir dessa pequena fração.

A temperatura do disco decide o que é sólido e onde. Um disco aquecido apenas por sua estrela, um disco passivo, é morno em sua superfície, onde os grãos veem a estrela diretamente (a proposição do Capítulo 1), e muito mais frio em seu plano médio, que recebe apenas o infravermelho reemitido por esses grãos superficiais. Para uma estrela jovem de uma massa solar, um modelo de disco assim dá a temperatura do plano médio

A acreção de gás através do disco, que libera energia gravitacional, torna o plano médio mais quente, sobretudo no início e perto da estrela (figura abaixo).

2.2 A sequência de condensação

Imagine-se o gás da nebulosa, perto do Sol jovem, quente o bastante para que todos os elementos estejam em vapor, e deixe-se que ele esfrie devagar o bastante para que gás e sólidos permaneçam em equilíbrio químico. À medida que a temperatura cai, cada elemento deixa, por sua vez, o gás e passa para um sólido, seja como um composto próprio, seja dissolvido em um sólido que já se formou.

Definição 2.3 (Temperatura de condensação, sequência de condensação)

A temperatura de condensação de um elemento em um gás que esfria, de composição e pressão dadas, é a temperatura na qual metade dele passou para os sólidos em equilíbrio químico (a temperatura de condensação de 50 por cento; a temperatura em que aparece seu primeiro sólido é a temperatura de aparecimento). A sequência de condensação é a ordem em que os elementos e seus compostos sólidos aparecem à medida que o gás esfria.

Os cálculos para um gás de composição solar são feitos a uma pressão total de $10^{-4}$ bar, típica da nebulosa perto de $1\,\mathrm{au}$. Os primeiros sólidos são óxidos de alumínio e de cálcio (tabela abaixo), que se formam a cerca de $1700\,\mathrm{K}$; a maior parte da matéria formadora de rochas, silicato de magnésio e ferro metálico, condensa-se perto de $1350\,\mathrm{K}$; o sulfeto de ferro espera até $704\,\mathrm{K}$, e o gelo de água até $182\,\mathrm{K}$.

sólido	fórmula	aparece a (K)
coríndon	$\ce{Al2O3}$	1677
hibonita	$\ce{CaAl12O19}$	1659
perovskita	$\ce{CaTiO3}$	1593
espinélio	$\ce{MgAl2O4}$	1397
metal ferro–níquel	$\ce{Fe}$, com $\ce{Ni}$, $\ce{Co}$, $\ce{Cr}$	1357
forsterita	$\ce{Mg2SiO4}$	1354
schreibersita	$\ce{Fe3P}$	1248
troilita	$\ce{FeS}$	704
magnetita	$\ce{Fe3O4}$	371
gelo de água	$\ce{H2O}$	182
hidrato de amônia	$\ce{NH3.H2O}$	131
clatrato de metano	$\ce{CH4.7H2O}$	78

As temperaturas de condensação de 50 por cento classificam os elementos em grupos de volatilidade (figura abaixo). Os elementos que se condensam acima do magnésio, do silício e do ferro são refratários; os que se condensam abaixo deles, voláteis. Lodders subdivide cada lado: os elementos ultrarrefratários, acima de $1650\,\mathrm{K}$, incluem o alumínio, o zircônio, as terras raras pesadas e os metais ósmio, rênio e tungstênio; os altamente refratários ($1500\text{ a }1650\,\mathrm{K}$) incluem o cálcio e o titânio; os refratários ($1360\text{ a }1500\,\mathrm{K}$) incluem o estrôncio, o bário, o vanádio e a platina; os elementos comuns magnésio, silício e ferro condensam-se entre $1290$ e $1360\,\mathrm{K}$, junto com o níquel, o cobalto e o cromo; os elementos moderadamente voláteis, entre eles o sódio, o potássio, o fósforo, o cobre, o zinco e o chumbo, condensam-se entre $1290\,\mathrm{K}$ e o aparecimento da troilita, a $704\,\mathrm{K}$; os voláteis, entre eles o enxofre, o cádmio e o tálio, entre $704$ e $371\,\mathrm{K}$; e os elementos altamente voláteis, o carbono, o nitrogênio, o oxigênio na forma de gelo, os gases nobres e o mercúrio, abaixo disso.

A sequência explica um padrão que atravessa todo o Sistema Solar. Os sólidos mais antigos dos meteoritos são feitos dos primeiros condensados; a Terra e os outros planetas rochosos são pobres em elementos voláteis; as regiões distantes do disco, frias o bastante para conservar gelos, formaram corpos gelados. A fronteira mais importante é a da água, porque o gelo de água é o sólido mais abundante de todos: em massa, há em um gás de composição solar quase tanto gelo de água quanto rocha e metal juntos, $1.17$ vezes mais.

Definição 2.4 (Linha de neve)

A linha de neve de um disco protoplanetário é a distância à estrela além da qual o plano médio é frio o bastante para que o gelo de água seja estável, cerca de $180\,\mathrm{K}$ nas pressões do disco.

Proposição 2.5 (Linha de neve de um disco passivo)

Se a temperatura do plano médio decresce como $T = T_1 (r/r_1)^{-3/7}$, a linha de neve da água, que se condensa a $T_w$, fica em

$$r_s = r_1 \left(\frac{T_1}{T_w}\right)^{7/3},$$

e, além dela, a densidade superficial dos sólidos salta pelo fator $1 + m_w/m_r$, em que $m_w$ e $m_r$ são as massas de gelo de água e de rocha no gás.

Para o disco passivo acima, $T_1 = 120\,\mathrm{K}$ e $T_w = 182\,\mathrm{K}$ dão $r_s = 0.38\,\mathrm{au}$; o metano, a $41\,\mathrm{K}$, congela além de $12\,\mathrm{au}$ (Exercício 2.6). Com $0.57\,\%$ de gelo de água e $0.49\,\%$ de rocha, os sólidos saltam por um fator $1 + 0.571/0.489 = 2.2$. O modelo coloca a linha de neve bem dentro da órbita da Terra, o que mostra apenas que um disco jovem não era passivo: aquecido pela acreção, seu plano médio interno era mais quente, e a linha de neve ficava mais longe, deslocando-se para dentro à medida que o disco se adelgaçava. Além dela, os planetas tinham mais que o dobro de matéria sólida com que se construir, e isso, mais que qualquer outra coisa, separa os pequenos planetas rochosos dos gigantes.

