19Dinámica de fluidos geofísicos

Al remover una taza de té, el remolino se apaga en un minuto; las hojas se concentran en el centro del fondo y no ocurre nada más. El océano y la atmósfera también se agitan, por el Sol y por el viento, pero en un planeta que rota y en capas de distinta densidad. La rotación y la estratificación las obligan a obedecer reglas que una taza de té nunca muestra: los vientos soplan a lo largo de las isobaras y no a través de ellas, las columnas de fluido se niegan a inclinarse y el viento de la alta troposfera queda escrito en las temperaturas de abajo. Este capítulo plantea las ecuaciones de estos flujos grandes, lentos y delgados, y los pocos números que deciden qué términos importan.

Lo que ya sabes

Las fuerzas de Coriolis y centrífuga en un sistema de referencia en rotación, las ecuaciones de Navier–Stokes y de continuidad, la viscosidad, el número de Reynolds y la relación hidrostática están en los libros de física. El parámetro de Coriolis $f = 2\Omega \sin\varphi$, la fuerza del gradiente de presión, el equilibrio geostrófico, los vientos geostrófico y del gradiente y las corrientes en chorro están en el volumen de primer año, en su capítulo sobre la circulación general de la atmósfera; la capa de Ekman en su capítulo sobre la circulación del océano; la temperatura potencial, la estabilidad estática y la oscilación de una partícula de aire elevada, en su capítulo sobre la estructura de la atmósfera y del océano.

19.1 Ecuaciones en un sistema de referencia en rotación

En un sistema de referencia que gira con la Tierra a la velocidad angular $\vec\Omega$, una partícula de fluido de velocidad $\vec u$ cumple

donde $\mathrm D/\mathrm Dt = \partial/\partial t + \vec u\cdot\nabla$ es la derivada siguiendo la partícula y $\nu$ la viscosidad cinemática. La fuerza centrífuga se ha sumado a la gravitación: su suma $\vec g$ es la gravedad efectiva, normal a las superficies de nivel del geopotencial, y la vertical se define por ella. De la rotación solo queda el término de Coriolis, $-2\vec\Omega\times \vec u$, que no realiza trabajo: hace girar una partícula sin cambiar su rapidez. La Tierra gira a $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, con un día sideral de $23.9345\,\mathrm{h}$.

Para movimientos a distancias mucho menores que el radio terrestre $a$, basta con un sistema cartesiano local: $x$ hacia el este, $y$ hacia el norte, $z$ hacia arriba, a la latitud $\varphi$, en el plano tangente de la figura de abajo. Allí $\vec\Omega = \Omega\,(0, \cos\varphi, \sin\varphi)$, y las tres componentes de la ecuación de cantidad de movimiento son

con $\vec F$ la fricción. Para los flujos delgados y casi horizontales del océano y de la atmósfera se desprecian los términos en $\tilde f$: $\tilde f w$ es pequeño frente a $fv$ porque $w \ll v$, y $\tilde f u$ es una diezmilésima parte de $g$ (véase el Ejercicio 19.5). La fuerza de Coriolis actúa solo en la horizontal, a través de la componente vertical local de la rotación, $\Omega\sin\varphi$.

Definición 19.1 (Plano $f$ y plano $\beta$)

Cerca de una latitud de referencia $\varphi_0$, la aproximación del plano $f$ toma el parámetro de Coriolis como constante, $f = f_0 = 2\Omega\sin\varphi_0$. La aproximación del plano $\beta$ conserva su variación de primer orden con la distancia hacia el norte $y$: $f = f_0 + \beta y$, con $\beta = \mathrm df/\mathrm dy = 2\Omega \cos\varphi_0/a$.

A $45{}^{\circ}$, con el radio medio $a = 6371\,\mathrm{km}$, $f_0 = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$: a lo largo de $1000\,\mathrm{km}$ de latitud $f$ cambia un $16\,\%$. El plano $f$ sirve para movimientos mucho menores que eso; el plano $\beta$ es necesario para corrientes de escala de cuenca y ondas planetarias.

Dos aproximaciones más simplifican las ecuaciones sin perder lo que importa. La primera concierne a la densidad.

Definición 19.2 (Aproximación de Boussinesq)

La aproximación de Boussinesq escribe la densidad como $\rho = \rho_0 + \rho'$, con $\rho_0$ constante y $|\rho'| \ll \rho_0$, y conserva $\rho'$ solo donde aparece multiplicada por $g$. La ecuación de continuidad queda $\nabla\cdot\vec u = 0$, y la ecuación de cantidad de movimiento

$$\frac{\mathrm D\vec u}{\mathrm Dt} + f\,\vec k\times\vec u = -\frac{1}{\rho_0}\nabla p' + b\,\vec k + \nu\nabla^2\vec u , \qquad b = -g\,\frac{\rho'}{\rho_0} ,$$

donde $p'$ es la desviación de la presión respecto de la presión hidrostática de la densidad $\rho_0$, $\vec k$ el vector unitario hacia arriba y $b$ la flotabilidad.

