22Modelos climáticos

Se toma la radiación solar que llega a la Tierra, $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ promediada sobre el globo y una ley para el infrarrojo que devuelve al espacio, ajustada a treinta años de un reanálisis de las observaciones. El albedo del planeta crece desde el de suelo desnudo y mar hasta el del hielo a medida que la superficie se enfría. Se igualan los dos flujos, y la ecuación tiene tres soluciones: un planeta a $14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cercana a la media del planeta real; un planeta a $8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; y un planeta a $-46\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, congelado de polo a polo. Los modelos climáticos, desde estas pocas líneas hasta los programas que se ejecutan en las computadoras más grandes, son herramientas para preguntar qué clima tiene un planeta dado, cómo llega a él y cómo cambia cuando se perturba su balance energético.

Lo que ya sabes

El cuerpo negro, la ley de Stefan–Boltzmann, el efecto invernadero y el modelo de una capa de la atmósfera están en los libros de física; el albedo y el balance energético de la Tierra, en los libros escolares. La radiación de onda larga saliente, la temperatura de emisión y el transporte meridional de calor están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre radiación y transporte de calor. La retroalimentación hielo–albedo y la Tierra bola de nieve están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre la Tierra precámbrica; el forzamiento radiativo efectivo, el parámetro de retroalimentación climática $\lambda < 0$, la sensibilidad climática de equilibrio (ECS, por sus siglas en inglés) y la respuesta climática transitoria (TCR, por sus siglas en inglés) en su capítulo sobre el cambio climático antropogénico; la predicción numérica del tiempo y la predicción por conjuntos en su capítulo sobre sistemas meteorológicos. Las ecuaciones de movimiento en la Tierra en rotación, con la aproximación hidrostática, están en el capítulo 19.

22.1 El balance energético de un planeta

Promediado sobre la esfera y sobre un año, cada metro cuadrado en el tope de la atmósfera recibe $Q = S_0/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, una cuarta parte de la irradiancia solar $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Una fracción $\alpha$, el albedo planetario, se refleja; el resto, $Q(1 - \alpha)$, se absorbe y debe devolverse al espacio como infrarrojo. Un cuerpo negro emitiría $\sigma T^4$; la radiación de onda larga saliente de la Tierra (OLR, por sus siglas en inglés) es menor, debido al efecto invernadero, y en el intervalo de temperaturas superficiales que se encuentran en la Tierra es casi una línea recta,

con $T$ la temperatura superficial en grados Celsius. En 1969 Budyko ajustó una ley de este tipo a la radiación saliente calculada en 260 estaciones, con una corrección por nubosidad $n$: $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$ y $b_1 = 0.10$ en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mes, con una dispersión inferior a $5\,\%$. Para una nubosidad media de 0.5 se obtiene $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Las medias zonales anuales de la NCEP–NCAR Reanalysis 1 para 1991–2020, ponderadas por área, dan $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, con una dispersión de $10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ alrededor de la recta. Estos valores se emplean a continuación.

Definición 22.1 (Modelo de balance energético)

Un modelo de balance energético es un modelo climático que calcula una temperatura superficial — una única media global, o una media sobre cada latitud — a partir del balance de la radiación solar absorbida, la radiación infrarroja emitida al espacio y, si la temperatura depende de la latitud, el calor transportado hacia los polos. En su forma de dimensión cero,

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = Q\big(1 - \alpha(T)\big) - (A + BT) ,$$

donde $C$ es la capacidad calorífica por unidad de área de la parte del sistema que se calienta junto con la superficie.

Con $\alpha = 0.30$, el equilibrio es $T = (238 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; la media ponderada por área del reanálisis es $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un forzamiento $F$, como el de un cambio del dióxido de carbono, se suma al miembro derecho. Cerca de un equilibrio la respuesta está gobernada por el parámetro de retroalimentación climática $\lambda$ del volumen de segundo año: con el albedo fijo, $\lambda = -B$.

Teorema 22.2 (Tiempo de respuesta de un clima de una sola caja)

Sea un clima en equilibrio, y sea un forzamiento constante $F$ que se active en $t = 0$. Si la desviación $T'$ respecto del equilibrio obedece $C\,\mathrm dT'/\mathrm dt = F + \lambda T'$ con $C > 0$ y $\lambda < 0$ constantes, entonces

$$T'(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - \mathrm e^{-t/\tau}\Big), \qquad \tau = -\frac{C}{\lambda} .$$

El nuevo equilibrio es $-F/\lambda$, y el clima recorre la fracción $1 - \mathrm e^{-1} = 0.63$ del camino en el tiempo $\tau$.

La capacidad calorífica que importa en unos pocos años es la del océano superior. El emulador de dos capas del sexto informe de evaluación del Grupo Intergubernamental de Expertos sobre el Cambio Climático, calibrado con 44 modelos climáticos, proporciona para la capa superficial $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, la capacidad calorífica de una capa de agua de mar de $62\,\mathrm{m}$ de profundidad. Con $\lambda = -B$ el tiempo de respuesta es $8.1/1.816 = 4.5\text{ años}$. El clima real también calienta el océano profundo, mucho más lentamente; la sección 22.4 lo incorpora.

22.2 Hielo, albedo y equilibrios múltiples

La retroalimentación hielo–albedo del volumen de segundo año hace que el albedo dependa de la temperatura. Se toma $\alpha = 0.62$ para un planeta cuya superficie esté por debajo de $T_I = -10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, el albedo del hielo en el modelo de Budyko, $\alpha = 0.30$ por encima de $T_F = +10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y una recta entre ambos valores, a medida que el hielo retrocede. La rampa es una elección de este capítulo; cualquier albedo que aumente a medida que el planeta se enfría produce el mismo cuadro.

