13Geocronología avanzada

Un cristal de circón de una décima de milímetro de largo ha mantenido en marcha dos relojes desde que cristalizó su granito: el uranio-238 que se desintegra en plomo-206 y el uranio-235 que se desintegra en plomo-207. Cuando los dos relojes coinciden, la edad es indudable. Cuando discrepan, la propia discrepancia puede datarse: el cristal perdió parte de su plomo en un evento posterior, y los dos relojes, leídos en conjunto, dan la edad del granito y la del evento. Este capítulo lee varios relojes a la vez, en uranio y plomo, en argón, en neodimio, en trazas de fisión y helio, y en los átomos raros producidos por los rayos cósmicos, y indica hasta qué punto cabe fiarse de cada edad.

Lo que ya sabes

La desintegración radiactiva, la ecuación de la edad, la isócrona y su razón inicial, la recta de mínimos cuadrados, la desintegración ramificada, la edad potasio–argón, la temperatura de cierre y la edad de enfriamiento están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre datación radiométrica; la fórmula de erosión estacionaria de los nucleidos cosmogénicos está en su capítulo sobre erosión y transporte. El reservorio condrítico uniforme, la notación épsilon y el manto empobrecido están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre geoquímica isotópica; la ionización térmica y la espectrometría de masas multicolector, en su capítulo sobre métodos de campo y de laboratorio. La termocronología y la relación edad–altitud están en el Capítulo 10.

13.1 Uranio, plomo y la concordia

El uranio tiene dos isótopos de vida larga. El uranio-238 se desintegra a través de una cadena de hijas de vida corta hasta el plomo-206, con $\lambda_{238} = 1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$; el uranio-235 se desintegra en plomo-207 con $\lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, seis veces más rápido. Su razón actual es $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, o bien $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U} = 137.8$, la misma en toda roca terrestre. El circón, $\mathrm{ZrSiO_4}$, incorpora mucho uranio y casi nada de plomo al crecer, y resiste la meteorización y sobrevive al metamorfismo: casi todo su plomo es radiogénico.

Se definen $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ e $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ como razones actuales del plomo radiogénico respecto a su progenitor. Cada una da una edad, $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ y $t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

Definición 13.1 (Concordia, discordia, intersecciones, diagrama de Tera–Wasserburg)

La concordia es la curva del plano $(x, y)$ en la que las dos edades uranio–plomo son iguales. Una discordia es una recta a lo largo de la cual se alinean los análisis discordantes de una misma población de cristales; sus intersecciones con la concordia son la intersección superior (la más antigua) y la intersección inferior (la más joven). El diagrama de Tera–Wasserburg representa $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ frente a $Y = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$.

Teorema 13.2 (La concordia)

Un cristal que ha permanecido cerrado al uranio y al plomo desde que se formó, hace un tiempo $t$, se sitúa en

$$C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).$$

A medida que $t$ crece, la curva sube cada vez más despacio frente a $x$: su pendiente, $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$, decrece desde $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ en el origen, de modo que la concordia es cóncava hacia el eje $x$.

El plomo es un ion grande que encaja mal en la red del circón. En las zonas de un cristal dañadas por su propia radiactividad, puede perderse en un evento posterior de calentamiento o circulación de fluidos.

Teorema 13.3 (La pérdida episódica de plomo da una cuerda)

Un cristal que se formó hace un tiempo $t_1$ y que perdió, hace un tiempo $t_2$, una fracción $f$ de su plomo radiogénico, y que por lo demás permaneció cerrado, se sitúa hoy en

$$(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),$$

sobre la cuerda que une los puntos $t_1$ y $t_2$ de la concordia. Los cristales que perdieron fracciones distintas se alinean sobre esa cuerda, una discordia cuya intersección superior es $t_1$ y la inferior es $t_2$.

Las intersecciones se hallan donde $a + b\,x(t) = y(t)$, una ecuación en $t$ que se resuelve por el método de Newton: con $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a - b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ y $g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} - b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$, iterando $t \leftarrow t - g/g'$ a partir de una estimación cercana a cada intersección. Tres propiedades del resultado importan en la práctica. En primer lugar, la intersección superior solo es precisa si la discordia corta a la concordia con un ángulo grande. Una discordia joven, como en la figura anterior, discurre casi a lo largo de la concordia, y un pequeño cambio en su pendiente desplaza la intersección mucho. En segundo lugar, si la pérdida de plomo es reciente, $t_2 = 0$, la discordia pasa por el origen, y todos los cristales tienen la misma razón $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$,

lo que da $t_1$ sin necesidad del uranio: la edad plomo–plomo. En tercer lugar, una recta en el diagrama de la concordia, $x = (y - a)/b$, se convierte en las coordenadas de Tera–Wasserburg $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$, de nuevo una recta. El diagrama de Tera–Wasserburg usa razones medidas directamente, sin necesidad de calcular el uranio-235 a partir del uranio-238, y una mezcla con plomo común, no radiogénico y rico en plomo-207, se representa sobre una recta que corta el eje $Y$ en la razón del plomo común.