En el océano $\rho'$ es de unos $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $1025$, una fracción de un por ciento, y la aproximación es excelente. En la atmósfera la densidad disminuye en un factor $e$ en unos $8.5\,\mathrm{km}$; la aproximación se cumple para capas mucho más delgadas que eso, y los flujos más profundos sustituyen $\rho_0$ por un perfil medio $\rho_0(z)$, con la misma física.

La segunda concierne a la vertical. Un fluido en reposo está en equilibrio hidrostático; un fluido en movimiento lo mantiene con muy buena aproximación cuando el movimiento es mucho más ancho que profundo.

Definición 19.3 (Aproximación hidrostática)

La aproximación hidrostática sustituye la ecuación de cantidad de movimiento vertical de un fluido en movimiento por la relación hidrostática, $\partial p/\partial z = -\rho g$.

Proposición 19.4 (Cuándo se cumple la aproximación hidrostática)

Para un movimiento de escala horizontal $L$, profundidad $H$ y velocidad $U$, con un número de Rossby $U/(fL)$ como máximo de orden uno, la aceleración vertical es menor que el gradiente vertical de la perturbación de presión en un factor de orden $(U/fL)\,(H/L)^2$.

Un sistema meteorológico de $1000\,\mathrm{km}$ de ancho en una troposfera de $10\,\mathrm{km}$ de profundidad tiene $(H/L)^2 = 10^{-4}$ y un número de Rossby de unos 0.1: el error de la aproximación hidrostática es del orden de $10^{-5}$. Falla solo en movimientos estrechos y profundos: una corriente ascendente de tormenta, una pluma convectiva en el océano.

19.2 Escalas del flujo en rotación

Qué términos de la ecuación de cantidad de movimiento importan lo deciden dos cocientes.

Definición 19.5 (Números de Rossby y Ekman)

Para un flujo de velocidad $U$, escala horizontal $L$ y profundidad $H$ sobre un planeta de parámetro de Coriolis $f$, el número de Rossby es $\mathrm{Ro} = U/(fL)$, el cociente entre la aceleración, de orden $U^2/L$, frente a la fuerza de Coriolis, de orden $fU$. El número de Ekman es $\mathrm{Ek} = \nu/(fH^2)$, el cociente entre la fuerza viscosa, de orden $\nu U/H^2$, y la fuerza de Coriolis; en un flujo turbulento $\nu$ se sustituye por una viscosidad de remolino.

Un desagüe de bañera que evacua $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$ tiene un número de Rossby de algunos miles: la rotación terrestre no decide el sentido de su remolino. Una depresión de $1000\,\mathrm{km}$ de diámetro con vientos de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tiene $\mathrm{Ro} \approx 0.14$, y un giro oceánico, $\mathrm{Ro} \sim 10^{-4}$. La viscosidad es aún más débil: la viscosidad molecular del agua es $10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, y las viscosidades de remolino que representan la turbulencia del océano, de $10^{-5}\text{ a }10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ en la vertical, dan $\mathrm{Ek} \sim 10^{-5}$ sobre $1000\,\mathrm{m}$ de profundidad. Los dos números se relacionan con el número de Reynolds mediante $\mathrm{Re} = UL/\nu = (\mathrm{Ro}/\mathrm{Ek})(L/H)^2$.

Cuando ambos números son pequeños, la ecuación estacionaria de cantidad de movimiento horizontal conserva solo la fuerza de Coriolis y el gradiente de presión: el flujo está en equilibrio geostrófico, $f\,\vec k\times\vec u_g = -(1/\rho)\nabla_h p$, que el volumen de primer año leyó en los mapas meteorológicos. La geostrofía es el límite $\mathrm{Ro}, \mathrm{Ek}\to 0$; sus correcciones son de orden $\mathrm{Ro}$, y la fricción actúa solo en capas delgadas de espesor relativo $\sqrt{\mathrm{Ek}}$, las capas de Ekman en el fondo de la atmósfera y en el techo y el fondo del océano. En un plano $f$ la velocidad geostrófica no tiene divergencia horizontal: $\partial u_g/\partial x + \partial v_g/\partial y = -(1/\rho f)(\partial^2 p/\partial x\partial y - \partial^2 p/\partial y\partial x) = 0$ para $\rho$ uniforme.

El caso opuesto, rotación sin gradiente de presión, es el movimiento más simple que puede realizar un fluido en rotación.

Definición 19.6 (Oscilación inercial)

Una oscilación inercial es el movimiento horizontal de un fluido sobre el que no actúa ninguna fuerza horizontal salvo la fuerza de Coriolis.

Teorema 19.7 (Círculos inerciales)

En un plano $f$, una porción de fluido puesta en movimiento con rapidez $U$, sin fuerza horizontal alguna distinta de la de Coriolis, conserva su rapidez y describe un círculo de radio $U/|f|$, en sentido horario en el hemisferio norte y antihorario en el sur, con periodo inercial $2\pi/|f|$, que es medio día sideral dividido por $\sin\varphi$.

