27Atmósferas planetarias y habitabilidad

Venus y la Tierra son casi gemelas: de tamaño casi igual, densidades medias similares y órbitas vecinas. Sin embargo, Venus conserva $92\,\mathrm{bar}$ de dióxido de carbono sobre una superficie a $737\,\mathrm{K}$, y tan poca agua que, extendida sobre su superficie, formaría una capa de apenas un centímetro de espesor. El espectrómetro de masas de la sonda Pioneer Venus, al descender a través de sus nubes, midió la razón entre deuterio e hidrógeno en esa agua: $0.016$, cien veces la razón de los océanos terrestres. El hidrógeno ligero escapa al espacio con más facilidad que el deuterio pesado; lo que queda de un gran reservorio que ha perdido la mayor parte de su hidrógeno está enriquecido en deuterio. La razón es la huella del agua que Venus tuvo alguna vez y perdió. Este capítulo se pregunta cómo retiene un planeta su aire y su agua, y cómo los pierde.

Lo que ya sabes

La altura de escala, la fórmula barométrica, la distribución de Maxwell–Boltzmann, la velocidad de escape, el recorrido libre medio y el efecto invernadero se estudian en los libros de física. La zona habitable de una estrella aparece en los libros de la escuela. La temperatura de equilibrio y el albedo de Bond se encuentran en el volumen de primer año, en su capítulo de planetología comparada; la profundidad óptica, en su capítulo de telescopios y fotometría; los gradientes térmicos, en su capítulo sobre la estructura de la atmósfera y del océano; la radiación de onda larga saliente (OLR) y la temperatura de emisión, en su capítulo sobre radiación y transporte de calor. El adiabato húmedo se encuentra en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre termodinámica atmosférica; la línea de nieve, en su capítulo sobre formación planetaria; el ciclo largo del carbono y el termostato de meteorización de silicatos, en su capítulo sobre el clima a lo largo del tiempo geológico. La destilación de Rayleigh se estudia en este volumen, en su capítulo sobre isótopos estables.

27.1 La estructura de una atmósfera

Una atmósfera isoterma de masa molecular $m$ a temperatura $T$ se adelgaza con la altura según $p = p_0\,e^{-z/H}$, con la altura de escala $H = kT/mg$. En la superficie de la Tierra $H$ es de unos $8\,\mathrm{km}$; en la superficie de Titán, donde la gravedad es débil y el aire frío, de unos $20\,\mathrm{km}$.

La temperatura, sin embargo, no es uniforme. La luz solar que llega al suelo lo calienta; el aire situado encima, que absorbe y emite en el infrarrojo, se calienta desde abajo. La radiación por sí sola haría que la atmósfera inferior tuviera un gradiente térmico tan pronunciado que se volcaría.

Definición 27.1 (Equilibrio radiativo–convectivo)

Una columna de atmósfera está en equilibrio radiativo–convectivo cuando, en cada nivel, el flujo neto de radiación está equilibrado, salvo en una capa inferior donde la convección transporta calor hacia arriba y mantiene el gradiente térmico en el valor adiabático. La capa inferior, convectiva, es la troposfera; la capa superior, en equilibrio radiativo, es la estratosfera; la tropopausa es el nivel donde ambas se encuentran.

El modelo atmosférico más sencillo en el que puede seguirse este proceso es el gris: es transparente a la luz solar y absorbe por igual todas las longitudes de onda infrarrojas, con una profundidad óptica $\tau$ contada hacia abajo desde la cima.

Proposición 27.2 (Equilibrio radiativo gris)

En una atmósfera gris en equilibrio radiativo que emite el flujo $F$ hacia el espacio, la temperatura a la profundidad óptica $\tau$ obedece

$$\sigma T^4(\tau) = \frac F2\,(1 + D\tau),$$

donde $D \approx 1.66$ tiene en cuenta las trayectorias oblicuas de la radiación. La cima de la atmósfera se encuentra a la temperatura de piel $T_\mathrm{skin} = 2^{-1/4}\,T_e$, donde $T_e = (F/\sigma)^{1/4}$ es la temperatura de emisión.

La proposición se admite; se deduce de las ecuaciones de dos corrientes para los flujos ascendente y descendente. Donde $\tau$ es grande, cerca del suelo, la temperatura radiativa cambia rápidamente con $\tau$, y el propio $\tau$ crece deprisa con la profundidad porque el gas absorbente es allí más denso: el perfil radiativo es más empinado que el adiabato, y entra en juego la convección. En las capas altas, $\tau$ es pequeño y la temperatura tiende a la temperatura de piel. La Tierra emite hacia el espacio unos $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, con una temperatura de emisión de $255\,\mathrm{K}$ y una temperatura de piel de $214\,\mathrm{K}$; la atmósfera estándar sitúa su tropopausa a $11\,\mathrm{km}$ y $216.65\,\mathrm{K}$. El modelo gris, por sencillo que sea, sitúa bastante bien la cima fría de la troposfera.

En lo alto de la atmósfera el aire es tan tenue que una molécula puede recorrer una gran distancia entre colisiones. Donde puede recorrer más que una altura de escala, deja de pertenecer a un fluido.

Definición 27.3 (Exobase; exosfera)

La exobase de una atmósfera es el nivel en el que el recorrido libre medio de sus partículas iguala a la altura de escala. Por encima de ella, la exosfera, una partícula que se mueve hacia arriba es poco probable que encuentre otra, y una más rápida que la velocidad de escape local abandona el planeta.

Proposición 27.4 (Condición de la exobase)

En una atmósfera isoterma de partículas de sección eficaz de colisión $\sigma_c$, una partícula que se mueve verticalmente hacia arriba desde el nivel de densidad $n$ evita toda colisión con probabilidad $e^{-n\sigma_c H}$. En la exobase $n\sigma_c H = 1$: la probabilidad es $1/e$.

