24Glaciología

Se atraviesa Groenlandia de oeste a este siguiendo el paralelo $72.5{}^{\circ}$N. El hielo comienza a unas pocas decenas de kilómetros tierra adentro, asciende con fuerte pendiente y después cada vez más suavemente, hasta una amplia cima de $3229\,\mathrm{m}$ de altitud, y vuelve a descender hasta las montañas de la costa oriental. Representada en una gráfica, la superficie se aproxima a una parábola tumbada, con su vértice en el margen. Este capítulo muestra de dónde procede esa forma: de un material que fluye cada vez más deprisa a medida que se le aplica un esfuerzo mayor, de modo que se comporta casi como si no pudiera soportar más que cierto esfuerzo. Después sigue el hielo desde la nieve que lo alimenta hasta el mar que lo recibe.

Lo que ya sabes

Los glaciares, los casquetes de hielo, las plataformas de hielo, los icebergs, el hielo marino, el permafrost y las edades de hielo figuran en los libros escolares. Las leyes de flujo y la fluencia por dislocaciones están en el capítulo 7; la gravimetría por satélite y el balance de masa de los casquetes de hielo que mide en el capítulo 3; los testigos de hielo y sus isótopos de oxígeno, en el capítulo 14. El presupuesto del nivel del mar, la retroalimentación hielo–albedo y la subida del nivel del mar por termoestérica están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre el cambio climático antropogénico. El calor latente y la conducción de calor están en los libros de física.

24.1 El hielo como material

El hielo glaciar es una roca, una masa de cristales de hielo entrelazados, y se deforma cerca de su punto de fusión. Bajo un esfuerzo fluye por fluencia mediante el movimiento de dislocaciones en sus cristales, como en las rocas del capítulo 7, y su ley de flujo tiene la misma forma: una potencia del esfuerzo multiplicada por un factor de Arrhenius.

Teorema 24.1 (Ley de flujo de Glen)

En el hielo glaciar isótropo, el tensor de velocidad de deformación es proporcional a la parte desviadora del esfuerzo,

$$\dot\varepsilon_{ij} = A(T)\,\tau_e^{\,n-1}\,\tau'_{ij}, \qquad \tau_e^2 = \tfrac12\,\tau'_{ij}\tau'_{ij},$$

con $n = 3$ y un factor de velocidad $A(T)$ que crece con la temperatura. En cizalla simple, con $\tau_{xz}$ como única componente no nula de la parte desviadora del esfuerzo, $\dot\varepsilon_{xz} = A\tau_{xz}^{\,n}$.

Con $n = 3$, el hielo es un fluido fuertemente no lineal: al duplicar el esfuerzo se deforma ocho veces más deprisa. Su viscosidad efectiva, $1/(2A\tau_e^{\,2})$, no es una propiedad del hielo por sí solo, sino que disminuye a medida que aumenta el esfuerzo.

Definición 24.2 (Factor de velocidad (hielo))

El factor de velocidad $A(T)$ de la ley de Glen, también llamado blandura del hielo, se escribe $A = A_0\exp(-Q/RT)$, con una energía de activación $Q$. Un ajuste muy utilizado (Paterson y Budd) toma $A_0 = 3.61 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ y $Q = 60\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ por debajo de $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y $A_0 = 1.73 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Pa}^{-3}$ y $Q = 139\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ por encima de esa temperatura, más cerca del punto de fusión, donde el hielo se ablanda más deprisa con la temperatura.

El hielo en su punto de fusión fluye unas cincuenta veces más deprisa que a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bajo el mismo esfuerzo. Los esfuerzos en los glaciares son del orden de un bar, $10^{5}\,\mathrm{Pa}$.

Un glaciar se mueve de dos maneras. Su hielo se deforma por fluencia, en todas partes; y donde el lecho está en el punto de fusión, puede además deslizarse.

Definición 24.3 (Deslizamiento basal)

El deslizamiento basal es el movimiento de un glaciar sobre su lecho, sobre una fina película de agua o una capa de sedimento blando y húmedo. Requiere un lecho en el punto de fusión; un glaciar congelado a su lecho se mueve únicamente por la fluencia de su hielo.

24.2 Flujo glaciar

Teorema 24.4 (Flujo de una losa de caras paralelas)

Una losa de hielo de espesor $H$ y densidad $\rho$ descansa sobre un lecho de pendiente $\alpha$ y fluye pendiente abajo por cizalla simple, deslizándose a la velocidad $u_b$. A una altura $z$ sobre el lecho, el esfuerzo de cizalla es $\tau = \rho g(H - z)\sin\alpha$, la velocidad

$$u(z) = u_b + \frac{2A}{n + 1}(\rho g\sin\alpha)^n\left[H^{n+1} - (H - z)^{n+1}\right],$$

y el caudal por unidad de anchura $q = u_bH + \dfrac{2A}{n + 2}(\rho g\sin\alpha)^nH^{n+2}$. El esfuerzo de cizalla basal es $\tau_b = \rho gH\sin\alpha$.