A $45{}^{\circ}$ el periodo inercial es $16.9\,\mathrm{h}$, y una corriente de $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ gira en un círculo de $1.94\,\mathrm{km}$; a $30{}^{\circ}$ el periodo es un día sideral completo, y en el ecuador no hay círculos inerciales. Tras una tormenta que ha puesto en movimiento la capa superficial del océano y luego se ha disipado, el agua hace exactamente esto. Boyas de deriva con ancla flotante a $15\,\mathrm{m}$ en el Pacífico norte describieron bucles durante días tras una tormenta en octubre de 1987, arrastradas por la corriente media: la tercera trayectoria de la figura siguiente, tras el círculo y la espiral.

Entre la geostrofía y el círculo inercial se sitúa el flujo alrededor de un centro de alta o baja presión, donde las isóbaras son curvas y la aceleración hacia el centro ya no es despreciable.

Definición 19.8 (Viento del gradiente)

El viento del gradiente es el flujo estacionario y sin fricción a lo largo de isóbaras curvas en el que la fuerza del gradiente de presión, la fuerza de Coriolis y la aceleración centrípeta se equilibran.

Proposición 19.9 (La corrección por curvatura)

Sean las isóbaras circunferencias de radio $r$ en el hemisferio norte, y $V_g$ la rapidez geostrófica que produciría su gradiente de presión, con $\mathrm{Ro}_g = V_g/(fr)$. Alrededor de una baja, el viento del gradiente es $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 + 4\mathrm{Ro}_g})$, más lento que $V_g$; alrededor de una alta, $V = 2V_g/(1 + \sqrt{1 - 4\mathrm{Ro}_g})$, más rápido, y existe solo si $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$. A primer orden, $V = V_g(1 \mp \mathrm{Ro}_g)$.

El número de Rossby de las isóbaras mide la corrección: una décima parte para una depresión de tamaño moderado. La condición $\mathrm{Ro}_g \le 1/4$ explica por qué el centro de un anticiclón tiene gradientes débiles y vientos flojos, mientras que el de una depresión puede tener gradientes pronunciados y vendavales.

19.3 Rotación sin estratificación

Un fluido en rotación de densidad uniforme, en movimiento lento, se comporta como si estuviera formado por columnas rígidas paralelas al eje de rotación.

Teorema 19.10 (Taylor–Proudman)

En un flujo estacionario de un fluido no viscoso y de densidad uniforme, en rotación a $\vec\Omega$, con número de Rossby pequeño, la velocidad no varía a lo largo la dirección del eje de rotación: $(\vec\Omega\cdot\nabla)\vec u = 0$.

Con $\vec\Omega$ según $z$, $\partial\vec u/\partial z = 0$: las tres componentes de la velocidad son las mismas a cualquier altura. Si un fondo rígido impide $w$ allí, $w = 0$ en todas partes, y el flujo horizontal es el mismo a cada nivel. Un obstáculo en el fondo de un tanque en rotación se nota, por tanto, en toda la altura hasta la superficie: el fluido situado encima no puede remontarlo, ya que eso estiraría o comprimiría una columna, y lo rodea a cada altura. La columna de fluido que permanece encima del obstáculo es una columna de Taylor.

La atmósfera y el océano están estratificados, y la estratificación relaja la restricción: un fluido estratificado puede variar con la altura, tal como lo prescribe el teorema del viento térmico.

19.4 Estratificación y viento térmico

En el volumen de primer año se elevó una partícula de aire en una atmósfera estable y se comprobó que oscilaba alrededor de su nivel. Lo mismo ocurre en cualquier fluido estratificado, y la frecuencia de la oscilación es la medida de la estratificación.

Definición 19.11 (Frecuencia de flotabilidad)

La frecuencia de flotabilidad $N$ de un fluido en reposo se define mediante

$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dz}\ \text{(aire)}, \qquad N^2 = -\frac{g}{\rho_0}\frac{\mathrm d\rho_\theta}{\mathrm dz}\ \text{(agua de mar)},$$

donde $\theta$ es la temperatura potencial del aire y $\rho_\theta$ la densidad potencial del agua, la densidad que tendría si se llevara adiabáticamente a una presión de referencia.

Teorema 19.12 (Oscilación de una partícula desplazada)

Una partícula desplazada verticalmente una pequeña distancia $\zeta$ desde su nivel en un fluido en reposo, de forma adiabática y sin mezcla, obedece $\ddot\zeta = -N^2\zeta$. Si $N^2 > 0$ oscila a la frecuencia angular $N$; si $N^2 < 0$ el desplazamiento crece y el fluido es inestable.

En la troposfera de la atmósfera estándar, que se enfría a razón de $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ frente a los $9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ de la adiabática seca ($g/c_p$, con $c_p = \gamma R/(\gamma - 1)$, $\gamma = 1.4$ y $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), $N$ promedia $0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, con un periodo de $9.3\,\mathrm{min}$; en la estratosfera inferior isoterma es $0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$. En el océano, la columna de agua del Atlántico Norte en $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O, en la media anual presenta su estratificación más intensa en la picnoclina estacional, $N = 0.0106\,\mathrm{s}^{-1}$ a unos $30\,\mathrm{m}$, seis ciclos por hora, y valores mucho más débiles por debajo: unos pocos ciclos por hora como máximo, según se observa en el océano superior.

