23Hidrogeología

Un pozo nuevo bombea $2160\,\mathrm{m}^{3}$ de agua al día desde una caliza situada a unos cientos de metros bajo una granja. Al principio nada le ocurre al pozo propio de la granja. Un mes después su nivel de agua está casi $2\,\mathrm{m}$ más bajo, aunque se encuentra a un kilómetro de distancia y la estación de bombeo nunca ha extraído una gota de él. El nivel del agua alrededor del pozo nuevo no ha descendido uniformemente: se ha hundido en un cono, y este se ha extendido con rapidez a través de una roca en la que el agua en sí misma se mueve unos pocos centímetros al día. Este capítulo construye la física que predice ambas cifras, la rápida propagación de la presión y el lento desplazamiento del agua, a partir de una única ley empírica hallada en 1856.

Lo que ya sabes

Porosidad, permeabilidad, nivel freático, agua subterránea, acuíferos, manantiales y los pozos se han estudiado en los libros de cursos anteriores, junto con el tiempo de residencia del agua y del agua subterránea fósil. La viscosidad, la ley de Poiseuille para el flujo en un tubo y la ecuación de difusión se estudian en los libros de física. La función error y las soluciones de la ecuación de difusión que la emplean se encuentran en Capítulo 5. Las colinas de Varden, región ficticia de la serie, con sus areniscas, calizas, lutitas y creta, son la región de los ejercicios desde los libros de cursos anteriores.

23.1 Carga hidráulica y ley de Darcy

El agua subterránea se mueve desde donde su energía mecánica por unidad de peso es alta hacia donde es baja. Como se mueve lentamente, su energía cinética es despreciable, y esa energía tiene dos componentes: la altura del agua y su presión.

Definición 23.1 (Carga hidráulica; gradiente hidráulico)

La carga hidráulica en un punto del terreno saturado es

$$h = z + \frac{p}{\rho g} ,$$

la suma de la carga de elevación $z$ del punto sobre un plano de referencia y la carga de presión $p/(\rho g)$, siendo $p$ la presión del agua sobre la presión atmosférica. Es la altura a la que sube el agua en un tubo, un piezómetro, abierto solo en ese punto. El gradiente hidráulico es $\nabla h$; su módulo entre dos puntos separados una distancia $L$ a lo largo del flujo es $\Delta h/L$.

En 1856 Henry Darcy, ingeniero francés, midió el flujo de agua a través de columnas de arena y halló que era proporcional a la pérdida de carga por unidad de longitud. El flujo es laminar: el agua sigue líneas de corriente separadas.

Teorema 23.2 (Ley de Darcy)

En un medio poroso saturado, el volumen de agua que atraviesa la unidad de área por unidad de tiempo es

$$\vec q = -K\,\nabla h ,$$

donde $K$ depende del medio y del fluido. En un medio cuyos poros son tubos rectos paralelos de radio $a$ que ocupan una fracción $n$ del volumen, la ley de Poiseuille proporciona esta ley con

$$K = \frac{k\rho g}{\mu}, \qquad k = \frac{na^2}{8} ,$$

siendo $\mu$ la viscosidad del agua.

Los poros reales no son tubos rectos; el teorema muestra la forma de la ley y cómo escala. El flujo es proporcional al gradiente, al cuadrado del tamaño de los poros, e inversamente a la viscosidad: la misma arena deja pasar el agua más deprisa cuando está caliente.

Definición 23.3 (Caudal específico; conductividad hidráulica; permeabilidad intrínseca)

El caudal específico $\vec q$ es el volumen de agua que atraviesa la unidad de área del medio, granos y poros en conjunto, por unidad de tiempo. La conductividad hidráulica $K$ es el coeficiente de la ley de Darcy, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ o $\mathrm{m}/\mathrm{d}$. La permeabilidad intrínseca del medio es $k = K\mu/(\rho g)$, en $\mathrm{m}^{2}$: depende solo del medio.

La conductividad hidráulica de las rocas abarca doce órdenes de magnitud, como pocas magnitudes físicas. Según el gráfico de un clásico estudio de la materia, los intervalos típicos, en metros por día, son: arcilla $10^{-7}$ a $10^{-4}$; limo y loess $10^{-3}$ a 2; arena limosa 0.04 a 10; arena limpia 0.3 a 150; grava 100 a 4000; lutita $10^{-8}$ a $10^{-4}$; arenisca $10^{-5}$ a 0.4; rocas carbonatadas $10^{-4}$ cuando solo están fracturadas, y hasta varios miles cuando son cavernosas; rocas ígneas y metamórficas por debajo de $10^{-8}$ cuando no están fracturadas, y hasta unos pocos cuando lo están. La mayoría de las rocas también conducen mejor el agua en el sentido de la estratificación que transversalmente a ella.

