26Interiores y superficies planetarias

Observada con prismáticos, la Luna tiene dos tipos de terreno. Las brillantes tierras altas están cubiertas de cráteres, cráter sobre cráter: quedaron saturadas de cráteres grandes por un bombardeo intenso que terminó hace unos 3.8 mil millones de años. Los oscuros mares, llanuras rellenas de lava entre hace 4.2 y 1.2 mil millones de años, contienen muchos menos. Las misiones Apolo y Luna trajeron rocas de ambos, y sus edades radiométricas convirtieron la densidad de cráteres de una superficie en un reloj. Hoy ese reloj data llanuras de Marte, Mercurio y las lunas heladas, de las que todavía no se ha traído ninguna roca. Este capítulo lee los interiores de los planetas en su gravedad, rotación y mareas, y luego sus superficies en sus cráteres, volcanes y fallas.

Lo que ya sabes

El factor de momento de inercia $C = I/MR^2$, el modelo de dos capas de un planeta construido a partir de él y de la densidad media, los planetas terrestres y los gigantes están en el volumen de primer año, en su capítulo de planetología comparada; las plumas del manto y las grandes provincias ígneas, en su capítulo sobre puntos calientes. La diferenciación planetaria y los meteoritos están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre formación planetaria. El factor de forma dinámico $J_2$, la fórmula de MacCullagh y la flexión de la litosfera están en este volumen, en su capítulo sobre gravedad y geodesia; el número de Rayleigh, en su capítulo sobre convección del manto. Las mareas, las leyes de Kepler y los módulos elásticos están en los libros de física; la distribución de Poisson, en los libros de matemáticas.

26.1 Interiores a partir de la gravedad, la rotación y las mareas

La masa de un planeta, obtenida a partir de la órbita de una luna o de una sonda, da su densidad media; la precesión de su eje y su $J_2$ dan su momento de inercia. La proposición de dos capas del volumen de primer año convierte los dos números en un núcleo, pero solo una vez elegida una densidad para el manto: dos medidas no pueden fijar tres incógnitas.

Cada planeta da una curva, no un punto. Para Marte, el radio del núcleo de $1830\,\mathrm{km}$ medido por InSight fija un manto de $3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y un núcleo de $6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. Para Mercurio, el núcleo de unos $2000\,\mathrm{km}$ de radio ocupa el 82 por ciento del radio. La curva de la Luna es casi plana: su $C = 0.394$ está tan cerca de $\tfrac25$ que encaja un núcleo pequeño de cualquier densidad, y un cambio de $0.001$ en $C$ desplaza el radio del núcleo más de un factor dos (véase el Ejercicio 26.10). La gravedad por sí sola no permite ver un núcleo pequeño; sí lo permiten las mareas y las ondas sísmicas.

Definición 26.1 (número de Love)

Cuando un potencial de marea de grado 2 actúa sobre un planeta, este se deforma y su masa redistribuida añade un potencial propio. El número de Love $k_2$ es la razón entre ese potencial añadido y el potencial de marea, ambos tomados en la superficie del planeta.

Un planeta rígido tiene $k_2 = 0$; un planeta fluido de densidad uniforme cede por completo, con $k_2 = \tfrac32$. Entre ambos extremos, el número mide cuánta parte del planeta cede.

Proposición 26.2 (Número de Love de una esfera elástica uniforme)

Una esfera incompresible de densidad uniforme $\rho$, radio $R$, gravedad superficial $g$ y rigidez $\mu$ tiene

$$k_2 = \frac{3/2}{1 + \dfrac{19\mu}{2\rho g R}} .$$

El resultado, debido a Kelvin, se admite. La razón $\mu/\rho gR$ compara la rigidez elástica con la autogravedad que devuelve el abultamiento de marea a su posición: los planetas pequeños son rígidos, los grandes ceden. Para Marte, $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$; con la rigidez del manto superior terrestre, $67\,\mathrm{GPa}$ a $80\,\mathrm{km}$ de profundidad en el modelo de Tierra de referencia, la fórmula da $k_2 = 0.109$. El seguimiento de la sonda en órbita Mars Global Surveyor midió la marea solar de Marte: $k_2 = 0.153 \pm 0.017$, demasiado grande para un núcleo de hierro sólido. Al menos la parte exterior del núcleo es líquida, y en 2003 se situó su radio entre 1520 y $1840\,\mathrm{km}$.

Los sismómetros zanjaron la cuestión. El módulo de aterrizaje InSight registró terremotos marcianos y detectó ondas reflejadas en la parte superior del núcleo: radio $1830\,\mathrm{km}$, bajo un manto de $1560\,\mathrm{km}$ de profundidad y una corteza de 20 a $37\,\mathrm{km}$ de espesor. En la Luna, los sismómetros instalados por los astronautas del Apolo registraron seísmos lunares, los más profundos de ellos, a cientos de kilómetros bajo la superficie, provocados por las mareas terrestres. El núcleo lunar se describe hoy como un núcleo interno sólido rico en hierro de $240\,\mathrm{km}$ de radio, una capa líquida de hierro de $90\,\mathrm{km}$ de espesor que lo rodea y una capa parcialmente fundida por encima.