Las edades uranio–plomo se miden de dos maneras. Cristales sueltos o fragmentos, disueltos tras eliminar las zonas dañadas mediante disolución parcial y separados su plomo y su uranio, se miden por ionización térmica en espectrometría de masas, con las edades más precisas de la geología. Puntos de unas pocas decenas de micrómetros de diámetro se miden in situ, con una microsonda iónica o por ablación láser, menos precisamente, pero zona a zona a través de un cristal que creció en varios episodios.

En el laboratorio — El laboratorio de geocronología

Una datación de circones empieza con una roca triturada y termina en un laboratorio limpio. Los geocronólogos separan los circones por densidad y magnetismo, escogen los cristales más limpios al microscopio binocular y obtienen imágenes de su zonado. Los cristales se disuelven en parte para eliminar sus zonas dañadas, y luego se disuelven por completo con un trazador de isótopos conocidos, y el uranio y el plomo se separan en diminutas columnas de resina, en aire filtrado para que no entre plomo del polvo. Un espectrómetro de masas mide las razones isotópicas. Las muestras de argón siguen un camino distinto: un reactor, después una línea de gas en la que un láser calienta cada paso y el argón se depura antes del espectrómetro.

13.2 Datación argón–argón

El método potasio–argón del volumen de primer año mide el potasio y el argón en dos alícuotas separadas de un mineral. El método argón–argón mide solo argón, en una alícuota, como razones de isótopos. La muestra se irradia con neutrones rápidos en el núcleo de un reactor nuclear, donde la reacción $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ convierte una fracción fija de su potasio-39 en argón-39, un indicador del potasio. Un mineral de edad conocida, el monitor, se irradia junto a ella.

Definición 13.4 (Datación argón–argón, factor J, espectro de edades, edad meseta)

La datación $^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$ data un mineral portador de potasio mediante la razón $R = {}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ de su argón-40 radiogénico al argón-39 formado a partir de su potasio por irradiación neutrónica. El factor J de una irradiación es $J = (e^{\lambda t_m} - 1)/R_m$, hallado a partir de un monitor de edad conocida $t_m$ y de la razón medida $R_m$, siendo $\lambda$ la constante de desintegración total del potasio-40. Cuando la muestra se desgasifica en etapas de temperatura creciente, su espectro de edades representa la edad de cada etapa frente a la fracción acumulada de argón-39 liberado. Una edad meseta es la media ponderada de las edades de etapas consecutivas que concuerdan dentro de sus incertidumbres y liberan una gran parte del argón-39.

Teorema 13.5 (La edad argón–argón)

Una muestra irradiada junto a un monitor tiene la edad

$$t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).$$

Las constantes son las del método potasio–argón, $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Un monitor habitual es una sanidina de una toba volcánica datada en $28.201\,\mathrm{Ma}$; una razón del monitor $R_m = 1.3129$ da $J = 0.01200$. El argón atmosférico, con $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$, se resta con el argón-36 medido en cada etapa, y el argón formado por neutrones a partir del calcio y del propio potasio se corrige con sales irradiadas en el mismo paquete.

El calentamiento por etapas es la gran fortaleza del método. La muestra se calienta en un horno o con un láser en etapas de temperatura creciente, y cada etapa proporciona una edad. Si el mineral permaneció cerrado desde que se enfrió, todas las etapas coinciden: el espectro es plano. Si perdió argón de los bordes de sus granos, las primeras etapas, que proceden de los bordes, son más jóvenes, y las edades suben en forma de escalera hacia una meseta dada por los núcleos. Los criterios recomendados para una meseta son al menos cinco etapas consecutivas que acumulan más de $50\,\%$ del argón-39, sin tendencia entre ellas; las etapas de baja temperatura de una escalera suelen interpretarse como pérdida de argón radiogénico. El argón en exceso, atrapado a partir de un fluido cuando el mineral creció, produce el efecto contrario: hace que algunas etapas sean demasiado viejas, a menudo la primera y la última, en un espectro con forma de silla de montar. La suma de todas las etapas, la edad del gas total, es lo que habría dado una edad potasio–argón: un promedio que oculta la historia.

