31Métodos de campo y de laboratorio III

Un equipo de geofísica pasa una semana en el valle de las Colinas de Varden, la región inventada cuyo mapa geológico dibujó el volumen de primer año en su capítulo sobre mapas geológicos. El mapa muestra un granito que aflora en las laderas del valle, entre los esquistos, bajo la arenisca que descansa sobre ambos. Por dónde discurre el granito bajo la cobertera, hasta dónde llega y a qué profundidad alcanza, nadie lo ha visto. El equipo lleva un gravímetro, dos magnetómetros, un cable de electrodos y un radar sobre un pequeño carro. Ninguno de estos instrumentos ve una roca: cada uno mide un campo en la superficie —la gravedad, el campo magnético, un potencial eléctrico, el eco de un pulso de radio— que las rocas subyacentes perturban. Al final de la semana el equipo puede dibujar el granito que nunca vio, decir qué espesor tiene el aluvión del fondo del valle e informar de un cuerpo magnético que ningún mapa recogía.

Este capítulo sigue esa semana. Trata cada método por turno, como una medida con sus correcciones y como problema directo con unos pocos cuerpos cuyos campos se pueden calcular con exactitud; a continuación expone cómo los errores de una prospección se acumulan y por qué un solo tipo de datos rara vez fija un modelo; y termina con la prospección de Varden, donde se combinan los métodos.

Lo que ya sabes

La anomalía de la gravedad, las correcciones y anomalías de aire libre y de Bouguer y la gravedad normal están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre isostasia y gravedad; el circuito de medida de un gravímetro relativo se describe en el Capítulo 3. El campo principal, su inclinación, la fórmula del dipolo y el Campo Geomagnético Internacional de Referencia están en el Capítulo 4. La resistividad, la ley de Ohm, la permitividad relativa, las ondas electromagnéticas, la imantación y la susceptibilidad magnética están en los libros de física, y el teorema de Gauss para la gravedad, junto con ellos. Las prospecciones sísmicas de refracción están en el Capítulo 2; los problemas directo e inverso y los mínimos cuadrados ponderados en el Capítulo 1; la porosidad en los libros escolares y los registros de pozo en el Capítulo 17. La propagación de incertidumbres se trata en los libros de química y de matemáticas.

31.1 Prospecciones gravimétricas

Las anomalías que busca una prospección gravimétrica son pequeñas. La gravedad en el ecuador es de unos $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; las estructuras grandes la modifican en cientos de miligales, un domo de sal en unos diez, un cuerpo de mena en alrededor de uno, y los objetivos de una prospección geotécnica en unas pocas centésimas. Los geofísicos miden en miligales, o en unidades de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; una prospección útil debe resolver diferencias de una parte en cien millones de $g$.

Definición 31.1 (Gravímetro relativo; deriva instrumental)

Un gravímetro relativo es un instrumento que mide diferencias de gravedad entre estaciones: una masa sujeta a un muelle, mantenida en posición nula mediante una segunda fuerza ajustable, cuya lectura en el dial, multiplicada por una constante de calibración, da la gravedad en miligales salvo una constante desconocida. Su deriva instrumental es el cambio lento de su lectura en una estación fija, causado por la fluencia del muelle, la temperatura y los golpes; se mide volviendo a leer, al cabo de unas horas, una estación ya leída, la estación base.

Un gravímetro de campo cubre un rango de varias decenas de miles de miligales y lee, en su mejor caso, hasta unos $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; el rango debe reajustarse tras el transporte. Con esa precisión, la altura de cada estación importa tanto como su lectura: un error de altura de $3.3\,\mathrm{cm}$ estropea $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, así que las posiciones se determinan con receptores de satélite o un nivel hasta el centímetro. La estación base se vuelve a ocupar cada dos horas. La marea terrestre, que puede alcanzar $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, cambia con suficiente lentitud en esas horas como para eliminarse con la deriva.

Método 31.2 (Reducción de un circuito gravimétrico)

Un circuito empieza y termina en una estación base, leída en los instantes $t_0$ y $t_1$.

1. Se calcula la tasa de deriva $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ a partir de las dos lecturas de la base; incluye la marea.
2. Se resta de cada lectura la deriva acumulada desde $t_0$, $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$, y se resta la lectura de la base: así se obtiene la gravedad relativa a la estación base.
3. Se corrige por la altura $\Delta h$ de la estación sobre la base: se suma la corrección de aire libre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ y se resta la corrección de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (densidad $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$), es decir, se suma $0.1967\,\Delta h$.
4. Para una estación situada a una distancia $\Delta y$ al norte de la base, se resta la variación de la gravedad normal, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. Se suma la corrección topográfica de cada estación.

El resultado es la anomalía de Bouguer relativa a la base. Si se liga la base a una estación de gravedad absoluta conocida se obtiene la anomalía misma.

La corrección de Bouguer trata el terreno comprendido entre la estación y el nivel de referencia como una losa plana. En un relieve real esto es erróneo de dos maneras: una colina que se eleva sobre la estación atrae hacia arriba y reduce la lectura, y un valle que queda por debajo se cuenta en la losa como roca que no está allí.

Definición 31.3 (Corrección topográfica)

La corrección topográfica de una estación de gravedad es la atracción que ejercen sobre ella las desviaciones del relieve respecto de la losa de Bouguer: las colinas por encima del nivel de la estación y los valles por debajo de él, contados con la densidad de la losa. Ambos reducen la gravedad medida frente a la losa, por lo que la corrección se suma siempre.

