10Cinturones de cabalgamiento y cuñas orogénicas

Si se empuja una topadora contra arena o nieve húmedas, se acumula una cuña de material delante de la hoja. Se deforma hasta alcanzar cierta pendiente en su superficie; a partir de entonces se desliza hacia delante como un todo y crece con la misma forma, incorporando material nuevo en su pie. Las partes externas de los cinturones montañosos, desde Taiwán hasta las estribaciones de los Alpes, se comportan igual: son cuñas de roca raspada de una placa y empujada sobre una base débil, y su pendiente superficial y el buzamiento de su base indican cuán débil es esa base y cuánta presión ejercen los fluidos que contiene. Este capítulo construye la geometría de los cinturones de cabalgamiento, la mecánica de la cuña y los relojes que miden la rapidez con que sus rocas ascienden hasta la superficie.

Lo que ya sabes

Los cabalgamientos, la vergencia y la geometría de los pliegues se tratan en el volumen de primer año, en su capítulo sobre fallas, pliegues y fábricas; el criterio de Coulomb, la ley de Byerlee, el esfuerzo efectivo y la razón de presión de poro $\lambda = P/\sigma_v$ en su capítulo sobre esfuerzo, deformación y reología; la temperatura de cierre y la edad de enfriamiento en su capítulo sobre métodos de datación radiométrica. El despegue, el cinturón de pliegues y cabalgamientos, la tectónica de piel fina y de piel gruesa y la sección equilibrada se tratan en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre la anatomía de un cinturón montañoso; la exhumación y su tasa en su capítulo sobre trayectorias P–T–t. La construcción de kink y el área en exceso $A = Sh$ de un pliegue sobre un despegue se tratan en el Capítulo 8; el número de Péclet térmico en el Capítulo 5.

10.1 Geometría de los cabalgamientos

Un cabalgamiento no atraviesa una secuencia estratificada a lo largo de un único plano recto. Sigue una capa débil, una lutita o una evaporita, durante grandes distancias, y luego asciende abruptamente a través de las capas competentes superiores hasta la siguiente capa débil. La escalera que dibuja controla los pliegues del bloque superior.

Definición 10.1 (Rampa, rellano, dúplex, cabalgamiento fuera de secuencia)

Un rellano (de cabalgamiento) es un segmento de cabalgamiento que discurre paralelo a la estratificación, normalmente en una capa débil; una rampa (de cabalgamiento) es un segmento que corta la estratificación, típicamente de 20 a $30{}^{\circ}$, que une un rellano inferior con otro superior. Un dúplex (de cabalgamiento) es un apilamiento de láminas limitadas por fallas, llamadas escamas, encerradas entre un cabalgamiento basal inferior y un cabalgamiento de techo superior, cada escama limitada por una rampa que une ambos. Los cabalgamientos suelen formarse en secuencia, cada nuevo cabalgamiento en el bloque inferior del anterior, más cerca del antepaís; un cabalgamiento fuera de secuencia es el que se forma o se vuelve a deslizar detrás del frente activo, cortando cabalgamientos más antiguos.

Al desplazarse el bloque superior sobre una curva de la falla, debe plegarse para mantenerse en contacto con ella: se forma un sinclinal donde entra en la rampa y un anticlinal donde sale de ella.

Definición 10.2 (Pliegues de flexión de falla, de propagación de falla y de despegue)

Un pliegue de flexión de falla es un pliegue del bloque superior de un cabalgamiento, producido al deslizarse sobre una curva de la falla, una rampa entre dos rellanos. Un pliegue de propagación de falla crece sobre la punta de un cabalgamiento que aún se propaga hacia arriba: el acortamiento que la falla ya no transmite se absorbe mediante plegamiento delante de su punta, lo que da lugar a un flanco frontal empinado o volcado. Un pliegue de despegue crece sobre un rellano sin rampa: el acortamiento se absorbe por plegamiento y por una capa débil, de sal o lutita, que fluye hacia su núcleo.

La figura siguiente construye un pliegue de flexión de falla. Aquí el bloque superior se desplaza paralelo al segmento de falla que queda debajo y se pliega según superficies axiales que bisecan cada curva, un modelo cinemático llamado flujo paralelo a la falla; el clásico modelo de espesor y longitud de capa constantes da el mismo anticlinal de cima plana con un flanco frontal más empinado, a costa de una construcción más larga (que aquí se admite). Ambos modelos están sujetos a la conservación del área.

Proposición 10.3 (Área en exceso de un pliegue de flexión de falla)

Sea un cabalgamiento que eleva su bloque superior por una rampa de altura $r$ desde un rellano inferior hasta un rellano superior, con el desplazamiento $S$ sobre el rellano inferior. Para toda capa del bloque superior situada por encima del rellano superior, el área comprendida entre la capa plegada y su nivel original es $A = Sr$, la misma para toda capa de este tipo.

El área en exceso de un pliegue de flexión de falla mide el desplazamiento por la altura de la rampa, y no por la profundidad hasta el despegue, como ocurriría en un pliegue de despegue (véase el Capítulo 8). Los dos tipos de pliegue deben distinguirse antes de convertir un área en acortamiento.