2.3 Da poeira aos planetas

Entre os grãos micrométricos do meio interestelar e planetas de milhares de quilômetros de diâmetro há cerca de treze ordens de grandeza de tamanho. O crescimento é melhor descrito em três etapas. Abaixo de cerca de um centímetro, os grãos que colidem suavemente grudam, presos por ligações químicas e forças de van der Waals, e formam agregados fofos. Bem acima de um quilômetro, os corpos se mantêm coesos pela própria gravidade, e os fragmentos de uma colisão caem de volta sobre o corpo maior. Entre os dois fica a etapa mais difícil: corpos de centímetros a metros são grandes demais para grudar e pequenos demais para se atraírem, e o gás os arrasta para dentro. Em simulações numéricas, sólidos de $10\text{ a }100\,\mathrm{cm}$ se reúnem em enxames densos que colapsam sob o próprio peso diretamente em corpos de quilômetros de diâmetro, saltando os tamanhos problemáticos; como o Sistema Solar atravessou essa etapa ainda é debatido.

Definição 2.6 (Planetesimal, embrião planetário)

Um planetesimal é um corpo sólido de um disco protoplanetário grande o bastante, de cerca de um quilômetro a algumas centenas de quilômetros de diâmetro, para que seu crescimento seja governado pela gravidade e não pela aderência. Um embrião planetário é um corpo que cresceu, por acreção de planetesimais, o suficiente para dominar sua própria região do disco e varrê-la de planetesimais.

Uma vez que a gravidade passa a governar, o crescimento dispara: um corpo um pouco maior que seus vizinhos atrai para si planetesimais vindos de mais longe, cresce mais depressa que eles e se distancia. Seu crescimento só desacelera quando ele já varreu os sólidos a seu alcance. Cada embrião passa então a dominar seu próprio anel do disco, e muitos embriões dividem a região dos planetas rochosos.

Proposição 2.7 (Massa de isolamento)

Um embrião de massa $M$ à distância $r$ de uma estrela de massa $M_*$ atrai os sólidos de um anel cuja meia-largura é algumas vezes seu raio de Hill $R_H = r\,(M/3M_*)^{1/3}$. Se ele reúne todos os sólidos de um anel de largura total $bR_H$ e densidade superficial $\Sigma_p$, para de crescer na massa de isolamento

$$M_{\mathrm{iso}} = \frac{(2\pi b\, r^2 \Sigma_p)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} .$$

Os modelos tomam $b \approx 5$. Na nebulosa de massa mínima, a massa de isolamento é de cerca de $0.05$ massa terrestre a $1\,\mathrm{au}$, entre as massas da Lua ($0.012$) e de Marte ($0.11$): os embriões do Sistema Solar interno eram corpos desse tamanho, e a Terra precisou de muitos deles. Além da linha de neve, a $5.2\,\mathrm{au}$, os sólidos ricos em gelo dão cerca de $0.8$ massa terrestre, e um disco com $3.5$ vezes a massa mínima de sólidos dá umas cinco massas terrestres (Exercício 2.7): o suficiente, nos modelos de crescimento de Júpiter, para que um núcleo capture seu envelope de gás em três milhões de anos. Os planetas gigantes tiveram de se formar antes que o gás do disco desaparecesse, em poucos milhões de anos; Urano e Netuno são $80\text{ a }90\,\%$ rocha e gelo em massa: eles reuniram pouco gás.

A última etapa dos planetas rochosos foi violenta. Uma vez desaparecido o gás, as órbitas dos embriões se cruzaram, e eles se fundiram em colisões gigantes; acredita-se que a Lua tenha se formado a partir dos destroços de uma delas, que atingiu a Terra jovem. A figura abaixo resume a sequência.

Os planetas guardaram pouca memória dessa história: eles fundiram, misturaram e retrabalharam sua matéria. O registro está nos corpos que pararam de crescer, os asteroides, e nos fragmentos deles que chegam à Terra.

2.4 Meteoritos

Definição 2.8 (Meteorito, queda, achado)

Um meteorito é um objeto sólido natural vindo do espaço que sobreviveu à passagem pela atmosfera e chegou ao solo. Uma queda é um meteorito coletado depois que sua chegada foi observada, em geral como uma bola de fogo; um achado é um meteorito reconhecido no solo sem que sua queda tenha sido vista.

A Terra recolhe muito mais poeira que pedras. Medido na neve do planalto antártico, cerca de $5200\,\mathrm{t}$ de poeira extraterrestre chegam ao solo a cada ano como micrometeoritos e esférulas fundidas, de umas $15\,000\,\mathrm{t}$ que entram na atmosfera, a maior parte liberada por cometas e cerca de um quinto por asteroides. Os meteoritos, as pedras e os ferros grandes o bastante para serem reconhecidos um a um, são menos numerosos: o catálogo mundial contém cerca de $45\,000$, dos quais apenas $1107$ são quedas.

A distinção é importante. Uma queda é coletada em poucos dias, antes que a chuva e o oxigênio a alterem, e todos os tipos de meteorito que caem são coletados da mesma forma; um achado pode ter ficado no solo por milhares de anos, e sua chance de ser encontrado depende de sua aparência e de onde caiu. Metade de todos os achados foi feita na Antártida (quadro abaixo), onde a busca é sistemática. As quedas são a amostra mais fiel do que chega (figura abaixo): mais de quatro em cada cinco são condritos, e três em cada quatro, condritos ordinários.

