29La Vía Láctea y las galaxias

En el Sistema Solar, los planetas alejados del Sol se mueven lentamente: Mercurio lo recorre a $47.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, Neptuno a $5.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, como exige la tercera ley de Kepler a los cuerpos ligados a una única masa central. Las estrellas de la Galaxia no se comportan así. Medida a partir de los movimientos de más de veinte mil gigantes rojas, la velocidad de sus órbitas circulares es $227\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $5\,\mathrm{kpc}$ del centro, $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en el Sol, y todavía $198\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $25\,\mathrm{kpc}$, donde apenas quedan estrellas ni gas. Si la masa que vemos fuera toda la que existe, las estrellas exteriores se moverían mucho más despacio. Algo no visible las retiene. Este capítulo describe la Galaxia en la que vivimos, la pesa a partir de su rotación, clasifica las demás galaxias por tipos y recorre la cadena de métodos con los que se miden sus distancias y la expansión del Universo.

Lo que ya sabes

La Vía Láctea, el efecto Doppler, las leyes de Kepler, el teorema de Newton sobre la atracción de una capa esférica, la materia oscura, los agujeros negros y su radio de Schwarzschild, las supernovas, las enanas blancas, la línea de 21 cm del hidrógeno atómico y la ley de Hubble se estudian en los libros de física. El paralaje anual, el parsec, el flujo y la luminosidad, las magnitudes aparente y absoluta, el módulo de distancia, las bandas fotométricas y el índice de color están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre telescopios y fotometría. El medio interestelar y su polvo están en el volumen de segundo año, en su capítulo sobre el medio interestelar y la formación estelar.

29.1 La estructura de la Galaxia

Vista desde la Tierra, la Galaxia es la Vía Láctea: una banda de luz que rodea todo el cielo, atravesada por oscuras franjas de polvo y más brillante hacia la constelación de Sagitario, donde se encuentra su centro. La banda es el disco en el que se halla el Sol, visto de canto desde dentro.

Definición 29.1 (Disco galáctico, disco grueso, bulbo y halo estelar)

El disco galáctico es la componente aplanada de la Galaxia, formada por estrellas, gas y polvo en órbitas casi circulares alrededor de su centro; su densidad decrece aproximadamente de forma exponencial con la altura sobre su plano medio y con la distancia a su centro, con una altura de escala y una longitud de escala. El disco grueso es una segunda componente, más antigua de mayor altura de escala y menor masa. El bulbo galáctico es la concentración central de estrellas que sobresale del disco. El halo estelar es la componente dispersa, de forma aproximadamente esferoidal, formada por estrellas viejas y cúmulos globulares que rodea el disco y el bulbo.

La Galaxia es una espiral barrada. En el entorno del Sol, el disco delgado tiene una altura de escala de unos $300\,\mathrm{pc}$ y el disco grueso de unos $900\,\mathrm{pc}$; sus longitudes de escala son de unos $2.6\,\mathrm{kpc}$ y $2.0\,\mathrm{kpc}$. El disco grueso contiene unas $6 \times 10^{9}$ masas solares, aproximadamente una quinta parte de la del disco delgado. Visto de lado, el bulbo es una caja o un cacahuete: es la parte interior engrosada de una barra de estrellas de unos $5\,\mathrm{kpc}$ de semilongitud, cuyo eje largo forma un ángulo de $27{}^{\circ}$ con la línea que une el Sol con el centro. El halo estelar contiene solo alrededor del uno por ciento de las estrellas. En conjunto, las estrellas de la Galaxia pesan unas $5 \times 10^{10}$ masas solares.

Definición 29.2 (Población estelar)

Una población estelar es un grupo de estrellas de una galaxia que comparten un intervalo de edades, de composiciones químicas y de órbitas. Las estrellas jóvenes del disco delgado, ricas en elementos más pesados que el helio y en órbitas casi circulares, se denominan tradicionalmente población I; las estrellas viejas del halo y de los cúmulos globulares, pobres en elementos pesados y en órbitas de grandes movimientos aleatorios con escasa rotación neta, población II.

El disco grueso ocupa una posición intermedia: sus estrellas son en su mayoría más viejas que las del disco delgado y, para un mismo contenido de hierro, más ricas en los elementos ligeros que los astrónomos llaman elementos alfa, medidos respecto del hierro. El halo estelar es un registro fósil: buena parte de él se ensambló a partir de pequeñas galaxias que cayeron en la Galaxia y fueron desgarradas por sus mareas, y algunas de sus corrientes de estrellas todavía pueden seguirse a través del cielo.

Definición 29.3 (Coordenadas galácticas)

Las coordenadas galácticas de una dirección son su latitud galáctica $b$, el ángulo respecto del plano galáctico (positiva hacia el polo galáctico norte), y su longitud galáctica $\ell$, medida en el plano desde la dirección del centro galáctico ($\ell = 0$) hasta $\ell = 90{}^{\circ}$, la dirección hacia la que la rotación de la Galaxia lleva al Sol. El plano se definió en 1958 como el plano principal del hidrógeno atómico de la Galaxia; el polo galáctico norte se halla en la ascensión recta $192.25{}^{\circ}$ ($12^\mathrm{h}49^\mathrm{m}$) y en la declinación $27.4{}^{\circ}$ (equinoccio 1950).

El Sol no está exactamente en el plano: se encuentra unos $25\,\mathrm{pc}$ al norte de él. Su distancia al centro, $R_0$, fue durante mucho tiempo el dato más incierto de la astronomía galáctica. Hoy se mide geométricamente: la estrella S2 orbita el agujero negro central de la Galaxia en una órbita de $16$ años, cuya tamaño angular en el cielo y velocidad a lo largo de la línea de visión, seguidos durante 27 años, dan directamente la distancia al centro: $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$, con un error estadístico de $13\,\mathrm{pc}$ y uno sistemático de $22\,\mathrm{pc}$. Una revisión de todos los métodos da $R_0 = (8.2 \pm 0.1)\,\mathrm{kpc}$.

29.2 Rotación y halo de materia oscura

Definición 29.4 (Estándar local de reposo)

El estándar local de reposo (LSR) es el sistema de referencia que se mueve en la órbita circular en torno al centro galáctico que pasa por la posición actual del Sol. Las velocidades de las estrellas y del gas cercanos se expresan respecto de él.

El Sol se mueve respecto del LSR unos $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ hacia el centro galáctico, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en el sentido de la rotación y $7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ hacia el polo galáctico norte: un pequeño movimiento peculiar superpuesto a una órbita con una velocidad $V_0$ de unos pocos cientos de kilómetros por segundo. Visto desde la Tierra, la fuente de radio situada en el centro de la Galaxia se desplaza a lo largo del plano galáctico $6.411\,\mathrm{mas}$ al año; casi todo ese desplazamiento es el reflejo de la órbita del Sol, y de él se obtiene la velocidad total en torno al centro, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ (véase el Ejercicio 29.2).

