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Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer año · স্নাতক তৃতীয় বর্ষ

12Modelización de elementos en trazas

Dos basaltos entraron en erupción en la misma isla, separados por pocos kilómetros. Uno tiene más de una vez y media más lantano que el otro, y casi cuatro veces menos iterbio. ¿Se fundieron a partir de dos mantos distintos, o de un mismo manto fundido en distinta medida, o a profundidades diferentes? Los elementos mayoritarios apenas permiten distinguirlo: ambas son basaltos. Los elementos en trazas, que siguen a los minerales sin alterarlos, guardan un registro de cuánto fundido se formó, de cómo abandonó su fuente y de qué minerales quedaron retenidos. Este capítulo escribe ese registro en forma de ecuaciones y lo interpreta a partir de ellas.

Lo que ya sabes

El coeficiente de reparto mineral–fundido $D$ , el coeficiente de reparto global, los elementos compatibles e incompatibles, las tierras raras, la condrita CI y el manto primitivo, los diagramas normalizados y la anomalía de europio, MORB y OIB se encuentran en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre los elementos en la Tierra. La peridotita, la lherzolita, la fusión parcial y la fracción de fundido $F$ están en su capítulo sobre la fusión del manto; la cristalización en equilibrio y la fraccionada, la ley de fraccionamiento de Rayleigh, la mezcla y la asimilación–cristalización fraccionada (AFC), en su capítulo sobre la diferenciación magmática. Allí se demostró la constancia de la razón entre dos elementos muy incompatibles durante la cristalización.

12.1 El balance de masa de una roca en fusión

Una roca de masa 1 se funde. A una fracción de fundido $F$ ha generado una masa $F$ de fundido y conserva una masa $1 - F$ de residuo sólido. Un elemento traza presente en la fuente a la concentración $C_0$ se reparte entre ambos; su concentración en el fundido es $C_L$ , en el residuo $C_S$ . Todo modelo de este capítulo es una forma de un único balance, $C_0 = FC_L + (1 - F)C_S$ para el conjunto de fundido y residuo, y una regla que vincula $C_S$ con $C_L$ : en el contacto entre un cristal y el fundido, $C_{\text{mineral}} = D\,C_L$ . Los modelos difieren en qué está en contacto con qué y cuándo.

Los coeficientes de reparto de los minerales del manto difieren mucho. En una recopilación, el lantano tiene $D = 0.058$ en clinopiroxeno y $0.001$ en granate, olivino, ortopiroxeno y espinela; el iterbio tiene $D = 0.58$ en clinopiroxeno, $4.5$ en granate y $0.16$ en los otros tres. El granate incorpora las tierras raras pesadas y rechaza las ligeras.

Definición 12.1 (Fusión no modal)

En la fusión no modal, los minerales de la fuente pasan al fundido en proporciones $p_i$ que difieren de sus fracciones másicas $x_i$ en la fuente. El fundido ve entonces el coeficiente de reparto global de la fuente, $D_0 = \sum_i x_iD_i$ , al inicio, y el coeficiente ponderado por la fusión, $P = \sum_i p_iD_i$ , a medida que esta avanza.

La fusión rara vez es modal. En un ejemplo resuelto de lherzolita de espinela con $58\,\%$ de olivino, $27\,\%$ de ortopiroxeno, $12\,\%$ de clinopiroxeno y $3\,\%$ de espinela, los minerales pasan al fundido en las proporciones 20, 25, 45 y $10\,\%$ : el clinopiroxeno se funde cuatro veces más deprisa que su proporción, y el olivino tres veces más despacio.

Proposición 12.2 (Coeficiente de reparto global del residuo)

En la fusión no modal con $p_i$ constante, el residuo a la fracción de fundido $F$ tiene el coeficiente de reparto global

\bar D(F) = \frac{D_0 - PF}{1 - F},

válida mientras permanezca cada mineral, es decir, para $F < x_i/p_i$ para cada $i$ .

Demostración. Por unidad de masa de fuente, la masa del mineral $i$ que queda a $F$ es $x_i - p_iF$ , y el residuo tiene masa $1 - F$ . Su coeficiente global es la media ponderada por masa de los valores, $\sum_i (x_i - p_iF)D_i/(1 - F) = (D_0 - PF)/(1 - F)$ . Un mineral se agota cuando $x_i - p_iF = 0$ . ∎

Con los coeficientes minerales anteriores, la lherzolita de espinela del ejemplo resuelto y una lherzolita de granate mantenida a $5\,\mathrm{GPa}$ y $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el laboratorio, con $54.1\,\%$ de olivino, $9.8\,\%$ de ortopiroxeno, $19.5\,\%$ de clinopiroxeno y $16.7\,\%$ de granate en masa, tienen los coeficientes globales siguientes.

fuente	$D_{\mathrm{La}}$	$D_{\mathrm{Sm}}$	$D_{\mathrm{Yb}}$
lherzolita de espinela	0.0078	0.062	0.21
lherzolita de granate	0.012	0.107	0.97

El lantano es muy incompatible en ambas. El iterbio es moderadamente incompatible en la lherzolita de espinela y casi neutro en la lherzolita de granate. La diferencia entre las dos fuentes reside casi por completo en las tierras raras pesadas.