No campo — Em busca de meteoritos no gelo azul

A maior parte do manto de gelo antártico é neve branca, mas em cerca de $1\,\%$ de sua superfície, onde montanhas bloqueiam o fluxo do gelo, cerca de $5\,\mathrm{cm}$ de gelo se perdem a cada ano e o gelo azul fica exposto. Os meteoritos que caíram sobre a neve a montante, ao longo de dezenas de milhares de anos, são soterrados, transportados no gelo e trazidos de volta à superfície onde ele se consome: o gelo azul é uma armadilha. Desde que a coleta sistemática começou, em meados da década de 1970, equipes recuperaram mais de $30\,000$ espécimes desses campos, e no catálogo metade de todos os achados vem do sul de $60{}^{\circ}$ S. Os pesquisadores atravessam o gelo em fileiras, a pé ou em motos de neve, e toda pedra encontrada é coletada, por mais comum que pareça, para que a coleção não seja enviesada em favor das mais chamativas. Cada achado é fotografado onde está, para registrar seu contexto, e recebe um número de campo; mais tarde ele recebe seu nome oficial, um código de três letras para o campo de gelo seguido do ano da temporada e de um número de série. No laboratório de curadoria, as pedras são lascadas com ferramentas de aço inoxidável ou cortadas a seco com uma serra de fita; os condritos carbonáceos, que podem conter compostos orgânicos, têm um gabinete só para eles desde 1978.

2.4.1 Condritos

Definição 2.9 (Condrito, condrito carbonáceo, côndrulo, CAI)

Um condrito é um meteorito rochoso que nunca fundiu depois de agregado, e cuja composição, exceto pelos elementos mais voláteis, é próxima da do Sol. A maior parte dele é feita de côndrulos, gotículas arredondadas, de um décimo de milímetro a cerca de um centímetro de diâmetro, de rocha silicática solidificada a partir de um fundido, imersas em uma matriz de grão fino com grãos de metal ferro–níquel e sulfeto de ferro. Alguns condritos contêm inclusões ricas em cálcio e alumínio (CAIs), grãos brancos irregulares de minerais de cálcio, alumínio e titânio que são os primeiros condensados da nebulosa. Um condrito carbonáceo é um condrito rico em carbono, em minerais hidratados e em matriz, cujo teor de elementos voláteis é o mais próximo do do Sol.

Os côndrulos ficaram fundidos por apenas minutos e esfriaram em horas ou dias: um aquecimento breve, local e súbito na nebulosa, de causa ainda desconhecida, fundiu aglomerados de poeira, que se solidificaram como gotículas antes de serem varridos, junto com poeira e metal, para um planetesimal. Eles ocupam até $90\,\%$ do volume dos meteoritos mais primitivos. As CAIs representam de menos de $1\,\%$ dos condritos ordinários a mais de $10\,\%$ de alguns carbonáceos, e elas se formaram com no máximo cerca de cem mil anos de diferença entre si.

Os condritos se dividem em grupos que diferem no tamanho e na abundância de seus côndrulos, em seu teor de metal, no teor de ferro de sua olivina e na proporção de sua matriz (tabela abaixo). Os condritos ordinários H, L e LL têm teores altos, baixos e muito baixos de metal e de ferro total (razões atômicas Fe/Si de $0.80$, $0.59$ e $0.53$).

	H	L	LL	CI	CM	CV
côndrulos (vol. %)	60–80	60–80	60–80	$\ll 1$	20	45
diâmetro médio dos côndrulos (mm)	0.3	0.7	0.9	—	0.3	1.0
CAIs (vol. %)	0.1–1	0.1–1	0.1–1	$\ll 1$	5	10
matriz (vol. %)	10–15	10–15	10–15	$> 99$	70	40
metal ferro–níquel (vol. %)	10	5	2	0	0.1	0–5
faialita na olivina (mol %)	16–20	23–26	27–32
tipos petrológicos	3–6	3–6	3–6	1	2	3
temperatura máxima (K)	1220	1220	1220	430	670	870

Definição 2.10 (Tipo petrológico)

O tipo petrológico de um condrito é um número de 1 a 6 que registra o que lhe aconteceu em seu corpo parental: o tipo 3 é o menos alterado; os tipos 4 a 6 são cada vez mais aquecidos, com côndrulos esmaecidos e minerais recristalizados e de composição uniforme; os tipos 2 e 1 são cada vez mais alterados pela água líquida, que transformou seus minerais em argilas.

A última linha da tabela dá as temperaturas máximas atingidas por cada grupo: até cerca de $1220\,\mathrm{K}$ para os condritos ordinários mais aquecidos, nunca mais de $430\,\mathrm{K}$ para os condritos CI, encharcados de água, mas nunca quentes. O aquecimento, como mostra a última seção, veio do interior dos corpos parentais.

2.4.2 Acondritos e meteoritos ferrosos

Definição 2.11 (Acondrito, meteorito ferroso, meteorito metalo-rochoso)

Um acondrito é um meteorito rochoso que cristalizou a partir de um fundido ou recristalizou a alta temperatura em um corpo que fundiu, e por isso não tem côndrulos. Um meteorito ferroso é feito principalmente de metal ferro–níquel. Um meteorito metalo-rochoso é feito de metal e silicato em quantidades aproximadamente iguais.

Eles são os fragmentos de corpos que fundiram e se diferenciaram: os acondritos são suas crostas e mantos, os ferrosos, seus núcleos metálicos, e os metalo-rochosos vêm do lugar onde metal e silicato se encontravam. A maior família de acondritos, a dos howarditos, eucritos e diogenitos (HED), basaltos e rochas ricas em piroxênio, representa $5.5\,\%$ de todas as quedas. Sua fonte foi identificada, por seu espectro e sua órbita, como o asteroide Vesta, com cerca de $525\,\mathrm{km}$ de diâmetro, e a sonda Dawn, que chegou a Vesta em 2011, confirmou isso: a química e a mineralogia da superfície de Vesta correspondem às dos meteoritos HED, uma bacia de $500\,\mathrm{km}$ de largura perto de seu polo sul mostra de onde os fragmentos foram arrancados, e seu campo de gravidade indica um núcleo de ferro de cerca de $225\,\mathrm{km}$ de diâmetro. Vesta fundiu, quase ou totalmente, no início de sua história. Outros acondritos vêm da Lua e de Marte. Os meteoritos das coleções parecem vir de cerca de cem corpos parentais diferentes.

Os meteoritos ferrosos guardam o registro de como seus núcleos esfriaram. Uma face cortada e atacada por ácido mostra um entrecruzado de placas (figura abaixo): a alta temperatura, o metal é uma única liga de ferro e níquel; com o resfriamento lento, uma liga pobre em níquel cresce em placas ao longo dos planos do cristal original, e quanto mais lento o resfriamento, mais largas as placas. Medidas em muitos meteoritos ferrosos, as larguras das placas dão as taxas de resfriamento dos núcleos de onde eles vieram.