Definición 29.5 (Curva de rotación; constantes de Oort)

La curva de rotación de una galaxia de disco es la velocidad $V(R)$ de una órbita circular en su plano en función de la distancia $R$ a su centro. Para la Galaxia, con $V_0 = V(R_0)$ y $V'_0 = \mathrm{d}V/\mathrm{d}R$ en $R_0$, las constantes de Oort son

$$A = \frac12\left(\frac{V_0}{R_0} - V'_0\right), \qquad B = -\frac12\left(\frac{V_0}{R_0} + V'_0\right).$$

$A$ mide la cizalladura de la rotación del disco y $B$ su vorticidad: en un disco que gira como un sólido rígido $V'_0 = V_0/R_0$ y $A = 0$; en una curva de rotación plana $A = -B$. Su diferencia es la velocidad angular del LSR, $A - B = V_0/R_0 = \omega_0$, y su suma es la pendiente, $A + B = -V'_0$.

Teorema 29.6 (Fórmulas de Oort)

Una estrella a una distancia $d \ll R_0$ del Sol, en el plano galáctico y a longitud $\ell$, en una órbita circular, tiene respecto del LSR la velocidad radial $v_r$ y la velocidad transversal $v_t$ (positiva en el sentido de crecimiento de $\ell$)

$$v_r = A\,d\sin 2\ell, \qquad v_t = d\,(A\cos 2\ell + B),$$

a primer orden en $d/R_0$.

Las velocidades radiales de las estrellas cercanas varían, por tanto, como $\sin 2\ell$ alrededor del cielo, y sus movimientos propios como $\cos 2\ell$ en torno a un valor medio fijado por $B$. A partir de los movimientos propios y las paralajes de $304\,267$ estrellas del primer catálogo de Gaia, a una distancia típica de $230\,\mathrm{pc}$, las constantes de Oort son $A = (15.3 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ y $B = (-11.9 \pm 0.4)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$. Otros dos términos que un disco axisimétrico no tendría, llamados $C$ y $K$, resultaron rondar $-3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: el disco local está agitado por la barra y por los brazos espirales.

La curva de rotación a partir de la línea de 21 cm

El hidrógeno atómico llena el disco y emite la línea de 21 cm, a $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$; las ondas de radio atraviesan el polvo que oculta el disco lejano a longitudes de onda visibles. A lo largo de una línea de visión en el plano, cada nube de gas añade su línea con el desplazamiento Doppler de su velocidad radial, y el perfil de la línea es un espectro de velocidades. Dentro del círculo solar se distingue una velocidad.

Teorema 29.7 (Método del punto tangente)

Sea un gas que se mueve en órbitas circulares con una velocidad angular $\omega(R)$ que disminuye hacia fuera. A lo largo de una línea de visión a la longitud $0 < \ell < 90{}^{\circ}$, la velocidad radial respecto al LSR es máxima en el punto tangente, donde la línea de visión es tangente a una órbita, en $R = R_0\sin\ell$, y su valor máximo es

$$v_\mathrm{max} = V(R_0\sin\ell) - V_0\sin\ell .$$

La velocidad más alta de cada perfil de 21 cm da así $V$ en $R_0\sin\ell$, y un barrido de longitudes desde $0{}^{\circ}$ hasta $90{}^{\circ}$ proporciona la curva de rotación desde el centro hasta el Sol. Más allá del círculo solar ninguna línea de visión es tangente a una órbita, y el método falla: allí hay que medir la distancia de cada trazador, además de su velocidad. Desde 2014 un satélite ha medido las paralajes de más de mil millones de estrellas, y la curva de rotación exterior se traza ahora con estrellas.

La curva de la figura anterior se obtuvo a partir de las posiciones, distancias y velocidades de más de veintitrés mil gigantes rojas luminosas, mediante la ecuación de la hidrodinámica estelar que relaciona los movimientos medios de una población de estrellas con la gravedad que las retiene (la ecuación de Jeans). En el Sol da $V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, con una incertidumbre sistemática de entre el dos y el cinco por ciento; más allá, desciende suavemente, a razón de $(1.7 \pm 0.1)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por kiloparsec. La curva no desciende como exige la masa visible.

Pesando la Galaxia

La gravedad de un disco no es la de una esfera, pero la curva de velocidades de un modelo de masas se calcula fácilmente cuando cada componente tiene un potencial en forma cerrada. Los potenciales del plano siguiente son los de un modelo publicado de las estrellas de la Galaxia.

Proposición 29.8 (Velocidades circulares de tres modelos de masas)

En el plano $z = 0$, la velocidad circular $V^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ es, para

• una esfera de Plummer de masa $M$ y radio de núcleo $b$, de potencial $\Phi = -GM/\sqrt{r^2 + b^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{(R^2 + b^2)^{3/2}}\,;$$

• un disco de Miyamoto–Nagai de masa $M$, longitud de escala $a$ y altura de escala $b$, de potencial $\Phi = -GM\big/\sqrt{R^2 + \bigl(a + \sqrt{z^2 + b^2}\,\bigr)^2}$:

  $$V^2 = \frac{GMR^2}{\bigl(R^2 + (a + b)^2\bigr)^{3/2}}\,;$$
• un halo de Navarro–Frenk–White de densidad $\rho = \rho_0\big/\bigl[x(1 + x)^2\bigr]$, $x = r/R_s$: la masa dentro de $r$ es $M(r) = 4\pi\rho_0R_s^3\bigl[\ln(1 + x) - x/(1 + x)\bigr]$ y $V^2 = GM(r)/r$.

Para varios componentes los cuadrados de las velocidades se suman.

El modelo usado en la figura tiene un bulbo de Plummer de $1.07 \times 10^{10}$ masas solares con $b = 0.3\,\mathrm{kpc}$, un disco delgado y un disco grueso de $3.94 \times 10^{10}$ masas solares cada uno, con $(a, b) = (5.3\,\mathrm{kpc}, 0.25\,\mathrm{kpc})$ y $(2.6\,\mathrm{kpc}, 0.8\,\mathrm{kpc})$. Con $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por masa solar, sus estrellas solas darían al Sol una velocidad orbital de $184\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, y una estrella a $20\,\mathrm{kpc}$ una de $134\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$; las velocidades medidas son 229 y $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Un halo ajustado a las medidas, con las estrellas fijas, tiene $R_s = 14.75\,\mathrm{kpc}$ y $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ masas solares por kiloparsec cúbico, el mismo valor que el halo que ajustaron sus autores ($R_s = (14.8 \pm 0.4)\,\mathrm{kpc}$, $\rho_0 = (1.06 \pm 0.09 \times 10^{7})\,$ masas solares por kiloparsec cúbico). El halo domina más allá de unos $14\,\mathrm{kpc}$.