12.2 Fusión en equilibrio

Teorema 12.3 (Fusión en equilibrio)

En la fusión en equilibrio, el fundido permanece en equilibrio con la totalidad del residuo hasta salir en un único lote. Con un coeficiente de reparto global $D$ constante, el fundido y el residuo a la fracción de fundido $F$ tienen

\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D + F(1 - D)}, \qquad \frac{C_S}{C_0} = \frac{D}{D + F(1 - D)}.

Demostración. En el equilibrio, cada cristal del residuo contiene $D_iC_L$ , de modo que el residuo contiene $C_S = DC_L$ de promedio. El balance $C_0 = FC_L + (1 - F)DC_L$ da $C_L$ , y $C_S$ se obtiene a continuación. ∎

La fórmula es la ley de cristalización en equilibrio del volumen de segundo año leída al revés: en ambas, $F$ es la fracción de líquido en un sistema cerrado. Sus dos límites merecen conocerse. Cuando $F \to 0$ , $C_L \to C_0/D$ : la primera gota de fundido puede enriquecer un elemento como máximo en el factor $1/D$ . Cuando $D \to 0$ , $C_L \to C_0/F$ : un elemento perfectamente incompatible se diluye en el fundido, y su enriquecimiento depende solo de $F$ . Para un elemento compatible, $D > 1$ , el fundido es más pobre que la fuente, y tanto más cuanto menor es $F$ .

Proposición 12.4 (Fusión en equilibrio no modal)

En la fusión en equilibrio con las proporciones de fusión $p_i$ de la Definición 12.1,

\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D_0 + F(1 - P)}.

Demostración. El residuo contiene $\bar D(F)\,C_L$ (la Proposición 12.2), de modo que $C_0 = FC_L + (1 - F)\bar D(F)C_L = C_L(F + D_0 - PF)$ . ∎

Cuando $P$ supera a $D_0$ , como ocurre con el lantano en el ejemplo resuelto, donde $D_0 = 0.0074$ y $P = 0.025$ , el residuo pierde su mejor huésped, el clinopiroxeno, más deprisa que el resto. El fundido resulta entonces algo más rico de lo que predice la fusión modal, en menos de $2\,\%$ a $F = 0.1$ para el lantano (ejercicio 6), pero el residuo se queda sin clinopiroxeno a $F = 0.12/0.45 \approx 0.27$ , y más allá de ese punto cambian los minerales y los coeficientes.

12.3 Fusión fraccionada y dinámica

El fundido de una peridotita se acumula a lo largo de los bordes de grano y puede escapar en cuanto queda conectado. El extremo opuesto a la fusión en equilibrio elimina cada gota en cuanto se forma.

Teorema 12.5 (Fusión fraccionada)

En la fusión fraccionada, cada incremento de fundido está en equilibrio con el residuo solo en el momento en que se forma, y después lo abandona. Con $D$ constante, cuando se ha extraído una masa total $F$ de fundido, el residuo y el fundido que se forma en ese momento cumplen

\frac{C_S}{C_0} = (1 - F)^{1/D - 1}, \qquad \frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D}(1 - F)^{1/D - 1}.

Demostración. El residuo tiene masa $1 - F$ y concentración $C_S$ . Cuando sale una masa $\mathrm dF$ de fundido a $C_L = C_S/D$ , el elemento en el residuo disminuye en $\mathrm d[(1 - F)C_S] = -(C_S/D)\,\mathrm dF$ . Desarrollando, $(1 - F)\,\mathrm dC_S = C_S(1 - 1/D)\,\mathrm dF$ , de modo que $\mathrm dC_S/C_S = (1/D - 1)\,\mathrm d[-\ln(1 - F)]$ . Integrando desde $C_S = C_0$ en $F = 0$ resulta $\ln(C_S/C_0) = (1/D - 1)\ln(1 - F)$ , y $C_L = C_S/D$ . ∎

Para un elemento incompatible, $1/D - 1$ es grande y positivo: el residuo queda empobrecido en pocas veces $D$ de fusión, y el fundido instantáneo cae desde $C_0/D$ hasta casi nada. Un residuo de fusión fraccionada está mucho más empobrecido que uno de fusión en equilibrio. Los fundidos, sin embargo, no se extraen uno a uno: se acumulan en canales y se reúnen en charcos, y el fundido fraccionado agregado, definido más abajo, se dibuja con trazos en la figura.

