4Geomagnetismo y paleomagnetismo

Un flujo basáltico erupcionado hace sesenta millones de años se enfrió con sus diminutos granos de magnetita fijados paralelos al campo de la época. Hoy, al perforarlo, orientarlo in situ, cortarlo en cilindros pequeños y calentarlo paso a paso en una sala apantallada del campo actual, aún indica a qué distancia del polo se encontraba entonces y hacia dónde miraba. Miles de tales medidas, procedentes de todos los continentes y de todas las edades, han revelado cómo se desplazaron los continentes antes de que nacieran los fondos oceánicos que registran su movimiento, y en qué orden se ha invertido el campo a lo largo de las capas de una serie sedimentaria. Este capítulo describe el campo tal como es hoy, cómo lo registran las rocas, cómo se extrae y promedia una dirección, y qué dice un polo paleomagnético sobre el movimiento de una placa.

Lo que ya sabes

La Tierra como imán y la declinación magnética están en los volúmenes escolares de los libros de física; los dominios magnéticos, la histéresis, la remanencia y la temperatura de Curie en su volumen de tercer año; el campo de un dipolo magnético, en su volumen de primer año. Las inversiones magnéticas y las polaridades normal e inversa se vieron en año 11. El círculo máximo y el triángulo esférico se definieron en el volumen de primer año, en su capítulo de astronomía esférica; el cron de polaridad, la escala de tiempo de polaridad geomagnética, la anomalía magnética marina y las rotaciones finitas alrededor de un polo de Euler, en su capítulo de cinemática de placas sobre una esfera; la traza de punto caliente, en su capítulo sobre puntos calientes. Los armónicos esféricos y las funciones de Legendre normalizadas de Schmidt $P_n^m$ se usaron para la gravedad en el capítulo de gravedad y la forma de la Tierra (Capítulo 3).

4.1 El campo principal

Definición 4.1 (Campo geomagnético principal; dipolo axial geocéntrico)

El campo geomagnético principal es la parte del campo magnético terrestre producida en el interior de la Tierra, en su núcleo externo líquido de hierro; cambia de años a millones de años, a diferencia de los campos de la ionosfera y la magnetosfera, que cambian en segundos a días. El dipolo axial geocéntrico es el campo de un dipolo magnético situado en el centro de la Tierra y alineado con su eje de rotación, apuntando al sur, de modo que sus líneas de campo salen del hemisferio sur y entran en el norte.

En cada punto de la superficie el campo $\mathbf F$ es un vector. Se describe en un sistema local (figura de abajo): $X$ hacia el norte geográfico, $Y$ hacia el este, $Z$ hacia abajo. Su componente horizontal es $H = \sqrt{X^2 + Y^2}$, su intensidad total $F = |\mathbf F|$, su declinación magnética $D$, el ángulo desde el norte geográfico hasta $\mathbf H$, medido en sentido horario, y su inclinación $I$, el ángulo desde la horizontal hasta $\mathbf F$.

Definición 4.2 (Inclinación magnética)

La inclinación magnética $I$ del campo en un punto es el ángulo entre el vector campo y el plano horizontal, positivo cuando el campo apunta hacia abajo: $\tan I = Z/H$, con $-90{}^{\circ} \le I \le 90{}^{\circ}$.

Teorema 4.3 (La fórmula del dipolo)

En la superficie de una esfera de radio $a$, el campo de un dipolo axial geocéntrico de momento $m$ tiene, a la latitud $\lambda$,

$$H = B_0\cos\lambda,\qquad Z = 2B_0\sin\lambda,\qquad F = B_0\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda},\qquad \tan I = 2\tan\lambda,\qquad D = 0,$$

donde $B_0 = \mu_0 m/(4\pi a^3)$ es el campo en el ecuador. Esta es la fórmula del dipolo.

La inclinación es cero en el ecuador, $90{}^{\circ}$ en el polo norte, y negativa en el hemisferio sur; la intensidad es el doble en los polos que en el ecuador. El campo real no es un dipolo perfecto y se describe, como la gravedad, mediante armónicos esféricos.

Definición 4.4 (Campo Geomagnético Internacional de Referencia)

El Campo Geomagnético Internacional de Referencia (IGRF) es el modelo acordado internacionalmente del campo principal: el potencial, en la superficie y por encima de ella,

$$V(r,\theta,\varphi) = a\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\sum_{m=0}^{n} \bigl(g_n^m\cos m\varphi + h_n^m\sin m\varphi\bigr)P_n^m(\cos\theta),$$

con $a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mathbf B = -\nabla V$, y coeficientes de Gauss $g_n^m$, $h_n^m$ (en $\mathrm{nT}$) que se publican cada cinco años desde 1900, junto con su tasa de variación en los cinco años siguientes.

El modelo lo mantiene la Asociación Internacional de Geomagnetismo y Aeronomía; su decimocuarta generación se completó en noviembre de 2024 y se trunca en el grado $N = 13$. El primer término, $g_1^0$, es el dipolo axial: comparando con la demostración anterior, $B_0 = -g_1^0$, y $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$ en 2025. Con los otros dos términos de grado 1 el dipolo está inclinado; su eje corta la superficie en el polo geomagnético norte, en $80.79{}^{\circ}$ N, $72.76{}^{\circ}$ O en 2025, y su momento es $m = 4\pi a^3\sqrt{(g_1^0)^2 + (g_1^1)^2 + (h_1^1)^2}/\mu_0 = 7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$.

Los mapas anteriores muestran cuánto se aparta el campo de un dipolo. El ecuador de buzamiento cero se desplaza hasta unos $12{}^{\circ}$ respecto al ecuador geográfico, y la intensidad, que un dipolo haría uniforme a lo largo de un paralelo, varía en un factor de tres, con una amplia zona de baja intensidad sobre el Atlántico Sur.

Definición 4.5 (Variación secular)

La variación secular es el cambio lento del campo principal con el tiempo, a lo largo de años a siglos, y se mide mediante la tasa de variación de sus coeficientes de Gauss o de sus elementos en un lugar.

En los últimos 125 años el momento dipolar ha descendido de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ a $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, un $7.6\,\%$, y el polo geomagnético norte se ha desplazado de $78.61{}^{\circ}$ N, $68.79{}^{\circ}$ O a su posición actual (figura inferior); $g_1^0$ sigue creciendo $12.6\,\mathrm{nT}$ al año, lo que indica un debilitamiento del dipolo.

