3Gravedad y figura de la Tierra

Dos satélites vuelan uno detrás de otro alrededor de la Tierra, a una altitud de más de $500\,\mathrm{km}$ y a unos $220\,\mathrm{km}$ uno de otro, y miden sin cesar la distancia que los separa, con una precisión de un micrómetro.

Cuando sobrevuelan una zona donde la masa está concentrada, el satélite delantero es atraído primero hacia delante y la separación se abre; después el trasero es atraído a su vez y la separación se cierra. A partir de esas variaciones minúsculas, mes tras mes desde 2002, se ha cartografiado el campo gravitatorio de la Tierra en su evolución: el agua almacenada en las cuencas fluviales sube y baja con las estaciones, y los grandes casquetes de hielo de Groenlandia y la Antártida pierden masa año tras año. La gravedad pesa lo que el ojo no puede ver. Este capítulo construye el campo gravitatorio de un planeta en rotación a partir de su potencial, obtiene de él el achatamiento y el momento de inercia, sigue sus anomalías hasta la órbita, y después se ocupa de uno de los efectos que la gravedad revela en la superficie: la flexión de la litosfera bajo el peso de un volcán.

Lo que ya sabes

La ley de gravitación de Newton, la energía potencial gravitatoria y la fuerza centrífuga en un sistema de referencia en rotación se estudian en los libros de física; los momentos de inercia de un sólido y los polinomios de Legendre $P_2(x) = (3x^2 - 1)/2$ se estudian en los volúmenes universitarios de física y matemáticas; el módulo de Young $E$ y el coeficiente de Poisson $\nu$ en el volumen de tercer año de los libros de física. La geodesia y el achatamiento $f = (a - b)/a$ de un elipsoide de semiejes $a > b$ se vieron en el año 10. Isostasia, compensación de Airy, gravedad normal, geoide, altura del geoide y anomalías de la gravedad se definieron en el volumen de primer año, en su capítulo sobre isostasia y anomalías de la gravedad.

3.1 El geopotencial

En un planeta en rotación, un cuerpo en reposo siente la atracción de la masa del planeta y, en el sistema de referencia que gira con él, la fuerza centrífuga. Ambas derivan de un potencial.

Definición 3.1 (Geopotencial)

El geopotencial es la energía potencial por unidad de masa, en el sistema de referencia que gira con la Tierra a la velocidad angular $\omega$, de la gravitación y la fuerza centrífuga en conjunto:

$$W(\mathbf r) = V(\mathbf r) + \Phi(\mathbf r),\qquad V(\mathbf r) = -G\int_{\text{Tierra}}\frac{\mathrm dm'}{|\mathbf r - \mathbf r'|},\qquad \Phi(\mathbf r) = -\tfrac12\omega^2 s^2,$$

donde $s$ es la distancia al eje de rotación. La gravedad es $\mathbf g = -\nabla W$, y las superficies $W = \text{cte}$ son sus superficies de nivel: en cada punto, la gravedad es normal a ellas.

Una plomada cuelga según $-\nabla W$, y el agua en reposo se acomoda sobre una superficie de nivel. Un planeta fluido en rotación adopta, por tanto, la forma de una de sus superficies de nivel: el potencial centrífugo, más profundo en el ecuador, abulta el ecuador y aplana los polos.

Fuera del planeta, el potencial gravitatorio cumple la ecuación de Laplace, y sus soluciones regulares en el infinito son los armónicos esféricos sólidos.

Proposición 3.2 (Desarrollo en armónicos esféricos del geopotencial)

Fuera de un cuerpo de masa $M$ y radio ecuatorial $a$, con el origen en su centro de masas y el eje $z$ a lo largo de su eje de rotación, el potencial gravitatorio a la distancia $r$, colatitud $\theta$ y longitud $\lambda$ es

$$\begin{gather*} V = -\frac{GM}{r}\Biggl[1 - \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac ar\right)^nJ_nP_n(\cos\theta)\\ + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=1}^{n}\left(\frac ar\right)^nP_{nm}(\cos\theta) (C_{nm}\cos m\lambda + S_{nm}\sin m\lambda)\Biggr], \end{gather*}$$

con los polinomios de Legendre $P_n$ y las funciones asociadas $P_{nm}$; los coeficientes $J_n$, $C_{nm}$, $S_{nm}$ son números ajustados a las observaciones. Para un cuerpo simétrico respecto a su eje, solo quedan los términos zonales $J_n$. No aparece ningún término de grado 1.

Definición 3.3 (Factor de forma dinámico)

El factor de forma dinámico $J_2$ de un planeta es el coeficiente de su armónico zonal de grado 2: la mayor desviación de su potencial externo respecto al de una esfera, causada por su achatamiento. Para la Tierra, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$.