La estratificación permite que el flujo varíe con la altura, y el modo en que lo hace depende de si las superficies de densidad constante siguen a las de presión constante.

Definición 19.13 (Fluidos barotrópicos y baroclínicos)

Un fluido es barotrópico si su densidad es una función únicamente de la presión, de modo que las superficies de densidad constante coinciden con las superficies de presión constante; es baroclínico si se cortan.

En la atmósfera, un gradiente horizontal de temperatura a lo largo de una superficie de presión hace que el aire sea baroclínico. El equilibrio hidrostático hace entonces que las superficies de presión se inclinen más con la altura, y el equilibrio geostrófico convierte la inclinación creciente en un viento creciente.

Teorema 19.14 (Viento térmico)

En una atmósfera en equilibrio hidrostático y geostrófico, el viento geostrófico varía con la presión según

$$\frac{\partial u_g}{\partial\ln p} = \frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_p , \qquad \frac{\partial v_g}{\partial\ln p} = -\frac{R}{f}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_p .$$

Entre dos niveles de presión $p_b > p_t$, el viento térmico, la diferencia de los vientos geostróficos, es

$$\vec u_g(p_t) - \vec u_g(p_b) = \frac{R}{f}\,\ln\frac{p_b}{p_t}\;\vec k\times\nabla_p\bar T ,$$

donde $\bar T$ es la temperatura media de la capa: sopla a lo largo de las isotermas de la capa, con el aire frío a su izquierda en el hemisferio norte.

Corolario 19.15 (Viento térmico en altura)

En coordenadas de altura, para la atmósfera, $\partial u_g/\partial z = -(g/fT)\,\partial T/\partial y + (u_g/T)\,\partial T/\partial z$; para el océano en la aproximación de Boussinesq, $\partial u_g/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial y$ y $\partial v_g/\partial z = -(g/f\rho_0)\,\partial\rho/\partial x$.

El segundo término de la forma atmosférica, debido a la disminución de la temperatura con la altura, es menor que el primero y se anula en una capa isoterma; integrado a lo largo de una capa con su temperatura media, el primer término por sí solo da casi la forma en presión, ya que $\Delta z \approx (R\bar T/g) \ln(p_b/p_t)$ (problema, parte IV). En el océano, el mismo teorema convierte una sección de densidad a través de una corriente en su cizalladura vertical: la base del método dinámico de los oceanógrafos.

Las corrientes en chorro del volumen de primer año son vientos térmicos. En la media zonal de enero de 1991–2020, el viento del oeste a $30{}^{\circ}$ N crece desde $4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $850\,\mathrm{hPa}$ hasta $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $250\,\mathrm{hPa}$; con $f$ a $30{}^{\circ}$ y $R$, esta cizalladura es la señal de una capa cuya temperatura media disminuye hacia el norte en $7.5\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. A $45{}^{\circ}$ N la cizalladura de $6.0\text{ a }23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ da $5.0\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. La figura siguiente muestra los perfiles y, para cada latitud, la caída de temperatura hacia el polo leída de la cizalladura: mayor en las subtropicales del hemisferio de invierno, donde se sitúa el chorro subtropical, con $43.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $200\,\mathrm{hPa}$ y $30{}^{\circ}$ N en enero, y $41.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$ S en julio. Por encima de $200\,\mathrm{hPa}$, a $30{}^{\circ}$ N el viento vuelve a debilitarse: el teorema del viento térmico leído al revés indica que allí, en la baja estratosfera, la temperatura aumenta hacia el polo.

19.5 Radio de deformación de Rossby

La rotación y la estratificación imponen cada una una escala; juntas imponen una longitud.

Definición 19.16 (Radio de deformación de Rossby)

El radio de deformación de Rossby de una capa de profundidad $H$ y frecuencia de flotabilidad $N$ es $L_R = NH/|f|$.

Proposición 19.17 (Energía potencial y cinética del flujo equilibrado)

En un flujo hidrostático y geostrófico de escala horizontal $L$ en una capa de profundidad $H$ y frecuencia de flotabilidad $N$, la razón entre la energía potencial almacenada en las superficies de densidad desplazadas y la energía cinética es del orden de $(L/L_R)^2$.

Los movimientos mucho más anchos que $L_R$ concentran la mayor parte de su energía en superficies de densidad inclinadas, y los mucho más estrechos, en la velocidad; a $L_R$ las dos son iguales, y la inestabilidad de los flujos baroclínicos, que se nutre de la energía potencial de las superficies inclinadas, crece más rápidamente cerca de esa escala. Para la troposfera, con la $N$ media de la atmósfera estándar, $H = 11\,\mathrm{km}$ y $f$ a $45{}^{\circ}$, $L_R = 1210\,\mathrm{km}$: la escala de las depresiones y anticiclones de un mapa del tiempo. Para el kilómetro superior de la columna del Atlántico Norte a $40.5{}^{\circ}$ N, $L_R = 38\,\mathrm{km}$, treinta veces menor: el océano tiene su propia meteorología, con remolinos de decenas de kilómetros de extensión, y un modelo que los resuelva necesita una malla mucho más fina. A escalas cercanas a $L_R$, $f$ cambia en $\beta L_R/f$, $19\,\%$ en la atmósfera y por debajo del uno por ciento en el océano: los remolinos oceánicos viven en un plano $f$; los sistemas meteorológicos sienten el plano $\beta$.