El caudal específico es un flujo a través de toda la sección; el agua circula solo por los poros, y más deprisa.

Definición 23.4 (Velocidad de filtración)

La velocidad de filtración es $\vec v = \vec q/n_e$, la velocidad media del agua en los poros, siendo $n_e$ la porosidad efectiva, la de los poros conectados a través de los que circula el agua.

Una arena gruesa con $K = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, un gradiente de 1 en 1000 y una porosidad de 0.20 mueve su agua a $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; una arcilla con $K = 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, un gradiente de 1 en 10 y una porosidad de 0.50, a $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, menos de un centímetro al año. El agua subterránea no circula por ríos subterráneos, salvo en las cuevas de las calizas y en los tubos de las coladas volcánicas. Son valores medios: donde viaja un contaminante, su parte más rápida puede ir varias veces más deprisa.

23.2 Acuíferos

Definición 23.5 (Acuíferos confinados y libres; acuitardo)

Un acuífero libre es un acuífero cuya superficie superior es el nivel freático. Un acuífero confinado es un acuífero cubierto por una capa de conductividad mucho menor, de modo que el agua que contiene está a presión: en un pozo que lo alcanza, el agua asciende por encima del techo del acuífero hasta su superficie piezométrica. Una capa de baja conductividad que frena, pero no detiene, el paso del agua entre acuíferos es un acuitardo.

Definición 23.6 (Transmisividad; coeficiente de almacenamiento; rendimiento específico)

La transmisividad de un acuífero de espesor $b$ es $T = Kb$, el caudal por unidad de anchura con gradiente unitario, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. Su coeficiente de almacenamiento $S$ es el volumen de agua liberado por unidad de área del acuífero cuando la carga desciende una unidad; es adimensional. El rendimiento específico $S_y$ de una roca es el volumen de agua que drena por gravedad, por unidad de volumen, cuando el nivel freático desciende a través de ella.

Los dos tipos de acuífero liberan el agua de distinta manera. En un acuífero confinado la carga desciende, pero los poros permanecen llenos: el agua se expande un poco, y el acuífero, que soporta más peso de las rocas suprayacentes, se comprime un poco. La expansión del agua por sí sola libera unos $9 \times 10^{-7}$ metros cúbicos por metro cúbico de acuífero y por metro de carga; con la compresión, el coeficiente de almacenamiento de la mayoría de los acuíferos confinados es de $10^{-5}$ a $10^{-3}$. En un acuífero libre el nivel freático desciende y los poros situados encima drenan: el coeficiente de almacenamiento es el rendimiento específico, de unos 0.1 a 0.3, entre cien y diez mil veces mayor. Las transmisividades de los acuíferos en explotación van desde menos de $1\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ en rocas fracturadas hasta $100\,000\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ en calizas cavernosas y coladas de lava. Donde la carga de un acuífero confinado se abate durante mucho tiempo, las arcillas que contiene y las que lo rodean drenan y se compactan, y el terreno suprayacente se hunde.

23.3 La ecuación del flujo de agua subterránea

Teorema 23.7 (Ecuación del flujo de agua subterránea)

En un acuífero confinado de transmisividad $T$ y coeficiente de almacenamiento $S$ constantes, con flujo horizontal, la carga $h(x, y, t)$ obedece

$$S\,\frac{\partial h}{\partial t} = T\nabla^2h + W ,$$

siendo $W$ el volumen de agua añadido por unidad de área y de tiempo por la recarga o extraído por bombeo (negativo). En flujo estacionario sin fuentes, $\nabla^2h = 0$.

Es la ecuación de difusión de los libros de física, con la difusividad hidráulica $T/S$ en lugar de una térmica. Para una caliza confinada con $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ y $S = 2 \times 10^{-4}$, la difusividad es $2.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$: un cambio de carga se extiende a lo largo de $1\,\mathrm{km}$ en unos $L^2S/T$, medio día. La misma caliza, libre, con $S = 0.2$, tardaría mil veces más. La presión se propaga rápido, el agua se mueve despacio: los dos números del inicio.

Proposición 23.8 (Flujo radial estacionario hacia un pozo)

Un pozo bombea $Q$ desde un acuífero confinado de transmisividad $T$, siendo el flujo estacionario y radial. Entre dos distancias $r_1 < r_2$ del pozo, los descensos difieren en

$$s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi T}\ln\frac{r_2}{r_1} .$$

En dos dimensiones, el flujo estacionario se dibuja con una red de flujo.

Definición 23.9 (Red de flujo)

Una red de flujo es un dibujo del flujo estacionario de agua subterránea en una sección homogénea e isótropa mediante dos familias de curvas: las equipotenciales, líneas de igual carga, y las líneas de corriente, que sigue el agua. Las líneas de corriente cortan a las equipotenciales en ángulo recto, y en una red de flujo se espacian de modo que las celdas son cuadrados curvilíneos.