¿De dónde procede el campo? Un imán permanente queda descartado: la temperatura de Curie de la magnetita es de unos $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y la de la hematites $675\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y el interior de la Tierra está mucho más caliente. El campo se regenera de forma continua por el movimiento del líquido conductor del núcleo externo.

Definición 4.6 (Geodinamo)

La geodinamo es el proceso autosostenido mediante el cual la convección de la aleación de hierro líquida y conductora de la electricidad del núcleo externo, desviada por la rotación de la Tierra, induce corrientes eléctricas cuyo campo magnético se mantiene frente a la disipación óhmica.

Proposición 4.7 (Ecuación de inducción)

En un conductor de difusividad magnética $\eta = 1/(\mu_0\sigma)$ que se mueve con la velocidad $\mathbf u$, el campo magnético obedece

$$\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} = \nabla\times(\mathbf u\times\mathbf B) + \eta\nabla^2\mathbf B .$$

El primer término estira y retuerce las líneas de campo arrastradas por el flujo; el segundo hace que el campo decaiga, en un cuerpo de tamaño $L$, en un tiempo del orden de $L^2/\eta$. Un dinamo funciona cuando el flujo regenera el campo más deprisa de lo que este se difunde. Las simulaciones numéricas de una envoltura de fluido en convección y rotación reproducen un dipolo axial dominante y, de vez en cuando, una inversión; pero las ecuaciones de la geodinamo, acopladas con las del flujo, quedan fuera de este libro. Además de las inversiones completas, el registro contiene episodios más breves.

Definición 4.8 (Excursión geomagnética)

Una excursión geomagnética es una desviación grande de la dirección del campo respecto a la del dipolo axial, el polo geomagnético virtual (véase la Definición 4.16) que se aleja mucho del polo geográfico, y el campo vuelve a la polaridad original en lugar de completar una inversión.

4.2 Cómo registran las rocas el campo

Los minerales ferromagnéticos en sentido amplio, principalmente la magnetita en las rocas ígneas y la hematites en los sedimentos rojos, portan una remanencia. Por encima de su temperatura de Curie un grano no tiene ninguna; por debajo de ella, un grano pequeño es un único dominio magnético cuyo momento cambia de sentido entre sus direcciones de fácil imanación, activado térmicamente, tras un tiempo de relajación

donde $K$ es la energía de anisotropía por unidad de volumen, $V$ el volumen del grano y $C$ un factor de frecuencia. Esta es la ley de relajación de Néel, admitida aquí. Como $\tau$ crece exponencialmente al disminuir $T$, un grano pasa en un intervalo estrecho de temperatura desde cambiar libremente de sentido a retener su momento durante miles de millones de años.

Definición 4.9 (Temperatura de bloqueo)

La temperatura de bloqueo de un grano magnético es la temperatura por debajo de la cual su tiempo de relajación supera el tiempo del experimento, de modo que su momento permanece fijo: al enfriarse a través de ella, el grano registra el campo; al calentarse a través de ella en campo nulo, el grano pierde ese registro.

Definición 4.10 (Magnetización remanente natural, térmica, detrítica y química)

La magnetización remanente natural (NRM) de una roca es la remanencia que conserva al recogerse, la suma de componentes adquiridas en distintos momentos. Una magnetización termorremanente (TRM) se adquiere al enfriarse a través de las temperaturas de bloqueo en un campo, como en una colada de lava o en una intrusión. Una magnetización remanente detrítica (DRM) se adquiere cuando los granos magnéticos que sedimentan en agua, o en el sedimento húmedo justo debajo de su superficie, se orientan con el campo antes de quedar fijados. Una magnetización remanente química (CRM) se adquiere cuando un mineral magnético crece, a través de un volumen de bloqueo, en un campo, como hace la hematites al formarse un lecho rojo.

La TRM registra el campo en el momento del enfriamiento; la DRM, en el tiempo que tarda el sedimento en compactarse; la CRM, cuando creció el mineral, lo que puede ser mucho después de la sedimentación. Un calentamiento posterior, o el campo actual actuando durante mucho tiempo sobre granos de relajación breve, añade una componente secundaria encima: una remanencia viscosa a lo largo del campo reciente.

4.3 De una muestra a una dirección

Se perforan testigos orientados en varios puntos de una formación, unos pocos testigos por punto, y se cortan en muestras de unos pocos centímetros cúbicos. Se mide la NRM de cada muestra y después se elimina progresivamente.

Definición 4.11 (Desmagnetización por pasos)

La desmagnetización por pasos es la eliminación de la remanencia de una muestra en etapas de intensidad creciente, midiendo el vector remanente tras cada una: calentando a temperaturas crecientes y enfriando en campo nulo (desmagnetización térmica), que elimina primero las componentes de menor temperatura de bloqueo, o mediante campos magnéticos alternos de valor pico creciente que decaen hasta cero (desmagnetización por campo alterno), que elimina primero las de menor coercitividad.

Definición 4.12 (Diagrama de Zijderveld; magnetización remanente característica)

Un diagrama de Zijderveld representa los extremos del vector de remanencia restante tras cada paso de desmagnetización en dos planos a la vez, el horizontal (norte frente a este) y uno vertical (norte frente a abajo), con un eje norte común. Una componente eliminada sola en un intervalo de pasos se representa como un segmento recto; un segmento que termina en el origen es la magnetización remanente característica (ChRM), la componente más estable, que se interpreta como la primaria cuando los ensayos lo permiten.

La muestra de la figura siguiente porta dos componentes: una sobreimpresión viscosa a lo largo del campo actual, eliminada a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y una componente ChRM que se desbloquea desde 300 hasta $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la temperatura de Curie de la magnetita. Por encima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ambas proyecciones llegan en línea recta al origen; la dirección de ese segmento es la de la ChRM.

Las direcciones de las muestras de un sitio se dispersan alrededor de una media, y la estadística de esa dispersión es la de una distribución sobre la esfera.

