18Geomorfología cuantitativa

Un río que atraviesa una cordillera en ascenso presenta un escalón en su perfil longitudinal: una cascada, con un desfiladero aguas abajo y un valle más suave aguas arriba. El escalón no permanece donde se formó. Remonta aguas arriba, a razón de unos pocos milímetros o unos pocos metros al año, y su posición es un reloj que se puso en marcha cuando el nivel de base del río fue rebajado. Leer ese reloj, y las tasas escritas en la forma de las laderas y los ríos, requiere dos leyes de conservación y dos leyes de transporte: una para el suelo que se desliza lentamente ladera abajo, y otra para el lecho rocoso que corta el río.

Lo que ya sabes

La meteorización, la erosión, la sedimentación, las formas del relieve y el equilibrio entre levantamiento y erosión figuran en los libros de niveles anteriores, al igual que el rebote isostático y los valles glaciares en U. La tasa de denudación, el esfuerzo de cizalla en el lecho y el parámetro de Shields figuran en el volumen de primer año, en su capítulo sobre erosión y transporte; el modelo digital de elevaciones en su capítulo sobre mapas geológicos; la isostasia de Airy en su capítulo sobre isostasia y anomalías gravimétricas. Los nucleidos cosmogénicos y las tasas de erosión obtenidas a partir de ellos están en el capítulo 13, la termocronología y la relación edad–altitud en el capítulo 10. La ecuación de difusión figura en los libros de física.

18.1 Laderas

En una colina cubierta de suelo, este se desplaza ladera abajo grano a grano: los animales excavadores lo remueven, las raíces lo levantan, la congelación y la humectación lo hinchan, y cada perturbación permite que la gravedad lo desplace un poco. Promediado a lo largo de siglos, el flujo de suelo es proporcional a la pendiente.

Definición 18.1 (Difusión de laderas)

La difusión de laderas es el lento transporte de suelo ladera abajo cuyo flujo volumétrico por unidad de ancho de ladera, $\vec q$, es proporcional al gradiente de la elevación superficial $z$: $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. El coeficiente $\kappa$, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, es la difusividad de ladera.

Teorema 18.2 (Difusión de laderas)

Sea la roca levantada a una tasa $U$ con respecto a los cauces que delimitan una ladera, el suelo y la roca tienen la misma densidad, y el suelo se mueve por difusión de laderas con $\kappa$ uniforme. Entonces la elevación superficial obedece

$$\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,$$

la ecuación de difusión con un término fuente.

Una falla o una línea de costa cortan un escarpe en un instante; después, el escarpe solo evoluciona por difusión. Partiendo de un escalón vertical de semialtura $a$ sobre una pendiente de campo lejano $b$, la solución en una dimensión es

La forma depende solo del producto $\kappa t$: un perfil medido permite obtener $\kappa t$; o bien una edad independiente da $\kappa$, o bien un $\kappa$ conocido da la edad, una edad morfológica. Los escarpes en regiones semiáridas con suelos granulares y vegetación escasa dan valores de $\kappa$ entre $10^{-3}$ y $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; en las montañas costeras húmedas y densamente vegetadas, alrededor de $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Cuando una colina se ha levantado y erosionado durante el tiempo suficiente, su forma deja de cambiar: cada punto desciende a la misma velocidad a la que asciende la roca.

Proposición 18.3 (La curvatura de la cima mide la tasa de erosión)

En una ladera en estado estacionario bajo difusión de ladera, la tasa de erosión $E$, igual a $U$, es

$$E = -\kappa\,\nabla^2 z .$$

En una dimensión, el perfil es la parábola $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, con un relieve $E L^2/(2\kappa)$ entre la divisoria y los cauces, situados a una distancia $L$.

La curvatura, magnitud geométrica medida sobre un modelo digital de elevaciones, se interpreta así como una tasa una vez conocido $\kappa$: cuanto más empinadas y más agudamente redondeadas sean las cimas, más deprisa se erosiona el paisaje. El propio suelo se forma a partir de la roca subyacente, a una tasa que depende de cuánto suelo ya la cubre.

Definición 18.4 (Función de producción de suelo)

La función de producción de suelo proporciona la tasa $P$ a la que el lecho rocoso se convierte en suelo en función del espesor del suelo $h$; habitualmente se toma $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, donde $P_0$ es la tasa sobre roca desnuda y $h_0$ una longitud de una fracción de metro.