Método 23.10 (Filtración a partir de una red de flujo)

1. Dibújense los contornos: un contorno impermeable es una línea de corriente; el lecho de un cuerpo de agua, donde la carga es fija, es una equipotencial.
2. Dibújense $N_d$ caídas de carga entre la carga más alta y la más baja, $\Delta h = H/N_d$, y las líneas de corriente que forman $N_f$ canales de flujo, por tanteo, hasta que cada celda sea un cuadrado curvilíneo.
3. Cada canal transporta $K\Delta h$ por unidad de longitud normal a la sección, cancelándose la longitud y la anchura del cuadrado: el total es $q = KHN_f/N_d$.

23.4 Pruebas de bombeo

El flujo estacionario hacia un pozo es raro: un nuevo estado estacionario puede tardar meses o años, o no llegar nunca. En 1935 Theis, de la United States Geological Survey, dio el abatimiento alrededor de un pozo bombeado a caudal constante como función del tiempo, a partir de lo cual una prueba de unas pocas horas o días permite obtener la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento del acuífero.

Teorema 23.11 (Solución de Theis)

Un pozo que penetra totalmente en un acuífero confinado, infinito y homogéneo, de transmisividad $T$ y coeficiente de almacenamiento $S$ comienza a bombear en $t = 0$ a caudal constante $Q$. El abatimiento a la distancia $r$ es

$$s(r, t) = \frac{Q}{4\pi T}\,W(u), \qquad u = \frac{r^2S}{4Tt}, \qquad W(u) = \int_u^\infty\frac{\mathrm e^{-y}}{y}\,\mathrm dy = -\gamma - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot2!} + \frac{u^3}{3\cdot3!} - \cdots,$$

con $\gamma = 0.5772$. $W$ se denomina función del pozo.

Proposición 23.12 (Aproximación de Cooper–Jacob)

Cuando $u \le 0.05$, el abatimiento de Theis se aproxima a

$$s = \frac{2.3\,Q}{4\pi T}\log_{10}\frac{2.25\,Tt}{r^2S} :$$

representado frente a $\log_{10}t$, el abatimiento es una recta cuya subida por ciclo logarítmico, $\Delta s$, da $T = 2.3\,Q/(4\pi\Delta s)$, y cuya corte con $s = 0$, en $t_0$, da $S = 2.25\,Tt_0/r^2$.

Definición 23.13 (Cono de depresión)

El cono de depresión de un pozo bombeado es la depresión del nivel freático, o de la superficie potenciométrica, alrededor del pozo; el gradiente se hace más pronunciado hacia el pozo, por el que debe pasar toda el agua.

Como los abatimientos obedecen una ecuación lineal, los conos de varios pozos se suman. En un acuífero confinado, con su pequeño coeficiente de almacenamiento, un cono crece deprisa y los conos de pozos vecinos pronto interfieren; en un acuífero libre, que debe drenar sus poros, el cono crece despacio. El cono deja de crecer solo cuando ha captado recarga suficiente, o ha reducido bastante de la descarga natural del acuífero hacia ríos y manantiales, hasta equilibrar el bombeo. Las extracciones grandes de un acuífero confinado llegan lejos: en 1981 unos $277\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ bombeados del acuífero cretácico de la llanura costera atlántica, en Virginia y Carolina del Norte, había formado conos solapados en toda ella.

Sobre el terreno — Una prueba de bombeo

Antes de una prueba de bombeo, los hidrogeólogos registran los niveles del agua en los pozos durante un tiempo, para conocer la tendencia sobre la que se superpondrá la prueba. A continuación, la bomba funciona a caudal constante, mantenido estable y medido con un caudalímetro en la tubería de descarga, durante varias horas o varios días. En cada pozo de observación, al menos tres de ellos a distintas distancias si es posible, se lee la profundidad del agua bajo un punto de medida fijo en instantes conocidos con precisión, muchos en los primeros minutos y menos después: con una cinta metálica graduada o una sonda eléctrica cuyo electrodo cierra un circuito al tocar el agua. Hoy en día, un transductor de presión sumergible colgado en el pozo, conectado a un registrador electrónico, registra el nivel casi de forma continua.

23.5 Transporte de solutos

Un soluto disuelto en el agua subterránea es arrastrado por el agua, a la velocidad de filtración, y se dispersa a medida que avanza: el agua de los poros vecinos se mueve a velocidades y por trayectorias distintas, y el soluto también se difunde.

Definición 23.14 (Dispersión hidrodinámica; dispersividad)

La dispersión hidrodinámica es el esparcimiento de un soluto en el agua subterránea en movimiento debido a las variaciones de la velocidad del agua de un poro a otro y a la difusión molecular. A lo largo del flujo se describe mediante un coeficiente de dispersión $D = \alpha_Lv + D^*$, siendo $v$ la velocidad de filtración, $D^*$ la difusividad molecular efectiva y $\alpha_L$, una longitud, la dispersividad longitudinal del medio.