13.3 Edades modelo del neodimio

Cuando un fundido se extrae del manto para formar corteza continental, el samario, más compatible, queda en el residuo en mayor proporción que el neodimio: la nueva corteza tiene una razón $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ más baja que su fuente, de unos 0.13 en la mayoría de las rocas corticales, frente a 0.1966 del reservorio condrítico. Su $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ crece entonces más lentamente. Una vez formada, una roca cortical tiende a conservar su razón samario–neodimio, a través de la erosión, la sedimentación e incluso la refusión, de modo que su neodimio recuerda cuándo salió del manto.

Definición 13.6 (Edad modelo)

La edad modelo de una roca en un sistema isotópico es el tiempo en el que su razón, proyectada hacia atrás con la razón padre–hija actual, iguala la de un reservorio modelo. Para el neodimio, $T_{\mathrm{CHUR}}$ emplea el reservorio condrítico uniforme y $T_{\mathrm{DM}}$ el manto empobrecido.

Teorema 13.7 (Edad modelo)

Una muestra con razones actuales $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ y $R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$, comparada con un reservorio de razones actuales $I_m$ y $R_m$, tiene la edad modelo

$$T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right), \qquad \lambda = \lambda_{147}.$$

Con $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{yr}^{-1}$, los reservorios son el condrítico, 0.512638 y 0.1966 en la actualidad, y el manto empobrecido, 0.51315 en la actualidad, en torno a $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$, valor que una evolución cerrada a partir de valores condríticos desde hace $4.55\,\mathrm{Ga}$ da la razón $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. Un granito inventado con $I_s = 0.511900$ y $R_s = 0.1100$ tiene $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ en la actualidad, $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ y $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$. La figura siguiente muestra ambas edades. La edad del manto empobrecido es la mejor estimación, porque la corteza se extrae de un manto ya empobrecido; es la edad media a la que el neodimio de la muestra salió del manto, su edad de residencia cortical. Dos salvedades la limitan: la corteza no debe haber cambiado su razón samario–neodimio desde entonces, y una roca formada por mezcla de corteza antigua con fundidos de manto nuevo tiene una edad modelo intermedia carente de significado.

13.4 Trazas de fisión y helio

El uranio-238 también se desintegra, muy raramente, por fisión espontánea: el núcleo se divide en dos fragmentos que salen despedidos y dejan un rastro de daño en el cristal, de hasta $9\,\mathrm{nm}$ de ancho y unos $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largo en apatito. Atacados con ácido, los rastros se hacen visibles al microscopio. Se recuperan al calentarse el cristal, en un intervalo de unos 20 a $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ según el mineral; en el apatito se acortan en la zona de recocido parcial de unos 60 a $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y desaparecen por encima de ella.

Definición 13.8 (Datación por trazas de fisión, recocido de trazas)

La datación por trazas de fisión data un mineral por la densidad de las trazas que deja en él la fisión espontánea del uranio-238, comparada con su contenido en uranio. El recocido de trazas es el acortamiento y la desaparición de las trazas por reparación del cristal cuando se calienta.

Teorema 13.9 (La edad por trazas de fisión)

Con $\lambda_f$ la constante de desintegración de la fisión espontánea y $\lambda = \lambda_{238}$ la total, un cristal con $N_s$ fisiones espontáneas por unidad de volumen y $N$ átomos de uranio-238 tiene la edad

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).$$

En el laboratorio, el uranio se mide induciendo la fisión del uranio-235 con neutrones térmicos, y la edad pasa a ser

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),$$

con $\rho_s$ y $\rho_i$ las densidades de trazas espontáneas e inducidas, $\rho_d$ la densidad de trazas de un vidrio dosímetro, $g = 0.5$ un factor geométrico y $\zeta$ una constante de calibración obtenida con patrones de edad conocida.

La constante de desintegración por fisión se conoce solo con una incertidumbre de unos $10\,\%$, entre $7.9 \times 10^{-17}$ y $8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{yr}^{-1}$, por lo que la mayoría de laboratorios prefieren la calibración con $\zeta$. Las longitudes de las trazas conservan un registro de la trayectoria térmica. Una roca que se enfrió deprisa a través de la zona de recocido parcial tiene trazas largas de longitud casi igual; una que permaneció en ella tiene trazas más cortas de longitudes muy dispersas, y la edad por trazas de fisión es entonces una edad mixta, no el momento de un paso por una única temperatura.

Cada desintegración alfa emite un núcleo de helio-4. El uranio, el torio y sus cadenas acumulan helio en un cristal, que lo retiene solo cuando está frío.