En estado estacionario, la interfase suelo-roca desciende a la tasa de la superficie, $P(h) = E$, de modo que el espesor del suelo es $h = h_0 \ln(P_0/E)$: una erosión más rápida implica un suelo más delgado, y donde $E$ supera a $P_0$ el suelo se elimina y aflora la roca desnuda, limitada por la meteorización. Las tasas de producción de suelo más rápidas medidas son del orden de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

La difusión lineal falla en pendientes pronunciadas. A medida que el gradiente se acerca a un umbral, los granos ruedan y deslizan en ráfagas y los deslizamientos someros eliminan el suelo.

Definición 18.5 (Pendiente crítica de ladera)

La pendiente crítica de ladera $S_c$ es el gradiente al que el flujo de suelo crece sin límite; en una ley de transporte no lineal muy utilizada, $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Las pendientes mucho más suaves que $S_c$ se comportan como en la difusión lineal; las pendientes que se erosionan deprisa se empinan hacia $S_c$ y se vuelven planas, con un gradiente fijado por el umbral y no por la tasa de erosión.

Sobre el terreno — Escaneado de una ladera

Un equipo que estudia una loma cubierta de suelo coloca un escáner láser terrestre sobre un trípode a unas decenas de metros de la cresta. Cada escaneo registra millones de puntos, la distancia y la dirección hasta la superficie del terreno, a través de los huecos entre la hierba y los arbustos; los puntos de varias estaciones de escaneo se fusionan en una única nube, registrada con dianas topográficas mediante un receptor de satélite, y se conservan los últimos retornos para eliminar la vegetación. La nube del suelo desnudo se transforma en una malla de elevaciones de celdas decimétricas, suavizada a lo largo de unos metros, y su laplaciano se calcula en la cresta. El equipo compara después las curvaturas de las cimas de las lomas que se erosionan a tasas medidas con nucleidos cosmogénicos: representadas una frente a otra, las dos dan la difusividad de la ladera como pendiente de una recta, tal como predice la proposición.

18.2 Incisión fluvial

Donde un río discurre sobre lecho rocoso, se encaja mediante el arranque de bloques, por abrasión bajo su carga de fondo y por cavitación. Todos estos procesos escalan con el esfuerzo de cizalla que el flujo ejerce sobre su lecho, o con la potencia que disipa allí, y ambos crecen con el caudal y la pendiente. El caudal crece con el área de drenaje, de modo que el área representa al caudal.

Definición 18.6 (Ley de potencia de la corriente)

La ley de potencia de la corriente proporciona la tasa de incisión vertical $E$ de un río sobre lecho rocoso, como

$$E = K A^m S^n ,$$

donde $A$ es el área de drenaje aguas arriba del punto, $S$ la pendiente del cauce, $m$ y $n$ exponentes positivos, y $K$ un coeficiente de erosionabilidad que agrupa la resistencia de la roca, el clima y la anchura del cauce.

Para los procesos que escalan con el esfuerzo de cizalla o con la potencia unitaria de la corriente, $m/n$ está próximo a 0.5. Un estudio de cauces de cárcavas excavados en roca débil durante unos 20 años encontró tasas de incisión proporcionales a $A^{0.44}S^{0.68}$.

Definición 18.7 (Incisión limitada por el arranque y limitada por el transporte)

La incisión es limitada por el arranque cuando el río puede transportar más sedimento del que recibe, de modo que su tasa de descenso se fija por la rapidez con que arranca el lecho rocoso de su cauce: en ese caso se aplica la ley de potencia de la corriente. Es limitada por el transporte cuando el río transporta todo el sedimento que puede, de modo que su lecho solo desciende donde la capacidad de transporte aumenta aguas abajo, a la tasa fijada por la divergencia del flujo de sedimento.

Un río limitado por el transporte se comporta de forma muy parecida a una ladera: el flujo depende de la pendiente, y su perfil evoluciona mediante una ecuación de tipo difusivo que redondea cualquier escalón. Un río limitado por el arranque mantiene un escalón agudo y lo desplaza, como muestra la siguiente sección. Los ríos de montaña con lecho rocoso y gravas delgadas suelen parecerse más al primero; los ríos sobre aluviones gruesos, al segundo.

