20Dinámica atmosférica

En un mapa invernal de la troposfera superior, la corriente en chorro no rodea el polo como un anillo liso. Serpentea en unas pocas ondas amplias que recorren el hemisferio, con vaguadas que alcanzan los subtrópicos y dorsales hacia el polo, y en superficie nacen depresiones que crecen durante unos pocos días y mueren bajo ellas. Las ondas se desplazan lentamente, a veces en contra del viento que las arrastra. Su número, su velocidad y el crecimiento de las borrascas bajo ellas se derivan de una única magnitud conservada, la vorticidad del aire vista desde el espacio, y de la energía almacenada en el contraste térmico entre los trópicos y los polos.

Lo que ya sabes

La vorticidad y la circulación están en los libros de física. Las ondas de Rossby de la troposfera superior, las vaguadas y las dorsales, el ciclón extratropical y el principio de la predicción numérica del tiempo se describen en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre sistemas meteorológicos. Las células de Hadley, Ferrel y polares, las corrientes en chorro, los vientos del oeste y el viento de momento angular de un anillo de aire están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre la circulación general de la atmósfera, y el transporte de calor hacia los polos en su capítulo sobre la radiación y el transporte de calor. El parámetro de Coriolis $f$, el plano $\beta$, el radio de Rossby y el viento térmico están en el capítulo 19.

20.1 Vorticidad

La vorticidad de un fluido, el rotacional de su velocidad, es el doble de su velocidad angular local. En la atmósfera a gran escala solo importa su componente vertical, y a ella contribuye la rotación de la Tierra.

Definición 20.1 (Vorticidad relativa, planetaria y absoluta)

Para una velocidad horizontal $(u, v)$, la vorticidad relativa es la componente vertical del rotacional de la velocidad relativa al suelo, $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$, positiva para la rotación en sentido antihorario vista desde arriba. La vorticidad planetaria es la componente vertical de la vorticidad de la rotación terrestre, $2\Omega\sin\varphi = f$. La vorticidad absoluta es su suma, $\zeta + f$.

En el hemisferio norte una depresión, donde el aire gira en sentido antihorario, tiene $\zeta > 0$ y se llama ciclónica; un anticiclón tiene $\zeta < 0$. Un viento de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ que gira en un círculo de $1000\,\mathrm{km}$ tiene $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ en rotación de sólido rígido, un tercio de $f$ a $45{}^{\circ}$: la parte planetaria suele ser la mayor.

Teorema 20.2 (Ecuación de la vorticidad barotrópica)

En un flujo bidimensional, no viscoso y sin divergencia horizontal sobre un plano $\beta$, la vorticidad absoluta de cada partícula se conserva:

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{es decir}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

Esta es la ecuación de la vorticidad barotrópica.

La demostración da también la ley general, $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$: la convergencia acelera la rotación de una columna; la divergencia la frena, como una patinadora que encoge o extiende los brazos. En una capa cuyo espesor varía, la convergencia va ligada al estiramiento de la columna, y la magnitud conservada pasa a ser una razón.

Definición 20.3 (Vorticidad potencial)

La vorticidad potencial de una columna de una capa homogénea de espesor $h$ es $q = (\zeta + f)/h$. En un fluido continuamente estratificado, la vorticidad potencial de Ertel es $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$, siendo $\vec\omega_a$ el vector de vorticidad absoluta y $\theta$ la temperatura potencial.

Teorema 20.4 (Conservación de la vorticidad potencial)

En una capa homogénea, hidrostática y no viscosa de espesor variable $h$ cuya velocidad horizontal no varía con la altura, $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ para $q = (\zeta + f)/h$.

La forma de Ertel se conserva del mismo modo en un flujo adiabático y sin rozamiento de un fluido estratificado, y la distancia entre dos superficies de $\theta$ constante hace el papel de $h$. Una columna de aire que atraviesa una cordillera se comprime al ascender: su vorticidad absoluta disminuye, gira en sentido anticiclónico sobre la cresta, y se estira y gira en sentido ciclónico a sotavento. La conservación de la vorticidad absoluta o potencial es el mecanismo restaurador de las ondas de la sección siguiente, como muestra la figura de abajo.