Definición 22.3 (Equilibrios climáticos múltiples; bifurcación silla-nodo)

Un modelo climático tiene equilibrios climáticos múltiples cuando, para las mismas condiciones externas, tiene más de un estado estacionario. Un equilibrio es estable si una pequeña desviación respecto de él decae, e inestable si crece. Una bifurcación silla-nodo es el valor de un parámetro en el que un equilibrio estable y uno inestable se encuentran y desaparecen juntos.

Proposición 22.4 (Tres equilibrios y su estabilidad)

Se escribe $N(T) = Q(1 - \alpha(T)) - (A + BT)$ para el flujo neto descendente. Un equilibrio $T^*$, $N(T^*) = 0$, es estable si $N'(T^*) < 0$ e inestable si $N'(T^*) > 0$. Con la rampa anterior, $N' = -B$ en las ramas de bola de nieve y sin hielo, que son estables allí donde existen, y $N' = -B - Q\,\mathrm d\alpha/\mathrm dT$ en la rampa, que es inestable cuando $Q\, |\mathrm d\alpha/\mathrm dT| > B$. Para $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ el modelo tiene tres equilibrios, $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (estable), $7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (inestable) y $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (estable).

A medida que $Q$ disminuye, el equilibrio cálido se enfría y el equilibrio de la rampa se calienta. Se encuentran en lo alto de la rampa, $T = T_F$, donde $Q(1 - 0.30) = A + 10B$: $Q = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, lo que da una constante solar de $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ por debajo de la de hoy. Se trata de una bifurcación silla-nodo: por debajo de ella el único equilibrio es la bola de nieve, y el clima cae en ella. Volver a elevar la radiación solar no devuelve el planeta cálido: la rama de bola de nieve termina solo donde su temperatura alcanza $T_I$, $Q(1 - 0.62) = A - 10B$, con una constante solar de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ por encima de la de hoy. Entre ambas, el estado del planeta depende de su historia: el modelo presenta histéresis. En el Neoproterozoico real, la salida de la bola de nieve del volumen de segundo año no fue un Sol más brillante, sino el dióxido de carbono de los volcanes, acumulado durante millones de años hasta que el forzamiento de efecto invernadero alcanzó el umbral de deglaciación; la línea de hielo retrocedió entonces hasta los polos en unos pocos miles de años.

22.3 El modelo de Budyko–Sellers

Una única temperatura no tiene línea de hielo. En 1969 Budyko dejó que la temperatura dependiera de la latitud y se preguntó hasta qué punto una reducción de la luz solar empujaría el hielo hacia el ecuador.

Definición 22.5 (Modelo de Budyko–Sellers)

Un modelo de Budyko–Sellers es un modelo de balance energético en el que la temperatura media anual $T(x)$ depende de $x = \sin\varphi$, siendo $\varphi$ la latitud, y los hemisferios simétricos. En cada latitud

$$C\,\frac{\partial T}{\partial t} = Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - (A + BT) - D(x) ,$$

donde $s(x)$ es la insolación anual de la latitud dividida por su media global, $D(x)$ la divergencia del transporte de calor hacia los polos, y el albedo adopta su valor de hielo hacia los polos de la línea de hielo $x_s$, donde $T$ cae por debajo de una temperatura crítica $T_c$. Budyko escribió $D = \beta(T - \bar T)$, una relajación hacia la media global $\bar T$; en la forma difusiva, $D = -\mathcal D\,\partial_x\big[(1 - x^2)\,\partial_xT\big]$.

El factor $x = \sin\varphi$ se elige porque intervalos iguales de $x$ encierran áreas iguales de la esfera, de modo que una media global es $\int_0^1\cdot\,\mathrm dx$. Budyko halló $\beta = 0.235\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mes y por grado, $3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, a partir de la distribución observada de la temperatura con la latitud. Fijó el albedo en 0.62 sobre el hielo y en 0.50 en su borde, donde el hielo se rompe, y tomó el borde actual del hielo a una latitud media de $72{}^{\circ}$ N; la temperatura crítica es la que sitúa el borde allí.

Proposición 22.6 (La línea de hielo del modelo de Budyko)

Sea $F(x_s) = \int_0^{x_s}s\,\mathrm dx$ la fracción de la luz solar que cae al ecuador de la línea de hielo, y $\bar\alpha = \alpha_FF + \alpha_I(1 - F)$ el albedo medio ponderado por la luz solar. En un estado estacionario del modelo de Budyko,

$$B\bar T = Q(1 - \bar\alpha) - A, \qquad T(x) = \frac{Qs(x)\big(1 - \alpha(x)\big) - A + \beta\bar T}{B + \beta} ,$$

y una línea de hielo en $x_s$, donde $T = T_c$ con el albedo de borde $\alpha_e$, requiere

$$Q(x_s) = \frac{(B + \beta)T_c + A(1 + \beta/B)}{s(x_s)(1 - \alpha_e) + (\beta/B)\big(1 - \bar\alpha(x_s)\big)} .$$

Una línea de hielo es estable donde $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$ e inestable donde $\mathrm dQ/\mathrm dx_s < 0$.