Definición 29.9 (Halo de materia oscura)

El halo de materia oscura de una galaxia es la distribución de materia oscura aproximadamente esférica en la que están inmersas sus estrellas y su gas, y mucho mayor y más masiva que sus componentes visibles, y se infiere de su gravedad: a partir de la curva de rotación, de los movimientos de las galaxias satélite y de las estrellas del halo, y de la curvatura de la luz.

Teorema 29.10 (Masa dentro de un radio)

Para una distribución esférica de masa, la velocidad circular a radio $r$ da la masa contenida en su interior, $M(r) = rV^2/G$. Una curva de rotación plana, $V =$ constante, implica $M(r) \propto r$ y una densidad $\rho(r) = V^2/(4\pi G r^2)$.

Para los discos achatados, $rV^2/G$ no es exactamente la masa dentro de $r$, pero es la masa que necesitaría una esfera para producir la misma órbita, y es usada aquí, como es habitual, como la masa dinámica. La figura siguiente la compara para las estrellas y para toda la Galaxia.

Hasta dónde se extiende el halo, y cuánto pesa en total, es algo que la curva de rotación del disco no puede decir. Extrapolado con su perfil ajustado hasta su radio virial, de unos $190\,\mathrm{kpc}$, el halo ajustado por los autores de la medida contiene unas $7 \times 10^{11}$ masas solares; una revisión de otras estimaciones da $1.3 \times 10^{12}$, de las que los bariones son solo un siete por ciento. La materia oscura cerca del Sol es escasa: unos $0.30\,\mathrm{GeV}$ de energía en reposo por centímetro cúbico, un tercio de la masa de un protón, por lo que solo se percibe por su gravedad acumulada.

29.3 Galaxias

Definición 29.11 (Secuencia de Hubble; galaxias elípticas, lenticulares, espirales e irregulares)

La secuencia de Hubble clasifica las galaxias por su aspecto. Una galaxia elíptica (tipo E) es un sistema suave de estrellas, con un brillo que disminuye de forma constante desde el centro y sin disco; se designa como E$n$, con $n = 10(1 - b/a)$ y $b/a$ la razón aparente entre los ejes, desde E0 (redonda) hasta E7. Una galaxia espiral tiene un disco con brazos espirales alrededor de un bulbo central; se designa como Sa, Sb o Sc según un bulbo cada vez menor, brazos más abiertos y brazos más fragmentados en nudos de formación estelar, y SBa, SBb o SBc si una barra atraviesa su centro. Una galaxia lenticular (S0) tiene un disco y un bulbo, pero no brazos. Una galaxia irregular (Irr, Im) no tiene una estructura organizada.

Las clases describen formas observadas en el cielo, y una sola designación oculta un abanico: una elíptica vista según su eje más corto parece redonda, sea cual sea su achatamiento real, y los límites entre clases vecinas son una cuestión de criterio. En un catálogo de las galaxias cercanas, la Galaxia figura como S(B)bc, una espiral entre Sb y Sc con barra; su gran vecina Andrómeda (M31) es una Sb, la galaxia del Triángulo (M33) una Sc, y las Nubes de Magallanes Grande y Pequeña son irregulares.

¿Por qué no se enrollan los brazos espirales? En un disco cuya curva de rotación es plana, una estrella a la mitad de distancia del centro da una vuelta en la mitad de tiempo. Una espiral de estrellas se enrollaría más cerrada en cada vuelta, y tras unas pocas vueltas del disco sería una espiral muy apretada (véase el Ejercicio 29.11).

Definición 29.12 (Teoría de las ondas de densidad)

La teoría de las ondas de densidad explica los brazos espirales como una onda de mayor densidad en un disco, un patrón espiral que gira de forma rígida a su propia velocidad angular, la velocidad del patrón, mientras las estrellas y el gas se desplazan a través de él, frenándose al entrar en el brazo abarrotado y acelerándose al salir, como los coches al atravesar un atasco.

La teoría, propuesta en 1964, libra a los brazos del problema del enrollamiento. El gas que entra en un brazo se comprime y allí se forman estrellas: los brazos quedan marcados por las estrellas jóvenes y por el gas luminoso, mientras que las estrellas viejas se reparten de forma mucho más uniforme. Si los brazos son ondas de larga vida sigue siendo objeto de debate; las simulaciones por ordenador de discos suelen producir brazos transitorios, que se disuelven y se vuelven a formar, y una galaxia de paso o una barra pueden impulsar una espiral de dos brazos.

Definición 29.13 (Agujero negro supermasivo)

Un agujero negro supermasivo es un agujero negro de un millón de masas solares o más en el centro de una galaxia.

En el centro de la Galaxia, la fuente de radio compacta Sagitario A* (Sgr A*) (Sgr A*) se encuentra entre estrellas en órbitas cerradas y rápidas. Sus órbitas requieren una masa central de unos cuatro millones de soles, $4.2 \pm 0.2 \times 10^{6}$ masas solares en una revisión de las medidas. Sgr A* apenas se mueve respecto de las galaxias lejanas: una vez eliminada la órbita del Sol, su movimiento residual es como máximo de unos pocos kilómetros por segundo, por lo que retiene al menos una cuarta parte de esa masa. Su tamaño es comparable al de su radio de Schwarzschild, y su densidad, superior a $4 \times 10^{23}$ masas solares por parsec cúbico, es muy cercana a la esperada para un agujero negro: la evidencia de que Sgr A* es uno es abrumadora.

Definición 29.14 (Grupo Local; cúmulo de galaxias)

El Grupo Local es el conjunto de galaxias ligadas gravitacionalmente, dominado por la Vía Láctea y Andrómeda, cada una con sus galaxias satélite. Un cúmulo de galaxias es uno de los sistemas ligados gravitacionalmente más grandes: muchas galaxias retenidas, con un gas caliente que emite rayos X, en un pozo común formado sobre todo por materia oscura.

Más de cien galaxias se encuentran a menos de $3\,\mathrm{Mpc}$ del Sol, la mayoría de ellas enanas. La Gran Nube de Magallanes está a unos $50\,\mathrm{kpc}$, Andrómeda a $783\,\mathrm{kpc}$ y se acerca a nosotros a $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, y los miembros ligados del grupo se hallan a unos $1.06\,\mathrm{Mpc}$ de su centro de masas, entre la Galaxia y Andrómeda, donde se apartan de la expansión del Universo. Su masa, a partir del movimiento de las dos galaxias grandes una hacia la otra, es del orden de $5 \times 10^{12}$ masas solares. En un cúmulo masivo de galaxias el gas caliente, a unos $10^{8}\,\mathrm{K}$, tiene alrededor de diez veces la masa de las estrellas; las galaxias y el gas juntos son demasiado ligeros para la profundidad del pozo gravitatorio, y la mayor parte de la masa del cúmulo, del orden de $10^{15}$ masas solares, es oscura.