Enriquecimiento de un elemento en trazas en el fundido frente a la fracción de fundido, para cuatro coeficientes de reparto global. (a) Fundidos en equilibrio (continua) y fundidos fraccionados agregados (de trazos; para D = 1 ambos permanecen en 1). (b) Los fundidos instantáneos de la fusión fraccionada: un elemento con D = 0.01 se agota del residuo tras unos pocos por ciento de fusión. — Enriquecimiento de un elemento en trazas en el fundido frente a la fracción de fundido, para cuatro coeficientes de reparto global. (a) Fundidos en equilibrio (continua) y fundidos fraccionados agregados (de trazos; para $D = 1$ ambos permanecen en 1). (b) Los fundidos instantáneos de la fusión fraccionada: un elemento con $D = 0.01$ se agota del residuo tras unos pocos por ciento de fusión.

Definición 12.6 (Fundido fraccionado agregado)

El fundido fraccionado agregado es la mezcla de todos los fundidos instantáneos de una fusión fraccionada desde $0$ hasta $F$ , acumulados sin reacción posterior con el residuo.

Proposición 12.7 (Composición del fundido agregado)

Con un $D$ constante, el fundido fraccionado agregado cumple

\frac{\bar C_L}{C_0} = \frac{1 - (1 - F)^{1/D}}{F}.

Demostración. El elemento extraído es la fuente menos el residuo, $C_0 - (1 - F)C_S = C_0[1 - (1 - F)^{1/D}]$ según el Teorema 12.5, repartido sobre una masa $F$ de fundido. ∎

Cuando $(1 - F)^{1/D}$ es pequeño, el fundido agregado contiene todo el elemento y $\bar C_L \approx C_0/F$ , sea cual sea $D$ : para elementos muy incompatibles, los fundidos fraccionados agregados y los fundidos en equilibrio con $D$ pequeño coinciden, y ambos miden $F$ .

La fusión real se sitúa entre los dos extremos. El residuo retiene algo de fundido en sus poros, y el fundido que sale es el exceso por encima de esa porosidad.

Definición 12.8 (Fusión dinámica)

En la fusión dinámica (también llamada fusión continua), el residuo conserva una fracción másica constante $\phi$ de fundido en sus poros, en equilibrio con sus cristales, y todo el fundido producido más allá de esa cantidad se extrae.

Proposición 12.9 (Fusión dinámica)

La fusión dinámica con porosidad $\phi$ es una fusión fraccionada con el coeficiente de reparto efectivo $D' = (1 - \phi)D + \phi$ , donde $F$ es la fracción másica de fundido extraída:

\frac{C_L}{C_0} = \frac{1}{D'}(1 - F)^{1/D' - 1}.

Demostración. El residuo está formado por cristales con la fracción $1 - \phi$ y por fundido de poros con la fracción $\phi$ , ambos en equilibrio con el fundido a $C_L$ , de modo que $C_S = [(1 - \phi)D + \phi]C_L = D'C_L$ . La demostración del Teorema 12.5 se aplica entonces con $D'$ . ∎

Para $\phi = 0$ el modelo es la fusión fraccionada; para $\phi \to 1$ se aproxima a la fusión en equilibrio. Una porosidad del uno por ciento limita el enriquecimiento del primer fundido a $1/\phi = 100$ , por pequeño que sea $D$ : el fundido de poros amortigua el residuo.

Tres formas de que el fundido salga de una fuente en fusión. (a) En equilibrio: el fundido permanece con todo el residuo y sale después. (b) Fraccionada: cada incremento sale de inmediato; los incrementos acumulados forman el fundido agregado. (c) Dinámica: el residuo conserva una pequeña fracción másica de fundido en sus poros. — Tres formas de que el fundido salga de una fuente en fusión. (a) En equilibrio: el fundido permanece con todo el residuo y sale después. (b) Fraccionada: cada incremento sale de inmediato; los incrementos acumulados forman el fundido agregado. (c) Dinámica: el residuo conserva una pequeña fracción másica $\phi$ de fundido en sus poros.

12.4 Fusión y cristalización

Un fundido que sale de su fuente rara vez llega a la superficie sin cambios. Va cristalizando olivino, luego piroxeno y plagioclasa durante el ascenso, puede asimilar roca de caja y puede mezclarse con otros lotes. Las leyes del volumen de segundo año se aplican por turnos: una lava es un fundido de fracción $F$ de su fuente, y después un líquido que ha conservado una fracción $f$ de su masa mediante cristalización fraccionada, de modo que, para un elemento con $D$ en el residuo de fusión y $D_c$ en los minerales que cristalizan,

C_{\text{lava}} = C_0\,\frac{1}{D + F(1 - D)}\,f^{\,D_c - 1}.