Su significado es el del modelo de dimensión cero: a lo largo de una rama estable un poco más de insolación empuja la línea de hielo hacia el polo. La temperatura a la que se sitúa hoy el borde fija $T_c = -12.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; el reanálisis da $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $72{}^{\circ}$, la media de los dos hemisferios. El perfil del modelo que sigue es más frío que el observado en los trópicos y mucho más cálido cerca de los polos: un único coeficiente $\beta$ no puede ajustar el perfil completo. Su media global, $12.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y su temperatura en el ecuador, $22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, están cerca de las observadas $14.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $25.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

La rama estable tiene un mínimo. Con estos valores se sitúa en $47.7{}^{\circ}$, para $Q/Q_0 = 0.9713$: una caída de $2.87\,\%$ en la luz solar lleva el hielo a las latitudes medias, y cualquier caída adicional lo envía al ecuador. Budyko halló un umbral menor con sus propios coeficientes: una caída de $1.6\,\%$ llevó su hielo a una latitud media de unos $50{}^{\circ}$, tras lo cual avanzó por sí solo hasta el ecuador y la temperatura media descendió varias decenas de grados bajo cero. El ajuste de la OLR y de los albedos desplaza el número; la forma de la curva, su mínimo y la fuga descontrolada más allá de él no. La forma difusiva del modelo, resuelta con polinomios de Legendre en $x$, da la misma forma (ejercicio 22.10 trata un planeta sin hielo).

22.4 Modelos de dos capas

El tiempo de respuesta del modelo de una caja, de unos pocos años, es el de la capa superior del océano. Por debajo, el océano profundo absorbe calor durante siglos, y mientras lo hace, la superficie permanece más fría que su equilibrio.

Definición 22.7 (Modelo de balance energético de dos capas)

Un modelo de balance energético de dos capas representa el clima mediante una capa superficial con anomalía de temperatura $T$ y capacidad calorífica $C$, y un océano profundo con anomalía de temperatura $T_d$ y capacidad calorífica $C_d$, acoplados por un coeficiente de intercambio de calor $\gamma > 0$:

$$C\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = F + \lambda T - \gamma(T - T_d), \qquad C_d\,\frac{\mathrm dT_d}{\mathrm dt} = \gamma(T - T_d) .$$

Teorema 22.8 (Respuestas rápidas y lentas)

Sean $\lambda < 0$, $\gamma > 0$, $C, C_d > 0$, y sea un forzamiento constante $F$ que arranca en $t = 0$ desde el equilibrio. Entonces

$$T(t) = -\frac{F}{\lambda}\Big(1 - a_f\,\mathrm e^{-t/\tau_f} - a_s\,\mathrm e^{-t/\tau_s}\Big), \qquad a_f + a_s = 1 ,$$

donde $1/\tau_f$ y $1/\tau_s$ son las raíces de $r^2 - \big((\gamma - \lambda)/C + \gamma/C_d\big)r - \lambda\gamma/(CC_d) = 0$. Cuando $C \ll C_d$,

$$\tau_f \approx \frac{C}{\gamma - \lambda}, \qquad \tau_s \approx \frac{C_d(\gamma - \lambda)}{-\lambda\gamma}, \qquad a_f \approx \frac{-\lambda}{\gamma - \lambda} .$$

El emulador de la evaluación, calibrado con 44 modelos, tiene $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $C_d = 110\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ y $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$; su parámetro de retroalimentación se toma en torno a $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Estos valores dan $\tau_f = 4.1\text{ años}$ y $\tau_s = 262\text{ años}$, con $a_f = 0.67$: $62\,\%$ del calentamiento se produce en una década, y la mayor parte del resto se da a lo largo de siglos. El emulador también multiplica el intercambio de calor de la primera ecuación por una eficacia $\varepsilon = 1.34$, lo que ralentiza aún más la superficie; aquí se toma igual a 1.

El modelo proporciona las dos sensibilidades del volumen de segundo año. Su ECS es $-F_{2\times}/\lambda = 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Durante una rampa de décadas de duración, el océano profundo, con su escala temporal de siglos, apenas se ha calentado, y la superficie está cerca del equilibrio rápido $T \approx F/(\gamma - \lambda)$: el TCR es aproximadamente $3.93/1.95 = 2.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, frente a $1.99\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la integración. Con la eficacia, $\gamma$ se sustituye por $\kappa = \varepsilon\gamma = 0.84\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, y $\text{TCR} = F_{2\times}/(\kappa - \lambda) = 1.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la mejor estimación evaluada por el informe, que también evalúa una ECS de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, probable entre 2.5 y $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (confianza alta). La evaluación encuentra que las diferencias de $\gamma$ y $\varepsilon$ entre modelos explican entre el 10 y el $20\,\%$ de su dispersión del TCR.

Un modelo tan sencillo, ajustado para reproducir la temperatura global de un modelo grande, es un emulador. La evaluación ejecutó un modelo climático simple cuyo módulo de temperatura es este modelo de dos capas como un conjunto de un millón de miembros, muestreado a lo largo de los rangos de sus parámetros, y conservó los 2237 miembros que reproducían el calentamiento observado desde 1850, el calor absorbido por el océano, el dióxido de carbono del aire y la fracción de emisiones que permanece en ella.

22.5 Modelos de circulación general

A un modelo de balance energético se le dan sus retroalimentaciones y su transporte; un modelo de circulación general las calcula a partir de las leyes de la física.