Antiguamente se calculaba a mano, con un ábaco de Hammer y tablas, zona por zona hacia fuera desde la estación; hoy se calcula a partir de un modelo digital de elevaciones. Lejos de los relieves escarpados rara vez supera $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, pero las zonas próximas a la estación son difíciles de acertar, y la corrección rara vez se conoce con una precisión mejor que $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

31.1.1 Anomalías de cuerpos simples

El problema directo de la gravedad es una suma: cada elemento de un cuerpo de contraste de densidad $\Delta\rho$ atrae a la estación según la ley de Newton, y una prospección mide la componente vertical de la suma. Unos pocos cuerpos la dan en forma cerrada.

Teorema 31.4 (Esfera y cilindro horizontal)

A una distancia horizontal $x$ del punto situado sobre su centro, una esfera enterrada de exceso de masa $\Delta m$ cuyo centro está a profundidad $z$ produce la anomalía

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

y la anomalía cae a la mitad de su máximo en $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, de modo que $z = 1.305\,x_{1/2}$. Un cilindro horizontal largo de exceso de masa $\lambda$ por unidad de longitud, con su eje a profundidad $z$, produce, transversalmente a su rumbo

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

y $z = x_{1/2}$.

Un cuerpo que no es esférico también tiene una semianchura, y la regla proporciona entonces la profundidad de una esfera equivalente, no la del cuerpo. La regla es una primera estimación, hecha antes de ajustar ningún modelo.

Proposición 31.5 (Cilindro vertical sobre su eje)

Un cilindro vertical de radio $a$ y contraste de densidad $\Delta\rho$, cuyo techo y cuya base están a profundidades $z_1 < z_2$ bajo la estación, produce sobre su eje

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

Para $a \to \infty$ es la losa de Bouguer $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$; para un cilindro desde la superficie hasta gran profundidad tiende a $2\pi G\Delta\rho\,a$.

Proposición 31.6 (Exceso de masa a partir de un mapa gravimétrico)

Sea cual sea la forma de un cuerpo que yace por completo bajo un plano horizontal, su exceso de masa es

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

siendo la integral extendida a todo el plano.

El teorema proporciona la masa, nunca la forma; y un mapa cubre solo parte del plano, mientras que la anomalía de un cuerpo profundo decae lentamente, de modo que la masa obtenida a partir de un mapa resulta demasiado pequeña a menos que sus bordes se prolonguen mediante un modelo.

31.1.2 El granito de Varden

El modelo que los geólogos proponen para el granito es un cuerpo elíptico situado bajo la discordancia, con $760\,\mathrm{m}$ de extensión este–oeste y $1120\,\mathrm{m}$ en dirección norte–sur donde contacta con la cobertera, ensanchándose hacia abajo; en las laderas del valle alcanza la superficie. El granito es más ligero que el esquisto: los intervalos de densidad publicados son $2.50\text{ a }2.81$ y $2.39\text{ a }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. El modelo de la prospección adopta $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para el granito y $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ para el esquisto, un contraste de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y detiene el granito a $1500\,\mathrm{m}$ bajo el nivel del mar, una suposición, ya que nada muestra su base. Se divide en $5533$ prismas rectos cuyas atracciones tienen una forma cerrada, el modelo da la anomalía del mapa anterior: un mínimo cerrado de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sobre el centro del granito, con sus isolíneas alargadas en sentido norte–sur, como el cuerpo.

31.2 Prospecciones magnéticas

El campo principal de la Tierra es de unos $25\,000\,\mathrm{nT}$ en el ecuador magnético y de unos $70\,000\,\mathrm{nT}$ cerca de los polos magnéticos. Las rocas que contienen magnetita añaden su propio campo a este, inducido por el campo principal en proporción a su susceptibilidad, o remanente, adquirido desde el momento en que se formaron. Una roca ígnea félsica tiene una susceptibilidad inferior a unos $2 \times 10^{-3}$, mientras que una máfica tiene entre unos $2 \times 10^{-3}$ y $0.4$; en la misma escala, el 1 por ciento de magnetita en volumen da unos $0.03$.

Definición 31.7 (Anomalía de campo total; corrección diurna; reducción al polo)

Sea $\mathbf{F}$ el campo principal en la prospección y $\Delta\mathbf{B}$ el campo de las rocas magnetizadas.

• La anomalía de campo total es la intensidad medida menos la del campo principal, $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$; cuando $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$ es la proyección $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• La corrección diurna elimina las variaciones del campo con el tiempo: un magnetómetro en una estación base fija registra el campo durante toda la prospección, y cada lectura $T(t)$ del instrumento móvil se sustituye por $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• La reducción al polo calcula, a partir de la anomalía medida, la que darían las mismas rocas si el campo principal fuera vertical, como en un polo magnético; la anomalía queda entonces situada sobre su fuente.

Las variaciones con el tiempo proceden de corrientes en la ionosfera, a unos $110\,\mathrm{km}$ de altura. En un día suelen alcanzar unos $20\text{ a }50\,\mathrm{nT}$, tanto como la anomalía de un objetivo pequeño; una tormenta magnética puede cambiar el campo en miles de nanoteslas. La estación base mide la variación, suponiendo que es la misma en toda la prospección. El propio campo principal, o el campo de estructuras más grandes que la prospección, se elimina con el IGRF, una constante o una tendencia ajustada.

Un magnetómetro de precesión protónica mide la frecuencia a la que precesan los espines de los protones en el campo, que es proporcional a este; el aparato lee con una resolución de $1\,\mathrm{nT}$ y necesita más de un segundo por lectura. Un magnetómetro de cesio de bombeo óptico es entre diez y cien veces más sensible, y lee hasta $0.01\,\mathrm{nT}$. Las estaciones deben estar lo bastante juntas para colocar al menos unas tres lecturas a lo largo de la semianchura de la anomalía más estrecha que se busca, y cuanto más somera sea la fuente, más próximas deben estar.