Definición 13.10 (Datación (U–Th)/He, zona de retención parcial)

La datación (U–Th)/He data un mineral por el helio-4 acumulado a partir de las desintegraciones alfa del uranio, el torio y sus descendientes, comparado con su contenido en uranio y torio. La zona de retención parcial es el intervalo de temperaturas en el que el helio producido se retiene en parte y en parte se pierde por difusión.

Teorema 13.11 (Crecimiento del helio)

Un cristal cerrado al helio durante un tiempo $t$ contiene

$$\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1) + 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1) + 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),$$

en átomos, con los progenitores medidos en la actualidad; el samario-147 añade un término pequeño.

Para un cristal joven, $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$ y la edad se obtiene con una sola división. Una partícula alfa recorre unos $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ antes de detenerse, así que un cristal pierde el helio producido cerca de su superficie; la edad medida se divide entre la fracción retenida $F_T$, que es menor en granos pequeños ($F_T = 0.70$ significa que se ha perdido un $30\,\%$). El apatito cierra al helio hacia 50 a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, el circón a de 160 a $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: con las trazas de fisión del apatito, hacia 90 a $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, los cronómetros de baja temperatura datan los últimos kilómetros del ascenso de una roca hasta la superficie, tal como los empleó el Capítulo 10.

13.5 Nucleidos cosmogénicos

Los rayos cósmicos que chocan contra la atmósfera producen lluvias de partículas secundarias. Los neutrones rápidos que llegan al suelo rompen los núcleos de los minerales de los primeros metros de roca, por espalación: el oxígeno del cuarzo se convierte en berilio-10, y el silicio en aluminio-26. Los muones producen algunos nucleidos a mayor profundidad, y dominan por debajo de unos $3\,\mathrm{m}$.

Definición 13.12 (Nucleido cosmogénico, edad de exposición, tasa de producción)

Un nucleido cosmogénico es un nucleido producido en un mineral en la superficie o cerca de ella por las partículas secundarias de los rayos cósmicos. Su tasa de producción $P$ es el número de átomos producidos por unidad de masa de mineral y por año. La edad de exposición de una superficie es el tiempo transcurrido desde que quedó expuesta por primera vez a los rayos cósmicos, y se obtiene a partir de la concentración de un nucleido cosmogénico.

La tasa de producción disminuye con la profundidad como $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$, donde la longitud de atenuación se toma como $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, unos $60\,\mathrm{cm}$ de granito de densidad $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. En la superficie aumenta con la altitud, porque hay menos aire que proteja la roca, y con la latitud geomagnética, porque el campo desvía menos partículas cerca de los polos. Las tasas se dan para una referencia a nivel del mar y latitud alta, y se escalan a cada lugar: una calibración da $P_0 = 4.96\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$ de berilio-10 en cuarzo para esa referencia. El berilio-10 tiene una vida media de $1.388\,\mathrm{Myr}$, $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Teorema 13.13 (Exposición con desintegración y erosión)

Una superficie que desciende a la tasa constante $\varepsilon$, expuesta durante un tiempo $t$ sin nucleidos heredados, conserva en su superficie la concentración

$$N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad \mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.$$

Sin erosión, $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$; tras un tiempo largo, $N = P_0/\mu$, y sin desintegración esta es la fórmula $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ del volumen de primer año.

Sin erosión la concentración se satura en $P_0/\lambda$ tras unas pocas semividas: una superficie alcanza el $90\,\%$ de ese valor tras $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$, y a partir de ahí ya no puede datarse. Con erosión, el estado estacionario se alcanza antes, tras unas pocas veces $1/\mu$, y su concentración da $\varepsilon$; la tasa se promedia sobre el tiempo $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ que el grano tardó en ascender una longitud de atenuación, unas pocas decenas de miles de años a las tasas de unas pocas decenas de metros por millón de años. Los afloramientos de lecho rocoso se erosionan a unos pocos metros a unas pocas decenas de metros por millón de años; las cuencas fluviales, medidas a partir de la arena de sus ríos, más deprisa.

Dos nucleidos con vidas medias distintas datan el enterramiento. El berilio-10 y el aluminio-26 se producen juntos en el cuarzo en una razón fija; cuando un grano queda enterrado a gran profundidad en una cueva o bajo sedimento grueso, la producción se detiene, y el aluminio-26, que se desintegra más deprisa, se rezaga: la razón entre ambos varía con el tiempo y fecha el enterramiento.

13.6 La estadística de una edad

Una edad lleva asociada su incertidumbre, y un conjunto de edades plantea la cuestión de si concuerdan. Sean $n$ medidas $x_i$ de una misma magnitud con desviaciones típicas $\sigma_i$. Su media ponderada es $\bar x = \sum w_ix_i/W$, con $w_i = 1/\sigma_i^2$ y $W = \sum w_i$, y su desviación típica es $1/\sqrt W$.