Definición 22.9 (Modelo de circulación general; núcleo dinámico; parametrización)

Un modelo de circulación general (GCM) es un modelo numérico de la atmósfera, del océano o de ambos acoplados, que resuelve las ecuaciones de movimiento, continuidad y energía de un fluido en la Tierra en rotación — para la atmósfera, con la aproximación hidrostática, las «ecuaciones primitivas» — sobre una malla tridimensional que cubre el globo, avanzando en el tiempo. Su núcleo dinámico es la parte que resuelve estas ecuaciones para los movimientos que la malla resuelve. Una parametrización representa el efecto sobre las variables resueltas de un proceso menor que una celda de la malla — nubes, convección, turbulencia, ondas de gravedad — mediante una fórmula en las variables resueltas, con parámetros que eligen los modeladores.

La resolución decide qué debe parametrizarse. Los modelos de circulación general de 1990 tenían celdas de malla de unos $500\,\mathrm{km}$ de lado; los modelos globales de la última evaluación, de unos $100\,\mathrm{km}$; los modelos regionales, de 25 a $50\,\mathrm{km}$, y un proyecto específico de intercomparación de modelos ha explorado mallas globales de unos 50, 25 e incluso $10\,\mathrm{km}$. Una sola nube convectiva es mucho más pequeña que una celda global: la convección se parametriza, y los modelos regionales, suficientemente finos para resolverla, son ahora incluidos en las intercomparaciones.

Definición 22.10 (Modelo del sistema Tierra)

Un modelo del sistema Tierra (ESM) es un modelo de circulación general de la atmósfera y el océano acoplado a modelos del hielo marino, de la superficie terrestre y su vegetación, y del ciclo del carbono, de modo que las concentraciones de gases de efecto invernadero y las propiedades de la superficie puedan responder al clima que ellas mismas ayudan a fijar.

Los modelos del sistema Tierra son los modelos más complejos que usa la evaluación. En la década de 1990, los modelos acoplados atmósfera–océano eran el estado del arte; en la década de 2010 se habían incorporado la superficie continental, la vegetación y el ciclo del carbono, y los modelos de casquetes de hielo se están acoplando a ellos. La mayoría de sus proyecciones se realizan, no obstante, con concentraciones prescritas de los gases de efecto invernadero; solo las simulaciones impulsadas por emisiones permiten que el ciclo del carbono del modelo las calcule. Entre los modelos de balance energético y los ESM se sitúa una jerarquía de modelos de complejidad intermedia, lo bastante económicos como para ejecutarse durante muchos miles de años sin necesidad de un superordenador.

Definición 22.11 (Spin-up)

El spin-up de un modelo climático es su integración con forzamiento constante, desde un estado inicial, hasta que sus componentes lentas —sobre todo el océano profundo y los almacenes de carbono— han dejado de derivar; los experimentos parten del estado que alcanzan.

El modelo de dos capas muestra por qué un spin-up es largo: su escala temporal lenta es $262$ años, y tras tres de ellas, casi ocho siglos, la deriva aún es $5\,\%$ del desequilibrio inicial. La evaluación señala que las distintas estrategias empleadas para hacer el spin-up de los modelos afectaron a su rendimiento.

22.6 Evaluación de modelos

Un modelo se contrasta con el clima observado; el problema es que también se ha ajustado a él. Cada parametrización tiene parámetros cuyo intervalo admisible viene fijado por la física y la observación, y a medida que se ensamblan los componentes los modeladores los afinan hasta que el clima simulado cumple un conjunto de objetivos de ajuste: el clima medio —por ejemplo, una temperatura media cercana a la observada con la insolación de hoy—, los rasgos regionales o las tendencias del periodo histórico. Solo entonces se libera el modelo para las intercomparaciones.

Definición 22.12 (Proyecto de intercomparación de modelos)

Un proyecto de intercomparación de modelos es un conjunto coordinado de experimentos —los mismos forzamientos, los mismos protocolos y las mismas salidas— ejecutados por numerosos grupos de modelización con sus propios modelos, de modo que los resultados puedan compararse. El Coupled Model Intercomparison Project (CMIP) se desarrolla en fases sucesivas; su sexta fase, CMIP6, fue una línea clave de evidencia del sexto informe de evaluación.

Datos de 2021

De los 29 grupos de modelización de CMIP6 que informaron de cómo ajustaron, 23 no ajustaron su modelo al calentamiento observado durante el periodo histórico, y 25 no ajustaron su ECS: la sensibilidad de la mayoría de los modelos es una propiedad emergente, no un dato de entrada. En promedio, los modelos de CMIP6 tienen una ECS y una TCR más altas que los de la fase anterior, y una dispersión mayor que la de los rangos evaluados por el informe; en algunos modelos esto se atribuyó a la retroalimentación de las nubes de latitudes medias y altas. Algunos de los modelos más sensibles reproducen peor el calentamiento reciente observado y los climas del pasado. La evaluación no tomó, por tanto, sus rangos de ECS y TCR directamente de los modelos, sino del conocimiento de los procesos de retroalimentación, el registro instrumental, los climas del pasado y las restricciones emergentes; los trata como guía de resultados de baja probabilidad y alto impacto (confianza alta).

Definición 22.13 (Gran conjunto; restricción emergente)

Un gran conjunto es un grupo de muchas simulaciones de un único modelo, con los mismos forzamientos en el mismo periodo, que difieren solo en sus estados iniciales. Una restricción emergente es una relación, hallada en un conjunto de modelos distintos, entre una magnitud observable del clima actual y una magnitud del futuro, como la ECS; el valor observado de la primera acota entonces el rango de la segunda.