El segundo factor es el mismo para todos los elementos que los minerales en cristalización rechazan, $D_c \approx 0$ : los escala a todos por $1/f$ . Los cocientes entre tales elementos quedan, por tanto, fijados en la fuente, y una lava que ha perdido olivino conserva el cociente La/Yb de su fundido primario mientras su lantano aumenta. Invertir $F$ a partir de una concentración requiere también $f$ ; invertir la fuente a partir de un cociente no lo requiere. La plagioclasa es la excepción entre las tierras raras: incorpora europio, y su eliminación deja la anomalía de europio del volumen de segundo año.

12.5 Interpretación de los patrones de tierras raras

Un fundido de una lherzolita de espinela y un fundido de una lherzolita de granate comparten sus tierras raras ligeras, que ningún residuo retiene, y difieren en las pesadas, que retiene el granate. En un diagrama normalizado a condrita, los fundidos de granate son empinados y de fondo plano en el extremo pesado; los de espinela son más suaves. La pendiente aumenta a medida que $F$ disminuye.

Patrones de tierras raras normalizados a condrita de fundidos de fusión en equilibrio de una fuente de manto primitivo, a partir de una lherzolita de espinela (círculos azules) y una lherzolita de granate (cuadrados rojos), a tres fracciones de fundido; la fuente es la línea fina. Solo se representan las nueve tierras raras con coeficientes de reparto tabulados.

El granate cede el paso a la espinela como mineral aluminoso del manto, entre unos 60 y $90\,\mathrm{km}$ de profundidad. Un fundido cuyas tierras raras pesadas son planas y bajas, con una pendiente pronunciada de ligeras a pesadas, ha dejado, por tanto, granate en su residuo y ha empezado a fundirse al menos a esa profundidad.

Un patrón mezcla dos incógnitas, $F$ y la fuente. Representar dos elementos uno frente a otro permite separarlas.

Definición 12.10 (Diagrama razón–razón)

Un diagrama razón–razón representa, para una serie de lavas, la razón entre un elemento muy incompatible $H$ y otro menos incompatible $M$ frente a la concentración de $H$ (o frente a otra razón). La fusión parcial, la cristalización y la mezcla dibujan líneas de distintas formas en él.

Proposición 12.11 (La recta de fusión en equilibrio)

Para fundidos de fusión en equilibrio de una fuente con $D_H = 0$ y un $D_M$ constante, los puntos $(C_H, C_H/C_M)$ se sitúan sobre la recta

\frac{C_H}{C_M} = \frac{D_M}{C_0^M}\,C_H + \frac{C_0^H(1 - D_M)}{C_0^M}.

Demostración. Con $D_H = 0$ , $C_H = C_0^H/F$ , luego $1/F = C_H/C_0^H$ . Entonces $C_H/C_M = (C_0^H/F)\,(D_M + F(1 - D_M))/C_0^M = C_0^HD_M/(FC_0^M) + C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$ , y el primer término es $(D_M/C_0^M)\,C_H$ . ∎

La cristalización fraccionada de minerales que rechazan ambos elementos desplaza una lava horizontalmente en este diagrama, ya que la razón no cambia; la fusión la desplaza a lo largo de una recta inclinada cuya pendiente crece con $D_M$ ; la mezcla de dos fundidos dibuja una hipérbola. Una fuente con granate tiene un $D_{\mathrm{Yb}}$ grande y, por tanto, una recta de fusión empinada en La/Yb frente a La.

Método 12.12 (Invertir dos lavas)

(1) Se comprueba que las lavas son cogenéticas y que $H$ es mucho más incompatible que $M$ . (2) Se corrige cada lava por cristalización, o se usan solo razones. (3) Con dos o más lavas, se ajusta la recta $C_H/C_M = aC_H + b$ . (4) Entonces $a = D_M/C_0^M$ y $b = C_0^H(1 - D_M)/C_0^M$ : suponiendo conocido $C_0^M$ , $D_M = aC_0^M$ y $C_0^H = bC_0^M/(1 - D_M)$ . (5) La fracción de fundido de cada lava es $F = C_0^H/C_H$ .

Fundidos de fusión en equilibrio de una fuente de manto primitivo en un diagrama de La/Yb frente a La, para una lherzolita de espinela y una de granate, con marcas en F = 1, 2, 5, 10 y 20\,\%, y las dos lavas inventadas del problema de fin de semana. Cada lava se sitúa sobre una sola curva. — Fundidos de fusión en equilibrio de una fuente de manto primitivo en un diagrama de La/Yb frente a La, para una lherzolita de espinela y una de granate, con marcas en $F = 1$ , 2, 5, 10 y $20\,\%$ , y las dos lavas inventadas del problema de fin de semana. Cada lava se sitúa sobre una sola curva.