Definición 13.14 (Media de los cuadrados de las desviaciones ponderadas)

La media de los cuadrados de las desviaciones ponderadas (MSWD) de $n$ medidas respecto a un modelo ajustado con $p$ parámetros es

$$\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},$$

donde $\hat x_i$ es el valor del modelo: $p = 1$ para una media ponderada, $p = 2$ para una recta como una isócrona o una discordia.

Proposición 13.15 (El MSWD tiene esperanza igual a uno)

Si los $x_i$ son independientes y normales, con media $\mu$ y las desviaciones típicas $\sigma_i$, el MSWD respecto a su media ponderada tiene esperanza 1.

El MSWD se dispersa alrededor de 1 de forma más amplia cuando hay pocos grados de libertad, $f = n - p$: su límite superior al $95\,\%$ es aproximadamente $1 + 2\sqrt{2/f}$, 2.63 para $f = 3$ y 2.15 para $f = 6$. Por encima del límite, las medidas se dispersan más de lo que permiten sus incertidumbres: las muestras no tienen todas la misma edad, o el sistema fue perturbado. Muy por debajo de 1, las incertidumbres estaban sobreestimadas.

Método 13.16 (Ajuste de una isócrona con errores en ambos ejes)

Cuando ambas coordenadas llevan errores $\sigma_{x,i}$, $\sigma_{y,i}$, correlacionados con el coeficiente $r_i$, como en los datos de uranio–plomo e isócronas:

1. partir de la pendiente $b$ de la recta de mínimos cuadrados ordinarios;
2. asignar a cada punto el peso $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$, la inversa de la varianza de su distancia a la recta medida a lo largo de $y$;
3. ajustar la recta ponderada con estos pesos, lo que da una nueva $b$, y volver al paso 2 hasta que $b$ deje de cambiar;
4. calcular el MSWD con los pesos $W_i$ y $n - 2$ grados de libertad, y la incertidumbre de la pendiente y de la ordenada en el origen a partir de los pesos finales.

Con $\sigma_{x,i} = 0$ los pesos no dependen de $b$, y el método se reduce a los mínimos cuadrados ponderados de $y$ sobre $x$ empleados en el problema.

La incertidumbre de una constante de desintegración es la misma para todas las edades de un sistema: no interviene al comparar edades de un mismo sistema, pero debe sumarse al comparar edades de dos sistemas. La constante de desintegración del samario-147, por ejemplo, se conoce con una precisión de unos $0.4\,\%$; las del potasio-40, de desintegración ramificada y lenta, limitan la precisión de las edades de argón.

13.7 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Un circón tiene $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ y $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. Calcúlense sus dos edades uranio–plomo. ¿Es concordante? ¿A qué lado de la concordia se representa?

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} = \ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. Las edades difieren en $6\,\mathrm{Ma}$: el circón es discordante. Su $t_{207}$ es la mayor, por lo que se representa por debajo de la concordia, del lado de la pérdida de plomo.

Ejercicio 13.2 ★

Un monitor de $28.201\,\mathrm{Ma}$ da $R_m = 1.3129$. Calcúlese $J$ con $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y después la edad de una muestra de la misma irradiación con $R = 10.000$ (úsese $J = 0.01200$).

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 = 0.015754/1.3129 = 0.01200$. Entonces $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda = \ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

Ejercicio 13.3 ★

Una lutita tiene $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ y $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. Calcúlense sus $T_{\mathrm{CHUR}}$ y $T_{\mathrm{DM}}$ con los valores del capítulo.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 - 0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda = \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

Ejercicio 13.4 ★

Un bloque de cuarzo sobre una morrena en el sitio de referencia contiene $2.0 \times 10^{5}$ átomos de berilio-10 por gramo. Suponiendo que no hay erosión ni herencia, calcúlese su edad de exposición sin y después con desintegración, con $P_0 = 4.96\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

Sin desintegración, $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{kyr}$. Con desintegración, $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda = 40.7\,\mathrm{kyr}$, un $1\,\%$ más antiguo.

Ejercicio 13.5 ★★

Demuéstrese que cerca del origen la concordia es una recta de pendiente $\lambda_{238}/\lambda_{235}$, y calcúlese. Explíquese por qué la discordia de cristales que perdieron plomo solo muy recientemente pasa por el origen, y qué mide la edad plomo–plomo de tales cristales.