Teorema 3.4 (Fórmula de MacCullagh)

Sean $A$, $B$, $C$ los momentos de inercia principales de un cuerpo de masa $M$ respecto de ejes que pasan por su centro de masas, y $I$ su momento de inercia respecto de la recta que va del centro de masas a un punto exterior situado a la distancia $r$. Hasta el orden $r^{-3}$, el potencial gravitatorio en ese punto viene dado por la fórmula de MacCullagh

$$V = -\frac{GM}{r} - \frac{G(A + B + C - 3I)}{2r^3} .$$

Para un cuerpo simétrico respecto del eje $z$ ($A = B$), $V = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{G(C - A)}{r^3}P_2(\cos\theta)$, de modo que

$$J_2 = \frac{C - A}{Ma^2} .$$

El término de grado 2 del potencial mide, por tanto, la diferencia de los momentos de inercia, no los momentos en sí. La precesión del eje de la Tierra, impulsada por los pares del Sol y de la Luna sobre el abultamiento ecuatorial, mide la elipticidad dinámica $H = (C - A)/C$; juntos, $J_2$ y $H$ dan $C/(Ma^2)$, el factor de momento de inercia, $0.3308$ para la Tierra,

bastante por debajo del $0.4$ de una esfera homogénea: la masa está concentrada hacia el centro.

3.2 El elipsoide en rotación

Definición 3.5 (Elipsoide de referencia)

Un elipsoide de referencia es un elipsoide de revolución, de semieje ecuatorial $a$ y achatamiento $f$, elegido de modo que él mismo sea una superficie equipotencial de un potencial modelo: el potencial de un cuerpo en rotación de masa $M$ con la velocidad angular $\omega$ y el factor de forma dinámico $J_2$ de la Tierra. Cuatro constantes lo definen; el Sistema Geodésico de Referencia 1980 toma

$$\begin{gather*} a = 6\,378\,137\,\mathrm{m},\qquad GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2},\\ J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3},\qquad \omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}, \end{gather*}$$

y de ellas se deduce el achatamiento $f = 0.003\,352\,810\,68$ ($1/f = 298.257\,222$) y el semieje menor $b = 6\,356\,752.3141\,\mathrm{m}$.

El potencial del modelo, el potencial normal, se conoce en forma cerrada, y lo mismo sucede con su gravedad sobre el elipsoide, la gravedad normal del volumen de primer año.

Proposición 3.6 (Fórmula de Somigliana)

En un elipsoide de referencia de semiejes $a$, $b$ y gravedad normal $\gamma_e$ en el ecuador y $\gamma_p$ en los polos, la gravedad normal en la latitud geodésica $\varphi$ viene dada por la fórmula de Somigliana

$$\gamma(\varphi) = \frac{a\gamma_e\cos^2\varphi + b\gamma_p\sin^2\varphi} {\sqrt{a^2\cos^2\varphi + b^2\sin^2\varphi}} .$$

Para el Sistema Geodésico de Referencia 1980, $\gamma_e = 9.780\,326\,771\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ y $\gamma_p = 9.832\,186\,368\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, y la serie $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ reproduce la fórmula con una precisión de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

¿Cuánto debe estar achatado un planeta en rotación? Si es un fluido en equilibrio hidrostático, su achatamiento queda fijado por su rotación y por cómo se reparte su masa en profundidad.

Proposición 3.7 (Relaciones de Clairaut y de Darwin–Radau)

Para un planeta en equilibrio hidrostático, con $m = \omega^2a^2b/(GM)$ la razón de la aceleración centrífuga a la gravitatoria en el ecuador, a primer orden en $f$ y $m$:

$$J_2 = \frac{2f - m}{3}\qquad\text{(Clairaut)},\qquad \frac{C}{Ma^2} = \frac23\left[1 - \frac25\sqrt{\frac52\frac mf - 1}\right] \qquad\text{(Darwin--Radau)} .$$

Un planeta homogéneo ($C/Ma^2 = 0.4$) tiene $f = 5m/4$; un planeta cuya masa está concentrada hacia el centro está menos achatado.

La relación de Clairaut, con $m = 0.003\,449\,79$ para la Tierra, convierte su $J_2$ medido en $f = 0.003\,348\,8$, o $1/298.6$: a menos de $0.12\,\%$ del achatamiento del elipsoide. La relación de Darwin–Radau, con el factor de momento de inercia, da el achatamiento que tendría la Tierra si fuera un fluido en equilibrio: $1/299.9$, frente al medido $1/298.26$. La Tierra es algo más achatada que un planeta fluido con su rotación y la distribución de masas que tendría: su abultamiento ecuatorial se sitúa unos $116\,\mathrm{m}$ por encima de lo que predice el equilibrio hidrostático. La Tierra no es exactamente un fluido en equilibrio, y la pequeña diferencia es en sí misma una medida de los esfuerzos que sostiene su interior.

3.3 El geoide y el potencial perturbador

El geoide es la superficie equipotencial del geopotencial real que coincide con el nivel medio del mar; el elipsoide de referencia es una superficie equipotencial del potencial normal $U$ con el mismo valor, $U_0 = W_0$. Su separación, la altura del geoide $N$, queda fijada por la diferencia de los dos potenciales.

