2Sismología de exploración

Un buque de prospección avanza lentamente en línea recta por el mar, remolcando un conjunto de cañones de aire a pocos metros bajo la superficie y, detrás de él, cables de varios kilómetros de longitud provistos de hidrófonos. En una prospección descrita ante el regulador, el conjunto contenía $5240$ pulgadas cúbicas de aire comprimido, disparado cada $8\,\mathrm{s}$ desde $12\,\mathrm{m}$ bajo la superficie, y los cables remolcados de acimut estrecho detrás de tales buques registran offsets de entre 8 y $10\,\mathrm{km}$.

Cada disparo envía un pulso de sonido al fondo marino, y cada interfaz rocosa situada debajo devuelve un eco débil. Semanas de procesado después, un geólogo recorre una sección en la que aparecen canales fluviales enterrados, bloques de falla basculados y el relleno en onlap de una antigua cuenca aparecen como si el terreno se hubiera abierto en corte. La sismología a escala terrestre del capítulo anterior utilizaba las ondas de terremotos; la sismología de exploración genera las propias, con fuentes cuyo instante y lugar se conocen con exactitud y las registra en miles de canales. Este capítulo sigue los ecos desde el disparo hasta la sección: prospecciones de refracción, la reflexión de una ondícula en una columna estratificada, el método del punto medio común que convierte ecos repetidos en velocidades y en una imagen nítida, la migración sísmica, que devuelve los reflectores a su posición correcta, y la lectura de la sección como estratigrafía sísmica.

Lo que ya sabes

En la frontera entre dos medios de impedancia acústica $Z_1 = \rho_1v_1$ y $Z_2 = \rho_2v_2$, una onda plana con incidencia normal se refleja con el coeficiente de amplitud $R = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ (en el volumen de segundo año de los libros de física, sobre ondas en interfaces). La onda de cabeza, el tiempo de intercepción y la distancia de cruce de un perfil de refracción sobre capas planas se estudiaron en el volumen de primer año, en su capítulo sobre la Tierra estratificada; los registros de sondeo del libro 2 (año 11). La convolución $(f*g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm d\tau$ y la transformada de Fourier son de los libros de matemáticas. El parámetro del rayo y el problema inverso lineal son los del Capítulo 1.

2.1 Prospecciones de refracción

Definición 2.1 (Prospecciones sísmicas de refracción y de reflexión)

Una prospección sísmica de refracción registra, a lo largo de una línea de receptores, las primeras llegadas de una fuente controlada, y utiliza las ondas de cabeza que viajan por la parte superior de las capas más rápidas para determinar sus velocidades y profundidades. Una prospección sísmica de reflexión registra el tren de ondas completo, a offsets en su mayoría menores que las profundidades de interés, y utiliza las ondas reflejadas con incidencia casi normal por las interfaces para obtener una imagen de la estratificación.

Sobre capas planas, una onda de cabeza llega en $t = x/v_2 + t_i$, una recta cuya pendiente da la velocidad $v_2$ del refractor y cuya ordenada en el origen $t_i$ da su profundidad. Un refractor con buzamiento inclina la recta: la onda de cabeza disparada en sentido de buzamiento llega cada vez más tarde, a medida que el refractor se hunde, y parece lenta; disparada en contra del buzamiento parece rápida. Disparando en ambos sentidos a lo largo de la misma línea, un perfil invertido separa la velocidad del buzamiento.

Teorema 2.2 (Refracción en una interfaz con buzamiento)

Una capa de velocidad $v_1$ yace sobre un refractor plano de velocidad $v_2 > v_1$ que buza con un ángulo $\theta$ a lo largo del perfil; $i_c = \arcsin(v_1/v_2)$, y $h$ es la profundidad perpendicular del refractor bajo el disparo. Más allá de la distancia crítica, la onda de cabeza llega en

$$\begin{align*} t &= \frac{x\sin(i_c + \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{disparo en sentido de buzamiento},\\ t &= \frac{x\sin(i_c - \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{disparo en contra del buzamiento}. \end{align*}$$

Las velocidades aparentes $v_d = v_1/\sin(i_c + \theta)$ y $v_u = v_1/\sin(i_c - \theta)$ de un perfil invertido dan

$$i_c = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} + \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],\qquad \theta = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} - \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right], \qquad v_2 = \frac{v_1}{\sin i_c} .$$

Las dos ramas de un perfil invertido deben dar el mismo tiempo entre los dos puntos de disparo, desde cualquiera de los extremos: el tiempo recíproco, una comprobación de la lectura de las llegadas. Dos situaciones invalidan el método. Una capa más lenta que la que tiene encima (una inversión de velocidad) no genera ninguna onda de cabeza y resulta invisible: sus rocas se cuentan en la capa superior, y todas las profundidades situadas debajo quedan sobreestimadas. Una capa más rápida que la superior pero demasiado delgada puede no dar nunca una primera llegada, porque la onda de cabeza de la capa más profunda y rápida la alcanza: una capa oculta. Una prospección de reflexión detecta las dos.

2.2 Reflexión a incidencia normal

Definición 2.3 (Ondícula sísmica, ondícula de Ricker)

Una ondícula sísmica es el pulso breve, de unas decenas de milisegundos de duración, que la fuente y el sistema de registro envían a través del terreno; cada reflector devuelve una copia escalada de él. La ondícula de Ricker de frecuencia de pico $f$ es el pulso de fase cero

$$w(t) = \left(1 - 2\pi^2f^2t^2\right)e^{-\pi^2f^2t^2},$$

la segunda derivada de una gaussiana, salvo signo y escala: un pico central y dos lóbulos laterales, con media nula y un espectro de amplitud que alcanza su máximo en $f$.

