28Exoplanetas

En el otoño de 1994, dos astrónomos que medían las velocidades de 142 estrellas hallaron que una de ellas, 51 Pegasi, se acercaba a la Tierra y se alejaba de ella con un período de unos cuatro días. La semiamplitud del movimiento era $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, cuatro veces lo que podía detectar su espectrógrafo. El compañero que arrastraba a la estrella tenía al menos la mitad de la masa de Júpiter, en una órbita de $0.05\,\mathrm{au}$, ocho veces más cerca de su estrella que Mercurio del Sol. Ninguna teoría de formación planetaria tenía cabida para un cuerpo así. El descubrimiento, anunciado en octubre de 1995, abrió un nuevo campo de la astronomía: tres décadas después se han confirmado más de seis mil planetas alrededor de otras estrellas, unos pocos se han observado directamente y se ha analizado la atmósfera de algunos. Este capítulo muestra cómo se encuentran los planetas demasiado tenues para verse, qué se ha encontrado y cómo se leen sus atmósferas.

Lo que ya sabes

El efecto Doppler, la velocidad radial, las binarias espectroscópicas, las leyes de Kepler, el problema de los dos cuerpos y su centro de masas, la ley de Planck y la altura de escala de una atmósfera isoterma están en los libros de física. Un exoplaneta y la zona habitable de una estrella están en los libros escolares. El flujo y la luminosidad de una fuente están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre telescopios y fotometría; la temperatura de equilibrio, en su capítulo sobre planetología comparada. La formación planetaria y la línea de nieve están en el volumen de segundo año. El escape de Jeans y el escape hidrodinámico y los límites de la zona habitable están en este volumen, en su capítulo sobre atmósferas planetarias.

28.1 El método de la velocidad radial

Un planeta no orbita a su estrella: ambos orbitan alrededor de su centro de masas común. La estrella, mucho más pesada, describe una pequeña órbita propia, y su luz se desplaza por efecto Doppler de ida y vuelta con el período del planeta.

Definición 28.1 (Método de la velocidad radial; masa mínima)

El método de la velocidad radial detecta un planeta por la variación periódica de la velocidad radial de su estrella, medida a partir del desplazamiento Doppler de las líneas del espectro de la estrella. Cuando la inclinación $i$ de la órbita respecto al plano del cielo es desconocida, solo se mide el producto $m_p\sin i$ de la masa del planeta por el seno de la inclinación, la masa mínima del planeta.

Teorema 28.2 (Semiamplitud de la velocidad radial)

Una estrella de masa $M_\star$ y un planeta de masa $m_p$ en una órbita circular de período $P$ e inclinación $i$, dan a la estrella una velocidad radial $v_r(t) = \gamma + K\cos\bigl(2\pi(t - t_0)/P\bigr)$, con $\gamma$ la velocidad del centro de masas y la semiamplitud

$$K = \left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3} \frac{m_p\sin i}{(M_\star + m_p)^{2/3}} .$$

En una órbita de excentricidad $e$ la curva ya no es una sinusoide, $v_r = \gamma + K\bigl[\cos(\nu + \omega) + e\cos\omega\bigr]$, con $\nu$ la anomalía verdadera y $\omega$ el argumento del periastro, y $K$ se divide por $\sqrt{1 - e^2}$.

Como el planeta es mucho más ligero que su estrella, $K$ fija $m_p\sin i$ una vez medido el período y conocida la masa de la estrella a partir de su espectro. Para 51 Pegasi b, $K = 59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $P = 4.23\,\mathrm{d}$ alrededor de una estrella de una masa solar dan $m_p\sin i = 0.47$ masas de Júpiter. Júpiter mueve al Sol a $12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ en su órbita de $4331$ días; un observador lejano vería la velocidad del Sol oscilar unos $\pm 13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a lo largo de doce años. La Tierra mueve al Sol a $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. El espectrógrafo que halló 51 Pegasi b alcanzó $13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; sus sucesores llegan a unos $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (un ritmo de paseo de $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$), y el más reciente está pensado para unos $10\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$, suficiente para un planeta de masa terrestre en la zona habitable de una estrella de baja masa, donde la órbita del planeta es corta y su estrella es de poca masa. La propia estrella fija un límite inferior: las pulsaciones y las manchas de su superficie, arrastradas por su rotación, desplazan también sus líneas, y la señal de un planeta debe distinguirse de ellas.

28.2 Tránsitos

Si la órbita se ve casi de canto, el planeta pasa delante de su estrella una vez por órbita y oculta una pequeña parte de su disco.

Definición 28.3 (Método de los tránsitos; profundidad del tránsito; parámetro de impacto)

El método de los tránsitos detecta un planeta mediante el oscurecimiento periódico de su estrella cuando el planeta cruza el disco estelar. La profundidad del tránsito $\delta$ es la caída fraccionaria del flujo de la estrella durante el tránsito. El parámetro de impacto $b = a\cos i/R_\star$ es la menor distancia entre los centros del planeta y de la estrella, vista en el cielo, en unidades del radio estelar $R_\star$, para una órbita de radio $a$ e inclinación $i$.

Proposición 28.4 (Profundidad del tránsito)

Un planeta oscuro de radio $R_p$ situado por completo delante de una estrella de brillo uniforme proporciona la profundidad $\delta = (R_p/R_\star)^2$.

Si Júpiter cruzara el Sol, lo oscurecería en $1.06\,\%$, y la Tierra lo haría en $84$ partes por millón: la primera está al alcance de un telescopio pequeño, la segunda requiere un telescopio espacial que mida miles de estrellas durante años. Sin embargo, el disco estelar no es uniforme.