Proposición 3.8 (Fórmula de Bruns)

Sea $T = W - U$ el potencial perturbador. La altura del geoide en un punto viene dada por la fórmula de Bruns

$$N = -\frac{T}{\gamma},$$

donde $T$ se evalúa sobre el geoide y $\gamma$ es la gravedad normal en ese punto. Un exceso de masa, que profundiza el potencial ($T < 0$), eleva el geoide.

Una altura del geoide de $50\,\mathrm{m}$ corresponde a una diferencia de potencial de solo $490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, una parte en $10^{5}$ del geopotencial. Las alturas del geoide de la Tierra van desde unos $+85\,\mathrm{m}$ en Islandia hasta $-106\,\mathrm{m}$ en el sur de la India,

un intervalo de menos de $200\,\mathrm{m}$ en un planeta cuyos radios ecuatorial y polar difieren en $21\,\mathrm{km}$.

3.4 Gravimetría por satélite

Definición 3.9 (Gravimetría por satélite)

La gravimetría por satélite determina el campo gravitatorio terrestre a partir del movimiento de los satélites: a partir de las perturbaciones a largo plazo de sus órbitas, de la variación de la distancia entre dos satélites en una misma órbita, o mediante gradiómetros que miden las diferencias de gravedad a lo largo de la nave.

La mayor perturbación de una órbita cercana a la Tierra procede de $J_2$. El abultamiento ecuatorial ejerce un par sobre la órbita inclinada, que gira lentamente alrededor del eje terrestre.

Proposición 3.10 (Precesión nodal)

A primer orden en $J_2$, la línea de nodos de una órbita circular de radio $r$ e inclinación $i$ gira a la velocidad

$$\dot\Omega = -\frac32\,nJ_2\left(\frac ar\right)^2\cos i,\qquad n = \sqrt{GM/r^3} ,$$

hacia el oeste en una órbita directa ($i < 90{}^{\circ}$), y hacia el este en una retrógrada.

La velocidad de precesión es de varios grados por día para una órbita baja cerca del ecuador; con una inclinación algo superior a $90{}^{\circ}$ coincide con el movimiento anual del Sol, y la órbita mantiene la misma orientación respecto al Sol durante todo el año (ejercicio 12). Medidas en muchos satélites con distintas inclinaciones, estas precesiones dan $J_2$ y los armónicos zonales de grado superior.

Un par de satélites ofrece mejores resultados: la variación de la distancia entre ellos mide la diferencia de la gravedad que sienten a lo largo de la órbita. El par GRACE operó de 2002 a 2017, y su sucesor, GRACE Follow-On, desde su lanzamiento el 22 de mayo de 2018; su enlace de microondas mide la distancia con una precisión de un micrómetro, y un enlace láser verifica una precisión hasta veinte veces mayor.

El campo cambia de un mes a otro porque el agua se desplaza: la nieve y la humedad del suelo, el agua subterránea, los lagos, los océanos y los casquetes de hielo.

Definición 3.11 (Altura de agua equivalente)

Un cambio del campo gravitatorio que varía lentamente a distancias mucho mayores que el espesor de la capa donde se desplazó la masa puede representarse mediante un cambio de densidad superficial $\sigma$ ($\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$) sobre una capa delgada en la superficie terrestre. La altura de agua equivalente es el espesor de agua dulce con la misma densidad superficial:

$$h_w = \frac{\sigma}{\rho_w} .$$

Un metro de agua sobre una cuenca de $1 \times 10^{6}\,\mathrm{km}^{2}$ es $1 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$, o $1000\,\mathrm{Gt}$. El nivel del mar es la otra cara del balance: $360\,\mathrm{Gt}$ de hielo añadido al océano lo eleva unos $1\,\mathrm{mm}$.

La gravimetría por satélite, la altimetría por satélite y el balance de las nevadas frente a la descarga de hielo miden cada una el balance de masa de los casquetes de hielo; combinadas, dan la serie que se muestra a continuación.

Una anomalía de la gravedad medida en la superficie es una suma de armónicos; a la altura de un satélite, cada uno se debilita en un factor que depende de su longitud de onda.

Proposición 3.12 (Prolongación ascendente)

Por encima de las masas que la causan, una anomalía de la gravedad que varía a lo largo de la superficie como $\Delta g_0\cos kx$, con $k = 2\pi/\lambda$, se encuentra a la altura $z$ (su prolongación ascendente)

$$\Delta g(x, z) = \Delta g_0\,e^{-kz}\cos kx .$$

A una altitud de $400\,\mathrm{km}$, una anomalía de $1000\,\mathrm{km}$ de longitud conserva el $8\,\%$ de su amplitud, y una de $100\,\mathrm{km}$ de longitud, aproximadamente $1 \times 10^{-11}$ de la suya: los satélites detectan las longitudes de onda largas, y los estudios en la superficie, las cortas.

3.5 Flexión de la litosfera

El volumen de primer año compensaba una carga de forma local, cada columna flotando sobre sí misma. Un volcán sobre una placa oceánica no se compensa solo bajo sí mismo: la placa se curva bajo él en una anchura de cientos de kilómetros, y el fondo marino que rodea al volcán se hunde en un foso, más allá del cual se eleva en un arco bajo.