20.2 Ondas de Rossby

El volumen de segundo año describió las ondas de Rossby de la troposfera superior. La ecuación de la vorticidad barotrópica las explica. Se escribe el flujo como un viento del oeste uniforme $U$ más una pequeña perturbación con función de corriente $\psi'$, de modo que $u' = -\partial\psi'/\partial y$, $v' = \partial\psi'/\partial x$ y $\zeta' = \nabla^2\psi'$.

Teorema 20.5 (Dispersión de las ondas de Rossby)

Las pequeñas perturbaciones $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ de un viento del oeste uniforme $U$ en un plano $\beta$ cumplen la relación de dispersión de las ondas de Rossby

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

Su velocidad de fase hacia el este es $c = \omega/k = U - \beta/K^2$, con $K^2 = k^2 + l^2$, y su velocidad de grupo hacia el este $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

Respecto al aire, las ondas siempre se desplazan hacia el oeste, tanto más rápido cuanto más largas son. Un viento del oeste arrastra hacia el este las ondas cortas; las largas no puede arrastrar, y derivan hacia el oeste en contra del viento. Entre ambas, una longitud de onda permanece inmóvil.

Proposición 20.6 (Ondas de Rossby estacionarias)

En un viento del oeste $U > 0$, una onda sin estructura meridional ($l = 0$) es estacionaria cuando su longitud de onda es la longitud de onda estacionaria de Rossby $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. Alrededor del círculo de latitud $\varphi$ esto equivale a un número entero de ondas próximo a $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

A $45{}^{\circ}$ N, en un viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, con $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ y $n_s = 4.7$: cuatro o cinco ondas alrededor del hemisferio. Con el viento medio zonal de enero a $300\,\mathrm{hPa}$, de unos $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N, $n_s$ es unas cuatro entre $35{}^{\circ}$ y $55{}^{\circ}$ N, y decrece hacia el polo. La velocidad de grupo de una onda con $l = 0$ supera en $2\beta/k^2$ a su velocidad de fase: la energía avanza por delante de la onda, de modo que una perturbación iniciada en un lugar genera nuevas vaguadas y dorsales aguas abajo de ella, unos días después y a miles de kilómetros al este, mientras que el patrón apenas se desplaza. Las cordilleras y los contrastes de temperatura entre continentes y océanos fuerzan ondas estacionarias de exactamente este tipo, a través del estiramiento y la compresión de la vorticidad potencial.

20.3 Inestabilidad baroclínica

Las ondas de la sección anterior son neutras: ni crecen ni decaen. Las tormentas de las latitudes medias crecen y extraen su energía del contraste de temperatura que expresa el viento térmico.

Definición 20.7 (Energía potencial disponible)

La energía potencial disponible de un fluido estratificado es la diferencia entre su energía potencial total (gravitatoria e interna) y la menor energía potencial total que puede alcanzar mediante una redistribución adiabática de su masa, el estado en el que las superficies de temperatura potencial constante, o de densidad potencial, son horizontales.

Un fluido con isentrópicas horizontales no tiene ninguna, por mucha energía potencial que contenga; un fluido cuyas isentrópicas se inclinan, cálido y ligero de un lado, frío y denso del otro, puede liberar algo dejándolas hundirse. Intercambiar dos porciones de aire muestra cómo. Se toma una porción cálida baja en el lado ecuatorial y una fría alta en el lado polar, ambas sobre la misma isentrópica en una atmósfera estable cuyas isentrópicas ascienden hacia el polo. Intercambiarlas a lo largo de la isentrópica no cambia nada. Intercambiarlas siguiendo una trayectoria menos empinada que la isentrópica lleva la porción cálida hacia arriba y hacia el polo, a aire más frío que ella misma, y la fría hacia abajo y hacia el ecuador, a aire más cálido: la cálida asciende, la fría desciende, el centro de masas baja y se libera energía cinética Las trayectorias dentro de esta cuña comprendida entre la horizontal y las isentrópicas liberan energía; los remolinos de latitudes medias son intercambios que transportan calor hacia el polo y hacia arriba.