Definición 28.5 (Oscurecimiento del limbo)

El oscurecimiento del limbo es la disminución del brillo superficial de una estrella desde el centro de su disco hasta el borde, el limbo. Cerca del limbo, la línea de visión atraviesa la atmósfera de la estrella oblicuamente y alcanza la profundidad óptica unidad en capas más altas y más frías, que emiten menos. Suele expresarse como una ley cuadrática en $\mu = \cos\theta = \sqrt{1 - r^2}$, siendo $r$ la distancia al centro del disco en radios estelares: $I(\mu)/I(1) = 1 - u_1(1 - \mu) - u_2(1 - \mu)^2$.

Un planeta cercano al centro de un disco con oscurecimiento del limbo oculta luz más brillante que la media y profundiza el tránsito; cerca del limbo oculta menos. La parte inferior de la curva de luz es redondeada, y sus bordes se suavizan. La duración de un tránsito guarda información sobre la geometría.

Teorema 28.6 (Duración del tránsito)

Para una órbita circular de período $P$, radio $a$ e inclinación $i$, con $p = R_p/R_\star$ y parámetro de impacto $b$, el tiempo desde el primer contacto hasta el último es

$$T_{14} = \frac{P}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{R_\star}{a}\, \frac{\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}}{\sin i}\right),$$

y el tiempo entre el segundo y el tercer contacto, cuando el planeta está completamente dentro del disco, $T_{23}$, viene dado por la misma fórmula con $1 - p$ en lugar de $1 + p$.

Para una órbita amplia, el arcoseno se reduce a su argumento: $T_{14} \approx (P/\pi) (R_\star/a)\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}$. Un tránsito central dura más; uno rasante, con $b$ cercano a $1 + p$, es corto y con forma de V. Medir $T_{14}$ y $T_{23}$ en una curva de luz permite obtener $b$ y $a/R_\star$, y con ello la inclinación: el tránsito elimina el $\sin i$ que la velocidad radial deja sin determinar.

Proposición 28.7 (Probabilidad de tránsito)

Un planeta en una órbita circular de radio $a$, orientada al azar, transita su estrella (con $b < 1$) con probabilidad $R_\star/a$.

Un observador lejano vería la Tierra transitar el Sol con una probabilidad de $0.47\,\%$, y Júpiter con $0.09\,\%$. Un sondeo de tránsitos solo ve una pequeña fracción de los planetas que orbitan las estrellas que observa, y sobre todo los que están cerca de su estrella.

Cada método, por sí solo, deja algo fuera. La velocidad radial da $m_p\sin i$; el tránsito da $R_p/R_\star$ e $i$. Juntos proporcionan la masa verdadera y el radio, y por tanto la densidad media $\bar\rho = 3m_p/4\pi R_p^3$, la primera pista sobre de qué está hecho un planeta. Los primeros tránsitos, comunicados a comienzos de 2000, fueron los de un planeta ya conocido por la velocidad de su estrella, HD 209458 b. Sus dos tránsitos mostraron el oscurecimiento del limbo de la estrella y dieron un radio de 1.27 radios de Júpiter con una inclinación de $87.1{}^{\circ}$. Con la masa y el radio del archivo, su densidad media es $0.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, un tercio la del agua: un gigante gaseoso hinchado por el calor de su estrella.

Un planeta que transita mantiene el tiempo. Si un segundo planeta tira de él, sus tránsitos se adelantan o se retrasan siguiendo un patrón que se repite con la interacción gravitatoria.

Definición 28.8 (Variación del tiempo de tránsito)

Una variación del tiempo de tránsito es la desviación de los instantes de los tránsitos de un planeta respecto de una sucesión estrictamente periódica, causada por la atracción gravitatoria de otro cuerpo del sistema; puede revelar, y pesar, planetas que no transitan por sí mismos.

Un descenso en una curva de luz no siempre es un planeta. Un par de estrellas eclipsantes que roza, o un par eclipsante débil situado detrás del objetivo cuya luz se diluye con la de este, puede imitar un tránsito. Un candidato se convierte en planeta cuando se mide su masa, por velocidad radial o por variaciones de los tiempos, o cuando se han descartado todas las demás explicaciones.

28.3 Imagen directa y microlente

Definición 28.9 (Imagen directa; coronógrafo)

La imagen directa detecta un planeta por su propia luz, reflejada o emitida, separada en el cielo de la luz de su estrella. Un coronógrafo es un instrumento que bloquea la luz de la estrella en el foco del telescopio, mediante una máscara o mediante la interferencia de la luz, de modo que se pueden ver fuentes débiles cercanas a la estrella.

La dificultad es doble. Una órbita de $1\,\mathrm{au}$ vista desde $10\,\mathrm{pc}$ abarca solo $0.1{}^{\prime\prime}$, y el planeta es muchos órdenes de magnitud más débil que su estrella. Los planetas gigantes jóvenes son los objetivos más fáciles: todavía calientes por su formación, brillan en el infrarrojo, donde el contraste con su estrella es menor. En 2008, unas imágenes tomadas con dos grandes telescopios mostraron tres planetas alrededor de la estrella HR 8799, a separaciones proyectadas de 24, 38 y $68\,\mathrm{au}$, desplazándose en sentido antihorario de un año a otro; su baja luminosidad y la edad del sistema les dan entre 5 y 13 masas de Júpiter. El planeta de la fotografía siguiente se encuentra a $0.82{}^{\prime\prime}$ de su estrella; los coronógrafos del telescopio espacial alcanzan un contraste de $1 \times 10^{-5}$ a $1{}^{\prime\prime}$ a $4.4\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Un cuarto método usa la gravedad como lente. Cuando una estrella pasa casi exactamente delante de otra más lejana, su gravedad curva la luz de la estrella de fondo y la hace brillar durante unas semanas; un planeta de la estrella que actúa de lente añade un breve destello.