Si la roca asciende a una tasa uniforme $U$ respecto a la desembocadura del río, y $K$, $m$, $n$ son uniformes, el río evoluciona según $\partial z/\partial t = U - K A^m S^n$.

Definición 18.8 (Perfil en estado estacionario)

Un perfil fluvial está en estado estacionario cuando su elevación ya no cambia con el tiempo: en cada punto, la incisión compensa el levantamiento de la roca respecto a la desembocadura.

Teorema 18.9 (Perfil en estado estacionario bajo la ley de potencia de la corriente)

Con $U$, $K$, $m$ y $n$ uniformes, un río limitado por el arranque en estado estacionario tiene la pendiente

$$S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .$$

La pendiente disminuye como potencia del área: el perfil es cóncavo hacia arriba. Los ríos reales siguen una ley de potencia de este tipo incluso cuando las hipótesis del teorema son dudosas, de modo que dos números resumen un perfil.

Definición 18.10 (Índices de pendiente del cauce y de concavidad)

Cuando la pendiente de un río sigue $S = k_s A^{-\theta}$, el exponente $\theta$ es el índice de concavidad y el coeficiente $k_s$ el índice de pendiente del cauce. Para comparar ríos, $\theta$ se fija en un valor de referencia común $\theta_{\mathrm{ref}}$, y $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ es la pendiente normalizada.

Según el teorema, $\theta = m/n$ y $k_s = (U/K)^{1/n}$: con una erodibilidad dada, un río es más empinado donde la roca asciende más deprisa. Los mapas de pendiente de una cordillera delinean, por tanto, su levantamiento.

Las pendientes son derivadas de elevaciones con ruido y se dispersan mucho. Integrar el perfil, en cambio, usa elevaciones, que se miden con más precisión.

Definición 18.11 (Análisis chi)

El análisis chi representa la elevación de los puntos de una red fluvial frente a la coordenada

$$\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta} \mathrm{d}x' ,$$

donde $x$ es la distancia aguas arriba a lo largo del cauce desde un punto base $x_b$, $A_0$ un área de referencia y $\theta$ el índice de concavidad; $\chi$ tiene la dimensión de una longitud.

Proposición 18.12 (La transformada chi endereza un perfil estacionario)

Bajo las hipótesis del teorema de estado estacionario, con $\theta = m/n$, todo cauce de una red que desagua en la elevación base $z_b$ satisface

$$z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi :$$

todos los cauces se sitúan sobre una única recta de pendiente $k_s A_0^{-\theta}$ en el plano $(\chi, z)$.

Un cauce que se aparta de la recta no está en estado estacionario, o atraviesa roca de distinta erosionabilidad, o ha perdido o capturado área de drenaje: un afluente que se sitúa por encima de sus vecinos con el mismo $\chi$ está siendo despojado de área, y uno que se sitúa por debajo está creciendo.

18.3 Paisajes transitorios

Definición 18.13 (Nivel de base y punto de ruptura de pendiente)

El nivel de base de un río es la elevación de su desembocadura, por debajo de la cual no puede profundizar: el mar, un lago o el río principal al que se une. Un punto de ruptura de pendiente es un lugar donde el gradiente del perfil longitudinal de un río aumenta bruscamente, desde un tramo empinado hasta una cascada.

Un punto de ruptura de pendiente puede ser fijo, cuando el río cruza un lecho más duro o un escarpe de falla todavía activo, o móvil, cuando es el frente de la respuesta del río a un cambio aguas abajo: una caída del nivel de base, un levantamiento más rápido.

Teorema 18.14 (Los puntos de ruptura de pendiente como ondas cinemáticas)

Sea $n = 1$, con $U$, $K$ y $m$ uniformes, y sea $x$ la distancia aguas arriba desde la desembocadura. Entonces $z$ obedece

$$\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,$$

y cualquier rasgo del perfil, incluido un escalón, viaja aguas arriba a la celeridad $c = K A^m$ conservando su altura. Un punto de ruptura de pendiente que parte de la desembocadura en $t = 0$ alcanza el punto $x$ en el instante

$$t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},$$

con $\chi$ calculada con $\theta = m$. Todos los puntos de ruptura de pendiente generados en una red en el mismo instante se sitúan, por tanto, con el mismo $\chi$ y sobre la misma curva de nivel.

