8Análisis estructural

Un geólogo ha medido doscientos planos de estratificación en los flancos de un pliegue demasiado grande para verse entero: su charnela yace bajo un bosque, y sus flancos se extienden a lo largo de kilómetros. Cada medida es un par de números. Representados como puntos en una carta circular, los polos de los planos caen sobre una única curva, un círculo máximo, y el polo de ese círculo máximo es el eje del pliegue, una recta que nadie ha llegado a ver jamás. Este capítulo construye la carta, la proyección estereográfica, y la emplea, junto con las herramientas vectoriales que la sustentan, para hallar ejes de pliegue, medir la deformación registrada por objetos deformados, recuperar el esfuerzo que impulsó un conjunto de fallas, y restaurar un corte deformado a su estado anterior a la deformación.

Lo que ya sabes

Los círculos máximos y los círculos menores de una esfera están en el volumen de primer año, en su capítulo de astronomía esférica; el rumbo, el buzamiento, la dirección de buzamiento, el acimut y la inmersión en sus capítulos sobre mapas geológicos y cortes geológicos; la normal unitaria hacia arriba de un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$, $\vec n = (\sin\delta \sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ en componentes este, norte y hacia arriba, y la media vectorial de un conjunto de medidas en su primer capítulo sobre métodos de campo y de laboratorio. Los elementos y las clases de pliegues, la línea de charnela de un pliegue, paralela a $\vec n_1\times\vec n_2$, y el ángulo entre flancos $180{}^{\circ} - \arccos(\vec n_1\cdot\vec n_2)$, así como la teoría de Anderson del fallamiento, están en su capítulo sobre fallas, pliegues y fábricas; el esfuerzo, los esfuerzos principales, la elipse de deformación y la cizalla simple en su capítulo sobre esfuerzo, deformación y reología; el cabeceo de un vector de deslizamiento (a partir del rumbo, $-90{}^{\circ}$ para una falla normal, $90{}^{\circ}$ para una falla inversa, 0 sinestral y $180{}^{\circ}$ dextral) y los ejes P y T de un mecanismo focal en su capítulo sobre la fuente sísmica. El corte equilibrado y el despegue están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre los Alpes. Los mínimos cuadrados están en la Sección 1.4; los autovalores y autovectores de una matriz simétrica se encuentran en los libros de matemáticas.

8.1 La proyección estereográfica

Los datos de un geólogo son orientaciones: la actitud de un plano de estratificación, de una falla, de una foliación; el acimut y la inmersión de una lineación, de una charnela de pliegue, de una dirección de deslizamiento. Cada una es una dirección que pasa por un punto, sin posición. Para comparar cientos de ellas, conviene imaginarlas todas trasladadas al centro de una misma esfera: una recta corta la mitad inferior de la esfera en un punto; un plano la corta a lo largo de un semicírculo máximo. Una carta del hemisferio inferior muestra entonces las rectas como puntos y los planos como curvas.

Definición 8.1 (Proyección estereográfica, red equiangular, proyección equivalente, polo)

Sea una recta que pasa por el centro $O$ de una esfera de radio $R$ y que corta el hemisferio inferior en $P$, formando con el nadir el ángulo $\theta = 90{}^{\circ} - p$, donde $p$ es la inmersión de la recta y $t$ su acimut. La proyección estereográfica asigna a $P$ el punto donde la recta que une el cenit con $P$ corta al plano horizontal que pasa por $O$; ese punto dista $r$ de $O$ en el acimut $t$. La carta del hemisferio inferior dibujada de este modo, con su retícula de círculos máximos y círculos menores, es la red equiangular (o red de Wulff). La proyección equivalente (de la esfera) asigna a $P$ el punto a la distancia $r = R\sqrt2\sin(\theta/2)$ en el acimut $t$; su red es la red de Schmidt. El polo de un plano es su recta normal, representada como un punto: para un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$, el polo tiene acimut $\alpha + 180{}^{\circ}$ e inmersión $90{}^{\circ} - \delta$.

Ambas proyecciones sitúan una recta vertical en el centro y una recta horizontal sobre el círculo de radio $R$, la primitiva. Difieren en lo que conservan.

Teorema 8.2 (Las dos proyecciones)

1. La proyección estereográfica sitúa $P$ en $r = R\tan(\theta/2)$. Es conforme: en cada punto dilata todas las direcciones por el mismo factor, $1/(2\cos^2(\theta/2))$, de modo que conserva los ángulos entre curvas.
2. La proyección equivalente multiplica toda área por el mismo factor, $1/2$: el área de una región de la red es la mitad del área de la región del hemisferio que representa.

La proyección estereográfica transforma además todo círculo de la esfera, máximo o menor, en un círculo o en una recta de la carta; lo damos por supuesto. Esto hace que la red equiangular sea fácil de trazar con compás, y un círculo menor, el cono de las rectas que forman un ángulo fijo con un eje, conserva su forma. La proyección equivalente deforma las formas: un círculo menor se convierte en un óvalo, estirado alrededor de la primitiva. Es la proyección en la que una nube de polos puede contarse, puesto que una misma área de la red contiene una misma parte de las direcciones del hemisferio; los geólogos estructurales, y los sismólogos para sus mecanismos focales, la emplean para sus datos.

Planos, rectas y ángulos. Un plano de dirección de buzamiento $\alpha$ y buzamiento $\delta$ corta el hemisferio inferior según un semicírculo máximo. Sus extremos están sobre la primitiva, en los dos extremos del rumbo; su punto medio es la línea de máxima pendiente, que se inclina $\delta$ hacia $\alpha$; y su polo dista $90{}^{\circ}$ de cada punto suyo, en el acimut $\alpha + 180{}^{\circ}$. Una recta contenida en el plano es un punto del círculo máximo. Para representar los datos, se coloca sobre la red una lámina transparente que se gira alrededor del centro hasta que el rumbo de los datos quede sobre el diámetro norte–sur de la red; se traza entonces el círculo máximo del buzamiento correspondiente, y la lámina se devuelve a su posición. El ángulo entre dos rectas se mide sobre el círculo máximo que pasa por ambos puntos, contando las divisiones de los círculos menores que cruza, tras girar la lámina hasta que ambos puntos queden sobre un mismo círculo máximo de la red. El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus polos, o su suplementario. Un ordenador hace lo mismo con vectores: el ángulo entre dos rectas de vectores unitarios $\vec u$ y $\vec v$ es $\arccos|\vec u\cdot\vec v|$.