En el laboratorio — Un planeta en una mesa giratoria

En un laboratorio de dinámica de fluidos geofísicos, un tanque de agua se sitúa sobre una mesa giratoria; una cámara gira con ella y ve el agua como la vería un observador en un planeta. Antes de cada experimento se deja que el agua se ponga en rotación, hasta que gire como un sólido rígido, lo que tarda unos pocos minutos, es decir, muchas vueltas de la mesa. Entonces los experimentadores inyectan colorante o desplazan lentamente un obstáculo por el fondo: el colorante asciende en una columna vertical sobre el obstáculo y el flujo lo rodea a todos los niveles. Con una capa de agua dulce sobre agua salada, o con una pared exterior calentada y un centro enfriado, el tanque se vuelve baroclínico, y aparecen corrientes en chorro, remolinos y frentes meandriformes, cuyo tamaño predice el radio de deformación de Rossby del tanque.

19.6 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Tómese $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Calcúlense el parámetro de Coriolis y el período inercial a $30{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$ y $60{}^{\circ}$ N. (b) Calcúlese el radio del círculo inercial de una corriente de $0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a las mismas latitudes. (c) Compárese el período inercial a $30{}^{\circ}$ con el día sidéreo, $23.9345\,\mathrm{h}$.

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

(a) $f = 2\Omega\sin\varphi$: $7.292 \times 10^{-5}$, $1.031 \times 10^{-4}$ y $1.263 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f$: 23.93, 16.92 y $13.82\,\mathrm{h}$. (b) $U/f$: 2.74, 1.94 y $1.58\,\mathrm{km}$. (c) A $30{}^{\circ}$, $\sin\varphi = 1/2$ y $2\pi/f = 2\pi/\Omega$: el período inercial es el día sideral, $23.93\,\mathrm{h}$.

Ejercicio 19.2 ★

A $45{}^{\circ}$ N, calcúlese el número de Rossby de un torbellino de polvo ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10\,\mathrm{m}$), una brisa marina ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$), una depresión ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$) y un giro oceánico ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$). ¿Cuáles de ellos están cerca del equilibrio geostrófico?

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

Con $f = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$: torbellino de polvo $9.7 \times 10^{3}$, brisa marina 2.4, depresión 0.15, giro $2.4 \times 10^{-4}$. La depresión y el giro están cerca del equilibrio geostrófico; el torbellino de polvo gira en un sentido u otro, ajeno a la rotación terrestre, y la brisa marina la percibe solo al cabo de un día.

Ejercicio 19.3 ★

A $45{}^{\circ}$ N, la temperatura media de la troposfera, $250\,\mathrm{K}$, disminuye hacia el norte $5\,\mathrm{K}$ por cada $1000\,\mathrm{km}$. Utilícese el primer término del viento térmico en altura, calcúlese el cizallamiento vertical del viento del oeste y el aumento del viento en $10\,\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$\partial u_g/\partial z = (g/fT)\,|\partial T/\partial y| = 9.81\times 5 \times 10^{-6}/(1.031 \times 10^{-4}\times250) = 1.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; en $10\,\mathrm{km}$ el viento del oeste aumenta $19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Ejercicio 19.4 ★

La estabilidad $E = -(1/\rho)\,\mathrm d\rho_\theta/\mathrm dz$ del kilómetro superior del océano se encuentra entre $50 \times 10^{-8}$ y $1000 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$; en las fosas profundas vale $10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$. Calcúlense $N = \sqrt{gE}$, el período de la oscilación de flotabilidad y $N$ en ciclos por hora para estos tres valores.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

$E = 50 \times 10^{-8}$: $N = 2.21 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, un período de $47\,\mathrm{min}$, $1.27$ ciclos por hora. $E = 1000 \times 10^{-8}$: $N = 9.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $10.6\,\mathrm{min}$, 5.7 ciclos por hora. $E = 10^{-8}$: $N = 3.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $5.6\,\mathrm{h}$, 0.18 ciclos por hora.

Ejercicio 19.5 ★★

Un sistema meteorológico tiene $U = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $L = 1000\,\mathrm{km}$, $H = 10\,\mathrm{km}$, a $45{}^{\circ}$ N. (a) Estímese su velocidad vertical y su aceleración vertical, y compárese esta última con $g$ y con el gradiente vertical de la perturbación de presión, $fUL/H$. (b) Calcúlese el término de Coriolis despreciado $\tilde fu$ y compárese con $g$.