La celeridad crece con el área de drenaje: un punto de ruptura de pendiente avanza rápido por el cauce principal y se frena en las cabeceras. El tiempo que tarda en recorrer toda la red hasta las cabeceras de los cauces es el tiempo de respuesta del paisaje, del orden de un millón de años para tasas de levantamiento típicas. Cuando $n \ne 1$, la celeridad depende también de la pendiente, y un escalón cambia de forma: para $n > 1$ su cara empinada adelanta a los tramos que lo rodean y se mantiene nítida, mientras que para $n < 1$ se retrasa y se extiende.

Sobre el terreno — Una cascada que remonta el río

En Niágara el río se precipita en una garganta que él mismo ha excavado. Hace $12\,500$ años las cataratas se encontraban en el borde del escarpe de Niágara; desde entonces, a medida que el agua erosionaba las rocas del escarpe y se desprendían bloques de la cresta, esta ha retrocedido unos $11\,\mathrm{km}$ aguas arriba: en promedio, cerca de un metro al año, y hoy alrededor de una décima parte de esa cifra. La erosión es más lenta cuando la cresta es una larga herradura que dispersa el agua. La garganta es el camino del punto de ruptura de pendiente.

18.4 Erosión glaciar

Un glaciar que se desliza sobre su lecho (deslizamiento basal, Capítulo 24) lo erosiona por abrasión, cuando los detritos que lleva retenidos en el hielo raspan la roca, y por arranque, cuando arrastra bloques que se han aflojado por las grietas. Ambos procesos escalan con la velocidad de deslizamiento.

Definición 18.15 (Ley de erosión glaciar)

Una ley de erosión glaciar proporciona la tasa de erosión del lecho de un glaciar como $E = K_G\,u_s^{\,l}$, donde $u_s$ es la velocidad de deslizamiento, $K_G$ un coeficiente y $l$ un exponente.

Los modelos de paisaje suelen tomar $l = 1$, aunque se emplean valores entre 1 y 2. Una recopilación de 38 glaciares, cuyas tasas de erosión abarcan cinco órdenes de magnitud, halló que la erosión se correlaciona con la velocidad de deslizamiento, con $l = 0.65$ y $K_G = 10^{-4}$ para $E$ en metros al año: la erosión es más rápida bajo glaciares templados alimentados por abundante nieve, que se deslizan rápido. Como el hielo es más grueso y más veloz a lo largo del eje de un valle, el fondo se profundiza más que los flancos, y el valle adquiere su forma en U.

Definición 18.16 (Sierra glaciar)

La sierra glaciar es el límite que imponen los glaciares a la altura de una cordillera: allí donde la roca se eleva por encima de la altitud a la que se forman los glaciares, estos la erosionan tan rápido como se eleva, sea cual sea la tasa de levantamiento, de modo que las cumbres y la elevación media se agrupan en torno a esa altitud.

18.5 Tectónica y erosión

Definición 18.17 (Estado estacionario topográfico)

Un paisaje se encuentra en estado estacionario topográfico cuando su tasa de erosión iguala en todas partes la tasa de levantamiento de la roca, de modo que sus elevaciones no cambian aunque la roca pase a través de él.

Las tasas medidas en intervalos de tiempo distintos permiten contrastar este estado. Los nucleidos cosmogénicos en la arena de los ríos dan la tasa media de erosión de una cuenca durante el tiempo necesario para eliminar una capa del orden de la longitud de atenuación de su producción, unos $55\,\mathrm{cm}$ de roca; los termocronómetros y sus relaciones edad–altitud dan la tasa de exhumación a lo largo de millones de años. Cuando ambas coinciden entre sí y con la tasa de levantamiento, el paisaje probablemente está en estado estacionario; cuando la tasa a corto plazo es más rápida en el curso bajo que en la cabecera, un punto de ruptura de pendiente está pasando. Retirar roca también descarga la litosfera, que se eleva en respuesta.

Definición 18.18 (Rebote isostático por erosión)

El rebote isostático por erosión es el ascenso de la superficie rocosa de una región en equilibrio isostático como respuesta a la masa eliminada por la erosión.