Definición 2.4 (Serie de reflectividad)

La serie de reflectividad de una columna estratificada es la sucesión de los coeficientes de reflexión a incidencia normal $r_k$ de sus interfases, colocados en sus tiempos verticales de ida y vuelta $\tau_k = \sum_{i \le k} 2h_i/v_i$: $r(t) = \sum_k r_k\,\delta(t - \tau_k)$.

Proposición 2.5 (El modelo convolucional)

Si solo se conservan las reflexiones primarias (sin múltiples), a incidencia normal, sin pérdida por transmisión, atenuación ni divergencia, y si la ondícula $w$ no cambia con la profundidad, el registro es la convolución de la ondícula con la serie de reflectividad:

$$s(t) = \sum_k r_k\,w(t - \tau_k) = (w*r)(t) .$$

La traza calculada de este modo a partir de un registro de sondeo de velocidad y densidad es el sismograma sintético del registro.

El sismograma sintético es la forma en que un sondeo se vincula con una sección sísmica: una reflexión de la sección se asocia con la interfase del registro que la produce. La columna de Varden bajo el eje del sinclinal del problema (el modelo sísmico de este capítulo, con velocidades y densidades elegidas dentro de los intervalos publicados para cada roca)

da la figura siguiente. La interfase creta–lutita refleja solo el $2.8\,\%$ de la amplitud, porque la creta y la lutita tienen casi la misma impedancia; el techo de la caliza refleja el $38\,\%$, la base de la caliza devuelve un pulso invertido, y el basamento, uno intenso y positivo.

¿Hasta qué espesor pueden seguir resolviendo las reflexiones una capa? Su techo y su base devuelven cada uno una ondícula; cuando se solapan, interfieren.

Definición 2.6 (Espesor de sintonía)

El espesor de sintonía de un estrato es el espesor para el que las reflexiones de su techo y de su base, de signo opuesto, interfieren más constructivamente, de modo que la amplitud compuesta es máxima. Los estratos más delgados no se resuelven: su techo y su base ya no pueden distinguirse por separado, y la amplitud disminuye en proporción al espesor.

Proposición 2.7 (Regla del cuarto de longitud de onda)

Para una ondícula de periodo dominante $T$ en un estrato de velocidad $v$, con coeficientes de reflexión $+R$ en su techo y $-R$ en su base, la reflexión compuesta es máxima cuando el espesor del estrato es $b = \lambda/4$, donde $\lambda = vT$; para $b \ll \lambda/4$ su amplitud es proporcional a $b$.

Una ondícula de Ricker no es un armónico, y su espesor de sintonía, leído en el modelo de cuña de la figura siguiente, es algo menor que un cuarto de la longitud de onda a la frecuencia de pico: $19.5\,\mathrm{m}$ a $30\,\mathrm{Hz}$ en roca de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, para $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$. Los datos sísmicos rara vez contienen mucha energía por encima de unas pocas decenas de hercios procedente de profundidades de kilómetros, porque las rocas absorben las altas frecuencias; los estratos de menos de unos $20\,\mathrm{m}$ de espesor se registran como una única reflexión.

Lateralmente, la resolución viene fijada por la anchura del reflector que devuelve la energía en fase.

Definición 2.8 (Zona de Fresnel)

La zona de Fresnel (primera) de un reflector, para una fuente y un receptor coincidentes a una altura $z$ sobre él, es el disco del reflector alrededor del punto de incidencia normal desde el cual el camino de ida y vuelta es más largo que el normal en menos de media longitud de onda: sus reflexiones llegan en fase y construyen juntas la reflexión registrada.

Proposición 2.9 (Radio de la zona de Fresnel)

La primera zona de Fresnel tiene el radio $r_F = \sqrt{\lambda z/2 + \lambda^2/16} \approx \sqrt{\lambda z/2}$ para $\lambda \ll z$.

A $1\,\mathrm{km}$ de profundidad, con $\lambda = 100\,\mathrm{m}$, la zona de Fresnel tiene un radio de $225\,\mathrm{m}$: los rasgos más estrechos que eso quedan emborronados, a menos que la migración (más abajo) concentre la zona.

2.3 Adquisición y procesado de punto medio común

Un eco aislado es demasiado débil para distinguirlo del ruido. Por ello, los levantamientos de reflexión registran cada punto del subsuelo muchas veces, con distintos pares fuente–receptor, y suman los registros.

Definición 2.10 (Punto medio común, cobertura)

Para una fuente en $x_s$ y un receptor en $x_r$ sobre una línea, el punto medio es $(x_s + x_r)/2$ y el desplazamiento $x = |x_r - x_s|$. Un conjunto de punto medio común (CMP) es el conjunto de trazas, procedentes de todos los disparos, que comparten el mismo punto medio; sobre capas planas, todas ellas se reflejan en el mismo punto del subsuelo. La cobertura (sísmica) es el número de trazas de un conjunto. Con $N$ canales a la separación de receptores $\Delta g$ y un disparo cada $\Delta s$ a lo largo de la línea, la cobertura es $N\Delta g/(2\Delta s)$.