Teorema 23.15 (Ecuación de advección–dispersión)

A lo largo de un flujo unidimensional de velocidad de filtración constante $v$, la concentración $C(x, t)$ de un soluto no reactivo cumple

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2C}{\partial x^2} - v\,\frac{\partial C}{\partial x} .$$

Si la concentración se mantiene en $C_0$ en $x = 0$ desde $t = 0$, en un medio inicialmente libre de soluto,

$$\frac{C}{C_0} = \frac12\left[\operatorname{erfc}\frac{x - vt}{2\sqrt{Dt}} + \mathrm e^{vx/D}\operatorname{erfc}\frac{x + vt}{2\sqrt{Dt}}\right] .$$

En el sistema que se mueve con el agua, $\xi = x - vt$, la ecuación es la ecuación de difusión, y el frente se ensancha como $\sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_L vt} = \sqrt{2\alpha_Lx}$: la anchura del frente crece como la raíz cuadrada de la distancia recorrida.

Definición 23.16 (Factor de retardo)

Un soluto que se adsorbe sobre los granos, en equilibrio y en proporción a su concentración, se desplaza más lentamente que el agua. Su factor de retardo es

$$R = 1 + \frac{\rho_bK_d}{n} ,$$

$\rho_b$ es la densidad aparente seca del medio, $n$ su porosidad y $K_d$ el coeficiente de distribución, la masa adsorbida por unidad de masa de sólido dividida por la concentración en el agua. El soluto se mueve a $v/R$ y se dispersa con $D/R$.

Las dispersividades son difíciles de medir y, en la práctica, a menudo se fijan mediante reglas empíricas. La más antigua toma la dispersividad longitudinal como una décima parte de la longitud del penacho. Una recopilación de medidas de campo publicada en 1992 muestra que la dispersividad crece con la escala del experimento, que los valores fiables a gran escala son pocos y que, a una escala dada, los valores se reparten a lo largo de dos o tres órdenes de magnitud.

23.6 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Dos piezómetros se sitúan uno junto al otro en un terreno a $120.0\,\mathrm{m}$ sobre el datum. El primero tiene la rejilla filtrante a $40\,\mathrm{m}$ de profundidad y su agua se sitúa a $12.5\,\mathrm{m}$ bajo el terreno; el segundo tiene la rejilla filtrante a $80\,\mathrm{m}$ de profundidad, su agua a $15.0\,\mathrm{m}$ bajo el terreno. Calcúlense la altura de posición, la altura de presión y la carga hidráulica en ambas rejillas. ¿En qué sentido circula el agua entre ellos, y con qué gradiente vertical?

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

Primer tramo filtrante: $z = 120 - 40 = 80\,\mathrm{m}$, $h = 120 - 12.5 = 107.5\,\mathrm{m}$, carga de presión $107.5 - 80 = 27.5\,\mathrm{m}$. Segundo tramo filtrante: $z = 40\,\mathrm{m}$, $h = 105.0\,\mathrm{m}$, carga de presión $65.0\,\mathrm{m}$. La carga es mayor en el tramo somero, así que el agua fluye hacia abajo, con un gradiente $(107.5 - 105.0)/40 = 0.0625$: los piezómetros se sitúan en una zona de recarga. La presión por sí sola habría sugerido lo contrario.

Ejercicio 23.2 ★

Una columna de arena de $50\,\mathrm{cm}$ de longitud y $10\,\mathrm{cm}$ de diámetro, con $K = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ y una porosidad eficaz de 0.35, transporta agua bajo una diferencia de carga de $30\,\mathrm{cm}$. Calcúlense el caudal específico, el caudal en litros por hora y la velocidad de filtración.

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

$q = K\Delta h/L = 12\times0.30/0.50 = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. El área es $\pi\times0.05^2 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$, de modo que $Q = 0.0565\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, o $56.5/24 = 2.36\,\mathrm{L}/\mathrm{h}$. La velocidad de filtración es $7.2/0.35 = 20.6\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Ejercicio 23.3 ★

Una caliza tiene $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ para agua a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 999.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.306 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). Calcúlense su permeabilidad intrínseca y su conductividad hidráulica para agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 998.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.002 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$).

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$K = 2.5/86400 = 2.894 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y $k = K\mu/(\rho g) = 2.894 \times 10^{-5}\times1.306 \times 10^{-3}/(999.7\times9.81) = 3.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}$. A $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $K$ se multiplica por $(998.2/1.002 \times 10^{-3})/(999.7/1.306 \times 10^{-3}) = 1.30$: $K = 3.25\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. El cambio se debe casi por completo a la viscosidad.