Proposición 18.19 (Las cumbres se elevan a medida que se profundizan los valles)

En la isostasia de Airy, con una corteza de densidad $\rho_c$ sobre un manto de densidad $\rho_m$, la eliminación de un espesor medio $\bar e$ de corteza en una región eleva toda la región en $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Si la erosión se limita a los valles, las cumbres no erosionadas se elevan esa cantidad, mientras que la superficie media desciende solo $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$.

La densidad ponderada por espesor de la corteza del modelo de Tierra de referencia es $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ y la del manto bajo su Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, una razón de 0.80: por cada cien metros de roca erosionada, la superficie media pierde solo veinte. La incisión profunda de una meseta antigua puede así elevar sus cumbres incluso mientras la meseta se desgasta.

18.6 Ejercicios

Ejercicio 18.1 ★

Un escarpe litoral de desplazamiento $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) se asienta sobre una pendiente de campo lejano de 0.04, y su gradiente más pronunciado es ahora 0.30. Calcúlese $\kappa t$, y después la edad del escarpe con $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$.

Solución

Solución de Ejercicio 18.1.

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, por lo que $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi = 18.8\,\mathrm{m}^{2}$, y $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{kyr}$, dentro de un factor de dos en cualquier sentido, dado el rango de $\kappa$.

Ejercicio 18.2 ★

Un estudio lidar proporciona una curvatura en la cima de $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ en una cresta de difusividad $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$. Calcúlese su tasa de erosión en $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, y el relieve entre su cresta y los cauces situados a $80\,\mathrm{m}$, suponiendo estado estacionario.

Solución

Solución de Ejercicio 18.2.

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 = 4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. El relieve $E L^2/(2\kappa) = 0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 18.3 ★

Con $m = 0.5$, $n = 1$ y $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcúlese la tasa de incisión de un río que drena $25\,\mathrm{km}^{2}$ con un gradiente de 0.01. ¿Cuáles son las unidades de $K$ para $m$ y $n$ generales?

Solución

Solución de Ejercicio 18.3.

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6} \times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Como $E$ está en $\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $A^m$ en $\mathrm{m}^{2m}$ y $S$ no tiene unidades, $K$ está en $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\mathrm{yr}^{-1}$ para $m = 0.5$.

Ejercicio 18.4 ★

Tres ríos muestran puntos de ruptura de pendiente: (a) donde un estrato de arenisca atraviesa un valle excavado en lutita; (b) donde un río cruza una falla normal activa desde el bloque inferior al bloque superior; (c) en cada río de una cuenca, todos a una misma altitud, a pocos kilómetros por encima de una costa que se elevó en un terremoto. ¿Cuáles están fijos y cuáles migrarán?

Solución

Solución de Ejercicio 18.4.

(a) Fija: un lecho duro empina el río donde aflora, y el escalón permanece con el lecho. (b) Anclada en la falla: mientras la falla siga desplazándose, el río se empina al cruzarla. (c) Móvil: el levantamiento de la costa rebajó a la vez el nivel de base de todos los ríos; los puntos de ruptura de pendiente migran aguas arriba y, como predice el teorema de la onda cinemática para $n = 1$, se sitúan sobre una misma curva de nivel.

Ejercicio 18.5 ★★

Para $m = 1$ y $n = 2$, calcúlense $\theta$ y el gradiente de estado estacionario donde $A = 10\,\mathrm{km}^{2}$, con $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y $K = 10^{-9}$ en metros y años. ¿En qué factor cambia la pendiente si $U$ se duplica? Compárese con $n = 1$.

Solución

Solución de Ejercicio 18.5.

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2} \times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Al duplicar $U$ se multiplica $k_s = (U/K)^{1/n}$ por $\sqrt2 = 1.41$; para $n = 1$, por 2: cuanto mayor es $n$, menos responde la pendiente al levantamiento.

Ejercicio 18.6 ★★

El área de drenaje de un río crece con la distancia $d$ a su divisoria como $A = c\,d^{h}$. Demuéstrese que, medido aguas arriba desde su desembocadura en $d = L$,

$$\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p}, \qquad p = 1 - h\theta ,$$

y calcúlese para $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$ y $d = 5\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 18.6.

