7Mecanismos de deformación y zonas de cizalla

En superficie, el granito de una montaña se fractura a lo largo de fallas. A veinte kilómetros de profundidad, el mismo granito fluye como un caramelo blando en una zona de cizalla de unos cientos de metros de ancho, sus feldespatos se redondean en forma de ojos y su cuarzo se alarga en cintas. Un cristal puede fluir sin romperse porque nunca es perfecto: se desplaza gracias a sus defectos, una fila de átomos cada vez, o por la difusión de átomos desde una cara de un grano hacia otra. Este capítulo recorre esos mecanismos desde la red cristalina hasta las leyes que emplea la geodinámica, hasta los mapas que indican qué mecanismo domina, y hasta las zonas de cizalla en las que la roca registra cómo se movió.

Lo que ya sabes

Los defectos puntuales, la ley de Arrhenius y la energía de activación se tratan en los volúmenes universitarios de los libros de química; el coeficiente de difusión, en los de física. Esfuerzo y deformación, la elipse de deformación, la cizalla simple y su elipse ($S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2$, eje largo a $\theta'$ de la dirección de cizalla con $\tan2\theta' = 2/\gamma$), la fluencia de ley potencial con sus constantes para la cuarcita húmeda y el olivino seco, la envolvente de resistencia y la transición frágil–dúctil se tratan en el volumen de primer año, en su capítulo sobre esfuerzo, deformación y reología; la foliación, la lineación y la milonita descriptiva, en su capítulo sobre fallas, pliegues y fábricas. La viscosidad efectiva del manto se encuentra en el Capítulo 6.

7.1 Defectos cristalinos

Para cizallar un cristal perfecto, cada enlace a través de un plano reticular tendría que romperse a la vez, y eso exige un esfuerzo del orden de una décima parte del módulo de cizalla, que en el manto es de unos $8 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ (el Capítulo 6): miles de megapascales. Los cristales reales ceden con esfuerzos mucho menores, porque deslizan una línea de átomos cada vez.

Definición 7.1 (Dislocación)

Una dislocación es un defecto lineal en un cristal: la frontera, dentro del cristal, entre una parte de un plano reticular que ha deslizado y una parte que no. Su vector de Burgers $\mathbf b$ es el deslizamiento que transporta, una distancia reticular en una dirección reticular. En una dislocación de borde $\mathbf b$ es perpendicular a la línea, que es el borde de un semiplano extra de átomos; en una dislocación helicoidal es paralela a la línea. Una dislocación se desplaza por deslizamiento conservativo en su plano de deslizamiento, y una dislocación de borde abandona ese plano por trepado, al difundirse átomos o vacantes hacia el borde de su semiplano o desde él.

La red se opone al deslizamiento conservativo de una dislocación con un esfuerzo pequeño, el esfuerzo de Peierls, que depende de la intensidad y de la dirección de los enlaces: por eso algunos sistemas de deslizamiento de un mineral son fáciles y otros difíciles. A medida que un cristal se deforma, las dislocaciones se multiplican y se enredan; se bloquean unas a otras, y el cristal se endurece, salvo que puedan trepar alrededor de los obstáculos o aniquilarse, lo que requiere difusión y, por tanto, calor.

7.2 Mecanismos de fluencia

Definición 7.2 (Mecanismos de fluencia)

En la fluencia por dislocaciones los cristales se deforman por el deslizamiento conservativo de las dislocaciones, y el trepado las libera de los obstáculos. En la fluencia por difusión cambian de forma por la difusión de átomos, a través de la red (fluencia de Nabarro–Herring) o a lo largo de los bordes de grano (fluencia de Coble), desde las caras sometidas al mayor esfuerzo normal hacia las sometidas al menor. En el deslizamiento en borde de grano los granos se deslizan unos junto a otros a lo largo de sus bordes, y los huecos se cierran por difusión o fluencia por dislocaciones. En la disolución por presión la materia se disuelve en una película fluida en las caras sometidas a esfuerzo alto y se deposita donde el esfuerzo es bajo, o se transporta a otro lugar.