Proposición 4.13 (Distribución de Fisher)

La distribución de Fisher de precisión parámetro $\kappa > 0$ alrededor de una dirección media asigna a un vector unitario la densidad de probabilidad, por unidad de ángulo sólido,

$$f(\theta) = \frac{\kappa}{4\pi\sinh\kappa}\,e^{\kappa\cos\theta},$$

donde $\theta$ es su ángulo respecto de la media. Dados $N$ vectores unitarios $\mathbf u_i$ extraídos de ella, con resultante $\mathbf R = \sum\mathbf u_i$ de longitud $R$, la mejor estimación de la dirección media es la de $\mathbf R$; la precisión se estima mediante $k = (N - 1)/(N - R)$; y la media verdadera se encuentra, con probabilidad $1 - p$, dentro del ángulo $\alpha_{1-p}$ de la media estimada, donde

$$\cos\alpha_{1-p} = 1 - \frac{N - R}{R}\Bigl[\Bigl(\frac1p\Bigr)^{1/(N-1)} - 1\Bigr].$$

Definición 4.14 (Alfa-95)

El alfa-95 ($\alpha_{95}$) de una dirección media es el semiángulo de su cono de confianza al 95 por ciento, el ángulo $\alpha_{1-p}$ de la Proposición 4.13 para $p = 0.05$.

La densidad se integra a uno: con $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta$, $\int_0^\pi f\,2\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta = \frac{\kappa}{2\sinh\kappa}\cdot\frac{e^\kappa - e^{-\kappa}}{\kappa} = 1$. Las direcciones se promedian como vectores unitarios nunca como ángulos: la media de las declinaciones $350{}^{\circ}$ y $10{}^{\circ}$ es el norte, no el sur. Un $k$ grande significa un agrupamiento estrecho, y $\alpha_{95}$ disminuye aproximadamente como $1/\sqrt{kN}$.

Método 4.15 (Pruebas de campo de una dirección paleomagnética)

Puede demostrarse que una ChRM es anterior a un evento mediante una prueba realizada en el campo.

• Prueba del pliegue. Sitios en ambos flancos de un pliegue: si las direcciones se agrupan mejor después de devolver los estratos a la horizontal que antes, la magnetización es anterior al plegamiento.
• Prueba de inversión. Si una formación contiene ambas polaridades, la media de las direcciones inversas, una vez invertida, debe coincidir con la media de las normales dentro de sus conos de confianza; una sobreimpresión viscosa no eliminada sesgaría ambas en el mismo sentido y rompería la antipodalidad.
• Prueba del contacto cocido. Un dique calienta la roca encajante junto a él, que adquiere una nueva TRM: si la roca cocida conserva la dirección del dique y la roca encajante más alejada presenta otra distinta, la magnetización del dique no se ha reseteado desde que se enfrió.

4.4 Polos y placas

Si el campo, promediado a lo largo de unos pocos miles de años para suavizar la variación secular, es un dipolo axial geocéntrico, entonces la fórmula del dipolo convierte una inclinación media en una latitud, y la declinación media apunta al polo.

Definición 4.16 (Paleolatitud; polo geomagnético virtual)

La paleolatitud de un sitio es la latitud $\lambda$ dada por su inclinación media mediante la fórmula del dipolo, $\tan I = 2\tan\lambda$. El polo geomagnético virtual (VGP, por sus siglas en inglés) de una dirección $(D, I)$ observada en un sitio es el polo norte del dipolo geocéntrico que produciría esa dirección allí.

Teorema 4.17 (El polo de una dirección)

Sea un sitio de latitud $\lambda_s$ y longitud $\varphi_s$ y una dirección media $(D, I)$. Sea $p$ la paleocolatitud, $\cot p = \tfrac12\tan I$, con $0 \le p \le 180{}^{\circ}$. El polo geomagnético virtual tiene latitud $\lambda_p$ y longitud $\varphi_p$ dadas por

$$\sin\lambda_p = \sin\lambda_s\cos p + \cos\lambda_s\sin p\cos D,\qquad \sin\beta = \frac{\sin p\sin D}{\cos\lambda_p},$$

con $\varphi_p = \varphi_s + \beta$ si $\cos p \ge \sin\lambda_s\sin\lambda_p$, y $\varphi_p = \varphi_s + 180{}^{\circ} - \beta$ en caso contrario.

El cono $\alpha_{95}$ alrededor de la dirección media se convierte en un óvalo alrededor del polo, de semiejes $\mathrm dp = \tfrac12\alpha_{95}(1 + 3\cos^2p)$ a lo largo del círculo máximo desde el sitio, y $\mathrm dm = \alpha_{95}\sin p/\cos I$ a través de él. Un polo promediado sobre varios sitios de una formación, cada uno un VGP, es un polo paleomagnético con su propio cono, $A_{95}$. Las rocas de la misma edad sobre una misma placa rígida dan el mismo polo; rocas de edades distintas, polos distintos.

Definición 4.18 (Deriva polar aparente; curva de deriva polar aparente)

La deriva polar aparente es el cambio, con la edad de las rocas, del polo paleomagnético de una placa visto desde esa placa, considerada fija. Una curva de deriva polar aparente es la línea que une los polos paleomagnéticos de una placa en orden de edad.

El polo no se desplaza: la placa es la que se mueve, y la curva registra ese movimiento en sentido inverso. Dos placas que se han separado tienen curvas distintas para el tiempo anterior a su separación, y cada curva se hace coincidir con la otra mediante la rotación finita que cierra el océano entre ellas. Un polo paleomagnético fija la latitud de un bloque y su orientación, pero no su longitud: una rotación del bloque alrededor del eje de rotación no cambia ni una cosa ni otra.

Un bloque desplazado, un terreno, se contrasta con la curva de la placa estable a la que pertenece ahora. A partir del polo de referencia de la edad adecuada se calcula la dirección esperada $(D_x, I_x)$ en el sitio, mediante el Teorema 4.17 leído en sentido inverso. Una rotación en sentido horario del bloque alrededor de un eje vertical se mide con $R = D_o - D_x$, su desplazamiento hacia el polo con $P = \lambda_x - \lambda_o$, la diferencia entre las paleolatitudes esperada y observada; el error de una declinación es de alrededor de $\Delta D = \arcsin(\sin\alpha_{95}/\cos I)$, y los errores se combinan como la raíz de la suma de sus cuadrados. La cadena de Hawái–Emperador se sometió a esta prueba en el volumen de primer año, en su capítulo sobre puntos calientes: las paleolatitudes medidas en los montes submarinos Emperador mostraron que el propio punto caliente se desplazaba hacia el sur, en más de $40\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ entre 81 y $47\,\mathrm{Ma}$.