Teorema 2.11 (Sobretiempo normal)

En una capa de velocidad $v$ situada sobre un reflector plano, a un tiempo vertical de ida y vuelta $t_0$, la reflexión registrada a desplazamiento $x$ llega en

$$t(x)^2 = t_0^2 + \frac{x^2}{v^2},$$

una hipérbola en el plano $(x, t)$. El retraso $\Delta t = t(x) - t_0$ es el sobretiempo normal; para $x \ll vt_0$, $\Delta t \approx x^2/(2v^2t_0)$.

Sobre varias capas, el tiempo de reflexión ya no es exactamente hiperbólico, pero lo es casi a desplazamientos pequeños, con una velocidad que es una media ponderada de las de las capas.

Definición 2.12 (Velocidades de apilamiento, cuadrática media y de intervalo)

La velocidad de intervalo $v_i$ de una capa es su propia velocidad; con $\Delta t_i = 2h_i/v_i$ el tiempo de ida y vuelta a través de ella, la velocidad cuadrática media hasta la base de la capa $n$ es

$$V_{\text{rms},n} = \left(\frac{\sum_{i\le n}v_i^2\,\Delta t_i}{\sum_{i\le n}\Delta t_i}\right)^{1/2}.$$

La velocidad de apilamiento de una reflexión es la velocidad $V$ de la hipérbola $t^2 = t_0^2 + x^2/V^2$ que mejor ajusta sus tiempos en un conjunto de punto medio común.

Proposición 2.13 (Velocidad de apilamiento a desplazamientos pequeños)

Sobre capas planas, $t(x)^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{rms}}^2 + O(x^4)$: a desplazamientos pequeños, la velocidad de apilamiento es la velocidad cuadrática media.

Teorema 2.14 (Ecuación de Dix)

Si $V_{n-1}$ y $V_n$ son las velocidades cuadráticas medias hasta el techo y la base de la capa $n$, a los tiempos de ida y vuelta $t_{n-1}$ y $t_n$, la velocidad de intervalo de la capa viene dada por la ecuación de Dix

$$v_n^2 = \frac{V_n^2t_n - V_{n-1}^2t_{n-1}}{t_n - t_{n-1}} ,$$

y su espesor es $h_n = v_n(t_n - t_{n-1})/2$.

El análisis de velocidades recorre cada conjunto en busca de la hipérbola que mejor se ajusta a la energía: para cada $t_0$ y $V$ de prueba, las trazas se suman a lo largo de la curva, y se representa una medida de coherencia (la semblanza); el analista escoge sus máximos, reflector a reflector, para construir una función de velocidades. La corrección de sobretiempo normal desplaza cada muestra de cada traza desde $t(x)$ hasta $t_0$, aplanando las reflexiones, y las trazas de cada conjunto se suman.

Definición 2.15 (Apilamiento (sísmico))

El apilamiento (sísmico) es la suma, tras la corrección de sobretiempo normal, de las trazas de un conjunto de punto medio común en una única traza situada en el punto medio. Las trazas apiladas, dispuestas una junto a otra a lo largo de la línea, forman la sección apilada, una imagen de los reflectores en tiempo de ida y vuelta.

Proposición 2.16 (Ganancia de un apilamiento)

Si las $N$ trazas de un conjunto llevan la misma señal de reflexión y un ruido independiente de igual desviación típica $\sigma$, su media lleva la misma señal y un ruido de desviación típica $\sigma/\sqrt N$: el apilamiento eleva la relación señal-ruido en $\sqrt N$.

2.4 Migración

Una sección apilada muestra cada reflexión bajo el punto medio donde se registró, en el tiempo que tardó en volver. Para un reflector horizontal ahí está. Para uno buzante no: el eco registrado en un punto de la superficie procede del punto del reflector más cercano a él, que se halla hacia arriba del buzamiento, no verticalmente debajo. Puntos como los cortes de falla, que dispersan energía en todas las direcciones, aparecen como hipérbolas.

Definición 2.17 (Migración sísmica)

La migración sísmica es la etapa de procesado que traslada las reflexiones de una sección sísmica a las posiciones de los reflectores que las produjeron: restaura los buzamientos verdaderos y las posiciones de los reflectores buzantes y colapsa las hipérbolas de difracción de los dispersores puntuales sobre sus vértices. Realizada con un modelo de velocidades en tiempo, proporciona una sección migrada en tiempo; con un modelo en profundidad, una imagen en profundidad.

Teorema 2.18 (Buzamiento en una sección de desfase cero)

En un medio de velocidad $v$, un reflector plano de buzamiento $\theta$ en el plano de la sección aparece en la sección de desfase cero, representada como la profundidad $vt/2$ verticalmente debajo de cada punto de registro, como una línea de buzamiento aparente $\theta_a$ con

$$\tan\theta_a = \sin\theta .$$

La reflexión registrada en el punto $x$ procede del punto del reflector situado a una distancia $(vt/2)\sin\theta$ hacia arriba del buzamiento, respecto del punto situado verticalmente debajo de $x$.

Puesto que $\tan\theta_a = \sin\theta < \tan\theta$, una sección sin migrar muestra siempre buzamientos más suaves que los verdaderos, y no puede mostrar buzamientos más empinados que $45{}^{\circ}$. Un dispersor puntual a profundidad $z$ bajo el punto $x_0$ devuelve en $x$ el tiempo de desfase cero $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + (x - x_0)^2}$: una hipérbola con su vértice sobre el punto, la difracción. La migración en su forma más simple, la apilación de difracciones, suma cada sección a lo largo de la hipérbola de difracción de cada dispersor posible y deposita la suma en el vértice: los reflectores, que son líneas continuas de dispersores, emergen en sus lugares verdaderos, y las difracciones se colapsan.