Ejercicio 23.4 ★

La caliza confinada de Varden-3 tiene $180\,\mathrm{m}$ de espesor, con $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Calcúlense su transmisividad y el coeficiente de almacenamiento que tendría si solo la expansión del agua, $9 \times 10^{-7}$ por metro de acuífero y por metro de carga, liberara agua. Compárese con $S = 2 \times 10^{-4}$.

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$T = 2.5\times180 = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. La expansión del agua da $9 \times 10^{-7}\times180 = 1.62 \times 10^{-4}$, unos $80\,\%$ de $S = 2 \times 10^{-4}$; la compresión de la caliza aporta el resto.

Ejercicio 23.5 ★★

Tras un largo período de bombeo a $1500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, los descensos han dejado de variar: $2.35\,\mathrm{m}$ en un pozo de observación a $20\,\mathrm{m}$ del pozo de bombeo y $0.82\,\mathrm{m}$ en uno a $200\,\mathrm{m}$ de distancia. El acuífero es confinado y de $40\,\mathrm{m}$ de espesor. Calcúlense su transmisividad y su conductividad hidráulica.

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Según la Proposición 23.8, $T = Q\ln(r_2/r_1)/(2\pi(s_1 - s_2)) = 1500\times\ln10/(2\pi\times1.53) = 359\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, y $K = 359/40 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Ejercicio 23.6 ★★

Un pozo bombea $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ desde un acuífero confinado con $T = 300\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ y $S = 5 \times 10^{-4}$. Calcúlense $u$, $W(u)$ (a partir de la serie) y el descenso a $300\,\mathrm{m}$ de distancia tras 1 día y tras 10 días.

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

$Q/4\pi T = 1200/(4\pi\times300) = 0.318\,\mathrm{m}$. Tras 1 día, $u = 300^2\times5 \times 10^{-4}/(4\times300\times1) = 0.0375$ y $W = -0.5772 + 3.2834 + 0.0375 - 0.0004 = 2.743$: $s = 0.873\,\mathrm{m}$. Tras 10 días, $u = 0.003\,75$, $W = -0.5772 + 5.5860 + 0.0038 = 5.013$: $s = 1.596\,\mathrm{m}$. Diez veces más tiempo da menos del doble de descenso.

Ejercicio 23.7 ★★

Para la prueba de Varden-3 ($T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, $S = 2 \times 10^{-4}$), ¿tras cuántos minutos puede usarse la recta de Cooper–Jacob en los pozos de observación a $60\,\mathrm{m}$ y $500\,\mathrm{m}$ del pozo de bombeo? ¿Qué indica esto sobre dónde deben situarse los pozos de observación de una prueba corta?

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

$u \le 0.05$ cuando $t \ge r^2S/(4T\times0.05)$. A $60\,\mathrm{m}$: $3600\times 2 \times 10^{-4}/90 = 0.008\,\mathrm{d}$, $11.5\,\mathrm{min}$. A $500\,\mathrm{m}$: $0.556\,\mathrm{d}$, $800\,\mathrm{min}$, más de 13 horas. El tiempo crece como $r^2$: en una prueba de uno o dos días, los pozos de observación usados para la recta deben estar a unos pocos cientos de metros del pozo bombeado.

Ejercicio 23.8 ★★

Dos pozos separados $400\,\mathrm{m}$ en la caliza de Varden bombean cada uno $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$. Calcúlese el descenso tras 10 días a mitad de camino entre ambos, y en el emplazamiento del segundo pozo, debido solo al primero. ¿Por qué el bombeo de cada pozo le cuesta dinero al otro?

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

A mitad de camino, cada pozo está a $200\,\mathrm{m}$: $u = 200^2\times2 \times 10^{-4}/(4 \times450\times10) = 4.44 \times 10^{-4}$, $W = 7.142$, $s = 0.382\times 7.142 = 2.728\,\mathrm{m}$ de cada uno, $5.456\,\mathrm{m}$ en total. A $400\,\mathrm{m}$, $u = 1.78 \times 10^{-3}$, $W = 5.757$, $s = 2.199\,\mathrm{m}$. Cada pozo hace bajar el nivel del agua del otro en $2.2\,\mathrm{m}$: su bomba debe elevar el agua $2.2\,\mathrm{m}$ más arriba, lo que cuesta energía, y el descenso que queda antes de que la toma de la bomba quede en seco es menor.

Ejercicio 23.9 ★★

En la red de flujo bajo la presa, cuéntense los canales de flujo y las caídas de carga. Con $K = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ y $H = 10\,\mathrm{m}$, calcúlese la filtración por metro de presa y bajo una presa de $300\,\mathrm{m}$ de longitud.