Método 8.3 (Rotación de datos alrededor de un eje)

Para deshacer un basculamiento, por ejemplo para devolver un estrato a la horizontal con las lineaciones que lleva, o para restituir una dirección paleomagnética medida en estratos basculados (véase el Capítulo 4):

1. Elíjase el eje de rotación: para un estrato basculado, su línea de rumbo, horizontal; el ángulo es el buzamiento, en el sentido que lleva el estrato hacia arriba.
2. Sobre la red, se gira la lámina hasta que el eje quede a lo largo del diámetro norte–sur, donde los círculos menores son los conos alrededor de él.
3. Se desplaza cada punto a lo largo de su círculo menor un ángulo igual al de rotación, medido sobre los círculos máximos. Un punto que saliera del hemisferio inferior reaparece en el extremo opuesto de su círculo menor, en el acimut opuesto.
4. Se devuelve la lámina a su posición. Con vectores, la rotación de $\vec v$ según el ángulo $\omega$ alrededor del eje unitario $\vec k$ es $\vec v' = \vec v \cos\omega + (\vec k\times\vec v)\sin\omega + \vec k(\vec k\cdot\vec v)(1 - \cos\omega)$.

8.2 Análisis de pliegues

Un pliegue cilíndrico se genera por una recta, el eje de pliegue, desplazada paralelamente a sí misma. Todo plano tangente a la superficie plegada contiene el eje, de modo que toda normal a la superficie es perpendicular al eje: todos los polos se sitúan sobre el círculo máximo del plano perpendicular al eje.

Definición 8.4 (Diagrama pi, eje beta)

El diagrama pi de un pliegue es la representación de los polos de los planos medidos sobre su superficie plegada. Para un pliegue cilíndrico caen sobre un círculo máximo, la faja $\pi$; el polo de la faja es el eje beta, la estimación del eje de pliegue que dan las medidas.

Con solo dos flancos, el eje beta es el producto vectorial de sus normales, como mostró el volumen de primer año para la línea de charnela. Con doscientas lecturas dispersas lecturas, hace falta un ajuste óptimo. La media vectorial, que sirvió para las lecturas de un solo plano, no sirve: los polos de una faja apuntan en todos los sentidos a lo largo de ella, y su media dice poco del círculo sobre el que se sitúan.

Definición 8.5 (Tensor de orientación)

El tensor de orientación de $N$ vectores unitarios $\vec p_1, \dots, \vec p_N$ es la matriz simétrica

$$T = \frac1N\sum_{i=1}^N \vec p_i\,\vec p_i^{\mathsf T}, \qquad T_{jk} = \frac1N\sum_i p_{ij}\,p_{ik} .$$

No cambia cuando un vector se sustituye por su opuesto, por lo que resulta adecuado para ejes y polos, que carecen de sentido. Sus valores propios $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \lambda_3 \ge 0$ suman la traza, $1$.

Teorema 8.6 (Agrupamiento y faja a partir del tensor de orientación)

Para cualquier vector unitario $\vec u$,

$$\frac1N\sum_{i=1}^N (\vec p_i\cdot\vec u)^2 = \vec u^{\mathsf T}T\,\vec u ,$$

que alcanza su valor mínimo, $\lambda_3$, cuando $\vec u$ es el vector propio $\vec e_3$ del valor propio menor, y su máximo, $\lambda_1$, a lo largo del vector propio $\vec e_1$. Como $\vec p_i\cdot\vec u$ es el seno del ángulo entre $\vec p_i$ y el plano perpendicular a $\vec u$, el círculo máximo perpendicular a $\vec e_3$ es la faja que minimiza la suma de los cuadrados de los senos de las distancias de los polos a ella, y $\sqrt{\lambda_3}$ es la raíz cuadrática media de los senos. El eje $\vec e_1$ es la recta más próxima a los vectores, el eje medio de un agrupamiento.

Los valores propios describen la forma de los datos. Un agrupamiento tiene $\lambda_1$ cercano a 1 y los otros dos pequeños; una faja tiene $\lambda_3$ cercano a 0, al estar repartidos los polos a lo largo del círculo, de modo que $\lambda_1$ y $\lambda_2$ reparten el resto; los vectores dispersos uniformemente dan tres valores propios cercanos a $1/3$. Un pliegue es cilíndrico, dentro de la precisión de las lecturas, cuando $\sqrt{\lambda_3}$ no es mayor que la dispersión de las lecturas repetidas de un mismo plano. Un pliegue cónico, o dos generaciones de pliegues, dispersan los polos apartándolos de cualquier círculo máximo y aumentan $\lambda_3$.

La figura siguiente representa doce lecturas de los dos flancos del anticlinal de Varden, pliegue inventado de la serie (el Problema 8.1 calcula su eje). Los polos de los flancos suaves se agrupan cerca del centro de la red en dos grupos, que juntos definen una faja que discurre casi este–oeste; el eje beta se sitúa sobre el primitivo, prácticamente hacia el norte. Los planos medios de los dos flancos, dibujados como círculos máximos, se cortan en el mismo punto: el eje beta es la recta común a todos los flancos.

8.3 Análisis de la deformación finita

Una roca deformada registra su deformación cuando contiene objetos cuya forma original, o cuya disposición original, se conoce: ooides redondeados y manchas de reducción, fósiles de simetría conocida, cantos rodados o simplemente los centros de granos que en su día estuvieron espaciados de manera uniforme.

Definición 8.7 (Análisis de la deformación finita, método de Fry)

El análisis de la deformación finita es la medición de la elipse, o del elipsoide, de deformación que ha sufrido una roca, a partir de las formas, orientaciones o espaciados de objetos cuyo estado anterior a la deformación se conoce. En el método de Fry, el vector que va desde el centro de cada objeto hasta el centro de cualquier otro se representa desde un origen común; cuando los centros estaban dispersos con una separación mínima y sin dirección preferente, la región vacía alrededor del origen es una elipse de la forma y orientación de la elipse de deformación.