2.5 Estratigrafía sísmica

Una sección migrada es una imagen de la estratificación, y puede leerse como estratigrafía: las reflexiones siguen las superficies de estratificación, que son líneas de tiempo, de modo que su geometría registra cómo se llenó la cuenca.

Definición 2.19 (Estratigrafía sísmica, facies sísmicas)

La estratigrafía sísmica es la interpretación de la estratigrafía y de la historia deposicional de una cuenca a partir de la geometría de sus reflexiones sísmicas. Una facies sísmica es una unidad tridimensional de reflexiones cuyo carácter (continuidad, amplitud, frecuencia, geometría interna: paralela, divergente, sigmoidal, caótica, abombada) difiere del de sus vecinas y se interpreta como un ambiente de depósito.

Definición 2.20 (Terminaciones de reflectores)

Una terminación de reflector es el final de una reflexión contra otra. Onlap: una reflexión inicialmente horizontal termina contra una superficie que asciende con mayor pendiente, de modo que los estratos más jóvenes se apoyan sobre una pendiente antigua. Downlap: una reflexión inclinada termina, hacia la parte baja del buzamiento, contra una superficie más suave, tal como ocurre cuando los pies de los estratos progradantes descansan sobre el fondo de una cuenca. Toplap: las reflexiones inclinadas terminan, hacia la parte alta del buzamiento, contra una superficie suprayacente, con poca erosión, como ocurre cuando los topes de los estratos progradantes alcanzan el nivel del mar. Truncación erosiva: las reflexiones terminan, hacia la parte alta del buzamiento, contra una superficie suprayacente que las corta, una discordancia.

Las terminaciones marcan las superficies que delimitan secuencias de estratos genéticamente relacionados; cartografiarlas en una cuenca y relacionarlas con el ascenso y descenso del nivel relativo del mar, es la estratigrafía secuencial, materia del Capítulo 16. Una sección sísmica de un margen pasivo muestra típicamente cuñas de reflexiones progradantes hacia el mar que se apoyan (downlap) sobre el fondo profundo, coronadas por toplap, y quedan sepultadas hacia tierra bajo estratos en onlap depositados cuando el mar volvió a subir.

Sobre el terreno — Un tendido sísmico marino y una cuadrilla en tierra

En un levantamiento marino el buque nunca se detiene: navega línea tras línea a unos nudos, disparando las matrices de cañones de aire a intervalos fijos, y los cables remolcados mantenidos a profundidad constante mediante pequeñas alas orientables y localizados por posicionamiento acústico y por satélite. Los observadores en el puente vigilan el mar alrededor de la matriz, y el levantamiento se rige por normas que establecen las medidas para proteger a los mamíferos marinos, la guardia que se mantiene y lo que se informa.

En tierra, la cuadrilla tiende cables o unidades de registro inalámbricas a lo largo de las líneas; los camiones vibradores avanzan en convoy de un punto fuente al siguiente, y un camión de registro comprueba cada canal antes de cada barrido. De vuelta en el centro de procesado, los registros se ordenan en colecciones de punto medio común, se escogen las velocidades, los datos se apilan y migran, y la sección se entrega a los intérpretes.

2.6 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

La creta ($v = 2500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 2.00\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) yace sobre lutita ($2300\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), que a su vez yace sobre caliza ($4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). Calcúlense las tres impedancias y los coeficientes de reflexión de las dos interfases. ¿Qué fracción de la energía incidente refleja la parte superior de la caliza?

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

$Z = \rho v$: creta $2000\times2500 = 5.00 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, lutita $2300\times2300 = 5.29 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, caliza $2600\times4500 = 11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Creta–lutita: $R = (5.29 - 5.00)/(5.29 + 5.00) = 0.29/10.29 = 0.0282$; lutita–caliza: $R = (11.70 - 5.29)/(11.70 + 5.29) = 6.41/16.99 = 0.377$. La energía reflejada es $R^2 = 0.142$: el techo de la caliza devuelve $14.2\,\%$ de la energía incidente; la interfase creta–lutita devuelve menos del $0.1\,\%$.

Ejercicio 2.2 ★

Un reflector plano yace a $800\,\mathrm{m}$ por debajo de una capa de $2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense $t_0$, el tiempo de reflexión a un desplazamiento de $1000\,\mathrm{m}$, y el sobretiempo normal allí. Compárese con la aproximación $x^2/(2v^2t_0)$.

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

$t_0 = 2\times800/2000 = 0.800\,\mathrm{s}$; $t = \sqrt{0.800^2 + (1000/2000)^2} = \sqrt{0.89} = 0.9434\,\mathrm{s}$; el sobretiempo es $0.1434\,\mathrm{s}$. La aproximación da $1000^2/(2\times2000^2\times0.800) = 0.1563\,\mathrm{s}$, demasiado grande en un $9\,\%$: con una separación mayor que la profundidad, $x \ll vt_0$ ya no se cumple.

Ejercicio 2.3 ★

Un cable sísmico tiene 240 canales separados $12.5\,\mathrm{m}$, y el buque dispara cada $25\,\mathrm{m}$. Calcúlense el intervalo de punto medio común y la cobertura. ¿Qué intervalo entre disparos daría una cobertura de 120?