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Para $t$ pequeño, $x \approx \lambda_{235}t$ e $y \approx \lambda_{238}t$, por lo que $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$, pendiente $0.1575$. Si el plomo se perdió muy recientemente, $t_2 \approx 0$ y la intersección inferior es $C(0)$, el origen. A lo largo de una recta que pasa por el origen, $y/x$ es constante, y lo es también $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$: cada cristal proporciona la edad plomo–plomo de la intersección superior, la edad de formación.

Ejercicio 13.6 ★★

Cuatro edades de escalón de una meseta son $296.4 \pm 0.8$, $295.1 \pm 1.0$, $297.0 \pm 0.9$ y $(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). Calcúlense su media ponderada, su desviación típica y el MSWD. ¿Concuerdan?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

Pesos $1.5625$, $1$, $1.2346$, $2.0408$, $W = 5.838$; $\bar x = 296.09\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. Las desviaciones cuadráticas ponderadas suman $2.32$; con $f = 3$, $\mathrm{MSWD} = 0.77$, por debajo de $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$: las edades concuerdan.

Ejercicio 13.7 ★★

Un apatito tiene $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ y $\rho_i = 2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, con $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $g = 0.5$ y una calibración de laboratorio $\zeta = 350\,\mathrm{yr}\,\mathrm{cm}^{2}$. Calcúlese su edad de trazas de fisión ¿Qué suceso data?

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5 \times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda = 95.5\,\mathrm{Ma}$. Si la roca se enfrió rápidamente, data su paso por la zona de recocido parcial del apatito, entre unos 60 y $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; si se enfrió lentamente, es una edad mixta, y las longitudes de las trazas deben aclararlo.

Ejercicio 13.8 ★★

Un apatito contiene $20\,\mathrm{ppm}$ de uranio ($99.2742\,\%$ uranio-238, $0.7204\,\%$ uranio-235 en átomos), $40\,\mathrm{ppm}$ torio-232 (semivida $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{yr}$) y $1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ de helio. Calcúlese su edad (U–Th)/He con la aproximación lineal, y después la edad corregida por eyección alfa con $F_T = 0.75$.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

Por gramo: uranio $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ átomos, de los cuales $5.02 \times 10^{16}$ de uranio-238 y $3.64 \times 10^{14}$ de uranio-235; torio $1.038 \times 10^{17}$, $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{yr}^{-1}$; helio $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. La tasa de producción es $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U + 6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 = 9.57 \times 10^{7}\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, y $t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} = 6.29\,\mathrm{Myr}$. Corregida: $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

Ejercicio 13.9 ★★

Para el berilio-10 en el emplazamiento de referencia, calcúlese la concentración de saturación sin erosión y el tiempo necesario para alcanzar el $90\,\%$ de ella. Calcúlese la concentración estacionaria de una superficie que se erosiona a $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (granito, $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}$, alcanzada al $90\,\%$ tras $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Myr}$. Con $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1}$: $\rho\varepsilon/\Lambda = 2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$ y $N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}$, 35 veces menos.

Ejercicio 13.10 ★★★

Se combinan dos medidas $x_1 \pm \sigma_1$ y $x_2 \pm \sigma_2$ de una misma edad. Demuéstrese que su MSWD respecto a la media ponderada es $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, y demuéstrese directamente que su esperanza es 1 cuando ambas miden la misma edad.

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Con $W = w_1 + w_2$, $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ y $x_2 - \bar x = -w_1(x_1 - x_2)/W$, por lo que $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 + w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; con $f = 1$ esto es el MSWD. Si ambas miden la misma edad, $x_1 - x_2$ tiene media 0 y varianza $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$, por lo que el valor esperado de su cuadrado dividido entre esa varianza es 1.

Ejercicio 13.11 ★★★

Un circón de $2700\,\mathrm{Ma}$ perdió plomo a $500\,\mathrm{Ma}$ y hoy presenta $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. ¿Qué fracción de su plomo perdió? Calcúlese su $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$, sus dos edades uranio–plomo y, por iteración, su edad plomo–plomo. ¿Cuál de las tres edades tiene significado?

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$, $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 - 0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$, la mitad de su plomo. $x = 0.499\times13.283 + 0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$, $t_{207} = 2105\,\mathrm{Ma}$; la razón $x/(137.8\,y) = 0.1681$ da, por iteración, una edad plomo–plomo de $2537\,\mathrm{Ma}$. Ninguna de las tres tiene significado: son mezclas de los dos eventos, y solo las intersecciones las datan. La edad plomo–plomo es un mínimo para la cristalización.