Un dúplex (véase la figura siguiente) crece cuando el cabalgamiento, en lugar de llevar su bloque superior cada vez más lejos por la misma rampa, la abandona y corta una nueva rampa en su bloque inferior, por delante de la antigua. La lámina comprendida entre la rampa antigua y la nueva se convierte en un caballo tectónico, elevado por la nueva rampa y apilado bajo el techo; la siguiente rampa se forma de nuevo por delante. Cada caballo se acorta desde su longitud original hasta la longitud que ocupa ahora a lo largo del muro, y el acortamiento del dúplex es la suma de los acortamientos de sus caballos. Los cabalgamientos fuera de secuencia alteran este orden: se forman cuando la cuña situada detrás del frente debe engrosarse, un caso que la mecánica de la sección siguiente predice.

10.2 El ahusamiento crítico

Un cinturón de pliegues y cabalgamientos, en sección transversal, es una cuña: delgada en su frente, donde el despegue llega a la superficie, y engrosada hacia el interior de la cadena. Su superficie superior se inclina hacia el antepaís con el ángulo $\alpha$; su base, el despegue, buza hacia el interior de la cadena con el ángulo $\beta$. El ahusamiento de la cuña es el ángulo comprendido entre ambas, $\alpha + \beta$.

Definición 10.4 (Ahusamiento crítico)

El ahusamiento crítico de una cuña empujada desde atrás sobre una base es el ahusamiento en el que la cuña se encuentra en todas partes al borde de la rotura, en su interior y a lo largo de su base, bajo compresión horizontal. Una cuña en su ahusamiento crítico se desliza sobre su base sin deformarse internamente; una cuña por debajo de él (subcrítica) se deforma y engrosa hasta alcanzarlo; una cuña por encima de él (supercrítica) se desliza sin deformarse.

Teorema 10.5 (Ecuación del ahusamiento crítico)

Considérese una cuña subaérea de densidad uniforme $\rho$ formada por material de Coulomb sin cohesión de fricción interna $\mu = \tan\phi$, con la razón de presión de poros $\lambda$, sobre una base de fricción $\mu_b$ y razón de presión de poros $\lambda_b$. Si $\alpha$ y $\beta$ son pequeños y $\sigma_1$ es horizontal, la ecuación del ahusamiento crítico es

$$\alpha + \beta = \frac{\beta + \mu_b(1 - \lambda_b)}{1 + K(1 - \lambda)}, \qquad K = \frac{2\sin\phi}{1 - \sin\phi},$$

con los ángulos en radianes.

La ecuación indica, en primer lugar, que el ahusamiento viene fijado por la razón entre la resistencia de la base, en el numerador, y la resistencia de la cuña, en el denominador: una base débil da una cuña delgada, y una base resistente una gruesa. En segundo lugar, la pendiente superficial disminuye a medida que la base buza con mayor inclinación. En tercer lugar, la presión de fluidos reduce el ahusamiento: al aumentar $\lambda = \lambda_b$ se resta más a la resistencia de la base, en proporción, que a la de la cuña. La figura siguiente muestra la pendiente superficial crítica para los coeficientes de fricción ajustados en el oeste de Taiwán. Los puntos situados bajo cada línea corresponden a cuñas subcríticas, que engrosan; los situados encima, a cuñas supercríticas, que se deslizan.

Una cuña no es un objeto estático: se le añade material y se le quita material, y cada cambio la desplaza de su ahusamiento crítico.

Definición 10.6 (Acreción frontal, subplacado tectónico)

La acreción frontal es la adición de material a una cuña en su pie, a medida que el despegue se propaga hacia los sedimentos no deformados del antepaís y se corta una nueva lámina de cabalgamiento. El subplacado tectónico es la adición de material a la base de la cuña, detrás de su pie, a medida que las láminas de la placa inferior se despegan y se apilan debajo de ella, a menudo en forma de dúplex.

La acreción frontal alarga la cuña a ahusamiento constante. El subplacado engrosa su parte posterior y empina su superficie: la cuña se vuelve supercrítica allí y puede extenderse por falla normal hasta que el ahusamiento vuelva a descender. La erosión hace lo contrario: rebaja la pendiente superficial, y la cuña se vuelve subcrítica, y se engrosa por cabalgamientos fuera de secuencia detrás del frente. Erosión y deformación están, por tanto, acopladas: una cuña erosionada deprisa conserva su ahusamiento desplazando la roca hacia arriba más deprisa, y las rocas que lleva a la superficie son más jóvenes en el sentido de la siguiente sección.

En el laboratorio — Modelos en caja de arena

En un modelo analógico en caja de arena, se disponen capas de arena seca de distintos colores dispuestas horizontalmente en una caja alargada de paredes de vidrio. Un motor empuja lentamente una pared vertical contra ellas, o tira de una lámina por debajo de ellas; una cámara junto al vidrio fotografía la sección a intervalos regulares. La arena falla a lo largo de cabalgamientos, forma una cuña que mantiene un ahusamiento constante, y desarrolla rampas, dúplex y retrocabalgamientos como los de los cinturones reales. Una capa de bolitas de vidrio o de masilla de silicona bajo la arena desempeña el papel de un despegue débil, y la cuña entonces crece más delgada y más ancha. Davis, Suppe y Dahlen hallaron que sus experimentos con arena seca concordaban con la teoría del ahusamiento crítico. La correlación de las fotografías sucesivas proporciona el campo de desplazamientos en el interior del modelo.