Proposición 8.8 (El vacío de Fry)

Si una deformación homogénea transforma cada vector $\vec d$ en $F\vec d$, y ningún par de centros distaba menos de $d_0$ antes de la deformación, entonces, después de ella, la región alrededor del origen del diagrama de Fry que está libre de puntos contiene la elipse $\{F\vec d : |\vec d| < d_0\}$, de semiejes $S_1d_0$ y $S_2d_0$ a lo largo de las direcciones principales de la deformación.

En la práctica, los centros no están todos a la separación mínima, y el vacío se lee como el borde interior del anillo más denso de puntos; su razón estima la razón de deformación $R_s = S_1/S_2$ algo baja. La figura siguiente pone a prueba el método sobre una lámina delgada inventada, deformada hasta $R_s = 2$ con el eje largo a $30{}^{\circ}$ de la horizontal: la elipse ajustada al borde del vacío da $R_s = 1.9$ y $30{}^{\circ}$. Cuando se miden los propios objetos, los inicialmente redondos se convierten en elipses de razón axial $R_s$ exactamente; los inicialmente elípticos, con orientaciones al azar, terminan con razones $R_f$ dispersas en torno a $R_s$, siendo los valores mayores cuando sus ejes largos partían paralelos a la dirección de estiramiento, y sus orientaciones finales $\varphi$ se agrupan en torno a ella. La representación de $R_f$ frente a $\varphi$, leída con tablas o con un ordenador, separa la deformación de las formas originales.

En tres dimensiones, el elipsoide de deformación tiene los estiramientos principales $X \ge Y \ge Z$. Su forma se representa en el diagrama de Flinn, con $a = X/Y$ frente a $b = Y/Z$ y el parámetro

Sobre la recta $k = 1$, que corresponde a la deformación plana a volumen constante ($Y = 1$, $X = 1/Z$, de modo que $a = b$), el elipsoide no es ni alargado en forma de puro ni aplastado en forma de torta. Por encima, $k > 1$, el elipsoide es prolato, estirado en una dirección por una constricción: las rocas deformadas de este modo desarrollan una lineación marcada. Por debajo, $k < 1$, es oblato, aplastado, y la roca desarrolla una foliación marcada.

8.4 Paleoesfuerzo

La teoría de Anderson indica en qué planos se forman las fallas nuevas, y que deslizan perpendicularmente a $\sigma_2$. La mayoría de las fallas, sin embargo, son debilidades antiguas reactivadas en un campo de esfuerzos que no escogieron, y deslizan de forma oblicua. Sus direcciones de deslizamiento, leídas en las estrías de las superficies de falla, siguen registrando el esfuerzo, siempre que cada falla deslice en el sentido en que el esfuerzo la empuja.

Definición 8.9 (Paleoesfuerzo, hipótesis de Wallace–Bott, razón de esfuerzos, inversión de deslizamientos de falla)

El paleoesfuerzo es el estado de esfuerzos que actuó sobre una roca en el pasado, en la medida en que puede deducirse de las estructuras que dejó: en la práctica, las direcciones de los esfuerzos principales y la razón de esfuerzos

$$\Phi = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{\sigma_1 - \sigma_3}, \qquad 0 \le \Phi \le 1 .$$

La hipótesis de Wallace–Bott establece que una falla desliza paralelamente al esfuerzo de cizalla proyectado sobre su plano por un esfuerzo uniforme, cada falla de forma independiente. Una inversión de deslizamientos de falla es la búsqueda de las direcciones principales y la razón de esfuerzos cuyas direcciones de deslizamiento predichas mejor se ajustan a un conjunto de fallas y estrías medidas.

Teorema 8.10 (Dirección de deslizamiento en un plano)

Sea $S$ el tensor de esfuerzos, con las compresiones consideradas positivas, y $\vec n$ la normal unitaria hacia arriba de una falla. Escríbase

$$\vec\tau = S\vec n - (\vec n\cdot S\vec n)\,\vec n .$$

Bajo la hipótesis de Wallace–Bott, el bloque superior desliza respecto al bloque inferior a lo largo de $-\vec\tau$, la tracción de cizalla que ejerce sobre el bloque inferior. Además:

1. la dirección de $\vec\tau$ no cambia al sustituir $S$ por $aS + bI$ con $a > 0$; depende, por tanto, solo de las direcciones principales y de $\Phi$, y el tensor reducido $S' = \mathrm{diag}(1, \Phi, 0)$ en el sistema principal $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ predice el mismo deslizamiento que $S$;
2. si $\vec n$ es perpendicular a una dirección principal, el deslizamiento también lo es;
3. con $n_k = \vec n\cdot\vec e_k$, la dirección es la de $\vec\tau' = \vec\tau_0 + \Phi\,\vec\tau_1$, lineal en $\Phi$, donde $\vec\tau_0 = n_1(\vec e_1 - n_1\vec n)$ y $\vec\tau_1 = n_2(\vec e_2 - n_2\vec n)$.

La parte (b) es el caso de Anderson: una falla que contiene a $\sigma_2$ desliza perpendicularmente a él, cualquiera que sea $\Phi$, por lo que no dice nada sobre la razón de esfuerzos. La parte (c) convierte un deslizamiento medido en $\Phi$. Sea $\vec u$ el vector de deslizamiento unitario del bloque superior, obtenido a partir del cabeceo, y $\vec w = \vec n\times\vec u$ la dirección en el plano perpendicular a él. El deslizamiento predicho es paralelo a $\vec u$ cuando $(\vec\tau_0 + \Phi\vec\tau_1)\cdot\vec w = 0$, y como $\vec n\cdot\vec w = 0$,

siempre que el deslizamiento predicho apunte entonces en el sentido de $+\vec u$ y no de $-\vec u$.

Cuando no se conocen las direcciones principales, cada falla proporciona una ecuación, el ángulo de su deslizamiento dentro de su plano, para cuatro incógnitas: tres ángulos que orientan los ejes principales, y $\Phi$. Cuatro fallas de distintas actitudes son el mínimo, y suelen usarse unas decenas. La inversión minimiza la suma de los cuadrados de los ángulos entre los deslizamientos medidos y los predichos, por mínimos cuadrados sobre una malla o por iteración, como en la Sección 1.4. Las fallas que no encajan forman una segunda población, quizá de otra edad.