Proposición 31.8 (Anomalía de un dique delgado)

Un dique vertical de espesor $t$ y susceptibilidad $\kappa$, con rumbo a lo largo del meridiano magnético, con su techo a profundidad $z$ y extendiéndose muy hacia abajo, imantado por inducción en un campo principal $F$ de inclinación $I$, produce, transversalmente a su rumbo, si $t \ll z$,

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

una anomalía simétrica que cae a la mitad de su pico en $x = \pm z$: la profundidad del techo del dique es la mitad de la anchura total de la anomalía a la mitad de su pico.

Cuando el dique tiene rumbo transversal al meridiano, las partes horizontales de la imanación y del campo principal yacen ambas en el plano del perfil, las caras laterales portan cargas, y la anomalía se vuelve asimétrica, con un mínimo del lado del polo. La figura siguiente la calcula de forma exacta para un dique de anchura finita, sumando los campos cerrados de sus cuatro caras cargadas. La reducción al polo convierte tal anomalía de nuevo en la simétrica de un campo vertical.

31.3 Métodos eléctricos

La resistividad abarca un intervalo más amplio que cualquier otra propiedad de las rocas: las rocas ígneas y metamórficas no alteradas se sitúan entre unos $1000$ y $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, las lutitas entre unos $3$ y $30$, la grava y la arena secas entre unos pocos cientos y diez mil; el agua dulce se sitúa entre unos $1.5$ y $130\,\Omega\mathrm{m}$, y el agua salada por debajo de uno. El agua de los poros conduce mejor que la mayoría de los minerales formadores de rocas, gracias a sus iones, de modo que la corriente circula principalmente por los poros, y la porosidad, la saturación y la salinidad del agua controlan la resistividad de una roca.

Teorema 31.9 (Fuente puntual en un terreno uniforme)

Una corriente $I$ inyectada en un punto de la superficie de un terreno uniforme de resistividad $\rho$ produce a una distancia $r$ el potencial

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

Con dos electrodos de corriente A ($+I$) y B ($-I$) y dos electrodos de potencial M y N, la diferencia de potencial medida es

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

Definición 31.10 (Resistividad aparente; configuración de electrodos; sondeo eléctrico vertical; tomografía de resistividad eléctrica)

• La resistividad aparente de una medida de cuatro electrodos es $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$, con el factor geométrico $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$: la resistividad del terreno homogéneo que daría la misma lectura.
• Una configuración de electrodos es una regla que dispone los cuatro electrodos: la configuración Wenner los sitúa equiespaciados, a distancia $a$ entre sí, en el orden AMNB; la configuración Schlumberger sitúa M y N, separados $2l$, en el centro de un AB mucho más largo, de semilongitud $s$; las configuraciones dipolo–dipolo, polo–dipolo y polo–polo separan el par de corriente del par de potencial, o envían un electrodo muy lejos.
• Un sondeo eléctrico vertical amplía una configuración alrededor de un centro fijo y representa $\rho_a$ frente a la separación en escalas logarítmicas: cuanto mayor es la separación, más profunda circula la corriente.
• Tomografía de resistividad eléctrica dispone numerosos electrodos a lo largo de una línea, mide numerosas combinaciones de cuatro electrodos e invierte conjuntamente para obtener una sección de resistividad.

Para la configuración Wenner el factor es $K = 2\pi a$; para la configuración Schlumberger, $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, y $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ cuando $l \ll s$, con $l$ de alrededor de una décima parte de $s$ en la práctica. En un sondeo Schlumberger solo se mueven A y B en la mayoría de las lecturas, en el Wenner se mueven los cuatro electrodos. La corriente es una onda cuadrada con inversión: conectada, apagada, invertida, apagada, durante varios segundos cada fase, porque el terreno contiene autopotenciales naturales, de origen electroquímico, que una corriente continua no permitiría distinguir. Los sondeos pequeños, con electrodos separados hasta unos $100\,\mathrm{m}$, necesitan unos cientos de milivatios; los sondeos de un kilómetro de ancho emplean transmisores de decenas de kilovatios.

Sobre un terreno estratificado, la resistividad aparente de un sondeo pasa de la resistividad de la capa superior, a separaciones cortas, a la de la inferior, a separaciones largas. Su curva entre ambas es el problema directo del sondeo.

Proposición 31.11 (Sondeo sobre capas)

Sobre capas horizontales de resistividades $\rho_1, \dots, \rho_n$ y espesores $h_1, \dots, h_{n-1}$, la resistividad aparente Schlumberger a media separación $s$ es

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

donde $J_1$ es la función de Bessel de orden uno y la resistividad transformada $T$ se construye de abajo arriba, con $T_n = \rho_n$ y

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

Para dos capas, con $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$,

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

la suma de las imágenes de la fuente en la interfase y en la superficie.

Se admite la forma integral; la serie de dos capas se deduce a partir del Teorema 31.9 por el método de las imágenes, la fuente se refleja una y otra vez, con un factor $k$ en cada reflexión, en la interfase y en la superficie.

Proposición 31.12 (Cubierta conductora sobre un basamento aislante)

Si capas de conductancia longitudinal total $S = \sum_i h_i/\rho_i$ descansan sobre un basamento mucho más resistivo, la resistividad aparente Schlumberger a separaciones mucho mayores que el espesor de la cubierta es $\rho_a = s/S$: una recta de pendiente uno en la gráfica logarítmica, que da $S$ pero no los espesores y las resistividades por separado.

Proposición 31.13 (Ley de Archie)

Una roca limpia (libre de lutita) completamente saturada de agua de resistividad $\rho_w$ tiene la resistividad

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

donde $\phi$ es su porosidad, $a$ un coeficiente habitualmente cercano a $1$ y $m$ el exponente de cementación, que suele estar entre $1.3$ y $2.8$ cuando $a = 1$. La razón $F = \rho/\rho_w$ es el factor de formación.

Se trata de la ley de Archie, una relación empírica enunciada por Archie en 1942; no tiene demostración, sino solo un intervalo de validez. Permite pasar de una resistividad a una porosidad una vez conocida la del agua, y la incertidumbre de $m$ es la mayor en el resultado.