Un polo que se desplaza respecto al eje de rotación puede deberse a que las placas se hayan movido o a que toda la Tierra sólida haya girado bajo dicho eje.

Definición 4.19 (Deriva polar verdadera)

La deriva polar verdadera es la rotación de toda la Tierra sólida, manto y corteza en conjunto, respecto a su eje de rotación, impulsada por cambios en la distribución de masa en su interior. Desplaza a la vez todos los polos paleomagnéticos de todas las placas, mediante la misma rotación, mientras que el movimiento de las placas desplaza los polos de cada placa de forma distinta.

Solo se detecta comparando las curvas de todas las placas dentro de un marco independiente del eje de rotación, como el de los puntos calientes; no se conoce con certeza qué tan grande ha sido, y aquí no se da ninguna tasa.

4.5 Magnetoestratigrafía

Definición 4.20 (Magnetoestratigrafía)

La magnetoestratigrafía es la subdivisión de una secuencia de rocas en zonas de polaridad, intervalos de polaridad normal o invertida uniforme, y la datación de la secuencia al hacer coincidir su patrón de zonas con el de la escala de tiempo de polaridad geomagnética.

Una inversión queda registrada, dentro de la resolución del muestreo, en todas partes en el mismo instante: un límite de inversión en una sección es una superficie isócrona. Lo que se compara es el patrón de zonas, su número y sus espesores relativos; una zona aislada podría corresponder a cualquier cron de su misma polaridad. Una o dos edades independientes, procedentes de una ceniza volcánica o de un fósil, anclan la correspondencia, y a partir de ahí cada límite de inversión data la sección. En la figura siguiente, una sección de $64\,\mathrm{m}$ muestra tres zonas normales; ajustada a los subcronos normales del cron C2An, de 3.596 a $2.581\,\mathrm{Ma}$, sus límites dan una tasa de sedimentación de unos $40\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ por debajo de $20\,\mathrm{m}$ y de $55\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ por encima.

En el laboratorio — Laboratorio paleomagnético apantallado

El laboratorio es una sala dentro de un blindaje magnético, capas de metal de alta permeabilidad que reducen el campo terrestre a una pequeña fracción de su valor, de modo que las muestras no adquieren remanencia nueva mientras se manipulan. Un paleomagnetista carga las muestras, pequeños cilindros de roca marcados cada uno con una flecha de orientación, sobre una bandeja larga que las lleva, una tras otra, a un magnetómetro criogénico, cuyos sensores superconductores, refrigerados con helio líquido, miden las tres componentes de remanencias mucho más débiles que las que una brújula podría detectar. Entre medidas, las muestras pasan a un horno apantallado para el siguiente paso de calentamiento, o por las bobinas de un desmagnetizador de campo alterno conectado a la misma línea, y el software representa cada diagrama de Zijderveld a medida que se acumulan los pasos.

4.6 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

En un campo de dipolo axial geocéntrico, calcúlese la inclinación a la latitud $30{}^{\circ}$ N, y la latitud de un punto donde la inclinación es $-20{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\tan I = 2\tan30{}^{\circ} = 1.1547$, por tanto $I = 49.1{}^{\circ}$. Recíprocamente, $\tan\lambda = \tfrac12\tan(-20{}^{\circ}) = -0.1820$, por tanto $\lambda = -10.3{}^{\circ}$, es decir, $10.3{}^{\circ}$ S.

Ejercicio 4.2 ★

En una estación, el campo tiene componentes $X = 20\,000\,\mathrm{nT}$, $Y = -2000\,\mathrm{nT}$ y $Z = 40\,000\,\mathrm{nT}$. Calcúlense $H$, $F$, la declinación magnética y la inclinación.

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

$H = \sqrt{20000^2 + 2000^2} = 20\,100\,\mathrm{nT}$; $F = \sqrt{20000^2 + 2000^2 + 40000^2} = 44\,770\,\mathrm{nT}$. La declinación magnética es $\arctan(-2000/20000) = -5.7{}^{\circ}$, es decir, $5.7{}^{\circ}$ al oeste del norte; la inclinación es $\arctan(40000/20100) = 63.3{}^{\circ}$, hacia abajo.

Ejercicio 4.3 ★

En 2025, $g_1^0 = -29\,350\,\mathrm{nT}$. Tomando el campo como un dipolo axial, calcúlense el campo en el ecuador y en los polos, y el momento dipolar ($a = 6371.2\,\mathrm{km}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}$).

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$B_0 = -g_1^0 = 29\,350\,\mathrm{nT}$ en el ecuador, y $2B_0 = 58\,700\,\mathrm{nT}$ en los polos. $m = 4\pi a^3B_0/\mu_0 = a^3B_0/10^{-7} = 2.5862 \times 10^{20}\times 2.935 \times 10^{-5}/10^{-7} = 7.59 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, algo menos que $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ del dipolo completo, que añade $g_1^1$ y $h_1^1$.

Ejercicio 4.4 ★

Indíquese el tipo de remanencia adquirida y cuándo registra el campo, en cada uno de los casos: (a) una colada de lava que se enfría; (b) limo que se deposita en un lago tranquilo; (c) una arenisca cuyos recubrimientos de óxido de hierro se transforman en hematites durante el enterramiento temprano; (d) un basalto que permanece durante un millón de años en el campo actual.

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

(a) Una magnetización termorremanente, que registra el campo a medida que la lava se enfrió a través de las temperaturas de bloqueo de sus granos. (b) Una magnetización remanente detrítica, que registra el campo durante el tiempo que tardó el limo en depositarse y quedar fijado por compactación. (c) Una magnetización remanente química, que registra el campo durante el crecimiento de la hematites, durante el enterramiento temprano y, por tanto, algo después de la sedimentación. (d) Una remanencia viscosa en la dirección del campo actual, añadida a la TRM original por los granos de tiempo de relajación más corto; se elimina con los primeros pasos de desmagnetización.