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Cuatro líneas de corriente entre la base de la presa y el lecho delimitan $N_f = 5$ canales; nueve equipotenciales dividen la carga de $10\,\mathrm{m}$ en $N_d = 10$ caídas de carga. $q = KHN_f/N_d = 5\times10\times5/10 = 25\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ por metro de presa, y $7500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ para $300\,\mathrm{m}$. El factor de forma calculado, 0.512 en lugar de 0.5, daría $25.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ por metro.

Ejercicio 23.10 ★★★

Modélese una arena limpia como tubos rectos de radio $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ con una porosidad de 0.30. Calcúlense $k$ y $K$ (para agua a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, como en el Ejercicio 23.3), y compárense con el intervalo típico de la arena limpia. ¿Qué rasgos de una arena real deja fuera el modelo y en qué sentido desplaza cada uno $K$?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

$k = na^2/8 = 0.30\times(5 \times 10^{-5})^2/8 = 9.4 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}$, y $K = k\rho g/\mu = 9.375 \times 10^{-11}\times998.2\times9.81/1.002 \times 10^{-3} = 9.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $79\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, dentro del intervalo de la arena limpia, entre 0.3 y $150\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. El modelo omite la tortuosidad de las trayectorias, más largas que los tubos rectos (reduce $K$), las gargantas entre los poros, más estrechas que los poros (reduce), los poros ciegos que no transportan flujo (reduce), y la dispersión de los tamaños de poro: como un tubo transporta un caudal proporcional a $a^4$, las trayectorias más anchas transportan la mayor parte del agua y una dispersión eleva $K$ por encima de la de los tubos de tamaño medio.

Ejercicio 23.11 ★★★

(a) Muéstrese que el descenso de Cooper–Jacob se anula en $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Calcúlese $r_0$ tras 30 días de bombeo en la caliza confinada de Varden, y para la misma roca libre, con $S = 0.2$. (c) ¿Por qué el cono de un acuífero confinado puede alcanzar un límite que la prueba no estaba pensada para detectar?

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

(a) El logaritmo se anula cuando $2.25\,Tt = r^2S$, es decir, en $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Confinado y libre:

$$r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{2 \times 10^{-4}}} = 12.3\,\mathrm{km}, \qquad r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{0.2}} = 390\,\mathrm{m},$$

$\sqrt{1000} = 31.6$ veces menor. (c) La presión se propaga con la difusividad $T/S$, enorme cuando $S$ es pequeño: durante la prueba, el cono alcanza fallas, los afloramientos del acuífero y los ríos, y el descenso se aparta de la recta, lo que indica al hidrogeólogo que se ha alcanzado un límite.

Ejercicio 23.12 ★★★

(a) Para una distancia de recorrido larga, la curva de llegada en $x$ se aproxima a una distribución normal en el tiempo, de media $x/v$ y desviación típica $\sigma_t = \sqrt{2\alpha_Lx}/v$. Demuéstrese a partir del ensanchamiento $\sqrt{2Dt}$ del frente. (b) A $100\,\mathrm{m}$, con $v = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, la concentración alcanza $16\,\%$ tras $152.6$ días y $84\,\%$ tras $247.2$ días. Estímese $\alpha_L$. (c) Un acuífero arenoso tiene $\rho_b = 1.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ y $n = 0.30$; un soluto tiene $K_d = 0.32\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}$. Calcúlese $R$.

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

(a) Visto desde el sistema de referencia que se mueve con el agua, el frente se dispersa con desviación típica $\sigma_x = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_Lvt}$. Pasa por $x$ en torno a $t = x/v$, cuando $\sigma_x = \sqrt{2\alpha_Lx}$; a la velocidad $v$, una dispersión de $\sigma_x$ en distancia equivale a una de $\sigma_t = \sigma_x/v$ en tiempo. (b) Los tiempos del $16\,\%$ y del $84\,\%$ se sitúan una desviación típica a cada lado de la media: $\sigma_t = (247.2 - 152.6)/2 = 47.3~\text{días}$. Entonces $\alpha_L = v^2\sigma_t^2/(2x) = 0.25\times47.3^2/200 = 2.8\,\mathrm{m}$. (La curva se calculó con $3\,\mathrm{m}$: la aproximación normal la subestima ligeramente.) (c) $R = 1 + 1.9\times0.32/0.30 = 3.03$: el soluto viaja a un tercio de la velocidad del agua.

23.7 Problema: prueba de bombeo en Varden-3

Problema 23.1

Problema de fin de semana — cargas, una prueba de bombeo y el recorrido de un contaminante en la caliza confinada de las colinas de Varden

El pozo ficticio Varden-3 se perfora en (4500, 5000) sobre la cuadrícula de las colinas de Varden, desde una cota de $363.2\,\mathrm{m}$, atravesando la lutita jurásica hasta la caliza jurásica, cuyo techo queda a $282.5\,\mathrm{m}$ y cuya base a $102.5\,\mathrm{m}$ sobre el nivel del mar; el pozo está abierto en todo el espesor de la caliza. Antes de la prueba, el agua del pozo se sitúa a $45.0\,\mathrm{m}$ por debajo del suelo.