Definición 28.10 (Microlente gravitatoria; radio de Einstein)

La microlente gravitatoria es el aumento temporal del brillo de una estrella de fondo cuando una estrella de primer plano, la lente, pasa cerca de la línea de visión; las imágenes que forma están demasiado juntas para resolverse. El radio de Einstein es el radio angular $\theta_\mathrm E$ del anillo en el que una lente puntual de masa $M$ situada a la distancia $D_L$ desviaría una fuente situada a la distancia $D_S$ exactamente detrás de ella:

$$\theta_\mathrm E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\,\frac{D_S - D_L}{D_L D_S}} .$$

Proposición 28.11 (Amplificación de una lente puntual)

Una fuente situada a la distancia angular $u\,\theta_\mathrm E$ de una lente puntual se aclara en el factor

$$A(u) = \frac{u^2 + 2}{u\sqrt{u^2 + 4}} .$$

Ambos resultados provienen de la desviación de la luz por una masa en la relatividad general. Para una lente de media masa solar, situada a mitad de camino de una fuente que dista $8\,\mathrm{kpc}$, $\theta_\mathrm E = 0.71\,\mathrm{mas}$, y el anillo de Einstein, a la distancia de la lente, tiene un radio de $2.9\,\mathrm{au}$. Para $u = 1$ la fuente se aclara 1.34 veces, y para $u = 0.1$, diez veces. Un planeta situado cerca del anillo de Einstein de su estrella añade una desviación breve a la curva de luz. Así, la microlente permite encontrar planetas a unas pocas unidades astronómicas de sus estrellas, planetas fríos que los tránsitos y las velocidades radiales no detectan, pero cada evento ocurre una sola vez y nunca se repite. En un evento de 2003, publicado al año siguiente, una desviación que duró unos siete días solo se explicó mediante un compañero de $0.0039$ veces la masa de la lente: un planeta de unas 1.5 masas de Júpiter situado a unas $3\,\mathrm{au}$ de su estrella.

Cada método tiene su propio sesgo, y el catálogo de planetas conocidos los refleja. Las velocidades radiales favorecen los planetas masivos cercanos a sus estrellas; los tránsitos favorecen los planetas grandes cercanos a sus estrellas, y necesitan que la órbita esté de canto; la microlente encuentra planetas a unas pocas unidades astronómicas; la imagen encuentra gigantes jóvenes a decenas o cientos de unidades astronómicas. La figura siguiente muestra el resultado: cada método ocupa su propia región, y los planetas del Sistema Solar caen en su mayoría en los huecos que quedan entre ellas.

Datos de 2026

El 23 de octubre de 2026 el NASA Exoplanet Archive recogía 6451 planetas confirmados. Por método de descubrimiento: 4785 por tránsitos, 1204 por velocidad radial, 292 por microlente, 98 por imagen, 29 por variaciones del tiempo de tránsito y el resto por métodos más raros, entre ellos los primeros de todos, hallados en 1992 alrededor de un púlsar mediante la medida del tiempo de sus pulsos. Los primeros descubrimientos por velocidad radial datan de 1995, por tránsito de 2002, y por microlente e imagen de 2004.

28.4 Lo que se ha encontrado

La primera sorpresa fue la de los júpiteres calientes, planetas gigantes en órbitas de unos pocos días. 51 Pegasi b no puede haberse formado tan cerca de su estrella; debe de haberse formado más lejos, quizá a unas pocas unidades astronómicas, más allá de la línea de nieve de su disco, y migró hacia el interior por su interacción con el disco, tal como había predicho la teoría.

Definición 28.12 (Júpiter caliente; supertierra; subneptuno)

Un júpiter caliente es un planeta gigante en una órbita cercana, que suele considerarse con una masa mínima superior a 0.1 masas de Júpiter y un periodo menor que diez días. Una supertierra es un planeta mayor que la Tierra pero menor que el valle de radios, es decir, de hasta unos 1.5 a 2 radios terrestres, y por ello probablemente rocoso. Un subneptuno es un planeta por encima del valle de radios pero menor que Neptuno, de unos 2 a 4 radios terrestres, cuyo radio exige una envoltura de gases ligeros o volátiles.

Definición 28.13 (Tasa de ocurrencia)

La tasa de ocurrencia de una clase de planetas es el número medio de tales planetas por estrella, o la fracción de estrellas que albergan uno, en un intervalo dado de tamaño (o masa) y periodo, una vez corregidos los recuentos de un sondeo por los planetas que no pudo detectar: los que tienen órbitas no alineadas para un tránsito, y los demasiado pequeños o demasiado lejanos para verse.

Los júpiteres calientes, prominentes en el catálogo porque son los más fáciles de encontrar, son raros: un sondeo por el método de la velocidad radial de estrellas cercanas de tipo solar las halló en $(1.2 \pm 0.38)\,\%$ de las estrellas. Los planetas pequeños son comunes. Al buscar en las curvas de luz de $42\,000$ estrellas observadas por el telescopio espacial Kepler, un estudio halló 603 planetas, diez de ellos del tamaño de la Tierra (de 1 a 2 radios terrestres) y que recibían entre una y cuatro veces la insolación de la Tierra; una vez corregido por la probabilidad de tránsito y por los planetas que la búsqueda no detectaría, $(11 \pm 4)\,\%$ de las estrellas de tipo solar albergan un planeta de ese tipo.

Los tamaños de los planetas pequeños no se reparten de manera uniforme. Entre los planetas de órbita cercana medidos con precisión, los de 1.5 a 2.0 radios terrestres son al menos dos veces más escasos que los inmediatamente menores o mayores.

Definición 28.14 (Valle de radios)

El valle de radios es el déficit de planetas con radios de entre unos 1.5 y 2.0 radios terrestres entre los planetas con periodos menores de unos cien días; separa las supertierras de los subneptunos.