10.3 Cuñas reales

En el cinturón activo de pliegues y cabalgamientos del oeste de Taiwán, la pendiente superficial, el buzamiento del despegue y las presiones de poro son conocidos, a partir de la topografía, secciones sísmicas y pozos. Davis, Suppe y Dahlen los emplearon para resolver la ecuación del ahusamiento crítico para la resistencia de la cuña y hallaron $\mu = 1.03$ en el interior y $\mu_b = 0.85$ en la base: la fricción de Byerlee en la base, y una cuña más resistente que sus propias fallas, porque no todas están orientadas para deslizar con facilidad. Con estos dos coeficientes convirtieron los ahusamientos observados de otras cuñas activas, en tierra y bajo el mar, en razones de presión de poro, y las hallaron por encima de la hidrostática en todas partes, de acuerdo con las perforaciones. También hallaron dónde deja de funcionar la teoría: el ahusamiento cae bruscamente cuando las cuñas crecen más gruesas que unos $15\,\mathrm{km}$, profundidad a la que las rocas ricas en cuarzo se vuelven plásticas para las geotermas habituales, y la base ya no obedece una ley de fricción.

En el frente de los Alpes occidentales, el Jura es una cuña de cabalgamientos con un ángulo estrecho de solo 3 a $4{}^{\circ}$. Su despegue se encuentra sobre todo en capas con halita de edad triásica, y los fluidos allí no están sobrepresionados: la debilidad de la sal por sí sola explica el ahusamiento estrecho. Al sur del Jura, donde las capas triásicas no contienen halita, el mismo frente tiene un ahusamiento de 12 a $13{}^{\circ}$, con apilamientos de láminas de cabalgamiento, aunque las presiones de fluido medidas allí son altas. En los Alpes centrales, el análisis de ahusamiento crítico de la pendiente superficial da una resistencia basal $\mu_b(1 - \lambda_b)$ (con un pequeño término de cohesión) inferior a 0.1, e incluso 0.05 en evaporitas y lutitas cerca del frente, que aumenta hacia el interior de la cadena, con razones de presión de poro superiores a 0.54. La base de una cuña suele ser mucho más débil de lo que haría la ley de Byerlee, por su tipo de roca y por sus fluidos.

10.4 Flujo a través de una cuña

Una cuña en su ahusamiento crítico crece por acreción, a forma constante: su longitud y su altura aumentan a la vez. La erosión retira roca de su superficie. Cuando ambos se equilibran, la cuña conserva su tamaño y la roca la atraviesa.

Proposición 10.7 (Balance de flujo en estado estacionario)

Una cuña de anchura $W$ a lo largo de la dirección de transporte recibe, por unidad de longitud del cinturón, el flujo de acreción $F_a = v h$, donde $v$ es la tasa de convergencia y $h$ el espesor de la capa entrante sobre el despegue. Pierde el flujo erosivo $F_e = \bar e W$, donde $\bar e$ es la tasa media de erosión sobre su superficie. Su área de sección varía al ritmo $F_a - F_e$; en estado estacionario, $\bar e = vh/W$.

Con $v = 10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $h = 4\,\mathrm{km}$ y $W = 60\,\mathrm{km}$, la tasa de erosión necesaria para el estado estacionario es $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. La exhumación en el sentido del volumen de segundo año es la retirada de la roca situada encima de una roca dada: en estado estacionario, las rocas llegan a la superficie a la tasa con que la erosión la rebaja, y la cuña las eleva desde profundidades donde estaban calientes. Medir la rapidez requiere un reloj que arranque a una temperatura conocida.

10.5 Termocronología

Definición 10.8 (Termocronología, termocronómetro)

La termocronología es el uso de edades de enfriamiento radiométricas para datar el momento en que una roca pasó por una temperatura dada, y reconstruir así su historia térmica. Un termocronómetro es la pareja formada por un mineral y un método de datación junto con su temperatura de cierre: por ejemplo, el apatito con el método (U–Th)/He, o el circón con trazas de fisión.

La tabla siguiente ordena los principales termocronómetros por su temperatura de cierre; las profundidades suponen una temperatura superficial media de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un gradiente uniforme de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Una roca que se enfría al ser exhumada los atraviesa uno tras otro, y sus edades crecen desde los métodos de baja temperatura hasta los de alta temperatura. La física de las trazas de fisión y de la difusión de helio, que fija estas temperaturas, se expone en el Capítulo 13.

Estas profundidades son solo una primera aproximación, porque la erosión modifica la geoterma.