2.5 Datando o Sistema Solar

A idade do Sistema Solar é a idade de seus sólidos mais antigos. As isócronas urânio–chumbo das CAIs, construídas como no volume do primeiro ano, dão $4567\text{ a }4568\,\mathrm{Ma}$; as CAIs se formaram com no máximo cerca de $0.1\,\mathrm{Myr}$ de diferença entre si, um tempo curto o bastante para que sua idade seja tomada como o nascimento do Sol. Os acontecimentos dos poucos milhões de anos seguintes, a formação dos côndrulos e a agregação e a fusão dos primeiros corpos, são mais bem datados em relação às CAIs, com relógios que corriam depressa e pararam cedo.

Definição 2.12 (Radionuclídeo de vida curta)

Um radionuclídeo de vida curta é um nuclídeo radioativo com meia-vida de aproximadamente $0.1$ a $100\,\mathrm{Myr}$, presente quando o Sistema Solar se formou e hoje extinto, cuja presença passada é revelada por um excesso de seu filho em minerais que eram ricos em seu elemento.

O mais conhecido é o alumínio-26, que decai em magnésio-26 com meia-vida de $0.717\,\mathrm{Myr}$ (vida média de $1.035\,\mathrm{Myr}$). Quando as CAIs se formaram, um átomo de alumínio em cerca de $19\,000$ era alumínio-26: a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ era $(5.23 \pm 0.13)\times10^{-5}$, o valor canônico. Outros nuclídeos de vida curta cobrem intervalos mais longos (tabela abaixo).

nuclídeo	filho	referência	meia-vida (Myr)	razão inicial
$\ce{^{26}Al}$	$\ce{^{26}Mg}$	$\ce{^{27}Al}$	0.717	$5.23\times10^{-5}$
$\ce{^{60}Fe}$	$\ce{^{60}Ni}$	$\ce{^{56}Fe}$	2.62	$1.0\times10^{-8}$
$\ce{^{53}Mn}$	$\ce{^{53}Cr}$	$\ce{^{55}Mn}$	3.74	$7\times10^{-6}$
$\ce{^{107}Pd}$	$\ce{^{107}Ag}$	$\ce{^{108}Pd}$	6.5	$6.6\times10^{-5}$
$\ce{^{182}Hf}$	$\ce{^{182}W}$	$\ce{^{180}Hf}$	8.90	$1.02\times10^{-4}$
$\ce{^{129}I}$	$\ce{^{129}Xe}$	$\ce{^{127}I}$	15.7	$1.28\times10^{-4}$

Proposição 2.13 (Idade relativa a partir de um nuclídeo extinto)

Se a razão entre um nuclídeo de vida curta e seu isótopo de referência era $R_0$ em toda parte quando as CAIs se formaram, e se constata que ela era $R$ em um objeto quando ele se formou, o objeto se formou

$$\Delta t = \tau \ln\frac{R_0}{R}$$

depois das CAIs, em que $\tau$ é a vida média do nuclídeo. Um erro $\delta R$ em $R$ dá o erro $\tau\,\delta R/R$ em $\Delta t$.

Um erro relativo de $10\,\%$ na razão custa, assim, $0.1\,\mathrm{Myr}$ com o alumínio-26, mas $0.54\,\mathrm{Myr}$ com o manganês-53 e $1.3\,\mathrm{Myr}$ com o háfnio-182: cada relógio só é preciso ao longo de algumas de suas próprias vidas médias, e o relógio certo depende do acontecimento. A razão $R$ em um objeto é lida em seus minerais.

Proposição 2.14 (Isócrona alumínio–magnésio)

Sejam vários minerais de um mesmo objeto formados juntos no instante $\Delta t$ com a mesma composição isotópica do magnésio, $(\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg})_0$, mas razões $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ diferentes, e fechados desde então. Hoje eles ficam sobre a reta

$$\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}} = \left(\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}\right)_0 + R\,\frac{\ce{^{27}Al}}{\ce{^{24}Mg}},$$

cuja inclinação é a razão $R = \ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ do objeto quando ele se formou.

Os minerais ricos em alumínio e pobres em magnésio, como o plagioclásio, mostram grandes excessos de magnésio-26; a olivina, quase sem alumínio, não mostra nenhum. Foi assim que se construiu a sequência temporal do Sistema Solar primitivo: primeiro as CAIs; os côndrulos ao longo dos poucos milhões de anos seguintes, com os indícios dos côndrulos fixando a duração de vida do disco de gás em menos de cinco milhões de anos; os corpos parentais dos condritos agregados depois de seus côndrulos mais jovens. Os diogenitos, rochas do manto de Vesta, começaram a cristalizar cerca de um milhão de anos depois das CAIs, e o núcleo de Vesta se formou entre o primeiro e o quarto milhão de anos: os meteoritos ferrosos e os acondritos são mais velhos que muitos condritos.

2.6 O calor do alumínio-26 e as primeiras fusões

De onde veio o calor que fundiu Vesta e metamorfizou os condritos ordinários? Modelos e meteoritos concordam que, nos corpos mais antigos, a fonte dominante foi o decaimento do alumínio-26. Em uma rocha de composição condrítica, ele trazia, no início, $5\,\mathrm{MJ}$ por quilograma prontos para serem liberados em poucos milhões de anos: o suficiente para aquecer a rocha em milhares de kelvins, se o calor não pudesse escapar.