La figura siguiente muestra cinco fallas de las colinas de Varden: la falla normal principal y otras cuatro más pequeñas, todas con deslizamiento normal. Una búsqueda en malla sobre $\Phi$ y la dirección de $\sigma_3$, con $\sigma_1$ vertical, ajusta las cinco dentro de un cuarto de grado, con $\sigma_3$ horizontal hacia $120{}^{\circ}$.

Los ejes P y T del volumen de primer año no son los esfuerzos principales. Se construyen a partir del plano de falla y del deslizamiento únicamente, a $45{}^{\circ}$ del plano, en el plano que contiene el deslizamiento y la normal; una falla nueva, en roca con un ángulo de fricción cercano a $30{}^{\circ}$, forma unos $30{}^{\circ}$ con $\sigma_1$, y una reactivada, cualquier ángulo. Un solo mecanismo da los ejes P y T; solo muchas fallas de distintas orientaciones, invertidas en conjunto, dan el esfuerzo. La hipótesis misma tiene límites: el esfuerzo puede variar de una falla a otra, los bloques pueden rotar, y las fallas que se encuentran se frenan el deslizamiento unas a otras.

8.5 Restauración de una sección transversal

Una sección transversal es una interpretación: entre la superficie y los sondeos, el geólogo dibuja lo que es probable. El volumen de segundo año, en su capítulo sobre los Alpes, llamó equilibrada una sección cuando puede devolverse a un estado sin deformar con las longitudes de los estratos y las áreas de las unidades conservadas, con pliegues y cabalgamientos enraizados en un despegue. Restaurar es la prueba.

Definición 8.11 (Restauración de cortes, línea de anclaje, método de las bandas de kink)

La restauración de cortes deshace, sobre una sección dibujada paralela a la dirección del transporte tectónico, la deformación que muestra, evento por evento y en orden inverso, conservando las longitudes de los estratos y las áreas de las unidades en el plano de la sección. Una línea de anclaje es una línea que atraviesa los estratos, colocada donde no se deslizaron unos sobre otros (en el antepaís no deformado, o en la superficie axial de un pliegue simétrico), que se toma perpendicular a los estratos en la sección restaurada; las longitudes se miden desde ella. En el método de las bandas de kink los pliegues se dibujan como flancos rectos de espesor de estrato constante unidos por charnelas agudas, cuyas superficies axiales bisecan el ángulo entre los flancos; cada estrato es entonces una línea quebrada, cuya longitud es la suma de sus segmentos rectos.

Un estrato plegado en flancos rectos que buzan $\delta$ en uno u otro sentido, sobre la distancia horizontal $L$, tiene la longitud $L/\cos\delta$: su acortamiento es $S = L(1/\cos\delta - 1)$; el cambio relativo de longitud es $\cos\delta - 1$. Las áreas aportan la otra mitad del equilibrio.

Proposición 8.12 (Profundidad del despegue)

Sea una capa situada a la altura $h$ sobre un despegue horizontal, acortada en $S$ en el plano de una sección, y sea la roca comprendida entre ella y el despegue conserve su área, sin que material cruce los extremos de la sección. Entonces el área $A$ en que la capa plegada queda por encima de su nivel original satisface

$$A = S\,h , \qquad\text{de modo que}\qquad h = \frac AS .$$

Dos capas dan las dos incógnitas: sus áreas en exceso difieren en $S$ veces su separación vertical. La figura siguiente muestra la construcción.

Una sección que corta una falla se restaura en el orden inverso al de los sucesos: primero la estructura más joven. Una falla normal de salto vertical $t_h$ y buzamiento $\delta$ tiene un salto horizontal $t_h/\tan\delta$ y un desplazamiento $t_h/\sin\delta$ en una sección paralela a su buzamiento; el bloque superior se desplaza hacia arriba por la falla una distancia igual al desplazamiento. En una sección oblicua al deslizamiento, tanto el buzamiento de la falla como su desplazamiento son aparentes, y una sección que parece equilibrarse puede no hacerlo: por eso las secciones se dibujan paralelas a la dirección de transporte.

Sobre el terreno — Medida de una actitud

Para medir un plano de estratificación, el geólogo apoya la tapa abierta de una brújula-clinómetro plana contra la superficie, elegida lisa y representativa, y gira el cuerpo hasta que su burbuja indica que está nivelado: la aguja da entonces la dirección de buzamiento, y el clinómetro, con el instrumento girado sobre su canto según la línea de máxima pendiente, el buzamiento. La lectura se anota como dirección de buzamiento y buzamiento, por ejemplo $075/13$, con el lugar y el tipo de superficie. Los acimutes leídos con una aguja magnética se corrigen por la declinación local. Un teléfono inteligente con una aplicación de geología mide lo mismo en un solo paso: apoyado plano sobre el plano, sus acelerómetros dan la dirección de la gravedad y, por tanto, el buzamiento, y su magnetómetro el acimut. Los geólogos de campo comparan con regularidad su lectura con una brújula, ya que el hierro cercano y los circuitos propios del teléfono pueden perturbar el magnetómetro; repiten cada lectura y promedian las normales con la media vectorial.

8.6 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Dedúzcanse la dirección de inmersión y la inmersión del polo del plano $040/30$ (dirección de buzamiento). Indíquese la actitud del plano cuyo polo tiene dirección $315{}^{\circ}$ e inmersión $20{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

El polo tiene una dirección de $40 + 180 = 220{}^{\circ}$ y una inmersión de $90 - 30 = 60{}^{\circ}$. El plano buza $90 - 20 = 70{}^{\circ}$ hacia $315 - 180 = 135{}^{\circ}$: $135/70$.

Ejercicio 8.2 ★

Una línea tiene inmersión $30{}^{\circ}$. ¿A qué distancia del centro se representa en una red equiangular y en una red equivalente, ambas de radio $10\,\mathrm{cm}$?

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$\theta = 60{}^{\circ}$. Red equiangular: $10\tan30{}^{\circ} = 5.77\,\mathrm{cm}$; en la red equivalente: $10\sqrt2\sin30{}^{\circ} = 7.07\,\mathrm{cm}$.