Proposición 7.3 (Dependencia del tamaño de grano en la fluencia por difusión)

Con esfuerzo bajo $\sigma$, una roca de tamaño de grano $d$ fluye por difusión a la velocidad

$$\dot\varepsilon \approx B_L\frac{D_L\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^2} \quad\text{(a través de la red)},\qquad \dot\varepsilon \approx B_B\frac{\delta D_B\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^3} \quad\text{(a lo largo de los bordes)},$$

donde $D_L$ y $D_B$ son los coeficientes de difusión en la red y en los bordes, $\delta$ el ancho de un borde, $\Omega$ el volumen de un átomo, $k_B$ la constante de Boltzmann y $B_L$, $B_B$ números del orden de diez que dependen de la forma de los granos.

La fluencia por difusión es lineal en el esfuerzo, un auténtico flujo viscoso, y es rápida en rocas de grano fino: al reducir a la mitad el tamaño de grano, la fluencia de Coble se vuelve ocho veces más rápida (figura siguiente). La fluencia por dislocaciones no depende del tamaño de grano, pero crece con una potencia elevada del esfuerzo.

Los cristales deformados también se reparan mientras se deforman.

Definición 7.4 (Recuperación, subgrano, recristalización dinámica)

La recuperación es la reordenación de dislocaciones, por trepado y deslizamiento cruzado, en configuraciones de menor energía, y su aniquilación. Las dislocaciones dispuestas en paredes dividen un grano en subgranos, partes del grano cuyas redes están inclinadas unos pocos grados entre sí. La recristalización dinámica es el reemplazo, durante la deformación, de granos deformados por nuevos granos con menos dislocaciones, bien por la rotación de subgranos hasta convertirse en granos, bien por la migración de los bordes de grano hacia los vecinos más deformados.

Definición 7.5 (Orientación cristalográfica preferente)

Una roca tiene una orientación cristalográfica preferente (CPO) cuando las redes de sus granos no están orientadas al azar, sino que se agrupan en torno a direcciones fijadas por la deformación; la fluencia por dislocaciones la produce, al girar los sistemas de deslizamiento de cada grano hacia el flujo.

Una roca con CPO hereda la anisotropía de sus cristales: sus velocidades sísmicas, por ejemplo, dependen de la dirección, lo que permite a la sismología ver la fábrica del manto profundo. La fluencia por difusión y el deslizamiento en borde de grano, que dejan girar libremente a los granos, no la construyen.

7.3 Leyes de flujo

Definición 7.6 (Ley de flujo, exponente de esfuerzo, temperatura homóloga)

Una ley de flujo da la velocidad de deformación de una roca que se deforma por un único mecanismo en función del esfuerzo diferencial $\sigma$, el tamaño de grano $d$, la temperatura $T$ y la presión $P$:

$$\dot\varepsilon = A\,\sigma^nd^{-m}\exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

con $A$, $n$, $m$, la energía de activación $E$ y el volumen de activación $V$ medidos en el laboratorio. El exponente de esfuerzo es $n$; el exponente del tamaño de grano, $m$. La temperatura homóloga de un mineral es $T/T_m$, su temperatura absoluta dividida por su temperatura absoluta de fusión.

En las leyes empleadas aquí, la fluencia por dislocaciones tiene $n$ de 3.5 o 4 y $m = 0$; la fluencia por difusión tiene $n = 1$ y $m = 2$ o 3 (Proposición 7.3). La fluencia crece a medida que la temperatura homóloga se acerca a 1. La forsterita funde a $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, así que el manto a $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ se encuentra en $T/T_m = 0.73$; el hielo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ está en 0.96, por lo que los glaciares fluyen. Los valores del olivino empleados aquí son los de una compilación de laboratorio muy utilizada: olivino seco en fluencia por dislocaciones, $A = 1.1 \times 10^{5}$, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 14\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$; en fluencia por difusión, $A = 10^{9.2}$, $n = 1$, $m = 3$, $E = 375\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 5\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (esfuerzo en megapascales, tamaño de grano en micrómetros, tiempo en segundos); la cuarcita húmeda es la del volumen de primer año. El agua debilita el olivino: a una fugacidad de agua de unos $300\,\mathrm{MPa}$, los agregados de olivino se deforman entre cinco y seis veces más rápido que los secos en fluencia por dislocaciones, y cinco veces más rápido en fluencia por difusión.