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

(a) $W \sim UH/L = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\mathrm Dw/\mathrm Dt \sim UW/L = 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.0 \times 10^{-7}$ de $g$. El término de presión, $fUL/H = 0.103\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, es mayor en $1 \times 10^{5}$: la razón, $9.7 \times 10^{-6}$, es $\mathrm{Ro}(H/L)^2$ con $\mathrm{Ro} = 0.097$. (b) $\tilde fu = 2\Omega\cos45{}^{\circ}\times10 = 1.03 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1.05 \times 10^{-4}$ de $g$.

Ejercicio 19.6 ★★

Tómese $f = 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ e isobaras circulares de radio $300\,\mathrm{km}$. (a) El gradiente de presión alrededor de una borrasca da $V_g = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcúlese el viento del gradiente. (b) Alrededor de un anticiclón, $V_g = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: calcúlese el viento del gradiente. (c) ¿Cuál es el mayor $V_g$ posible alrededor del anticiclón, y entonces el viento?

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

$fr = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) $\mathrm{Ro}_g = 0.667$, $V = 40/(1 + \sqrt{3.667}) = 13.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, una tercera parte más lento que la geostrofía. (b) $\mathrm{Ro}_g = 0.167$, $V = 10/(1 + \sqrt{0.333}) = 6.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $V_g \le fr/4 = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y entonces $V = fr/2 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, el doble de la velocidad geostrófica.

Ejercicio 19.7 ★★

Un tanque de $20\,\mathrm{cm}$ de profundidad gira una vez cada $6\,\mathrm{s}$; su agua tiene $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Calcúlese $f = 2\Omega$, después el número de Rossby de un flujo de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ que pasa un cilindro de $5\,\mathrm{cm}$ de diámetro, y el número de Ekman del tanque. ¿Se formará una columna de Taylor? (b) La teoría da un tiempo de spin-up $H/\sqrt{\nu\Omega}$: calcúlese en minutos y en vueltas de la mesa.

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

(a) $\Omega = 2\pi/6 = 1.047\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.094\,\mathrm{s}^{-1}$. $\mathrm{Ro} = 0.01/(2.094\times0.05) = 0.095$ y $\mathrm{Ek} = 10^{-6}/(2.094\times0.04) = 1.19 \times 10^{-5}$: ambos pequeños, así que el flujo obedece el teorema de Taylor–Proudman y se forma una columna de Taylor. (b) $0.2/\sqrt{10^{-6} \times1.047} = 195\,\mathrm{s}$, $3.3\,\mathrm{min}$, 33 vueltas de la mesa.

Ejercicio 19.8 ★★

En la media zonal de enero de 1991–2020 el viento del oeste vale $4.27\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $850\,\mathrm{hPa}$ y $40.39\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $250\,\mathrm{hPa}$ a $30{}^{\circ}$ N, $5.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $23.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N. Con $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, calcúlese el gradiente meridional de la temperatura media de la capa a ambas latitudes, y explíquese por qué la corriente en chorro es más intensa a $30{}^{\circ}$ N.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

$\partial\bar T/\partial y = -f\,\Delta u/(R\ln(850/250))$, con $\ln(850/250) = 1.224$. A $30{}^{\circ}$ N, $-7.29 \times 10^{-5}\times36.12/(286.9 \times1.224) = -7.50\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$; a $45{}^{\circ}$ N, $-1.031 \times 10^{-4}\times17.18/351.1 = -5.05\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$. La cizalladura es proporcional al gradiente dividido por $f$: el gradiente es 1.5 veces mayor a $30{}^{\circ}$ y $f$ 1.4 veces menor, así que la cizalladura es 2.1 veces mayor.

Ejercicio 19.9 ★★

(a) Calcúlese el radio de deformación de Rossby de la troposfera ($N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 11\,\mathrm{km}$, $45{}^{\circ}$ N) y del océano superior ($N = 0.003\,57\,\mathrm{s}^{-1}$, $H = 1000\,\mathrm{m}$, $40.5{}^{\circ}$ N). (b) Con $a = 6371\,\mathrm{km}$, calcúlese $\beta$ a ambas latitudes y el cambio relativo $\beta L_R/f$ del parámetro de Coriolis a lo largo de cada radio.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

(a) $L_R = 0.0113\times11\,000/1.031 \times 10^{-4} = 1206\,\mathrm{km}$; $0.00357\times1000/9.47 \times 10^{-5} = 37.7\,\mathrm{km}$, 32 veces menor. (b) $\beta = 2\Omega\cos\varphi/a$: $1.62 \times 10^{-11}$ y $1.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\beta L_R/f = 0.19$ para la atmósfera, 0.007 para el océano.

Ejercicio 19.10 ★★★

Una partícula de agua de la superficie del océano, que se mueve a velocidad $U$, se frena por una fricción lineal: $\mathrm du/\mathrm dt = fv - ru$, $\mathrm dv/\mathrm dt = -fu - rv$. (a) Resuélvase con $w = u + \mathrm iv$ y descríbase la trayectoria. (b) La partícula es arrastrada además por una corriente estacionaria $u_0$ hacia el este: dese su posición. (c) A $45{}^{\circ}$ N, con $U = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $r^{-1} = 4~\text{días}$ y $u_0 = 0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dese su velocidad relativa a la corriente tras cuatro días y la distancia que ha derivado.