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

Los puntos medios se desplazan la mitad del intervalo entre receptores: el intervalo entre puntos medios comunes es $12.5/2 = 6.25\,\mathrm{m}$. La cobertura es $240\times12.5/(2\times25) = 60$. Una cobertura de 120 requiere un disparo cada $240\times12.5/(2\times120) = 12.5\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 2.4 ★

Con una frecuencia dominante de $30\,\mathrm{Hz}$, calcúlense la longitud de onda y el cuarto de longitud de onda en arenisca de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y en caliza de $4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlese el radio de la primera zona de Fresnel de un reflector situado a $1000\,\mathrm{m}$ de profundidad bajo rocas de velocidad media de $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

$\lambda = v/f$: $100\,\mathrm{m}$ en la arenisca, $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$; $150\,\mathrm{m}$ en la caliza, $\lambda/4 = 37.5\,\mathrm{m}$. Con $\lambda = 2800/30 = 93.3\,\mathrm{m}$ y $z = 1000\,\mathrm{m}$, $r_F \approx \sqrt{\lambda z/2} = \sqrt{46\,667} = 216\,\mathrm{m}$ ($217\,\mathrm{m}$ con el término $\lambda^2/16$).

Ejercicio 2.5 ★★

Dos reflexiones tienen $t_0 = 0.500\,\mathrm{s}$ con una velocidad cuadrática media de $2400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, y $t_0 = 0.700\,\mathrm{s}$ con $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense la velocidad de intervalo y el espesor de la capa comprendida entre ellas.

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

Ecuación de Dix: $v^2 = (2800^2\times0.700 - 2400^2\times0.500)/0.200 = (5\,488\,000 - 2\,880\,000)/0.200 = 1.304 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, luego $v = 3611\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La capa se atraviesa en $0.100\,\mathrm{s}$ en un sentido: $h = 3611\times0.100 = 361\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 2.6 ★★

Un reflector plano buza un ángulo $\varphi$ en el plano de una línea de punto medio común, en una capa de velocidad $v$. (a) Demuéstrese que $t(x)^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$, donde $t_0$ es el tiempo de desplazamiento nulo en el punto medio. (Indicación: utilícese la imagen del punto medio en el reflector.) (b) Dedúzcase la velocidad de apilamiento y calcúlese para $v = 2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\varphi = 12{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

(a) Sea $d$ la distancia desde el punto medio M al reflector, de modo que $t_0 = 2d/v$. El rayo reflejado desde la fuente S hasta el receptor G tiene la misma longitud que la línea recta desde la imagen S$'$ de S en el reflector hasta G. Se sitúa M en el origen, con la línea según el buzamiento; S$'$ está a la distancia $2d_S$ de S a lo largo de la normal, con $d_S = d - (x/2)\sin\varphi$. El cuadrado de S$'$G es $x^2 + 4d_S^2 + 4d_Sx\sin\varphi = x^2 + 4d^2 - x^2\sin^2\varphi$, todos los términos en $dx$ se cancelan, luego $v^2t^2 = 4d^2 + x^2\cos^2\varphi$ y $t^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$. (b) El conjunto de trazas sigue una hipérbola de velocidad $V = v/\cos\varphi = 2000/\cos12{}^{\circ} = 2045\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: un buzamiento hace que la velocidad de apilamiento resulte demasiado alta, aquí en un $2.2\,\%$.

Ejercicio 2.7 ★★

Una colección de cobertura 60 tiene ruido independiente de igual varianza en cada traza. ¿En qué factor eleva el apilamiento la relación señal-ruido? ¿En qué factor debe aumentarse la cobertura para duplicarla de nuevo?

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

Por $\sqrt{60} = 7.75$. Duplicar la relación señal-ruido requiere cuatro veces tantas trazas: una cobertura de 240.

Ejercicio 2.8 ★★

En una sección de tiempos de desplazamiento nulo, en roca de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, una reflexión asciende $0.40\,\mathrm{s}$ de tiempo de ida y vuelta por kilómetro a lo largo de la línea. Conviértase esta pendiente en un buzamiento aparente, y calcúlese el buzamiento real del reflector.

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

La profundidad representada $vt/2$ cambia en $1.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\times0.40\,\mathrm{s} = 0.60\,\mathrm{km}$ por kilómetro: $\tan\theta_a = 0.60$, $\theta_a = 31.0{}^{\circ}$. Por el teorema de separación nula $\sin\theta = 0.60$: $\theta = 36.9{}^{\circ}$.

Ejercicio 2.9 ★★

Calcúlese la convolución de la serie de reflectividad $r = (0, 0.3, 0, -0.2, 0)$ con la ondícula de tres muestras $w = (-0.5, 1, -0.5)$, muestra a muestra. ¿Dónde están las dos reflexiones y se solapan entre sí?

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

Cada espiga coloca una copia de $w$ centrada en ella: $0.3\,w$ en las muestras 0–2 da $(-0.15, 0.3, -0.15)$, y $-0.2\,w$ en las muestras 2–4 da $(0.1, -0.2, 0.1)$. Su suma es $(0, -0.15, 0.3, -0.05, -0.2, 0.1, 0)$, escrita desde una muestra antes de la serie hasta otra después de ella. Las reflexiones alcanzan su máximo en las muestras 1 y 3, con sus signos verdaderos; se solapan en la muestra 2, donde $-0.15 + 0.1 = -0.05$: una ligera interferencia, pero dos máximos distintos.