Proposición 10.9 (Geoterma en estado estacionario con erosión)

Sea una roca que asciende a velocidad constante $v$ a través de una capa de espesor $L$ cuya superficie ($z = 0$) se mantiene a $T_s$ y la base a $T_L$, sin producción de calor. La temperatura estacionaria es

$$T(z) = T_s + (T_L - T_s)\,\frac{1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L}}{1 - e^{-\mathrm{Pe}}}, \qquad \mathrm{Pe} = \frac{vL}{\kappa},$$

y el gradiente en la superficie es $\mathrm{Pe}/(1 - e^{-\mathrm{Pe}})$ veces el gradiente conductivo $(T_L - T_s)/L$.

Para $\mathrm{Pe} \ll 1$ el factor tiende a 1: domina la conducción y la geoterma sigue siendo recta. Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ a lo largo de $30\,\mathrm{km}$, con $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Pe} = 0.95$ y el gradiente superficial sube de 30 a $46\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$: las isotermas se apiñan hacia la superficie y cada termocronómetro cierra a menor profundidad.

Definición 10.10 (Relación edad–altitud)

La relación edad–altitud de un termocronómetro es la gráfica de las edades de enfriamiento de muestras recogidas en un intervalo de altitudes, normalmente a lo largo de una ladera empinada o de un perfil vertical, frente a sus altitudes.

Proposición 10.11 (Pendiente de la relación edad–altitud)

Sean rocas que ascienden verticalmente a velocidad constante $v$ bajo una topografía estacionaria, y sea la isoterma de cierre situada a la altitud $e(x) = e_0 + f\,h(x)$, donde $h(x)$ es la altitud de la superficie y $0 \le f < 1$. Una muestra recogida en la superficie a la altitud $h$ tiene la edad $t = (h - e)/v$, y la relación edad–altitud es una recta de pendiente

$$\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{v}{1 - f}.$$

Con una isoterma plana, $f = 0$ y la pendiente es la tasa de exhumación.

Las isotermas no son horizontales bajo un relieve: la superficie es más fría en los picos que en los valles, por el gradiente atmosférico, pero mucho menos de lo que lo estaría la roca a esa misma altitud bajo tierra, y las isotermas someras siguen la topografía de forma atenuada. Para una topografía sinusoidal de longitud de onda $\Lambda$ y un gradiente atmosférico $\Gamma$, una solución de primer orden de la ecuación estacionaria da

donde $z_c$ es la profundidad de la isoterma de cierre bajo la superficie media, $G_0$ el gradiente superficial y $G(z_c)$ el gradiente en $z_c$ (admitido; el script lo comprueba). La perturbación se atenúa con la profundidad a lo largo de la distancia $1/m$, como máximo $\Lambda/2\pi$: los termocronómetros de baja temperatura, que cierran en niveles someros, son los que más acusan el relieve. La figura anterior muestra el efecto para el (U–Th)/He en apatito.

Un perfil edad–altitud mide la tasa de exhumación solo donde la isoterma de cierre es horizontal bajo el relieve. En otro caso la sobreestima, en el factor $1/(1 - f)$, que alcanza dos o más para el (U–Th)/He en apatito en un relieve de $20\,\mathrm{km}$ de longitud de onda. Las edades de varios termocronómetros sobre las mismas muestras, y los modelos térmicos del relieve, permiten corregirlo.

10.6 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Calcúlense $K$ y la razón $\sigma'_1/\sigma'_3$ en la rotura de una cuña con $\phi = 30{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$\sin30{}^{\circ} = 0.5$: $K = 2\times0.5/0.5 = 2$ y $\sigma'_1/\sigma'_3 = 1 + K = 3$.

Ejercicio 10.2 ★

Una cuña de arena seca ($\lambda = \lambda_b = 0$) tiene $\mu = 0.6$ en su interior y $\mu_b = 0.3$ en su base. Calcúlese su pendiente superficial crítica sobre una base horizontal y luego sobre una base que buza $3{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

$\phi = \arctan0.6 = 31.0{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.514$, $K = 2.12$. En una base horizontal, $\alpha = 0.3/3.12 = 0.0962\,\mathrm{rad} = 5.5{}^{\circ}$. En una base que buza $3{}^{\circ} = 0.0524\,\mathrm{rad}$, $\alpha + \beta = 0.352/3.12 = 0.113\,\mathrm{rad} = 6.5{}^{\circ}$, así que $\alpha = 3.5{}^{\circ}$.

Ejercicio 10.3 ★

Con una superficie a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y un gradiente de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, compruébense las profundidades de la tabla de temperaturas de cierre para apatito, (U–Th)/He, traza de fisión en apatito y traza de fisión en circón. ¿Qué termocronómetro usaría para datar la exhumación desde $5\,\mathrm{km}$?

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

Profundidad $= (T - 10)/30$: apatito (U–Th)/He, de 1.3 a $2.3\,\mathrm{km}$; traza de fisión en apatito, de 2.7 a $3.7\,\mathrm{km}$; traza de fisión en circón $270/30 = 9.0\,\mathrm{km}$. A $5\,\mathrm{km}$, la roca estaba a $10 + 150 = 160\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: circón (U–Th)/He, que cierra de 160 a $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, a profundidades de 5.0 a $6.3\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 10.4 ★

Una rampa de $2\,\mathrm{km}$ de altura buza $30{}^{\circ}$. Calcúlense su longitud horizontal y su longitud a lo largo del buzamiento. ¿Cuánto se eleva un estrato del bloque superior una vez que ha cruzado toda la rampa, y qué desplazamiento lleva el corte del estrato más bajo desde el pie de la rampa hasta el rellano superior?