26.2 Impacto y cráteres

Un cuerpo procedente del espacio impacta contra un planeta a una velocidad no inferior a la de escape del planeta, $11.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en el caso de la Tierra; los asteroides suelen encontrarse con la Tierra a una velocidad de entre 15 y $25\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, y los cometas, de hasta $60\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. A $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, cada kilogramo transporta $2 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$, unas cincuenta veces la energía de un kilogramo de explosivo. El impacto envía una onda de choque al terreno y al proyectil, que se funde y se vaporiza; detrás del choque, la roca se pone en movimiento hacia afuera y en cuestión de segundos se abre un cráter.

Definición 26.3 (Cráter transitorio, cráter simple, cráter complejo, manto de eyecta)

El cráter transitorio es la cavidad en forma de cuenco abierta por el flujo de excavación en el momento en que deja de crecer; su profundidad es de aproximadamente un tercio de su diámetro. Un cráter simple es un cuenco con un borde elevado, con el cráter transitorio apenas modificado: sus paredes empinadas se derrumban hacia dentro formando una lente de brecha. Un cráter complejo es un cráter más grande cuyo cuenco transitorio colapsó: el suelo se elevó formando un levantamiento central, el borde se deslizó hacia dentro a lo largo de terrazas y el suelo es plano. El manto de eyecta es la capa de roca excavada que se proyecta más allá del borde y se deposita alrededor del cráter.

La excavación de un cráter de $1\,\mathrm{km}$ de diámetro dura unos seis segundos; la de un cráter de $200\,\mathrm{km}$, alrededor de un minuto y medio. El tamaño del cráter que produce un impacto depende de la energía del proyectil, de la gravedad y de la resistencia de la roca; las leyes que relacionan estas magnitudes se ajustan a experimentos y explosiones en forma de productos de grupos adimensionales, y se admiten aquí. Su espíritu reside en un balance de energías.

Proposición 26.4 (Escalado en el régimen gravitatorio)

Si una fracción fija de la energía del impacto $E$ levanta la roca excavada de densidad $\rho$ frente a la gravedad $g$, el diámetro del cráter crece como

$$D \propto \left(\frac{E}{\rho g}\right)^{1/4} .$$

Parte de la energía se invierte en calor, en fusión y en la rotura de la roca, de modo que las leyes reales quedan entre esta y reglas más simples: una tabla citada a menudo para la Tierra da un cráter veinte veces más ancho que su proyectil pétreo. La gravedad también determina dónde un cráter deja de ser simple. Las paredes del cuenco transitorio colapsan cuando el peso de la roca que sostienen, del orden de $\rho g D/3$, supera la resistencia de la roca, de modo que el diámetro de transición varía como $1/g$: unos $4\,\mathrm{km}$ en roca cristalina y $2\,\mathrm{km}$ en sedimentos en la Tierra, unos $20\,\mathrm{km}$ en la Luna, donde la gravedad es seis veces menor.

26.3 Datación por cráteres

Una superficie que se deja sin alterar acumula cráteres al ritmo con que los cuerpos la impactan. Contarlos permite datar la superficie, siempre que se conozca el ritmo y los cráteres sean los de la superficie, no los de lo que yace debajo ni los de los escombros lanzados desde un vecino.

Definición 26.5 (Distribución de tamaño–frecuencia de cráteres)

La distribución de tamaño–frecuencia de cráteres de una superficie es el número $N(D)$ de cráteres de diámetro igual o mayor que $D$ por unidad de área, en función de $D$ (la distribución acumulada), o bien los números contados en intervalos de diámetro, por lo general cada uno $\sqrt2$ veces más ancho que el anterior (la distribución incremental).

Definición 26.6 (Datación por cráteres; funciones de producción y de cronología; densidad de equilibrio)

La datación por cráteres es la determinación de la edad de una superficie a partir de la densidad de sus cráteres. La función de producción de cráteres es la forma de la distribución de tamaño–frecuencia de los cráteres que adquiere una superficie, $F(D) = N(D)/N(1\,\mathrm{km})$, supuesta la misma a cada edad. La función de cronología de cráteres $N_1(T)$ es el número de cráteres de $1\,\mathrm{km}$ o más por unidad de área acumulados en un tiempo $T$. Una superficie se halla en la densidad de equilibrio de cráteres para los cráteres de un tamaño dado cuando cada nuevo cráter borra, por término medio, tantos antiguos como añade: su número ya no crece.