La velocidad cambia poco en la parte superior de la losa y es rápida cerca del lecho, donde el esfuerzo es mayor: con $n = 3$ la cizalla se concentra en las capas más bajas. La velocidad superficial crece como $H^{n+1} = H^4$ y como el cubo de la pendiente: un glaciar dos veces más grueso fluye dieciséis veces más rápido.

Definición 24.5 (Aproximación de hielo somero)

La aproximación de hielo somero trata un casquete de hielo cuyo espesor es pequeño frente a su anchura se trata localmente como una losa de lados paralelos: en cada lugar el hielo se deforma por cizalla simple bajo el esfuerzo motor $\tau_d = \rho gH|\nabla s|$, siendo $s$ la elevación de la superficie, y el caudal sigue la fórmula de la losa con el espesor local y la pendiente superficial.

En la aproximación de hielo somero el esfuerzo basal viene fijado por la forma del hielo. Como la velocidad de deformación crece con el cubo del esfuerzo, un aumento moderado del esfuerzo produce un gran aumento del flujo, que adelgaza el hielo y vuelve a reducir el esfuerzo: el esfuerzo se mantiene dentro de un rango estrecho, sea cual sea el tamaño de la masa de hielo. Llevado al límite, un material que no se deforma en absoluto por debajo de un esfuerzo de fluencia $\tau_0$ y se deforma sin límite por encima de él, y la forma se deduce.

Proposición 24.6 (Perfil de un casquete de hielo plástico)

Un casquete de hielo perfectamente plástico, de esfuerzo de fluencia $\tau_0$, sobre un lecho plano y horizontal tiene, a la distancia $x$ hacia el interior desde su margen, la altura superficial

$$h(x) = \sqrt{\frac{2\tau_0x}{\rho g}} .$$

24.3 Balance de masa

Un glaciar se alimenta de nieve y pierde hielo por fusión, evaporación y, donde alcanza el agua, por desprendimiento de icebergs.

Definición 24.7 (Balance de masa; zonas de acumulación y de ablación; línea de equilibrio)

El balance de masa del glaciar es la variación de la masa de un glaciar a lo largo de un año, expresada habitualmente en metros de equivalente en agua promediados sobre su área. El balance de masa superficial es la parte debida a los procesos en la superficie: la nevada menos la fusión, la escorrentía y la sublimación; el resto se pierde por desprendimiento de icebergs y por fusión en la base o bajo hielo flotante. La zona de acumulación es la parte de la superficie donde el balance de masa superficial a lo largo de un año es positivo; la zona de ablación la parte donde es negativo, y la altitud de la línea de equilibrio (ELA) la elevación de la línea que las separa, donde vale cero.

En los casquetes de hielo y en los glaciares de alta montaña, la nieve no se convierte en hielo en una sola estación. Queda enterrada por nieve posterior, se comprime y se recristaliza.

Definición 24.8 (Neviza; cierre de los poros)

La neviza es nieve que ha sobrevivido al menos a una temporada de fusión y que se va compactando hasta convertirse en hielo: más densa que la nieve, pero todavía permeable al aire. El cierre de los poros es el punto de su compactación, con una densidad de unos $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, en el que los poros entre los granos quedan sellados en burbujas y el aire que contienen queda aislado de la atmósfera.

En los casquetes polares, el cierre de los poros se sitúa a $50\text{ a }120\,\mathrm{m}$ por debajo de la superficie, según la temperatura, la acumulación y las impurezas; el aire de las burbujas de un testigo de hielo es, por tanto, más joven que el hielo que lo rodea, como recordó el Capítulo 14. En la mayoría de los glaciares, el paso de nieve a hielo tarda más de cien años.

Un glaciar no responde de inmediato a un cambio de su clima. Su espesor debe cambiar antes de que su longitud pueda seguirlo.

Proposición 24.9 (Tiempo de respuesta de un glaciar)

Un glaciar de espesor típico $H$ cuyo balance en el frente es $b_t < 0$ (en metros de hielo por año) se ajusta a un cambio de clima en un tiempo del orden de

$$\tau = \frac{H}{-b_t} .$$

Un glaciar de $200\,\mathrm{m}$ de espesor que pierde $5\,\mathrm{m}$ de hielo al año en su lengua necesita unos cuarenta años para responder. Por eso los glaciares van por detrás del clima: los de hoy seguirán perdiendo masa durante décadas aunque la temperatura deje de subir.