Ejercicio 8.3 ★

Los flancos de un pliegue tienen las actitudes $090/30$ y $270/30$. Calcúlese el ángulo entre sus polos con el producto escalar de las normales, el ángulo entre flancos y la clase del pliegue.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$\vec n_1 = (\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_2 = (-\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ})$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = -0.25 + 0.75 = 0.5$: los polos están separados $60{}^{\circ}$, el ángulo entre flancos es $120{}^{\circ}$, un pliegue abierto.

Ejercicio 8.4 ★

Una falla $090/60$ presenta estrías de cabeceo $-45{}^{\circ}$. Con el vector de rumbo $\vec s = (0, 1, 0)$ y el vector de máxima pendiente $\vec d$ del plano, el deslizamiento del bloque superior es $\vec u = \cos r\,\vec s - \sin r\,\vec d$. Calcúlense $\vec d$, $\vec u$, y la dirección y la inmersión del deslizamiento. Dénse el nombre de la falla.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$\vec d = (\cos60{}^{\circ}, 0, -\sin60{}^{\circ}) = (0.5, 0, -0.866)$ y $\vec u = 0.707\,\vec s + 0.707\,\vec d = (0.354, 0.707, -0.612)$: dirección $\operatorname{atan2}(0.354, 0.707) = 26.6{}^{\circ}$, inmersión $\arcsin0.612 = 37.8{}^{\circ}$. El cabeceo se sitúa entre $-90{}^{\circ}$ (normal) y 0 (sinestral): una falla normal oblicua con componente sinestral.

Ejercicio 8.5 ★★

Los flancos de un pliegue tienen las actitudes $060/40$ y $250/30$. Calcúlense la dirección y la inmersión de su eje, y su ángulo entre flancos.

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$$\begin{gather*} \vec n_1 = (0.5567, 0.3214, 0.7660),\qquad \vec n_2 = (-0.4698, -0.1710, 0.8660),\\ \vec n_1\times\vec n_2 = (0.4093, -0.8420, 0.0558), \end{gather*}$$

de longitud $0.9379$. Su opuesto, $-\vec n_1\times\vec n_2$, apunta hacia abajo: dirección $334.1{}^{\circ}$, inmersión $\arcsin(0.0558/0.9379) = 3.4{}^{\circ}$. $\vec n_1\cdot\vec n_2 = 0.3469$, $69.7{}^{\circ}$ entre las normales, ángulo entre flancos $110.3{}^{\circ}$: un pliegue abierto.

Ejercicio 8.6 ★★

Calcúlese la fracción del área de la red que queda dentro del círculo de líneas con inmersión mayor que $60{}^{\circ}$, en la red equivalente y en la red equiangular, y la fracción de las direcciones del hemisferio inferior que tienen inmersión mayor que $60{}^{\circ}$. ¿Qué red debe usarse para contar polos?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

Una inmersión superior a $60{}^{\circ}$ significa $\theta < 30{}^{\circ}$. En la red equivalente: $r^2 = 2\sin^215{}^{\circ} = 0.134$, $13.4\,\%$ de la red; en la red equiangular: $\tan^215{}^{\circ} = 0.072$, $7.2\,\%$. En la esfera el casquete contiene $1 - \cos30{}^{\circ} = 0.134$ del hemisferio: solo la red equivalente lo muestra con su proporción real, por eso los polos se cuentan sobre ella.

Ejercicio 8.7 ★★

Tres polos están en el plano vertical este–oeste, a $-20{}^{\circ}$, $0$ y $20{}^{\circ}$ de la vertical: $\vec p = (\sin a, 0, -\cos a)$. Calcúlense su tensor de orientación, sus valores propios y vectores propios, y el eje beta. ¿Por qué el menor valor propio es exactamente cero?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

$$\begin{gather*} T_{xx} = \frac{2\sin^220{}^{\circ}}3 = 0.078,\qquad T_{zz} = \frac{2\cos^220{}^{\circ} + 1}3 = 0.922,\\ T_{xz} = -\frac{\sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ} - \sin20{}^{\circ}\cos20{}^{\circ}}3 = 0, \end{gather*}$$

y todo término con $y$ es 0. Los autovalores son $0.922$ (vertical), $0.078$ (este) y $0$ (norte): el eje beta es horizontal, norte–sur. Los tres polos están en un mismo plano, así que ninguno tiene componente según su normal, y $\vec u^{\mathsf T}T\vec u = 0$ para $\vec u$ según ella.

Ejercicio 8.8 ★★

Represéntese en el diagrama de Flinn el elipsoide $X : Y : Z = 3 : 1.5 : 1$, y después el elipsoide de volumen constante con $X = 1.8$ e $Y = 1.1$. Calcúlese $k$ en cada caso y dénse el nombre de la deformación.

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

$a = 2$, $b = 1.5$, $k = 1/0.5 = 2$: constricción. $Z = 1/(1.8\times1.1) = 0.505$, $a = 1.636$, $b = 2.178$, $k = 0.636/1.178 = 0.54$: achatamiento.

Ejercicio 8.9 ★★

En una sección cortada paralelamente al estiramiento, los ooides inicialmente redondos son elipses de razón axial $2.25$, todas paralelas, y el área de cada una no cambia. Calcúlense los estiramientos principales y la extensión a lo largo del eje largo. Antes de la deformación, los centros de los ooides nunca estaban más cerca que $0.4\,\mathrm{mm}$: dénse los semiejes del vacío del diagrama de Fry.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

$S_1/S_2 = 2.25$ y $S_1S_2 = 1$: $S_1 = 1.5$, $S_2 = 0.667$; el eje largo se alargó un $50\,\%$. El poro tiene los semiejes $1.5\times0.4 = 0.60\,\mathrm{mm}$ y $0.667\times0.4 = 0.27\,\mathrm{mm}$.

Ejercicio 8.10 ★★★

Con $\theta = 60{}^{\circ}$ desde el nadir, calcúlese el estiramiento a lo largo del radio, $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta)$, y alrededor del círculo, $r/(R\sin\theta)$, en ambas proyecciones. Compruébese el teorema sobre las proyecciones, y dése la razón de los ejes del óvalo en que la red equivalente convierte un círculo muy pequeño situado allí.