Definición 20.8 (Inestabilidad baroclínica)

La inestabilidad baroclínica es la inestabilidad de un flujo en rotación y estratificado en equilibrio de viento térmico, mediante el cual las perturbaciones crecen al convertir la energía potencial disponible de las isentrópicas inclinadas en su propia energía cinética.

Definición 20.9 (Modelo de Eady)

El modelo de Eady es un fluido de Boussinesq sobre un plano $f$ comprendido entre dos superficies horizontales rígidas en $z = 0$ y $z = H$, con frecuencia de flotabilidad $N$ uniforme y un viento del oeste que aumenta linealmente con la altura, $U = \Lambda z$, en equilibrio de viento térmico con un descenso uniforme de la temperatura hacia el polo; sus perturbaciones obedecen las ecuaciones cuasigeostróficas.

Teorema 20.10 (Tasa de crecimiento de Eady)

En el modelo de Eady, las perturbaciones $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ con $\mu = kL_d$, $L_d = NH/f$, crecen exponencialmente cuando $\mu < \mu_c = 2.40$, a la tasa

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

La perturbación de crecimiento más rápido tiene $\mu = 1.61$, la longitud de onda $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$, y crece a $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

La tasa de crecimiento depende solo de la cizalladura y de la estratificación, a través de $f\Lambda/N$, y el tamaño preferido solo del radio de Rossby. Para la media de enero a $45{}^{\circ}$ N el viento aumenta en $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre $850\,\mathrm{hPa}$ y $250\,\mathrm{hPa}$, a unos $8.9\,\mathrm{km}$ de distancia en la atmósfera estándar, una cizalladura de $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; con la media troposférica $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ y $H = 11\,\mathrm{km}$, $L_d = 1210\,\mathrm{km}$, la perturbación más rápida tiene una longitud de onda de $4700\,\mathrm{km}$ y crece por un factor $e$ en $2.1$ días. Las perturbaciones más cortas que $3200\,\mathrm{km}$ no crecen en absoluto. Estos son el tamaño y el tiempo de crecimiento de las borrascas de un mapa del tiempo.

El ciclón extratropical del volumen de segundo año es la cara superficial de una onda baroclínica en crecimiento: su sector cálido transporta aire cálido hacia los polos y hacia arriba, el aire frío que queda detrás desliza hacia el ecuador y hacia abajo, y la vaguada en altura se inclina hacia el oeste al aumentar la altura, como exige la liberación de energía potencial disponible.

20.4 La circulación general

La circulación general se describe promediando alrededor de los círculos de latitud, y lo que el promedio omite es tan importante como lo que conserva.

Definición 20.11 (Media zonal y remolinos)

La media zonal de una magnitud $A$ es su promedio alrededor de un círculo de latitud a altura o presión fijas, $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. La desviación $A^* = A - [A]$ es su parte de remolino; un remolino de la atmósfera es cualquier desviación del flujo respecto de su media zonal: ondas viajeras, ondas estacionarias, ciclones y anticiclones.

La media zonal de un producto se descompone en dos: $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. El primer término es el transporte por la circulación meridiana media, las células del volumen de primer año; el segundo, el transporte por los remolinos. En las latitudes medias el viento meridiano medio es débil y el término de remolinos domina: el aire que se desplaza hacia los polos es más cálido que el que se desplaza hacia el ecuador a la misma latitud, como se muestra en la figura siguiente, y $[v^*T^*] > 0$. Los remolinos también transportan momento de los vientos del oeste, $[u^*v^*]$, desde los subtrópicos hacia las latitudes de la corriente en chorro, por lo que la corriente en chorro y los vientos del oeste en superficie se mantienen frente al rozamiento. La célula de Ferrel del volumen de primer año es la circulación meridiana media que impone este transporte por remolinos.

En los trópicos los remolinos son débiles y la circulación media transporta calor hacia los polos, la célula de Hadley. El volumen de primer año mostró que el aire que sale del ecuador en reposo y conservando su momento angular soplaría a cientos de metros por segundo a $40{}^{\circ}$, y dejó abierta la cuestión de por qué la célula termina cerca de $30{}^{\circ}$. Un modelo sencillo responde.