31.4 Prospección sísmica de refracción y radar en el campo

La prospección sísmica de refracción del Capítulo 2 es el otro camino del geofísico de campo hacia la profundidad de una capa: una línea de geófonos, una caída de peso como fuente y los primeros arribos representados frente a la distancia, cuyas pendientes dan las velocidades y cuyas ordenadas en el origen dan las profundidades de los refractores. Sobre el fondo de Varden vería la cima del granito, más rápido que cualquier sedimento situado encima; no podría ver una capa más lenta que la de encima, el punto ciego del método.

Definición 31.14 (Georradar; radargrama)

El georradar envía pulsos cortos de ondas de radio, de frecuencias de unos $100\,\mathrm{MHz}$ a $1\,\mathrm{GHz}$ y duraciones de unos pocos nanosegundos, desde una antena situada en el suelo, y registra los ecos de los contrastes de permitividad y conductividad del subsuelo. Un radargrama es la representación de las trazas registradas colocadas una al lado de otra a lo largo del perfil, con el tiempo de ida y vuelta aumentando hacia abajo.

Proposición 31.15 (Velocidad del radar, reflexión y penetración)

En un terreno no magnético cuya conductividad $\sigma$ es pequeña frente a $\omega\varepsilon$, el pulso de radar viaja a

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

una interfaz entre permitividades relativas $\varepsilon_1$ y $\varepsilon_2$ refleja a incidencia normal la fracción $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ de la amplitud, y la amplitud cae en un factor $\mathrm{e}$ a lo largo de la profundidad de piel

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

Las velocidades van desde $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ en el aire hasta unos $0.15$ en arena seca, $0.13$ en granito y $0.06$ en arena o arcilla saturadas, donde domina la permitividad del agua. La profundidad útil es de unas tres profundidades de piel: en una caliza de permitividad 6 y conductividad $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ la profundidad de piel es de unos $13\,\mathrm{m}$, en una arcilla de permitividad 20 y $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ unos $2.4\,\mathrm{m}$. Una capa se ve si tiene al menos un cuarto de longitud de onda de espesor, de modo que las frecuencias más altas dan imágenes más nítidas del terreno más somero.

Proposición 31.16 (Hipérbola de difracción)

Una antena desplazada por la superficie sobre un pequeño objeto enterrado en $(x_p, d)$, en un terreno de velocidad $V$, registra su eco en el tiempo de ida y vuelta

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

una hipérbola con vértice $t_0 = 2d/V$ sobre el objeto. Cualquier otro punto $(x, t)$ de ella proporciona $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, y entonces $d = Vt_0/2$.

31.5 Procesado e incertidumbre

Todo número de una prospección lleva asociado un error, y la reducción suma los errores de las correcciones al de la lectura. Cuando los errores son independientes, sus varianzas se suman.

Método 31.17 (Balance de errores)

1. Enumerar las fuentes independientes de error del valor reducido: la lectura, la posición y la altura, la densidad o la susceptibilidad supuestas, el modelo de deriva o de corrección diurna, la corrección topográfica.
2. Convertir cada una a la unidad del resultado, multiplicándola por la derivada de la reducción respecto de ella.
3. Sumar los cuadrados y extraer la raíz cuadrada.
4. Comparar el total con el tamaño de la anomalía buscada: si es mayor, mejorar primero el término más grande.

Un modelo se juzga por lo bien que reproduce los datos, y la medida debe ponderar cada dato por su incertidumbre.

Definición 31.18 (Desajuste de los datos)

El desajuste de un modelo a $N$ datos $d_i$ de desviaciones típicas $\sigma_i$ es

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

Un modelo que explica los datos dentro de sus errores tiene $\chi^2$ cercano a $N$; un valor mucho mayor indica que el modelo es erróneo, y uno mucho menor que ajusta el ruido.

Minimizar el desajuste equivale a los mínimos cuadrados ponderados del Capítulo 1. La dificultad de los métodos potenciales es que muchos modelos alcanzan el mismo desajuste. Fuera de un cuerpo, su gravedad es la de infinitos otros: toda esfera con la misma masa en exceso y el mismo centro da la misma anomalía, sea cual sea su radio y densidad; un mapa de gravedad fija el exceso de masa, pero no la forma; un sondeo sobre una cobertera conductora fija la conductancia $S$, pero no los espesores; la anomalía de un dique delgado fija el producto $\kappa t$, pero no $\kappa$ y $t$ por separado. Una inversión elige entre los modelos equivalentes añadiendo información: una densidad medida en muestras, una profundidad obtenida de un sondeo, una suavidad impuesta al modelo. La adición más segura es otro método, sensible a otra propiedad: la gravedad ve densidad, la magnetometría la magnetita, la resistividad el agua, el radar la permitividad, y cada uno ve lo que los demás no detectan.

31.6 Un proyecto de cartografía

Sobre el terreno — Una semana en el valle

El equipo de la prospección de Varden reparte su semana entre los métodos. Uno recorre con el gravímetro una malla de estaciones separadas $200\,\mathrm{m}$ nivelándolo en cada una, mientras un compañero levanta las alturas con un receptor de satélite; cada dos horas vuelven a la estación base por el puente. Un magnetómetro queda en una estación base alejada de la línea eléctrica y de la carretera, registrando todo el día, mientras un segundo se recorre a pie a lo largo de las líneas. En el fondo del valle, otros dos tienden el cable, clavan los electrodos de acero en el aluvión y amplían un sondeo desde unos pocos metros hasta doscientos; un pequeño radar sobre un carro se arrastra por el fondo. Por la tarde se reducen las lecturas, y las líneas del día siguiente se eligen a partir de los mapas del día anterior.