Ejercicio 4.5 ★★

Cuatro muestras de una localidad dan las direcciones $(D, I)$: $(12{}^{\circ}, 48{}^{\circ})$, $(22{}^{\circ}, 44{}^{\circ})$, $(16{}^{\circ}, 57{}^{\circ})$ y $(6{}^{\circ}, 53{}^{\circ})$. Calcúlense sus vectores unitarios, la longitud de la resultante $R$, la dirección media, $k$ y $\alpha_{95}$.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

Los vectores unitarios $(\cos I\cos D,\ \cos I\sin D,\ \sin I)$ son

$$\begin{gather*} (0.6545, 0.1391, 0.7431),\quad (0.6670, 0.2695, 0.6947),\\ (0.5235, 0.1501, 0.8387),\quad (0.5985, 0.0629, 0.7986). \end{gather*}$$

La suma es $(2.4435, 0.6216, 3.0751)$, de longitud $R = 3.9766$. Media: $D = \arctan(0.6216/2.4435) = 14.3{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.0751/3.9766) = 50.7{}^{\circ}$. $k = 3/(4 - 3.9766) = 128$. Con $20^{1/3} - 1 = 1.7144$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0234/3.9766)\times1.7144 = 0.98991$, por tanto $\alpha_{95} = 8.1{}^{\circ}$: con cuatro especímenes el cono se mantiene amplio, por muy compacto que sea el grupo.

Ejercicio 4.6 ★★

Una localidad en $40.0{}^{\circ}$ N, $10.0{}^{\circ}$ E da la dirección media $D = 20{}^{\circ}$, $I = 50{}^{\circ}$. Calcúlense su paleolatitud y su polo geomagnético virtual.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan50{}^{\circ}) = 30.79{}^{\circ}$, por tanto $p = 59.21{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin40{}^{\circ}\cos59.21{}^{\circ} + \cos40{}^{\circ}\sin59.21{}^{\circ} \cos20{}^{\circ} = 0.9474$, $\lambda_p = 71.34{}^{\circ}$ N. $\sin\beta = \sin59.21{}^{\circ}\sin20{}^{\circ}/\cos71.34{}^{\circ} = 0.9184$, $\beta = 66.66{}^{\circ}$. Como $\cos p = 0.5119 < \sin40{}^{\circ}\times0.9474 = 0.6090$, se aplica el segundo caso: $\varphi_p = 10 + 180 - 66.66 = 123.34{}^{\circ}$ E. El polo está en $71.3{}^{\circ}$ N, $123.3{}^{\circ}$ E.

Ejercicio 4.7 ★★

El IGRF da un momento dipolar de $8.32 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ en 1900 y $7.69 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ en 2025, y una tasa de variación de $g_1^0$ de $+12.6\,\mathrm{nT}/\mathrm{yr}$ en 2025. (a) Calcúlese la variación relativa del momento por siglo. (b) Si $g_1^0$ mantuviera esa tasa, ¿en cuántos años llegaría a cero? ¿Por qué esto no es una predicción?

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

(a) $(7.69 - 8.32)/8.32 = -7.6\,\%$ en 125 años, o $-6.1\,\%$ por siglo. (b) $29350/12.6 = 2329$, unos 2300 años. No es una predicción: la tasa misma cambia de un modelo de cinco años al siguiente, el momento ha sido tanto mayor como menor en el pasado sin invertirse, y el campo se invierte a intervalos irregulares que ninguna tasa predice.

Ejercicio 4.8 ★★

La remanencia residual de una muestra, en $\mathrm{mA}/\mathrm{m}$ (norte, este, abajo), es $(32.2, 18.1, 38.2)$ tras calentar a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $(25.8, 18.1, 24.6)$ tras $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y $(0.0, 0.0, 0.0)$ tras $580\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; el diagrama de Zijderveld es recto entre cada par. Calcúlense la dirección y la intensidad de la componente eliminada entre 20 y $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y de la eliminada por encima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Cuál es la ChRM y cuál es la otra?

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

Entre 20 y $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el vector perdió $(6.4, 0.0, 13.6)$: una componente de $15.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, con $D = 0.0{}^{\circ}$ e $I = \arctan(13.6/6.4) = 64.8{}^{\circ}$. Por encima de $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ perdió $(25.8, 18.1, 24.6)$: $40.0\,\mathrm{mA}/\mathrm{m}$, $D = \arctan(18.1/25.8) = 35.1{}^{\circ}$, $I = \arctan(24.6/31.5) = 38.0{}^{\circ}$. La segunda, que llega al origen, es la ChRM; la primera, según una dirección hacia el norte y muy inclinada, que se elimina a baja temperatura, es una superimposición viscosa a lo largo del campo reciente.

Ejercicio 4.9 ★★

Una formación da $I = -35{}^{\circ}$ con $\alpha_{95} = 5{}^{\circ}$. Calcúlense su paleolatitud, el intervalo de paleolatitudes permitido por $I \pm \alpha_{95}$, y los semiejes $\mathrm dp$ y $\mathrm dm$ de la elipse de confianza de su polo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

$\lambda = \arctan(\tfrac12\tan(-35{}^{\circ})) = -19.3{}^{\circ}$. Para $I = -40{}^{\circ}$ y $-30{}^{\circ}$: $-22.8{}^{\circ}$ y $-16.1{}^{\circ}$, un intervalo de $6.7{}^{\circ}$. $p = 90{}^{\circ} - \lambda = 109.3{}^{\circ}$, $\cos^2p = 0.1096$: $\mathrm dp = 2.5\times(1 + 0.329) = 3.3{}^{\circ}$ y $\mathrm dm = 5\times\sin109.3{}^{\circ}/\cos35{}^{\circ} = 5.8{}^{\circ}$.

Ejercicio 4.10 ★★★

(a) A partir del Teorema 4.3, encuéntrese la latitud en la que la inclinación es $45{}^{\circ}$, y la razón entre el campo en los polos y el del ecuador. (b) Muéstrese que $\mathrm dI/\mathrm d\lambda = 2/(1 + 3\sin^2\lambda)$, y dedúzcase en qué latitud un error de inclinación produce el mayor error de paleolatitud. (c) ¿Por qué las paleolatitudes obtenidas a partir de inclinaciones bajas son las más precisas en grados?