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

Longitud horizontal $2/\tan30{}^{\circ} = 3.46\,\mathrm{km}$; a lo largo del buzamiento $2/\sin30{}^{\circ} = 4.0\,\mathrm{km}$. El estrato se eleva en la altura de la rampa, $2\,\mathrm{km}$. La línea de corte debe recorrer toda la rampa: un desplazamiento de $4.0\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 10.5 ★★

Con los coeficientes de Taiwán, calcúlese la pendiente superficial crítica sobre una base que buza $6{}^{\circ}$ para $\lambda = \lambda_b = 0.4$ y $0.9$. ¿Qué efecto tiene un aumento de la presión de fluidos sobre una cuña que estaba en su ahusamiento crítico?

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

$\phi = \arctan1.03 = 45.8{}^{\circ}$, $K = 5.08$; $\beta = 0.105\,\mathrm{rad}$. Para $\lambda = 0.4$: $\alpha + \beta = (0.105 + 0.85\times0.6)/(1 + 5.08\times0.6) = 0.615/4.05 = 0.152\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 2.7{}^{\circ}$. Para $\lambda = 0.9$: $0.190/1.51 = 0.126\,\mathrm{rad} = 7.2{}^{\circ}$, $\alpha = 1.2{}^{\circ}$. El aumento de la presión de fluidos reduce el ahusamiento crítico: la cuña se vuelve supercrítica, se desliza hacia delante sobre su base sin engrosarse, y su frente avanza hasta que la acreción y la erosión la devuelven al nuevo ahusamiento.

Ejercicio 10.6 ★★

Un pliegue de flexión de falla se sitúa sobre una rampa de $1.5\,\mathrm{km}$ de altura; un estrato sobre el rellano superior muestra un área en exceso de $6.0\,\mathrm{km}^{2}$. Calcúlese el desplazamiento. Un colega interpreta el mismo pliegue como un pliegue de despegue, con el estrato a $3.0\,\mathrm{km}$ por encima del despegue. ¿Qué acortamiento encontraría?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

$S = A/r = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$. Si se interpreta como pliegue de despegue, $S = A/h = 6.0/3.0 = 2.0\,\mathrm{km}$: la mitad del valor real. Las dos interpretaciones deben distinguirse mediante la forma del pliegue y la presencia de una rampa.

Ejercicio 10.7 ★★

Tómese $\mu = 0.6$ en el interior de la cuña del Jura (ahusamiento $3.5{}^{\circ}$) y en la cuña situada al sur (ahusamiento $12.5{}^{\circ}$), un $\lambda = 0.4$ hidrostático en el interior de ambas, y un buzamiento basal de $2{}^{\circ}$ para ambas. Calcúlese la resistencia basal $\mu_b(1 - \lambda_b)$ que exige cada ahusamiento, y compárese con el $0.85$ de Byerlee a presión hidrostática. ¿Es coherente el resultado con el despegue en halita bajo el Jura?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

$K = 2.12$ y $1 + K(1 - 0.4) = 2.27$. La ecuación da $\mu_b(1 - \lambda_b) = (\alpha + \beta)\times2.27 - \beta$, con $\beta = 0.0349\,\mathrm{rad}$. Jura: $0.0611\times2.27 - 0.0349 = 0.10$. Sur: $0.218\times2.27 - 0.0349 = 0.46$. Byerlee a presión hidrostática: $0.85\times0.6 = 0.51$. La base del sur está cerca de la de Byerlee; la base del Jura es casi cinco veces más débil, como cabe esperar de un despegue en halita, cuya fricción es baja, bajo fluidos que no están sobrepresurizados.

Ejercicio 10.8 ★★

La roca asciende a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ a través de una capa de $30\,\mathrm{km}$ de espesor, desde $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en su base hasta $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie, con $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Calcúlese el número de Péclet, el gradiente superficial y la profundidad de la isoterma de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Compárese con la profundidad sin erosión.

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

$\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} = 31.6\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, y $v = 1\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 30/31.6 = 0.951$. El factor $0.951/(1 - e^{-0.951}) = 1.55$ eleva el gradiente de 30 a $46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. Para $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.951}) = 0.0375$, así que $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0382$ y $z = 1.21\,\mathrm{km}$, frente a $55/30 = 1.83\,\mathrm{km}$ sin erosión.

Ejercicio 10.9 ★★

Dos muestras de la misma ladera, a 1200 y $2000\,\mathrm{m}$, tienen edades de apatito (U–Th)/He de 3.4 y $4.6\,\mathrm{Myr}$. Calcúlese la tasa de exhumación aparente. Un modelo térmico del relieve da $f = 0.5$: ¿cuál es la tasa real?