24.4 Casquetes de hielo y plataformas de hielo

Los casquetes de hielo de Groenlandia y de la Antártida contienen más del $99\,\%$ del hielo continental. El de Groenlandia cubre $1.7\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ y tiene un espesor máximo superior a $3\,\mathrm{km}$; el de la Antártida cubre casi $14\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ y tiene un espesor máximo de casi $4.9\,\mathrm{km}$. Muchas zonas del casquete antártico descansan sobre un lecho situado por debajo del nivel del mar.

Definición 24.10 (Corriente de hielo)

Una corriente de hielo es una franja de un casquete de hielo que fluye mucho más rápido que el hielo a ambos lados, principalmente por deslizamiento o por la deformación de un lecho blando y húmedo, y drena hacia su margen una gran parte del interior del casquete.

Definición 24.11 (Línea de apoyo; desprendimiento de icebergs)

La línea de apoyo es la línea en la que el hielo apoyado sobre su lecho empieza a flotar: mar afuera de ella, el hielo es una plataforma de hielo o una lengua flotante de glaciar. El desprendimiento de icebergs es la rotura de bloques de hielo, los icebergs, en el frente de un glaciar o de una plataforma de hielo que termina en agua.

Las plataformas de hielo flotan, de modo que su fusión no eleva el nivel del mar. Pero están sujetas por sus laterales y por los umbrales del fondo marino donde encallan, y el rozamiento que se produce allí se opone al flujo del hielo que hay detrás: lo contienen. Tras la desintegración de la plataforma de hielo Larsen B en 2002, los glaciares que la alimentaban se aceleraron hasta ocho veces.

Proposición 24.12 (Flotación)

Un hielo de densidad $\rho_i$ y espesor $H$ sobre un lecho situado a una profundidad $D$ bajo el nivel del mar, en agua de mar de densidad $\rho_w$, flota si $H < (\rho_w/\rho_i)D$. Con $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $\rho_w = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, la línea de apoyo se sitúa donde el hielo tiene un espesor de $1.12\,D$.

En un lecho que se profundiza hacia el interior la línea de apoyo es frágil. Donde el agua es más profunda, el hielo en la línea de apoyo es más grueso, por la condición de flotación, y por el teorema de la losa el flujo de una columna más gruesa crece con fuerza con su espesor. Si la línea de apoyo retrocede por una pendiente de este tipo, alcanza hielo más grueso que descarga más, adelgaza más deprisa y permite que la línea retroceda aún más.

Definición 24.13 (Inestabilidad de los casquetes de hielo marinos)

La inestabilidad de los casquetes de hielo marinos (MISI) es el retroceso autorreforzado propuesto de la línea de apoyo de un casquete de hielo que descansa sobre un lecho que desciende hacia el interior: sin la contención de una plataforma de hielo, la línea de apoyo en un lecho de este tipo es intrínsecamente inestable hasta que alcanza un lecho que asciende.

Las plataformas de hielo pueden mantener la línea de apoyo en su lugar incluso en una pendiente descendente. Los modelos en los que se eliminan todas las plataformas de hielo antárticas y no se les permite reformarse pierden hielo equivalente a $2\text{ a }10\,\mathrm{m}$ de nivel del mar en 500 años por medio de esta inestabilidad, $2\text{ a }5\,\mathrm{m}$ de ellos procedentes de la Antártida Occidental. En los casquetes de hielo que descansan sobre todo sobre lecho rocoso por encima del nivel del mar, como Groenlandia, el proceso autorreforzado principal es otro: a medida que la superficie se funde y desciende, queda en aire más cálido y se funde más.

Definición 24.14 (Equivalente en nivel del mar)

El equivalente en nivel del mar de una masa de hielo continental es la subida del nivel medio global del mar que causaría su fusión si el agua se extendiera sobre el océano actual.

Proposición 24.15 (Equivalente en nivel del mar de una masa de hielo)

Una masa $M$ de hielo que descansa por encima del nivel del mar, extendida sobre un océano de área $A_o$ como agua de densidad $\rho_w$, eleva el nivel del mar en $M/(\rho_wA_o)$: unos $1\,\mathrm{mm}$ por cada $360\,\mathrm{Gt}$.

El hielo que ya está por debajo del nivel del mar desplaza agua de mar, de modo que cuenta menos: los $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de hielo de la Antártida equivalen a unos $58\,\mathrm{m}$ de nivel del mar, menos que su masa dividida por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$.

Sobre el terreno — Un campamento sobre el hielo

En un casquete de hielo los instrumentos de los glaciólogos se desplazan en trineo y se alojan en tiendas. Para medir con qué rapidez se mueve el hielo, congelan un poste en la nieve y montan sobre él la antena de un receptor de navegación por satélite. Los receptores empleados en geodesia fijan una posición con un margen de unos pocos centímetros, de modo que las posiciones repetidas a lo largo de semanas o de estaciones dan la velocidad y la dirección del hielo, y la altura del poste, medida de nuevo, la reducción o el aumento del espesor del hielo situado debajo.