Proposición 7.7 (Viscosidad efectiva)

Una roca que obedece una ley de flujo $\dot\varepsilon = A'\sigma^n$ a $T$, $P$ y $d$ dados tiene la viscosidad efectiva

$$\eta_{\mathrm{eff}} = \frac{\sigma}{2\dot\varepsilon} = \tfrac12A'^{-1/n}\,\dot\varepsilon^{(1-n)/n}:$$

para $n > 1$ la viscosidad disminuye a medida que la roca se deforma más rápido.

Cuarcita húmeda a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ que fluye a $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ necesita $65\,\mathrm{MPa}$ y tiene una viscosidad efectiva de $3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $18\,\mathrm{MPa}$ y $9 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: cien grados dividen la resistencia por más de tres (figura siguiente). La olivina seca a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{GPa}$ necesita solo $3\,\mathrm{MPa}$. Las envolventes de resistencia del volumen de primer año se construyen precisamente a partir de estas leyes.

7.4 Mapas de mecanismos de deformación

Varios mecanismos actúan en paralelo, y el más rápido es el que transporta la deformación.

Definición 7.8 (Mapa de mecanismos de deformación)

Un mapa de mecanismos de deformación de un mineral o roca muestra, en ejes de dos de las variables esfuerzo, tamaño de grano y temperatura, los campos en los que cada mecanismo es el más rápido, con isolíneas de la velocidad de deformación total.

Proposición 7.9 (Frontera entre mecanismos)

Para $T$ y $P$ dadas, la fluencia por dislocaciones ($A_1$, $n_1$, $E_1$, $V_1$, sin dependencia del tamaño de grano) y la fluencia por difusión ($A_2$, $n_2 = 1$, $m$, $E_2$, $V_2$) se producen con la misma rapidez para el esfuerzo

$$\sigma_b = \biggl(\frac{A_2d^{-m}}{A_1} \exp\frac{(E_1 - E_2) + P(V_1 - V_2)}{RT}\biggr)^{1/(n_1 - 1)} ,$$

de modo que la frontera es una recta de pendiente $-m/(n_1 - 1)$ en ejes logarítmicos de tamaño de grano y esfuerzo; por encima de ella domina la fluencia por dislocaciones.

Para la olivina seca a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $2\,\mathrm{GPa}$, la frontera se sitúa en $5\,\mathrm{MPa}$ para un tamaño de grano de $1\,\mathrm{mm}$ y en $79\,\mathrm{MPa}$ para $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ (figura siguiente). El manto de grano fino fluye por difusión, el de grano grueso por dislocaciones; la evidencia de laboratorio y geofísica sugiere que ambos regímenes se dan en el manto superior, fluyendo el manto caliente y somero por fluencia por dislocaciones y el más frío o profundo por fluencia por difusión, y que allí donde el esfuerzo sube y los granos se reducen, el manto próximo a la frontera se debilita y la deformación se localiza.

El tamaño de grano que produce la recristalización dinámica depende del esfuerzo, y esto hace que los granos sean un medidor de esfuerzo.

Definición 7.10 (Paleopiezómetro)

Un paleopiezómetro es un rasgo de una roca deformada cuyo tamaño o densidad viene fijado por el esfuerzo diferencial bajo el que se formó, calibrado en el laboratorio, a partir del cual puede leerse el esfuerzo de una deformación pasada.

Para el cuarzo, los experimentos a $1.5\,\mathrm{GPa}$ y entre 800 y $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con esfuerzos de flujo de 34 a $268\,\mathrm{MPa}$, dieron granos recristalizados que van de 46 hasta $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, ajustados mediante

, sin efecto detectable de la temperatura. Una milonita de cuarzo con granos recristalizados de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro se deformó bajo unos $62\,\mathrm{MPa}$.

7.5 Zonas de cizalla

Definición 7.11 (Zona de cizalla, debilitamiento por deformación)

Una zona de cizalla es una zona tabular, comprendida entre paredes poco deformadas, en la que la deformación se concentra y se aproxima a una cizalla simple paralela a la zona. Una roca experimenta debilitamiento por deformación cuando su resistencia disminuye a medida que se deforma.