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

$\mathrm dh/\mathrm dt = 0.8\,\mathrm{km}/1.2\,\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Con $f = 0.5$, $v = 0.67\times(1 - 0.5) = 0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Ejercicio 10.10 ★★★

Demuéstrese que, para $\lambda = \lambda_b$, la pendiente superficial crítica se anula en un buzamiento basal $\beta^* = \mu_b/K$ que no depende de $\lambda$. Calcúlese para Taiwán. ¿Qué le ocurre a una cuña cuya base buza más fuertemente?

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Con $\alpha = 0$ y $u = 1 - \lambda$: $\beta(1 + Ku) = \beta + \mu_b u$, así que $\beta Ku = \mu_b u$ y $\beta^* = \mu_b/K$, sea cual sea $u$. Para Taiwán, $0.85/5.08 = 0.167\,\mathrm{rad} = 9.6{}^{\circ}$. Sobre una base más empinada, la pendiente crítica de la superficie es negativa: cualquier cuña con una superficie horizontal o inclinada hacia el antepaís ya es supercrítica, y se desliza sobre su base sin engrosarse. Un cinturón de cabalgamientos no puede adquirir allí su forma normal.

Ejercicio 10.11 ★★★

Demuéstrese que, para una longitud de onda muy larga y una exhumación muy lenta, $f$ tiende a $1 - \Gamma/G$, donde $G$ es el gradiente uniforme; evalúese para $G = 30\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ y $\Gamma = 6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$. ¿Cuál es entonces la pendiente de la relación edad–altitud? Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y los valores del ejercicio 8 ($z_c = 1.21\,\mathrm{km}$, $G_0 = 46.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$, $G(z_c) = 44.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$), calcúlese $f$ para longitudes de onda de 5 y $20\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

Cuando $\Lambda \to \infty$ y $v \to 0$, $m \to 0$, así que $e^{-mz_c} \to 1$, y la geoterma es recta, $G_0 = G(z_c) = G$: $f \to (G - \Gamma)/G = 1 - \Gamma/G = 1 - 6.5/30 = 0.78$. La pendiente es entonces $v/(1 - f) = vG/\Gamma = 4.6v$. Para $v = 1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, $v/2\kappa = 0.0158\,\mathrm{km}^{-1}$. A $5\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + \sqrt{0.0158^2 + 1.257^2} = 1.273\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-1.273\times1.21} = 0.215$, $f = 40.0\times0.215/44.7 = 0.19$. A $20\,\mathrm{km}$: $m = 0.0158 + 0.3146 = 0.330\,\mathrm{km}^{-1}$, $e^{-0.399} = 0.671$, $f = 40.0\times0.671/44.7 = 0.60$.

Ejercicio 10.12 ★★★

Una cuña crece con su ahusamiento crítico $\alpha + \beta$ por acreción frontal exclusivamente, sin erosión, a partir del flujo $F_a$. Demuéstrese que su anchura crece como $W = \sqrt{2F_at/\tan(\alpha + \beta)}$. Con $F_a = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$ y un ahusamiento de $6{}^{\circ}$, ¿qué anchura tiene tras $2\,\mathrm{Myr}$, y cuánto tarda en alcanzar $60\,\mathrm{km}$?

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

La sección es un triángulo de base $W$ y altura $W\tan(\alpha + \beta)$: $A = W^2\tan(\alpha + \beta)/2$. Con $\mathrm dA/\mathrm dt = F_a$ y $A = 0$ en $t = 0$, $A = F_at$, lo que da $W$. Con $\tan6{}^{\circ} = 0.105$: $W = \sqrt{2\times40\times2/0.105} = 39\,\mathrm{km}$ tras $2\,\mathrm{Myr}$; $t = 60^2\times0.105/(2\times40) = 4.7\,\mathrm{Myr}$ para alcanzar $60\,\mathrm{km}$.

10.7 Problema: el frente de la cuña Kestrel

Problema 10.1

Problema de fin de semana — el acortamiento, la mecánica, el flujo y la exhumación de una cuña de cabalgamiento inventada

La cordillera Kestrel es el frente inventado de una cadena montañosa, un cinturón de pliegues y cabalgamientos subaéreo de $60\,\mathrm{km}$ de anchura, empujado a $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ sobre un antepaís cuya capa sedimentaria tiene $4.0\,\mathrm{km}$ de espesor sobre una lutita despegue. Su cabalgamiento frontal sigue el despegue, a $4.5\,\mathrm{km}$ por debajo de la superficie, asciende por una rampa con buzamiento de $25{}^{\circ}$ y discurre a lo largo de un rellano superior a $1.5\,\mathrm{km}$ de profundidad. En el frente, la superficie se sitúa $0.3\,\mathrm{km}$ por encima del nivel del mar, y el despegue, $4.0\,\mathrm{km}$ por debajo de ella; $60\,\mathrm{km}$ detrás del frente, la superficie se halla a $2.4\,\mathrm{km}$ y el despegue queda $8.2\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar. Se adoptan, como en Taiwán, $\mu = 1.03$ y $\mu_b = 0.85$, una densidad de la roca de $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, agua a $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Parte I — Geometría de los cabalgamientos.