Definición 3.13 (Flexión litosférica, rigidez a la flexión, espesor elástico efectivo)

La flexión litosférica es la curvatura de la litosfera bajo una carga, modelizada como la flexión de una placa elástica delgada que flota sobre un manto fluido. La resistencia de la placa a la flexión es su rigidez a la flexión

$$D = \frac{ET_e^3}{12(1 - \nu^2)},$$

y el espesor $T_e$ de la placa elástica uniforme que se curva como la litosfera real es su espesor elástico efectivo.

Teorema 3.14 (Flexión de una placa delgada)

Una placa elástica delgada de rigidez $D$, curvada en una dirección por una carga $q(x)$ por unidad de área, deflectada hacia abajo $w(x)$ y flotando sobre un manto de densidad $\rho_m$, quedando el hueco rellenado con material de densidad $\rho_i$, cumple la ecuación de la flexión

$$D\frac{\mathrm d^4w}{\mathrm dx^4} + (\rho_m - \rho_i)g\,w = q(x) .$$

Definición 3.15 (Parámetro de flexión, abultamiento periférico)

El parámetro de flexión de una placa es la longitud

$$\alpha = \left(\frac{4D}{(\rho_m - \rho_i)g}\right)^{1/4},$$

que fija la escala horizontal de su flexión. El abultamiento periférico es el arco bajo de flexión ascendente que una placa curvada levanta más allá del foso o cuenca junto a su carga.

Proposición 3.16 (Carga lineal sobre una placa continua)

Una carga lineal $V_0$ por unidad de longitud a lo largo de $x = 0$ deforma la placa en

$$w(x) = w_0e^{-|x|/\alpha}\left(\cos\frac{|x|}{\alpha} + \sin\frac{|x|}{\alpha}\right), \qquad w_0 = \frac{V_0\alpha^3}{8D} .$$

La deflexión se anula en $|x| = 3\pi\alpha/4$, el borde del foso; la cresta del abultamiento periférico está en $|x| = \pi\alpha$, con altura $w_0e^{-\pi} = 0.0432\,w_0$. El empuje de toda la deflexión equilibra la carga: $\int(\rho_m - \rho_i)gw\,\mathrm dx = V_0$.

Proposición 3.17 (Placa rota)

Una placa rota en $x = 0$ y empujada hacia abajo en su extremo libre, como en una fosa oceánica profunda, se deforma según $w = w_0e^{-x/\alpha}\cos(x/\alpha)$ para $x \ge 0$: la deflexión se anula en $x = \pi\alpha/2$, y la cresta del abultamiento periférico, el levantamiento exterior, está en $x = 3\pi\alpha/4$, con altura $w_0e^{-3\pi/4}/\sqrt2 = 0.067\,w_0$.

Las distancias son, por tanto, la clave de la resistencia de la placa: si se mide dónde termina el foso o dónde culmina el abultamiento, se obtiene $\alpha$, después $D$ y luego $T_e$. Como $T_e$ entra como $\alpha^{4/3}$, una estimación razonable de una distancia da una buena estimación del espesor.

Definición 3.18 (Compensación isostática regional)

La compensación isostática regional es el sostenimiento de una carga por la flotabilidad de una deflexión que se extiende sobre una región más ancha que la carga, mediante la resistencia a la flexión de la litosfera; en la compensación de Airy o de Pratt, en cambio, cada columna se compensa por debajo de sí misma.

La compensación local y la regional equilibran la misma masa total, pero la distribuyen de forma distinta: bajo una carga estrecha sobre una placa rígida la raíz es somera y ancha, y la anomalía de la gravedad sobre la carga es fuertemente positiva, flanqueada por anomalías negativas sobre el foso. Alrededor de las islas de la dorsal de Hawái, los perfiles de gravedad y sísmicos dan espesores elásticos efectivos de 17 a $37\,\mathrm{km}$, y de 10 a $20\,\mathrm{km}$ a lo largo de los montes submarinos más antiguos de la cadena del Emperador, una diferencia esperable a partir de las edades de los volcanes y de la placa que cargaron; los valores siguen la profundidad de una isoterma cercana a $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la placa oceánica en enfriamiento.

La misma flexión, bajo el peso de un cinturón montañoso, abre las cuencas de antepaís del volumen de segundo año, en su capítulo sobre la orogenia alpina.

Sobre el terreno — Un estudio de gravedad relativa

Un gravímetro absoluto deja caer un espejo de esquina en una cámara de vacío, una y otra vez, y mide su caída con un interferómetro láser y un reloj atómico; da la gravedad en una estación, pero es pesado y lento de instalar. El levantamiento en sí se hace con un gravímetro relativo, una pequeña balanza de resorte que mide diferencias de gravedad. El geofísico lo nivela sobre una placa base en cada estación de una línea, lo lee, anota la hora y la altura, y avanza; cada pocas horas el circuito vuelve a una estación base, de modo que la lenta deriva del resorte y las mareas de la Tierra sólida puedan medirse y eliminarse. Un receptor de satélite sobre un poste cercano da la posición y la altura, porque la gravedad cambia unos $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ por cada metro de altura.