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

Red equiangular: $1/(2\cos^230{}^{\circ}) = 0.667$ a lo largo del radio y $\tan30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.577/0.866 = 0.667$ alrededor: iguales, conformes. Red equivalente: $\mathrm dr/(R\,\mathrm d\theta) = (\sqrt2/2)\cos30{}^{\circ} = 0.612$ y $\sqrt2\sin30{}^{\circ}/\sin60{}^{\circ} = 0.707/0.866 = 0.816$; el producto es $0.500$, el factor de área del teorema. Un círculo menor se convierte en un óvalo de ejes en la razón $0.816/0.612 = 1.33$, largo alrededor del centro.

Ejercicio 8.11 ★★★

En un régimen de desgarre, $\sigma_1$ es horizontal hacia $000{}^{\circ}$, $\sigma_3$ horizontal hacia $090{}^{\circ}$ y $\sigma_2$ vertical. Una falla vertical tiene rumbo $020{}^{\circ}$. Sin calcular $\vec\tau$, muéstrese que su deslizamiento es horizontal para todo $\Phi$. Después calcúlese $-\vec\tau$ para $\Phi = 0.4$ con la normal del plano $\vec n = (\cos20{}^{\circ}, -\sin20{}^{\circ}, 0)$ y dése el sentido del deslizamiento.

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

La falla es vertical, así que su normal es horizontal y perpendicular al $\sigma_2$ vertical; por la parte (b) del teorema el deslizamiento es perpendicular a $\sigma_2$, horizontal, para cualquier $\Phi$. Con $\sigma_1 = 1$ según el norte, $\sigma_3 = 0$ según el este: $S\vec n = (0, -0.342, 0)$, $\vec n\cdot S\vec n = 0.117$, $\vec\tau = (0, -0.342, 0) - 0.117\,(0.940, -0.342, 0) = (-0.110, -0.302, 0)$ y $-\vec\tau = (0.110, 0.302, 0)$, hacia $020{}^{\circ}$. El bloque en el lado de $\vec n$, el lado este, se desplaza hacia el norte-noreste a lo largo del rumbo: visto desde el lado oeste, se mueve hacia la izquierda, una falla sinestral (cabeceo 0). $\sigma_2$ no interviene en el cálculo.

Ejercicio 8.12 ★★★

Una sección de $20\,\mathrm{km}$ de longitud corta un tren de pliegues de despegue. Dos horizontes separados $1.0\,\mathrm{km}$ se sitúan por encima de sus niveles originales en las áreas $6.0\,\mathrm{km}^{2}$ (inferior) y $7.5\,\mathrm{km}^{2}$ (superior). Calcúlense el acortamiento, la profundidad del despegue bajo el horizonte inferior, la longitud original de la sección y su cambio relativo de longitud.

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

$S = (7.5 - 6.0)/1.0 = 1.5\,\mathrm{km}$; $h = 6.0/1.5 = 4.0\,\mathrm{km}$ por debajo del horizonte inferior. La sección tenía $20 + 1.5 = 21.5\,\mathrm{km}$ de longitud, y cambió en $-1.5/21.5 = -7.0\,\%$.

8.7 Problema: pliegues y fallas de las Varden Hills

Problema 8.1

Problema de fin de semana — el eje de un pliegue, el esfuerzo de un conjunto de fallas y la restauración de una sección, en una región inventada

En las Varden Hills, la región inventada de la serie, una cobertera mesozoica descansa sobre un zócalo de esquistos y granito. La cobertera se pliega en un anticlinal y un sinclinal de flancos rectos, con plano axial vertical, y luego la corta una falla normal. Un geólogo midió doce planos de estratificación en los dos flancos del anticlinal (dirección de buzamiento/buzamiento, en grados):

flanco oriental	075/13	084/11	089/13	079/14	086/12	072/11
flanco occidental	283/11	272/13	281/14	288/10	276/13	274/12

Las sumas de las normales unitarias hacia arriba de las seis medidas de cada flanco son $\vec S_E = (1.2583, 0.2017, 5.8604)$ y $\vec S_W = (-1.2445, 0.1886, 5.8636)$ (este, norte, arriba). Cinco fallas llevan estrías (dirección de buzamiento/buzamiento, cabeceo del deslizamiento del bloque superior): $120/60/{-90}$ (la falla principal), $150/55/{-76}$, $090/65/{-108}$, $200/70/{-78}$ y $060/50/{-105}$. La falla principal tiene un salto vertical de $200\,\mathrm{m}$. Los ejes del anticlinal y del sinclinal distan $4\,\mathrm{km}$, de modo que los pliegues se repiten cada $8\,\mathrm{km}$ de este a oeste.

Parte I — Polos y el eje beta.

1. Indíquese la dirección y la inmersión del polo de la medida $075/13$, y su distancia al centro de una red equivalente de radio $10\,\mathrm{cm}$.
2. Calcúlese la normal unitaria hacia arriba de la medida $075/13$; compruébese su módulo frente a $\vec S_E$.
3. Calcúlese la orientación media de cada flanco a partir de $\vec S_E$ y $\vec S_W$, las longitudes medias de la resultante y la dispersión cuadrática media de las medidas respecto de sus medias.
4. Calcúlese $\vec S_E\times\vec S_W$, y la dirección y la inmersión del eje beta.
5. Calcúlese el ángulo entre las dos normales medias, el ángulo entre flancos, y la clase del pliegue.
6. El plano axial de este pliegue simétrico contiene al eje beta y es perpendicular a $\vec m_E - \vec m_W$, la diferencia de las normales unitarias medias. Indíquese su orientación; ¿es el pliegue vertical?
7. Indíquese la orientación del cinturón $\pi$, y explíquese por qué los polos yacen sobre él.

Parte II — El tensor de orientación. El tensor de orientación de los doce polos es

$$T = \begin{pmatrix} 0.04400 & 0.00035 & 0.00109\\ 0.00035 & 0.00144 & 0.03179\\ 0.00109 & 0.03179 & 0.95456 \end{pmatrix},$$

con los autovalores $0.95562$, $0.04400$ y $0.00038$.