El clima es caótico, de modo que diferencias mínimas del estado inicial llevan a los miembros de un gran conjunto por trayectorias distintas: la dispersión de los miembros mide la variabilidad interna, y su media, la respuesta forzada. Los grandes conjuntos de varios modelos respaldaron la evaluación. Una restricción emergente necesita una razón física. Con unas pocas decenas de modelos, pueden probarse miles de observables, y algunos correlacionarán con la ECS por azar; la evaluación conservó aquellos con base física, muchos de ellos sobre las nubes de los trópicos, y advirtió de que un sesgo compartido por todos los modelos del conjunto anula el método.

En el laboratorio — Un centro de modelización

En un centro de modelización climática, el modelo es un programa escrito y mantenido por un equipo: la atmósfera, el océano, el hielo marino y la superficie continental son componentes separados que intercambian flujos en sus interfaces a través de un acoplador. Antes de cada ejecución se leen los forzamientos del experimento: las concentraciones de gases de efecto invernadero, los aerosoles y los usos del suelo del protocolo. El globo se divide en porciones que los procesadores del supercomputador calculan en paralelo, y un siglo de clima modelado vuelve como un gran archivo de campos. Los científicos los muestran en pantallas, los comparan con reanálisis y registros de satélite, y envían las salidas estándar al archivo de la intercomparación, donde otros grupos las comparan con las suyas.

22.7 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

La ley de Budyko para la radiación de onda larga saliente es $I = a + bT - (a_1 + b_1T)n$, con $a = 14.0$, $b = 0.14$, $a_1 = 3.0$, $b_1 = 0.10$, en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mes y $T$ en ${}^{\circ}\mathrm{C}$. Para una nubosidad $n = 0.5$, calcúlense $A$ y $B$, y conviértanse a $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, tomando un mes como una doceava parte de un año de 365.25 días. ¿Qué OLR da la ley a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$A = 14.0 - 1.5 = 12.5$ y $B = 0.14 - 0.05 = 0.09$, en $\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mes. Un mes es $2.63 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, así que $1\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{cm}^{-2}$ por mes es $4.184 \times 10^{7}/2.63 \times 10^{6} = 15.91\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $A = 199\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $B = 1.43\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. A $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $199 + 21.5 = 220\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Ejercicio 22.2 ★

Con $Q = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, calcúlese la temperatura de equilibrio para un albedo de 0.30 y de 0.31. ¿Cuánto enfría este planeta un aumento de 0.01 del albedo?

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; con 0.31, $(234.6 - 211.9)/1.816 = 12.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Cada 0.01 de albedo cuesta $3.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $3.4/1.816 = 1.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Ejercicio 22.3 ★

Calcúlese la capacidad calorífica por metro cuadrado de una capa de mezcla de agua de mar de $60\,\mathrm{m}$ de profundidad, $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $c_p = 3992\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, en $\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$ y en $\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Calcúlese el tiempo de respuesta del Teorema 22.2 para $\lambda = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ y para $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

$C = 1025\times3992\times60 = 2.46 \times 10^{8}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$; dividido por el $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ de un año, $7.78\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}$. Luego $\tau = 7.78/1.816 = 4.3~\text{años}$, y $7.78/1.33 = 5.8~\text{años}$.

Ejercicio 22.4 ★

Para el modelo de dos capas con $\lambda = -1.33\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.62\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ y $F_{2\times} = 3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, calcúlense la ECS, la TCR aproximada $F_{2\times}/ (\gamma - \lambda)$, y su razón.

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

ECS $= 3.93/1.33 = 2.95\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.95 = 2.02\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; razón $0.68$.

Ejercicio 22.5 ★★

En el modelo de cero dimensiones del texto, tómese una constante solar de $1340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Encuéntrense los tres equilibrios y la pendiente $N'(T)$ del flujo neto en cada uno; ¿cuáles son estables?

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$Q = 335\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bola de nieve: $(335\times0.38 - 211.9)/1.816 = -46.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; cálida: $(335\times0.70 - 211.9)/1.816 = 12.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, todavía por encima de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; rampa: $335(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$ da $T = 8.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. $N' = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ en los dos primeros, estable, y $-1.816 + 335\times0.016 = +3.54$ en la rampa, inestable.

Ejercicio 22.6 ★★

Modifíquese la rampa de albedo del texto: $\alpha = 0.62$ por debajo de $-20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.30$ por encima de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lineal entre ambos. Manténganse $A$ y $B$. ¿A qué constante solar termina la rama cálida, y en cuántos por ciento queda esa por debajo de $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? ¿A qué constante solar se funde la bola de nieve? ¿Qué fija el tamaño del umbral?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

La rama cálida termina donde su temperatura alcanza $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $0.70\,Q = A$, $Q = 302.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, con una constante solar de $1211\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, un $11.0\,\%$ por debajo de la actual. La bola de nieve se funde donde $0.38\,Q = A - 20B$, $Q = 462.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 1848\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. El umbral es $B(T^* - T_F)/(Q_0(1 - \alpha_F))$, la diferencia entre la temperatura actual $T^*$ y la temperatura a la que el hielo empieza a extenderse, convertida en radiación solar: $1.816\times14.37/238 = 11.0\,\%$ aquí, $1.816\times4.37/238 = 3.3\,\%$ en el texto.

Ejercicio 22.7 ★★

Un planeta modelo con los parámetros del texto está en el estado de bola de nieve. (a) ¿Cuál es su temperatura con la constante solar actual? (b) Manteniendo el Sol tal como está, ¿qué forzamiento $F$ llevaría la temperatura de la bola de nieve hasta $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? ¿Cuántas veces es el forzamiento de una duplicación del dióxido de carbono, $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$? (c) Una vez desaparecido el hielo, ¿dónde se asienta el planeta si después se retira el forzamiento?