Definición 20.12 (Momento angular atmosférico; modelo de Held–Hou)

El momento angular atmosférico por unidad de masa respecto al eje de la Tierra es $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$, para un viento hacia el este $u$ a la latitud $\varphi$. El modelo de Held–Hou de la célula de Hadley es una circulación axisimétrica y estacionaria de una atmósfera seca de Boussinesq de profundidad $H$, calentada por relajación hacia una temperatura potencial de equilibrio radiativo $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$; su rama superior conserva $M$, su rama inferior tiene viento despreciable, y el flujo se encuentra en equilibrio de viento térmico.

Teorema 20.13 (Extensión de la célula de Hadley)

En el límite de ángulos pequeños, la célula de Held–Hou alcanza la latitud

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

en cada hemisferio, y el viento de su rama superior es $u_M = \Omega a\varphi^2$.

La célula termina donde la temperatura que impone la conservación del momento angular se encuentra con el equilibrio radiativo; más allá, la atmósfera tendría que estar más fría de lo que la radiación la hace. El modelo tiene dos parámetros que no se observan directamente. Para $H = 15\,\mathrm{km}$ y $\Delta$ entre $1/6$ y $1/3$, elegido a modo de ilustración, $\varphi_H$ se sitúa entre $25{}^{\circ}$ y $35{}^{\circ}$. Las células observadas, leídas a partir del viento meridiano de media zonal, terminan en $33.3{}^{\circ}$ N y $32.5{}^{\circ}$ S en la media anual, y las células de invierno, las más intensas, en $30.8{}^{\circ}$ N en diciembre–febrero y $29.1{}^{\circ}$ S en junio–agosto. Lo importante es la escala: una célula que se ensancha con una troposfera más profunda y un contraste de calentamiento más fuerte, y se estrecha en un planeta de rotación más rápida. El viento superior del modelo, $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en su borde para $\Delta = 1/6$, es el doble de la corriente en chorro observada: los remolinos se llevan el exceso.

Historia — De las ondas largas al primer pronóstico calculado

En 1939, C.-G. Rossby y sus colaboradores, en el Journal of Marine Research, se propusieron interpretar varios fenómenos del tiempo aparentemente independientes desde un único punto de vista. Motivados por configuraciones meteorológicas que avanzan en sentido contrario al flujo dominante del oeste, Rossby formuló una teoría linealizada en la que las perturbaciones de gran escala tienden a desplazarse hacia el oeste y las de menor escala hacia el este respecto al viento: las ondas y el plano $\beta$ de este capítulo. Once años después J. G. Charney, R. Fjørtoft y J. von Neumann integraron la ecuación de la vorticidad barotrópica de forma numérica en el ordenador electrónico ENIAC: cuatro pronósticos de 24 horas en el nivel de $500\,\mathrm{mb}$, sobre una malla de $736\,\mathrm{km}$, de 8 grados de longitud a $45{}^{\circ}$. El cálculo de cada pronóstico tardó unas 24 horas; los autores eran, como escribieron, apenas capaces de seguir el ritmo del tiempo.

20.5 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

(a) Calcúlese la vorticidad relativa de un vórtice en rotación sólida que gira una vez al día. (b) Calcúlese la vorticidad planetaria a $30{}^{\circ}$ y $60{}^{\circ}$ N ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) y compárense.

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

(a) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ y $1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: el vórtice tiene aproximadamente el doble de la vorticidad planetaria a $30{}^{\circ}$ N y algo más que la de $60{}^{\circ}$ N.

Ejercicio 20.2 ★

Una parcela sin vorticidad relativa a $30{}^{\circ}$ N se desplaza hasta $40{}^{\circ}$ N en un flujo sin divergencia. Calcúlese su vorticidad relativa en ese punto. ¿Es ciclónica o anticiclónica?

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: anticiclónico.