8. Compruébese que la traza de $T$ es 1. Con $\vec b = (0.0053, -0.9994, 0.0333)$, el vector unitario en la dirección de $\vec S_E\times\vec S_W$, calcúlese $\vec b^{\mathsf T}T\vec b$. ¿Qué indica el resultado sobre $\vec b$?
9. Calcúlese el ángulo cuadrático medio entre los polos y el cinturón.
10. Explíquese el valor de $\lambda_2$ a partir de los buzamientos de los flancos.
11. ¿Es el pliegue cilíndrico dentro de la precisión de las medidas?
12. La inmersión del eje beta viene fijada por la inclinación norte–sur del cinturón, al que cada polo contribuye con la dispersión hallada en la pregunta 9. Estímese el error típico de la inmersión.

Parte III — El paleoesfuerzo.

13. ¿Qué tipo de falla es la falla principal? Siguiendo a Anderson, indíquense las direcciones de $\sigma_1$, $\sigma_2$ y $\sigma_3$.
14. Demuéstrese, con el teorema sobre la dirección de deslizamiento, que la falla principal se desliza en la dirección del buzamiento para cualquier valor de $\Phi$. ¿Qué indica sobre $\Phi$?
15. Para la falla $150/55$, calcúlese $\vec n$ y sus componentes $n_1 = \vec n\cdot\vec e_1$ y $n_2 = \vec n\cdot\vec e_2$, con $\vec e_1$ vertical y $\vec e_2$ horizontal hacia $030{}^{\circ}$.
16. Su deslizamiento da $\vec w = \vec n\times\vec u = (0.771, 0.605, 0.198)$. Calcúlese $\Phi$.
17. Las otras tres fallas pequeñas dan $\Phi = 0.294$, $0.301$ y $0.306$. Indíquese la media, y explíquese de dónde procede la dispersión.
18. ¿Qué indica $\Phi = 0.3$ sobre $\sigma_2$?
19. Calcúlense los ejes P y T de la falla principal (a $45{}^{\circ}$ del plano, en su plano de buzamiento), y compárense con $\sigma_1$ y $\sigma_3$.

Parte IV — Restauración de una sección este–oeste.

20. Calcúlese el buzamiento aparente del flanco oriental, $080.9/12.3$, en una sección este–oeste.
21. Tomando los flancos a $12{}^{\circ}$ en la sección, calcúlense la longitud restaurada de una longitud de onda del pliegue, el acortamiento y el cambio relativo de longitud.
22. Calcúlese la altura de la cresta del anticlinal sobre los sinclinales y el área en exceso de una longitud de onda, suponiendo que los sinclinales se mantuvieron en el nivel original.
23. Calcúlese la profundidad del despegue bajo el estrato plegado. ¿Pueden los pliegues estar despegados en la base de la cobertera, a unos pocos cientos de metros de profundidad?
24. Calcúlese el salto horizontal y el deslizamiento de la falla principal en una sección según $120{}^{\circ}$.
25. En la sección este–oeste, calcúlense el buzamiento aparente de la falla y su salto horizontal aparente. ¿Qué sección debe restaurarse?
26. ¿En qué orden se restauran la falla y los pliegues, y dónde se sitúan las líneas de anclaje?
27. ¿Cuál es la inmersión del eje del pliegue de Varden, obtenida a partir de las doce medidas?

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. El polo tiene una dirección de $255{}^{\circ}$ y una inmersión de $77{}^{\circ}$; $\theta = 13{}^{\circ}$ y $r = 10\sqrt2\sin6.5{}^{\circ} = 1.60\,\mathrm{cm}$ desde el centro, hacia $255{}^{\circ}$.

2. $\vec n = (\sin13{}^{\circ}\sin75{}^{\circ}, \sin13{}^{\circ}\cos75{}^{\circ}, \cos13{}^{\circ}) = (0.2173, 0.0582, 0.9744)$. Seis vectores unitarios casi paralelos suman casi 6: $|\vec S_E| = 5.9974$.

3. Flanco este: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(1.2583, 0.2017) = 80.9{}^{\circ}$ y $\bar\delta = \arccos(5.8604/5.9974) = 12.3{}^{\circ}$; $\bar R = 5.9974/6 = 0.99956$ y la dispersión es $\sqrt{2\times0.00044} = 0.0297\,\mathrm{rad}$, o $1.7{}^{\circ}$. Flanco oeste: $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(-1.2445, 0.1886) = 278.6{}^{\circ}$ y $\bar\delta = \arccos(5.8636/5.9972) = 12.1{}^{\circ}$; $\bar R = 0.99953$, dispersión $1.8{}^{\circ}$.

4.

$$\vec S_E\times\vec S_W = (0.0774, -14.6714, 0.4883),$$

de longitud $14.680$. Su opuesto apunta hacia abajo: la dirección es $\operatorname{atan2}(-0.0774, 14.6714) = 359.7{}^{\circ}$ y la inmersión $\arcsin(0.4883/14.680) = 1.9{}^{\circ}$.

5. El coseno del ángulo entre las normales medias es $32.835/35.968 = 0.9129$, el producto escalar de las sumas dividido por sus longitudes: $24.1{}^{\circ}$ entre las normales, un ángulo entre flancos de $155.9{}^{\circ}$: un pliegue abierto, cercano a suave.

6.

$$\begin{gather*} \vec m_E = (0.2098, 0.0336, 0.9772),\qquad \vec m_W = (-0.2075, 0.0314, 0.9777),\\ \vec m_E - \vec m_W = (0.4173, 0.0022, -0.0005): \end{gather*}$$

una normal horizontal hacia $089.7{}^{\circ}$. El plano axial es vertical, con rumbo $359.7{}^{\circ}$, prácticamente norte–sur: el pliegue es recto.

7. El cinturón es el plano cuyo polo es el eje beta: dirección de buzamiento $179.7{}^{\circ}$, buzamiento $90 - 1.9 = 88.1{}^{\circ}$, casi el plano vertical este–oeste. Cada flanco contiene el eje de pliegue, así que cada normal es perpendicular a él y yace en el plano perpendicular a él.