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

(a) $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $340\times0.38 + F = 211.9 - 18.2$: $F = 64.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, 16 veces el forzamiento de una duplicación. (c) Mientras el forzamiento dura, el planeta salta a la rama cálida, $(238.0 + 64.5 - 211.9)/1.816 = 50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; una vez retirado, el planeta se enfría por la rama cálida hasta $14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, que existe con el Sol actual: no vuelve a la bola de nieve.

Ejercicio 22.8 ★★

El modelo X, un modelo de dos capas inventado, tiene $C = 7.0$ y $C_d = 90\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, $\gamma = 0.70$ y $\lambda = -1.10\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Calcúlense sus dos escalas de tiempo exactamente y con las aproximaciones del Teorema 22.8, la fracción $a_f$, su ECS y su TCR aproximada.

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

$\Sigma = 1.80/7.0 + 0.70/90 = 0.2649\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.10\times0.70/ (7.0\times90) = 1.222 \times 10^{-3}\,\mathrm{yr}^{-2}$. Las raíces dan $\tau_f = 3.84~\text{años}$ y $\tau_s = 213~\text{años}$; las aproximaciones, $7.0/1.80 = 3.89\text{ años}$ y $90\times1.80/(1.10\times0.70) = 210~\text{años}$. $a_f = 0.597$ exactamente, $1.10/1.80 = 0.611$ aproximadamente. ECS $= 3.93/1.10 = 3.57\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; TCR $\approx 3.93/1.80 = 2.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Ejercicio 22.9 ★★

En el modelo de Budyko del texto, $\bar T = 12.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\beta = 3.74\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, la línea de hielo en $72{}^{\circ}$, $s = 1.221$ en el ecuador y $0.506$ en el polo, $\alpha = 0.30$ y $0.62$. Calcúlense la temperatura en el ecuador y en el polo, y el calor $\beta(T - \bar T)$ que el transporte extrae de, o aporta a, cada metro cuadrado allí.

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

Denominador $B + \beta = 5.555$. Ecuador: $(340\times1.221\times0.70 - 211.9 + 3.74\times12.81)/5.555 = 22.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; polo: $(340\times0.506\times0.38 - 211.9 + 47.9)/5.555 = -17.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El transporte elimina $3.74\times(22.8 - 12.8) = 37\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ en el ecuador y lleva $3.74\times30.6 = 114\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ hasta el polo.

Ejercicio 22.10 ★★★

Un planeta sin hielo ($\alpha = 0.30$ en todas partes) tiene el transporte difusivo $D = -\mathcal D\,\partial_x[(1 - x^2)\partial_xT]$ y la insolación $s(x) = 1 + s_2P_2(x)$, $P_2 = (3x^2 - 1)/2$. (a) Muéstrese que $\partial_x[(1 - x^2)\partial_xP_2] = -6P_2$. (b) Muéstrese que $T = T_0 + T_2P_2(x)$ es una solución estacionaria, con $T_0 = (Q(1 - \alpha) - A)/B$ y $T_2 = Qs_2(1 - \alpha)/(B + 6\mathcal D)$. (c) La insolación de la reanálisis da $s_2 = -0.476$. Sin transporte, ¿cuál sería la diferencia de temperatura entre el ecuador y el polo? (d) ¿Qué $\mathcal D$ da la diferencia observada, $55.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

(a) $(1 - x^2)P_2' = 3x - 3x^3$, cuya derivada es $3 - 9x^2 = -6P_2$. (b) El término de transporte es $-\mathcal D T_2(-6P_2) = 6\mathcal DT_2P_2$. El balance $Q(1 + s_2P_2)(1 - \alpha) - A - B(T_0 + T_2P_2) - 6\mathcal DT_2P_2 = 0$ se cumple para todo $x$ si su parte constante y su parte en $P_2$ se anulan, lo que da $T_0$ y $T_2$. (c) $T(0) - T(1) = T_2(-\tfrac12 - 1) = -1.5\,T_2$. Sin transporte $T_2 = 340\times(-0.476)\times0.70/1.816 = -62.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: una diferencia de $94\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) $T_2 = -55.3/1.5 = -36.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, así que $B + 6\mathcal D = 113.3/36.9 = 3.07$ y $\mathcal D = 0.21\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$.

Ejercicio 22.11 ★★★

(a) Escríbase la cuadrática del Teorema 22.8 como $r^2 - \Sigma r + \Pi = 0$ y muéstrese que, si $4\Pi \ll \Sigma^2$, sus raíces son próximas a $\Sigma$ y $\Pi/\Sigma$. (b) Para un forzamiento $F = kt$ que crece linealmente, muéstrese que una vez $t \gg \tau_f$, y mientras $T_d$ se mantenga pequeño, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$; dedúzcase la TCR aproximada. (c) Compruébense los números del texto: $\Sigma$, $\Pi$, las dos escalas de tiempo y la razón $4\Pi/\Sigma^2$.