Ejemplo 31.19 (La prospección de Varden)

El mapa de gravedad muestra un mínimo cerrado de unos $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ centrado sobre el granito, alargado norte–sur: el granito, menos denso, continúa bajo la cobertera, y es más largo en esa dirección. El mínimo se extiende unos $1\,\mathrm{km}$ desde el afloramiento, así que el cuerpo se ensancha con la profundidad. Su semianchura da una primera profundidad para una esfera equivalente; los modelos con un flanco vertical y un fondo muestran que un fondo situado entre uno y unos pocos kilómetros de profundidad explica el máximo igual de bien, con una diferencia de unas décimas de miligal, así que el fondo queda sin determinar—la no unicidad de la sección anterior. En el fondo del valle, sobre el granito, el sondeo parte de la resistividad de la grava seca, desciende donde la corriente entra en el aluvión saturado de agua y asciende a lo largo de una recta de pendiente uno: una cobertera conductora sobre un basamento muy resistivo, el granito, a pocos metros de profundidad. El radar arrastrado por el mismo fondo muestra un eco plano a unos $20\,\mathrm{ns}$: el nivel freático. Y la línea magnética que cruza el flanco oeste del pliegue, donde la cobertera es gruesa y los esquistos del basamento yacen a un par de centenares de metros de profundidad, registra un máximo simétrico de unos $20\,\mathrm{nT}$ que ningún mapa explica: un dique máfico, rico en magnetita, enterrado bajo la cobertera; su rumbo a lo largo del meridiano magnético es la razón de que la anomalía sea simétrica. Los geofísicos lo describen como un dique de dolerita truncado en la discordancia, que la cobertera del mapa oculta. El problema de fin de semana reduce los datos de la prospección.

31.7 Ejercicios

Ejercicio 31.1 ★

(a) ¿Qué fracción de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ es $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (b) ¿Cuánto debe elevarse un gravímetro para que su lectura cambie en $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ únicamente por el efecto de aire libre? (c) ¿Y por el efecto de aire libre y el de Bouguer conjuntamente, con la densidad $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solución

Solución de Ejercicio 31.1.

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, y $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$: una parte en cien millones.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, es decir, unos $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Juntos, los dos efectos cambian la gravedad en $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, la diferencia $0.3086 - 0.1119$, de modo que la altura debe cambiar en $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

Ejercicio 31.2 ★

Una esfera de radio $50\,\mathrm{m}$ y contraste de densidad $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ tiene su centro a $100\,\mathrm{m}$ de profundidad. Calcúlense su exceso de masa, el máximo de su anomalía y la semianchura $x_{1/2}$.

Solución

Solución de Ejercicio 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. El pico es $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, es decir, $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. La semianchura es $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 31.3 ★

Una configuración Wenner de separación $a = 10\,\mathrm{m}$ inyecta $0.1\,\mathrm{A}$ y mide $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Calcúlense el factor geométrico y la resistividad aparente. (b) Demuéstrese que una configuración Schlumberger con $s = 15\,\mathrm{m}$ y $l = 5\,\mathrm{m}$ tiene el mismo factor geométrico, y explíquese por qué.

Solución

Solución de Ejercicio 31.3.

(a) Con $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, y $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. Los electrodos quedan entonces en $0$, $10$, $20$ y $30\,\mathrm{m}$, en el orden AMNB: se trata de la configuración Wenner de separación $10\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 31.4 ★

El granito tiene $\varepsilon_r = 5$. (a) Calcúlese la velocidad del radar. (b) Una fractura yace a $10\,\mathrm{m}$ de profundidad: calcúlese el tiempo de ida y vuelta de su eco. (c) Con $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, calcúlense la profundidad de penetración y la profundidad útil de unas tres profundidades de penetración. (d) Compárese con una arcilla húmeda de $\varepsilon_r = 20$ y $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 31.4.

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$, y una profundidad útil de unos $36\,\mathrm{m}$. (d) En la arcilla $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, una profundidad útil de unos $7\,\mathrm{m}$, y una velocidad de solo $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. El aproximación sigue siendo válida allí: a $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, diez veces $\sigma$.

Ejercicio 31.5 ★★

(a) Derívese la anomalía de un cilindro horizontal largo de radio $R$ y contraste de densidad $\Delta\rho$, con su eje a profundidad $z$, a partir de la de una masa lineal, y demuéstrese que $z = x_{1/2}$. (b) Un cilindro y una esfera dan el mismo máximo y la misma semianchura $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Compárense sus profundidades. ¿Qué interpretación da el cuerpo más profundo?

Solución

Solución de Ejercicio 31.5.

(a) El cilindro tiene $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ por unidad de longitud, y fuera de él su atracción es la de una masa lineal sobre su eje (teorema de Gauss sobre un cilindro coaxial): $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. La mitad del pico se alcanza cuando $x^2 + z^2 = 2z^2$, por tanto, $z = x_{1/2}$. (b) La esfera está a $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, el cilindro a $100\,\mathrm{m}$: el mismo perfil, interpretado como esfera, sitúa el cuerpo $30\,\%$ más profundo. La anomalía de una esfera decae más deprisa con la distancia, así que una esfera debe estar más profunda para ser igual de ancha.

Ejercicio 31.6 ★★

La anomalía de Bouguer del modelo de granito de Varden, muestreada cada $100\,\mathrm{m}$ en un mapa de $1120$ puntos que cubre $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$, suma $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Aplíquese la Proposición 31.6 para estimar el déficit de masa. (b) El déficit de masa del modelo es $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. ¿Qué fracción recupera el mapa, y dónde está el resto?

Solución

Solución de Ejercicio 31.6.

(a) Cada punto representa $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, así que $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, y $\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74 = 60\,\%$. El resto está en los flancos de la anomalía fuera del mapa: el granito alcanza una profundidad de más de un kilómetro, y la anomalía de su parte profunda decae lentamente con la distancia. Ampliar el mapa lo suficiente, o usar un modelo, permite recuperarla.