Ejercicio 2.10 ★★★

Un perfil de refracción inverso sobre una capa de $1800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ da una velocidad aparente hacia el buzamiento de $2900\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y otra contra el buzamiento de $4400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense el ángulo crítico, el buzamiento y la velocidad del refractor. Compárese la velocidad del refractor con la media armónica de las dos velocidades aparentes.

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

$\arcsin(1800/2900) = 38.37{}^{\circ}$ y $\arcsin(1800/4400) = 24.15{}^{\circ}$, luego $i_c = (38.37 + 24.15)/2 = 31.26{}^{\circ}$ y $\theta = (38.37 - 24.15)/2 = 7.11{}^{\circ}$; $v_2 = 1800/\sin31.26{}^{\circ} = 3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La media armónica $2\times2900\times4400/(2900 + 4400) = 3496\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ es un $0.8\,\%$ superior; multiplicada por $\cos\theta = 0.9923$ da $3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, la aproximación habitual de buzamiento pequeño $v_2 \approx \cos\theta\,2v_dv_u/(v_d + v_u)$.

Ejercicio 2.11 ★★★

En la Proposición 2.7, un estrato tiene coeficientes de reflexión $+R$ y $-R$. (a) Demuéstrese que, para $\Delta t \ll T$, la señal compuesta es aproximadamente $R\,\Delta t\,w'(t)$, la derivada temporal de la ondícula escalada por el espesor de ida y vuelta del estrato. (b) Explíquese por qué un estrato delgado todavía puede detectarse, aunque no resuelto, y cómo podría estimarse su espesor a partir de su amplitud. (c) Dos estratos de la misma roca, de 5 y $10\,\mathrm{m}$ de espesor, se obtienen imágenes con la misma ondícula: ¿cuál es la razón de sus amplitudes?

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

(a) El compuesto es $R[w(t) - w(t - \Delta t)] \approx R\,\Delta t\,w'(t)$ por el desarrollo de Taylor de primer orden. (b) Su amplitud es proporcional a $\Delta t$, luego un estrato más delgado que el espesor de sintonía aún devuelve una señal, con la forma de $w'$, pero su techo y su base no pueden distinguirse como dos eventos: se detecta, pero no se resuelve. Si se conocen $R$ y la ondícula, por ejemplo a partir de un pozo, la amplitud da $\Delta t$ y, con ello, el espesor. (c) La amplitud es proporcional al espesor: la razón es $5/10 = 1/2$.

Ejercicio 2.12 ★★★

Un dispersor puntual yace a $600\,\mathrm{m}$ por debajo de la línea, en roca de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Escríbase el tiempo de desplazamiento nulo de su difracción en función de la distancia horizontal $x$ al punto situado encima, y calcúlese para $x = 0$ y $300\,\mathrm{m}$. (b) Demuéstrese que la difracción es una hipérbola de la forma del sobretiempo normal con la velocidad $v/2$, y explíquese por qué una difracción es siempre más curvada que una reflexión con el mismo tiempo en el vértice. (c) ¿Qué efecto tiene la migración sobre ella?

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

(a) $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + x^2}$: $t(0) = 2\times600/3000 = 0.400\,\mathrm{s}$ y $t(300) = (2/3000)\sqrt{600^2 + 300^2} = 0.4472\,\mathrm{s}$. (b) $t^2 = t_0^2 + x^2/(v/2)^2$, la forma del sobretiempo normal con la velocidad $v/2$. Una reflexión con el mismo tiempo en el vértice en una sección de separación nula no mostraría ningún sobretiempo; comparado con una hipérbola de sobretiempo normal de igual $t_0$ en un conjunto de trazas, el sobretiempo de la difracción $x^2/(2(v/2)^2t_0)$ es cuatro veces mayor, porque el tiempo depende de la distancia al difractor dos veces, de ida y de vuelta. (c) La migración suma la sección a lo largo de esta hipérbola y sitúa la energía en su vértice: la difracción se colapsa en un punto en $x = 0$, $z = 600\,\mathrm{m}$.

2.7 Problema: una línea sísmica a través de las colinas de Varden

Problema 2.1

Problema de fin de semana — refracción, análisis de velocidades, conversión a profundidad y migración a lo largo de la sección A–B de las colinas de Varden

Se adquiere una línea sísmica a lo largo de la sección A–B de las colinas de Varden, la región de los mapas geológicos de los volúmenes anteriores. Sus distancias $s$ se cuentan desde A a lo largo de la línea. La cobertera, de arriba abajo, está formada por creta, lutita ($100\,\mathrm{m}$), caliza ($180\,\mathrm{m}$) y arenisca ($120\,\mathrm{m}$), que descansa discordantemente sobre un basamento de esquistos; está plegada en un anticlinal y un sinclinal y cortada por una falla normal.

Parte I — Un tendido de refracción en el flanco O. Un tendido de $1200\,\mathrm{m}$ se extiende entre los puntos de disparo O ($s = 300\,\mathrm{m}$) y E ($s = 1500\,\mathrm{m}$), sobre un terreno considerado horizontal. La creta y la lutita por encima de la caliza se tratan como una única capa de $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Los tiempos de onda de cabeza leídos en los registros son, desde O hacia E, $425.2\,\mathrm{ms}$ a $800\,\mathrm{m}$ y $486.1\,\mathrm{ms}$ a $1200\,\mathrm{m}$; desde E hacia O, $372.4\,\mathrm{ms}$ a $800\,\mathrm{m}$ y $486.1\,\mathrm{ms}$ a $1200\,\mathrm{m}$.