La exobase se encuentra a unos $500\,\mathrm{km}$ en la Tierra, $200\,\mathrm{km}$ en Venus y en Marte, y cerca de $1500\,\mathrm{km}$ en Titán, más de la mitad del radio de la luna.

27.2 Escape atmosférico

En la exobase las partículas conservan la distribución de Maxwell–Boltzmann de velocidades del gas inferior. Su cola contiene siempre algunas partículas más rápidas que la velocidad de escape.

Definición 27.5 (Escape de Jeans; parámetro de escape)

El escape de Jeans es la pérdida hacia el espacio de las partículas de la cola de Maxwell–Boltzmann que se mueven hacia arriba en la exobase más deprisa que la velocidad de escape. El parámetro de escape de partículas de masa $m$ en la exobase, de radio $r$ y temperatura $T$, en un planeta de masa $M$, es

$$\lambda = \frac{GMm}{kTr} = \frac{v_\mathrm{esc}^2}{u^2}, \qquad u = \sqrt{\frac{2kT}m},$$

la razón entre su energía de ligadura gravitatoria y $kT$, y también el cuadrado de la velocidad de escape dividido por la velocidad térmica más probable $u$.

Teorema 27.6 (Flujo de Jeans)

En una exobase de densidad $n$, el número de partículas que escapan por unidad de área y por unidad de tiempo es

$$\Phi_\mathrm J = \frac{n\,u}{2\sqrt\pi}\,(1 + \lambda)\,e^{-\lambda}.$$

El factor $n u/2\sqrt\pi$ es el flujo de todas las partículas que cruzan la exobase hacia arriba; $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ es la fracción de ellas que escapan. Decae exponencialmente con la masa de la partícula, ya que $\lambda \propto m$. En la exobase de la Tierra, a $1000\,\mathrm{K}$, el hidrógeno tiene $\lambda = 7.0$ y escapa a un ritmo del 0.7 % de su flujo ascendente; el deuterio, $\lambda = 14$, a $1.2 \times 10^{-5}$; el helio, $\lambda = 28$, a $2 \times 10^{-11}$; el oxígeno, $\lambda = 111$, no escapa en absoluto. En la exobase de Venus, más fría y igual de profunda en el pozo gravitatorio, $\lambda = 22$ incluso para el hidrógeno; en Marte $\lambda = 5.4$; en Titán $\lambda = 1.5$ para el hidrógeno y 3.0 para el hidrógeno molecular.

Cuando $\lambda$ baja a unas pocas unidades, la imagen de partículas que escapan una a una de una atmósfera estática deja de valer: la atmósfera superior se expande y fluye alejándose como un viento. Los modelos sitúan la transición en $\lambda$ entre unos 1.5 y 3.

Definición 27.7 (Escape hidrodinámico, no térmico y limitado por difusión)

El escape hidrodinámico es la pérdida de una atmósfera superior que escapa en conjunto, calentada desde arriba, cuando su parámetro de escape es pequeño; el flujo puede arrastrar consigo partículas más pesadas. El escape no térmico es la pérdida de partículas aceleradas por procesos distintos del calor: reacciones fotoquímicas que dan a los fragmentos más energía que la de escape, iones captados por el campo eléctrico del viento solar, pulverización catódica por iones que impactan sobre la atmósfera superior, y la salida de iones a lo largo de las líneas del campo magnético. El escape limitado por difusión es el escape cuyo ritmo lo fija no la exobase sino un nivel más bajo, por el ritmo al que el gas que escapa puede difundirse hacia arriba a través del gas más pesado situado sobre la homopausa, el nivel por encima del cual la difusión molecular, y no la turbulencia, controla la mezcla.

Proposición 27.8 (Límite de difusión)

Un gas ligero de razón de mezcla $f$ y masa molecular $m_i$, que se difunde a través de un gas más pesado de masa molecular $m_a$ y altura de escala $H_a = kT/m_a g$ con el parámetro de difusión binaria $b$, no puede ascender más deprisa que

$$\Phi_\mathrm{DL} = b\,f\left(\frac1{H_a} - \frac1{H_i}\right) = \frac{b\,f\,(m_a - m_i)\,g}{kT} \approx \frac{b\,f}{H_a}.$$

Para el hidrógeno molecular que asciende a través del dióxido de carbono, $b \approx 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $200\,\mathrm{K}$, y con la gravedad terrestre el límite es $\Phi_\mathrm{DL} \approx 3.0 \times 10^{13}\,f\,(200\,\mathrm{K}/T)^{1/4}$ moléculas de $\ce{H2}$ por centímetro cuadrado y por segundo, contando $f$ todo el hidrógeno como $\ce{H2}$. En la Tierra actual, el escape de hidrógeno está limitado por difusión: en el mínimo solar, cuando la exobase es más fría y el escape de Jeans es más lento, el escape por intercambio de carga con iones ocupa el hueco, y el total se mantiene aproximadamente igual. El suministro, y no la exobase, es lo que fija el ritmo.

27.3 Venus y el invernadero desbocado

Venus recibe $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ del Sol, 1.91 veces la parte de la Tierra. Sus nubes de ácido sulfúrico reflejan el 77 % de ella, así que absorbe menos que la Tierra; sin embargo, su superficie está a $737\,\mathrm{K}$ bajo una atmósfera de $92\,\mathrm{bar}$, formada en un 96.5 % por dióxido de carbono. Contiene $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ de agua, frente a $1.4 \times 10^{21}\,\mathrm{kg}$ en la Tierra, unas 30 partes por millón en volumen por debajo de las nubes.