1. Calcúlense la altura de la rampa, su longitud horizontal y su longitud a lo largo del buzamiento.
2. ¿En cuánto se ha elevado un estrato del bloque superior una vez que ha atravesado toda la rampa?
3. Por encima de la rampa, un estrato situado sobre el rellano superior muestra un exceso de área de $16.5\,\mathrm{km}^{2}$ sobre su nivel regional. Calcúlese el desplazamiento.
4. ¿Qué exceso de área cabe predecir para un estrato más somero? Si el pliegue se hubiera interpretado como un pliegue de despegue sobre el despegue, con el estrato a $4.0\,\mathrm{km}$ por encima, ¿qué acortamiento se habría hallado?
5. Detrás de la rampa, una sección sísmica muestra un dúplex de cuatro escamas tectónicas, cada una ahora de $2.5\,\mathrm{km}$ de longitud a lo largo del cabalgamiento basal, recortadas de láminas de $6.0\,\mathrm{km}$ de longitud. Calcúlese el acortamiento absorbido por las escamas y compárese con el desplazamiento en la rampa frontal.
6. Las escamas se formaron en secuencia. ¿Cuál es la más joven y por qué está plegado el cabalgamiento de techo?

Parte II — El ahusamiento.

7. Calcúlense la pendiente superficial $\alpha$, el buzamiento basal $\beta$ y el ahusamiento.
8. Calcúlese el espesor de la cuña a $60\,\mathrm{km}$ detrás del frente. ¿Puede emplearse la teoría de la cuña de Coulomb?
9. Calcúlese $K$. ¿Qué pendiente superficial tendría una cuña seca sobre esta base?
10. ¿Qué pendiente superficial tendría con presión hidrostática del fluido en la cuña y en su base? ¿Es la cuña compatible con ella?
11. Resuélvase la ecuación del ahusamiento crítico para $\lambda = \lambda_b$.
12. Calcúlense el esfuerzo vertical, la presión del fluido y la presión hidrostática en la base de la cuña a $60\,\mathrm{km}$ detrás del frente.
13. El drenaje reduce $\lambda$ a 0.7. Calcúlese la nueva pendiente superficial crítica. ¿Cómo responde la cuña?

Parte III — El flujo.

14. Calcúlese el flujo de acreción por kilómetro de cinturón.
15. ¿Qué tasa media de erosión mantiene la cuña en estado estacionario?
16. Calcúlese el volumen y la masa de roca erosionada por año en $100\,\mathrm{km}$ del cinturón.
17. Si cesara la erosión, ¿con qué rapidez se ensancharía la cuña al principio?
18. Si la mitad de la capa entrante se subplacara bajo la parte posterior de la cuña en lugar de acrecerse en su frente, ¿cambiaría la tasa media de erosión en estado estacionario? ¿Dónde se concentraría la erosión?

Parte IV — El reloj. Considérese la capa de $30\,\mathrm{km}$ de espesor, con $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie media ($2.0\,\mathrm{km}$ por encima del nivel del mar) y $910\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en su base, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, una temperatura de cierre de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para el apatito (U–Th)/He, un gradiente térmico con la altitud de $6.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$ y un relieve de longitud de onda de $20\,\mathrm{km}$. Cinco muestras recogidas en una ladera de valle dan:

altitud ($\mathrm{km}$)	1.30	1.65	2.00	2.35	2.70
edad (U–Th)/He del apatito ($\mathrm{Myr}$)	1.60	1.83	2.07	2.30	2.54

19. Tomando la tasa de erosión de la pregunta 15 como tasa de exhumación, calcúlese el número de Péclet térmico y el gradiente superficial.
20. Calcúlese la profundidad de la isoterma de cierre bajo la superficie media y el gradiente allí.
21. Con una isoterma de cierre plana, ¿qué edad tendría una muestra a la altitud media? Compárese con los datos.
22. Calcúlense $m$ y el factor de deflexión $f$.
23. Ajústese una recta a los datos de edad–altitud. ¿Qué tasa aparente de exhumación proporciona su pendiente?
24. Corríjase por la deflexión de la isoterma.
25. Compárese con la parte III y obténgase la tasa de exhumación de la cuña Kestrel.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{km}$ de altura; $3.0/\tan25{}^{\circ} = 6.43\,\mathrm{km}$ de longitud horizontal; $3.0/\sin25{}^{\circ} = 7.10\,\mathrm{km}$ a lo largo del buzamiento.

2. Por la altura de la rampa, $3.0\,\mathrm{km}$.

3. $S = A/r = 16.5/3.0 = 5.5\,\mathrm{km}$.

4. Lo mismo, $16.5\,\mathrm{km}^{2}$: en un pliegue de flexión de falla el exceso de área de cada estrato sobre el rellano superior es $Sr$. Como pliegue de despegue, $16.5/4.0 = 4.1\,\mathrm{km}$: un cuarto menos de lo que corresponde.

5. $4\times(6.0 - 2.5) = 14.0\,\mathrm{km}$, dos veces y media la $5.5\,\mathrm{km}$ de desplazamiento en la rampa frontal.

6. El caballo frontal, el más cercano al antepaís: cada rampa nueva se forma en el bloque inferior, por delante de la anterior. Cada caballo, elevado por su rampa, eleva el cabalgamiento de techo y la cobertera situada encima, como un pliegue de flexión de falla eleva su bloque superior, de modo que el techo se pliega sobre el apilamiento.