El valle se interpreta como la huella del escape. Un núcleo rocoso que nace con una envoltura de hidrógeno y helio de apenas unos pocos por ciento de su masa tiene el doble radio del núcleo desnudo. Cerca de una estrella joven y activa, tal envoltura se calienta y se pierde por escape hidrodinámico: por la radiación de alta energía de la estrella durante los primeros cien millones de años (fotoevaporación), o por el calor del propio núcleo en enfriamiento (pérdida de masa impulsada por el núcleo). Los modelos agrupan los planetas en núcleos desnudos de unos 1.3 radios terrestres y planetas del doble de ese tamaño; quedan pocos en medio. Los dos mecanismos dependen de forma distinta de la estrella, y los planetas en torno a estrellas de tipos distintos podrían distinguirlos.

Definición 28.15 (Relación masa–radio)

La relación masa–radio de una composición es el radio de un planeta de esa composición en función de su masa, calculado a partir de las ecuaciones de estado de sus materiales en equilibrio hidrostático; un planeta medido se compara con las relaciones de las composiciones candidatas.

Un planeta rocoso se comprime por su propio peso, y su radio crece más lentamente que $M^{1/3}$. Un ajuste a modelos de planetas de dos capas construidos sobre el modelo sísmico de la Tierra da $R/R_\oplus = (1.07 - 0.21\,C) (M/M_\oplus)^{1/3.7}$, para masas de 1 a 8 masas terrestres y una fracción de masa del núcleo $C$ de 0 a 0.4; ajustado a la Tierra, a Venus y a unos pocos exoplanetas, da $C = 0.26 \pm 0.07$. Un planeta de hierro es más pequeño a la misma masa; un planeta compuesto a mitad por agua, mayor; una envoltura de hidrógeno de apenas el dos por ciento de la masa convierte un planeta de cinco masas terrestres y $2.6$ radios terrestres, del tamaño de un subneptuno. La degeneración es real: un radio y una masa dan una densidad, y varias mezclas de hierro, roca, agua y gas pueden compartirla. El planeta rocoso Kepler-10 b, de 3.24 masas terrestres y 1.47 radios terrestres, tiene una densidad media de $5.6\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; el gigante gaseoso WASP-39 b, de 89 masas terrestres y 14.3 radios terrestres, $0.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

28.5 Atmósferas

Un planeta en tránsito puede pesarse y medirse; también puede olerse. Durante un tránsito, un anillo delgado de la atmósfera del planeta se interpone frente a la estrella, y la luz estelar la atraviesa filtrada. A las longitudes de onda en las que un gas de la atmósfera absorbe, el anillo es opaco a mayor altura, y el planeta parece más grande.

Definición 28.16 (Espectroscopía de transmisión; eclipse secundario)

La espectroscopía de transmisión mide la profundidad del tránsito en función de la longitud de onda, para detectar los gases de la atmósfera que atraviesa la luz estelar en el limbo del planeta. Un eclipse secundario es el paso de un planeta por detrás de su estrella, media órbita después del tránsito en una órbita circular; la caída del flujo del sistema mide entonces la luz del lado diurno del planeta.

Proposición 28.17 (Señal de transmisión)

Una atmósfera de altura de escala $H \ll R_p$, opaca a lo largo de $n$ alturas de escala más en la longitud de onda de una banda de absorción que en las longitudes de onda vecinas, profundiza allí el tránsito en

$$\Delta\delta \approx n\,\frac{2HR_p}{R_\star^2} .$$

La altura de escala $H = kT/\bar m g$ es grande en un planeta caliente de gravedad baja y aire ligero de hidrógeno, y pequeña en un planeta frío y denso de aire pesado. Para la Tierra vista frente al Sol, con $H = 8\,\mathrm{km}$, cada altura de escala añade 0.2 partes por millón; para un gigante gaseoso caliente e hinchado, varios cientos.

Proposición 28.18 (Profundidad del eclipse secundario)

Si el lado diurno de un planeta radía como un cuerpo negro a la temperatura $T_d$ y la estrella como uno a $T_\star$, el eclipse secundario a la longitud de onda $\lambda$ tiene la profundidad

$$\delta_\mathrm{ecl} \approx \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 \frac{B_\lambda(T_d)}{B_\lambda(T_\star)},$$

con $B_\lambda$ la ley de Planck, despreciando la luz reflejada por el planeta.

El eclipse es más profundo en el infrarrojo, donde el planeta frío resulta más brillante en relación con su estrella: da la temperatura del lado diurno, y un lado diurno caliente junto a un lado nocturno frío revela una atmósfera delgada o ausente que no reparte el calor.

Datos de 2023

En 2022 el espectro de transmisión del gigante gaseoso WASP-39 b, medido entre 3.0 y $5.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ por el telescopio espacial James Webb, mostró una banda de absorción prominente del dióxido de carbono a $4.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, a 26 desviaciones típicas, donde las fotometrías anteriores solo habían insinuado el gas: su primera identificación clara en la atmósfera de un exoplaneta. En 2023 se observaron cinco eclipses secundarios de TRAPPIST-1 b, de tamaño terrestre, que recibe cuatro veces la luz solar de la Tierra desde una estrella fría y pequeña; se midieron a $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Encajan con el calor reirradiado solo desde el lado diurno, sin dióxido de carbono detectable: el planeta tiene poca o ninguna atmósfera que lleve calor a su lado nocturno.

Los planetas rocosos de las zonas habitables de las estrellas pequeñas están al alcance de estos métodos, en el límite. Si conservaron su atmósfera frente a los procesos de escape del capítulo anterior es ahora una cuestión observacional.