24.5 Hielo marino y permafrost

El hielo marino se forma, crece y se funde en el océano. En el Ártico alcanza su área máxima en marzo y su área mínima en septiembre.

Definición 24.16 (Extensión del hielo marino)

La extensión del hielo marino es el área total de las celdas de un mapa satelital en las que el hielo marino cubre más de $15\,\%$ de la superficie. Es mayor que el área del hielo marino, que cuenta solo el propio hielo.

Desde que los satélites comenzaron a cartografiarla en 1979, la extensión ártica se ha reducido, en marzo y mucho más en septiembre: a razón de $0.74\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ por década en septiembre, unos $12\,\%$ de la media de 1981–2010 por década, frente a $0.38\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, $2.5\,\%$, en marzo. La extensión mínima de septiembre registrada hasta ahora, $3.57\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$, se produjo en 2012. El hielo marino ártico refleja de $50\text{ a }70\,\%$ de la luz solar, y el océano abierto, unos $6\,\%$: la pérdida del hielo oscurece la superficie, la retroalimentación hielo–albedo del volumen de segundo año.

El hielo marino crece por su base, donde el agua de mar se congela sobre él, y el calor latente de esa congelación debe conducirse hacia arriba a través del hielo hasta el aire frío.

Teorema 24.17 (Ley de Stefan)

Un hielo marino de conductividad térmica $k_i$, densidad $\rho_i$ y calor latente de fusión $L$, con su superficie mantenida a una temperatura $\Delta T$ por debajo del punto de congelación del agua subyacente, crece, si el calor procedente del océano es despreciable, según

$$h(t)^2 - h(0)^2 = \frac{2k_i\,\Delta T}{\rho_iL}\,t .$$

Bajo una capa de nieve de espesor $h_s$ y conductividad $k_s$ la velocidad de crecimiento es $\mathrm dh/\mathrm dt = \Delta T/[\rho_iL(h/k_i + h_s/k_s)]$.

Con $k_i = 2.03\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y $\rho_i = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, una superficie $20\,\mathrm{K}$ por debajo del punto de congelación forma $1.5\,\mathrm{m}$ de hielo en cien días y $2.1\,\mathrm{m}$ en doscientos. La nieve, con una conductividad de $0.30\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, es un buen aislante: $20\,\mathrm{cm}$ de ella reducen a menos de la mitad el crecimiento. El hielo grueso crece despacio, el hielo delgado rápidamente: la ley tiende a igualar el espesor del hielo tras un verano de fusión.

El permafrost es el terreno que se mantiene a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ o por debajo durante dos años o más. Se extiende bajo cerca de una cuarta parte de la tierra emergida del hemisferio norte.

Definición 24.18 (Capa activa)

La capa activa es la capa de terreno situada sobre el permafrost que se funde cada verano y vuelve a congelarse cada invierno.

Su espesor está determinado, como el crecimiento del hielo marino, por la conducción de calor hacia el terreno durante la temporada de deshielo, frente al calor latente del hielo del terreno. Las temperaturas del permafrost han aumentado en las últimas tres o cuatro décadas en todas las regiones con permafrost (confianza alta); el permafrost se ha calentado a escala mundial $0.29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ [$0.17\text{ a }0.41$] entre 2007 y 2016 (confianza media), y el aumento del espesor de la capa activa es un fenómeno panártico (confianza media). Donde su hielo se funde, el terreno puede colapsar.

24.6 La criosfera y el nivel del mar

El balance del nivel del mar del volumen de segundo año suma la expansión del océano que se calienta al agua aportada por el hielo y por la tierra. De los $3.69\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ de subida del nivel del mar observados entre 2006 y 2018, los glaciares aportaron $0.62\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$, Groenlandia $0.63\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y la Antártida $0.37\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$: en conjunto, el hielo aportó más que la expansión del océano, $1.39\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$.