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

A partir de los valores del Sistema Geodésico de Referencia 1980 $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ y $f = 0.003\,352\,810\,68$, calcúlese el semieje menor $b$ y $a - b$. Con $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ y $m = 0.003\,449\,79$, calcúlese el achatamiento que predice la relación de Clairaut, y compárese.

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$b = a(1 - f) = 6378137\times0.99664719 = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, y $a - b = 21\,384.7\,\mathrm{m}$, aproximadamente $21.4\,\mathrm{km}$. Clairaut: $f = (3J_2 + m)/2 = (0.00324789 + 0.00344979)/2 = 0.003\,348\,8$, o bien $1/298.61$, frente a $1/298.26$: $0.12\,\%$ menor, el tamaño de los términos de segundo orden que la relación desprecia.

Ejercicio 3.2 ★

En un año seco, una cuenca fluvial de $5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{km}^{2}$ pierde $60\,\mathrm{Gt}$ de agua. Calcúlese el cambio de la altura de agua equivalente. ¿Cuánto subiría el nivel del mar por la misma masa, tomando $360\,\mathrm{Gt}$ por milímetro?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$\sigma = 6.0 \times 10^{13}\,\mathrm{kg}/5.0 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{2} = 120\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, de modo que $h_w = 120/1000 = 0.12\,\mathrm{m}$: $12\,\mathrm{cm}$ de agua. Distribuida sobre el océano, $60/360 = 0.17\,\mathrm{mm}$ de nivel del mar.

Ejercicio 3.3 ★

Con la serie $\gamma = 9.780327(1 + 0.0053024\sin^2\varphi - 0.0000058\sin^22\varphi)$ $\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, calcúlese la gravedad normal en el ecuador, a $45{}^{\circ}$ y en los polos. Exprésese la diferencia entre el polo y el ecuador en miligales.

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

En el ecuador $\gamma = 9.780\,327\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. A $45{}^{\circ}$, $\sin^2\varphi = 0.5$ y $\sin^22\varphi = 1$: $\gamma = 9.780327\times1.0026454 = 9.806\,200\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. En los polos, $9.780327\times1.0053024 = 9.832\,186\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. La diferencia es $0.051\,859\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, o bien $5186\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Ejercicio 3.4 ★

Calcúlese la rigidez a la flexión y el parámetro de flexión de placas oceánicas con $T_e = 10\,\mathrm{km}$ y $T_e = 30\,\mathrm{km}$ ($E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). ¿Dónde están el borde del foso y el abultamiento periférico bajo una carga lineal?

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

$D = ET_e^3/(12(1 - \nu^2)) = 10^{11}T_e^3/11.25$: $8.89 \times 10^{21}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ para $10\,\mathrm{km}$, $2.40 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ para $30\,\mathrm{km}$. Con $(\rho_m - \rho_w)g = 22\,269\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = (4D/22269)^{1/4}$: $35.5\,\mathrm{km}$ y $81.0\,\mathrm{km}$. El foso termina en $3\pi\alpha/4$, $84\,\mathrm{km}$ y $191\,\mathrm{km}$; las crestas del abultamiento periférico están en $\pi\alpha$, $112\,\mathrm{km}$ y $255\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 3.5 ★★

(a) Para una altura del geoide de $+50\,\mathrm{m}$: calcúlese el potencial perturbador allí, tomando $\gamma = 9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. (b) Sobre $100\,\mathrm{km}$ el geoide se eleva $10\,\mathrm{m}$. ¿En qué ángulo difiere allí la plomada de la normal al elipsoide? Exprésese en segundos de arco.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

(a) $T = -\gamma N = -9.80\times50 = -490\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. (b) El geoide se inclina un ángulo de $10/100\,000 = 1.0 \times 10^{-4}$ rad respecto al elipsoide, y la línea de plomada, normal al geoide, se inclina el mismo ángulo respecto a la normal del elipsoide: $1.0 \times 10^{-4}\times206\,265 = 20.6''$.

Ejercicio 3.6 ★★

A partir de $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$ y del factor de momento de inercia $C/(Ma^2) = 0.3308$, calcúlese la elipticidad dinámica $H = (C - A)/C$ y $1/H$. ¿Cuál de los dos números cambiaría en una Tierra homogénea con el mismo $J_2$?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$H = J_2/(C/Ma^2) = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$, y $1/H = 305.55$. $J_2$ es el mismo por hipótesis; una Tierra homogénea tendría $C/(Ma^2) = 0.4$ y por tanto $H = J_2/0.4 = 0.002\,706\,6$: la precesión sería más lenta. Medir tanto $J_2$ como $H$ es lo que revela la concentración de masa hacia el centro.

Ejercicio 3.7 ★★

Un satélite describe una órbita circular a $500\,\mathrm{km}$ sobre el radio ecuatorial ($a = 6378.137\,\mathrm{km}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$), con una inclinación de $89{}^{\circ}$. Calcúlese su período y la velocidad de precesión nodal en grados por día. ¿Por qué las misiones de gravedad eligen órbitas casi polares?