1. Calcúlense las dos velocidades aparentes. ¿Cuál de los disparos está contra el buzamiento?
2. Calcúlense el ángulo crítico y el buzamiento del refractor.
3. Calcúlese la velocidad del refractor. ¿De qué roca se trata?
4. Calcúlense los tiempos de intercepción y las profundidades perpendiculares del refractor bajo O y bajo E.
5. Conviértanse en profundidades verticales y compruébese el buzamiento a partir de las dos profundidades.
6. La lutita bajo la creta es más lenta que la creta. ¿Qué interpreta de ella la prospección sísmica de refracción, y cómo sesga las profundidades?

Parte II — Análisis de velocidades en el PMC S. Más al este, el PMC S está sobre el eje del sinclinal, en el bloque hundido de la falla, donde se supone que las capas son horizontales. Se toman cuatro reflexiones a separación cero y a $600\,\mathrm{m}$:

reflexión	1	2	3	4
$t_0$ ($\mathrm{s}$)	0.4878	0.5748	0.6548	0.7348
$t(600\,\mathrm{m})$ ($\mathrm{s}$)	0.5437	0.6240	0.6887	0.7648

7. Calcúlese la velocidad NMO $V = x/\sqrt{t^2 - t_0^2}$ de las reflexiones 1 y 2. ¿Por qué la segunda es menor que la primera?
8. Calcúlese para las reflexiones 3 y 4.
9. Tomándolas como velocidades cuadráticas medias, calcúlese la velocidad de intervalo de cada capa mediante la ecuación de Dix.
10. Identifíquense las capas a partir de sus velocidades, y nómbrense las cuatro superficies reflectoras.
11. La reflexión 1 es la más débil en los registros. ¿Por qué?
12. ¿Por qué se midieron las velocidades solo en las separaciones de hasta $600\,\mathrm{m}$ cuando el tendido alcanza $2\,\mathrm{km}$?

Parte III — Conversión a profundidad y resolución.

13. Calcúlese el tiempo de ida y vuelta empleado en cada capa y su espesor.
14. Calcúlese la profundidad de cada superficie reflectora bajo el terreno. Compárense los espesores de la lutita, la caliza y la arenisca con los valores dados anteriormente.
15. Calcúlese la velocidad media desde el terreno hasta el basamento, y explíquese por qué la velocidad NMO de la reflexión 4 sobrestimaría la profundidad si se usara en su lugar.
16. La ondícula de la prospección tiene su máximo en $30\,\mathrm{Hz}$. Calcúlese la longitud de onda en la lutita y su espesor de sintonía, tanto por la regla del cuarto de longitud de onda como mediante $b = v/(5.2f)$ para una ondícula de Ricker. ¿Está resuelta la lutita? ¿A qué frecuencia entraría en sintonía por la regla del cuarto de longitud de onda?
17. Calcúlese el radio de la primera zona de Fresnel sobre el basamento, tomando $\lambda$ a partir de la velocidad NMO de la reflexión 4.

Parte IV — Migración y la falla.

18. Cerca de la falla, el corte de la caliza produce una difracción cuyo vértice está en $0.550\,\mathrm{s}$; a $200\,\mathrm{m}$ del vértice a lo largo de la línea sísmica allí el tiempo es $0.5732\,\mathrm{s}$. Escríbase el tiempo de difracción a separación cero y dedúzcase la velocidad media por encima del corte.
19. Calcúlese la profundidad del corte bajo el terreno.
20. En el flanco oriental, la reflexión del techo de la caliza de la sección apilada asciende hacia el anticlinal $0.167\,\mathrm{s}$ de tiempo doble por kilómetro, en rocas de velocidad media $2.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlese su buzamiento aparente y su buzamiento verdadero.
21. Una reflexión en ese flanco se registra en $t = 0.655\,\mathrm{s}$. ¿A qué distancia, y en qué dirección, la desplaza la migración?
22. Al otro lado de la falla, la reflexión del techo del basamento salta $0.160\,\mathrm{s}$; el bloque hundido aporta el espesor adicional de creta. Calcúlese el salto vertical.
23. Dése la profundidad de la discordancia del basamento bajo el PMC S, a partir de las velocidades de intervalo de la parte II.

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. Desde O, $400/(486.1 - 425.2) = 400/0.0609 = 6568\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; desde E, $400/(486.1 - 372.4) = 400/0.1137 = 3518\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La onda de cabeza desde O parece rápida: O es el extremo más bajo según el buzamiento, y sus disparos viajan hacia arriba del buzamiento; el refractor asciende de O a E.

2. $\arcsin(2400/3518) = 43.02{}^{\circ}$, $\arcsin(2400/6568) = 21.43{}^{\circ}$: $i_c = 32.22{}^{\circ}$, $\theta = 10.79{}^{\circ}$.

3. $v_2 = 2400/\sin32.22{}^{\circ} = 4501\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: dentro del intervalo de la caliza, la cima de la caliza jurásica.

4. Las intercepciones son $t - x/v_{\text{app}}$ a $1200\,\mathrm{m}$: $t_{i,O} = 0.4861 - 1200/6568 = 0.3034\,\mathrm{s}$ y $t_{i,E} = 0.4861 - 1200/3518 = 0.1450\,\mathrm{s}$. Con $\cos i_c = 0.8460$, $h = v_1t_i/(2\cos i_c)$: $h_O = 2400\times0.3034/1.692 = 430.4\,\mathrm{m}$ y $h_E = 205.7\,\mathrm{m}$.