Parte I — El acuífero y su flujo natural.

1. Calcúlense los espesores de la lutita y de la caliza en el pozo.
2. Calcúlense la carga hidráulica en la caliza y la carga de presión en su techo. ¿Por qué la caliza es aquí un acuífero confinado?
3. Tres piezómetros abiertos a la caliza se sitúan en P1 (4300, 5250), P2 (4850, 5150) y P3 (4550, 4650), con cargas de 318.96, 317.34 y $317.52\,\mathrm{m}$. Si se escribe $h = ax + by + c$, calcúlense $a$ y $b$.
4. Calcúlense el gradiente hidráulico y el acimut hacia el que fluye el agua.

Parte II — La prueba de bombeo. El pozo se bombea a $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ durante dos días. En un pozo de observación a $60\,\mathrm{m}$ de distancia, los descensos son:

$t$ ($\mathrm{min}$)	1	2	3	5	7	10	15	20	30	45	60
$s$ ($\mathrm{m}$)	0.18	0.36	0.48	0.64	0.77	0.88	1.04	1.15	1.30	1.45	1.56
$t$ ($\mathrm{min}$)	90	120	180	240	360	480	720	960	1440	2160	2880
$s$ ($\mathrm{m}$)	1.71	1.82	1.98	2.08	2.24	2.35	2.50	2.61	2.77	2.92	3.03

5. Represéntese $s$ frente a $\log_{10}t$. ¿Cuáles de los primeros puntos se apartan de la recta, y por qué?
6. A partir del tramo recto, mídase el descenso por ciclo logarítmico.
7. Calcúlese la transmisividad.
8. Hállese el tiempo $t_0$ en el que la recta corta al descenso nulo.
9. Calcúlese el coeficiente de almacenamiento.
10. Compruébese que $u \le 0.05$ para los puntos utilizados.
11. Calcúlese la conductividad hidráulica de la caliza.

Parte III — El cono. A partir de aquí se toman $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ y $S = 2 \times 10^{-4}$.

12. Calcúlese el descenso de Theis en el pozo de observación tras 2 días y compárese con el registro.
13. Un pozo de granja a $1\,\mathrm{km}$ de distancia extrae de la misma caliza. Calcúlese su descenso tras 30 días de bombeo.
14. Calcúlese la distancia de Jacob $r_0$ tras 30 días. ¿Qué indica sobre los bordes del acuífero y la falla de las colinas de Varden?
15. Calcúlese el volumen bombeado en 30 días. ¿De dónde procede, en un acuífero confinado, ese volumen?
16. ¿Cómo se compararía el descenso en la granja si la caliza fuera libre, con $S = 0.18$?

Parte IV — Un contaminante. Una fuga de un contaminante disuelto llega a la caliza a $200\,\mathrm{m}$ del pozo. Tómense una porosidad efectiva de 0.18 y un factor de retardo de 2.5.

17. Antes del bombeo, calcúlense el caudal específico y la velocidad de filtración del flujo natural de la Parte I.
18. ¿Cuánto tardaría el agua en recorrer $200\,\mathrm{m}$, y el contaminante?
19. Con el pozo en bombeo y la fuga aguas arriba de él, el flujo se vuelve radial hacia el pozo. Demuéstrese que el agua tarda $t = \pi n_e b r^2/Q$ en llegar al pozo desde una distancia $r$, despreciando el flujo natural, y calcúlese para el agua y para el contaminante.
20. Con la regla práctica de una dispersividad igual a una décima parte de la distancia, estímese el ensanchamiento $\sqrt{2\alpha_Lx}$ del frente en el pozo. ¿Qué significa para la primera llegada?
21. ¿Debe seguir el bombeo? Señálese un argumento a favor y otro en contra.
22. Indíquese la transmisividad del acuífero de caliza de Varden, en metros cuadrados por día, con dos cifras significativas.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. Lutita $363.2 - 282.5 = 80.7\,\mathrm{m}$; caliza $282.5 - 102.5 = 180\,\mathrm{m}$.

2. $h = 363.2 - 45.0 = 318.2\,\mathrm{m}$; carga de presión en la parte superior $318.2 - 282.5 = 35.7\,\mathrm{m}$. El agua asciende $35.7\,\mathrm{m}$ por encima de la parte superior de la caliza, retenida por la lutita: el acuífero es confinado.

3. A partir de $h_2 - h_1 = 550a - 100b = -1.62$ y $h_3 - h_1 = 250a - 600b = -1.44$: $a = -2.715 \times 10^{-3}$ y $b = 1.269 \times 10^{-3}$ por metro.