El debilitamiento por deformación es lo que mantiene estrecha una zona de cizalla: una vez que una banda es más débil que sus paredes, la deformación permanece en ella. La reducción del tamaño de grano por recristalización dinámica, que puede llevar la roca a la fluencia por difusión, el crecimiento de una CPO que alinea los sistemas de deslizamiento fáciles, la entrada de agua y las reacciones que producen minerales débiles, como las micas, todo lo cual ablanda la roca. Las milonitas del volumen de primer año son su producto. En una zona de cizalla simple, un marcador que atraviesa la zona en ángulo recto se desvía hacia su interior: si dentro de la zona forma el ángulo $\psi$ con su dirección original, la deformación de cizalla es $\gamma = \tan\psi$, y el desplazamiento a través de una zona de anchura $w$ es $\gamma w$.

Definición 7.12 (Indicadores cinemáticos)

Un indicador cinemático es una estructura cuya asimetría registra el sentido de cizalla, el sentido en que una de las paredes de una zona de cizalla se desplazó con respecto a la otra, leído en el plano que contiene la lineación de estiramiento y es perpendicular a la foliación. Una fábrica S–C es un par de foliaciones: S, la foliación de granos aplanados, oblicua a la zona y girada hacia la dirección de estiramiento, y C, bandas de cizalla paralelas a la zona. Un sistema de porfiroclastos es un grano resistente con colas de material recristalizado: en un clasto de tipo $\sigma$ las colas pasan de un lado de la línea central del clasto al otro sin cortarla; en uno de tipo $\delta$, arrastradas por la rotación del clasto, sí la cortan. Un pez de mica es un grano de mica en forma de rombo inclinado respecto al plano de cizalla, con colas finas, que escalonan como las de un clasto de tipo $\sigma$.

Leídos en conjunto, unos pocos indicadores que coinciden dan el sentido de cizalla con confianza; uno solo puede inducir a error, ya que existen clastos rotados hacia atrás y pliegues asimétricos de otro origen. La fotografía del recuadro siguiente muestra porfiroclastos en una milonita.

En el laboratorio — Comprimir roca en condiciones del manto

En un aparato de deformación con medio gaseoso, un cilindro de roca o de polvo de olivino prensado en caliente, de uno o dos centímetros de longitud, se sella en una envoltura metálica delgada y se coloca con sus pistones dentro de un horno, en una vasija de acero llena de un gas inerte comprimido que fija la presión de confinamiento, de unos pocos cientos de megapascales. Un actuador impulsa el pistón a velocidad constante, o bajo una carga constante, mientras una celda de carga interna mide el esfuerzo sobre la propia muestra, libre de la fricción de los sellos. El olivino se deforma de este modo a temperaturas cercanas a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; al final de la prueba la muestra se enfría bruscamente, se corta, se pule y se examina al microscopio y al microscopio electrónico, donde se miden su tamaño de grano, sus subgranos y sus dislocaciones.

7.6 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

La forsterita funde a $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y el hielo a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calcúlese la temperatura homóloga de la forsterita a $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y la del hielo a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Cuál se deforma por fluencia con mayor facilidad?

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

Forsterita: $1573/2163 = 0.73$; hielo: $263/273 = 0.96$. El hielo está mucho más cerca de su punto de fusión y se deforma por fluencia con más facilidad: los glaciares fluyen en la superficie de la Tierra.

Ejercicio 7.2 ★

Un dique que atraviesa en ángulo recto una zona de cizalla se desvía dentro de la zona $70{}^{\circ}$, y otro $80{}^{\circ}$. Calcúlense las deformaciones de cizalla. ¿Por qué las deformaciones grandes son difíciles de medir de este modo?

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$\gamma = \tan70{}^{\circ} = 2.75$ y $\tan80{}^{\circ} = 5.67$. Cerca de $90{}^{\circ}$ la tangente cambia muy deprisa con el ángulo: un grado de error en $\psi = 84{}^{\circ}$ modifica $\gamma$ en una quinta parte.

Ejercicio 7.3 ★

Con el paleopiezómetro del cuarzo, ¿qué esfuerzo indica un tamaño de grano recristalizado de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$?

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

$\sigma = (10^{3.56}/10)^{1/1.26} = 363.1^{0.794} = 108\,\mathrm{MPa}$.