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

(a) $r = \tfrac12\Sigma\big(1 \pm \sqrt{1 - 4\Pi/\Sigma^2}\big)$; con $\sqrt{1 - \epsilon} \approx 1 - \epsilon/2$, las raíces son $\Sigma - \Pi/\Sigma \approx \Sigma$ y $\Pi/\Sigma$. (b) Con $T_d = 0$, $C\,\mathrm dT/\mathrm dt = kt - (\gamma - \lambda)T$, cuya solución desde el reposo es $T = k(t - \tau_f)/(\gamma - \lambda) + k\tau_f\mathrm e^{-t/\tau_f}/(\gamma - \lambda)$, $\tau_f = C/(\gamma - \lambda)$. Para $t \gg \tau_f$, $T \approx kt/(\gamma - \lambda)$, y en la duplicación, $kt = F_{2\times}$: TCR $\approx F_{2\times}/(\gamma - \lambda)$. (c) $\Sigma = 1.95/8.1 + 0.62/110 = 0.2464\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\Pi = 1.33\times0.62/(8.1\times110) = 9.25 \times 10^{-4}\,\mathrm{yr}^{-2}$; $\tau_f = 4.12~\text{años}$ y $\tau_s = 262~\text{años}$ (aproximadamente $1/\Sigma = 4.06~\text{años}$ y $\Sigma/\Pi = 266\text{ años}$); $4\Pi/\Sigma^2 = 0.061$.

Ejercicio 22.12 ★★★

Un conjunto inventado de ocho modelos proporciona un observable $X$ del clima actual y su ECS:

$X$	0.2	0.5	0.6	0.8	1.0	1.1	1.3	1.5
ECS (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	2.3	2.7	3.1	3.2	3.8	3.9	4.4	4.6

(a) Calcúlense la media y la desviación típica de la ECS del conjunto. (b) Ajústese la ECS $= a + bX$ por mínimos cuadrados; calcúlense la correlación y la desviación típica de los residuos. (c) La $X$ observada es $0.7 \pm 0.1$. ¿Qué ECS da la restricción y con qué dispersión? (d) ¿Qué haría desconfiar de esta restricción?

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

(a) Media $3.50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, desviación típica $0.81\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) ECS $= 1.88 + 1.86\,X$; correlación $0.992$; desviación típica residual $0.11\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $1.88 + 1.86\times0.7 = 3.18\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con una dispersión $\sqrt{(1.86\times0.1)^2 + 0.11^2} = 0.22\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, alrededor de una cuarta parte de la dispersión del conjunto. (d) Ningún mecanismo físico vincula $X$ con las retroalimentaciones; una $X$ hallada probando muchos observables, de modo que la correlación pueda ser fruto del azar; un sesgo compartido por los ocho modelos; modelos de la misma familia contados como independientes.

22.8 Problema: ¿qué tan cerca de una bola de nieve?

Problema 22.1

Problema de fin de semana — equilibrios, estabilidad y el umbral de glaciación de un planeta modelo

Un planeta modelo tiene la constante solar actual $S_0 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y el ley de OLR $A + BT$ con $A = 211.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $B = 1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Su albedo es 0.62 por debajo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, 0.30 por encima de $+10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con variación lineal entre ambos, y su capacidad calorífica superficial $C = 8.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{yr}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$. Tómese $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$.

Parte I — El planeta en equilibrio.

1. Calcúlese la insolación media $Q_0$ por metro cuadrado del planeta, y explíquese el factor.
2. Calcúlense la insolación absorbida con un albedo de 0.30, y la OLR a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
3. Calcúlese el equilibrio cálido.
4. Calcúlese el equilibrio de bola de nieve, y compruébese que se sitúa en la rama helada.
5. Calcúlese el tercer equilibrio, sobre la rampa de albedo.
6. Calcúlese la temperatura de emisión que devuelve al espacio, como cuerpo negro, la insolación absorbida, y compárese con el equilibrio cálido.

Parte II — Estabilidad y tiempo.

7. Calcúlese la pendiente $N'(T)$ del flujo neto en cada equilibrio, y díganse cuáles son estables.
8. Una pequeña desviación respecto del equilibrio intermedio crece como $\mathrm e^{t/\tau}$. Calcúlese $\tau$.
9. Calcúlese el tiempo de respuesta del equilibrio cálido.
10. Un forzamiento de $3.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, el de duplicar el dióxido de carbono, se activa. Calcúlese el calentamiento en equilibrio y compárese con la ECS evaluada para el clima real.
11. ¿Cuánto tarda el modelo en alcanzar el $95\,\%$ del calentamiento? ¿Por qué tarda más el clima real?

Parte III — La bifurcación silla-nodo.

12. A medida que el Sol se atenúa, ¿a qué temperatura el equilibrio cálido se encuentra con el intermedio? Calcúlese $Q$ allí.
13. Calcúlese la constante solar en la bifurcación, y la caída respecto de hoy, en tanto por ciento.
14. Justo por debajo, ¿a dónde va el clima? Calcúlese su temperatura.
15. Calcúlese la constante solar a la que se funde la bola de nieve, y el aumento respecto de hoy, en tanto por ciento.
16. Dibújese el bucle que sigue la temperatura cuando $S_0$ se reduce por debajo de la bifurcación y después se restablece en $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Parte IV — La línea de hielo. Aplíquese al planeta el modelo latitudinal de Budyko, con $\beta = 3.739\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$, un albedo de hielo de 0.62 al polo de la línea de hielo, 0.30 hacia el ecuador, 0.50 en el borde, y la insolación del reanálisis:

latitud	$0{}^{\circ}$	$30{}^{\circ}$	$40{}^{\circ}$	$47.5{}^{\circ}$	$55{}^{\circ}$	$60{}^{\circ}$	$72{}^{\circ}$
$s(x_s)$	1.2211	1.0730	0.9647	0.8688	0.7650	0.6947	0.5643
$F(x_s)$	0	0.5865	0.7324	0.8192	0.8863	0.9205	0.9738