La edad modelo de una superficie se deduce de un único recuento: $N(D)$ medido para cualquier $D$ da $N_1 = N(D)/F(D)$, y $T$ resuelve $N_1(T) = N_1$. Las rectas $N(D) = N_1(T)F(D)$ para $T$ fijo se llaman isócronas. Para Marte, una función de producción muy utilizada es un polinomio de grado 11 en $\log_{10}D$, y la función de cronología tiene la forma

lineal durante los últimos tres mil millones de años, y marcadamente exponencial antes. La función de la Luna tiene la misma forma, con $a = 5.44 \times 10^{-14}$ y $c = 8.38 \times 10^{-4}$. Se ajustó a las edades de los emplazamientos de aterrizaje de las misiones Apolo y Luna; la de Marte es la de la Luna, escalada por una estimación de la razón entre los ritmos de formación de cráteres en Marte y en la Luna.

Los cráteres se forman al azar, de forma independiente unos de otros, de modo que el número $n$ hallado en un área es una variable de Poisson.

Proposición 26.7 (Error de conteo de una edad modelo)

Si se cuentan $n$ cráteres en un área $A$, la densidad $N = n/A$ tiene la desviación típica $\sqrt n/A$, un error relativo $1/\sqrt n$, y la edad modelo la desviación típica

$$\sigma_T = \frac{N_1(T)}{\sqrt n\,N_1'(T)} .$$

El error relativo del recuento por sí solo es del diez por ciento para cien cráteres. En una superficie joven, donde $N_1$ es lineal, la edad hereda ese error: $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. En una antigua, la función empinada lo reduce, en un factor de seis a $3.8\,\mathrm{Ga}$ (el Ejercicio 26.11); las edades modelo de las superficies antiguas quedan entonces limitadas por la calibración de la propia función. Dos límites más acotan un recuento. Los cráteres pequeños se saturan: en las superficies más antiguas, los cráteres por debajo de unos $0.7\,\mathrm{km}$ están en la densidad de equilibrio y dejan de registrar el tiempo. Y una superficie puede renovarse sin borrarse del todo: una colada de lava que sepulta los cráteres pequeños pero no los bordes de los grandes deja una distribución con un quiebro, antigua en $D$ grande y joven en $D$ pequeño. El quiebro data la renovación de la superficie.

Definición 26.8 (Renovación de la superficie)

La renovación de la superficie es la renovación de una superficie planetaria, por lava, sedimento, hielo o deformación, que elimina o sepulta sus cráteres y reinicia su reloj de cráteres.

26.4 Volcanismo y tectónica más allá de la Tierra

Todo planeta terrestre pierde su calor interno a través de su litosfera. La Tierra lo hace con placas móviles; los demás, de otra manera.

Definición 26.9 (Tapa estancada)

Un planeta tiene una tapa estancada cuando su litosfera es una única cáscara rígida que no participa en la convección del manto subyacente: el calor la atraviesa por conducción y por el magma que asciende a través de ella. En un planeta de tapa móvil, como la Tierra, la litosfera está fragmentada en placas que se hunden de nuevo en el manto.

Definición 26.10 (Vulcanismo de tubo de calor)

El vulcanismo de tubo de calor es la pérdida de calor interno de un planeta sobre todo por el ascenso de magma a través de conductos estrechos y su erupción en la superficie, donde las lavas se enfrían y quedan sepultadas por otras posteriores: la litosfera se construye desde arriba y es arrastrada hacia abajo, fría.

Marte tiene una tapa estancada. Sin placas que se los lleven de sus fuentes, sus volcanes crecieron en el sitio durante mucho tiempo sobre el abultamiento de Tharsis. El Olympus Mons, el mayor volcán conocido del Sistema Solar, se alza $27\,\mathrm{km}$ de altura sobre una base de más de $600\,\mathrm{km}$ de diámetro, rodeado por un escarpe de hasta $6\,\mathrm{km}$ de altura; los tres Montes Tharsis cercanos tienen cada uno entre 350 y $400\,\mathrm{km}$ de diámetro. Una carga tan grande flexiona la litosfera, y la anchura de la fosa que excava mide, como en la Tierra, el espesor elástico de la tapa.

Venus, gemela de la Tierra en tamaño, tiene con mucho el menor número de cráteres de impacto de cualquier planeta rocoso salvo la Tierra. Sus rasgos superficiales podrían tener, de media, una edad de apenas 150 millones de años, con parches más antiguos entre ellos: el vulcanismo y la deformación renovaron la mayor parte de su superficie, quizá a trozos a lo largo de mucho tiempo, quizá más deprisa. Venus tiene miles de volcanes y ningún indicio de placas en movimiento.

Io, la luna interior más grande de Júpiter, pierde más de $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ a través de su superficie, unas 27 veces el promedio terrestre de $0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Su calor no procede de la radiactividad: lo generan las mareas.

Definición 26.11 (Calentamiento de marea)

El calentamiento de marea es el calor producido en el interior de un cuerpo por la fricción de la deformación que le impone una marea variable. Una luna en rotación síncrona y órbita excéntrica ve cómo la marea de su planeta cambia de intensidad y oscila de un lado a otro en cada órbita.