28.6 Ejercicios

Ejercicio 28.1 ★

(a) Calcúlese la semiamplitud de la velocidad radial del Sol causada por Júpiter (masa $1898 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, periodo $4331$ días, excentricidad 0.049) y por la Tierra (masa $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, periodo $365.2$ días, excentricidad 0.017). La masa del Sol es $1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$. (b) Conviértanse las precisiones $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a metros por segundo, y compárense.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

(a) $K = (2\pi G/P)^{1/3}m_p/\bigl((M_\odot + m_p)^{2/3}\sqrt{1 - e^2}\bigr)$. Júpiter: $P = 3.742 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $(2\pi G/P)^{1/3} = 1.039 \times 10^{-6}$ en unidades SI, $K = 1.039 \times 10^{-6}\times1.898 \times 10^{27}/(1.990 \times 10^{30})^{2/3}/0.9988 = 12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La Tierra: $P = 3.155 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $K = 0.089\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, unos $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.97\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.097\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La señal de Júpiter es trece veces la primera precisión; la de la Tierra es inferior incluso a la segunda, y el ruido propio de la estrella se superpone.

Ejercicio 28.2 ★

(a) Calcúlese la profundidad de tránsito de Júpiter (radio $71\,492\,\mathrm{km}$) y de la Tierra (radio $6378\,\mathrm{km}$) sobre el Sol (radio $695\,700\,\mathrm{km}$). (b) Calcúlese la probabilidad de que un observador colocado al azar vea cada uno de ellos en tránsito, con radios orbitales de $778.5$ y $149.6\,\mathrm{M}\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

(a) $(71492/695700)^2 = 0.0106$, una caída de $1.06\,\%$; $(6378/695700)^2 = 8.4 \times 10^{-5}$, 84 partes por millón. (b) $R_\star/a$: la Tierra $695700/1.496 \times 10^{8} = 4.7 \times 10^{-3}$, aproximadamente una posibilidad entre 215; Júpiter $695700/7.785 \times 10^{8} = 8.9 \times 10^{-4}$, una posibilidad entre 1100.

Ejercicio 28.3 ★

51 Pegasi b produce en su estrella una semiamplitud de la velocidad radial de $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, con un periodo de $4.23\,\mathrm{d}$. Tomando la masa de la estrella igual a la del Sol, calcúlense la masa mínima del planeta, en masas de Júpiter y en masas terrestres, y el radio de su órbita.

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

$m_p\sin i \approx K M_\odot^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3}$ con $P = 3.655 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $(P/2\pi G)^{1/3} = 9.55 \times 10^{4}$ en unidades SI, así que $m_p \sin i = 59\times(1.9884 \times 10^{30})^{2/3}\times9.55 \times 10^{4} = 8.9 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, es decir, 0.47 masas de Júpiter o 149 masas terrestres (la corrección de $m_p$ en $M_\star + m_p$ es inferior a una parte entre mil). $a = \bigl(GM_\odot P^2/4\pi^2\bigr)^{1/3} = 7.66 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.051\,\mathrm{au}$.

Ejercicio 28.4 ★

Una estrella de media masa solar a $4\,\mathrm{kpc}$ actúa como lente sobre una estrella a $8\,\mathrm{kpc}$ ($1\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$). (a) Calcúlese su radio de Einstein en milisegundos de arco y el radio del anillo de Einstein, en unidades astronómicas, a la distancia de la lente. (b) Calcúlese la amplificación para $u = 1$, $0.5$ y $0.1$. (c) ¿Cuánto tarda la lente en atravesar un radio de Einstein si se desplaza a través de la línea de visión a $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$?

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

(a) $4GM/c^2 = 4\times6.674 \times 10^{-11}\times9.94 \times 10^{29}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 2953\,\mathrm{m}$; $(D_S - D_L)/(D_LD_S) = 1/D_S\times(D_S - D_L)/D_L = 1/(8\,\mathrm{kpc}) = 1/2.469 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$. $\theta_\mathrm E = \sqrt{2953/2.469 \times 10^{20}} = 3.46 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 0.71\,\mathrm{mas}$. En la lente, $R_\mathrm E = \theta_\mathrm E D_L = 3.46 \times 10^{-9}\times 1.234 \times 10^{20}\,\mathrm{m} = 4.27 \times 10^{11}\,\mathrm{m} = 2.85\,\mathrm{au}$. (b) $A(1) = 3/\sqrt5 = 1.34$; $A(0.5) = 2.25/(0.5\times2.062) = 2.18$; $A(0.1) = 2.01/(0.1\times2.002) = 10.0$. (c) $t_\mathrm E = 4.27 \times 10^{11}/2 \times 10^{5} = 2.13 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, unos 25 días: los eventos de microlente gravitacional duran semanas.

Ejercicio 28.5 ★★

Un planeta de razón de radios $p = 0.12$ orbita una estrella de una masa solar y un radio solar en $3.0\,\mathrm{d}$. (a) Calcúlese $a/R_\star$. (b) Calcúlense $T_{14}$ y $T_{23}$ para $b = 0$ y para $b = 0.7$, y la inclinación en el segundo caso. (c) ¿Cómo permite la forma de la curva de luz distinguir un tránsito central de uno rasante?

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

(a) $a = (GM_\odot P^2/4\pi^2)^{1/3} = 6.09 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ ($0.0407\,\mathrm{au}$), así que $a/R_\star = 8.75$. (b) Con $P/\pi = 22.9\,\mathrm{h}$, para $b = 0$:

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{1.12}{8.75} = 2.94\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{0.88}{8.75} = 2.31\,\mathrm{h}.$$

Para $b = 0.7$: $\cos i = 0.7/8.75$, $i = 85.4{}^{\circ}$, $(a/R_\star)\sin i = 8.726$, y

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{1.2544 - 0.49}}{8.726} = 2.30\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{0.7744 - 0.49}}{8.726} = 1.40\,\mathrm{h}.$$

(c) La entrada y la salida ocupan $(T_{14} - T_{23})/T_{14} = 21\,\%$ del tránsito cuando es central, $39\,\%$ para $b = 0.7$; un tránsito rasante, $b \to 1$, no tiene fondo plano y tiene forma de V.