29.4 La escalera de distancias

Un paralaje proporciona una distancia solo por geometría, pero los paralajes disminuyen con la distancia. El mejor catálogo de ellos mide un paralaje con una incertidumbre de 0.02 a $0.03\,\mathrm{mas}$ para estrellas más brillantes que la magnitud 15, de modo que una distancia con un error del $10\,\%$ llega hasta unos $4\,\mathrm{kpc}$; la Gran Nube de Magallanes, a $50\,\mathrm{kpc}$, tiene un paralaje de $0.02\,\mathrm{mas}$. Más allá, las distancias se apoyan en objetos cuya luminosidad es conocida.

Definición 29.15 (Candela estándar; escalera de distancias)

Una candela estándar es una clase de objetos cuya magnitud absoluta es conocida, o puede inferirse a partir de una propiedad medida de forma independiente de la distancia, de modo que su magnitud aparente proporciona su módulo de distancia. La escalera de distancias es la cadena de métodos, cada uno calibrado sobre objetos lo bastante cercanos como para medirse también con el método anterior, que lleva las distancias desde los paralajes hasta el Universo en expansión.

Definición 29.16 (Variable cefeida; ley de Leavitt)

Una variable cefeida es una estrella joven, luminosa y pulsante, cuyo brillo varía con un periodo estrictamente regular, de unos días a varias semanas. La ley de Leavitt, o relación periodo–luminosidad, es la relación lineal entre la magnitud absoluta media de una cefeida y el logaritmo de su periodo; a periodos más largos, estrellas más brillantes.

La relación se descubrió en la Pequeña Nube de Magallanes, cuyas estrellas están todas a casi la misma distancia, en 1908. El polvo de la galaxia que alberga una cefeida la atenúa y la enrojece; pero la atenuación es mayor en el visible que en el infrarrojo cercano, en una razón fija para un tipo dado de polvo, y la combinación $W_I = I - 1.55\,(V - I)$ de las magnitudes en las bandas I y V, el índice de Wesenheit, se elige de modo que la atenuación se cancele. La figura siguiente muestra la relación para 2315 cefeidas de la Gran Nube de Magallanes: la ley de Leavitt es una recta muy ajustada, con una dispersión de $0.078\,\mathrm{mag}$, es decir, un $3.6\,\%$ en distancia para una sola estrella.

Definición 29.17 (Punta de la rama de las gigantes rojas)

La punta de la rama de las gigantes rojas (TRGB) es el límite superior nítido de las luminosidades de las gigantes rojas de una población estelar antigua, fijado por la ignición del helio en sus núcleos, el destello de helio; en la banda I se sitúa casi en la misma magnitud absoluta en toda población antigua, $M_I \approx -4.05$ con un color $V - I = 1.6$, y depende solo débilmente de la composición química.

La punta se mide en los halos dispersos de las galaxias, donde hay poco polvo y poca aglomeración; utiliza estrellas viejas del halo donde las cefeidas usan estrellas jóvenes del disco, y los dos métodos no comparten ninguna física. Las cefeidas y la TRGB alcanzan unas decenas de megapársecs, hacia galaxias donde una candela estándar rara y mucho más brillante ha estallado: una supernova de tipo Ia, la explosión termonuclear de una enana blanca, recordada de los libros de física, cuya magnitud absoluta en el máximo, una vez corregida por la forma de su curva de luz y de su color, es $M_B = (-19.253 \pm 0.027)\,\mathrm{mag}$. Tales supernovas se observan a lo largo de cientos de megapársecs.

Definición 29.18 (Relación de Tully–Fisher)

La relación de Tully–Fisher es la correlación entre la luminosidad, o mejor la masa de estrellas y de gas, de una galaxia espiral y la velocidad de su curva de rotación plana; en su forma bariónica, $M_\mathrm{b} = A\,V^4$, se cumple desde unos 30 hasta $300\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

El espectro de 21 cm de una galaxia proporciona su velocidad máxima de rotación, y la relación da su luminosidad, con independencia de su distancia, y su flujo permite entonces fijar la distancia: un peldaño para galaxias espirales demasiado lejanas para estrellas individuales. La Galaxia, por su luminosidad y su rotación, se ajusta a la relación.

En lo alto de la escalera, las supernovas miden la expansión del Universo. La ley de Hubble, recordada de los libros de física, hace que la velocidad de recesión $cz$ de una galaxia lejana sea proporcional a su distancia $d$, $cz = H_0 d$ para corrimientos al rojo pequeños $z$; la constante de Hubble $H_0$ es la pendiente, y las supernovas, con sus distancias obtenidas de la escalera, la proporcionan.

Definición 29.19 (Tensión de Hubble)

La tensión de Hubble es la discrepancia entre el valor de la constante de Hubble medido localmente con la escalera de distancias y el valor inferido a partir del fondo cósmico de microondas con el modelo cosmológico estándar.

Datos de 2022

Las cefeidas de las galaxias anfitrionas de 42 supernovas de tipo Ia, ancladas en las paralajes de Gaia, los máseres de NGC 4258 y las binarias eclipsantes de la Gran Nube de Magallanes, dan $H_0 = (73.04 \pm 1.04)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. La punta de la rama de las gigantes rojas, al calibrar unas cien supernovas, dio en 2019 $H_0 = 69.8 \pm 0.8 \pm 1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$ (estadística y sistemática). El mapa del fondo cósmico de microondas del satélite Planck, interpretado con el modelo cosmológico estándar, implica $H_0 = (67.4 \pm 0.5)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. El valor de las cefeidas y el del fondo difieren en cinco desviaciones típicas; el valor de la TRGB queda entre ambos. El origen de la discrepancia no se conoce: un error aún no hallado en una de las escaleras, o física que falta en el modelo.

En el laboratorio — Un satélite astrométrico y su catálogo

El satélite Gaia barre el cielo siguiendo un patrón programado, de modo que cada estrella se mide una y otra vez a lo largo de la misión. En tierra, las unidades de coordinación de un consorcio de procesamiento de datos convierten estas mediciones en una posición, un paralaje y un movimiento propio para cada una de más de mil millones de fuentes: de los pequeños desplazamientos de una estrella en el cielo, el paralaje es la parte que se repite cada año y el movimiento propio es la parte que se acumula. Cada catálogo se publica junto con artículos que describen su procesamiento y su validación, y toda distancia de las figuras de esta sección que se apoya en un paralaje se apoya en un catálogo de este tipo.

Datos de 2022

El tercer catálogo de Gaia, publicado el 13 de junio de 2022 con datos de 34 meses de observaciones, ofrece posiciones, paralajes y movimientos propios para unas 1.46 mil millones de fuentes, de magnitud 3 a 21, y velocidades radiales medias para 33 millones de estrellas. Sus incertidumbres de paralaje son de 0.02 a $0.03\,\mathrm{mas}$ para estrellas más brillantes que la magnitud 15, $0.07\,\mathrm{mas}$ en la magnitud 17, y $0.5\,\mathrm{mas}$ en la magnitud 20.