Proposición 26.12 (Potencia de marea de una luna síncrona)

Una luna de radio $R$ en rotación síncrona, en una órbita de movimiento medio $n$ y excentricidad pequeña $e$, disipa la potencia

$$\dot E = \frac{21}{2}\,\frac{k_2}{Q}\,\frac{(nR)^5}{G}\,e^2 ,$$

donde $Q$ es el factor de calidad de marea de la luna, de modo que $k_2/Q$ mide la parte de la deformación de marea que se pierde en forma de calor.

La proposición se admite. Las mareas que disipan energía también circularizan una órbita; la de Io sigue siendo elíptica, de excentricidad 0.004, porque los tirones de Europa y Ganímedes, sincronizados con gran precisión, la perturban, con periodos orbitales de 1.77, 3.55 y $7.15$ días que se mantienen casi exactamente en la razón 1:2:4 (véase el Ejercicio 26.8). Su superficie sube y baja hasta $100\,\mathrm{m}$ en cada órbita. Los volcanes cubren Io de lava más deprisa de lo que se forman cráteres sobre ella; un modelo de cómo escapa su calor es el vulcanismo de tubo de calor, que mantendría una litosfera gruesa y fría bajo su superficie ardiente.

Definición 26.13 (Océano subsuperficial)

Un océano subsuperficial es una capa global de agua líquida bajo la capa de hielo de una luna o de un planeta enano, mantenida líquida por el calor de marea y el radiogénico.

Definición 26.14 (Criovulcanismo)

El criovulcanismo es la erupción de agua, salmueras u otros líquidos y vapores volátiles, en lugar de roca fundida, sobre la superficie helada de una luna o de un planeta enano.

La capa de hielo de Europa, medida por el radiómetro de microondas de la sonda Juno en la región que sobrevoló, tiene un grosor medio de unos $29\,\mathrm{km}$; bajo ella yace un océano salino que contiene el doble de agua que todos los océanos de la Tierra. En la luna de Saturno Encélado, de apenas $500\,\mathrm{km}$ de diámetro, la sonda Cassini detectó en 2005 chorros de granos de hielo y gas que escapan por fracturas templadas cerca del polo sur a unos $400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Su gravedad y el balanceo de su rotación mostraron que los chorros se alimentan de un océano global, bajo una capa de hielo de 20 a $25\,\mathrm{km}$ de grosor medio, y quizá de solo 1 a $5\,\mathrm{km}$ en el polo sur.

26.5 Núcleos grandes y pequeños

Los cuatro núcleos medidos forman una familia extraña. En relación con su radio, el núcleo de la Tierra llega al 0.55 del camino hacia la superficie y el de Marte al 0.54; el de la Luna, al 0.19; el de Mercurio, al 0.82. La diferenciación, en el volumen de segundo año, separa el metal del silicato dentro de cada cuerpo, pero no puede hacer que las proporciones de metal sean tan diferentes. Sí pueden hacerlo los impactos gigantes. Se piensa que la Luna se formó a partir de los escombros de una colisión entre un cuerpo del tamaño de Marte y la Tierra joven hace unos 4.5 mil millones de años; el metal del impactor se unió al núcleo de la Tierra y la Luna reunió sobre todo roca del manto, de ahí su núcleo pequeño. Impactos similares pueden haber despojado de gran parte del manto silicatado a Mercurio y haberlo dejado como el planeta rico en hierro cuyo núcleo ocupa la mayor parte de su interior. Los núcleos registran, igual que los cráteres, una historia de colisiones.

26.6 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Mercurio tiene una densidad media de $5429\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, un factor de momento de inercia de 0.35 y un radio de $2440\,\mathrm{km}$. Con un modelo de dos capas y un manto de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcúlese el radio relativo del núcleo, su radio en kilómetros y su densidad.

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

$\tfrac52C\bar\rho = 2.5\times0.35\times5429 = 4750$; $x^2 = (4750 - 3300)/(5429 - 3300) = 0.681$, $x = 0.825$, un núcleo de $0.825\times2440 = 2010\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3300 + 2129/0.825^3 = 7090\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Ejercicio 26.2 ★

Un proyectil pétreo de $50\,\mathrm{m}$ de diámetro, de densidad $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, impacta verticalmente sobre la Tierra a $20\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense su masa y su energía cinética, en julios y en megatones de explosivo ($1\,\mathrm{Mt} = 4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$). ¿Qué diámetro de cráter da la regla de veinte diámetros del proyectil?

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

$m = 3500\times\tfrac43\pi(25)^3 = 2.29 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$; $E = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\times2.29 \times 10^{8}\times(2.0 \times 10^{4})^2 = 4.6 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$, o $4.6 \times 10^{16}/4.2 \times 10^{15} = 11\,\mathrm{Mt}$. La regla da un cráter de $20\times50\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 26.3 ★

En una llanura marciana de $100\,000\,\mathrm{km}^{2}$, se cuentan 120 cráteres de $1\,\mathrm{km}$ y más. Calcúlense $N_1$, su error relativo y la edad modelo de la llanura con su error.