Ejercicio 28.6 ★★

A partir de las masas y los radios del Exoplanet Archive, calcúlense las densidades medias de TRAPPIST-1 b (1.374 masas terrestres, 1.116 radios terrestres), Kepler-10 b (3.24, 1.47), WASP-39 b (89.31, 14.34) y HD 209458 b (232.0, 15.58), con $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$. ¿Cuáles son rocosos y cuáles gaseosos?

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

$\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3$, con $\tfrac43\pi R_\oplus^3 = 1.087 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$: TRAPPIST-1 b $1.374\times5.97 \times 10^{24}/(1.116^3\times 1.087 \times 10^{21}) = 5.43\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; Kepler-10 b $5.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; WASP-39 b $0.167\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; HD 209458 b $0.337\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Los dos primeros son tan densos como la Tierra ($5.49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ con las mismas constantes) y son planetas rocosos; los dos últimos son gigantes gaseosos, más ligeros que el agua, y WASP-39 b es ocho veces más ligero que Júpiter.

Ejercicio 28.7 ★★

La velocidad radial de una estrella con un planeta en una órbita excéntrica varía entre $+50.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $-9.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, y la velocidad del centro de masas del sistema es $12.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Utilizando la forma excéntrica del teorema, calcúlese $K$ y $e\cos\omega$. ¿Por qué la media de los dos extremos puede diferir de $\gamma$?

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

Los extremos son $\gamma + K(1 + e\cos\omega)$ y $\gamma - K(1 - e\cos\omega)$. Su diferencia es $2K = 60.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que $K = 30.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; su media es $\gamma + Ke\cos\omega = 20.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que $Ke\cos\omega = 8.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $e\cos\omega = 0.27$. En una órbita excéntrica, la estrella se demora cerca del apoastro y pasa deprisa por el periastro, así que la curva es asimétrica y el punto medio de sus extremos no es su promedio temporal $\gamma$.

Ejercicio 28.8 ★★

WASP-39 b tiene 89.31 masas terrestres y 14.34 radios terrestres; su estrella de 0.939 radios solares. Tómese una temperatura de $1100\,\mathrm{K}$ y una masa molecular media de $2.3\,\mathrm{u}$ para su atmósfera. (a) Calcúlense su gravedad, su altura de escala y su profundidad de tránsito. (b) Calcúlese la señal de transmisión de una altura de escala, y la de una banda de absorción de dos alturas de escala, en partes por millón.

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

(a) $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.332 \times 10^{26}/(9.144 \times 10^{7})^2 = 4.26\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times1100/(2.3 \times1.661 \times 10^{-27}\times4.26) = 934\,\mathrm{km}$. Con $R_\star = 6.533 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, la profundidad es $(9.144 \times 10^{7}/6.533 \times 10^{8})^2 = 0.0196$. (b) $2HR_p/R_\star^2 = 2\times9.34 \times 10^{5}\times 9.144 \times 10^{7}/(6.533 \times 10^{8})^2 = 4.0 \times 10^{-4}$, 400 partes por millón; dos alturas de escala, 800: un gigante gaseoso de gravedad baja es el blanco más fácil para la espectroscopía de transmisión.

Ejercicio 28.9 ★★

TRAPPIST-1 b tiene un radio de 1.116 radios terrestres; su estrella, de 0.1192 radios solares y $2566\,\mathrm{K}$. Calcúlese la profundidad de su eclipse secundario a $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ para un lado diurno a $400\,\mathrm{K}$ y a $500\,\mathrm{K}$ ($hc/k = 0.014\,388\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$). ¿Por qué una medida de la profundidad es un termómetro?

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

$p = 1.116\times6378/(0.1192\times695700) = 0.0858$, $p^2 = 7.37 \times 10^{-3}$. $B_\lambda \propto 1/(e^{hc/\lambda kT} - 1)$ con $hc/\lambda k = 959\,\mathrm{K}$ a $15\,\text{µ}\mathrm{m}$: la estrella $1/(e^{0.374} - 1) = 2.20$; un lado diurno a $400\,\mathrm{K}$, $1/(e^{2.40} - 1) = 0.0998$, razón $0.0453$, profundidad $3.3 \times 10^{-4}$ (334 partes por millón); a $500\,\mathrm{K}$, $1/(e^{1.92} - 1) = 0.172$, razón $0.078$, profundidad $5.7 \times 10^{-4}$. Cien kelvin cambian la profundidad en un $70\,\%$: la medida de la profundidad fija la temperatura del lado diurno con bastante precisión, y un lado diurno caliente significa que se transporta poco calor al lado nocturno.

Ejercicio 28.10 ★★★

Una enana roja imaginaria tiene 0.2 masas solares, 0.2 radios solares y una luminosidad de $0.005$ luminosidades solares. (a) ¿A qué distancia recibe un planeta el flujo estelar de la Tierra, y cuál es su periodo? (b) Calcúlese la semiamplitud causada allí por un planeta de una masa terrestre, y compárese con el efecto de la Tierra sobre el Sol. (c) Calcúlese la profundidad de tránsito de un planeta del tamaño de la Tierra. ¿Por qué estas estrellas son objetivos preferentes en la búsqueda de planetas rocosos en zonas habitables?