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

(a) $\mathrm dw/\mathrm dt = -(r + \mathrm if)w$, así que $w = U\mathrm e^{-rt}\mathrm e^{-\mathrm ift}$: la velocidad gira con la frecuencia $f$ mientras su módulo decae como $\mathrm e^{-rt}$. La posición $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if)$ converge en espiral hacia el punto $U/(r + \mathrm if)$. (b) $x + \mathrm iy = U(1 - \mathrm e^{-(r + \mathrm if)t})/(r + \mathrm if) + u_0t$: la espiral se alarga en bucles. (c) $0.2\,\mathrm e^{-1} = 0.074\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; el centro se ha desplazado $u_0t = 0.05\times4\times86\,400 = 17.3\,\mathrm{km}$ hacia el este.

Ejercicio 19.11 ★★★

A través de un frente oceánico a $40{}^{\circ}$ N, la densidad del agua aumenta hacia el norte $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $100\,\mathrm{km}$, en los $1000\,\mathrm{m}$ superiores; por debajo, el agua es uniforme y está en reposo. Con $\rho_0 = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, calcúlense el cizallamiento vertical de la corriente y la corriente en la superficie. ¿En qué dirección fluye?

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

$f = 9.37 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\partial u/\partial z = (g/f\rho_0)\,\partial \rho/\partial y = 9.81\times10^{-5}/(9.37 \times 10^{-5}\times1025) = 1.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. Con $u = 0$ a $1000\,\mathrm{m}$, la corriente superficial es $1.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hacia el este: en el hemisferio norte la corriente fluye con el agua ligera a su derecha.

Ejercicio 19.12 ★★★

La columna media anual en $40.5{}^{\circ}$ N, $30.5{}^{\circ}$ O presenta densidades potenciales $\sigma_\theta = \rho_\theta - 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ de 26.029 en la superficie, 26.697 a $100\,\mathrm{m}$, 27.079 a $500\,\mathrm{m}$ y 27.628 a $1000\,\mathrm{m}$. (a) Calcúlese $N$ en cada una de las tres capas, en $\mathrm{s}^{-1}$ y en ciclos por hora. (b) ¿Qué capa es la más estable, y por qué? (c) Compárense los valores con el intervalo del océano superior recogido en el Ejercicio 19.4.

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

(a) $N^2 = (g/\rho)\,\Delta\sigma_\theta/\Delta z$. 0–$100\,\mathrm{m}$: $9.81\times0.668/(1026.4\times100)$, $N = 7.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 4.6 ciclos por hora; 100–$500\,\mathrm{m}$: $3.02 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.7 ciclos por hora; 500–$1000\,\mathrm{m}$: $3.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 ciclos por hora. (b) Los $100\,\mathrm{m}$ superiores: contienen el agua superficial cálida por encima de la picnoclina estacional. Entre 100 y $500\,\mathrm{m}$ el agua es más uniforme que por debajo. (c) $E = N^2/g$ es $650 \times 10^{-8}$, $93 \times 10^{-8}$ y $107 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{-1}$, todos dentro del rango de la capa superior del océano.

19.7 Problema: vientos sobre la estepa de Orrin

Problema 19.1

Problema de fin de semana — la rotación, la estratificación y los vientos de una llanura inventada a $48{}^{\circ}$ N

La estepa de Orrin es una llanura plana a $48{}^{\circ}$ N con un lago, el lago Orrin, de $12\,\mathrm{km}$ de anchura, y un pequeño laboratorio con un tanque giratorio. Tómense $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 286.9\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$. Todos los valores de la estepa, de su lago y de sus vientos son inventados.

Parte I — ¿Importa la rotación?

1. Calcúlense el parámetro de Coriolis y el periodo inercial en Orrin.
2. Calcúlese el número de Rossby de cinco flujos: agua que desagua de una bañera ($0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre $0.3\,\mathrm{m}$); el tanque del laboratorio, que gira una vez cada $10\,\mathrm{s}$ (con $f = 2\Omega_{\text{tanque}}$; $5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ sobre $0.2\,\mathrm{m}$); la brisa de la tarde desde el lago ($5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $20\,\mathrm{km}$); una depresión ($15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{km}$); el giro de una cuenca oceánica a la misma latitud ($0.05\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $2000\,\mathrm{km}$).
3. ¿Cuáles de estos flujos sienten la rotación que los impulsa, y cuáles están próximos al equilibrio geostrófico?
4. Calcúlese el número de Ekman del tanque ($0.2\,\mathrm{m}$ de profundidad, $\nu = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), de la depresión (viscosidad de remolino $10\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, profundidad $10\,\mathrm{km}$) y del giro (viscosidad de remolino $10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, profundidad $1000\,\mathrm{m}$).
5. La capa de Ekman tiene el espesor $\delta = \sqrt{2\nu/f}$. Demuéstrese que $\delta/H = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$ y calcúlese $\delta$ para el tanque y para el aire de la estepa.
6. ¿Qué indican estos números sobre dónde importa la fricción?