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

$r = 6878.137\,\mathrm{km}$; $n = \sqrt{GM/r^3} = 1.106\,78 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, un periodo de $2\pi/n = 94.6\,\mathrm{min}$. $\dot\Omega = -1.5\times1.106\,78 \times 10^{-3} \times1.082\,63 \times 10^{-3}\times(6378.137/6878.137)^2\times\cos89{}^{\circ} = -2.70 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, o bien $-0.134{}^{\circ}$ por día, hacia el oeste. Una órbita casi polar pasa sobre todas las latitudes, así que toda la Tierra queda cartografiada; también precesa lentamente, de modo que las trazas en superficie se completan con regularidad.

Ejercicio 3.8 ★★

Dos anomalías de $10\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ en la superficie tienen longitudes de onda de $100\,\mathrm{km}$ y $1000\,\mathrm{km}$. Calcúlense sus amplitudes a $500\,\mathrm{km}$ de altitud.

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

$e^{-2\pi\times500/100} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: $2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, nada. $e^{-2\pi\times500/1000} = e^{-3.14} = 0.0432$: $0.43\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Ejercicio 3.9 ★★

Hacia el océano desde una fosa, la cresta del abultamiento externo se sitúa a $120\,\mathrm{km}$ del eje de la fosa. Tomando el modelo de placa rota con agua sobre la placa, calcúlense $\alpha$, $D$ y $T_e$, y la distancia a la que la placa cruza su nivel sin flexionar.

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

$3\pi\alpha/4 = 120\,\mathrm{km}$ da $\alpha = 50.9\,\mathrm{km}$. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 22269\times(50\,930)^4/4 = 3.75 \times 10^{22}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, y $T_e = (11.25D/E)^{1/3} = 16.2\,\mathrm{km}$. La placa cruza su nivel no flexionado en $\pi\alpha/2 = 80\,\mathrm{km}$ desde la fosa.

Ejercicio 3.10 ★★★

(a) Compruébese que $w = w_0e^{-u}(\cos u + \sin u)$, $u = x/\alpha$, satisface $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = 0$ para $x > 0$, con $\alpha$ tal como se ha definido. (b) Muéstrese que el momento flector $-Dw''$ es máximo bajo la carga y cambia de signo en $x = \pi\alpha/4$. (c) ¿Dónde es más probable que la placa se agriete en su superficie superior, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

(a) Con $u = x/\alpha$, $\mathrm d^4/\mathrm dx^4 = \alpha^{-4}\,\mathrm d^4/\mathrm du^4$. Escribiendo $\cos u + \sin u = \sqrt2\cos(u - \pi/4)$, la función es $\sqrt2w_0\,\mathrm{Re}\,e^{(-1 + i)u - i\pi/4}$, y $(-1 + i)^4 = -4$: por tanto $w'''' = -4w/\alpha^4$. Luego $Dw'''' + (\rho_m - \rho_i)gw = (-4D/\alpha^4 + (\rho_m - \rho_i)g)w = 0$, ya que $\alpha^4 = 4D/((\rho_m - \rho_i)g)$. (b) $w'' = -(2w_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$, por tanto $M = -Dw'' = (2Dw_0/\alpha^2)e^{-u}(\cos u - \sin u)$: máximo en módulo en $u = 0$, se anula donde $\tan u = 1$, $x = \pi\alpha/4$. (c) Bajo la carga la placa es cóncava hacia arriba, con su superficie superior en compresión; más allá de $\pi\alpha/4$ es convexa hacia arriba, con su superficie superior estirada. Allí $M' \propto -e^{-u}\cos u$ se anula en $u = \pi/2$: el estiramiento es máximo en $x = \pi\alpha/2$, en la vertiente exterior del foso hacia el abultamiento periférico, donde $|M|$ es $e^{-\pi/2} = 21\,\%$ de su valor bajo la carga. Es allí donde se abrirían fallas normales y grietas en la parte superior de la placa.

Ejercicio 3.11 ★★★

Con $m = 0.003\,449\,79$ y $C/(Ma^2) = 0.3308$, inviértase la relación de Darwin–Radau para el achatamiento hidrostático. Compárese con $f = 0.003\,352\,81$: calcúlense la diferencia y el exceso de altura del ecuador sobre la forma hidrostática. ¿Qué dice esto sobre el manto?

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

$\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, de donde $1 + \eta = 1.5863$ y $\tfrac52m/f = 2.5863$: $f_h = 2.5\times0.00344979/2.5863 = 0.003\,334\,6$, $1/f_h = 299.9$. La diferencia $f - f_h = 1.82 \times 10^{-5}$; multiplicada por $a$, el ecuador queda $116\,\mathrm{m}$ por encima de la figura hidrostática. La Tierra no es del todo un fluido en equilibrio: su interior soporta esfuerzos, debidos a la resistencia de la litosfera o a las diferencias de flujo y de densidad del manto, que mantienen la forma algo apartada de ese equilibrio.