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

(a) $\tan\lambda = \tfrac12$, $\lambda = 26.6{}^{\circ}$. $F$ es $B_0$ en el ecuador y $2B_0$ en los polos: una razón de 2. (b) $\tan I = 2\tan\lambda$ da $(1 + \tan^2I)\,\mathrm dI = 2(1 + \tan^2\lambda)\,\mathrm d\lambda$, por tanto

$$\frac{\mathrm dI}{\mathrm d\lambda} = \frac{2/\cos^2\lambda}{1 + 4\tan^2\lambda} = \frac{2}{\cos^2\lambda + 4\sin^2\lambda} = \frac{2}{1 + 3\sin^2\lambda}.$$

Un error $\delta I$ da $\delta\lambda = \tfrac12(1 + 3\sin^2\lambda)\,\delta I$, desde $\tfrac12\delta I$ en el ecuador hasta $2\,\delta I$ en los polos: el mayor error se produce cerca de los polos. (c) Cerca del ecuador la inclinación cambia el doble de rápido que la latitud, por lo que un error dado de inclinación cuesta la mitad de latitud; cerca de los polos la inclinación apenas cambia con la latitud.

Ejercicio 4.11 ★★★

Un sitio se encuentra en $35.0{}^{\circ}$ S, $150.0{}^{\circ}$ E, sobre una placa estable cuyo polo de referencia, para la edad de una formación muestreada allí, está en $70.0{}^{\circ}$ N, $300.0{}^{\circ}$ E. (a) Calcúlense la distancia angular $p$ desde el sitio hasta el polo, la inclinación y la declinación esperadas, y la paleolatitud esperada. (b) La formación da $D_o = 30.0{}^{\circ}$, $I_o = -60.0{}^{\circ}$. Calcúlense la rotación $R$ y el desplazamiento hacia el polo $P$, e indíquese qué significan.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

(a) $\cos p = \sin(-35{}^{\circ})\sin70{}^{\circ} + \cos35{}^{\circ}\cos70{}^{\circ}\cos150{}^{\circ} = -0.5390 - 0.2426 = -0.7816$, $p = 141.41{}^{\circ}$. Entonces $\tan I_x = 2\cot p = -2.506$, $I_x = -68.2{}^{\circ}$, y $\lambda_x = 90{}^{\circ} - p = -51.4{}^{\circ}$. $\cos D_x = (\sin70{}^{\circ} - \sin(-35{}^{\circ})\cos p)/(\cos35{}^{\circ}\sin p) = 0.9617$, y como el polo está al este del meridiano del yacimiento ($\sin150{}^{\circ} > 0$), $D_x = 15.9{}^{\circ}$. (b) $\lambda_o = \arctan(\tfrac12\tan(-60{}^{\circ})) = -40.9{}^{\circ}$. $R = 30.0 - 15.9 = 14.1{}^{\circ}$: una rotación en sentido horario del bloque alrededor de un eje vertical. $P = \lambda_x - \lambda_o = -51.4 + 40.9 = -10.5{}^{\circ}$: la formación quedó $10.5{}^{\circ}$ más al norte de lo que indica la placa estable, por lo que el bloque se ha desplazado desde entonces unos $10.5{}^{\circ}$, unos $1170\,\mathrm{km}$, hacia el sur respecto a la placa.

Ejercicio 4.12 ★★★

(a) A partir de la Proposición 4.13, muéstrese que la probabilidad de que una dirección se encuentre a menos de $\theta$ de la media es $(e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta})/(e^\kappa - e^{-\kappa})$. (b) Para $\kappa$ grande y $\theta$ pequeño, muéstrese que esta es aproximadamente $1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$, y dedúzcase que $63\,\%$ de las direcciones se encuentra a menos de $\theta_{63} \approx 81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) Calcúlese $\theta_{63}$ para $\kappa = 50$, y compruébese el $63\,\%$ con la fórmula exacta.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

(a) Con $\mathrm d\Omega = 2\pi\sin\theta'\,\mathrm d\theta'$,

$$\int_0^\theta\frac{\kappa e^{\kappa\cos\theta'}}{4\pi\sinh\kappa}\,2\pi\sin\theta'\, \mathrm d\theta' = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{2\sinh\kappa} = \frac{e^\kappa - e^{\kappa\cos\theta}}{e^\kappa - e^{-\kappa}} .$$

(b) Para $\kappa$ grande, $e^{-\kappa}$ es despreciable; dividiendo por $e^\kappa$ queda $1 - e^{-\kappa(1 - \cos\theta)} \approx 1 - e^{-\kappa\theta^2/2}$. Esto vale $1 - e^{-1} = 63\,\%$ cuando $\kappa\theta^2/2 = 1$, $\theta = \sqrt{2/\kappa}$ radianes, o $81{}^{\circ}/\sqrt\kappa$. (c) $81/\sqrt{50} = 11.5{}^{\circ}$; la fórmula exacta da $63.1\,\%$.

4.7 Problema: las capas rojas de Kesta

Problema 4.1

Problema de fin de semana — tres formaciones de un terreno desplazado, sus direcciones, polos y rotaciones, y la edad de la más joven

Kesta es un terreno inventado, situado hoy en $47.0{}^{\circ}$ N, $15.0{}^{\circ}$ E, en el borde de un continente estable inventado. Expone tres formaciones de capas rojas: A, $60\,\mathrm{Ma}$; B, $30\,\mathrm{Ma}$; C, de unos 3.7 a $2.4\,\mathrm{Ma}$. Cada una fue muestreada en varios sitios, y cada espécimen fue desmagnetizado térmicamente; la ChRM está portada por hematites, y las formaciones están dispuestas horizontalmente.

Parte I — Direcciones medias. Los seis sitios de la formación A dan $(D, I)$: $(50{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(28{}^{\circ}, 37{}^{\circ})$, $(21{}^{\circ}, 42{}^{\circ})$, $(24{}^{\circ}, 27{}^{\circ})$, $(37{}^{\circ}, 39{}^{\circ})$, $(46{}^{\circ}, 38{}^{\circ})$.

1. ¿Por qué puede una ChRM portada por hematites en una capa roja ser más joven que la capa? ¿Qué mostraría que no es mucho más joven?
2. Calcúlese el vector unitario de la primera dirección.
3. La suma de los seis vectores unitarios es $(3.8943, 2.6500, 3.5717)$. Calcúlense $R$ y la dirección media de la formación A.
4. Calcúlense $k$ y $\alpha_{95}$ para la formación A.
5. La formación B da, a partir de 7 sitios, $D = 23.9{}^{\circ}$, $I = 51.5{}^{\circ}$ y $R = 6.8979$; la formación C, a partir de 8 sitios, $D = 3.4{}^{\circ}$, $I = 63.7{}^{\circ}$ y $R = 7.8707$. Calcúlense $k$ y $\alpha_{95}$ de cada una.
6. ¿Qué formación está mejor agrupada? ¿Cuál de las medias está mejor definida?