Datos de 2021

Groenlandia perdió $4890\,\mathrm{Gt}$ de hielo entre 1992 y 2020 [4140 a 5640], $13.5\,\mathrm{mm}$ de nivel del mar, a un ritmo que pasó de $39\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ en los años noventa a $243\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ en 2010–2019, por descarga y, cada vez más, por fusión superficial (confianza alta). La Antártida perdió $2670\,\mathrm{Gt}$ [1800 a 3540], $7.4\,\mathrm{mm}$, con un ritmo que pasó de $49\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ en los años noventa a $148\,\mathrm{Gt}/\mathrm{yr}$ en 2010–2019; las pérdidas procedieron de los glaciares de desagüe de la Antártida Occidental sobre todo por la fusión de las plataformas de hielo desde abajo (confianza alta). Los glaciares fuera de los casquetes de hielo perdieron $6200\,\mathrm{Gt}$ entre 1993 y 2019, $17.1\,\mathrm{mm}$, más en 2010–2019 que en cualquier otra década del registro (confianza muy alta). Groenlandia seguirá perdiendo masa a lo largo de este siglo con todos los escenarios considerados (prácticamente seguro), y también la Antártida (probable): hacia 2100 Groenlandia probablemente añadirá $0.01\text{ a }0.10\,\mathrm{m}$ al nivel del mar con un escenario de bajas emisiones y $0.09\text{ a }0.18\,\mathrm{m}$ con uno de emisiones muy altas, la Antártida $0.03\text{ a }0.27\,\mathrm{m}$ y $0.03\text{ a }0.34\,\mathrm{m}$. El océano Ártico probablemente quedará prácticamente libre de hielo marino, con menos de $1\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ de él en su mínimo de septiembre por primera vez antes de 2050 con todos los escenarios considerados.

Las pérdidas de los casquetes de hielo son las del capítulo 3, medidas mediante altimetría, mediante gravimetría y mediante la diferencia entre la nieve que cae y el hielo que fluye hacia fuera: tres métodos independientes reunidos en una sola estimación.

24.7 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Un glaciar de valle de $250\,\mathrm{m}$ de espesor desciende por una pendiente de $3{}^{\circ}$. Calcúlese el esfuerzo de cizalla basal y compárese con los esfuerzos basales de glaciares reales, del orden de un bar.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$\tau_b = \rho gH\sin\alpha = 917\times9.81\times250\times\sin3{}^{\circ} = 118\,\mathrm{kPa}$, unos $1.2\,\mathrm{bar}$: el orden de los esfuerzos bajo glaciares reales.

Ejercicio 24.2 ★

(a) El casquete de hielo de Groenlandia contiene unos $2.9\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de hielo de densidad $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Calcúlese su masa y su equivalente en nivel del mar a $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, y compárese con los $7.4\,\mathrm{m}$ que suelen citarse. (b) Repítase lo mismo para los $30\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{3}$ de la Antártida, que se citan como unos $58\,\mathrm{m}$. ¿Por qué ambas cifras difieren tanto?

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

(a) $2.9 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{3}\times917 = 2.66 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} = 2.66 \times 10^{6}\,\mathrm{Gt}$; dividido por $360\,\mathrm{Gt}/\mathrm{mm}$, resulta $7390\,\mathrm{mm}$, $7.4\,\mathrm{m}$, el valor citado. (b) $3.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{3}\times917/360 = 76\,\mathrm{m}$, frente a $58\,\mathrm{m}$. El hielo de Groenlandia descansa en su mayor parte sobre lecho rocoso por encima del nivel del mar, así que todo él añadiría agua al océano. Buena parte del hielo antártico descansa sobre un lecho situado por debajo del nivel del mar: ese hielo ya desplaza agua marina, y fundirlo solo sustituye el agua que desplaza; las plataformas de hielo flotantes no añaden nada en absoluto.

Ejercicio 24.3 ★

Un glaciar tiene una zona de acumulación de $6\,\mathrm{km}^{2}$ con un balance medio de $+1.2\,\mathrm{m}$ de equivalente en agua, y una zona de ablación de $4\,\mathrm{km}^{2}$ con $-2.1\,\mathrm{m}$. Calcúlese su balance neto en metros cúbicos de agua, su balance específico medio y su razón entre áreas de acumulación. ¿Está creciendo o menguando?

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

Ganancia $6 \times 10^{6}\times1.2 = 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, pérdida $4 \times 10^{6}\times2.1 = 8.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de agua: neto $-1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, un balance específico medio de $-1.2\times10^6/10^7 = -0.12\,\mathrm{m}$ equivalente en agua. La razón de área de acumulación es $6/10 = 0.6$. El glaciar está perdiendo masa: reduciéndose.

Ejercicio 24.4 ★

En el cierre de los poros la neviza tiene una densidad de $820\text{ a }830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. ¿Qué fracción de su volumen sigue siendo espacio poroso (hielo: $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)?

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$1 - 820/917 = 0.106$ y $1 - 830/917 = 0.095$: alrededor de una décima parte del volumen sigue siendo espacio poroso cuando se produce el cierre de los poros.

Ejercicio 24.5 ★★

Un glaciar temperado (hielo a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $A = 1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$) tiene $300\,\mathrm{m}$ de espesor sobre una pendiente de $3{}^{\circ}$. Calcúlese su velocidad superficial solo por deformación interna. ¿En qué factor cambiaría la velocidad si el espesor fuera el doble? ¿Y si la pendiente se redujera a la mitad?