Con $x$ aguas arriba desde la desembocadura, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, por lo que $\chi(d) = \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta} \int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p - d^p)/p$. Aquí $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, y $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 18.7 ★★

Con $n = 1$, $m = 0.5$ y $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, calcúlese la celeridad de un punto de ruptura de pendiente donde $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, en m/kyr, y el tiempo que tardaría en recorrer $5\,\mathrm{km}$ a esa velocidad. ¿Por qué en realidad tarda más?

Solución

Solución de Ejercicio 18.7.

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; A esa velocidad, $5\,\mathrm{km}$ se recorren en $250\,\mathrm{kyr}$. El área, y con ella la celeridad, disminuye aguas arriba, por lo que el punto de ruptura se frena al ascender.

Ejercicio 18.8 ★★

Valles de $600\,\mathrm{m}$ de profundidad, que ocupan de media el $40\,\%$ del área de una meseta, se excavan en ella. Con $\rho_c/\rho_m = 0.80$, calcúlense el espesor medio erosionado, la elevación de las cumbres y el cambio de la altitud media.

Solución

Solución de Ejercicio 18.8.

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$; las cumbres se elevan en $0.80\times240 = 192\,\mathrm{m}$; la altitud media desciende $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 18.9 ★★

Una función de producción de suelo tiene $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y $h_0 = 0.5\,\mathrm{m}$. Calcúlese el espesor de suelo en estado estacionario para una erosión de $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y de $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. ¿Qué ocurre a $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$?

Solución

Solución de Ejercicio 18.9.

$h = h_0\ln(P_0/E)$: $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ y $0.5\ln1.5 = 0.20\,\mathrm{m}$. A $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ la erosión supera a la producción máxima, $P_0$: el suelo se pierde y la ladera queda como roca desnuda, con un descenso limitado por la meteorización.

Ejercicio 18.10 ★★★

Una colina en estado estacionario se erosiona a $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ con $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$ y la ley no lineal de la pendiente crítica de ladera, tomando $S_c = 1.2$ para el ejercicio. Demuéstrese que el flujo a una distancia $x$ de la divisoria es $E x$, resuélvase para el gradiente y calcúlese en 20, 50, 100 y $200\,\mathrm{m}$. Compárese con la difusión lineal y descríbase la forma de la colina.

Solución

Solución de Ejercicio 18.10.

En estado estacionario $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ y $q = 0$ en la divisoria, por lo que $q = E x$. Entonces $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, una cuadrática cuya raíz positiva es $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. A 20, 50, 100 y $200\,\mathrm{m}$: 0.36, 0.68, 0.89 y 1.03, frente a 0.4, 1.0, 2.0 y 4.0 para la difusión lineal ($S = Ex/\kappa$). La colina tiene una cresta redondeada, y luego laderas cuyo gradiente tiende a $S_c$: pendientes casi planas, con un relieve mucho menor que el de la parábola.

Ejercicio 18.11 ★★★

Demuéstrese que el tiempo de respuesta de una red fluvial a un cambio en su desembocadura, para $n = 1$, es $\chi_h/(K A_0^m)$, donde $\chi_h$ es el valor máximo de $\chi$ en una cabecera de cauce. Calcúlese para el río de tierras altas de las figuras ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$), primero para su tronco principal solo, cuya cabecera está en $\chi = 5464\,\mathrm{m}$, y después para la red, cuya cabecera más alta, en el afluente 1, está en $\chi = 7237\,\mathrm{m}$.

Solución

Solución de Ejercicio 18.11.

Según el teorema de la onda cinemática, el cambio llega a un punto de coordenada $\chi$ tras $\chi/(KA_0^m)$; la red ha respondido por completo cuando ha alcanzado la última cabecera, de mayor $\chi$. $K A_0^m = 10^{-6}\times 1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$: el tronco responde en $5.46\,\mathrm{Myr}$, la red en $7.24\,\mathrm{Myr}$, del orden de un millón de años, lo que cabía esperar.

Ejercicio 18.12 ★★★

En una red con $n = 1$ y $U$ uniforme, un afluente fluye sobre una roca dos veces más erosionable que el resto ($2K$) aguas arriba de su confluencia, en $\chi_j$. Demuéstrese que su línea de estado estacionario en el plano $(\chi, z)$ tiene la mitad de la pendiente del tronco principal por encima de $\chi_j$, y que un punto de ruptura nacido en la desembocadura alcanza, en el momento en que el punto de ruptura del tronco está en $\chi_k > \chi_j$, el punto de $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ de ese afluente.