29.5 Ejercicios

Ejercicio 29.1 ★

El año galáctico del Sol. (a) Con $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$ y $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcúlese el periodo de la órbita del Sol alrededor del centro galáctico, en millones de años. (b) ¿Cuántas vueltas ha dado el Sol desde que se formó el Sistema Solar, hace $4.54\,\mathrm{Gyr}$?

Solución

Solución de Ejercicio 29.1.

(a) $2\pi R_0 = 2\pi\times2.523 \times 10^{17}\,\mathrm{km} = 1.585 \times 10^{18}\,\mathrm{km}$; a $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ esto requiere $6.92 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, es decir $219\,\mathrm{Myr}$. (b) $4540/219 = 20.7$: unas veinte vueltas.

Ejercicio 29.2 ★

El movimiento reflejo de Sgr A*. (a) Un movimiento propio de $1\,\mathrm{mas}$ al año a $1\,\mathrm{kpc}$ equivale a una velocidad transversal de $1\,\mathrm{au}$ al año: exprésese en kilómetros por segundo. (b) Sgr A*, supuesto en reposo en el centro galáctico a $8.178\,\mathrm{kpc}$, se desplaza a lo largo del plano galáctico $6.411\,\mathrm{mas}$ al año. Calcúlese la velocidad del Sol alrededor del centro y compárese con el valor de referencia, $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Réstese el movimiento peculiar del Sol en la dirección de rotación, $11\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, y compárese con $V_0$ de la curva de rotación.

Solución

Solución de Ejercicio 29.2.

(a) $1\,\mathrm{au}/1\,\mathrm{yr} = 1.496 \times 10^{8}/3.156 \times 10^{7} = 4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $v = 4.74\times6.411\times8.178 = 248.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, dentro del valor de la revisión $(248 \pm 3)\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $248.5 - 11 = 237.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, unos $8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por encima de los $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ de las gigantes rojas: los dos se apoyan en valores distintos de $R_0$ (8.178 y $8.122\,\mathrm{kpc}$), y el propio estándar local de reposo puede desplazarse hasta unos $15\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ respecto a una órbita verdaderamente circular.

Ejercicio 29.3 ★

Clasificación de las elípticas. (a) Las isofotas de una galaxia elíptica tienen una razón de ejes de 0.6: indíquese su clase. (b) ¿Qué razón de ejes tiene una E7? (c) ¿Por qué una galaxia E0 puede ser un sistema achatado?

Solución

Solución de Ejercicio 29.3.

(a) $n = 10(1 - 0.6) = 4$: E4. (b) $b/a = 1 - 7/10 = 0.3$. (c) La clasificación usa la razón aparente de ejes: un elipsoide achatado visto a lo largo de su eje corto tiene un contorno circular y se clasifica como E0.

Ejercicio 29.4 ★

Anclas. Calcúlense las distancias de la Gran Nube de Magallanes ($\mu = 18.477$), Andrómeda ($\mu = 24.47$) y NGC 4258 ($\mu = 29.398$). ¿Qué paralaje tendría una estrella de la Nube, y por qué no puede medirse la distancia de la Nube mediante paralajes?

Solución

Solución de Ejercicio 29.4.

$d = 10^{\mu/5 + 1}$ pc: la LMC $49.6\,\mathrm{kpc}$, Andrómeda $783\,\mathrm{kpc}$, NGC 4258 $7.58\,\mathrm{Mpc}$. Una estrella de la Nube tiene una paralaje de $1/49.6\,\mathrm{kpc} = 0.020\,\mathrm{mas}$, del orden de la incertidumbre del mejor catálogo para estrellas brillantes: una sola paralaje no da ninguna distancia, y la Nube se sitúa por otros medios (binarias de eclipse), a partir de las cuales arranca la escala de las variables cefeidas.

Ejercicio 29.5 ★★

A partir de las constantes de Oort $A = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ y $B = -11.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: (a) calcúlese la velocidad angular del estándar local de reposo y, con $R_0 = 8.178\,\mathrm{kpc}$, la velocidad circular $V_0$; (b) calcúlese la pendiente de la curva de rotación en el Sol. (c) Compárese con la curva de rotación de las gigantes rojas ($V_0 = 229.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, pendiente $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por kiloparsec) y sugiérase por qué las dos difieren, dado que la misma medición halló $C$ y $K$ distintos de cero.

Solución

Solución de Ejercicio 29.5.

(a) $\omega_0 = A - B = 27.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ y $V_0 = 27.2\times8.178 = 222\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $V'_0 = -(A + B) = -3.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: una curva que desciende suavemente. (c) Ambas están por debajo de los valores de las gigantes rojas (229 y $-1.7\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por kiloparsec); los autores de esa curva hallaron lo mismo: un $V_0$ unas dos desviaciones típicas más bajo a causa de $R_0$ y de estas constantes de Oort. Las fórmulas suponen órbitas circulares en un disco axisimétrico; los valores no nulos de $C$ y $K$ muestran que el campo de velocidades local está perturbado por la barra y los brazos espirales, y las $A$ y $B$ locales incorporan esas perturbaciones.

Ejercicio 29.6 ★★

Una curva de rotación plana y la densidad local. (a) Para una galaxia esférica con curva de rotación plana a $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcúlese la densidad a $8.178\,\mathrm{kpc}$, en masas solares por parsec cúbico ($G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por masa solar). (b) Demuéstrese que una masa solar por parsec cúbico equivale a $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, y exprésese la densidad local de materia oscura, $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, en masas solares por parsec cúbico. (c) ¿Por qué es mayor la densidad de (a)?

Solución

Solución de Ejercicio 29.6.

(a) $\rho = V^2/(4\pi GR^2) = 229^2/(4\pi\times4.301 \times 10^{-6}\times 8.178^2) = 1.45 \times 10^{7}$ masas solares por kiloparsec cúbico, o $0.0145$ por parsec cúbico. (b) $M_\odot c^2 = 1.9884 \times 10^{30}\times (2.998 \times 10^{8})^2 = 1.787 \times 10^{47}\,\mathrm{J} = 1.115 \times 10^{57}\,\mathrm{GeV}$, y $1\,\mathrm{pc}^{3} = (3.0857 \times 10^{18}\,\mathrm{cm})^3 = 2.938 \times 10^{55}\,\mathrm{cm}^{3}$: la razón es $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Entonces $0.30/37.96 = 0.0079$ masas solares por parsec cúbico. (c) La densidad asociada a la curva plana cuenta toda la masa que sostiene las órbitas, incluidas las estrellas y el gas, como si estuviera repartida en una esfera; la materia oscura es solo una parte de ella, aquí alrededor de la mitad.