Ejercicio 3.12 ★★★

Un satélite en una órbita circular a $700\,\mathrm{km}$ de altura debe mantener la misma orientación respecto al Sol durante todo el año: su nodo debe avanzar $360{}^{\circ}$ en un año trópico de $365.242$ días. Calcúlese la inclinación necesaria.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

El nodo debe avanzar a razón de $2\pi/(365.242\times86\,400) = 1.991 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Para $r = 7078.137\,\mathrm{km}$, $n = 1.0602 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\tfrac32nJ_2(a/r)^2 = 1.398 \times 10^{-6}$, de donde $\cos i = -1.991 \times 10^{-7}/1.398 \times 10^{-6} = -0.1424$ y $i = 98.2{}^{\circ}$: una órbita ligeramente retrógrada, heliosíncrona.

3.7 Problema: el foso alrededor de la cresta de Oru

Problema 3.1

Problema de fin de semana — la figura de la Tierra, una carga volcánica, su foso de flexión y lo que ven de él los satélites

Oru es una cresta volcánica inventada en un océano: una cadena recta de volcanes coalescentes de $400\,\mathrm{km}$ de longitud, construida sobre litosfera oceánica antigua. Su sección transversal se toma como un triángulo de $80\,\mathrm{km}$ de ancho en la base y $6\,\mathrm{km}$ de altura, de densidad $2800\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, apoyado sobre un fondo marino $5\,\mathrm{km}$ de profundidad. Manto $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, agua de mar $1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $E = 100\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.25$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$.

Parte I — La forma de la Tierra. Utilícese el Sistema Geodésico de Referencia de 1980: $a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$, $b = 6\,356\,752.3\,\mathrm{m}$, $GM = 3.986\,005 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, $J_2 = 1.082\,63 \times 10^{-3}$, $\omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 0.003\,352\,81$; y $C/(Ma^2) = 0.3308$.

1. Calcúlese $m = \omega^2a^2b/(GM)$.
2. Calcúlese el achatamiento que da la relación de Clairaut a partir de $J_2$ y $m$, y su inverso.
3. Calcúlese el achatamiento hidrostático a partir de la relación de Darwin–Radau, y su inverso.
4. Compárense ambos con el achatamiento observado. ¿En cuántos metros se eleva el ecuador por encima de la figura hidrostática?
5. Calcúlese la elipticidad dinámica $H = (C - A)/C$.

Parte II — La carga.

6. Calcúlese el área de la sección transversal de la cresta.
7. Calcúlese la carga lineal $V_0$, considerando toda la cresta sumergida, de modo que pese $(\rho_v - \rho_w)g$ por unidad de volumen.
8. Si la cresta estuviera compensada localmente, a la manera de Airy, por una raíz de su propia roca en el manto, ¿a qué profundidad estaría la raíz bajo la cresta?
9. Con compensación local, la raíz terminaría al pie de la cresta, a $40\,\mathrm{km}$ de su eje. La batimetría muestra un foso que se extiende hasta $165\,\mathrm{km}$. ¿Qué indica esto?

Parte III — El foso de flexión. El foso está lleno de agua ($\rho_i = \rho_w$). Un perfil sísmico transversal a la cresta sitúa el techo de la corteza oceánica de nuevo a su profundidad regional a $165\,\mathrm{km}$ del eje, y la cresta del abultamiento periférico a $220\,\mathrm{km}$ del eje.

10. Calcúlese el parámetro de flexión a partir del borde del foso.
11. Calcúlese de nuevo a partir del abultamiento periférico. ¿Son coherentes los dos valores?
12. Tomando $\alpha = 70.0\,\mathrm{km}$, calcúlese la rigidez a la flexión.
13. Calcúlese el espesor elástico efectivo.
14. Tomando $V_0 = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ y $D$ redondeado a tres cifras, calcúlese la deflexión bajo el eje.
15. Calcúlese la altura del abultamiento periférico.
16. Compruébese que la flotabilidad de toda la deflexión, $2w_0\alpha(\rho_m - \rho_w)g$, equilibra $V_0$.
17. Compárese $T_e$ con los valores hallados a lo largo de la dorsal hawaiana, de 17 a $37\,\mathrm{km}$. Compárese la deflexión bajo el eje con la raíz de Airy de la pregunta 8.

Parte IV — La gravedad sobre el foso. Tómese un armónico de la flexión, de longitud de onda $2\pi\alpha$ y amplitud $W = 500\,\mathrm{m}$, que deforma tanto el fondo marino (corteza de $2900\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ bajo agua, a $5\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar) como el Moho (manto bajo la corteza, a $12\,\mathrm{km}$ por debajo del nivel del mar). Una lámina delgada de densidad superficial $\sigma$ produce la anomalía $2\pi G\sigma$ justo encima de ella.