En escala logarítmica la recta de la proposición se curva, y con $D_{\mathrm{La}} \ne 0$ solo es casi recta en ejes lineales; las curvas de la figura son exactas. Una fuente de espinela no puede producir un fundido con razón La/Yb superior a $(C_0^{\mathrm{La}}/D_{\mathrm{La}})/(C_0^{\mathrm{Yb}}/D_{\mathrm{Yb}})$ , unas 40 para el manto primitivo; una fuente de granate puede alcanzar unas 120.

12.6 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Con los coeficientes minerales del samario, 0.40 en clinopiroxeno, 0.11 en granate y 0.016 en olivino, ortopiroxeno y espinela, calcúlese el coeficiente de reparto global del samario en la lherzolita de espinela ( $12\,\%$ de clinopiroxeno) y en la lherzolita de granate ( $19.5\,\%$ de clinopiroxeno, $16.7\,\%$ de granate) del capítulo.

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

Lherzolita de espinela: $0.12\times0.40 + 0.88\times0.016 = 0.048 + 0.0141 = 0.062$ . Lherzolita de granate: $0.195\times0.40 + 0.167\times0.11 + 0.639\times0.016 = 0.078 + 0.0184 + 0.0102 = 0.107$ .

Ejercicio 12.2 ★

Un elemento con $D = 0.05$ está presente a $1\,\mathrm{ppm}$ en una fuente. Calcúlese su concentración en los fundidos de fusión en equilibrio para $F = 0.02$ y $0.10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$1/(0.05 + 0.02\times0.95) = 1/0.069 = 14.5\,\mathrm{ppm}$ ; $1/(0.05 + 0.10\times0.95) = 1/0.145 = 6.9\,\mathrm{ppm}$ .

Ejercicio 12.3 ★

¿Cuál es el mayor enriquecimiento $C_L/C_0$ que la fusión en equilibrio puede dar a un elemento con $D = 0.01$ ? ¿Y a un elemento con $D = 0$ para $F = 5\,\%$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

El enriquecimiento es máximo cuando $F \to 0$ : $1/D = 100$ . Con $D = 0$ , $C_L/C_0 = 1/F = 20$ .

Ejercicio 12.4 ★

Una lava contiene $30\,\mathrm{ppm}$ de La y $2.5\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Con los valores de la condrita CI, La 0.232 e Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$ , calcúlese su razón La/Yb y su $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizada a condrita.

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$\mathrm{La/Yb} = 30/2.5 = 12.0$ ; $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (30/0.232)/(2.5/0.163) = 129.3/15.34 = 8.4$ .

Ejercicio 12.5 ★★

Para un elemento con $D = 0.01$ , compárense los residuos tras un $5\,\%$ de fusión en equilibrio y de fusión fraccionada. ¿Qué contiene el fundido fraccionado instantáneo en ese momento?

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

Fusión en equilibrio: $C_S/C_0 = 0.01/(0.01 + 0.05\times0.99) = 0.168$ . Fusión fraccionada: $(0.95)^{99} = 0.0062$ , 27 veces menor. El fundido instantáneo contiene $0.0062/0.01 = 0.62\,C_0$ : menor que la fuente.

Ejercicio 12.6 ★★

En el ejemplo resuelto del capítulo (modas 58, 27, 12, $3\,\%$ ; proporciones de fusión 20, 25, 45, $10\,\%$ para olivino, ortopiroxeno, clinopiroxeno y espinela), el lantano tiene los coeficientes 0.0003, 0.002, 0.053 y 0.01. Calcúlense $D_0$ y $P$ , y después el enriquecimiento del lantano en el fundido de fusión en equilibrio para $F = 0.02$ y $0.10$ , no modal y modal.

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

$D_0 = 0.58\times0.0003 + 0.27\times0.002 + 0.12\times0.053 + 0.03\times0.01 = 0.00737$ ; $P = 0.20\times0.0003 + 0.25\times0.002 + 0.45\times0.053 + 0.10\times0.01 = 0.0254$ . Para $F = 0.02$ : fusión no modal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9746) = 37.2$ , modal $1/(0.00737 + 0.02\times0.9926) = 36.7$ . Para $F = 0.10$ : 9.54 y 9.38, $1.7\,\%$ de diferencia.