Solución

Solución de Ejercicio 18.12.

Aguas arriba de la confluencia, el gradiente estacionario del afluente es $S = (U/2K)A^{-\theta}$, por lo que $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, la mitad que el del tronco. El punto de ruptura alcanza la confluencia cuando el del tronco está en $\chi_j$; tras un tiempo adicional $\Delta t$, el del tronco se ha desplazado a $\chi_k$ con $\chi_k - \chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, mientras que el del afluente, con celeridad $2KA^m$, se ha desplazado a $\chi$ con $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k - \chi_j)$.

18.7 Problema: la cascada del río Varden

Problema 18.1

Problema de fin de semana — el perfil, la pendiente y la erodibilidad de un río de tierras altas inventado, y la edad de su cascada

Al oeste de las colinas Varden, el río drena una zona alta de esquistos antes de entrar en el mapa por su borde oeste, a una altitud de $170\,\mathrm{m}$. Aguas arriba de ese punto, su desembocadura, el tronco tiene $12\,\mathrm{km}$ de longitud desde su divisoria, con un área de drenaje $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ en metros desde la divisoria) y una cabecera de cauce en $d = 300\,\mathrm{m}$. Tómese como tasa de levantamiento de la roca la tasa de denudación de la cuenca del río Varden, obtenida a partir de sus cargas en el volumen de primer año, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Tómese $n = 1$ y el área de referencia $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Una cascada de $25\,\mathrm{m}$ de altura se encuentra en el tronco, a $4.60\,\mathrm{km}$ aguas arriba de la desembocadura. Todos los valores son inventados.

Parte I — El perfil.

1. Calcúlese el área de drenaje en la desembocadura y en la cabecera del cauce.

2. Gradientes medidos en tramos de $200\,\mathrm{m}$, alejados de la cascada:

   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	0.388	0.587	0.888	1.345	2.036	3.082
   $S$	0.06641	0.05026	0.04888	0.03322	0.03688	0.02688
   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	4.665	7.061	10.69	16.18	24.49	37.08
   $S$	0.01921	0.01713	0.01545	0.01419	0.007922	0.007855

   Estímese el índice de concavidad a partir del primer y del último punto.

3. La pendiente de mínimos cuadrados de $\log S$ frente a $\log A$ es $-0.466$. ¿Es compatible con $\theta = 0.5$?
4. Con $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$, calcúlese $k_{sn} = S A^{0.5}$ ($A$ en $\mathrm{m}^{2}$) para el primer y el último punto, y dígase qué representa la media geométrica de los doce valores, $45.1\,\mathrm{m}$.
5. ¿Por qué se dispersan mucho más los gradientes que las elevaciones?
6. Usando la fórmula del ejercicio de chi, calcúlese $\chi$ en $d = 9.00\,\mathrm{km}$, un punto aguas abajo de la cascada.

Parte II — Pendiente y erosionabilidad.

7. El río se encuentra a $193.4\,\mathrm{m}$ en $d = 9.00\,\mathrm{km}$. Calcúlese la pendiente del gráfico de chi aguas abajo de la cascada y el índice de pendiente del cauce $k_{sn}$.
8. ¿En cuál de las dos estimaciones de $k_{sn}$, esta o la de pendiente–área, confiaría más, y por qué?
9. Suponiendo estado estacionario aguas abajo de la cascada, calcúlese $K$ a partir de la tasa de levantamiento.
10. Compruébese que la tasa de incisión en la desembocadura, cuyo gradiente es 0.00691, es igual a la tasa de levantamiento.
11. Calcúlese la celeridad de un punto de ruptura de pendiente en la desembocadura y en la cascada, en m/kyr.
12. Calcúlese la elevación de la cabecera del cauce en el perfil estacionario, y el relieve del tronco.

Parte III — La cascada.

13. ¿Por qué, con $n = 1$, la cascada ha mantenido la altura de la caída del nivel de base?
14. Calcúlese $\chi$ en la cascada.
15. Calcúlese el tiempo que tardó el punto de ruptura de pendiente desde la desembocadura hasta su posición actual.
16. ¿Dónde estará dentro de $300\,\mathrm{kyr}$?
17. El afluente 3 se une al tronco a $2.5\,\mathrm{km}$ aguas arriba de la desembocadura; tiene $5\,\mathrm{km}$ de longitud, con $A = 1.5\,s^{1.7}$ ($s$ desde su propia divisoria). ¿Dónde debería estar su cascada?
18. Los afluentes 1 y 2 se unen al tronco a 8 y $5\,\mathrm{km}$ aguas arriba de la desembocadura. Explíquese por qué no tienen cascada.