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

$\tau_b = 917\times9.81\times300\times\sin3{}^{\circ} = 141.2\,\mathrm{kPa}$. Por el teorema de la losa, $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.43 \times 10^{-16} \times(1.412 \times 10^{5})^3\times300 = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$. Con el doble de espesor, $u_s \propto H^{n+1} = H^4$, dieciséis veces más rápido. Con la mitad de pendiente: $u_s \propto (\sin\alpha)^3$, ocho veces más lento.

Ejercicio 24.6 ★★

A partir de las constantes de Paterson–Budd, calcúlese el factor de velocidad a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y la razón entre las velocidades de dos masas de hielo idénticas a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

A $-25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($248.15\,\mathrm{K}$), $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/ (8.314\times248.15)) = 8.5 \times 10^{-26}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, o $2.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $3.61 \times 10^{-13} \exp(-27.42) = 4.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.4 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. A $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (rama cálida) $1.4 \times 10^{-16}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Bajo los mismos esfuerzos, las velocidades están en la razón de los factores de velocidad: $1.43 \times 10^{-16}/2.67 \times 10^{-18} = 54$.

Ejercicio 24.7 ★★

Calcúlese el mayor espesor de un casquete de hielo plástico de $1000\,\mathrm{km}$ desde el centro hasta el margen, con $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, y compárese con el mayor espesor del hielo antártico, de casi $4.9\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$h = \sqrt{2\times10^5\times10^6/(917\times9.81)} = 4.7\,\mathrm{km}$, próximo a los $4.9\,\mathrm{km}$ de la Antártida: el modelo plástico obtiene el espesor de un casquete de hielo solo a partir de su anchura.

Ejercicio 24.8 ★★

Un glaciar de $200\,\mathrm{m}$ de espesor pierde $5\,\mathrm{m}$ de hielo al año en su frente. Estímese su tiempo de respuesta. Si el clima se calentara bruscamente y luego se mantuviera constante, ¿durante cuánto tiempo seguiría cambiando su longitud?

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

$\tau = 200/5 = 40\text{ años}$. La longitud seguiría ajustándose durante varias décadas, unos pocos tiempos de respuesta, tras cesar el calentamiento: los glaciares actuales no han alcanzado todavía el clima actual.

Ejercicio 24.9 ★★

(a) Empleando la ley de Stefan con $\Delta T = 20\,\mathrm{K}$, calcúlese el espesor del hielo marino desnudo tras $100$ días, y el tiempo necesario para alcanzar $3\,\mathrm{m}$. (b) ¿Qué sugiere esto sobre el hielo de más de $3\,\mathrm{m}$ de espesor?

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

(a) $h = \sqrt{2\times2.03\times20\times8.64 \times 10^{6}/(917\times3.34 \times 10^{5})} = 1.51\,\mathrm{m}$. Como $h^2 \propto t$, $3\,\mathrm{m}$ tarda $100\times (3/1.51)^2 = 393$ días, más que un invierno. (b) El hielo mucho más grueso que $3\,\mathrm{m}$ no puede formarse por congelación en un solo invierno: es hielo que ha sobrevivido a varios inviernos, o hielo amontonado por el viento y las corrientes en crestas.

Ejercicio 24.10 ★★★

(a) Si el lecho está a $800\,\mathrm{m}$ bajo el nivel del mar, ¿qué espesor tiene el hielo en la línea de apoyo? (b) Empleando el flujo de losa $q \propto H^{n+2}$ para una pendiente superficial dada, ¿en qué factor aumenta el flujo del hielo apoyado si la línea de apoyo retrocede hasta donde el lecho está a $900\,\mathrm{m}$ de profundidad? (c) Explíquese por qué un lecho que se profundiza hacia el interior hace que el retroceso sea autorreforzante, y qué cambia una plataforma de hielo.

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

(a) $H = (1025/917)\times800 = 894\,\mathrm{m}$. (b) A $900\,\mathrm{m}$ el espesor en la línea de apoyo es $1006\,\mathrm{m}$, $9/8$ del anterior; el flujo aumenta en $(9/8)^5 = 1.8$. (c) A medida que la línea retrocede por un lecho que se profundiza hacia el interior, el hielo en la línea es más grueso, vierte más caudal, adelgaza el hielo detrás, y la línea retrocede aún más: una retroalimentación positiva. Una plataforma de hielo que sujeta el hielo apoyado reduce el flujo en la línea de apoyo y puede mantenerla en su sitio incluso sobre una pendiente descendente.

Ejercicio 24.11 ★★★

Demuéstrese que el volumen de un casquete de hielo plástico circular de radio $R$ es $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$. ¿En qué factor crece su equivalente en nivel del mar si su radio se duplica?