Ejercicio 31.7 ★★

(a) Un dique delgado tiene su techo a $30\,\mathrm{m}$ de profundidad. Usando la regla de tres lecturas por semianchura, donde la semianchura es la anchura total de la anomalía a la mitad de su máximo, ¿qué separación entre estaciones necesita? (b) Lo mismo para un techo a $220\,\mathrm{m}$ de profundidad. (c) ¿Por qué una sola prospección no puede resolver a la vez un cuerpo somero y uno profundo, a menos que esté diseñada para el somero?

Solución

Solución de Ejercicio 31.7.

(a) Para un dique delgado la anomalía cae a la mitad de su pico en $x = \pm z$: su anchura total a mitad del pico es $2z = 60\,\mathrm{m}$, y tres lecturas a través de él requieren una separación de como máximo $20\,\mathrm{m}$. (b) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) La separación entre estaciones necesaria escala con la profundidad del cuerpo de interés más somero: una prospección diseñada para el dique profundo, a $150\,\mathrm{m}$, submuestrearía la anomalía del somero, que tiene solo $60\,\mathrm{m}$ de anchura; una diseñada para el cuerpo somero también detecta el profundo, con muchas más lecturas de las necesarias.

Ejercicio 31.8 ★★

Una arenisca saturada de agua de $8\,\Omega\mathrm{m}$ tiene una resistividad de $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Con $a = 1$ y $m = 2$, calcúlese su porosidad. (b) Repítase con $m = 1.8$ y $m = 2.2$. ¿Qué término de la medida controla la incertidumbre de la porosidad?

Solución

Solución de Ejercicio 31.8.

(a) $F = 80/8 = 10$ y $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ y $10^{-1/2.2} = 0.351$. Un cambio de $0.2$ en $m$ desplaza la porosidad unos cuatro puntos porcentuales; las resistividades, medidas con una precisión de unos pocos por ciento, la desplazan mucho menos. El exponente de cementación controla la incertidumbre, y debe calibrarse con muestras de la misma roca.

Ejercicio 31.9 ★★

(a) Calcúlense los tres primeros términos de la serie de dos capas de la Proposición 31.11 para $s = 2h_1$ con $k = 0.5$ y $k = -0.5$, y las resistividades aparentes que dan. (b) ¿Cuáles son los límites de $\rho_a/\rho_1$ para $s \ll h_1$ y $s \gg h_1$? (c) ¿Qué razones de resistividad $\rho_2/\rho_1$ corresponden a $k = \pm 0.5$?

Solución

Solución de Ejercicio 31.9.

(a) Para $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, así que los términos son $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$: $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Para $k = 0.5$: $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, y $\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (la suma completa da $1.409$). Para $k = -0.5$ los términos alternan de signo, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, y $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (suma completa $0.685$). (b) Para $s \ll h_1$ todos los términos se anulan y $\rho_a \to \rho_1$; para $s \gg h_1$ cada corchete tiende a 1 y $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ y $1/3$.

Ejercicio 31.10 ★★★

(a) Obténgase el factor geométrico del dispositivo de Wenner a partir del Teorema 31.9. (b) Obténgase el del dispositivo de Schlumberger y demuéstrese que $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ cuando $l/s \to 0$. (c) ¿En cuánto sobrestima el factor aproximado $\pi s^2/(2l)$ al exacto cuando $l = s/10$?

Solución

Solución de Ejercicio 31.10.

(a) En el orden AMNB con separación $a$: $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, así que el corchete vale $2/a - 1/a = 1/a$ y $K = 2\pi a$. (b) Con A y B en $\mp s$ y M y N en $\mp l$: $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, el corchete vale $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$, y $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Cuando $l \ll s$, $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ con $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ en el centro, el campo de ambos electrodos de corriente; entonces $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) La razón entre el factor aproximado y el factor exacto es $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$: el 1 por ciento.

Ejercicio 31.11 ★★★

Una estación se encuentra a $50\,\mathrm{m}$ por encima de la base. Su lectura es buena hasta $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, y su altura, hasta $5\,\mathrm{cm}$; la densidad de la losa tiene una incertidumbre de $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y la corrección topográfica, de $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Elabórese el presupuesto de error de su anomalía de Bouguer. (b) ¿Qué término domina, y cuál mejoraría para detectar una anomalía de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? (c) ¿Cuál es el total sin el término topográfico?

Solución

Solución de Ejercicio 31.11.

(a) Lectura: $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Altura: $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Densidad: la corrección de Bouguer es $0.04191\,h\,d$ con $d$ en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, así que $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Topografía: $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Total: $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) La densidad y la topografía dominan, cada una unas veinte veces el error de lectura. Para detectar $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, la densidad de la losa debe medirse en muestras o ajustarse a los datos (el valor que menos refleja la topografía), y la corrección topográfica debe calcularse a partir de un modelo digital de elevaciones detallado. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Ejercicio 31.12 ★★★

Cinco lecturas gravimétricas a lo largo de un cuerpo enterrado, en $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ y $600\,\mathrm{m}$, son $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ y $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, cada una con $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Para modelos de esfera centrados bajo $x = 0$ a profundidades de $300$, $400$ y $500\,\mathrm{m}$, elíjase la masa que ajuste la lectura central y calcúlese el desajuste $\chi^2$ de cada uno. (b) ¿Qué modelo ajusta los datos dentro de sus errores? (c) ¿Podría ajustar igual de bien un cuerpo de otra forma? ¿Qué lo decidiría?

Solución

Solución de Ejercicio 31.12.