5. Dividiendo entre $\cos\theta = 0.9823$: $438.1\,\mathrm{m}$ bajo O y $209.4\,\mathrm{m}$ bajo E. Entonces $(438.1 - 209.4)/1200 = 0.1906 = \tan10.79{}^{\circ}$, el buzamiento de la pregunta 2.

6. La lutita no devuelve onda de cabeza: es invisible, y la prospección la cuenta junto con la creta. Aquí $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ se dio como media de las dos; si para todo el recubrimiento se hubiera usado la velocidad de la onda directa de la creta, $2.50\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, todas las profundidades saldrían demasiado grandes.

7. $V = 600/\sqrt{0.5437^2 - 0.4878^2} = 600/0.2401 = 2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $V = 600/\sqrt{0.6240^2 - 0.5748^2} = 2471\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La segunda promedia la creta con la lutita, más lenta, que queda debajo: la media desciende.

8. $2811\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $2829\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. Capa 1: $2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Capa 2: $v^2 = (2471^2\times0.5748 - 2499^2\times0.4878)/0.0870$, $v = 2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Capa 3: $v^2 = (2811^2\times0.6548 - 2471^2\times0.5748)/0.0800$, $v = 4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Capa 4: $v^2 = (2829^2\times0.7348 - 2811^2\times0.6548)/0.0800$, $v = 2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

10. Creta ($2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), lutita ($2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), caliza ($4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), arenisca ($2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), cada una dentro de su intervalo publicado. Las reflexiones son la interfase creta–lutita, la cima de la caliza, la interfase caliza–arenisca y la discordancia en la cima del basamento de esquistos.

11. La creta y la lutita tienen casi la misma impedancia: $R = 0.028$ (ejercicio 1), frente a 0.38 en la cima de la caliza.

12. La hipérbola de velocidad $V_{\text{rms}}$ solo se cumple hasta el segundo orden en el desplazamiento; a desplazamientos de $2\,\mathrm{km}$, el doble de la profundidad del reflector más profundo, los tiempos se apartan de ella y una hipérbola ajustada a todo el tendido daría velocidades erróneas, y los intervalos de Dix, aún peores. Los desplazamientos lejanos estiran también las ondículas al corregirlas.

13. Tiempos de ida y vuelta en las capas: $0.4878\,\mathrm{s}$, $0.0870\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$. Espesores $v\,\Delta t/2$: $609.5\,\mathrm{m}$, $100.4\,\mathrm{m}$, $182.4\,\mathrm{m}$, $118.9\,\mathrm{m}$.

14. Profundidades bajo el suelo: $609.5\,\mathrm{m}$, $709.9\,\mathrm{m}$, $892.3\,\mathrm{m}$, $1011.2\,\mathrm{m}$. La lutita, la caliza y la arenisca salen dentro de $0.4\,\mathrm{m}$, $2.4\,\mathrm{m}$ y $1.1\,\mathrm{m}$ de sus espesores, creciendo el error en la caliza, rápida y delgada, donde un pequeño error de tiempo cuesta más.

15. $\bar v = 2\times1011.2/0.7348 = 2752\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La velocidad cuadrática media pondera cada capa por $v^2$ y nunca es inferior a la media ponderada por el tiempo: $2829\times0.7348/2 = 1039\,\mathrm{m}$, $28\,\mathrm{m}$ demasiado profunda.

16. $\lambda = 2308/30 = 76.9\,\mathrm{m}$, $\lambda/4 = 19.2\,\mathrm{m}$; la estimación de Ricker es $2308/(5.2\times30) = 14.8\,\mathrm{m}$. La lutita tiene $100\,\mathrm{m}$ de espesor, cinco veces su espesor de sintonía: su cima y su base se resuelven. Sintonizaría, según la regla del cuarto de longitud de onda, a $f = v/(4b) = 2308/400 = 5.77\,\mathrm{Hz}$.

17. $\lambda = 2829/30 = 94.3\,\mathrm{m}$, $z = 1011\,\mathrm{m}$: $r_F \approx \sqrt{94.3\times1011/2} = 218\,\mathrm{m}$ ($220\,\mathrm{m}$ con el término $\lambda^2/16$).

18. $t(x)^2 = t_0^2 + (2x/v)^2$, así que $v = 2x/\sqrt{t^2 - t_0^2} = 400/\sqrt{0.5732^2 - 0.550^2} = 400/0.1614 = 2478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

19. $z = vt_0/2 = 2478\times0.550/2 = 681\,\mathrm{m}$.

20. La profundidad representada $vt/2$ cambia $1.24\times0.167 = 0.207$ por unidad de longitud: $\theta_a = \arctan0.207 = 11.70{}^{\circ}$. El buzamiento verdadero cumple $\sin\theta = 0.207$: $\theta = 11.95{}^{\circ}$, el buzamiento del flanco.

21. $d = 2480\times0.655/2 = 812\,\mathrm{m}$; la migración desplaza la reflexión $d\sin\theta = 812\times0.207 = 168\,\mathrm{m}$ hacia arriba del buzamiento, hacia la cresta del anticlinal, y hacia arriba desde $812\,\mathrm{m}$ hasta $d\cos\theta = 795\,\mathrm{m}$.

22. $2500\times0.160/2 = 200\,\mathrm{m}$.

23. De las preguntas 13 y 14 se deduce que la discordancia del basamento se halla $1011\,\mathrm{m}$ bajo el suelo en el punto medio común S.