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

(a) $S \propto L/d^2$, así que $d = \sqrt{0.005}\,\mathrm{au} = 0.0707\,\mathrm{au}$; $P = 2\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.33 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 15.4\,\mathrm{d}$. (b) $K = (2\pi G/P)^{1/3}M_\oplus/(0.2M_\odot)^{2/3} = 0.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 8.4 veces el efecto de la Tierra sobre el Sol: la estrella ligera se mueve más, y el período corto también ayuda. (c) $(6378/139140)^2 = 2.1 \times 10^{-3}$, 25 veces el tránsito de la Tierra ante el Sol. Ambas señales son mayores; los tránsitos se producen cada dos semanas, y la probabilidad de tránsito $R_\star/a = 0.013$ es tres veces la de la Tierra: las estrellas pequeñas ofrecen a los planetas rocosos en sus zonas habitables la oportunidad de ser hallados y estudiados.

Ejercicio 28.11 ★★★

Para la ley de oscurecimiento del limbo cuadrática, demuéstrese que la intensidad media del disco es $I(1)(1 - u_1/3 - u_2/6)$. Dedúzcase la profundidad, en unidades de $p^2$, de un planeta pequeño en $r = 0$, $0.5$ y $0.9$ para $u_1 = 0.40$, $u_2 = 0.25$. ¿Qué error cometería un modelo de disco uniforme en el radio de un planeta observado en mitad del tránsito con $b = 0$?

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

Con $r\,dr = -\mu\,d\mu$, la intensidad media es $\frac1\pi\int_0^1 I\,2\pi r\,dr = 2\int_0^1 I(\mu)\mu\,d\mu = 2\bigl[\tfrac12 - u_1(\tfrac12 - \tfrac13) - u_2\int_0^1(1 - \mu)^2\mu\,d\mu\bigr]$. La última integral es $\tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac1{12}$, así que la media es $1 - u_1/3 - u_2/6$, aquí $0.825$. Un planeta pequeño oculta $\pi p^2 I(\mu)$ de $\pi\times 0.825$: profundidad $p^2 I(\mu)/0.825$. En $r = 0$, $I = 1$: $1.212\,p^2$; en $r = 0.5$ ($\mu = 0.866$), $I = 0.942$: $1.142\,p^2$; en $r = 0.9$ ($\mu = 0.436$), $I = 0.695$: $0.842\,p^2$. Un modelo de disco uniforme interpretaría $1.212\,p^2$ como $p^2$ y sobrestimaría el radio en $\sqrt{1.212} = 1.10$, $10\,\%$.

Ejercicio 28.12 ★★★

Un sondeo observó $42\,000$ estrellas similares al Sol y las buscó en busca de planetas del tamaño de la Tierra que recibieran entre una y cuatro veces la luz solar terrestre, es decir, en órbitas de 0.5 a $1\,\mathrm{au}$. (a) Calcúlese la probabilidad de tránsito a 0.5, 0.7 y $1\,\mathrm{au}$. (b) Si el $11\,\%$ de las estrellas alberga uno de tales planetas, a unas $0.7\,\mathrm{au}$, ¿cuántos transitan? (c) El sondeo encontró diez. ¿Qué mide la diferencia y por qué debe corregirse la tasa de ocurrencia por ella?

Solución

Solución de Ejercicio 28.12.

(a) $R_\odot/a$: $9.3 \times 10^{-3}$ a $0.5\,\mathrm{au}$, $6.6 \times 10^{-3}$ a $0.7\,\mathrm{au}$, $4.7 \times 10^{-3}$ a $1\,\mathrm{au}$. (b) $42000\times0.11\times 6.6 \times 10^{-3} = 31$ planetas transitan. (c) Solo alrededor de un tercio de ellos se encontraron: los demás dieron tránsitos demasiado poco profundos (84 partes por millón para una Tierra) o demasiado escasos (uno o dos al año) para destacar sobre el ruido. Esa fracción es la eficiencia de detección; sin corregirla, ni corregir por la probabilidad de tránsito, los recuentos subestimarían cuán frecuentes son tales planetas en un factor de unos 460.

28.7 Problema: un planeta alrededor de la lámpara de Selene

Problema 28.1

Problema de fin de semana — pesar, medir y olfatear un planeta inventado

La lámpara de Selene es una enana K inventada de masa 0.80 masas solares, radio 0.76 radios solares y temperatura efectiva $5000\,\mathrm{K}$. Un sondeo de velocidad radial detecta que su velocidad varía sinusoidalmente con un período de $12.0\,\mathrm{d}$ y una semiamplitud de $2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Un telescopio espacial observa después tránsitos del mismo período, de profundidad $838$ partes por millón y duración total $T_{14} = 3.23\,\mathrm{h}$. Tómense $M_\odot = 1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 695\,700\,\mathrm{km}$, $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$.

Parte I — La velocidad radial.

1. Calcúlese el radio de la órbita, en metros y en unidades astronómicas, despreciando la masa del planeta frente a la de la estrella.
2. Calcúlese la velocidad orbital del planeta.
3. Calcúlese la masa mínima del planeta, en masas terrestres.
4. Calcúlese el radio de la órbita de la estrella alrededor del centro de masas, y compruébese que reproduce la semiamplitud observada.
5. ¿Cuántas veces supera la señal una precisión de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ y de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$?
6. Si la órbita tuviera $e = 0.2$ con el mismo $K$, ¿en cuánto variaría la masa mínima?

Parte II — El tránsito.

7. Calcúlese la razón de radios $p = R_p/R_\star$.
8. Calcúlese el radio del planeta, en kilómetros y en radios terrestres.
9. Calcúlese $a/R_\star$.
10. Calcúlese la duración de un tránsito central ($b = 0$).
11. A partir del $T_{14}$ observado, calcúlese el parámetro de impacto.
12. Calcúlese la inclinación de la órbita.
13. ¿Cuál era la probabilidad de que este planeta transitara, vista desde una dirección aleatoria?

Parte III — ¿De qué está hecho?