(a) La masa que ajusta la lectura central es $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$: $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ a $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ a $500\,\mathrm{m}$. Las lecturas predichas en $x = \pm300$ y $\pm600$ son $-1.47$ y $-0.37$, $-2.13$ y $-0.71$, $-2.62$ y $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Los desajustes son $\chi^2 = 1238$, $3.7$ y $856$. (b) Solo el modelo a $400\,\mathrm{m}$, con $\chi^2 = 3.7$ para cinco datos, se ajusta dentro de los errores. (c) Sí: cualquier cuerpo de simetría esférica con la misma masa y el mismo centro produce exactamente la misma anomalía, y otras formas pueden quedar dentro de los errores. Una densidad medida en muestras, en una perforación u otro método lo decidiría.

31.8 Problema: los cuerpos ocultos de las colinas de Varden

Problema 31.1

Problema de fin de semana — reducción del levantamiento de Varden

Utilícense $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, el gradiente de aire libre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ y el factor de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (densidad $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

Parte I — Un circuito gravimétrico. Un circuito sobre el perfil gravimétrico da (lecturas en miligales tras la calibración, alturas en metros, tiempos en horas después de las 09:00):

estación	base	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	base
tiempo	0	0.5	0.9	1.3	2.0
altura	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
lectura	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. Calcúlese la tasa de deriva del circuito.
2. Corríjanse las tres lecturas de las estaciones por la deriva y exprésense respecto a la base.
3. Apliquense las correcciones de aire libre y de Bouguer por las diferencias de altura, y dése la anomalía de Bouguer de cada estación respecto a la base.
4. La deriva del instrumento por sí sola fue de $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. ¿Qué causó el resto del cambio en la base, y por qué podría eliminarse con la deriva?
5. El modelo del que proceden las lecturas da las tres anomalías respecto a la base como $-0.825$, $-2.131$ y $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Calcúlense los errores de la reducción. Las alturas de la tabla están redondeadas a $0.1\,\mathrm{m}$: ¿qué error puede introducir este redondeo, y si explica los errores?
6. ¿Qué precisión en la altura mantiene la anomalía reducida dentro de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$? ¿Por qué los manuales de levantamiento piden $3.3\,\mathrm{cm}$, una cifra más exigente?

Parte II — La anomalía del granito. A lo largo del perfil la anomalía tiene su mínimo, $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, en $x = 3.50\,\mathrm{km}$, y cruza la mitad de ese valor en $x = 3.048$ y $3.952\,\mathrm{km}$. El modelo de granito tiene un contraste de densidad de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, y el terreno en el centro está a $145.5\,\mathrm{m}$ sobre el nivel del mar.

7. Calcúlense la semianchura $x_{1/2}$ y la profundidad del centro de la esfera equivalente.
8. Calcúlese el déficit de masa de esa esfera, y su radio para el contraste de densidad del granito. ¿Qué tiene de extraño el resultado?
9. El centro de masa del modelo está a $864\,\mathrm{m}$ bajo el terreno y su déficit de masa es $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. ¿Por qué la regla de la semianchura da un cuerpo más somero y más ligero?
10. Un cilindro vertical de la misma área que el granito en la discordancia tiene un radio de $461\,\mathrm{m}$. Calcúlese su anomalía sobre el eje para un techo en el terreno y un fondo a $1645\,\mathrm{m}$ de profundidad, y para una profundidad ilimitada.
11. Encuéntrese, por tanteo o resolviendo, la profundidad del fondo para la que este cilindro da la anomalía observada de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.
12. Calcúlese la anomalía del cilindro con su techo $6\,\mathrm{m}$ por debajo (fondo a $1645\,\mathrm{m}$). ¿Puede la gravedad distinguir si el granito llega a la superficie bajo el aluvial?

Parte III — El fondo del valle. El sondeo de Schlumberger en el fondo sobre el granito da (semiseparación $s$ en metros, $\rho_a$ en $\Omega\mathrm{m}$):

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

En un perfil de radar a lo largo del mismo fondo, una tubería da una hipérbola con su vértice a $10.7\,\mathrm{ns}$ y un tiempo de $17.1\,\mathrm{ns}$ a $1\,\mathrm{m}$ de distancia; un eco plano llega a $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Con $s = 20\,\mathrm{m}$, MN medía $2\,\mathrm{m}$ de longitud y la corriente $50\,\mathrm{mA}$. Calcúlese el factor geométrico y la tensión medida.
14. Calcúlese la velocidad del radar, la permitividad relativa del aluvial y la profundidad de la tubería.
15. El eco plano es el nivel freático. ¿A qué profundidad está?
16. Estímese la conductancia $S$ del aluvial a partir de las lecturas a 20, 30 y $40\,\mathrm{m}$.
17. El aluvial seco tiene $600\,\Omega\mathrm{m}$, y el aluvial saturado $222\,\Omega\mathrm{m}$. Calcúlese el espesor del aluvial saturado y la profundidad del techo del granito. ¿Es la estimación alta o baja, y por qué?
18. El agua subterránea tiene $20\,\Omega\mathrm{m}$. Calcúlese la porosidad del aluvial mediante la ley de Archie con $m = 2$, y el intervalo de $m$ entre $1.3$ y $2.8$.

Parte IV — La línea magnética. La línea avanza hacia el este desde $x = 1.70\,\mathrm{km}$, con una estación cada $50\,\mathrm{m}$ y cada dos minutos; la estación base registró en los mismos minutos. Las lecturas, menos $48\,000\,\mathrm{nT}$, son:

$x$ (km)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
línea	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
base	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (km)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
línea	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
base	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

El campo principal es de $48\,000\,\mathrm{nT}$, con una inclinación de $65{}^{\circ}$.