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

Con $h(r) = c\sqrt{R - r}$, $c = \sqrt{2\tau_0/(\rho g)}$, $V = \int_0^R2\pi rc\sqrt{R - r}\,\mathrm dr$. Sustituyendo $s = R - r$,

$$\int_0^R(R - s)\sqrt s\,\mathrm ds = \tfrac23R^{5/2} - \tfrac25R^{5/2} = \tfrac4{15}R^{5/2},$$

de donde $V = \frac{8\pi}{15}cR^{5/2}$. Al duplicar $R$ se multiplican $V$ y el equivalente en nivel del mar por $2^{5/2} = 5.7$.

Ejercicio 24.12 ★★★

La extensión media del hielo marino ártico fue de $16.34\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ en marzo de 1979 y de $14.13\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$ en marzo de 2026; en septiembre, $7.05$ y $4.81\,\mathrm{M}\mathrm{km}^{2}$. (a) Calcúlese el cambio relativo en cada mes. (b) Dense dos razones físicas por las que la extensión de septiembre ha caído tanto más deprisa que la de marzo.

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

(a) Marzo: $14.13/16.34 - 1 = -13.5\,\%$; septiembre: $4.81/7.05 - 1 = -31.8\,\%$. (b) En marzo el borde del hielo se sostiene sobre todo por las costas que rodean el océano Ártico, y la recongelación cada invierno vuelve a llenar la cuenca; el hielo más delgado de los últimos años se funde por completo cada verano. Y la retroalimentación hielo–albedo actúa en verano: el agua libre absorbe alrededor de $94\,\%$ de la luz solar, el hielo refleja de $50\text{ a }70\,\%$, por lo que cada pérdida de hielo estival calienta el agua y funde más hielo.

24.8 Problema: el casquete de hielo de Arkel

Problema 24.1

Problema de fin de semana — la forma, el flujo, el balance y el equivalente en nivel del mar de un casquete de hielo inventado

El casquete de hielo inventado de Arkel se encuentra sobre una meseta plana. Es casi circular, de $20\,\mathrm{km}$ de radio, y su hielo está a unos $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Tómense $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

Parte I — ¿Es plástico el casquete?

1. Demuéstrese que, bajo hielo de espesor $H$ con una pequeña pendiente superficial $\alpha$, el esfuerzo de cizalla basal es aproximadamente $\rho gH\alpha$.
2. Los sondeos de radar y las mediciones a 5, 10 y $15\,\mathrm{km}$ del centro dan espesores de 580, 470 y $335\,\mathrm{m}$, y pendientes superficiales de $0.0190$, $0.0240$ y $0.0330$. Calcúlese el esfuerzo de cizalla basal en los tres puntos.
3. ¿Está el casquete cerca de ser plástico? ¿Qué esfuerzo de fluencia se adopta?
4. Con $\tau_0 = 100\,\mathrm{kPa}$, calcúlese $2\tau_0/(\rho g)$.
5. Prevéase el espesor en los tres puntos a partir del perfil plástico y compárese con los sondeos.

Parte II — Forma y volumen.

6. Calcúlese el espesor en el centro.
7. Demuéstrese que el volumen es $V = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.
8. Calcúlese el volumen en kilómetros cúbicos.
9. Calcúlese el área y el espesor medio.
10. Un casquete de hielo el doble de ancho sobre la misma meseta: ¿en qué factor es mayor su volumen?

Parte III — Flujo y balance.

11. Calcúlese el factor de velocidad a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
12. A $10\,\mathrm{km}$ del centro, tratando el hielo como una losa, calcúlese la velocidad superficial por deformación interna.
13. Calcúlese el flujo de hielo por unidad de anchura en ese punto y la velocidad media de la columna.
14. En un estado estacionario, el flujo que sale del círculo de radio $10\,\mathrm{km}$ iguala al balance ganado en su interior. ¿Qué balance medio, en metros de hielo por año, se requiere?
15. La línea de equilibrio se sitúa $450\,\mathrm{m}$ por encima de la meseta. ¿Dónde está sobre el casquete y cuál es la razón de área de acumulación?
16. Si el hielo se calentara hasta $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ¿en qué factor aumentarían las velocidades? ¿Qué le ocurriría a la forma del casquete?

Parte IV — Nivel del mar.