Ejercicio 29.7 ★★

Distancia de una cefeida. En una galaxia espiral ficticia, una cefeida de periodo $30\,\mathrm{d}$ tiene un índice de Wesenheit medio $W_I = 25.00\,\mathrm{mag}$. (a) Usando la ley de Leavitt de la Gran Nube de Magallanes, $W_I = -3.314\log_{10}P + 15.888$, y el módulo de distancia de la Nube 18.477, calcúlese la magnitud absoluta de Wesenheit de la cefeida. (b) Calcúlese la distancia de la galaxia. (c) La dispersión de la ley es $0.077\,\mathrm{mag}$: ¿cuál es el error relativo de distancia a partir de una cefeida, y a partir de cincuenta?

Solución

Solución de Ejercicio 29.7.

(a) $W_I(\mathrm{LMC}) = -3.314\times1.4771 + 15.888 = 10.993\,\mathrm{mag}$, así $M_W = 10.993 - 18.477 = -7.484\,\mathrm{mag}$. (b) $\mu = 25.00 + 7.484 = 32.484$ y $d = 10^{32.484/5 + 1}~\mathrm{pc} = 31.4\,\mathrm{Mpc}$. (c) $\delta d/d = (\ln 10/5)\,\delta\mu = 0.4605\times0.077 = 3.5\,\%$ para una estrella, $3.5/\sqrt{50} = 0.5\,\%$ para cincuenta, si sus errores son independientes (el error de la distancia propia de la Nube se suma por igual a todas ellas).

Ejercicio 29.8 ★★

Distancia TRGB. En el halo de una galaxia ficticia, la punta de la rama de las gigantes rojas se encuentra en $I = 26.00\,\mathrm{mag}$; el polvo a lo largo de la línea de visión atenúa la banda I en $0.05\,\mathrm{mag}$. Con $M_I = -4.05$, calcúlese el módulo de distancia y la distancia. ¿Qué significa una incertidumbre de $0.04\,\mathrm{mag}$ en la punta, en distancia?

Solución

Solución de Ejercicio 29.8.

$\mu = I - A_I - M_I = 26.00 - 0.05 + 4.05 = 30.00$, así $d = 10^{7}~\mathrm{pc} = 10.0\,\mathrm{Mpc}$. Un error de $0.04\,\mathrm{mag}$ equivale a $0.4605\times0.04 = 1.8\,\%$ en distancia.

Ejercicio 29.9 ★★

La constante de Hubble a partir de supernovas. Para una supernova de la expansión suave, $\log_{10}(cz) - 0.2\,m_B = a_B$, la ordenada en el origen del diagrama de Hubble de las supernovas, y el módulo de distancia es $m_B - M_B = 5\log_{10}(d/\mathrm{Mpc}) + 25$. (a) Demuéstrese que $\log_{10}H_0 = 0.2\,M_B + a_B + 5$ ($H_0$ en kilómetros por segundo por megaparsec). (b) Con $M_B = -19.253$ y $a_B = 0.714158$, calcúlese $H_0$. (c) ¿Qué $M_B$ daría $H_0 = 67.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$? ¿En cuántas magnitudes, y en qué fracción de las distancias, difieren las dos calibraciones?

Solución

Solución de Ejercicio 29.9.

(a) $d = cz/H_0$ da $5\log_{10}d = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$, así $m_B - M_B - 25 = 5\log_{10}(cz) - 5\log_{10}H_0$; con $\log_{10}(cz) = a_B + 0.2\,m_B$, $5\log_{10}H_0 = 5a_B + M_B + 25$, lo que es el resultado. (b) $\log_{10}H_0 = -3.8506 + 0.714158 + 5 = 1.8636$, así $H_0 = 73.04\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{Mpc}^{-1}$. (c) $M_B = 5(\log_{10}67.4 - 5.714158) = -19.427\,\mathrm{mag}$: supernovas más brillantes en $0.174\,\mathrm{mag}$, por tanto, todas las distancias son mayores en un factor $10^{0.2\times0.174} = 1.084$, la razón $73.04/67.4$. La tensión es una discrepancia de un ocho por ciento en la escala de distancias.

Ejercicio 29.10 ★★★

De dónde procede la ley de Tully–Fisher. (a) Una galaxia de disco de masa $M$ y radio $R$ gira a $V$: demuéstrese que $M \approx RV^2/G$. (b) Si todas las galaxias espirales tuvieran la misma densidad superficial media $\Sigma = M/(\pi R^2)$, demuéstrese que $M \propto V^4$. (c) Dos galaxias ficticias sobre la misma relación bariónica giran a 100 y $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: ¿cuál es la razón de sus masas? (d) Dos galaxias giran a la misma velocidad y tienen la misma luminosidad; una da cuatro veces el flujo de la otra. Compárense sus distancias.

Solución

Solución de Ejercicio 29.10.

(a) Una estrella en el borde, en una órbita circular, tiene $V^2/R \approx GM/R^2$ (aproximación esférica). (b) $R = \sqrt{M/(\pi\Sigma)}$, así $V^2 = GM/R = G\sqrt{\pi\Sigma}\,M^{1/2}$ y $M = V^4/(\pi\Sigma G^2) \propto V^4$; con una razón masa-luminosidad común, $L \propto V^4$ también. (c) $(100/229)^4 = 0.036$: la galaxia más rápida es 27 veces más masiva. (d) Con igual luminosidad, el flujo cae como $1/d^2$, así que la más débil está al doble de distancia.

Ejercicio 29.11 ★★★

El problema del enrollamiento. Un disco gira con una curva plana a $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Conviértase esta velocidad a kiloparsecs por mil millones de años. (b) Un brazo recto de estrellas se extiende en el instante inicial desde 4 hasta $12\,\mathrm{kpc}$. Calcúlense los periodos orbitales en ambos extremos. (c) Transcurridos $1\,\mathrm{Gyr}$, ¿en qué ángulo se ha adelantado su extremo interior respecto del exterior? ¿Cuántas vueltas de espiral representa eso y qué aspecto tendría el brazo? (d) ¿Cómo evita una onda de densidad este problema?

Solución

Solución de Ejercicio 29.11.

(a) $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 1.0227\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$, así $229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ equivale a $234.2\,\mathrm{kpc}\,\mathrm{Gyr}^{-1}$. (b) $2\pi R/V$: $107\,\mathrm{Myr}$ a $4\,\mathrm{kpc}$, $322\,\mathrm{Myr}$ a $12\,\mathrm{kpc}$. (c) $\Delta\phi = Vt\,(1/4 - 1/12) = 234.2\times0.1667 = 39.0\,\mathrm{rad}$, 6.2 vueltas: el brazo sería una espiral de seis vueltas apretadas entre 4 y $12\,\mathrm{kpc}$, mucho más cerrada que los brazos observados, y aún más cerrada en cada nueva rotación. (d) En una onda de densidad el patrón gira a una única velocidad angular como un sólido rígido; las estrellas y el gas lo atraviesan, así que la forma de los brazos no se enrolla.