14. Calcúlese la masa real del planeta.
15. Calcúlese su densidad media.
16. En la curva del modelo rocoso de tipo terrestre, un planeta de esta masa tendría un radio de 1.74 radios terrestres. Compárese y dígase qué debe contener el planeta además de roca.
17. ¿Dónde se sitúa el planeta respecto al valle de radios? ¿Es una supertierra o un subneptuno?
18. Calcúlese su gravedad superficial.

Parte IV — Su atmósfera.

19. Calcúlese la luminosidad de la estrella, en vatios y en luminosidades solares.
20. Calcúlese el flujo estelar que recibe el planeta, relativo al de la Tierra. ¿Está en la zona habitable?
21. Con un albedo de Bond de 0.3, calcúlese su temperatura de equilibrio.
22. Calcúlese la altura de escala de una atmósfera de hidrógeno y helio (masa molecular media $2.3\,\mathrm{u}$) a esa temperatura.
23. Calcúlese la señal de transmisión de una altura de escala, y de una banda de agua situada a dos alturas de escala, en partes por millón.
24. Calcúlese lo mismo para una atmósfera de vapor de agua ($18\,\mathrm{u}$). ¿Cuál de los dos podría distinguir de un espectro plano un telescopio espacial con una precisión de unas diez partes por millón?
25. Dese la densidad media del planeta, en gramos por centímetro cúbico, con dos cifras significativas.

Solución

Solución de Problema 28.1.

1. $M_\star = 0.80\times1.9884 \times 10^{30} = 1.591 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $P = 1.0368 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $a = (GM_\star P^2/4\pi^2)^{1/3} = 1.4245 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.0952\,\mathrm{au}$.

2. $v = 2\pi a/P = 86.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $m_p\sin i = KM_\star^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3} = 2.59\times1.363 \times 10^{20} \times1.352 \times 10^{5} = 4.77 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, $7.99$ masas terrestres.

4. $a_\star = a\,m_p/M_\star = 1.4245 \times 10^{10}\times4.77 \times 10^{25}/ 1.591 \times 10^{30} = 427\,\mathrm{km}$; $2\pi a_\star/P = 2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, la $K$ observada.

5. $2.59$ veces una precisión de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 26 veces una de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$: el planeta está al alcance de los mejores instrumentos, apenas al de la generación anterior.

6. $m_p\sin i \propto K\sqrt{1 - e^2}$: $\times0.980$, 7.83 masas terrestres, $2\,\%$ menos.

7. $p = \sqrt{8.38 \times 10^{-4}} = 0.02895$.

8. $R_\star = 0.76\times695\,700\,\mathrm{km} = 528\,700\,\mathrm{km}$; $R_p = 15\,310\,\mathrm{km} = 2.40$ radios terrestres.

9. $a/R_\star = 1.4245 \times 10^{10}/5.287 \times 10^{8} = 26.94$.

10. $T_{14} = (288\,\mathrm{h}/\pi)\arcsin(1.02895/26.94) = 3.50\,\mathrm{h}$.

11. $\sqrt{(1 + p)^2 - b^2} = (a/R_\star)\sin(\pi T_{14}/P) = 26.94\times \sin(\pi\times3.23/288) = 0.949$ (con $\sin i \approx 1$); $b^2 = 1.0587 - 0.9008 = 0.158$, $b = 0.40$.

12. $\cos i = b\,R_\star/a = 0.40/26.94 = 0.0148$, $i = 89.15{}^{\circ}$.

13. $R_\star/a = 1/26.94 = 0.037$: una probabilidad de cada 27.

14. $\sin i = 0.99989$: la masa verdadera es 7.99 masas terrestres, la masa mínima dentro de $1 \times 10^{-4}$.

15. $\bar\rho = 4.77 \times 10^{25}/\bigl(\tfrac43\pi(1.531 \times 10^{7})^3\bigr) = 4.77 \times 10^{25}/1.502 \times 10^{22} = 3180\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3.18\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

16. El planeta es $2.40/1.74 = 1.38$ veces mayor que un planeta rocoso de su masa, 2.6 veces su volumen. La roca por sí sola no puede formarlo: necesita una envoltura de gas ligero, unos pocos por ciento de su masa en hidrógeno y helio, o una fracción grande de agua.

17. Con 2.40 radios terrestres queda por encima del valle, en el pico de 2–3 radios terrestres: un subneptuno.

18. $g = Gm_p/R_p^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times4.77 \times 10^{25}/(1.531 \times 10^{7})^2 = 13.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $L = 4\pi R_\star^2\sigma T^4 = 4\pi(5.287 \times 10^{8})^2\times5.670 \times 10^{-8} \times5000^4 = 1.245 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, 0.325 luminosidades solares.

20. $S/S_\oplus = 0.325/0.0952^2 = 35.9$: muy por dentro del borde interior de la zona habitable.

21. $L/4\pi a^2 = 4.88 \times 10^{4}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; $T_\mathrm{eq} = \bigl(4.88 \times 10^{4}\times0.7/(4\sigma)\bigr)^{1/4} = 623\,\mathrm{K}$.

22. $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times623/(2.3\times1.661 \times 10^{-27} \times13.6) = 166\,\mathrm{km}$.

23. $2HR_p/R_\star^2 = 2\times1.66 \times 10^{5}\times1.531 \times 10^{7}/ (5.287 \times 10^{8})^2 = 1.82 \times 10^{-5}$, 18 partes por millón; una banda situada a dos alturas de escala, 36 partes por millón.

24. $H$ es $18/2.3 = 7.8$ veces menor, $21\,\mathrm{km}$: 2.3 partes por millón por altura de escala, 4.6 para la banda. A diez partes por millón, la atmósfera rica en hidrógeno muestra su banda de agua a más de tres veces el ruido; una atmósfera de vapor aparece plana, como una nubosa o un planeta sin aire.

25. $3.2\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.