Proposição 2.15 (Aquecimento de um planetesimal pelo alumínio-26)

Uma rocha que recebe a potência radioativa $H_0 e^{-t/\tau}$ por quilograma, que tem a capacidade térmica específica $c$ e não perde calor, aquece-se depois de sua acreção no instante $t_a$ segundo

$$T(t) = T_0 + \frac{H_0\tau}{c}\left(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau}\right),$$

e tende para a temperatura máxima $T_{\max} = T_0 + (H_0\tau/c)\,e^{-t_a/\tau}$. Uma temperatura crítica $T_c > T_0$ só é atingida se o corpo se agregou antes de

$$t_a^* = \tau\ln\frac{H_0\tau}{c\,(T_c - T_0)}.$$

Um modelo do corpo parental dos condritos ordinários usa $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $T_0 = 250\,\mathrm{K}$. Então $H_0\tau/c$ vale cerca de $7400\,\mathrm{K}$. Três temperaturas importam: perto de $750\,\mathrm{K}$, a rocha porosa começa a sinterizar e se torna compacta; perto de $1200\,\mathrm{K}$, o metal e o sulfeto de ferro começam a fundir juntos; perto de $1700\,\mathrm{K}$, os últimos silicatos fundem. Um corpo que se agregou antes de $1.7\,\mathrm{Myr}$ fundiu inteiramente; antes de $2.1\,\mathrm{Myr}$, seu metal e seu sulfeto fundiram e puderam afundar formando um núcleo; até cerca de $2.8\,\mathrm{Myr}$, ele foi pelo menos sinterizado e metamorfizado; os corpos posteriores permaneceram frios (figura abaixo).

A proposição ignora a perda de calor, o que só é válido no interior profundo de um corpo grande. O calor se difunde na distância $\sqrt{\kappa t}$ no tempo $t$, em que $\kappa$ é a difusividade térmica da rocha: com os valores do modelo, cerca de $5\,\mathrm{km}$ em uma vida média do alumínio-26 (Exercício 2.12). Os corpos muito menores que isso perdem seu calor tão depressa quanto o produzem; modelos detalhados mostram que corpos de mais de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diâmetro podiam fundir.

Definição 2.16 (Diferenciação planetária)

A diferenciação planetária é a separação de um corpo, depois de fundido total ou parcialmente, em camadas de composição e densidade diferentes: um núcleo metálico, um manto silicático e uma crosta feita dos últimos fundidos.

Os meteoritos registram, assim, dois tipos de corpos primitivos. Os que se formaram nos primeiros dois milhões de anos, aproximadamente, tinham alumínio-26 suficiente para fundir e se diferenciar: seus núcleos são os meteoritos ferrosos, suas crostas e mantos, os acondritos, e Vesta é o sobrevivente. Os que se formaram mais tarde permaneceram condritos, aquecidos por dentro em um grau fixado por sua data de nascimento e pela profundidade de cada fragmento: os mais profundos tornaram-se tipo 6, os mais rasos permaneceram tipo 3. A própria Terra, construída a partir de embriões e planetesimais dos dois tipos e atingida por impactos gigantes, diferenciou-se em núcleo, manto e crosta.

2.7 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Na nebulosa solar de massa mínima, calcule a densidade superficial do gás a $1\,\mathrm{au}$ e a $5.2\,\mathrm{au}$, e a densidade superficial dos sólidos a $1\,\mathrm{au}$ (só rocha, $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) e a $5.2\,\mathrm{au}$ (todos os gelos condensados, $Z_{\mathrm{rel}} = 1$). Quantas vezes mais pesado que os sólidos é o gás a $5.2\,\mathrm{au}$?

Solução

Solução de Exercício 2.1.

Gás: $2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, $2200\times5.2^{-3/2} = 2200/11.86 = 186\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$. Sólidos: $33\times0.33 = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; $33/11.86 = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $5.2\,\mathrm{au}$. A $5.2\,\mathrm{au}$, o gás é $186/2.78 = 67$ vezes mais pesado que os sólidos.

Exercício 2.2 ★

Usando a figura das temperaturas de condensação, ordene o alumínio, o sódio, o magnésio, o ferro, o enxofre e o oxigênio (como gelo de água) do primeiro a se condensar ao último, e dê o grupo de volatilidade de cada um. Quais deles você esperaria encontrar enriquecidos nas CAIs, e quais empobrecidos na Terra em comparação com o Sol?

Solução

Solução de Exercício 2.2.

Alumínio ($1653\,\mathrm{K}$, ultrarrefratário), magnésio ($1336\,\mathrm{K}$, comum), ferro ($1334\,\mathrm{K}$, comum), sódio ($958\,\mathrm{K}$, moderadamente volátil), enxofre ($664\,\mathrm{K}$, volátil), oxigênio como gelo de água ($180\,\mathrm{K}$, altamente volátil). As CAIs, os primeiros condensados, são enriquecidas em alumínio (e em cálcio e titânio); a Terra é empobrecida nos voláteis, sódio, enxofre e água, em relação ao magnésio e ao alumínio.

Exercício 2.3 ★

O catálogo lista $1107$ quedas, das quais 856 são condritos ordinários e 49 ferrosos, e $44\,534$ achados, dos quais $38\,647$ são condritos ordinários, $1020$ ferrosos e $22\,096$ vêm do sul de $60{}^{\circ}$ S. Calcule a parcela de condritos ordinários e de ferrosos entre as quedas e entre os achados, e a parcela de achados antárticos. Que amostra você usaria para estimar as proporções em que as classes chegam à Terra, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 2.3.

Quedas: condritos ordinários $856/1107 = 77.3\,\%$, ferrosos $49/1107 = 4.4\,\%$. Achados: $38647/44534 = 86.8\,\%$ e $1020/44534 = 2.3\,\%$. Achados antárticos: $22096/44534 = 49.6\,\%$. As quedas: toda queda observada é coletada, qualquer que seja sua classe, ao passo que um achado depende de quão bem o meteorito sobrevive no solo, de sua aparência e de onde as pessoas procuram, e metade dos achados vem de um único tipo de lugar.

Exercício 2.4 ★

Os minerais de um objeto dão a razão inicial $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al} = 1.0 \times 10^{-5}$. Quanto tempo depois das CAIs ele se formou? Tome $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$ e uma vida média de $1.035\,\mathrm{Myr}$.

Solução

Solução de Exercício 2.4.

$\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{-5}) = 1.035\ln 5.23 = 1.035\times1.654 = 1.71\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs.

Exercício 2.5 ★★

Usando a Proposição 2.2 com $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$ ($1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$), calcule a massa da nebulosa de massa mínima dentro de $30\,\mathrm{au}$ e dentro de $100\,\mathrm{au}$, em massas solares. Compare com os discos observados, $0.001\text{ a }0.1$ massa solar.