Parte IV — Las laderas y la edad.

19. Un levantamiento con lidar por encima de la cascada proporciona una curvatura en la cima de $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$. Con $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$, calcúlese la tasa de erosión y compárese con la tasa de levantamiento.
20. Las laderas tienen unos $150\,\mathrm{m}$ de longitud. Compárese su tiempo de respuesta $L^2/\kappa$ con la edad obtenida en la Parte III.
21. Descríbanse las laderas aguas abajo de la cascada en la actualidad, y cómo cambiarán.
22. La tasa de levantamiento se conoce con un margen de $20\,\%$. Dése el intervalo de la edad.
23. ¿Cómo habría evolucionado la cascada si $n$ fuese 2?
24. Dése la edad de la caída del nivel de base.

Solución

Solución de Problema 18.1.

1. $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

2. $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) = 0.928/1.980 = 0.47$.

3. Sí: con una dispersión de unos $10\,\%$ en doce puntos, $0.466$ no difiere significativamente de 0.5.

4. $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. La media geométrica, $45.1\,\mathrm{m}$, estima $k_s$ para $\theta = 0.5$.

5. Un gradiente es la diferencia de dos altitudes, cada una incierta de decímetros a metros, dividida por una distancia corta; en tramos suaves el error es una gran parte de la diferencia. $\chi$ integra en lugar de derivar.

6. $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\, (12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

7. $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5} = 43.1\,\mathrm{m}$.

8. La estimación chi: se apoya en altitudes a lo largo de $3\,\mathrm{km}$ de río, no en doce gradientes ruidosos.

9. $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

10. $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: la desembocadura sigue el ritmo del levantamiento.

11. En la desembocadura $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$; en la cascada, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ y $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{kyr}$.

12. $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 = 405\,\mathrm{m}$: un desnivel de $235\,\mathrm{m}$.

13. Para $n = 1$ la ecuación es una onda cinemática: los puntos a ambos lados del escalón se elevan $U$ por unidad de tiempo, así que el escalón conserva su altura, es decir, los $25\,\mathrm{m}$ de la caída.

14. $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 = 899.4\,\mathrm{m}$.

15. $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{kyr}$.

16. En $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$: $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d = 6.25\,\mathrm{km}$, $5.75\,\mathrm{km}$ aguas arriba de la desembocadura.

17. En la confluencia ($d = 9.5\,\mathrm{km}$) $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$; la cascada se sitúa donde el valor de $\chi$ del afluente alcanza $899.4\,\mathrm{m}$: $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, $0.73\,\mathrm{km}$ por encima de la confluencia.

18. Sus confluencias están en $\chi = 1954$ y $999\,\mathrm{m}$, más allá de $899\,\mathrm{m}$: el punto de ruptura de pendiente aún no las ha alcanzado, así que el cauce principal en ese punto sigue en su nivel antiguo.

19. $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: las colinas sobre la cascada se erosionan al ritmo del levantamiento, en estado estacionario.

20. $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Myr}$, cinco veces la edad de la cascada.

21. El pie de las laderas se rebajó $25\,\mathrm{m}$ con el cauce: sus partes bajas tienen pendiente excesiva, quizá deslizándose, mientras que sus crestas siguen erosionándose al ritmo antiguo. Una onda de empinamiento asciende por cada ladera; tras unos pocos millones de años recuperan la misma parábola, $25\,\mathrm{m}$ más abajo.

22. $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ varía como $1/U$: de $899/1.2 = 749$ a $899/0.8 = 1124\,\mathrm{kyr}$.

23. Con $n = 2$ la celeridad crece con el gradiente: la cara empinada se desplazaría más deprisa que los tramos de su entorno y se mantendría afilada, pero su velocidad y la edad que se deduce de ella diferirían.

24. El nivel de base del río Varden descendió $900\,\mathrm{kyr}$ hace ($899\,\mathrm{kyr}$ según el cálculo).