Un planeta con océano se mantiene en equilibrio gracias a su radiación saliente. Si se calienta, se evapora más agua; el vapor de agua es un gas de efecto invernadero, así que la radiación saliente crece menos que $\sigma T^4$, pero crece, y el calentamiento se detiene. Hay un límite para ese crecimiento.

Proposición 27.9 (Límite radiativo de una atmósfera húmeda)

Cuando la superficie de un planeta con océano está lo bastante caliente para que el vapor de agua domine su atmósfera superior, la temperatura allí sigue la curva de saturación del agua, y la radiación infrarroja hacia el espacio procede de un nivel de presión fija. Su temperatura y la radiación saliente dejan de crecer con la temperatura de la superficie.

Definición 27.10 (Invernadero desbocado; límite del invernadero desbocado; invernadero húmedo)

El límite del invernadero desbocado es el mayor flujo de radiación infrarroja que un planeta con océano puede enviar al espacio. Un invernadero desbocado es el estado de un planeta que absorbe más luz solar que ese límite: no puede equilibrar su balance hasta que todo el océano se haya evaporado y la superficie se haya calentado muy por encima de ese valor. Un invernadero húmedo es el estado de un planeta, sin llegar al desbocado, cuya superficie es lo bastante cálida para que su estratosfera contenga una gran razón de mezcla de vapor de agua, que la luz ultravioleta descompone y cuyo hidrógeno escapa.

Los modelos simples, como el de la proposición, dan un límite de este tipo; con las líneas reales del vapor de agua, un cálculo línea a línea sin nubes lo sitúa en $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ para un planeta semejante a la Tierra, y las revisiones citan unos $300\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Por encima de unos $2000\,\mathrm{K}$ el flujo saliente vuelve a crecer, porque la atmósfera baja caliente emite en el visible y en el infrarrojo cercano, donde el agua absorbe poco: un planeta en un invernadero desbocado se estabiliza a una temperatura muy alta, una vez que su océano es todo vapor.

Con el albedo de una atmósfera de vapor sin nubes, 0.193, un planeta semejante a la Tierra alrededor del Sol se desboca cuando recibe 1.06 veces la luz solar terrestre, a $0.97\,\mathrm{au}$. Antes de eso, con 1.015 veces la luz solar terrestre y una temperatura superficial de $340\,\mathrm{K}$, su estratosfera se vuelve húmeda: en la Tierra actual el agua queda retenida en la tropopausa por el frío, cerca de $0.1\,\mathrm{bar}$, pero en un planeta más cálido la trampa fría asciende y deja pasar el vapor. Cuando la razón de mezcla del agua en la estratosfera alcanza unas $3 \times 10^{-3}$, el escape limitado por difusión elimina un océano de hidrógeno en un tiempo del orden de la edad de la Tierra.

El deuterio de Venus mide lo que se perdió. Cada átomo que escapa elimina hidrógeno y un poco de deuterio del reservorio restante, igual que cada gota que precipita arrastra un poco de los isótopos pesados de una nube.

Proposición 27.11 (Enriquecimiento isotópico por escape)

Sea un reservorio de agua que pierde hidrógeno hacia el espacio, escapando cada átomo de deuterio con la eficiencia $\alpha$ respecto de un átomo de hidrógeno ($\alpha < 1$). Cuando el reservorio se ha reducido de $M_0$ a $M$, su razón $R = \mathrm{D}/\mathrm{H}$ ha crecido de $R_0$ a

$$\frac R{R_0} = \left(\frac{M_0}M\right)^{1-\alpha}.$$

Si no hubiera escapado nada de deuterio ($\alpha = 0$), un enriquecimiento cien veces mayor significaría que Venus llegó a tener al menos cien veces su agua actual. Un escape que fracciona menos exige mucho más: en el escape limitado por difusión $\alpha \approx 0.8$, y un enriquecimiento cien veces mayor requeriría que el reservorio se redujera en un factor de $100^5$. La razón se lee como una cota inferior: al menos unas pocas décimas de por ciento de un océano terrestre, y las estimaciones de un océano primitivo de Venus van de 4 a $525\,\mathrm{m}$ repartidos sobre su superficie. Quedan dos advertencias. Gran parte del fraccionamiento pudo producirse solo en la pérdida de los últimos pocos bares de agua, y un suministro constante de agua procedente de cometas o volcanes, perdido tan deprisa como llegaba, podría producir la misma razón. Venus sigue perdiendo agua: sus iones que escapan son hidrógeno y oxígeno en la proporción de dos a uno, arrastrados por un campo eléctrico cinco veces más intenso que el de la ionosfera terrestre, alrededor de un planeta sin campo magnético.

27.4 Marte: una atmósfera delgada y un pasado húmedo

Marte conserva una presión superficial media de $6.36\,\mathrm{mbar}$, entre 4.0 y $8.7\,\mathrm{mbar}$ según las estaciones, un 95 % de dióxido de carbono, a unos $214\,\mathrm{K}$. La presión apenas supera la presión del punto triple del agua, $6.1\,\mathrm{mbar}$: el agua líquida no puede mantenerse en su superficie, donde el hielo sublima. Sin embargo, los terrenos antiguos están surcados por valles ramificados, y contienen minerales que solo se forman en agua líquida.