Ejercicio 13.12 ★★★

Una superficie de lecho rocoso en el emplazamiento de referencia contiene $1.0 \times 10^{6}$ átomos de berilio-10 por gramo. Calcúlese su edad de exposición suponiendo que no hay erosión, y después su tasa de erosión suponiendo un estado estacionario. Demuéstrese que cada par $(t, \varepsilon)$ comprendido entre estos dos límites se ajusta a la medición, e indíquese qué segunda medida los separaría.

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

Sin erosión: $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda = 212\,\mathrm{kyr}$. Estado estacionario: $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$. Para cualquier $\varepsilon$ inferior a este valor, $N = P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ fija un $t$, desde $212\,\mathrm{kyr}$ hasta el infinito: una medida tiene dos incógnitas. Un segundo nucleido con otra semivida, como el aluminio-26 en el mismo cuarzo, o la concentración a profundidad en un testigo de sondeo, los separa.

13.8 Problema: circones del granito de Varden

Problema 13.1

Problema de fin de semana — la cristalización, el enfriamiento y la exhumación de un granito inventado, interpretado con cuatro relojes

El granito de las colinas de Varden, región inventada de la serie, fue exhumado ya en el Triásico, sepultado bajo la cobertera mesozoica y devuelto a la superficie. Cinco de sus circones dan, con errores de una desviación típica en $y$ (tómese $x$ como exacto):

circón	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
$x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$	0.3467	0.3260	0.3027	0.2793	0.2535
$y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$	0.04794	0.04505	0.04207	0.03892	0.03553
$\sigma_y$	0.00010	0.00009	0.00008	0.00008	0.00007

Utilícense las constantes del capítulo. Todos los análisis son datos de ejercicio.

Parte I — Los circones.

1. ¿Son concordantes? Calcúlense las dos edades uranio–plomo de cada circón.
2. ¿Por qué disminuyen las edades de Z1 a Z5, con $t_{207} > t_{206}$ para cada uno?
3. Calcúlense las coordenadas Tera–Wasserburg de Z1 y Z5.
4. Con los pesos $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$, calcúlense las medias ponderadas $\bar x$ y $\bar y$, así como $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$.
5. Calcúlense la pendiente $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ y la ordenada en el origen $a$ de la discordia.
6. Compárese $b$ con la pendiente de la concordia cerca de $310\,\mathrm{Ma}$. ¿Qué anticipa esto?

Parte II — Las intersecciones.

7. Búsquese la intersección superior por el método de Newton a partir de $310\,\mathrm{Ma}$.
8. Búsquese la intersección inferior a partir de $100\,\mathrm{Ma}$.
9. Calcúlense los residuos ponderados y el MSWD. ¿Es aceptable el ajuste?
10. La desviación típica de la pendiente es $1/\sqrt{S_{xx}}$. Calcúlese.
11. Gírese la recta alrededor de $(\bar x, \bar y)$ hasta las pendientes $b \pm 2s_b$ y recalcúlese la intersección superior para cada una. ¿Cuál es la incertidumbre de la edad?
12. ¿Qué fracción de su plomo perdieron Z1 y Z5?

Parte III — La biotita. Una biotita del granito, irradiada con un monitor de $28.201\,\mathrm{Ma}$ que da $R_m = 1.3129$, se desgasifica en diez etapas:

etapa	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$)	4	6	8	12	14	15	14	12	9	6
$R$	7.225	11.226	13.937	14.891	14.820	14.869	14.918	14.847	14.907	14.804
edad ($\mathrm{Ma}$)		228.0	279.0		295.3	296.2	297.1	295.8	296.9
$\sigma$ ($\mathrm{Ma}$)	0.6	0.9	1.0	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1

13. Calcúlese $J$; redondéese a 0.01200.
14. Calcúlense las edades de las etapas 1, 4 y 10.
15. ¿Qué etapas forman una meseta según los criterios del capítulo?
16. Calcúlense la edad meseta, su desviación típica y su MSWD.
17. Calcúlense la razón y la edad del gas total. ¿Por qué es más joven que la meseta?
18. Suponiendo que el granito cristalizó a $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y que la biotita cierra a $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calcúlese la velocidad media de enfriamiento.
19. ¿Qué pudo ocurrir en la intersección inferior? ¿Es el espectro de argón consistente con ella?

Parte IV — La exhumación. Cuatro apatitos, muestreados en una ladera de las colinas, dan edades (U–Th)/He de 43.1, 46.0, 49.2 y $52.0\,\mathrm{Ma}$ a 310, 370, 430 y $490\,\mathrm{m}$. La cima del granito, en una cresta suave de colina en un emplazamiento donde $P_0 = 5.6\,\text{átomos}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{yr}^{-1}$, contiene $1.64 \times 10^{5}$ átomos de berilio-10 por gramo de cuarzo.