17. Calcúlese la masa del casquete en gigatoneladas.
18. Calcúlese su equivalente en nivel del mar en milímetros.
19. Si todo el casquete se adelgazara $0.5\,\mathrm{m}$ de hielo al año, sin fluir, ¿cuánto tiempo duraría?
20. ¿Por qué el casquete real desaparecería antes de eso, una vez que empezara a adelgazarse?
21. A la velocidad a la que Groenlandia perdió hielo en 2010–2019, ¿cuánto tiempo tardaría en perder una masa igual a la del casquete de Arkel?
22. Indíquese el equivalente en nivel del mar del casquete de hielo de Arkel, en milímetros, con un decimal.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. La columna sobre el lecho, de peso $\rho gH$ por unidad de área, es empujada pendiente abajo por la componente $\rho gH\sin\alpha$, equilibrada por el esfuerzo de cizalla en su base; para pendientes pequeñas $\sin\alpha \approx \alpha$ (el teorema de la losa con la pendiente superficial).

2. $917\times9.81\times580\times0.0190 = 99.1\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81\times470\times0.0240 = 101.5\,\mathrm{kPa}$; $917\times9.81 \times335\times0.0330 = 99.4\,\mathrm{kPa}$.

3. El esfuerzo es el mismo dentro de $2\,\%$ mientras el espesor casi se reduce a la mitad: el casquete se comporta casi como un material plástico, con $\tau_0 \approx 100\,\mathrm{kPa}$.

4. $2\times10^5/(917\times9.81) = 22.23\,\mathrm{m}$.

5. $h = \sqrt{22.23\,(R - r)}$: $577\,\mathrm{m}$, $472\,\mathrm{m}$ y $333\,\mathrm{m}$ a 15, 10 y $5\,\mathrm{km}$ del margen, a menos de unos pocos metros de los sondeos.

6. $\sqrt{22.23\times20000} = 667\,\mathrm{m}$.

7. Como en el Ejercicio 24.11: $V = \int_0^R2\pi r \sqrt{22.23(R - r)}\,\mathrm dr = \frac{8\pi}{15}\sqrt{2\tau_0/(\rho g)}\,R^{5/2}$.

8. $\frac{8\pi}{15}\times4.715\times(2 \times 10^{4})^{5/2} = 4.47 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3} = 447\,\mathrm{km}^{3}$.

9. $\pi\times20^2 = 1257\,\mathrm{km}^{2}$; espesor medio $447/1257 = 0.356\,\mathrm{km}$, $356\,\mathrm{m}$, algo más de la mitad del espesor central.

10. $2^{5/2} = 5.7$ veces.

11. $A = 3.61 \times 10^{-13}\exp(-60000/(8.314\times263.15)) = 4.45 \times 10^{-25}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, por $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $1.40 \times 10^{-17}\,\mathrm{Pa}^{-3}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12. A $10\,\mathrm{km}$, $H = 471.5\,\mathrm{m}$, pendiente $471.5/20000 = 0.0236$, $\tau_b = 100\,\mathrm{kPa}$; $u_s = \tfrac{2A}{4}\tau_b^3H = 0.5\times1.40 \times 10^{-17}\times10^{15}\times471.5 = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$.

13. $q = \tfrac{2A}{5}\tau_b^3H^2 = 0.4\times1.40 \times 10^{-17} \times10^{15}\times471.5^2 = 1250\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{yr}$; velocidad media $q/H = 2.6\,\mathrm{m}/\mathrm{yr}$, cuatro quintos de la velocidad superficial.

14. $2\pi rq = \pi r^2\bar b$, luego $\bar b = 2q/r = 2\times1250/10^4 = 0.25\,\mathrm{m}$ de hielo al año sobre los $10\,\mathrm{km}$ interiores.

15. $h = 450$ donde $R - r = 450^2/22.23 = 9.11\,\mathrm{km}$, en $r = 10.9\,\mathrm{km}$; el área de acumulación es el disco interior a él, $(10.9/ 20)^2 = 0.30$ del casquete.

16. $A$ aumenta $10.2$ veces, y con ello las velocidades bajo los mismos esfuerzos. El hielo saldría más deprisa de lo que aporta el balance: el casquete se adelgazaría y se extendería hasta que los esfuerzos, menores, volvieran a igualar el balance; un casquete plástico más blando tiene un esfuerzo de fluencia menor y un perfil más plano.

17. $4.47 \times 10^{11}\times917 = 4.10 \times 10^{14}\,\mathrm{kg} = 410\,\mathrm{Gt}$.

18. $410/360 = 1.14\,\mathrm{mm}$.

19. $356/0.5 = 711$ años.

20. A medida que la superficie desciende, queda en aire más cálido y se funde más deprisa, la retroalimentación altitud–balance de masa; y a medida que se adelgaza, cambian también los esfuerzos y el flujo. El adelgazamiento se acelera.

21. $410/243 = 1.7\text{ años}$: todo el casquete equivale a menos de dos años de la pérdida de Groenlandia en 2010–2019.

22. El casquete de hielo de Arkel tiene un equivalente en nivel del mar de $1.1\,\mathrm{mm}$ ($1.14\,\mathrm{mm}$).