Ejercicio 7.4 ★

Con la ley de flujo de la cuarcita húmeda ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), calcúlese la velocidad de deformación a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo $20\,\mathrm{MPa}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$E/RT = 223000/(8.314\times773.15) = 34.69$, así que $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times20^4\times e^{-34.69} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.6 \times 10^{5}\times 8.6 \times 10^{-16} = 1.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Ejercicio 7.5 ★★

Calcúlese la viscosidad efectiva de la cuarcita húmeda que fluye a $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($65.4\,\mathrm{MPa}$) y a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($18.0\,\mathrm{MPa}$). Compárense con las viscosidades del manto descritas en el Capítulo 6.

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

$\eta = \sigma/(2\dot\varepsilon)$: $65.4 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $18.0 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 9.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: la corteza media a estas temperaturas es aproximadamente tan viscosa como el manto bajo los casquetes de hielo.

Ejercicio 7.6 ★★

Dos experimentos a la misma temperatura dan $10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ bajo $100\,\mathrm{MPa}$ y $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ bajo $200\,\mathrm{MPa}$. Calcúlese el exponente de esfuerzo e indíquese el mecanismo probable.

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

$n = \log(1.6 \times 10^{-4}/10^{-5})/\log2 = \log16/\log2 = 4$: fluencia por dislocaciones, cuyo exponente de esfuerzo es muy superior a 1.

Ejercicio 7.7 ★★

Al mismo esfuerzo, una muestra se deforma por fluencia diez veces más rápido a $1100\,\mathrm{K}$ que a $1000\,\mathrm{K}$. Calcúlese la energía de activación.

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

$\ln10 = (E/R)(1/1000 - 1/1100)$, luego $E = 8.314\times2.3026/9.091 \times 10^{-5} = 211\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Ejercicio 7.8 ★★

¿En qué factor cambia la velocidad de deformación por fluencia por difusión cuando el tamaño de grano se divide por diez, para la fluencia de Nabarro–Herring y la de Coble? ¿Por qué la fluencia de Coble es la más sensible?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

Nabarro–Herring ($d^{-2}$): 100 veces más rápida; Coble ($d^{-3}$): 1000 veces. A lo largo de los bordes, los átomos que difunden usan una trayectoria cuya sección transversal, $\delta d$, que disminuye con el grano, además de la distancia más corta y del menor volumen que desplazar.

Ejercicio 7.9 ★★

Para olivino seco a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $2\,\mathrm{GPa}$, las dos leyes de flujo dan $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\,\sigma^{3.5}$ y $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\,\sigma d^{-3}$ (unidades del texto). Calcúlese el esfuerzo de transición para $d = 1\,\mathrm{mm}$ y $d = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$, y la pendiente de la línea de transición.

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

$\sigma_b^{2.5} = 3.59 \times 10^{-6}\,d^{-3}/6.54 \times 10^{-17}$: para $d = 1000$, $\sigma_b = 54.9^{0.4} = 5.0\,\mathrm{MPa}$; para $d = 100$, $\sigma_b = 54\,900^{0.4} = 79\,\mathrm{MPa}$. La pendiente es $-3/2.5 = -1.2$: un grano diez veces más fino eleva el esfuerzo de frontera en un factor de $10^{1.2} = 16$.

Ejercicio 7.10 ★★★

Siguiendo la demostración de la Proposición 7.3, explíquese por qué la trayectoria por red da $d^{-2}$ y la trayectoria por frontera $d^{-3}$, y muéstrese que la difusión por borde de grano domina por debajo del tamaño de grano $d^* \approx (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

En ambos caminos la diferencia de concentración impulsora es la misma y la distancia es $d$; el volumen que desplazar por unidad de deformación es $d^3$. La red cristalina ofrece una sección transversal $\propto d^2$, así que la velocidad va como $d^2/(d\,d^3) = d^{-2}$; los bordes ofrecen $\propto\delta d$, así que $\delta d/(d\,d^3) = \delta d^{-3}$. La razón entre las velocidades de borde y de red es $(B_B\delta D_B)/(B_LD_Ld)$, mayor que 1 cuando $d < (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Ejercicio 7.11 ★★★

Para una ley de flujo con $n = 3.5$, ¿en qué factor disminuye la viscosidad efectiva cuando la velocidad de deformación se multiplica por diez? ¿Por qué esto favorece la localización de la deformación en zonas de cizalla?

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

$\eta \propto \dot\varepsilon^{(1-n)/n} = \dot\varepsilon^{-2.5/3.5}$: diez veces más deprisa divide la viscosidad por $10^{0.714} = 5.2$. Una banda que casualmente se deforma más deprisa se vuelve más débil, así que absorbe más de la deformación: la deformación se concentra en ella.