Ejercicio 20.3 ★

A $45{}^{\circ}$ N, sin viento medio, calcúlese la velocidad de fase de una onda de Rossby de longitud de onda $5000\,\mathrm{km}$ con $l = 0$. ¿En qué dirección se desplaza?

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: hacia el oeste.

Ejercicio 20.4 ★

A $60{}^{\circ}$ N, con viento del oeste de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calcúlense $\beta$, la longitud de onda estacionaria y el número de ondas estacionarias alrededor del círculo de latitud ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$; el círculo, $20\,015\,\mathrm{km}$, admite $n_s = 3.4$ ondas.

Ejercicio 20.5 ★★

Una columna de aire de $10\,\mathrm{km}$ de profundidad, sin vorticidad relativa a $45{}^{\circ}$ N, atraviesa una cordillera que la comprime hasta $8\,\mathrm{km}$, y después una cuenca donde tiene $12\,\mathrm{km}$ de profundidad. Suponiendo que se mantiene cerca de $45{}^{\circ}$ N, calcúlese su vorticidad relativa sobre la cordillera y sobre la cuenca. ¿Dónde tenderán a formarse las depresiones?

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

$q = f/h$ se conserva: sobre la cordillera $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, anticiclónico; sobre la cuenca $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, ciclónico. Donde las columnas se estiran, a sotavento de la cordillera y sobre la cuenca se genera vorticidad ciclónica: allí las depresiones tienden a formarse.

Ejercicio 20.6 ★★

Para la onda con cinco crestas alrededor del círculo de $45{}^{\circ}$ N ($l = 0$) en un viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calcúlense la velocidad de fase y la velocidad de grupo. ¿Cuánto tarda la energía de la onda en recorrer $5000\,\mathrm{km}$ hacia el este, y cuánto tarda el patrón?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La energía recorre $5000\,\mathrm{km}$ en $2.1$ días, el patrón en $31$ días.

Ejercicio 20.7 ★★

A $45{}^{\circ}$ N, con viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, una onda está confinada entre latitudes tales que $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (a) Calcúlense el número de onda zonal estacionario y la longitud de onda. (b) Demuéstrese que no existe ninguna onda estacionaria para $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

(a) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$: $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ y $n = 4.0$, menos ondas que con $l = 0$. (b) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$: $k^2$ sería negativo.

Ejercicio 20.8 ★★

En un modelo de Eady a $45{}^{\circ}$ N, $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ y $H = 10\,\mathrm{km}$. Calcúlense $L_d$, la tasa de crecimiento y el tiempo de $e$-folding de la perturbación de mayor crecimiento, y su longitud de onda.

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, un tiempo de $e$-folding de $2.2$ días; longitud de onda $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 20.9 ★★

A lo largo de un círculo de latitud, el viento meridiano del remolino es $v^* = V\cos kx$ y la temperatura del remolino $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$, con $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $T_0 = 5\,\mathrm{K}$. Calcúlese $[v^*T^*]$ para $\delta = 0$, $60{}^{\circ}$ y $90{}^{\circ}$, y el flujo de calor correspondiente $\rho c_p[v^*T^*]$ por $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de aire ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). ¿Qué disposición no transporta calor?

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$: $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y 0; flujos de calor $25\,100$, $12\,600$ y $0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Cuando la temperatura está desfasada un cuarto de longitud de onda respecto al viento, tanto aire cálido va hacia el sur como hacia el norte: no hay transporte.

Ejercicio 20.10 ★★★

Partiendo de la ecuación de la vorticidad barotrópica, derívese la relación de dispersión de las ondas de Rossby en un viento del oeste uniforme, y demuéstrese que, respecto al aire, toda onda de Rossby se mueve hacia el oeste.

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

Linealizando respecto a $U$ con $\zeta' = \nabla^2\psi'$ y $v' = \partial_x\psi'$: $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. Con $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$, $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$, así $\omega = Uk - \beta k/K^2$. Respecto al aire, la velocidad de fase es $c - U = -\beta/K^2 < 0$ para toda onda.