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

$N_1 = 120/100\,000 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$, error relativo $1/\sqrt{120} = 9\,\%$. En la parte lineal, $T = N_1/c = 1.2 \times 10^{-3}/4.875 \times 10^{-4} = 2.46\,\mathrm{Ga}$ (el término exponencial, $8 \times 10^{-7}$, es despreciable), y $\sigma_T = T/\sqrt{120} = 0.22\,\mathrm{Ga}$.

Ejercicio 26.4 ★

Io, de radio $1821.5\,\mathrm{km}$, pierde $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Calcúlense su pérdida de calor total y compárese con la de la Tierra, $47\,\mathrm{TW}$, en total y por metro cuadrado ($0.092\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$).

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Área $4\pi(1.8215 \times 10^{6})^2 = 4.17 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{2}$; potencia $2.5\times 4.17 \times 10^{13} = 1.04 \times 10^{14}\,\mathrm{W} = 104\,\mathrm{TW}$, 2.2 veces la de la Tierra total, desde una superficie doce veces menor, y $2.5/0.092 = 27$ veces su flujo.

Ejercicio 26.5 ★★

Marte tiene una masa de $6.417 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ y un radio de $3389.5\,\mathrm{km}$. (a) Calcúlense su densidad media, su gravedad superficial y $\rho gR$. (b) Tratándolo como una esfera uniforme incompresible de rigidez $67\,\mathrm{GPa}$, calcúlese su número de Love $k_2$. (c) El valor medido es $0.153 \pm 0.017$. ¿Qué dice la comparación?

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

(a) $\bar\rho = 6.417 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; $g = GM/R^2 = 3.73\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\rho gR = 4.97 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$. (b) $19\mu/(2\rho gR) = 19\times6.7 \times 10^{10}/9.94 \times 10^{10} = 12.8$, $k_2 = 1.5/13.8 = 0.109$. (c) El valor medido es mayor en 2.6 desviaciones típicas: Marte da más que un planeta sólido con la rigidez del manto, como ocurriría con un núcleo líquido en el interior.

Ejercicio 26.6 ★★

En la Tierra ($g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), la transición de cráter simple a complejo ocurre a unos $4\,\mathrm{km}$ en roca cristalina y $2\,\mathrm{km}$ en sedimentos. (a) Suponiendo que el diámetro de la transición varía como $1/g$, prevéase su valor en la Luna ($g = 1.62\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) y en Marte y Mercurio ($g = 3.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$); compárese con los $20\,\mathrm{km}$ observados en la Luna. (b) Si el colapso comienza cuando $\rho gD/3$ supera la resistencia $Y$ de la roca, ¿qué resistencia proporciona la transición cristalina de la Tierra, para $\rho = 2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$?

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

(a) Luna: $4\times9.8/1.62 = 24\,\mathrm{km}$ en roca cristalina, $12\,\mathrm{km}$ en sedimentos; Marte y Mercurio: $4\times9.8/3.7 = 10.6\,\mathrm{km}$ y $5.3\,\mathrm{km}$. Los $20\,\mathrm{km}$ de la Luna quedan entre sus dos predicciones: la regla se cumple con un error de unas pocas decenas por ciento. (b) $Y = \rho gD/3 = 2600\times9.8\times4000/3 = 34\,\mathrm{MPa}$, la resistencia de roca fracturada, no la de un cristal intacto.

Ejercicio 26.7 ★★

Una superficie tiene $2.0 \times 10^{-3}$ cráteres de $1\,\mathrm{km}$ o más por kilómetro cuadrado. Calcúlese su edad modelo con la función de cronología de Marte, resolviendo la ecuación numéricamente. ¿Qué edad habría dado la función lunar, y por qué no pueden intercambiarse las dos?

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

Marte: $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 2.0 \times 10^{-3}$; la estimación lineal $4.1$ Ga es demasiado antigua, siendo grande allí; la bisección da $T = 3.34\,\mathrm{Ga}$ (término exponencial $3.6 \times 10^{-4}$, término lineal $1.63 \times 10^{-3}$). La función lunar da $2.39\,\mathrm{Ga}$. Cada función está calibrada para un solo cuerpo: la tasa de impactos y el tamaño de los cráteres que produce un proyectil dado difieren entre la Luna y Marte.

Ejercicio 26.8 ★★

Los periodos orbitales de Ío, Europa y Ganímedes son 1.769138, 3.551181 y $7.154\,553$ días. (a) Calcúlense los cocientes entre periodos sucesivos. (b) Calcúlese $1/P_I - 3/P_E + 2/P_G$ y coméntese. (c) ¿Por qué pueden las resonancias mantener una excentricidad que de otro modo eliminarían las mareas?

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

(a) $3.551181/1.769138 = 2.0073$ y $7.154553/3.551181 = 2.0147$, cercanos a $2$. (b) $0.565247 - 0.844789 + 0.279542 = 0.000000$ por día, con una precisión de $1 \times 10^{-7}$: los tres movimientos medios están bloqueados, una resonancia que mantiene las posiciones relativas de las lunas en cada conjunción. (c) Los tirones se repiten en los mismos puntos de la órbita, así que se suman en lugar de promediarse; alimentan la excentricidad tan rápido como las mareas la amortiguan.