18. Calcúlese la longitud de onda y el número de onda $k$ del armónico.
19. Calcúlese la amplitud de la anomalía al nivel del mar debida al fondo marino deformado, mediante prolongación ascendente desde $5\,\mathrm{km}$ de profundidad.
20. Calcúlese la del Moho deformado, y la total.
21. Calcúlese el total a la altitud de un satélite, a $400\,\mathrm{km}$ sobre el nivel del mar.
22. ¿En qué factor se debilita, a esa altitud, un armónico de longitud de onda $80\,\mathrm{km}$, la anchura de la cresta? ¿Qué puede resolver el satélite?
23. ¿A qué grado de armónicos esféricos $n \approx 2\pi R/\lambda$ corresponde el armónico de la pregunta 18 ($R = 6371\,\mathrm{km}$)?
24. Indíquese el espesor elástico efectivo de la placa bajo la cresta de Oru.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $m = (7.292\,115 \times 10^{-5})^2\times6378137^2\times6356752.3/ 3.986\,005 \times 10^{14} = 0.003\,449\,79$.

2. $f = (3J_2 + m)/2 = 0.003\,348\,8$, $1/f = 298.61$.

3. $\sqrt{1 + \eta} = 2.5(1 - 1.5\times0.3308) = 1.2595$, $\tfrac52m/f_h = 2 + 0.5863$, por tanto $f_h = 0.003\,334\,6$ y $1/f_h = 299.88$.

4. El valor de Clairaut, $1/298.61$, está a menos de $0.12\,\%$ del observado $1/298.26$; el hidrostático, $1/299.88$, es menor en $\Delta f = 1.82 \times 10^{-5}$, y $a\,\Delta f = 116\,\mathrm{m}$: el ecuador se sitúa $116\,\mathrm{m}$ por encima de la figura hidrostática.

5. $H = 1.082\,63 \times 10^{-3}/0.3308 = 0.003\,272\,8$ ($1/305.6$).

6. $\tfrac12\times80\,\mathrm{km}\times6\,\mathrm{km} = 240\,\mathrm{km}^{2} = 2.40 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$.

7. $V_0 = (2800 - 1030)\times9.81\times2.40 \times 10^{8} = 4.17 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$.

8. Airy: $(\rho_m - \rho_v)r = (\rho_v - \rho_w)h$, así que $r = 6\times1770/500 = 21.2\,\mathrm{km}$ bajo la cresta.

9. El fondo marino se flexiona mucho más allá del pie de la dorsal: la carga no se compensa columna a columna, sino por la flexión de la placa en una región cuatro veces más ancha. La placa tiene resistencia: compensación isostática regional.

10. $\alpha = 165/(3\pi/4) = 70.0\,\mathrm{km}$.

11. $\alpha = 220/\pi = 70.0\,\mathrm{km}$: lo mismo, como exige una única placa elástica.

12. $D = (\rho_m - \rho_w)g\alpha^4/4 = 2270\times9.81\times(7.00 \times 10^{4})^4/4 = 1.34 \times 10^{23}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$.

13. $T_e = (12(1 - \nu^2)D/E)^{1/3} = (11.25\times1.34 \times 10^{23}/ 1 \times 10^{11})^{1/3} = 24.7\,\mathrm{km}$.

14. $w_0 = V_0\alpha^3/(8D) = 4.17 \times 10^{12}\times(7.00 \times 10^{4})^3/ (8\times1.34 \times 10^{23}) = 1334\,\mathrm{m}$.

15. $w_0e^{-\pi} = 1334\times0.0432 = 58\,\mathrm{m}$.

16. $2\times1334\times7.00 \times 10^{4}\times2270\times9.81 = 4.16 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, igual a $V_0$ dentro del redondeo de $D$.

17. $24.7\,\mathrm{km}$ queda dentro del intervalo observado en la dorsal hawaiana. La placa se hunde $1.3\,\mathrm{km}$ bajo el eje en lugar de formar una raíz de $21\,\mathrm{km}$: la misma flotabilidad se reparte a lo largo de los $330\,\mathrm{km}$ de la fosa.

18. $\lambda = 2\pi\times70.0\,\mathrm{km} = 440\,\mathrm{km}$, $k = 1/\alpha = 1.43 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

19. $\sigma = (2900 - 1030)\times500 = 9.35 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, por tanto $2\pi G\sigma = 3.92 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2} = 39.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ en el fondo marino; por $e^{-k\times5\,\mathrm{km}} = 0.931$, $36.5\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ al nivel del mar (negativa donde la placa es empujada hacia abajo).

20. $\sigma = (3300 - 2900)\times500 = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$: $8.39\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, por $e^{-k\times12\,\mathrm{km}} = 0.843$, $7.07\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. El total es $43.6\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

21. $e^{-k\times400\,\mathrm{km}} = e^{-5.71} = 0.0033$: $0.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

22. $e^{-2\pi\times400/80} = e^{-31.4} = 2.3 \times 10^{-14}$: el satélite no percibe nada de la dorsal en sí, solo la flexión amplia, y ni siquiera esta debilitada trescientas veces; la anomalía propia de la dorsal debe medirse en el mar.

23. $n \approx 2\pi\times6371/440 = 91$.

24. A partir de las preguntas 10 a 13, el espesor elástico efectivo de la placa bajo la dorsal de Oru es $24.7\,\mathrm{km}$.