Ejercicio 20.11 ★★★

En el modelo de Held–Hou tómese $H = 12\,\mathrm{km}$ y $\Delta = 1/4$. Calcúlense $\varphi_H$, el viento de ángulo pequeño $u_M$ en el borde y el viento exacto de momento angular en ese punto, y compárense con el chorro subtropical de $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la media zonal de enero.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; exactamente, $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: dos veces y media la corriente en chorro observada.

Ejercicio 20.12 ★★★

Dos capas de aire difieren en temperatura potencial en $10\,\mathrm{K}$ sobre $300\,\mathrm{K}$; su interfaz asciende hacia el polo con pendiente $s$ a lo largo de una banda de $4000\,\mathrm{km}$ de anchura, y $\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Demuéstrese que dejar que la interfaz se aplane libera $\rho g' s^2L^2/24$ por unidad de área, $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (b) Calcúlese para $s = 10^{-3}$ y $2\times10^{-3}$ y compárese con la energía cinética de un viento de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a lo largo de $10\,\mathrm{km}$ del mismo aire.

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

(a) A través de la banda la interfase se desplaza una cantidad $\eta = sy$, $-L/2 \le y \le L/2$, desde su posición horizontal. Una capa con contraste de densidad reducido desplazada una cantidad $\eta$ almacena $\tfrac12\rho g'\eta^2$ por unidad de área; promediada sobre la banda, $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (b) $g' = 0.327$: $1.5 \times 10^{5}$ y $6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$, frente a $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ de energía cinética: comparables.

20.6 Problema: la onda que permaneció quieta

Problema 20.1

Problema de fin de semana — vorticidad, ondas de Rossby y el crecimiento de una onda baroclínica a $45{}^{\circ}$ N

Un flujo del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ atraviesa las latitudes medias de un continente ficticio, a lo largo de $45{}^{\circ}$ N. Tómense $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$ y $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Todos los valores del flujo son ficticios.

Parte I — Una parcela desplazada.

1. Una parcela sin vorticidad relativa a $45{}^{\circ}$ N se desplaza hasta $50{}^{\circ}$ N. Calcúlese $f$ en ambas latitudes y su vorticidad relativa a $50{}^{\circ}$ N, si el flujo no tiene divergencia.
2. Desplazándose a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ¿con qué radio de curvatura gira (tómese $\zeta = -V/R$, todo debido a la curvatura)? ¿En qué sentido gira?
3. Si además su columna se reduce de $10.0\,\mathrm{km}$ a $9.5\,\mathrm{km}$ en el trayecto, ¿cuál es su vorticidad relativa a $50{}^{\circ}$ N?
4. Si, en cambio, se desplaza hasta $40{}^{\circ}$ N, sin divergencia, ¿qué vorticidad relativa adquiere? Explíquese por qué una parcela desplazada de su latitud oscila alrededor de ella.

Parte II — Ondas viajeras.

5. Calcúlense $\beta$ a $45{}^{\circ}$ N y la longitud del círculo de latitud.
6. Para $n = 3$ a 8 ondas alrededor del círculo ($l = 0$), calcúlense la longitud de onda, la velocidad de fase y la velocidad de grupo en el viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. ¿Qué ondas se mueven hacia el oeste y cuáles hacia el este? ¿Cuántos días tarda la onda $n = 5$ en desplazarse $1000\,\mathrm{km}$?
8. Una dorsal sobre el oeste del continente se intensifica. ¿Dónde, y después de cuánto tiempo llegará el efecto de la onda $n = 6$ a $5000\,\mathrm{km}$ aguas abajo?

Parte III — La onda que permaneció quieta.

9. Calcúlense la longitud de onda estacionaria y el número de onda estacionario a $45{}^{\circ}$ N.
10. Calcúlese el número de onda estacionario para vientos del oeste de 10 y $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ¿Qué ocurre con las ondas estacionarias cuando los vientos del oeste se intensifican en invierno?
11. Calcúlese el número de onda estacionario a $35{}^{\circ}$ N y $55{}^{\circ}$ N en el viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. Las montañas del oeste del continente se elevan $2\,\mathrm{km}$ en una troposfera de $10\,\mathrm{km}$ de espesor. Calcúlese la vorticidad relativa de una columna que las atraviesa sin cambiar de latitud. ¿Por qué las montañas fuerzan ondas estacionarias?
13. ¿Por qué el patrón de ondas que forzan las montañas permanece quieto solo cuando su longitud de onda está cerca de $\lambda_s$?