Ejercicio 12.7 ★★

Para $F = 0.10$ , compárense el fundido de fusión en equilibrio y el fundido fraccionado agregado para $D = 0.1$ y para $D = 0.01$ . ¿Cuál de los dos difiere más, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$D = 0.1$ : fusión en equilibrio $1/(0.1 + 0.09) = 5.26$ ; fundido fraccionado agregado $(1 - 0.9^{10})/0.1 = 6.51$ . $D = 0.01$ : fusión en equilibrio $1/(0.01 + 0.099) = 9.17$ ; fundido fraccionado agregado $(1 - 0.9^{100})/0.1 = 10.00$ . El par con $D = 0.1$ difiere más: para $D = 0.01$ ambos fundidos ya contienen casi todo el elemento, y ambos tienden a $1/F$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Un elemento con $D = 0.001$ se funde dinámicamente con $\phi = 0.01$ . Calcúlense $D'$ , el enriquecimiento del primer fundido extraído y el del fundido extraído a $F = 0.01$ ; compárese con la fusión fraccionada.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

$D' = 0.99\times0.001 + 0.01 = 0.01099$ . Primer fundido: $1/D' = 91$ , frente a 1000 en fusión fraccionada. Para $F = 0.01$ : $91\times0.99^{90.0} = 36.8$ , frente a $1000\times0.99^{999} = 0.044$ : el fundido intersticial impide que el residuo se empobrezca.

Ejercicio 12.9 ★★

En la lherzolita de espinela del capítulo, $D_{\mathrm{La}} = 0.0078$ y $D_{\mathrm{Sm}} = 0.062$ . ¿En qué factor la fusión en equilibrio eleva la razón La/Sm por encima del valor de la fuente para $F = 0.01$ y para $F = 0.10$ ? ¿Qué indica eso sobre el uso de razones para estimar $F$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

La razón aumenta en un factor $(D_{\mathrm{Sm}} + F(1 - D_{\mathrm{Sm}}))/(D_{\mathrm{La}} + F(1 - D_{\mathrm{La}}))$ : para $F = 0.01$ , $0.0714/0.0177 = 4.0$ ; para $F = 0.10$ , $0.156/0.107 = 1.46$ . La razón es sensible a $F$ para valores pequeños de $F$ y casi insensible por encima de unos $10\,\%$ ; depende también de $D_{\mathrm{Sm}}$ , por tanto, de los minerales residuales.

Ejercicio 12.10 ★★★

Demuéstrese que el fundido fraccionado agregado es la media de los fundidos instantáneos desde 0 hasta $F$ , y que tiende a $C_0/F$ cuando $(1 - F)^{1/D} \to 0$ . Para $D = 0.01$ , ¿a partir de qué $F$ está dentro del $1\,\%$ de $C_0/F$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

$\frac1F\int_0^F \frac1D(1 - x)^{1/D - 1}\,\mathrm dx = \frac1F\bigl[-(1 - x)^{1/D}\bigr]_0^F = [1 - (1 - F)^{1/D}]/F$ , la fórmula del capítulo; si $(1 - F)^{1/D} \to 0$ , tiende a $1/F$ veces $C_0$ . Dentro de $1\,\%$ : $(1 - F)^{100} < 0.01$ , $F > 1 - 0.01^{0.01} = 0.045$ , aproximadamente $4.5\,\%$ .

Ejercicio 12.11 ★★★

Dos lavas cogenéticas P y Q tienen La de 20 y $10\,\mathrm{ppm}$ , y La/Yb de 10 y 6. Suponiendo el lantano perfectamente incompatible y una fuente con $0.44\,\mathrm{ppm}$ de Yb, aplíquese el método del capítulo: calcúlense $D_{\mathrm{Yb}}$ , el La de la fuente y la fracción de fusión de cada lava.

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

Pendiente $a = (10 - 6)/(20 - 10) = 0.40\,\mathrm{ppm}^{-1}$ ; ordenada en el origen $b = 10 - 0.40\times20 = 2.0$ . $D_{\mathrm{Yb}} = 0.40\times0.44 = 0.176$ ; $C_0^{\mathrm{La}} = 2.0\times0.44/0.824 = 1.07\,\mathrm{ppm}$ . $F_P = 1.07/20 = 5.3\,\%$ , $F_Q = 1.07/10 = 10.7\,\%$ .

Ejercicio 12.12 ★★★

En la fusión no modal del ejercicio 6, ¿a qué fracción de fusión se agota cada mineral? Calcúlese el coeficiente global del residuo para el lantano en $F = 0.2$ , y explíquese por qué la fórmula del capítulo no puede usarse más allá del primer agotamiento.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

$F = x_i/p_i$ : clinopiroxeno $0.12/0.45 = 0.27$ , espinela $0.03/0.10 = 0.30$ , ortopiroxeno $0.27/0.25 = 1.08$ , olivino $0.58/0.20 = 2.9$ ; clinopiroxeno se funde primero. Para $F = 0.2$ : $\bar D = (0.00737 - 0.0254\times0.2)/0.8 = 0.0029$ . Más allá de $F = 0.27$ cambian los $p_i$ (ya no queda clinopiroxeno que fundir), y la fórmula, que supone $p_i$ constantes, deja de ser aplicable.