17. Con la línea de hielo en $72{}^{\circ}$, calcúlense el albedo medio $\bar\alpha$ y la temperatura media $\bar T$.
18. Calcúlese la temperatura crítica $T_c$ que sitúa el borde en $72{}^{\circ}$ hoy, y compárese con el reanálisis, $-15.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
19. Calcúlese el numerador de $Q(x_s)$ en la Proposición 22.6 y la razón $\beta/B$.
20. Calcúlese $Q(x_s)/Q_0$ para la línea de hielo en $30{}^{\circ}$, $40{}^{\circ}$, $47.5{}^{\circ}$, $55{}^{\circ}$ y $60{}^{\circ}$.
21. ¿Dónde está el mínimo de estos valores? ¿Qué líneas de hielo son estables?
22. ¿Con el Sol actual, qué otra línea de hielo admite el modelo, y es estable? ¿Es posible hoy la bola de nieve? (Úsese la columna $0{}^{\circ}$.)
23. Compárese el umbral del modelo latitudinal con el de la Parte III y con el $1.6\,\%$ de Budyko, y la latitud del hielo en el umbral con la suya, $50{}^{\circ}$.
24. Dése, con dos cifras significativas, la caída de la constante solar, en tanto por ciento, que lleva al planeta modelo a la glaciación.

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $Q_0 = 1360/4 = 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: el planeta intercepta la luz solar sobre un disco de área $\pi R^2$ y la reparte sobre una esfera de área $4\pi R^2$.

2. $340\times0.70 = 238.0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $211.9 + 1.816\times15 = 239.1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

3. $(238.0 - 211.9)/1.816 = 14.4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

4. $(129.2 - 211.9)/1.816 = -45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, por debajo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. $340(0.54 + 0.016\,T) = 211.9 + 1.816\,T$: $T = (183.6 - 211.9)/(1.816 - 5.44) = 7.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

6. $(238.0/5.670 \times 10^{-8})^{1/4} = 254.5\,\mathrm{K}$, $-18.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por debajo del equilibrio cálido, el efecto invernadero del planeta, incorporado en $A$ y $B$.

7. $N' = -B = -1.816\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,{}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ en el estado de bola de nieve y el equilibrio cálido, ambos estables; $-1.816 + 5.44 = +3.62$ en el intermedio, inestable.

8. $\tau = 8.1/3.62 = 2.2\text{ años}$.

9. $8.1/1.816 = 4.5\text{ años}$.

10. $3.93/1.816 = 2.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, por debajo de la mejor estimación evaluada de $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y por debajo de su rango probable, de 2.5 a $4\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: la $B$ del modelo, ajustada a lo largo de las latitudes, no es el parámetro de retroalimentación climática del clima en su conjunto.

11. $\mathrm e^{-t/\tau} = 0.05$ en $t = 3\tau = 13~\text{años}$. El clima real también calienta el océano profundo, cuya escala temporal es de siglos.

12. Para $T_F = 10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $Q = (211.9 + 18.2)/0.70 = 328.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

13. $S_0 = 1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $3.3\,\%$ por debajo del de hoy.

14. Hacia el estado de bola de nieve, $(328.7\times0.38 - 211.9)/1.816 = -47.9\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

15. $Q = (211.9 - 18.2)/0.38 = 509.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $S_0 = 2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $50\,\%$ por encima del de hoy.

16. Por la rama cálida hasta $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con $1315\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, una caída hasta $-48\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, luego de vuelta por la rama de la bola de nieve hasta $-45.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: el planeta permanece congelado. Solo por encima de $2039\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ saltaría de nuevo a la rama cálida.

17. $\bar\alpha = 0.30\times0.9738 + 0.62\times0.0262 = 0.3084$; $\bar T = (340\times0.6916 - 211.9)/1.816 = 12.80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

18. $T_c = (340\times0.5643\times0.50 - 211.9 + 3.739\times12.80)/ 5.555 = -12.26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más cálida que la reanálisis a $72{}^{\circ}$.

19. $5.555\times(-12.26) + 211.9\times3.059 = 580.1$, con $\beta/B = 2.059$.

20. Los denominadores son 1.7053, 1.7473, 1.7565, 1.7488 y 1.7362. Los cocientes $Q/Q_0 = 1.0005$, $0.9764$, $0.9713$, $0.9756$ y $0.9827$.

21. Cerca de $47.5{}^{\circ}$, con $0.971$. Las líneas de hielo situadas hacia el polo respecto del mínimo son estables, $\mathrm dQ/\mathrm dx_s > 0$; las situadas hacia el ecuador son inestables.

22. $Q/Q_0 = 1$ también entre $30{}^{\circ}$ y $40{}^{\circ}$, cerca de $30{}^{\circ}$ ($30.2{}^{\circ}$ por interpolación): una línea de hielo inestable. En $0{}^{\circ}$, $Q/Q_0 = 580.1/(0.6106 + 0.7824)/340 = 1.225$: el estado de bola de nieve se mantiene para cualquier Sol de hasta un $22\,\%$ más brillante que el de hoy, así que es posible hoy.

23. $2.9\,\%$, frente a $3.3\,\%$ del modelo de dimensión cero y $1.6\,\%$ para Budyko; el hielo se sitúa cerca de $48{}^{\circ}$ en el umbral, frente a su $50{}^{\circ}$. El modelo latitudinal se glacia antes que el global, porque la luz solar es más débil donde se forma el hielo.

24. El planeta del modelo se glacia ante una caída de $2.9\,\%$ de la constante solar ($2.87\,\%$ según el cálculo).