Solução

Solução de Exercício 2.5.

$4\pi\Sigma_1 r_1^2 = 4\pi\times2.2 \times 10^{4}\times(1.496 \times 10^{11})^2 = 6.19 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$. Dentro de $30\,\mathrm{au}$: $\times\sqrt{30} = 5.48$, portanto $3.39 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.017$ massa solar; dentro de $100\,\mathrm{au}$: $\times10$, $6.19 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.031$ massa solar. Ambas ficam dentro da faixa observada, mais perto de seu limite superior: a nebulosa era um disco comum.

Exercício 2.6 ★★

No disco passivo $T = 120\,\mathrm{K}\,(r/1\,\mathrm{au})^{-3/7}$, determine onde o gelo de água ($182\,\mathrm{K}$) e o gelo de metano ($41\,\mathrm{K}$) se tornam estáveis. Um grão iluminado diretamente pelo Sol atinge $182\,\mathrm{K}$ a $2.3\,\mathrm{au}$. Por que as duas estimativas da linha de neve diferem, e qual delas se aplica aos corpos que construíram os planetas?

Solução

Solução de Exercício 2.6.

$r = (120/T)^{7/3}$ au: para a água, $(120/182)^{7/3} = 0.659^{7/3} = 0.38\,\mathrm{au}$; para o metano, $(120/41)^{7/3} = 2.93^{7/3} = 12.3\,\mathrm{au}$. O grão iluminado diretamente pelo Sol é a camada superficial do disco; o plano médio, protegido pela poeira acima dele, é mais frio, de modo que o gelo sobrevive mais perto. Os planetesimais se formaram no plano médio, portanto vale a estimativa do plano médio, desde que o disco seja passivo; o aquecimento por acreção desloca a linha de neve para fora.

Exercício 2.7 ★★

Calcule a massa de isolamento, com $b = 5$, de um embrião a $1\,\mathrm{au}$ na nebulosa de massa mínima ($\Sigma_p = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), e a $5.2\,\mathrm{au}$, além da linha de neve ($\Sigma_p = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), em massas terrestres ($M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). Em quanto ela se transforma a $5.2\,\mathrm{au}$ em um disco com $3.5$ vezes mais sólidos?

Solução

Solução de Exercício 2.7.

A $1\,\mathrm{au}$: $r^2 = 2.238 \times 10^{22}$, $\Sigma_p = 109\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, portanto $2\pi b r^2\Sigma_p = 31.42\times2.238 \times 10^{22}\times109 = 7.66 \times 10^{25}$; $(7.66 \times 10^{25})^{3/2} = 6.71 \times 10^{38}$, dividido por $(3\times1.989 \times 10^{30})^{1/2} = 2.443 \times 10^{15}$: $2.75 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ $= 0.046$ massa terrestre. A $5.2\,\mathrm{au}$: $r^2 = 6.05 \times 10^{23}$, $\Sigma_p = 27.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, $2\pi b r^2\Sigma_p = 5.29 \times 10^{26}$, $M = 1.22 \times 10^{40}/2.443 \times 10^{15} = 4.98 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} = 0.83$ massa terrestre. Com $3.5$ vezes mais sólidos, $M$ cresce como $3.5^{3/2} = 6.55$: 5.5 massas terrestres.

Exercício 2.8 ★★

Uma rocha de composição CI continha $1.01 \times 10^{16}$ átomos de alumínio-26 por grama quando as CAIs se formaram, e cada decaimento deixa $5.00 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ de calor. Calcule o calor liberado por quilograma ao longo de todo o decaimento, e o aumento de temperatura que ele daria com $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e sem perdas. Quantas vezes maior ele é que o calor necessário para aquecer a rocha de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$?

Solução

Solução de Exercício 2.8.

Por quilograma, $1.01 \times 10^{19}$ átomos, portanto $1.01 \times 10^{19}\times5.00 \times 10^{-13} = 5.05 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. O aumento de temperatura seria $5.05 \times 10^{6}/837 = 6030\,\mathrm{K}$. Aquecer de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$ exige $837\times1450 = 1.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: o alumínio-26 fornecia cerca de quatro vezes isso.

Exercício 2.9 ★★

Ao longo de todo o seu decaimento, o alumínio-26 libera $5.07 \times 10^{10}\,\mathrm{erg}$ por grama de rocha CI, e o ferro-60, $7.49 \times 10^{7}\,\mathrm{erg}$ por grama. Calcule a razão entre as duas energias. A meia-vida do ferro-60 é $2.62\,\mathrm{Myr}$: calcule sua vida média e a razão entre as duas potências de aquecimento iniciais, energia dividida pela vida média.

Solução

Solução de Exercício 2.9.

$5.07 \times 10^{10}/7.49 \times 10^{7} = 677$. A vida média do ferro-60 é $2.62/\ln2 = 3.78\,\mathrm{Myr}$. Potências iniciais por grama: $5.07 \times 10^{10}/1.035 = 4.90 \times 10^{10}$ e $7.49 \times 10^{7}/3.78 = 1.98 \times 10^{7}$ erg por grama por milhão de anos, uma razão de cerca de $2470$: o alumínio-26 dominava de longe.

Exercício 2.10 ★★★

Com os resultados do Exercício 2.9, determine o instante a partir do qual o ferro-60 aquece a rocha mais depressa que o alumínio-26. O ferro-60 poderia ter fundido um corpo agregado tão tarde? (Compare a energia que ele ainda tem a liberar nesse momento com os $1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ necessários para aquecer a rocha de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$.)

Solução

Solução de Exercício 2.10.

As potências são iguais quando $4.90 \times 10^{10}\,e^{-t/1.035} = 1.98 \times 10^{7}\,e^{-t/3.78}$, isto é, $t(1/1.035 - 1/3.78) = \ln(4.90 \times 10^{10}/1.98 \times 10^{7}) = \ln 2475 = 7.81$; com $0.966 - 0.265 = 0.702$ por milhão de anos, $t = 11.1\,\mathrm{Myr}$. Nesse momento, o ferro-60 tem ainda $7.49 \times 10^{7}\,e^{-11.1/3.78} = 7.49 \times 10^{7}\times0.053 = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}$ a liberar, isto é, $400\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: milhares de vezes menos do que o necessário para fundir qualquer coisa.