Los valles y los canales de flujo de Marte requieren, según las estimaciones geológicas, una capa global de agua de entre 100 y $1500\,\mathrm{m}$ de profundidad, frente a 3 a $25\,\mathrm{m}$ que hay hoy en su hielo y en su atmósfera. Gran parte del resto se fue al espacio. La sonda MAVEN midió cómo el viento solar arranca gas de Marte a unos $100\,\mathrm{g}$ por segundo, tres cuartas partes de él por la cola que queda detrás del planeta, donde fluye el viento solar, y una cuarta parte en una pluma sobre los polos; durante las tormentas solares de marzo de 2015 la pérdida se aceleró, y probablemente fue mucho más rápida cuando el Sol joven era más activo. Marte también pierde hidrógeno, unos $3 \times 10^{26}$ átomos por segundo de media hoy: mantenido durante cuatro mil millones de años, una pérdida equivalente a una capa global de agua de solo unos $4\,\mathrm{m}$ de profundidad.

La tasa no ha sido siempre la actual. La oblicuidad de Marte, $25.2{}^{\circ}$ hoy, ha oscilado entre 0 y $66{}^{\circ}$ durante los últimos 250 millones de años, en torno a un valor medio cercano a $35{}^{\circ}$, mientras que la de la Tierra varía en poco más de un grado. El movimiento es caótico y no puede reconstruirse hacia atrás durante miles de millones de años; los cráteres elípticos formados por impactos rasantes, cuyas orientaciones registran la oblicuidad, sugieren un valor medio de entre unos 10 y $30{}^{\circ}$ durante los últimos 3.5 mil millones de años aproximadamente. Con oblicuidades altas, el polo de verano se calienta, asciende más vapor de agua y los modelos climáticos hacen que la pérdida de hidrógeno sea veinte veces más rápida: a lo largo de la historia de Marte, una capa del orden de $80\,\mathrm{m}$.

27.5 Titán: un ciclo de metano

Titán, una luna más pequeña que Marte, tiene una atmósfera más densa que la de la Tierra: una presión superficial alrededor de un 60 % mayor, a $-179{}^{\circ}\mathrm{C}$. La atmósfera está formada por cerca de un 95 % de nitrógeno y un 5 % de metano, y como la gravedad de la luna es débil, se extiende a una altura diez veces mayor que la de la Tierra, hasta casi $600\,\mathrm{km}$. La luz ultravioleta descompone el metano y el nitrógeno en las capas altas; los fragmentos se recombinan en una neblina anaranjada de hidrocarburos más pesados que oculta la superficie a la luz visible. Por debajo de la neblina, el metano desempeña el papel del agua: se condensa en nubes, llueve, excava cauces fluviales y llena lagos y mares de metano y etano.

Que un líquido pueda yacer sobre una superficie depende de su diagrama de fases y de la presión y la temperatura reinantes allí. La superficie de Titán queda justo por encima del punto triple del metano, $90.67\,\mathrm{K}$ y $0.117\,\mathrm{bar}$, y por debajo de su punto crítico: es posible el metano líquido, y el metano al 5 % de $1.6\,\mathrm{bar}$ no está lejos de la saturación. La superficie de Marte se sitúa cerca del punto triple del agua, la de la Tierra bien dentro de su campo líquido, y la de Venus, por encima de la temperatura crítica del agua, $647\,\mathrm{K}$, donde no puede existir líquido alguno.

Titán retiene su nitrógeno con facilidad: en su exobase, $\lambda = 41$ para el nitrógeno. Su hidrógeno, con $\lambda$ en torno a 1.5, escapa casi libremente, y el escape del hidrógeno molecular queda fijado más abajo por el flujo limitante a través de la homopausa, como en la Tierra. Los compuestos pesados formados a partir del metano descompuesto se depositan en la superficie, donde forman la arena de vastos campos de dunas.

27.6 Habitabilidad planetaria

La zona habitable de los libros escolares es el intervalo de distancias a una estrella en el que un planeta como la Tierra puede mantener agua líquida en su superficie. Sus bordes son los límites vistos en este capítulo.

Definición 27.12 (Habitabilidad planetaria)

La habitabilidad planetaria de un planeta es su capacidad para mantener agua líquida en su superficie a lo largo de tiempos geológicos: recibe un flujo estelar dentro de los límites de la zona habitable, retiene su atmósfera y su agua frente al escape, y un ciclo del carbono a largo plazo regula su clima.

El borde interior de la zona habitable lo marca el invernadero húmedo o el invernadero desbocado: un planeta semejante a la Tierra alrededor del Sol se vuelve húmedo a $0.99\,\mathrm{au}$ y se desboca a $0.97\,\mathrm{au}$. El borde exterior lo marca el invernadero máximo: añadir dióxido de carbono calienta un planeta solo hasta que el gas añadido dispersa más luz solar de la que su efecto invernadero logra ganar; alrededor del Sol esto ocurre a $1.70\,\mathrm{au}$, con unos $8\,\mathrm{bar}$ de dióxido de carbono. Estos son bordes conservadores, calculados sin nubes. Dos bordes empíricos son más amplios: Venus parece no haber tenido agua superficial durante al menos mil millones de años, cuando recibió 1.76 veces la luz solar actual de la Tierra ($0.75\,\mathrm{au}$); Marte tuvo agua corriente cuando recibió 0.32 veces esa luz solar, si sus valles tienen 3.8 mil millones de años ($1.77\,\mathrm{au}$). Alrededor de estrellas más frías, los mismos límites se dan con flujos menores, porque su luz más rojiza se dispersa menos y es absorbida más por el agua y el dióxido de carbono.