20. Calcúlese la pendiente de la relación edad–altitud, en metros por millón de años.
21. Con una temperatura de cierre de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, una superficie a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y una geoterma de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$, ¿a qué profundidad cerró el apatito más bajo? ¿Qué velocidad media de exhumación se deduce desde entonces?
22. Calcúlese la tasa de erosión actual a partir del berilio-10, suponiendo un estado estacionario.
23. ¿Qué tasa da la fórmula del volumen de primer año, sin desintegración?
24. ¿Sobre qué intervalo de tiempo se promedia la tasa del berilio-10? Compárense las tres tasas.
25. Establézcase la edad de cristalización del granito de Varden con su incertidumbre.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $t_{206}$ / $t_{207}$, en $\mathrm{Ma}$: Z1 301.9 / 302.2, Z2 284.1 / 286.5, Z3 265.7 / 268.5, Z4 246.1 / 250.1, Z5 225.1 / 229.4. Un error de $0.2\,\%$ en $y$ equivale a unos $0.6\,\mathrm{Ma}$: Z1 es concordante dentro del error; las demás son discordantes, cada vez más discordantes desde Z2 hasta Z5.

2. Los circones perdieron fracciones crecientes de su plomo en un evento posterior: se sitúan cada vez más abajo sobre la discordia. La discordia queda por debajo de la concordia cóncava, donde $x$ es mayor para un $y$ dado: $t_{207} > t_{206}$.

3. Z1: $X = 1/0.04794 = 20.859$, $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) = 0.05248$. Z5: $X = 28.145$, $Y = 0.05178$.

4. Pesos $1.000$, $1.235$, $1.563$, $1.563$, $2.041$ (en $10^8$); $\bar x = 0.29402$, $\bar y = 0.040892$, $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

5. $b = 0.13260$, $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

6. A $310\,\mathrm{Ma}$, $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\, e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. La discordia solo es $9\,\%$ más empinada que la concordia: la corta con un ángulo pequeño, y la intersección superior será imprecisa.

7. Newton desde $310\,\mathrm{Ma}$: $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

8. Desde $100\,\mathrm{Ma}$: $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

9. $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$, $-0.91$, $0.35$, $-0.24$, $0.17$; $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$, por debajo del límite $2.63$ para $f = 3$: los circones se ajustan a una sola recta.

10. $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

11. Con $b - 2s_b = 0.13034$, la intersección superior es $322.9\,\mathrm{Ma}$; con $b + 2s_b = 0.13485$, $302.6\,\mathrm{Ma}$. La edad es $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ a dos desviaciones típicas.

12. $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$: Z1 $4.7\,\%$, Z5 $41\,\%$.

13. $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$, $0.01200$.

14. Paso 1: $150.0\,\mathrm{Ma}$; paso 4: $296.6\,\mathrm{Ma}$; paso 10: $295.0\,\mathrm{Ma}$.

15. Pasos 4 a 10: siete pasos consecutivos, $82\,\%$ del argón-39, sin tendencia. Los pasos 1 a 3 suben en escalera.

16. Errores iguales: la media es $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$; la suma de los cuadrados de las desviaciones es $3.83$, $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$, por debajo de $2.15$.

17. $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$, $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$: el argón perdido de los bordes, liberado en los primeros pasos, reduce la media, como lo haría con una edad potasio–argón.

18. $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ (con un intervalo amplio, ya que la edad del circón se conoce con $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

19. Hacia $100\,\mathrm{Ma}$ el granito estaba enterrado bajo la cobertera mesozoica, y un calentamiento o una circulación de fluidos hizo que los circones perdieran plomo. La biotita perdió argón de sus bordes, lo que registra la escalera; su paso más bajo, $150\,\mathrm{Ma}$, es una mezcla de argón antiguo y reajustado. La meseta se conservó: la biotita no se calentó lo suficiente para perder todo su argón.

20. La pendiente de mínimos cuadrados de la altitud frente a la edad es $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

21. $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$; desde $43.1\,\mathrm{Ma}$, una media de $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

22. $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} - 0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times 160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{yr}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$.

23. $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$, $1.5\,\%$ más: la desintegración apenas influye a esta tasa.

24. $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{kyr}$. El granito se elevó a unos $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ entre 52 y $43\,\mathrm{Ma}$, a $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ de media desde entonces, y erosiona a $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Myr}^{-1}$ en la actualidad: la exhumación fue más rápida en algún momento del Cenozoico.

25. El granito de Varden cristalizó hace $(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$ (intersección superior, a dos desviaciones típicas).