Parte IV — Crece una tormenta.

14. El viento del oeste aumenta desde el suelo hasta $10\,\mathrm{km}$ en $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcúlese la cizalladura $\Lambda$ y el gradiente de temperatura hacia el polo que implica el viento térmico a una temperatura media de $250\,\mathrm{K}$.
15. Con $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$, calcúlese el número de Richardson $N^2/\Lambda^2$. ¿Es el flujo inestable frente a la turbulencia de cizalladura de pequeña escala?
16. Calcúlese el radio de Rossby $L_d$ para $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. Calcúlese la longitud de onda de la perturbación de Eady de mayor crecimiento y el número de estas ondas alrededor del círculo de latitud.
18. Calcúlese la longitud de onda más corta que crece.
19. Calcúlese la tasa de crecimiento $\sigma_{\max}$.
20. ¿En qué factor crece la perturbación en tres días?
21. Compárese la longitud de onda de la tormenta en crecimiento con la longitud de onda estacionaria de la Parte III: ¿cuál es mayor, y qué implica eso para el movimiento de las tormentas respecto a las ondas estacionarias?
22. ¿Hacia qué lado se inclina con la altura la vaguada de la onda en crecimiento, y por qué debe hacerlo?
23. Indíquese el tiempo de $e$-folding de la perturbación de Eady de mayor crecimiento.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$; en sentido horario, de regreso hacia el sur.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, más anticiclónico.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, ciclónico: la parcela gira hacia el norte. Desplazada en uno u otro sentido, la parcela adquiere la vorticidad que la hace regresar: un efecto restaurador, y una oscilación.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; el círculo mide $28\,306\,\mathrm{km}$ de longitud.

6. $n = 3$ a 8: longitudes de onda 9435, 7076, 5661, 4718, 4044 y $3538\,\mathrm{km}$; $c = -21.5$, $-5.5$, 1.9, 5.9, 8.3 y $9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c_g = 51.5$, 35.5, 28.1, 24.1, 21.7 y $20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ y 4 se desplazan hacia el O, $n \ge 5$ hacia el E. La onda $n = 5$ tarda $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, $6.2$ días, en recorrer $1000\,\mathrm{km}$.

8. Aguas abajo, hacia el E: a $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ la energía recorre $5000\,\mathrm{km}$ en $2.4$ días.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y 4.1 para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: un viento del oeste más intenso favorece ondas estacionarias más largas, con menos que dan la vuelta al hemisferio.

11. $n_s = 5.8$ a $35{}^{\circ}$ N y 3.4 a $55{}^{\circ}$ N.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: la compresión sobre las montañas hace que la columna sea anticiclónica; el estiramiento a sotavento la vuelve ciclónica. Las montañas imponen al flujo un patrón fijo de vorticidad, un forzamiento que no se desplaza.

13. Un forzamiento fijo produce una respuesta permanente; la respuesta es máxima cuando el patrón forzado es en sí mismo una onda libre que estaría quieta, la resonancia en $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$: muy por encima de 0.25, sin turbulencia por cizalladura.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ ondas.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, $0.63\,\text{día}^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. La tormenta, $4160\,\mathrm{km}$, es más corta que la longitud de onda estacionaria de Rossby, $6050\,\mathrm{km}$: como onda de Rossby, la arrastra hacia el este el viento del oeste, y las tormentas avanzan hacia el este a través de las ondas largas más lentas o estacionarias.

22. Con la altura, hacia el oeste: solo entonces el aire que se desplaza hacia el polo es más cálido que el aire que se desplaza hacia el ecuador, de modo que el calor se dirige hacia el polo y la energía potencial disponible se libera.

23. La perturbación de crecimiento más rápido se amplifica en un factor $e$ cada $1.6$ días ($1.59$ días según el cálculo).