La distancia no basta. Un planeta debe retener su atmósfera: uno pequeño o caliente, cuyo parámetro de escape es bajo, pierde su hidrógeno y con él su agua, y un planeta en un invernadero húmedo se seca desde arriba. Debe además mantener estable su clima durante miles de millones de años mientras su estrella aumenta su brillo: en la Tierra, el termostato de meteorización de silicatos del ciclo del carbono a largo plazo extrae dióxido de carbono cuando el clima se calienta y lo deja acumularse cuando se enfría. En Venus, sin tectónica de placas, el dióxido de carbono desgasificado no ha tenido camino de vuelta a las rocas y se ha acumulado en el aire; hoy contiene aproximadamente tanto dióxido de carbono como el que la Tierra tiene fijado en rocas carbonatadas. Si un campo magnético protege una atmósfera es objeto de debate: apantalla la atmósfera superior frente al viento solar, pero también abre otras vías de escape, como la salida de iones cerca de los polos, y la habitabilidad de un planeta no puede leerse a partir de su posición en la zona habitable por sí sola.

27.7 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

Calcúlese la altura de escala $H = RT/Mg$ cerca de la superficie de Venus ($737\,\mathrm{K}$, dióxido de carbono de masa molar $44.01\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g = 8.87\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), la Tierra ($288\,\mathrm{K}$, $28.97\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), Marte ($214\,\mathrm{K}$, $43.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) y Titán ($94\,\mathrm{K}$, $28.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $1.35\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). ¿Qué atmósfera es la más extensa, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

$H = RT/Mg$: Venus $8.314\times737/(0.04401\times8.87) = 15.7\,\mathrm{km}$; la Tierra $8.314\times288/(0.02897\times9.80) = 8.4\,\mathrm{km}$; Marte $8.314\times214/(0.04334\times3.71) = 11.1\,\mathrm{km}$; Titán $8.314\times94/(0.0280\times1.35) = 20.7\,\mathrm{km}$. La atmósfera de Titán, por fría que sea, es la más extensa: su gravedad es siete veces menor que la de la Tierra.

Ejercicio 27.2 ★

La exobase de la Tierra se encuentra a $500\,\mathrm{km}$ (radio $6878\,\mathrm{km}$); su temperatura varía entre 800 y $1600\,\mathrm{K}$ a lo largo del ciclo solar. Tómese la masa de la Tierra como $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Calcúlese el parámetro de escape de los átomos de hidrógeno a ambas temperaturas, y la fracción de escape $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$. ¿En qué factor la modifica el ciclo solar?

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

$\lambda = GMm/kTr = 6.674 \times 10^{-11}\times5.97 \times 10^{24}\times1.674 \times 10^{-27} /(1.381 \times 10^{-23}\,T\times6.878 \times 10^{6})$: 8.78 a $800\,\mathrm{K}$, 4.39 a $1600\,\mathrm{K}$. Las fracciones de escape son $9.78\,e^{-8.78} = 1.5 \times 10^{-3}$ y $5.39\,e^{-4.39} = 6.7 \times 10^{-2}$: el ciclo solar modifica la fracción de escape del hidrógeno en un factor de unos 44.

Ejercicio 27.3 ★

Alrededor del Sol, un planeta de tipo terrestre pasa a invernadero húmedo con el flujo $S_\mathrm{eff} = 1.014$, pasa a invernadero desbocado con 1.0512 y alcanza el invernadero máximo con 0.3438 (flujos relativos a los de la Tierra). (a) Calcúlense las tres distancias, en unidades astronómicas. (b) Venus y Marte reciben 1.91 y 0.43 veces la luz solar de la Tierra. Ubíquense.

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

(a) $d = S_\mathrm{eff}^{-1/2}$: invernadero húmedo $0.993\,\mathrm{au}$, límite del invernadero desbocado $0.975\,\mathrm{au}$, invernadero máximo $1.705\,\mathrm{au}$. (b) Venus, en 1.91, recibe más que el flujo límite del invernadero desbocado y aún más que el límite empírico de Venus reciente (1.78): queda dentro del borde interior. Marte, en 0.43, queda entre 1.014 y 0.3438, dentro de la zona habitable conservadora: su sequedad procede de su pequeño tamaño y de la pérdida de su atmósfera, no de su distancia.

Ejercicio 27.4 ★

La presión de vapor del metano líquido es $\log_{10}(p/\mathrm{bar}) = 3.9895 - 443.028/(T/\mathrm{K} - 0.49)$. (a) Calcúlese en la superficie de Titán, $94.15\,\mathrm{K}$. (b) El metano representa el 5 % del aire de Titán a $1.6\,\mathrm{bar}$. Calcúlense su presión parcial y su humedad relativa. (c) ¿Qué sugiere el resultado sobre la evaporación en los mares de Titán?

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

(a) $\log_{10}p = 3.9895 - 443.028/93.66 = -0.741$, $p = 0.18\,\mathrm{bar}$. (b) $0.05\times1.6 = 0.080\,\mathrm{bar}$, una humedad relativa de $0.080/0.18 = 44\,\%$. (c) El aire sobre los mares está lejos de saturación: el metano se evapora desde ellos, como el agua de los océanos de la Tierra, y el aire húmedo debe ascender y enfriarse antes de llover.

Ejercicio 27.5 ★★

En la exobase de la Tierra ($1000\,\mathrm{K}$, $\lambda = 7.02$ para el hidrógeno), calcúlese el parámetro de escape del deuterio, su velocidad térmica relativa a la del hidrógeno y la razón de los flujos de Jeans por átomo, D respecto a H. ¿Es el escape de Jeans un filtro isotópico fuerte?

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

$\lambda_\mathrm D = 7.02\times2.014/1.008 = 14.0$. $u_\mathrm D/u_\mathrm H = \sqrt{1.008/2.014} = 0.71$. Razón por átomo $= 0.71\times(15.0\, e^{-14.0})/(8.02\,e^{-7.02}) = 0.71\times1.69 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{-3}$. El escape de Jeans deja salir casi nada de deuterio: es un filtro fuerte, con $\alpha \approx 0.001$.