Ejercicio 29.12 ★★★

El agujero negro del centro. Tómese la masa central igual a $4.2 \times 10^{6}$ masas solares y $R_0 = 8178\,\mathrm{pc}$. (a) La estrella S2 orbita en torno a él en $16$ años: calcúlese el semieje mayor de su órbita en unidades astronómicas (tercera ley de Kepler en unidades solares, $a^3 = MP^2$ con $a$ en ua, $P$ en años y $M$ en masas solares) y su tamaño angular visto desde la Tierra. (b) Calcúlese el radio de Schwarzschild del agujero negro en metros y en unidades astronómicas, y el ángulo que su diámetro subtiende desde la Tierra, en microsegundos de arco. (c) Calcúlese la densidad media de la masa contenida en su radio de Schwarzschild, en masas solares por parsec cúbico, y compárese con la cota inferior fijada por el movimiento de Sgr A*, $4 \times 10^{23}$ masas solares por parsec cúbico.

Solución

Solución de Ejercicio 29.12.

(a) $a = (4.2\times10^6\times16^2)^{1/3} = 1024\,\mathrm{au}$; a $8178\,\mathrm{pc}$ subtiende $1024/8178 = 0.125{}^{\prime\prime}$ (una ua a un parsec subtiende un arcosegundo). (b) $R_S = 2GM/c^2 = 2\times6.674 \times 10^{-11} \times8.35 \times 10^{36}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 1.24 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.083\,\mathrm{au}$; el diámetro $2R_S$ subtiende $0.166/8178 = 2.0 \times 10^{-5}$ arcosegundos, unos $20\,\text{µ}\mathrm{as}$. (c) $R_S = 4.02 \times 10^{-7}\,\mathrm{pc}$, y $M/(\tfrac43\pi R_S^3) = 1.5 \times 10^{25}$ masas solares por parsec cúbico, cuarenta veces el límite inferior fijado por el movimiento y el tamaño de Sgr A*: el límite queda a menos de un factor cuarenta de la densidad del propio agujero negro.

29.6 Problema: pesando la Galaxia

Problema 29.1

Problema de fin de semana — a partir de los movimientos de estrellas y gas hasta la materia oscura dentro de $20\,\mathrm{kpc}$

Tómese $R_0 = 8.18\,\mathrm{kpc}$, $G = 4.301 \times 10^{-6}\,\mathrm{kpc}\,(\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1})^{2}$ por masa solar, y $4.74\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ para un movimiento propio de $1\,\mathrm{mas}$ al año a $1\,\mathrm{kpc}$. Todas las velocidades son relativas al LSR. Úsense los teoremas de Oort y del punto tangente del capítulo, y la aproximación esférica $M = RV^2/G$ para las masas dinámicas.

Parte I — La rotación local. Un sondeo inventado de estrellas del nudo rojo, todas a $d = 1.00\,\mathrm{kpc}$ en el plano galáctico, da una velocidad radial media de $+15.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\ell = 45{}^{\circ}$ y $-15.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en $\ell = 135{}^{\circ}$, y movimientos propios medios en longitud de $-5.91\,\mathrm{mas}$ al año en $\ell = 90{}^{\circ}$ y $+0.55\,\mathrm{mas}$ al año en $\ell = 0{}^{\circ}$.

1. ¿Qué predice la fórmula de Oort para las velocidades radiales en $\ell = 45{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$, $135{}^{\circ}$ y $180{}^{\circ}$?
2. Calcúlese $A$ a partir de las dos velocidades radiales.
3. Calcúlese $B$ a partir del movimiento propio en $\ell = 90{}^{\circ}$.
4. Calcúlese de nuevo $B$ a partir del movimiento propio en $\ell = 0{}^{\circ}$, y compárese.
5. Calcúlense la velocidad angular del LSR y la velocidad circular $V_0$.
6. Calcúlese la pendiente de la curva de rotación en el Sol. ¿Es la curva creciente, plana o decreciente?
7. Calcúlese el periodo de la órbita del Sol y el número de vueltas en $4.54\,\mathrm{Gyr}$.

Parte II — La curva de rotación interior. Tómese $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Las velocidades radiales más altas en los perfiles de 21 cm en $\ell = 40{}^{\circ}$, $50{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ y $70{}^{\circ}$ son 82.9, 55.6, 32.4 y $14.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

8. ¿Por qué el método del punto tangente necesita $0{}^{\circ} < \ell < 90{}^{\circ}$ (o el cuadrante simétrico), y ¿por qué falla más allá del círculo solar?
9. Calcúlese el radio del punto tangente para cada longitud.
10. Calcúlese $V(R)$ en cada punto tangente.
11. ¿En cuánto, en kilohercios, se desplaza la línea del gas en el punto tangente en $\ell = 40{}^{\circ}$ respecto de su frecuencia en reposo, $1420.405\,751\,\mathrm{MHz}$, y en qué sentido?
12. Compárese con la curva de las gigantes rojas, que da $226.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $5.27\,\mathrm{kpc}$ y $229.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $7.22\,\mathrm{kpc}$. ¿Es la curva interior creciente, plana o decreciente?
13. Si la velocidad en el punto tangente en $\ell = 40{}^{\circ}$ fuera la de una masa puntual en el centro que lleva al Sol a $V_0$, ¿cuál sería? ¿Qué dice la comparación sobre la distribución de la masa?

Parte III — La masa visible. Úsese el modelo de masas del capítulo, en unidades de masas solares y kiloparsecs: un bulbo de Plummer $M = 1.067 \times 10^{10}$, $b = 0.3$; un disco fino de Miyamoto–Nagai $M = 3.944 \times 10^{10}$, $a = 5.3$, $b = 0.25$; un disco grueso de la misma masa con $a = 2.6$, $b = 0.8$.

14. Calcúlese la masa visible total del modelo y compárese con el valor de revisión de la masa estelar de la Galaxia, $(5 \pm 1 \times 10^{10})\,$ masas solares.
15. Calcúlese la velocidad circular del bulbo solo a $20\,\mathrm{kpc}$.
16. Calcúlense las del disco fino y las del disco grueso a $20\,\mathrm{kpc}$.
17. Calcúlese la velocidad circular de toda la masa visible a $20\,\mathrm{kpc}$.
18. Calcúlese lo mismo en $R_0$, y compárese con $V_0$.
19. Si toda la masa visible estuviera concentrada en el centro, ¿cuál sería la velocidad a $20\,\mathrm{kpc}$? ¿Por qué el valor del modelo se aproxima a ella?

Parte IV — La materia oscura. Las gigantes rojas dan una velocidad circular de $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $20\,\mathrm{kpc}$.