Exercício 2.11 ★★★

Com $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ e $T_0 = 250\,\mathrm{K}$ (um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$), calcule os instantes de acreção mais tardios para os quais o centro de um corpo grande atinge $1200\,\mathrm{K}$ e $1700\,\mathrm{K}$. Algumas medidas sugerem que o alumínio-26 inicial era só metade do valor canônico em partes do disco: de quanto se deslocariam os dois instantes? Mostre que o deslocamento não depende da temperatura crítica.

Solução

Solução de Exercício 2.11.

$\tau = 1.035\times3.156 \times 10^{13} = 3.267 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ e $H_0\tau = 6.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Para $1200\,\mathrm{K}$: $t_a^* = 1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 1.035\ln7.81 = 2.13\,\mathrm{Myr}$; para $1700\,\mathrm{K}$: $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times1450)\bigr) = 1.035\ln5.12 = 1.69\,\mathrm{Myr}$. Reduzir $H_0$ à metade subtrai $\tau\ln2 = 0.72\,\mathrm{Myr}$ dos dois, pois $t_a^* = \tau\ln H_0 + \tau\ln(\tau/c(T_c - T_0))$ e só o primeiro termo muda: o deslocamento é uma meia-vida, qualquer que seja a temperatura crítica.

Exercício 2.12 ★★★

Uma rocha de condutividade $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, densidade $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ e capacidade térmica específica $837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ tem a difusividade térmica $\kappa = k/(\rho c)$. Calcule-a, e a distância $\sqrt{\kappa\tau}$ na qual o calor se difunde em uma vida média do alumínio-26. Explique por que a proposição do aquecimento se aplica ao centro de um corpo de $100\,\mathrm{km}$ de diâmetro, mas não a um corpo de $2\,\mathrm{km}$ de diâmetro, e compare com os menores corpos que podiam fundir, de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diâmetro.

Solução

Solução de Exercício 2.12.

$\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ e $\sqrt{\kappa\tau} = \sqrt{7.60 \times 10^{-7}\times3.267 \times 10^{13}} = 4980\,\mathrm{m}$, cerca de $5\,\mathrm{km}$. O centro de um corpo de $100\,\mathrm{km}$ de diâmetro está a $50\,\mathrm{km}$ de profundidade, dez vezes essa distância: seu calor não consegue escapar enquanto o alumínio-26 decai, e a proposição se aplica. Um corpo de $2\,\mathrm{km}$ de diâmetro perde seu calor tão depressa quanto o produz. A fusão exige um raio de algumas vezes $5\,\mathrm{km}$, isto é, um diâmetro de uns $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ ou mais, como encontram os modelos.

2.8 Problema: a pedra que caiu no lago gelado

Problema 2.1

Problema de fim de semana — classificar uma pedra recém-caída, datar seus côndrulos com o alumínio-26 e descobrir quão quente seu corpo parental ficou

Em uma noite de inverno, uma bola de fogo cruza o céu acima de um lago setentrional inventado, e ouve-se um estrondo. Na manhã seguinte, uma pedra de crosta negra de $2.4\,\mathrm{kg}$ é recolhida no gelo, no meio de uma cratera recente na neve. A pedra cortada mostra côndrulos que ocupam $75\,\%$ de seu volume, de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diâmetro em média, com bordas esmaecidas; o metal ocupa $9\,\%$ de seu volume, e sua olivina contém 18 por cento molares de faialita. Um laboratório analisa um côndrulo (tabela abaixo). Use as tabelas do capítulo, $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, um ano de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, uma condutividade de $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, uma densidade de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ e $M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

mineral	$\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$	$\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$
olivina	0.05	$0.139\,500$
vidro	3.00	$0.139\,518$
plagioclásio	15.0	$0.139\,590$

Parte I — A pedra.

1. A pedra é uma queda ou um achado? Por que isso a torna valiosa?
2. Das $1107$ quedas do catálogo, 856 são condritos ordinários. Qual é a probabilidade de que uma queda, tomada ao acaso, seja um deles?
3. Usando a tabela dos grupos de condritos, diga a que grupo a pedra pertence.
4. Seus côndrulos têm bordas esmaecidas e seus minerais são de composição uniforme. Que tipos petrológicos isso sugere, e qual é a temperatura máxima que seu grupo atingiu, em kelvins e em graus Celsius?
5. Por que você esperaria poucas CAIs nela, e por que a pedra é, ainda assim, mais jovem que qualquer CAI?

Parte II — Quando o côndrulo se formou?

6. Explique por que a razão $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ aumenta com $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ de um mineral para outro.
7. A partir da olivina e do plagioclásio, calcule a inclinação da isócrona. O que ela mede?
8. Verifique que o vidro fica sobre a mesma reta.
9. Quanto tempo depois das CAIs o côndrulo se formou?
10. Tomando para as CAIs a idade de $4567.5\,\mathrm{Ma}$, dê a idade do côndrulo.
11. Qual teria sido a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ em um mineral formado $10\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs? Que nuclídeo da tabela dataria melhor um tal acontecimento?

Parte III — O aquecimento do corpo parental. O corpo parental da pedra, de $20\,\mathrm{km}$ de raio, agregou-se $2.4\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs, pouco depois de seus côndrulos.

12. Calcule a difusividade térmica da rocha e o tempo $R^2/\kappa$ que o calor leva para escapar do centro, em milhões de anos. Pode-se considerar que o centro não perde calor?
13. Calcule a potência de aquecimento do alumínio-26 por quilograma de rocha no instante da agregação.
14. Calcule o calor ainda por liberar por quilograma depois da agregação.
15. Calcule o aumento de temperatura e a temperatura máxima no centro.
16. Compare com as três temperaturas críticas do capítulo. O centro fundiu? Isso é coerente com a pergunta 4?
17. Qual é o instante de agregação mais tardio para o qual o metal e o sulfeto do centro teriam começado a fundir?
18. Quanto tempo depois da agregação se atinge $90\,\%$ do aumento de temperatura? Dê a data em relação às CAIs.

Parte IV — Os vizinhos.