Ejercicio 27.6 ★★

La razón D/H del agua de Venus es $0.016$; la del agua de los océanos en la Tierra es $1.5575 \times 10^{-4}$. (a) Calcúlese el enriquecimiento. (b) Sin escape alguno de deuterio, ¿cuál es el inventario pasado mínimo de agua de Venus, dado $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ hoy? ¿Qué profundidad alcanzaría repartida sobre la superficie del planeta, $4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$? (c) ¿Qué reducción del reservorio exigiría el escape limitado por difusión, con $\alpha = 0.8$? Conclúyase.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

(a) $0.016/1.5575 \times 10^{-4} = 103$. (b) Con $\alpha = 0$ el enriquecimiento es $M_0/M$: $M_0 = 103\times6 \times 10^{15} = 6.2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, o bien $6.2 \times 10^{17}/(1000\times4.60 \times 10^{14}) = 1.3\,\mathrm{m}$ de agua sobre Venus. (c) $M_0/M = 103^{1/0.2} = 1.2 \times 10^{10}$, un inventario pasado de $7 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, doce veces la masa de la Tierra: imposible. El enriquecimiento requiere un escape fuertemente fraccionador (de Jeans o no térmico), activo al menos durante la pérdida de la última parte del agua, o un estado estacionario con aporte de agua.

Ejercicio 27.7 ★★

Marte, de radio $3389.5\,\mathrm{km}$, pierde unos $3 \times 10^{26}$ átomos de hidrógeno por segundo. (a) Si cada par de átomos procediera de una molécula de agua, ¿qué capa global de agua elimina esa pérdida en cuatro mil millones de años? (b) La misma pregunta para $6 \times 10^{27}$ átomos por segundo, la tasa de una oblicuidad alta. (c) Compárese con los 100 a $1500\,\mathrm{m}$ que necesitan los valles y los canales.

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

(a) En cuatro mil millones de años ($1.26 \times 10^{17}$ s) Marte pierde $3.8 \times 10^{43}$ átomos, $1.9 \times 10^{43}$ moléculas de agua, $5.7 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$; sobre $4\pi(3.3895 \times 10^{6})^2 = 1.44 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, lo que supone una capa de $3.9\,\mathrm{m}$ de espesor. (b) Veinte veces más, $78\,\mathrm{m}$. (c) Incluso la tasa de alta oblicuidad alcanza solo el extremo inferior del intervalo de 100 a $1500\,\mathrm{m}$; el resto pasó a la corteza y al hielo, o se perdió más deprisa cuando el Sol era joven.

Ejercicio 27.8 ★★

(a) Calcúlese la masa de la atmósfera de Marte a partir de su presión superficial media, $636\,\mathrm{Pa}$, su gravedad, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, y su radio. (b) El viento solar despoja unos $100\,\mathrm{g}$ de gas por segundo. ¿Qué masa elimina en cuatro mil millones de años, y en cuánto tiempo eliminaría la atmósfera actual? (c) ¿Por qué esto es una subestimación de la pérdida pasada?

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

(a) $m = pA/g = 636\times1.44 \times 10^{14}/3.71 = 2.5 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. (b) $0.1\times1.26 \times 10^{17} = 1.3 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$, la mitad de la atmósfera actual; toda ella en $2.5 \times 10^{16}/0.1 = 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, $7.8$ mil millones de años. (c) El Sol joven era más activo y sus tormentas eran más frecuentes, y la pérdida aumenta durante ellas; otros canales (hidrógeno, pulverización catódica, escape fotoquímico) no se contabilizan.

Ejercicio 27.9 ★★

Un planeta semejante a la Tierra, con una atmósfera de vapor de agua sin nubes, refleja el 19.3 % de la luz solar que recibe; su emisión infrarroja no puede superar $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) ¿Por encima de qué flujo de luz solar, en vatios por metro cuadrado y relativo al de la Tierra, $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, entra en un invernadero desbocado? (b) Compárese con Venus actual, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, y con Venus primitiva, bajo un Sol con el 70 % de su luminosidad actual. (c) ¿Por qué no es definitiva la conclusión para Venus primitiva?

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

(a) $S(1 - 0.193)/4 = 291$ da $S = 1442\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, 1.06 veces la de la Tierra. (b) Venus hoy absorbería $0.807\times2601/4 = 525\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; un Venus joven, $0.7\times2601 = 1821\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ recibidos, $367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ absorbidos: ambos por encima del límite, así que un Venus joven sin nubes habría entrado en invernadero desbocado desde el principio. (c) Las nubes elevan el albedo; los modelos tridimensionales con nubes han encontrado una vía hacia un Venus joven habitable.

Ejercicio 27.10 ★★★

Una termosfera modelo de oxígeno atómico es isoterma a $1000\,\mathrm{K}$, con $n = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ a $200\,\mathrm{km}$; tómese $g = 9.21\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ a esa altura y una sección eficaz de colisión $\sigma_c = 3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$. (a) Calcúlese la altura de escala del oxígeno. (b) Calcúlese la densidad en la exobase y la altura de la exobase. (c) La gravedad disminuye con la altura. ¿Desplaza eso la exobase hacia arriba o hacia abajo?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

(a) $H = kT/mg = 1.381 \times 10^{-23}\times1000/(16\times1.661 \times 10^{-27}\times9.21) = 56\,\mathrm{km}$. (b) $n_\mathrm{exo} = 1/(\sigma_c H) = 1/(3 \times 10^{-19}\times 5.64 \times 10^{4}) = 5.9 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$; $z = 200 + 56.4\ln(1 \times 10^{16}/ 5.9 \times 10^{13}) = 200 + 56.4\times5.13 = 490\,\mathrm{km}$. (c) La gravedad, más débil a mayor altura, hace que la altura de escala crezca, así que la densidad disminuye más lentamente de lo supuesto: la exobase asciende.