12.7 Problema: dos lavas de la isla de Aldren

Problema 12.1

Problema de fin de semana — la fuente, la profundidad y el grado de fusión de dos basaltos inventados, a partir de su lantano e iterbio

En la isla de Aldren, una isla volcánica inventada, la lava A contiene $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La y $1.7\,\mathrm{ppm}$ de Yb, la lava B $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La y $0.45\,\mathrm{ppm}$ de Yb. Ambas se toman como fundidos primarios de una fuente de manto primitivo con $0.648\,\mathrm{ppm}$ de La y $0.441\,\mathrm{ppm}$ de Yb (condrita CI: La 0.232, Yb $0.163\,\mathrm{ppm}$ ). Coeficientes minerales: La 0.058 en clinopiroxeno y 0.001 en granate y en olivino, ortopiroxeno y espinela; Yb 0.58 en clinopiroxeno, 4.5 en granate y 0.16 en olivino, ortopiroxeno y espinela. La lherzolita de espinela tiene $58\,\%$ de olivino, $27\,\%$ de ortopiroxeno, $12\,\%$ de clinopiroxeno, $3\,\%$ de espinela; la lherzolita de granate $54.1\,\%$ de olivino, $9.8\,\%$ de ortopiroxeno, $19.5\,\%$ de clinopiroxeno, $16.7\,\%$ de granate. La fusión es modal.

Parte I — Las dos fuentes.

Calcúlense $D_{\mathrm{La}}$ y $D_{\mathrm{Yb}}$ de la lherzolita de espinela.
Calcúlense para la lherzolita de granate. Redondéense los cuatro a dos cifras significativas cifras significativas para el resto del problema.
¿Qué coeficiente difiere más entre las fuentes, y por qué? ¿Es el iterbio compatible en la lherzolita de granate?
Calcúlese el $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ normalizado a condrita de la fuente. ¿Qué aspecto tiene su patrón?

Parte II — Fusión en equilibrio del lava A.

Calcúlese el La en fundidos en equilibrio de la lherzolita de espinela para $F = 1$ , 5 y $10\,\%$ .
Búsquese la fracción de fundido que da al lava A su lantano.
Prediganse su iterbio y su La/Yb, y compárense con los del lava A.
Calcúlense el La y el Yb en el residuo, y la fracción del lantano de la fuente que queda en él.
¿Qué fracción de fundido se obtendría si se tomara el lantano como perfectamente incompatible?

Parte III — Fusión fraccionada del lava A.

Calcúlese el La en el fundido fraccionado instantáneo para $F = 0.1$ , 1 y $6\,\%$ .
Calcúlese el La en el fundido fraccionado agregado para $F = 6.0\,\%$ .
Búsquese la fracción de fundido a la que el fundido agregado tiene el lantano del lava A. ¿Por qué es tan próxima a la respuesta de la pregunta 9?
Compárese el lantano del residuo con el de la pregunta 8.
¿Qué estimación de $F$ se conserva?

Parte IV — Lava B y granate.

Calcúlense La/Yb y $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N$ de ambas lavas.
¿Cuál es el mayor La/Yb que puede alcanzar un fundido en equilibrio de la lherzolita de espinela?
¿A qué fracción de fundido tendría un fundido de lherzolita de espinela el La/Yb del lava B, y cuánto lantano contendría? Concluyase.
Búsquese la fracción de fundido del lava B a partir de su lantano, para la lherzolita de granate, y prediganse su iterbio.
¿Qué dicen las dos fuentes sobre las profundidades a las que empezaron a fundirse A y B? ¿Podría el lava A proceder de la lherzolita de granate?
Calcúlense la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de fusión en equilibrio La/Yb $= a\, \mathrm{La} + b$ de la fuente de granate, con $D_{\mathrm{La}}$ tomado como cero, y compárese el lava B con ella.
Si el lava A hubiera perdido el $10\,\%$ de su masa como olivino antes de erupcionar, ¿cómo cambiarían su La/Yb y su fracción de fundido?
Respóndase a la pregunta de la apertura del capítulo para estas dos lavas.
Indíquese el grado de fusión del lava A.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $D_{\mathrm{La}} = 0.12\times0.058 + 0.88\times0.001 = 0.00784$ ; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.12\times0.58 + 0.88\times0.16 = 0.210$ .

2. $D_{\mathrm{La}} = 0.195\times0.058 + 0.167\times0.001 + 0.639\times0.001 = 0.0121$ ; $D_{\mathrm{Yb}} = 0.195\times0.58 + 0.167\times4.5 + 0.639\times0.16 = 0.967$ . Redondeado: 0.0078, 0.21, 0.012, 0.97.

3. $D_{\mathrm{Yb}}$ , de 0.21 a 0.97, porque el granate retiene las tierras raras pesadas ( $D = 4.5$ ). El iterbio sigue siendo muy ligeramente incompatible, $0.97 < 1$ .