19. Um acondrito vem de um corpo que se agregou $0.8\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs. Calcule a temperatura máxima que a proposição daria, e diga o que realmente aconteceu com o corpo.
20. Quantas vezes mais alumínio-26 por quilograma esse corpo tinha em sua agregação do que o corpo parental da pedra?
21. A pedra é mais pobre que o Sol em zinco e chumbo, mas não em magnésio nem em alumínio. Use as temperaturas de condensação para explicar por quê.
22. Na nebulosa de massa mínima, calcule a densidade superficial da rocha ($Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) a $2.5\,\mathrm{au}$, onde o corpo parental orbitava.
23. Calcule a massa de isolamento a $2.5\,\mathrm{au}$, com $b = 5$, em quilogramas e em massas terrestres, e compare-a com a massa do corpo parental.
24. Indique a temperatura máxima do centro do corpo parental, o número-chave deste problema, em graus Celsius.

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. Uma queda: sua chegada foi vista e ela foi recolhida na manhã seguinte. Ela não está alterada pelo intemperismo e se soma à amostra não enviesada do que chega à Terra.

2. $856/1107 = 0.77$: cerca de três chances em quatro.

3. Côndrulos de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, $9\,\%$ de metal e olivina com $18\,\%$ de faialita: um condrito H ($10\,\%$ de metal, Fa 16–20).

4. Côndrulos esmaecidos e minerais uniformes indicam metamorfismo térmico: tipos 5 a 6. Os condritos ordinários atingiram no máximo cerca de $1220\,\mathrm{K}$, isto é, $947{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. Os condritos ordinários contêm apenas $0.1\text{ a }1\,\%$ de CAIs em volume. A pedra é feita de côndrulos e matriz agregados depois das CAIs, que são os sólidos mais antigos: toda rocha que os contém é mais jovem.

6. Cada mineral recebeu na formação o mesmo magnésio mais alumínio-26 em proporção ao seu alumínio; desde então, o alumínio-26 transformou-se em magnésio-26, de modo que, quanto mais alumínio por magnésio um mineral tinha, mais magnésio-26 ele ganhou.

7. $(0.139590 - 0.139500)/(15.0 - 0.05) = 0.000\,090/14.95 = 6.02 \times 10^{-6}$: a razão $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ do côndrulo quando ele se formou.

8. $0.139500 + 6.02 \times 10^{-6}\times3.00 = 0.139518$: sobre a reta.

9. $\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/6.02 \times 10^{-6}) = 1.035\ln8.69 = 1.035\times2.162 = 2.24\,\mathrm{Myr}$.

10. $4567.5 - 2.2 = 4565.3\,\mathrm{Ma}$.

11. $5.23 \times 10^{-5}\,e^{-10/1.035} = 5.23 \times 10^{-5}\times6.4 \times 10^{-5} = 3.3 \times 10^{-9}$, magnésio-26 pouco demais para ser medido. O háfnio-182 (meia-vida de $8.9\,\mathrm{Myr}$) ou o manganês-53 ($3.7\,\mathrm{Myr}$) convêm a acontecimentos ocorridos uns dez milhões de anos depois das CAIs.

12. $\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $R^2/\kappa = 4 \times 10^{8}/7.60 \times 10^{-7} = 5.26 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 16.7\,\mathrm{Myr}$, dezesseis vezes a vida média do alumínio-26: o centro conserva seu calor.

13. $1.9 \times 10^{-7}\,e^{-2.4/1.035} = 1.9 \times 10^{-7}\times0.0984 = 1.87 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

14. $1.87 \times 10^{-8}\times3.267 \times 10^{13} = 6.11 \times 10^{5}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

15. $\Delta T = 6.11 \times 10^{5}/837 = 730\,\mathrm{K}$; máximo de $250 + 730 = 980\,\mathrm{K}$.

16. Acima de $750\,\mathrm{K}$, portanto a rocha sinterizou e foi metamorfizada; abaixo de $1200\,\mathrm{K}$, portanto nem o metal nem o sulfeto fundiram. A pedra é um condrito aquecido, de tipo petrológico alto, abaixo dos $1220\,\mathrm{K}$ da pergunta 4: coerente.

17. $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 2.13\,\mathrm{Myr}$: cerca de $0.3\,\mathrm{Myr}$ antes.

18. O aumento é $\Delta T(1 - e^{-(t - t_a)/\tau})$; $90\,\%$ exigem $e^{-(t - t_a)/\tau} = 0.1$, $t - t_a = 1.035\ln10 = 2.38\,\mathrm{Myr}$, isto é, $4.8\,\mathrm{Myr}$ depois das CAIs.

19. $\Delta T = 7420\,e^{-0.8/1.035} = 7420\times0.462 = 3430\,\mathrm{K}$, máximo de $3680\,\mathrm{K}$, muito acima dos $1700\,\mathrm{K}$ em que os silicatos estão fundidos. O corpo fundiu (o calor de fusão manteve sua temperatura mais baixa) e diferenciou-se em um núcleo metálico e um manto e uma crosta silicáticos.

20. $e^{(2.4 - 0.8)/1.035} = e^{1.546} = 4.7$ vezes mais.

21. O zinco e o chumbo se condensam perto de $727\,\mathrm{K}$, moderadamente voláteis; o magnésio ($1336\,\mathrm{K}$) e o alumínio ($1653\,\mathrm{K}$) se condensam muito antes. Os sólidos da região da pedra se reuniram antes que o gás tivesse esfriado o bastante para que todo o zinco e todo o chumbo se condensassem.

22. $33\times0.33\times2.5^{-3/2} = 10.89/3.95 = 2.76\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $27.6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

23. $r^2 = (3.74\times10^{11})^2 = 1.40 \times 10^{23}$; $2\pi\times5\times1.40 \times 10^{23}\times27.6 = 1.21 \times 10^{26}$; $(1.21 \times 10^{26})^{3/2}/2.443 \times 10^{15} = 5.45 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $0.091$ massa terrestre. O corpo parental, $\tfrac43\pi(2 \times 10^{4})^3\times3300 = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, é cinco milhões de vezes mais leve: um planetesimal, não um embrião.

24. O centro do corpo parental atingiu um máximo de cerca de $707{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($980 - 273$): quente o bastante para recristalizar o condrito, frio demais para fundir seu metal.