Ejercicio 26.9 ★★

Ío orbita Júpiter en $1.769\,138$ días con excentricidad 0.004. Calcúlese la potencia que da la proposición sobre potencia de marea por unidad de $k_2/Q$, y el valor de $k_2/Q$ que suministraría la pérdida de calor de Ío calculada en el Ejercicio 26.4.

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

$n = 2\pi/(1.769138\times86400) = 4.111 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $nR = 74.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $(nR)^5/G = 3.53 \times 10^{19}\,\mathrm{W}$; $\tfrac{21}{2}e^2(nR)^5/G = 10.5\times1.6 \times 10^{-5}\times3.53 \times 10^{19} = 5.9 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ por unidad de $k_2/Q$. Entonces $k_2/Q = 1.04 \times 10^{14}/5.9 \times 10^{15} = 0.018$.

Ejercicio 26.10 ★★★

Para la Luna, $\bar\rho = 3340\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $C = 0.394$. (a) Demuéstrese que en el modelo de dos capas $\mathrm dx^2/\mathrm dC = \tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$ para $\rho_m$ fijo. (b) Con la densidad del manto que da un núcleo de $x = 0.19$, $3288\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, ¿cuáles son $x$ y $\rho_c$ cuando $C = 0.395$, y cuando $C = 0.393$? (c) ¿Qué dice esto sobre la determinación de un núcleo pequeño mediante el momento de inercia?

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

(a) $x^2 = (\tfrac52C\bar\rho - \rho_m)/(\bar\rho - \rho_m)$ es lineal en $C$, con pendiente $\tfrac52\bar\rho/(\bar\rho - \rho_m)$. (b) La pendiente es $2.5\times3340/52 = 161$: $x^2$ cambia en $0.161$ por cada $0.001$ de $C$. Para $C = 0.395$, $x^2 = 0.036 + 0.161 = 0.197$, $x = 0.44$, $\rho_c = 3880\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$; para $C = 0.393$, $x^2 < 0$: no hay núcleo alguno. (c) Cerca de $C = \tfrac25$ el momento de inercia apenas nota un núcleo pequeño: su tercera cifra significativa decide entre un núcleo grande y ligero y ninguno. Se necesitan ondas sísmicas, mareas y el campo magnético.

Ejercicio 26.11 ★★★

(a) Para 100 cráteres, calcúlese el error de conteo de la edad modelo de una superficie marciana de $1.0\,\mathrm{Ga}$ de antigüedad y de otra de $3.8\,\mathrm{Ga}$. (b) Demuéstrese que en la parte lineal de la función de cronología $\sigma_T/T = 1/\sqrt n$. (c) ¿Por qué siguen siendo inciertas las edades de las superficies antiguas?

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

(a) $\sigma_T = N_1/(10\,N_1')$: a $1.0\,\mathrm{Ga}$, $N_1 \approx N_1' \approx 4.875 \times 10^{-4}$, $\sigma_T = 0.10\,\mathrm{Ga}$; a $3.8\,\mathrm{Ga}$, $N_1 = 1.07 \times 10^{-2}$ y $N_1' = 6.15 \times 10^{-2}$, $\sigma_T = 0.017\,\mathrm{Ga}$, seis veces menor. (b) Con $N_1 = cT$, $N_1' = c$ y $\sigma_T = cT/(\sqrt n\,c) = T/\sqrt n$. (c) La propia función de cronología es incierta: se apoya en unos pocos emplazamientos datados de la Luna y en el escalado de la Luna a Marte, errores que ningún recuento reduce.

Ejercicio 26.12 ★★★

Europa, de radio $1560.8\,\mathrm{km}$, orbita en $3.551\,181$ días con excentricidad 0.009. (a) Si Europa disipara mareas con el mismo $k_2/Q$ que Ío, ¿qué fracción de la potencia de marea de Ío produciría, y qué flujo de calor? (b) ¿Por qué es dudoso el supuesto para un satélite con un océano bajo su hielo?

Solución

Solución de Ejercicio 26.12.

(a) La razón es $(n_ER_E/n_IR_I)^5(e_E/e_I)^2 = (0.4982\times0.8569)^5 \times(0.009/0.004)^2 = 0.0142\times5.06 = 0.072$: unos $7.5 \times 10^{12}\,\mathrm{W}$, o $7.5 \times 10^{12}/(4\pi(1.5608 \times 10^{6})^2) = 0.24\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) Un océano desacopla la corteza de hielo del interior: la corteza se flexiona mucho más que una luna sólida, y su hielo se disipa de forma distinta que la roca caliente de Ío, así que $k_2$ y $Q$ cambian ambos.