Parte II — Paleolatitudes y polos.

7. Calcúlense las paleolatitudes de A, B y C.
8. Para la formación A, calcúlense la paleocolatitud $p$ y la latitud de su polo geomagnético virtual.
9. Calcúlese la longitud de ese polo, comprobando qué caso del Teorema 4.17 se aplica.
10. Calcúlense $\mathrm dp$ y $\mathrm dm$ para el polo de A.
11. Los polos de B y C están en $66.5{}^{\circ}$ N, $135.6{}^{\circ}$ E y $87.1{}^{\circ}$ N, $139.1{}^{\circ}$ E. Descríbase la trayectoria de los tres polos según su edad.

Parte III — La edad de la formación C. En la formación C, desde su base, los especímenes son inversos hasta $4.2\,\mathrm{m}$, normales hasta $14.8\,\mathrm{m}$, inversos hasta $19.7\,\mathrm{m}$, normales hasta $24.6\,\mathrm{m}$, inversos hasta $29.2\,\mathrm{m}$ y normales hasta $54.0\,\mathrm{m}$, y luego inversos hasta el techo en $64.0\,\mathrm{m}$. Un nivel de cenizas a $22\,\mathrm{m}$ está datado en unos $3.2\,\mathrm{Ma}$. Los subcronos normales del cron C2An abarcan 3.596–3.330, 3.207–3.116 y 3.032–$2.581\,\mathrm{Ma}$.

12. Relaciónense las zonas de polaridad con la escala de tiempo, usando el nivel de cenizas.
13. Calcúlense la tasa de sedimentación entre el primer y el tercer límite de inversión, y entre el cuarto y el sexto.
14. Estímense las edades de la base y del techo de la sección.
15. ¿Por qué la tasa es un promedio sobre cientos de miles de años, y qué podría hacerla cambiar?

Parte IV — Frente al continente estable, y la deriva. Los polos de referencia del continente estable están en $78.0{}^{\circ}$ N, $190.0{}^{\circ}$ E ($A_{95} = 3.0{}^{\circ}$) a $60\,\mathrm{Ma}$; $83.5{}^{\circ}$ N, $175.0{}^{\circ}$ E ($2.5{}^{\circ}$) a $30\,\mathrm{Ma}$; y $87.5{}^{\circ}$ N, $150.0{}^{\circ}$ E ($2.0{}^{\circ}$) a $4\,\mathrm{Ma}$.

16. Calcúlese la distancia angular desde Kesta hasta el polo de referencia de $60\,\mathrm{Ma}$, y la inclinación y la paleolatitud esperadas.
17. Calcúlese la declinación esperada a $60\,\mathrm{Ma}$.
18. Las direcciones esperadas a 30 y $4\,\mathrm{Ma}$ son $(2.9{}^{\circ}, 60.0{}^{\circ})$ y $(2.5{}^{\circ}, 63.6{}^{\circ})$. Calcúlese el desplazamiento hacia el polo $P$ de A, B y C.
19. Calcúlese la rotación $R$ de A, B y C.
20. Calcúlense los errores $\Delta D_o$ y $\Delta D_x$ para A, y el error de su rotación.
21. Los errores de $R$ para B y C son $13.8{}^{\circ}$ y $17.9{}^{\circ}$. ¿Cuáles rotaciones son significativas al 95 por ciento?
22. Descríbase la historia de Kesta respecto al continente estable.
23. Calcúlese la deriva de Kesta hacia el norte desde la formación A, respecto al eje de rotación, en grados y en kilómetros ($111.19\,\mathrm{km}$ por grado).
24. Calcúlense las paleolatitudes permitidas por $I \pm \alpha_{95}$ para la formación A, y tómese como una desviación típica la mitad de la anchura de ese intervalo dividido entre 1.96. Indíquese la deriva hacia el norte de Kesta desde la formación A, en kilómetros, con su desviación típica.

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. La hematites en capas rojas puede crecer a partir de óxidos e hidróxidos de hierro mucho después de que se depositara el sedimento, dando lugar a una magnetización remanente química de esa edad posterior. Una prueba de pliegue positiva, si los estratos se plegaron poco después de la sedimentación, o una prueba de inversión positiva entre estratos muy próximos de ambas polaridades mostraría que la magnetización remanente es temprana.

2. $(\cos37{}^{\circ}\cos50{}^{\circ}, \cos37{}^{\circ}\sin50{}^{\circ}, \sin37{}^{\circ}) = (0.5134, 0.6118, 0.6018)$.

3. $R = \sqrt{3.8943^2 + 2.6500^2 + 3.5717^2} = 5.9114$. $D = \arctan(2.6500/3.8943) = 34.2{}^{\circ}$, $I = \arcsin(3.5717/5.9114) = 37.2{}^{\circ}$.

4. $k = 5/(6 - 5.9114) = 56.5$. Con $20^{1/5} - 1 = 0.8206$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.0886/5.9114)\times0.8206 = 0.98771$, $\alpha_{95} = 9.0{}^{\circ}$.

5. B: $k = 6/(7 - 6.8979) = 58.8$; $20^{1/6} - 1 = 0.6475$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1021/6.8979)\times0.6475 = 0.99042$, $\alpha_{95} = 7.9{}^{\circ}$. C: $k = 7/(8 - 7.8707) = 54.1$; $20^{1/7} - 1 = 0.5340$, $\cos\alpha_{95} = 1 - (0.1293/7.8707)\times0.5340 = 0.99123$, $\alpha_{95} = 7.6{}^{\circ}$.

6. B tiene la $k$ mayor, el grupo más compacto; C tiene el menor $\alpha_{95}$, la media mejor definida, porque tiene más localidades. Las tres son similares: las tres formaciones están bien agrupadas.

7. $\lambda_A = \arctan(\tfrac12\tan37.17{}^{\circ}) = 20.76{}^{\circ}$ N, $\lambda_B = 32.15{}^{\circ}$ N, $\lambda_C = 45.33{}^{\circ}$ N.

8. $p = 90 - 20.76 = 69.24{}^{\circ}$. $\sin\lambda_p = \sin47{}^{\circ}\cos69.24{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\sin69.24{}^{\circ}\cos34.23{}^{\circ} = 0.2593 + 0.5272 = 0.7865$: $\lambda_p = 51.86{}^{\circ}$ N.