8. $0.04400 + 0.00144 + 0.95456 = 1.00000$. $\vec b^{\mathsf T}T\vec b = 0.00038$, el menor autovalor: $\vec b$ es, a menos del redondeo, el autovector $\vec e_3$, y el cinturón que pasa por los dos polos medios es el cinturón de mejor ajuste de los doce.

9. $\arcsin\sqrt{0.00038} = \arcsin0.0195 = 1.1{}^{\circ}$.

10. A lo largo del cinturón, los polos se sitúan a unos $12.2{}^{\circ}$ de la vertical, a uno y otro lado; $\sin^212.2{}^{\circ} = 0.045$, el cuadrado medio de sus componentes este–oeste, que es $\lambda_2$.

11. Sí: los polos se apartan del cinturón $1.1{}^{\circ}$ de media, no más que la dispersión de $1.7{}^{\circ}$ de las lecturas de un flanco respecto de su media.

12. $1.1{}^{\circ}/\sqrt{12} = 0.3{}^{\circ}$: la inmersión es $1.9{}^{\circ}$ $\pm$ $0.3{}^{\circ}$.

13. Un cabeceo de $-90{}^{\circ}$: una falla normal pura, con deslizamiento de buzamiento. Anderson: $\sigma_1$ vertical, $\sigma_3$ horizontal según la dirección de buzamiento, $120{}^{\circ}$–$300{}^{\circ}$, $\sigma_2$ horizontal según el rumbo, $030{}^{\circ}$–$210{}^{\circ}$.

14. La normal de $120/60$ yace en el plano vertical de dirección $120{}^{\circ}$, que contiene $\vec e_1$ y $\vec e_3$: $n_2 = 0$. Por el apartado (b), la deslizamiento es perpendicular a $\sigma_2$, el rumbo, para todo $\Phi$: es deslizamiento de buzamiento. La falla no dice nada de $\Phi$; en la fórmula se anulan tanto $n_2$ como $\vec e_2\cdot\vec w$, y por tanto el numerador y el denominador, se anulan.

15. $\vec n = (\sin55{}^{\circ}\sin150{}^{\circ}, \sin55{}^{\circ}\cos150{}^{\circ}, \cos55{}^{\circ}) = (0.4096, -0.7094, 0.5736)$; $n_1 = 0.574$; $n_2 = 0.5\times 0.4096 + 0.866\times(-0.7094) = -0.410$.

16. $\vec e_1\cdot\vec w = 0.198$ y $\vec e_2\cdot\vec w = 0.5\times 0.771 + 0.866\times0.605 = 0.909$, así que $\Phi = -(0.574\times0.198)/(-0.410\times 0.909) = 0.1137/0.3727 = 0.305$.

17. $(0.305 + 0.294 + 0.301 + 0.306)/4 = 0.30$. Los cabeceos se redondearon al grado; un grado de cabeceo mueve $\Phi$ alrededor de 0.02 en estas fallas, así que el medio grado de redondeo explica la dispersión.

18. $\sigma_2 - \sigma_3 = 0.3(\sigma_1 - \sigma_3)$: $\sigma_2$ está más cerca de $\sigma_3$ que de $\sigma_1$. Los dos esfuerzos horizontales están muy por debajo del vertical; la región se distendió sobre todo hacia $120{}^{\circ}$, un poco según $030{}^{\circ}$.

19. Con $\vec n = (0.750, -0.433, 0.500)$ y el deslizamiento $\vec u = (0.433, -0.250, -0.866)$, $(\vec n - \vec u)/\sqrt2$ tiene una inmersión de $75{}^{\circ}$ hacia $300{}^{\circ}$: P; $(\vec n + \vec u)/\sqrt2$ tiene una inmersión de $15{}^{\circ}$ hacia $120{}^{\circ}$: T. Ambos están en el mismo plano vertical que $\sigma_1$ y $\sigma_3$, pero $15{}^{\circ}$ de ellos, porque la falla forma $30{}^{\circ}$, y no $45{}^{\circ}$, con $\sigma_1$.

20. $\tan a = \tan12.3{}^{\circ}\times\cos(90{}^{\circ} - 80.9{}^{\circ}) = 0.2180\times0.9874 = 0.2153$: $a = 12.1{}^{\circ}$.

21. $L_0 = 8000/\cos12{}^{\circ} = 8178.7\,\mathrm{m}$, $S = 178.7\,\mathrm{m}$, un cambio relativo de $\cos12{}^{\circ} - 1 = -2.2\,\%$.

22. $4000\tan12{}^{\circ} = 850.2\,\mathrm{m}$; $A = \tfrac12\times8000\times 850.2 = 3.40 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$.

23. $h = 3.40 \times 10^{6}/178.7 = 19.0\,\mathrm{km}$. Un despegue en la base de la cobertera daría un $h$ de unos pocos cientos de metros y un área excedente unas cincuenta veces menor: los pliegues no están despegados allí. O bien el zócalo se plegó junto con la cobertera, o los sinclinales se hundieron por debajo del nivel original, lo que hace $A$ menor; la sección por sí sola no puede decirlo.

24. Salto horizontal $200/\tan60{}^{\circ} = 115.5\,\mathrm{m}$, desplazamiento $200/\sin60{}^{\circ} = 230.9\,\mathrm{m}$.

25. $\tan a = \tan60{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 1.500$: $a = 56.3{}^{\circ}$, y el salto horizontal aparente es $200/1.5 = 133.3\,\mathrm{m}$. El desplazamiento de la falla es según el buzamiento, hacia $120{}^{\circ}$: la sección según $120{}^{\circ}$ muestra las longitudes verdaderas y debe ser la que se restaure.

26. La falla corta los pliegues, así que es más joven y se restaura primero, desplazando el bloque superior hacia arriba por la falla $230.9\,\mathrm{m}$; los pliegues se desdoblan después. Las líneas de anclaje van sobre las superficies axiales de los sinclinales, en el bloque inferior, donde los pliegues simétricos no tenían deslizamiento entre las capas.

27. El eje de pliegue de Varden tiene una inmersión de $1.9{}^{\circ}$ hacia el norte (dirección $359.7{}^{\circ}$): los $2{}^{\circ}$ impuestos a la región, recuperados hasta el $0.3{}^{\circ}$ que permiten las doce lecturas.