19. Aplíquese la corrección diurna y dese la anomalía corregida en cada estación.
20. Demuéstrese que, sin la corrección, la anomalía nunca desciende a la mitad de su máximo en el lado este.
21. Localícese el pico y los dos puntos donde la anomalía corregida vale la mitad del pico, por interpolación lineal, y calcúlese la semianchura.
22. La anomalía es simétrica. ¿Qué indica esto sobre el rumbo del cuerpo, y qué tipo de cuerpo supone la regla de la semianchura?
23. Calcúlese el producto $\kappa t$ de la susceptibilidad y el espesor. Si el dique es una dolerita de susceptibilidad $0.03$, ¿qué espesor tiene?
24. ¿Estaban las estaciones suficientemente próximas?
25. Dese la profundidad del techo del dique oculto bajo el suelo, con aproximación de diez metros, y compárese con la profundidad de la discordancia en el modelo geológico de la región, $222\,\mathrm{m}$ en este punto.

Solución

Solución de Problema 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. Las alturas sobre la base son $-27.1$, $-30.6$ y $-18.1\,\mathrm{m}$; sumando $0.1967\,\Delta h$ se obtienen las anomalías de Bouguer $-0.817$, $-2.122$ y $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Las estaciones están más bajas que la base y más cerca del centro de la Tierra, por lo que sus lecturas brutas son más altas; la corrección elimina eso y deja un mínimo sobre el granito.

4. El exceso $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ en el circuito, es la marea terrestre. Durante dos horas varía casi linealmente, así que una recta que pase por las dos lecturas en la base la elimina junto con la deriva.

5. Los errores son $0.008$, $0.009$ y $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. El redondeo de cada altura a $0.1\,\mathrm{m}$ puede hacer que una diferencia de alturas sea errónea en hasta $0.1\,\mathrm{m}$, es decir, $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$: el redondeo explica los errores, y la marea que queda tras la recta es inferior a $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. Los $3.3\,\mathrm{cm}$ de los manuales corresponden a $0.01/0.3086$: la anomalía de aire libre no depende de la densidad elegida para la corrección de Bouguer, y la altura debe servir también para ella.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, y $z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ bajo el terreno.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Con $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, su volumen es $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ y su radio $603\,\mathrm{m}$, mayor que la profundidad de su centro: la esfera sobresaldría del terreno. Ninguna esfera con el contraste de densidad del granito encaja; el cuerpo debe llegar cerca de la superficie.

9. El granito se extiende desde la superficie hasta una gran profundidad. Su parte somera , cerca de las estaciones, hace estrecho el máximo, y la regla, que solo conoce la anchura, coloca una única esfera a una profundidad moderada; la parte profunda añade flancos anchos que la esfera no tiene (la figura del perfil), y la masa que contienen queda sin contabilizar.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Con $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a = 461\,\mathrm{m}$: el corchete vale $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, y $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Para una profundidad ilimitada el corchete tiende a $a$, y $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. El corchete debe valer $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$, lo que da un fondo a unos $2.6\,\mathrm{km}$. Cualquier fondo entre unos $1.6\,\mathrm{km}$ y una profundidad ilimitada cambia el máximo en unas pocas décimas de miligal solamente, y un cuerpo algo más ancho o más denso da el mismo máximo con un fondo más somero: el fondo no queda resuelto.

12. Con $z_1 = 6\,\mathrm{m}$: $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, y $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ menos que con el techo en el terreno. Esto queda por debajo de los errores del terreno y de la densidad de la campaña: la gravedad no puede distinguir si el granito alcanza la superficie bajo los aluviones. El sondeo sí puede.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, y $\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, una arena seca; la tubería está a $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$ de profundidad.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$: $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. La capa seca aporta $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$, la saturada $0.0212\,\mathrm{S}$, así que su espesor es $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$, y el granito yace $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ por debajo de la superficie. La estimación es alta: el granito no es infinitamente resistivo, así que a estas separaciones $\rho_a$ aún queda por debajo de la recta $s/S$, y $s/\rho_a$ sobrestima $S$. (El modelo de la región tiene $6\,\mathrm{m}$ de aluvión.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Con $m = 1.3$, $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$; con $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

19. Al restar la base de la línea se obtiene, de oeste a este: 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 y $3.1\,\mathrm{nT}$.

20. Sin corregir, el máximo es $28.0\,\mathrm{nT}$ en $2.20\,\mathrm{km}$, y la mitad, $14.0\,\mathrm{nT}$, nunca se alcanza hacia el este: la línea termina en $15.2\,\mathrm{nT}$, porque el campo subió $12\,\mathrm{nT}$ durante el recorrido.

21. El máximo es $21.0\,\mathrm{nT}$ en $2.20\,\mathrm{km}$; la mitad es $10.5\,\mathrm{nT}$. Oeste: entre $9.2$ en $1.95$ y $11.5$ en $2.00\,\mathrm{km}$, en $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. Este: entre $11.5$ en $2.40$ y $9.1$ en $2.45\,\mathrm{km}$, en $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. La semianchura es $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. Una anomalía simétrica en un campo inclinado $65{}^{\circ}$ significa que solo actúa la magnetización vertical: el cuerpo tiene rumbo según el meridiano magnético, norte–sur. La regla de la Proposición 31.8 supone un dique delgado, vertical y bidimensional que se extiende a gran profundidad, magnetizado por inducción, cuya parte superior actúa como una línea de carga magnética.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Con $\kappa = 0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Solo el producto está fijado: un dique con el doble de espesor y la mitad de susceptibilidad da la misma anomalía.

24. La anomalía tiene $443\,\mathrm{m}$ de anchura a mitad de su máximo y las estaciones están separadas $50\,\mathrm{m}$: nueve lecturas sobre ella, tres veces el mínimo de la regla.

25. La parte superior del dique está $220\,\mathrm{m}$ bajo el terreno. El modelo geológico sitúa la discordancia a $222\,\mathrm{m}$ de profundidad en este punto: el dique asciende hasta la base de la cobertera y se corta allí, más antiguo que la arenisca triásica que lo sepulta.