Ejercicio 27.11 ★★★

(a) Supóngase que la estratosfera terrestre se volviera húmeda, con una razón de mezcla de vapor de agua de $3 \times 10^{-3}$ (contado como $\ce{H2}$). Con el límite de difusión de $3.0 \times 10^{13}\,f$ moléculas de $\ce{H2}$ por centímetro cuadrado y por segundo, a $200\,\mathrm{K}$, calcúlese la pérdida de hidrógeno de la Tierra entera (radio $6371\,\mathrm{km}$). (b) ¿Cuánto duraría un océano, con $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ de agua? Compárese con la edad de la Tierra.

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

(a) $\Phi = 3.0 \times 10^{13}\times3 \times 10^{-3} = 9 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; sobre $4\pi(6.371 \times 10^{6})^2 = 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $4.6 \times 10^{29}$ moléculas de $\ce{H2}$ por segundo. (b) Un océano contiene $1.4 \times 10^{24}/18.015\times6.022 \times 10^{23} = 4.7 \times 10^{46}$ moléculas de agua, una de $\ce{H2}$ por cada una: dura $1.0 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.2\,\mathrm{Gyr}$, comparable con la edad de la Tierra, lo que explica que una razón de mezcla de $3 \times 10^{-3}$ marque el límite del invernadero húmedo.

Ejercicio 27.12 ★★★

En una atmósfera superior de vapor puro que absorbe como gas gris, con $\kappa = 0.005\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}^{-1}$, en un planeta con $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ y $D = 1.66$: (a) calcúlese la presión $p_1$ del nivel radiante; (b) Con $p_\mathrm{sat}(T) = 611.657\,\mathrm{Pa}\,\exp[(L/R_v)(1/T_t - 1/T)]$, $L = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_t = 273.16\,\mathrm{K}$, calcúlense su temperatura y el límite de radiación. (c) El límite línea a línea es $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. ¿Debe el coeficiente $\kappa$ efectivo del vapor de agua real ser mayor o menor?

Solución

Solución de Ejercicio 27.12.

(a) $p_1 = g/D\kappa = 9.81/(1.66\times0.005) = 1180\,\mathrm{Pa}$. (b) $1/T = 1/273.16 - \ln(1182/611.657)\times461.5/2.5 \times 10^{6}$, $T = 282.5\,\mathrm{K}$, y $\sigma T^4 = 361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) El límite real es menor, así que el nivel radiante es más frío y está a menor presión: el vapor de agua real es más opaco que este gas gris, y su $\kappa$ efectivo es mayor.

27.8 Problema: ¿conservará Kepos su agua?

Problema 27.1

Problema de fin de semana — escape y habitabilidad de un planeta oceánico inventado

Kepos es un planeta inventado de masa $5.2 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ y radio $6200\,\mathrm{km}$, con océanos y una atmósfera de nitrógeno y dióxido de carbono. Orbita a $0.60\,\mathrm{au}$ de una estrella de luminosidad 0.30 veces la del Sol y temperatura efectiva $4800\,\mathrm{K}$. Su exobase se sitúa a $500\,\mathrm{km}$ sobre la superficie, a $1400\,\mathrm{K}$, con $2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ átomos de hidrógeno; su homopausa está a $200\,\mathrm{K}$, donde domina el dióxido de carbono y donde el hidrógeno en todas sus formas constituye una razón de mezcla $f = 1 \times 10^{-3}$, contada como $\ce{H2}$. Un océano terrestre equivale a $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ de agua.

Parte I — La exobase.

1. Calcúlense la gravedad superficial y la densidad media de Kepos.
2. Calcúlese la velocidad de escape en la exobase.
3. Calcúlese la velocidad térmica $u = \sqrt{2kT/m}$ de los átomos de hidrógeno, helio y oxígeno en la exobase.
4. Calcúlense sus parámetros de escape.
5. ¿Cuáles de ellos pueden escapar por escape de Jeans a un ritmo apreciable? ¿Alguno se acerca al régimen hidrodinámico?
6. Durante una juventud activa de su estrella, la exobase de Kepos pudo haber alcanzado $3000\,\mathrm{K}$. ¿Cuál era entonces el parámetro de escape del hidrógeno, y qué sugiere?

Parte II — Escape de Jeans del hidrógeno.

7. Calcúlese la fracción que escapa, $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$, para el hidrógeno.
8. Calcúlese el flujo de Jeans del hidrógeno, por metro cuadrado y por segundo.
9. Calcúlese el número de átomos de hidrógeno que abandonan toda la exobase por segundo.
10. ¿Cuántos átomos de hidrógeno contiene un océano terrestre?
11. A este ritmo, ¿cuánto tardaría Kepos en perderlos?
12. Calcúlese el parámetro de escape del deuterio y su eficiencia de escape relativa al hidrógeno, por átomo.

Parte III — El límite de difusión.

13. Calcúlese la altura de escala del dióxido de carbono en la homopausa.
14. El parámetro de difusión binaria del hidrógeno en dióxido de carbono es $b = 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $200\,\mathrm{K}$. Calcúlese el flujo limitado por difusión de $\ce{H2}$, por metro cuadrado y por segundo.
15. Compárese con el límite terrestre, $3.0 \times 10^{13}\,f$ moléculas por centímetro cuadrado y por segundo, reescalado por la gravedad.
16. Calcúlese el número de átomos de hidrógeno que el límite de difusión puede suministrar a la atmósfera superior de todo el planeta por segundo (tómese el área de la superficie).
17. Compárese con la pregunta 9. ¿Qué proceso limita el escape y qué le ocurre al hidrógeno de la termosfera?
18. ¿Qué densidad de hidrógeno en la exobase permitiría que el escape de Jeans transportara todo el suministro?
19. ¿Cuánto tardaría Kepos en perder un océano terrestre de hidrógeno en el límite de difusión?