26.7 Problema: dos llanuras en Marte

Problema 26.1

Problema de fin de semana — el núcleo de Marte y las edades de dos llanuras de lava inventadas

Marte tiene una masa de $6.4169 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, un radio de $3389.5\,\mathrm{km}$ y un factor de momento de inercia de 0.366. Dos llanuras inventadas, A y B, se encuentran en sus provincias volcánicas; sus cráteres se han contado en imágenes, agrupados en clases de anchura $\sqrt2$.

Parte I — El núcleo.

1. Calcúlese la densidad media de Marte.
2. Con un modelo de dos capas y un manto de $3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calcúlese el radio relativo del núcleo, su radio en kilómetros y su densidad.
3. InSight midió un radio del núcleo de $1830\,\mathrm{km}$. ¿Qué densidades del manto y del núcleo exige entonces el modelo de dos capas?
4. Compárese esa densidad del núcleo con la del núcleo externo de la Tierra justo por debajo de su parte superior, $9900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ en el modelo de Tierra de referencia, y explíquese por qué se espera un valor menor para Marte y qué más sugiere.
5. El número de Love de Marte para una esfera homogénea con una rigidez de $67\,\mathrm{GPa}$ es 0.109; el medido es 0.153. ¿Cuál de las observaciones llegó primero, y qué decía ya sobre el núcleo?
6. La corteza de Marte tiene entre 20 y $37\,\mathrm{km}$ de espesor. ¿Qué fracción del volumen del planeta ocupa? ¿Fue correcto ignorarla?

Parte II — El recuento de cráteres en la llanura A. La llanura A cubre $80\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Sus cráteres, por clase de diámetro (km):

clase	1–1.41	1.41–2	2–2.83	2.83–4	4–5.66	5.66–8	8–11.3	11.3–16	16–22.6
llanura A	38	6	5	3	0	0	0	1	1
llanura B	48	8	31	12	7	2	0	2	2

7. Calcúlense los recuentos acumulados de la llanura A, a partir de $1\,\mathrm{km}$.
8. Calcúlense $N(1\,\mathrm{km})$ por kilómetro cuadrado y su desviación típica.
9. La función de producción da $F(2\,\mathrm{km}) = 0.147$ y $F(1.41\,\mathrm{km}) = 0.355$. ¿Son los recuentos a 1.41 y $2\,\mathrm{km}$ compatibles con la forma de la función de producción?
10. ¿Está la llanura A siquiera cerca de la densidad de equilibrio, $0.072\,\mathrm{km}^{-2}$ a $1\,\mathrm{km}$?
11. ¿Por qué se eligen las clases con anchura $\sqrt2$?
12. Los agrupamientos y cadenas de cráteres pequeños se excluyen de un recuento. ¿Por qué?

Parte III — Edades modelo. Utilícese la función de cronología de Marte.

13. Calcúlese la edad modelo de la llanura A. Compruébese que el término exponencial puede despreciarse.
14. Calcúlese su error de recuento.
15. ¿Qué edad habría dado la cronología lunar?
16. La llanura B cubre $120\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Usando sus cráteres de $2\,\mathrm{km}$ o más, calcúlense $N(2\,\mathrm{km})$, después $N_1$ y, a continuación, su edad modelo, resolviendo la ecuación numéricamente.
17. Calcúlese el error de recuento de esa edad.
18. Compárense los errores relativos de las dos edades y explíquese la diferencia.

Parte IV — Los cráteres enterrados de la llanura B.

19. ¿Cuántos cráteres entre $1$ y $2\,\mathrm{km}$ debería tener la llanura B si toda su superficie tuviera la edad de la pregunta 16? ¿Cuántos tiene?
20. Supóngase que la lava enterró todos los cráteres menores de $2\,\mathrm{km}$ en un instante $T_r$ y respetó los mayores. Calcúlese $T_r$ a partir de los cráteres de $1$–$2\,\mathrm{km}$.
21. Calcúlese el error de recuento de $T_r$.
22. Tómese un cráter simple fresco en Marte con una profundidad igual a una quinta parte de su anchura (supuesto de este problema). ¿Qué espesor debe tener la lava para enterrar un cráter de $2\,\mathrm{km}$, y por qué siguen apareciendo los mayores?
23. ¿Podrían la lava de la llanura B y la de la llanura A pertenecer a un mismo episodio de vulcanismo?
24. Indíquese la edad modelo de la llanura A, en miles de millones de años, con dos cifras significativas.

Solución

Solución de Problema 26.1.

1. $\bar\rho = 6.4169 \times 10^{23}/(\tfrac43\pi(3.3895 \times 10^{6})^3) = 3934\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $\tfrac52C\bar\rho = 3600$; $x^2 = (3600 - 3500)/(3934 - 3500) = 0.230$, $x = 0.479$, un núcleo de $1620\,\mathrm{km}$; $\rho_c = 3500 + 434/0.479^3 = 7450\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

3. $x = 1830/3389.5 = 0.540$; $\rho_m = (3600 - 0.2915\times 3934)/(1 - 0.2915) = 3460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_c = 3462 + 472/0.1574 = 6460\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

4. Es un tercio menor. La presión en el núcleo de Marte es mucho inferior a la de la Tierra, así que su metal está menos comprimido; y un núcleo tan ligero sugiere elementos mucho más ligeros mezclados con el hierro.