20. Calcúlese la masa dinámica dentro de $20\,\mathrm{kpc}$.
21. Calcúlese la masa dinámica de la materia visible dentro de $20\,\mathrm{kpc}$.
22. Calcúlese la masa de materia oscura dentro de $20\,\mathrm{kpc}$, y demuéstrese que su fracción es $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2$.
23. El halo NFW ajustado a toda la curva tiene $\rho_0 = 1.06 \times 10^{7}$ masas solares por kiloparsec cúbico y $R_s = 14.8\,\mathrm{kpc}$. Calcúlese su masa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ y la fracción oscura que implica. ¿Por qué difiere de la respuesta anterior?
24. Calcúlese la densidad de ese halo en $R_0$, en masas solares por parsec cúbico y en $\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$ (una masa solar por parsec cúbico equivale a $37.96\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$).
25. Indíquese la fracción de materia oscura de la masa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ obtenida a partir de la velocidad medida, en por ciento, con dos cifras significativas.

Solución

Solución de Problema 29.1.

Parte I.

1. $v_r = A\,d\sin2\ell$: $+A d$ en $45{}^{\circ}$, 0 en $90{}^{\circ}$, $-A d$ en $135{}^{\circ}$, 0 en $180{}^{\circ}$.

2. $A = (15.4 + 15.2)/(2\times1.00\,\mathrm{kpc}) = 15.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

3. En $90{}^{\circ}$, $v_t = d(B - A) = 4.74\times(-5.91)\times1.00 = -28.02\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que $B = 15.3 - 28.02 = -12.72\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$.

4. En $0{}^{\circ}$, $v_t = d(A + B) = 4.74\times0.55 = 2.61\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, así que $B = 2.61 - 15.3 = -12.69$: los dos coinciden dentro de $0.03$.

5. $\omega_0 = A - B = 28.0\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$ y $V_0 = 28.0\times8.18 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

6. $V'_0 = -(A + B) = -2.6\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{kpc}^{-1}$: disminuye suavemente.

7. $P = 2\pi/\omega_0$: $2\pi\times8.18\,\mathrm{kpc}/229.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1} = 219\,\mathrm{Myr}$; $4540/219 = 20.7$ vueltas.

Parte II.

8. El punto tangente requiere una línea de visión que pase más cerca del centro que el Sol, $\sin\ell > 0$ con $\ell < 90{}^{\circ}$ (o el cuadrante simétrico, $270{}^{\circ} < \ell < 360{}^{\circ}$, donde la mayor velocidad es la más negativa). Fuera del círculo solar la distancia al centro crece a lo largo de toda la línea de visión: ningún punto destaca, y la velocidad por sí sola no indica dónde se encuentra el gas.

9. $R = 8.18\sin\ell$: $5.26\,\mathrm{kpc}\text{, }6.27\,\mathrm{kpc}\text{, }7.08\,\mathrm{kpc}\text{ y }7.69\,\mathrm{kpc}$.

10. $V = v_\mathrm{max} + V_0\sin\ell$: $82.9 + 147.2 = 230.1$, $55.6 + 175.4 = 231.0$, $32.4 + 198.3 = 230.7$, $14.9 + 215.2 = 230.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

11. $\Delta\nu = \nu v/c = 1.420\,406 \times 10^{9}\times82.9/299792 = 393\,\mathrm{kHz}$, hacia frecuencias más bajas: el gas se aleja.

12. Dentro de unos $3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ de las gigantes rojas: entre 5 y $8\,\mathrm{kpc}$ la curva es plana.

13. Una masa puntual da $V = V_0\sqrt{R_0/R} = 229\times\sqrt{8.18/5.26} = 286\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en el primer punto tangente, muy superior a la $230\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ hallada: la masa no está concentrada en el centro, buena parte de ella se encuentra entre 5 y $8\,\mathrm{kpc}$ y más allá.

Parte III.

14. $1.067 \times 10^{10} + 2\times3.944 \times 10^{10} = 8.96 \times 10^{10}$ masas solares, casi el doble de la cifra de la revisión $5 \pm 1 \times 10^{10}$; las estrellas del modelo pueden ser demasiado pesadas, lo que haría que la materia oscura hallada más abajo sea una subestimación.

15. $V_b^2 = GMR^2/(R^2 + b^2)^{3/2} = 4.301 \times 10^{-6}\times1.067 \times 10^{10} \times400/(400.09)^{3/2}$, $V_b = 47.9\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

16. Disco delgado: $(a + b)^2 = 30.80$, $V^2 = 4.301 \times 10^{-6}\times3.944 \times 10^{10} \times400/(430.8)^{3/2}$, $V = 87.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Disco grueso: $(a + b)^2 = 11.56$, $V = 90.1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

17. $V_\mathrm{vis} = \sqrt{47.9^2 + 87.1^2 + 90.1^2} = 134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

18. A $8.18\,\mathrm{kpc}$: 74.8, 108.4 y $127.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, en conjunto $183.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, frente a $V_0 = 229\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$: la masa visible resulta insuficiente ya en el Sol.

19. $\sqrt{G\times8.96 \times 10^{10}/20} = 138.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. La velocidad del modelo, $134.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, es cercana, porque a $20\,\mathrm{kpc}$, entre cuatro y seis longitudes de escala del disco hacia fuera, casi toda la masa visible se encuentra dentro de la órbita: la curva visible se ha vuelto kepleriana.

Parte IV.

20. $M = 20\times200^2/4.301 \times 10^{-6} = 1.860 \times 10^{11}$ masas solares.

21. $M_\mathrm{vis} = 20\times134.2^2/4.301 \times 10^{-6} = 8.37 \times 10^{10}$ masas solares.

22. $M_\mathrm{dark} = 1.860 \times 10^{11} - 8.37 \times 10^{10} = 1.02 \times 10^{11}$; ya que ambas masas son $RV^2/G$ al mismo $R$, la fracción es $1 - (V_\mathrm{vis}/V)^2 = 1 - (134.2/200)^2 = 0.550$.

23. $x = 20/14.8 = 1.351$, $\ln(2.351) - 1.351/2.351 = 0.8549 - 0.5748 = 0.2801$, $M = 4\pi\times1.06 \times 10^{7}\times14.8^3\times0.2801 = 1.21 \times 10^{11}$ masas solares; la fracción oscura es $1.21/(1.21 + 0.837) = 0.59$. El halo se ajusta a toda la curva, que a $20\,\mathrm{kpc}$ la sobrepasa: las medidas caen allí unos $10\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por debajo del modelo suave ($209\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$).

24. $x = 8.18/14.8 = 0.553$, $\rho = 1.06 \times 10^{7}/(0.553\times1.553^2) = 7.95 \times 10^{6}$ masas solares por kiloparsec cúbico, $0.0080$ por parsec cúbico, o $0.30\,\mathrm{GeV}\,\mathrm{cm}^{-3}$, el valor que citan los autores del ajuste.

25. $1 - 8.37/18.60 = 0.550$: la fracción de materia oscura de la masa dentro de $20\,\mathrm{kpc}$ es $55\,\%$.