4. $(0.648/0.232)/(0.441/0.163) = 2.79/2.71 = 1.03$ : un patrón plano aproximadamente 2.8 veces la condrita.

5. $0.648/(0.0078 + 0.01\times0.9922) = 36.6\,\mathrm{ppm}$ ; para $5\,\%$ , $11.3\,\mathrm{ppm}$ ; para $10\,\%$ , $6.05\,\mathrm{ppm}$ .

6. $F = (0.648/9.6 - 0.0078)/0.9922 = (0.0675 - 0.0078)/0.9922 = 0.0602$ , $6.0\,\%$ .

7. $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.21 + 0.0602\times0.79) = 1.71\,\mathrm{ppm}$ y La/Yb $= 5.6$ ; la lava A tiene 1.7 y 5.6: encaja con una fuente de espinela.

8. La $= 0.0078\times9.6 = 0.075\,\mathrm{ppm}$ , Yb $= 0.21\times1.71 = 0.36\,\mathrm{ppm}$ . Lantano restante: $0.940\times0.075/0.648 = 0.11$ , aproximadamente $11\,\%$ .

9. $F = 0.648/9.6 = 6.75\,\%$ .

10. $(0.648/0.0078)(1 - F)^{127.2}$ : $73\,\mathrm{ppm}$ a $0.1\,\%$ , $23\,\mathrm{ppm}$ a $1\,\%$ , $0.03\,\mathrm{ppm}$ a $6\,\%$ .

11. $0.648\times(1 - 0.940^{128.2})/0.060 = 10.8\,\mathrm{ppm}$ .

12. $F = 6.75\,\%$ : para este $F$ , $(1 - F)^{1/D} = 1.3 \times 10^{-4}$ , por lo que el fundido agregado contiene todo el lantano de la fuente, y $\bar C_L = C_0/F$ , como para un elemento perfectamente incompatible.

13. $0.648\times0.9325^{127.2} = 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{ppm}$ , unas 800 veces menor que los $0.075\,\mathrm{ppm}$ de la fusión en equilibrio.

14. Los dos modelos acotan la respuesta: $6.0\,\%$ (fusión en equilibrio) a $6.75\,\%$ (fundido fraccionado agregado). El lantano fija $F$ con un error de unos $1\,\%$ de fusión, sea cual sea el modelo.

15. A: La/Yb $= 5.6$ , $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (9.6/0.232)/(1.7/0.163) = 4.0$ . B: La/Yb $= 34.7$ , $(\mathrm{La}/\mathrm{Yb})_N = (15.6/0.232)/(0.45/0.163) = 24.4$ .

16. Cuando $F \to 0$ : $(0.648/0.0078)/(0.441/0.21) = 83.1/2.10 = 39.6$ .

17. $F = 0.11\,\%$ , donde el fundido contendría $72\,\mathrm{ppm}$ de La y $2.1\,\mathrm{ppm}$ de Yb. La lava B tiene $15.6\,\mathrm{ppm}$ de La: una fuente de espinela no puede generarla.

18. $F = (0.648/15.6 - 0.012)/0.988 = 0.0299$ , $3.0\,\%$ ; $\mathrm{Yb} = 0.441/(0.97 + 0.0299\times0.03) = 0.454\,\mathrm{ppm}$ , como se observa.

19. El granate sustituye a la espinela en el intervalo de unos 60 a $90\,\mathrm{km}$ : la lava B comenzó a fundirse a mayor profundidad que eso, la lava A a menor, en el campo de la espinela. Un fundido de lherzolita con granate con $9.6\,\mathrm{ppm}$ de La ( $F \approx 5.6\,\%$ ) tendría una razón La/Yb cercana a 21, no 5.6: la lava A no procede de la lherzolita con granate.

20. $a = 0.97/0.441 = 2.20\,\mathrm{ppm}^{-1}$ , $b = 0.648\times0.03/0.441 = 0.044$ ; con La $= 15.6$ , La/Yb $= 2.20\times15.6 + 0.044 = 34.4$ , frente a 34.7 de la lava B.

21. El olivino rechaza ambos elementos: La/Yb no cambia. El fundido primario tenía $9.6\times0.9 = 8.64\,\mathrm{ppm}$ de La, por lo que $F = (0.648/8.64 - 0.0078)/0.9922 = 6.8\,\%$ en lugar de 6.0.

22. Una misma fuente puede originar ambas lavas: la lava B es un fundido pequeño ( $3\,\%$ ) que comenzó en el campo del granate, a mayor profundidad que unos 60 a $90\,\mathrm{km}$ ; la lava A es un fundido mayor en el campo de la espinela.

23. La lava A es un $6.0\,\%$ de fundido por fusión en equilibrio de una lherzolita de espinela ( $6.75\,\%$ si el fundido se extrajo de forma fraccionada y se agregó).

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