Ejercicio 7.12 ★★★

En el olivino seco del ejercicio 9, una zona de cizalla del manto bajo $10\,\mathrm{MPa}$ se recristaliza de granos de $3\,\mathrm{mm}$ a granos de $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Calcúlese la velocidad de deformación total antes y después, y el factor de debilitamiento. ¿Qué mecanismo transporta la deformación en cada caso?

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

Antes: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\times10^{3.5} = 2.07 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6} \times10/3000^3 = 1.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$: $2.08 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluencia por dislocaciones. Después: $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\times10/30^3 = 1.33 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluencia por difusión, $6400$ veces más rápida con el mismo esfuerzo: la recristalización ha debilitado enormemente la zona.

7.7 Problema: la zona de cizalla de Varden

Problema 7.1

Problema de fin de semana — la deformación, el esfuerzo, la velocidad de deformación y la edad de una zona de cizalla inventada

Bajo el granito de las colinas de Varden, la región inventada de la serie, un sondeo y un corte profundo de carretera (ambos inventados) revelan una zona de cizalla dúctil de $400\,\mathrm{m}$ de anchura, formada a unos $15\,\mathrm{km}$ de profundidad y $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un dique de dolerita que atraviesa las paredes en ángulo recto forma, dentro de la zona, un ángulo de solo $6{}^{\circ}$ con los límites de la zona. Su cuarzo es una milonita de granos recristalizados de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diámetro (de 15 a $25\,\text{µ}\mathrm{m}$). Tómense el paleopiezómetro del cuarzo $D = 10^{3.56}\sigma^{-1.26}$, la ley de flujo de la cuarcita húmeda ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $1\,\mathrm{yr}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, y, en cizalla simple, $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon$.

Parte I — La deformación.

1. Calcúlese la deflexión $\psi$ del dique y la deformación de cizalla.
2. Calcúlese el desplazamiento de una pared respecto de la otra.
3. Calcúlense los estiramientos principales de la elipse de deformación y su razón axial.
4. Calcúlese el ángulo del eje largo con la zona. ¿Qué hace la foliación de la zona a medida que crece $\gamma$?
5. Vista desde arriba, el dique, seguido desde la pared sur, se curva hacia el este al entrar en la zona de dirección este–oeste, luego recupera su rumbo hacia el norte en la pared norte. ¿Hacia qué lado se movió la pared norte, y es la zona dextrógira o levógira?
6. ¿En qué plano debe cortarse una lámina delgada para leer los indicadores cinemáticos, y cómo debe inclinarse su foliación S?

Parte II — El esfuerzo.

7. Calcúlese el esfuerzo que indican los granos de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$.
8. Calcúlense los esfuerzos para 15 y $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.
9. ¿Está el esfuerzo dentro del intervalo de calibración?
10. El paleopiezómetro no mostró efecto de la temperatura. ¿Por qué importa esto aquí?
11. ¿Qué tamaño de grano habría producido un esfuerzo de $100\,\mathrm{MPa}$?

Parte III — La velocidad de deformación.

12. Calcúlense $E/RT$ a $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y el factor de Arrhenius.
13. Calcúlese la velocidad de deformación del cuarzo bajo el esfuerzo de la pregunta 7 (tómense $62\,\mathrm{MPa}$).
14. Calcúlese la velocidad de deformación de cizalla.
15. Calcúlese la viscosidad efectiva de la zona y compárese con el manto superior del Capítulo 6.
16. ¿En qué factores cambiaría la velocidad de deformación a 400 y $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con el mismo esfuerzo?
17. ¿En qué factor cambiaría si el esfuerzo fuera el de $78\,\mathrm{MPa}$ de los granos más finos?

Parte IV — El tiempo.