4. $|\nabla h| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0.0030$. El agua fluye según $-\nabla h = (2.715 \times 10^{-3}, -1.269 \times 10^{-3})$, hacia el este y el sur: acimut $180{}^{\circ} - \arctan(2.715/1.269) = 115{}^{\circ}$.

5. Los puntos anteriores a unos $10\,\mathrm{min}$ quedan por encima de la recta: allí $u > 0.05$ y la curva de Theis está por encima de su aproximación logarítmica ($W > -\gamma - \ln u$, como muestra la figura de la función de pozo).

6. La mejor recta que ajusta los puntos desde $15\,\mathrm{min}$ en adelante pasa por $1.75\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{min}$ y $2.63\,\mathrm{m}$ a $1000\,\mathrm{min}$: $\Delta s = 0.87\,\mathrm{m}$ por ciclo logarítmico.

7. $T = 2.3\times2160/(4\pi\times0.872) = 453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$.

8. La recta desciende $0.87\,\mathrm{m}$ por ciclo desde $1.75\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{min}$: el cero se alcanza $1.75/0.872 = 2.01$ ciclos antes, $t_0 = 0.98\,\mathrm{min} = 6.83 \times 10^{-4}\,\mathrm{d}$.

9. $S = 2.25\,Tt_0/r^2 = 2.25\times453\times6.83 \times 10^{-4}/3600 = 1.9 \times 10^{-4}$, dentro del intervalo de los acuíferos confinados.

10. A $15\,\mathrm{min}$, $u = 3600\times1.9 \times 10^{-4}/(4\times453 \times0.0104) = 0.036$, y menor después.

11. $K = 453/180 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, una caliza fracturada.

12. $u = 3600\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times2) = 2.0 \times 10^{-4}$, $W = -0.5772 + 8.5172 + 0.0002 = 7.940$, $s = 0.382\times7.940 = 3.03\,\mathrm{m}$, como se registró.

13. $u = 10^6\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times30) = 0.0037$, $W = 5.02$, $s = 1.92\,\mathrm{m}$.

14. $r_0 = \sqrt{2.25\times450\times30/(2 \times 10^{-4})} = 12.3\,\mathrm{km}$, más que la anchura de la región. El cono ha alcanzado los bordes de la caliza, sus afloramientos y la falla, que quizá lo enfrenten a roca menos permeable: el acuífero infinito de Theis ya no lo describe, y solo el registro de los descensos dirá si un límite alimenta el pozo o detiene el flujo.

15. $2160\times30 = 64\,800\,\mathrm{m}^{3}$. Procede del almacenamiento: el agua liberada por la expansión del agua y la compresión de la caliza, en toda la superficie del cono. Integrando $S\,s$ sobre el cono recupera $Qt$.

16. $u = 10^6\times0.18/(4\times450\times30) = 3.33$, $W = 0.0086$, $s = 3\,\mathrm{mm}$: la granja no lo notaría. El bombeo tomaría agua de los poros cercanos al pozo en lugar de la presión de todo el acuífero.

17. $q = 2.5\times0.0030 = 0.0075\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; $v = 0.0075/0.18 = 0.042\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, $15\,\mathrm{m}$ al año.

18. $200/0.0417 = 4800\text{ días}$, $13.1$ años; el contaminante, $32.9$ años.

19. A través de un cilindro de radio $r$ el caudal $Q$ atraviesa el área $2\pi rb$ de la que los poros son la fracción $n_e$: $\mathrm dr/\mathrm dt = -Q/(2\pi rbn_e)$, e integrando $2\pi bn_er\,\mathrm dr = -Q\, \mathrm dt$ desde $r$ hasta 0 da $t = \pi n_ebr^2/Q$. Aquí $\pi\times0.18 \times180\times200^2/2160 = 1885~\text{días}$, $5.2$ años para el agua y $2.5\times5.2 = 12.9\text{ años}$ para el contaminante: el pozo lo hace llegar más de dos veces antes.

20. $\alpha_L = 20\,\mathrm{m}$ y $\sqrt{2\times20\times200} = 89\,\mathrm{m}$. La concentración alcanza el $16\,\%$ de su valor final a $89\,\mathrm{m}$ por delante del frente medio: ese nivel llega al pozo cuando el frente medio aún está a $89\,\mathrm{m}$ de distancia, en $(111/200)^2\times12.9 = 4.0\text{ años}$, un tercio del tiempo medio. Las primeras trazas importan para el agua potable, no la media.

21. A favor: el pozo capta el contaminante, así que no puede extenderse más aguas abajo, y el agua puede tratarse donde se bombea. En contra: el bombeo arrastra el contaminante hacia un pozo de abastecimiento antes de lo que recorrería de otro modo, y el agua debe vigilarse y tratarse durante décadas.

22. La transmisividad de la caliza Varden es $T \approx \textbf{$450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$}$ ($453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ a partir del ensayo).