7. $\alpha = \arctan(2.1/60) = 2.00{}^{\circ}$; $\beta = \arctan(4.2/60) = 4.00{}^{\circ}$; ahusamiento $6.0{}^{\circ}$.

8. $2.4 + 8.2 = 10.6\,\mathrm{km}$, menos de unos $15\,\mathrm{km}$: la base sigue siendo friccional, y se aplica la teoría de Coulomb.

9. $\phi = 45.8{}^{\circ}$, $\sin\phi = 0.717$, $K = 5.08$. En seco: $\alpha + \beta = (0.0699 + 0.85)/6.08 = 0.151\,\mathrm{rad} = 8.7{}^{\circ}$, $\alpha = 4.7{}^{\circ}$.

10. $\lambda = 1000/2500 = 0.40$: $(0.0699 + 0.51)/4.05 = 0.143\,\mathrm{rad} = 8.2{}^{\circ}$, $\alpha = 4.2{}^{\circ}$. El valor observado $2.0{}^{\circ}$ haría que la cuña fuera fuertemente subcrítica, engrosándose en lugar de avanzar: los fluidos deben estar sobrepresurizados.

11. Con $T = 0.1049\,\mathrm{rad}$ y $u = 1 - \lambda$, $T(1 + Ku) = \beta + \mu_bu$ da $u = (\beta - T)/(TK - \mu_b) = (0.0699 - 0.1049)/(0.5327 - 0.85) = 0.110$: $\lambda = 0.89$.

12. $\sigma_v = 2500\times9.81\times10\,600 = 260\,\mathrm{MPa}$; $P = 0.89\times260 = 231\,\mathrm{MPa}$; hidrostática $1000\times9.81\times10\,600 = 104\,\mathrm{MPa}$. Los fluidos soportan $127\,\mathrm{MPa}$ más de lo que soportaría una columna de agua.

13. $(0.0699 + 0.85\times0.3)/(1 + 5.08\times0.3) = 0.325/2.52 = 0.129\,\mathrm{rad} = 7.4{}^{\circ}$, $\alpha = 3.4{}^{\circ}$. La cuña, con $2.0{}^{\circ}$, es ahora subcrítica: deja de avanzar y se engrosa mediante cabalgamientos fuera de secuencia detrás de su frente hasta que la pendiente de su superficie alcance $3.4{}^{\circ}$.

14. $F_a = 10\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}\times4.0\,\mathrm{km} = 40\,\mathrm{km}^{2}/\mathrm{Myr}$, es decir, $4.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$ por kilómetro de cinturón.

15. $\bar e = 40/60 = 0.67\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr} = 0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

16. $40\times100 = 4000\,\mathrm{km}^{3}/\mathrm{Myr} = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{yr}$, o $1.0 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ (10 millones de toneladas al año).

17. $\mathrm dW/\mathrm dt = F_a/(W\tan(\alpha + \beta)) = 40/(60\times0.105) = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$.

18. No: en estado estacionario la erosión debe seguir eliminando todo el flujo entrante, de modo que la tasa media se mantiene en $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Pero la roca añadida bajo la retaguardia se eleva allí: la erosión y la exhumación serían más rápidas sobre la retaguardia, donde se encontrarían las edades de enfriamiento más jóvenes.

19. $v = 0.667\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: $\mathrm{Pe} = 0.667\times30/31.6 = 0.634$; $G_0 = 30\times0.634/(1 - e^{-0.634}) = 30\times1.35 = 40.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

20. $1 - e^{-\mathrm{Pe}\,z/L} = (55/900)(1 - e^{-0.634}) = 0.0287$, luego $\mathrm{Pe}\,z/L = 0.0291$ y $z_c = 1.38\,\mathrm{km}$; $G(z_c) = 40.5\,e^{-0.0291} = 39.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{km}$.

21. $1.38/0.667 = 2.07\,\mathrm{Myr}$, la edad de la muestra a $2.00\,\mathrm{km}$: a la altitud media la deflexión de la isoterma es nula.

22. $v/2\kappa = 0.667/63.1 = 0.0106\,\mathrm{km}^{-1}$, $2\pi/\Lambda = 0.314\,\mathrm{km}^{-1}$: $m = 0.0106 + 0.3143 = 0.325\,\mathrm{km}^{-1}$; $e^{-0.325\times1.38} = 0.639$; $f = (40.5 - 6.5)\times0.639/39.3 = 0.552$.

23. La altitud media es $2.00\,\mathrm{km}$ y la edad media $2.068\,\mathrm{Myr}$; $\sum\Delta t\,\Delta h = 0.823$ y $\sum\Delta t^2 = 0.552$, por tanto la pendiente es $1.49\,\mathrm{km}/\mathrm{Myr}$: una tasa aparente de $1.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

24. $v = 1.49\times(1 - 0.552) = 0.667\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

25. El termocronómetro y el balance de flujo concuerdan: la cuña está en estado estacionario, y tomar la pendiente aparente tal cual habría sobrestimado la tasa más del doble. La tasa de exhumación de la cuña Kestrel es $0.67\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.