18. Calcúlese el tiempo necesario para acumular la deformación de cizalla de la pregunta 1, en segundos.
19. Conviértase en miles de años.
20. Calcúlese la velocidad media de deslizamiento a través de la zona, en $\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.
21. Compárese con las velocidades de límite de placa de decenas de milímetros al año.
22. Si la zona hubiera transportado $20\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, ¿qué velocidad de deformación de cizalla, esfuerzo y tamaño de grano recristalizado habría tenido?
23. ¿Cómo afectan las incertidumbres del tamaño de grano y del exponente del piezómetro al tiempo?
24. Indíquese el tiempo que tardó la zona de cizalla de Varden en acumular su deformación, en miles de años.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. El dique gira desde $90{}^{\circ}$ hasta $6{}^{\circ}$ respecto de la zona: $\psi = 84{}^{\circ}$ y $\gamma = \tan84{}^{\circ} = 9.51$.

2. $\gamma w = 9.51\times400 = 3804\,\mathrm{m}$, unos $3.8\,\mathrm{km}$.

3. $S_1 = \sqrt{1 + 9.51^2/4} + 9.51/2 = 4.859 + 4.755 = 9.614$, $S_2 = 1/S_1 = 0.104$, y $S_1/S_2 = 92.4$.

4. $\tan2\theta' = 2/9.51 = 0.210$, $\theta' = 5.9{}^{\circ}$: la foliación, próxima al eje largo, gira cada vez más hacia la zona a medida que $\gamma$ crece.

5. Siguiendo el dique hacia el norte, este es arrastrado hacia el este dentro de la zona y sale de ella más al este: la pared norte se ha desplazado hacia el este respecto de la sur. Visto desde la pared sur, el lado opuesto se desplazó hacia la derecha: la zona es dextral.

6. En el plano que contiene la lineación de estiramiento, horizontal aquí por tratarse de una zona de desgarre, y perpendicular a la foliación vertical: una sección horizontal. Su foliación S se inclina en sentido antihorario respecto a la zona, hacia el este-noreste, como el eje largo de la elipse de deformación.

7. $\sigma = (10^{3.56}/20)^{1/1.26} = 181.5^{0.794} = 62\,\mathrm{MPa}$.

8. $242.1^{0.794} = 78\,\mathrm{MPa}$ para $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ y $145.2^{0.794} = 52\,\mathrm{MPa}$ para $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.

9. Sí: los experimentos abarcaron entre 34 y $268\,\mathrm{MPa}$.

10. La zona se deformó a $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, muy por debajo de los 800 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de los experimentos; una relación que no depende de la temperatura puede trasladarse hasta ella, aunque sigue siendo una extrapolación.

11. $D = 3631/100^{1.26} = 3631/331 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

12. $E/RT = 223000/(8.314\times723.15) = 37.09$ y $e^{-37.09} = 7.79 \times 10^{-17}$.

13. $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times62^4\times7.79 \times 10^{-17} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.478 \times 10^{7}\times7.79 \times 10^{-17} = 1.27 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

14. $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon = 2.53 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

15. $\eta = 62 \times 10^{6}/(2\times1.27 \times 10^{-13}) = 2.4 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, próxima a los $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ del manto superior bajo el lago Ardo: la zona era tan débil como el manto.

16. $e^{-E/RT}$ cambia en un factor de 0.064 a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (dieciséis veces más lento) y 11.0 a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

17. $(78/62)^4 = 2.5$ veces más rápido.

18. $t = 9.51/2.53 \times 10^{-13} = 3.75 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

19. $3.75 \times 10^{13}/3.156 \times 10^{10} = 1190\,\mathrm{kyr}$.

20. $3804\,\mathrm{m}/1.19 \times 10^{6}\,\mathrm{yr} = 3.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

21. Diez o más veces más lenta que los principales límites de placa: la zona era un ramal secundario, o uno de varios que compartían el movimiento de un límite.

22. $\dot\gamma = 0.02/(3.156 \times 10^{7}\times400) = 1.58 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$, 6.2 veces más rápido; el esfuerzo aumenta en $6.2^{1/4} = 1.58$, hasta $98\,\mathrm{MPa}$, y los granos tendrían un tamaño de $3631/98^{1.26} = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

23. El tiempo varía como $\sigma^{-4}$: el intervalo de tamaños de grano por sí solo da entre $(62/78)^4 = 0.40$ y $(62/52)^4 = 2.0$ veces la estimación. A ello se suma la incertidumbre del exponente $1.26 \pm 0.13$ y de las constantes de la ley de flujo, que la amplía aún más: el resultado es un orden de magnitud, no una fecha.

24. La zona de cizalla de Varden tardó unos $1190\,\mathrm{kyr}$ en acumular su deformación.