Parte IV — ¿Está Kepos en la zona habitable?

20. Calcúlese el flujo estelar que recibe Kepos, relativo al de la Tierra.
21. Para una estrella de $4800\,\mathrm{K}$, el límite del invernadero húmedo está en $S_\mathrm{eff} = 0.939$ y el límite del invernadero máximo en 0.290. Calcúlense los bordes de la zona habitable, en unidades astronómicas, y sitúese Kepos.
22. ¿En qué factor debe aumentar el brillo de la estrella antes de que Kepos alcance el borde interior?
23. Con un albedo de 0.3, calcúlese la luz solar absorbida por Kepos por metro cuadrado, y su temperatura de equilibrio. Compárese con el límite del invernadero desbocado.
24. Si un clima más cálido volviera húmeda la estratosfera de Kepos, con $f = 3 \times 10^{-3}$, ¿cuánto duraría un océano terrestre?
25. Indíquese el tiempo que tardaría Kepos en perder un océano terrestre de hidrógeno por escape limitado por difusión, con $f = 1 \times 10^{-3}$, en miles de millones de años, con dos cifras significativas.

Solución

Solución de Problema 27.1.

1. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.2 \times 10^{24}/(6.2 \times 10^{6})^2 = 9.03\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3 = 5210\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2\times3.47 \times 10^{14}/6.7 \times 10^{6}} = 10.18\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $u = \sqrt{2kT/m}$: hidrógeno $4.81\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, helio $2.41\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, oxígeno $1.21\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

4. $\lambda = (v_\mathrm{esc}/u)^2$: 4.49, 17.8, 71.2.

5. Solo el hidrógeno: su fracción de escape es 0.06, la del helio $3.5 \times 10^{-7}$, la del oxígeno $9 \times 10^{-30}$. Ninguno está cerca del régimen hidrodinámico, $\lambda \approx 1.5$ a 3.

6. $\lambda = 4.49\times1400/3000 = 2.09$: dentro de la transición; el hidrógeno habría escapado hidrodinámicamente, quizá arrastrando gases más pesados.

7. $(1 + 4.49)\,e^{-4.49} = 0.0618$.

8. $n u/2\sqrt\pi = 2 \times 10^{11}\times4806/3.545 = 2.71 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Phi_\mathrm J = 2.71 \times 10^{14}\times0.0618 = 1.68 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. $4\pi(6.7 \times 10^{6})^2 = 5.64 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $9.5 \times 10^{27}$ átomos por segundo.

10. $1.4 \times 10^{24}/18.015 = 7.8 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$, $4.68 \times 10^{46}$ moléculas, $9.36 \times 10^{46}$ átomos de hidrógeno.

11. $9.36 \times 10^{46}/9.5 \times 10^{27} = 9.9 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, unos 310 mil millones de años.

12. $\lambda_\mathrm D = 4.49\times2.014/1.008 = 8.96$; fracción de escape $9.96\,e^{-8.96} = 1.28 \times 10^{-3}$; eficiencia relativa $0.707\times 1.28 \times 10^{-3}/0.0618 = 0.015$.

13. $H_a = kT/m_a g = 1.381 \times 10^{-23}\times200/(44.01\times1.661 \times 10^{-27} \times9.03) = 4.18\,\mathrm{km}$.

14. $b = 1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que

$$\Phi_\mathrm{DL} = \frac{b f(m_a - m_i)}{m_a H_a} = \frac{1.2 \times 10^{21}\times1 \times 10^{-3}\times(42.0/44.0)}{4185} = 2.74 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.$$

15. $3.0 \times 10^{13}\times1 \times 10^{-3}\times9.03/9.81 = 2.76 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.76 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: lo mismo dentro del 1 %.

16. $4\pi(6.2 \times 10^{6})^2 = 4.83 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; $1.32 \times 10^{29}$ moléculas de $\ce{H2}$, $2.64 \times 10^{29}$ átomos por segundo.

17. El límite de difusión aporta 28 veces lo que la exobase deja escapar con su densidad actual. El hidrógeno se acumula en la termosfera hasta que el flujo de Jeans iguale al aporte: a largo plazo el escape está limitado por difusión, como en la Tierra.

18. $2 \times 10^{11}\times28 = 5.6 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$.

19. $4.68 \times 10^{46}/1.32 \times 10^{29} = 3.54 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, 11.2 mil millones de años.

20. $S = 0.30/0.60^2 = 0.833$.

21. $d = \sqrt{L/S_\mathrm{eff}}$: borde interior $\sqrt{0.30/0.939} = 0.565\,\mathrm{au}$, borde exterior $\sqrt{0.30/0.290} = 1.02\,\mathrm{au}$. Kepos, a $0.60\,\mathrm{au}$, está dentro, cerca del borde interior.

22. $0.939/0.833 = 1.13$: un aumento de la insolación del 13 %.

23. $0.833\times1361\times0.7/4 = 198\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $T_\mathrm{eq} = (198/\sigma)^{1/4} = 243\,\mathrm{K}$; muy por debajo del límite de $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ (calculado para una estrella similar al Sol, pero el margen es amplio).

24. Tres veces más rápido: 3.7 mil millones de años.

25. 11 mil millones de años.