5. El número de Love (2003) es muy anterior a InSight (2021): ya demostró que al menos el núcleo externo es líquido y situó su radio entre 1520 y $1840\,\mathrm{km}$, un intervalo que contiene el valor sismológico.

6. $1 - (1 - 20/3389.5)^3 = 1.8\,\%$ a $1 - (1 - 37/3389.5)^3 = 3.2\,\%$ del volumen, y menos de la masa: más ligero que el manto, reduce un poco la densidad efectiva del manto, un efecto menor que la incertidumbre del modelo.

7. Desde $1\,\mathrm{km}$: 54; desde 1.41: 16; desde 2: 10; desde 2.83: 5; desde 4, 5.66, 8 y 11.3: 2; desde 16: 1.

8. $N = 54/80000 = 6.75 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $\sigma = \sqrt{54}/80000 = 0.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$ ($14\,\%$).

9. Se esperan $54\times0.355 = 19$ cráteres de $1.41\,\mathrm{km}$ y $54\times0.147 = 7.9$ de $2\,\mathrm{km}$; se contaron 16 y 10, dentro de una desviación típica ($\sqrt{19} = 4.4$, $\sqrt{7.9} = 2.8$): consistente.

10. No: $0.072/6.75 \times 10^{-4} = 107$ veces por debajo. El recuento registra el tiempo.

11. Los intervalos de igual anchura en $\log D$ cubren el rango de manera uniforme y mantienen cantidades comparables de cráteres en los intervalos de una distribución empinada.

12. Son cráteres secundarios, formados por bloques lanzados desde un cráter primario grande: no son impactos independientes procedentes del espacio, añadirían cráteres que la función de cronología no cuenta.

13. $T = 6.75 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.385\,\mathrm{Ga}$; el término exponencial, $3.22 \times 10^{-14}(e^{9.6} - 1) = 4.7 \times 10^{-10}$, es una millonésima parte de $N_1$.

14. $\sigma_T = T/\sqrt{54} = 0.19\,\mathrm{Ga}$: $1.38 \pm 0.19$ Ga.

15. $6.75 \times 10^{-4}/8.38 \times 10^{-4} = 0.81\,\mathrm{Ga}$, más joven en casi la mitad.

16. $31 + 12 + 7 + 2 + 0 + 2 + 2 = 56$ cráteres; $N(2\,\mathrm{km}) = 56/120000 = 4.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$; $N_1 = 4.67 \times 10^{-4}/0.1473 = 3.17 \times 10^{-3}\,\mathrm{km}^{-2}$. Bisección sobre $3.22 \times 10^{-14}(e^{6.93T} - 1) + 4.875 \times 10^{-4}\,T = 3.17 \times 10^{-3}$ da $T = 3.54\,\mathrm{Ga}$ (el término exponencial $1.45 \times 10^{-3}$, término lineal $1.73 \times 10^{-3}$).

17. $N_1' = 3.22 \times 10^{-14}\times6.93\,e^{6.93\times3.54} + 4.875 \times 10^{-4} = 1.05 \times 10^{-2}$; $\sigma_T = 3.17 \times 10^{-3}/(\sqrt{56}\times 1.05 \times 10^{-2}) = 0.040\,\mathrm{Ga}$.

18. Llanura A: $14\,\%$; llanura B: $1.1\,\%$. En la parte inicial, empinada, de la cronología, un cambio grande de la densidad de cráteres significa un cambio pequeño de edad; en la parte lineal la edad es tan incierta como el recuento.

19. $120000\times3.17 \times 10^{-3}\times(1 - 0.1473) = 324$; el conjunto lleva $48 + 8 = 56$.

20. $N_1 = 56/(120000\times0.8527) = 5.47 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{-2}$, $T_r = 5.47 \times 10^{-4}/4.875 \times 10^{-4} = 1.12\,\mathrm{Ga}$.

21. $\sigma = 1.12/\sqrt{56} = 0.15\,\mathrm{Ga}$.

22. Un cráter de $2\,\mathrm{km}$ tiene $400\,\mathrm{m}$ de profundidad: la lava tenía al menos ese espesor. Los cráteres mayores son más profundos y sus bordes se elevan más; en parte quedaron rellenos y todavía se aprecian.

23. $1.38 \pm 0.19$ y $1.12 \pm 0.15$ Ga difieren en $0.26\,\mathrm{Ga}$, aproximadamente una desviación típica combinada ($\sqrt{0.19^2 + 0.15^2} = 0.24$): los recuentos permiten un único episodio, aunque no lo demuestran.

24. La joven llanura de lava A tiene una edad modelo de 1.4 mil millones de años ($1.38 \pm 0.19$ Ga).