9. $\sin\beta = \sin69.24{}^{\circ}\sin34.23{}^{\circ}/\cos51.86{}^{\circ} = 0.8516$, $\beta = 58.40{}^{\circ}$. Dado que $\cos p = 0.3545 < \sin47{}^{\circ}\times 0.7865 = 0.5752$, se aplica el segundo caso, $\cos\beta < 0$: $\varphi_p = 15.00 + 180 - 58.40 = 136.60{}^{\circ}$ E.

10. $\cos^2p = 0.1257$: $\mathrm dp = 4.50\times1.377 = 6.2{}^{\circ}$; $\mathrm dm = 8.99\times\sin69.24{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ} = 10.5{}^{\circ}$.

11. Desde $51.9{}^{\circ}$ N a $60\,\mathrm{Ma}$ hasta $66.5{}^{\circ}$ N a $30\,\mathrm{Ma}$ y $87.1{}^{\circ}$ N a $4\,\mathrm{Ma}$, en casi el mismo meridiano ($136{}^{\circ}$–$139{}^{\circ}$ E): una trayectoria hacia el polo geográfico, alcanzado dentro de su cono por la formación más joven.

12. La capa de ceniza, a $22\,\mathrm{m}$, se sitúa en la segunda zona normal, 19.7–$24.6\,\mathrm{m}$; con una edad cercana a $3.2\,\mathrm{Ma}$, esa zona es C2An.2n (3.207–3.116). Luego, la zona 4.2–$14.8\,\mathrm{m}$ es C2An.3n, la zona 29.2–$54.0\,\mathrm{m}$ es C2An.1n; la base invertida pertenece al cron situado debajo de C2An, y el techo invertido, al cron situado encima de él.

13. $(19.7 - 4.2)/(3.596 - 3.207) = 15.5/0.389 = 39.8\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; $(54.0 - 24.6)/(3.116 - 2.581) = 29.4/0.535 = 55.0\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

14. Base: $3.596 + 4.2/39.8 = 3.70\,\mathrm{Ma}$. Techo: $2.581 - 10.0/55.0 = 2.40\,\mathrm{Ma}$.

15. Solo se datan los límites de inversión, separados unos pocos cientos de miles de años entre sí; entre ellos se supone constante la tasa. Un cambio en la subsidencia, en el aporte de sedimento o en el clima, o una laguna en la sedimentación, la alteraría, y un hiato podría incluso eliminar una zona corta y falsear el ajuste.

16. $\cos p = \sin47{}^{\circ}\sin78{}^{\circ} + \cos47{}^{\circ}\cos78{}^{\circ} \cos175{}^{\circ} = 0.7154 - 0.1413 = 0.5741$, $p = 54.96{}^{\circ}$. $\tan I_x = 2\cot p = 1.4023$, $I_x = 54.5{}^{\circ}$; $\lambda_x = 35.04{}^{\circ}$ N.

17. $\cos D_x = (\sin78{}^{\circ} - \sin47{}^{\circ}\times0.5741)/ (\cos47{}^{\circ}\sin54.96{}^{\circ}) = 0.99976$; el polo está al este del meridiano del yacimiento ($\sin175{}^{\circ} > 0$), así que $D_x = 1.3{}^{\circ}$.

18. Paleolatitudes esperadas a partir de $I_x$ = $54.5{}^{\circ}$, $60.0{}^{\circ}$ y $63.6{}^{\circ}$: $35.03{}^{\circ}$, $40.89{}^{\circ}$ y $45.21{}^{\circ}$. $P_A = 35.03 - 20.76 = 14.3{}^{\circ}$, $P_B = 40.89 - 32.15 = 8.7{}^{\circ}$, $P_C = 45.21 - 45.33 = -0.1{}^{\circ}$.

19. $R_A = 34.2 - 1.3 = 32.9{}^{\circ}$, $R_B = 23.9 - 2.9 = 21.0{}^{\circ}$, $R_C = 3.4 - 2.5 = 0.9{}^{\circ}$, todas en sentido horario.

20. $\Delta D_o = \arcsin(\sin8.99{}^{\circ}/\cos37.17{}^{\circ}) = 11.3{}^{\circ}$; $\Delta D_x = \arcsin(\sin3.0{}^{\circ}/\cos54.5{}^{\circ}) = 5.2{}^{\circ}$; $\Delta R_A = \sqrt{11.3^2 + 5.2^2} = 12.4{}^{\circ}$.

21. $R_A = 32.9{}^{\circ} \pm 12.4{}^{\circ}$ y $R_B = 21.0{}^{\circ} \pm 13.8{}^{\circ}$ son significativos; $R_C = 0.9{}^{\circ} \pm 17.9{}^{\circ}$ no lo es.

22. Hace sesenta millones de años, Kesta se encontraba unos $14{}^{\circ}$ de latitud al sur de donde lo sitúa el continente estable, y estaba girado unos $33{}^{\circ}$ en sentido antihorario respecto a su orientación actual. Para $30\,\mathrm{Ma}$ había avanzado $6{}^{\circ}$ de esos $14{}^{\circ}$ hacia el norte y girado $12{}^{\circ}$ de esos $33{}^{\circ}$ en sentido horario; para $4\,\mathrm{Ma}$ había llegado a su lugar actual en el continente, sin rotación pendiente. Derivó hacia el norte a lo largo del margen del continente, girando en sentido horario a medida que avanzaba, y ya estaba en su lugar hacia $4\,\mathrm{Ma}$.

23. $47.00 - 20.76 = 26.24{}^{\circ}$, o $26.24\times111.19 = 2918\,\mathrm{km}$. Esto incluye el movimiento del propio continente estable; respecto a él, Kesta se desplazó $P_A = 14.3{}^{\circ}$.

24. $I = 28.18{}^{\circ}$ y $46.16{}^{\circ}$ dan $\lambda = 15.00{}^{\circ}$ y $27.50{}^{\circ}$: una semianchura de $6.25{}^{\circ}$, y una desviación típica de $6.25/1.96 = 3.19{}^{\circ}$, o $355\,\mathrm{km}$. Desde la formación A, Kesta ha derivado hacia el norte en $(2918 \pm 355)\,\mathrm{km}$.