Parte II — El viento en superficie.

7. En superficie la presión es $1012.9\,\mathrm{hPa}$ y la temperatura $288.1\,\mathrm{K}$. Calcúlese la densidad del aire.
8. La presión a nivel del mar disminuye hacia el norte en $4\,\mathrm{hPa}$ por $300\,\mathrm{km}$. Calcúlese el viento geostrófico e indíquese su dirección.
9. El mismo gradiente rodea una depresión cuyas isobaras tienen un radio de $600\,\mathrm{km}$. Calcúlese el número de Rossby de las isobaras y el viento del gradiente.
10. El mismo gradiente rodea un anticiclón del mismo radio. Calcúlese el viento del gradiente y el mayor gradiente de presión, en $\mathrm{hPa}$ por $300\,\mathrm{km}$, que puede mantener el anticiclón.

Parte III — Estratificación.

11. La temperatura de la troposfera disminuye a razón de $6.49\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. Calcúlese el gradiente adiabático seco $g/c_p$, y $N$ y el periodo de la oscilación de flotabilidad a $5\,\mathrm{km}$, donde la temperatura es $255.7\,\mathrm{K}$.
12. Por encima de $11\,\mathrm{km}$ el aire es isotermo a $216.6\,\mathrm{K}$. Demuéstrese que $N^2 = g^2/(c_pT)$ allí, y calcúlense $N$ y su razón con el valor de la pregunta 11.
13. Calcúlese el radio de deformación de Rossby de la troposfera de Orrin, con el $N$ de la pregunta 11 y $H = 10\,\mathrm{km}$, y compárese con el tamaño de la depresión de la Parte I.
14. En verano, los $20\,\mathrm{m}$ superiores del lago Orrin son $1.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ más ligeros que el agua profunda ($\rho_0 = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Calcúlense la gravedad reducida $g' = g\,\Delta\rho/\rho_0$, la velocidad $\sqrt{g'h}$ de las ondas internas lentas de la capa superior, y el radio de deformación de Rossby $\sqrt{g'h}/f$.
15. ¿Condicionará la rotación de la Tierra los movimientos internos del lago?

Parte IV — El viento térmico.

16. Dos estaciones de radiosondeo distan $600\,\mathrm{km}$ entre sí en el mismo meridiano. La temperatura media de la capa desde el suelo, $1013\,\mathrm{hPa}$, hasta $265\,\mathrm{hPa}$, de unos $10\,\mathrm{km}$, es $253.0\,\mathrm{K}$ en la estación meridional y $249.4\,\mathrm{K}$ en la septentrional. Calcúlese el gradiente meridional de temperatura en $\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$.
17. El espesor de una capa entre dos presiones es $\Delta z = (R\bar T/g)\ln(p_b/p_t)$. Calcúlese en ambas estaciones, y la pendiente de la superficie de $265\,\mathrm{hPa}$ respecto a la del nivel del suelo.
18. Dedúzcase el aumento del viento geostrófico desde el suelo hasta $265\,\mathrm{hPa}$, a partir de esa pendiente.
19. Calcúlese el mismo aumento con el teorema del viento térmico en presión.
20. ¿Es el aire de la estepa barotrópico o baroclínico? ¿Cuál sería el viento a $265\,\mathrm{hPa}$ si fuera barotrópico?
21. Calcúlese el aumento a partir del primer término del viento térmico en altura, con la temperatura media de la troposfera estándar entre 0 y $10\,\mathrm{km}$, $255.7\,\mathrm{K}$, y compárese.
22. Calcúlese el viento a $541\,\mathrm{hPa}$, de unos $5\,\mathrm{km}$, suponiendo que el gradiente de temperatura es el mismo en todos los niveles.
23. El número de Richardson $N^2/(\partial u/\partial z)^2$ debe caer por debajo de 0.25 para que la cizalladura genere turbulencia. Calcúlese para la troposfera de Orrin.
24. En enero la media zonal del viento del oeste a $250\,\mathrm{hPa}$ es $23.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ N y $40.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $30{}^{\circ}$ N. Compárese con el viento de Orrin, y explíquese por qué un viento local puede superar a la media zonal.
25. Indíquese el viento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ sobre la estepa de Orrin.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. $f = 2\times7.292\,115 \times 10^{-5}\sin48{}^{\circ} = 1.084 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $2\pi/f = 16.1\,\mathrm{h}$.

2. Bañera $3.1 \times 10^{3}$; cubeta ($f = 4\pi/10 = 1.257\,\mathrm{s}^{-1}$) 0.020; brisa 2.3; depresión 0.14; giro $2.3 \times 10^{-4}$.

3. La bañera no percibe nada de la rotación terrestre; la brisa la percibe solo al cabo de algunas horas. La cubeta, la depresión y el giro tienen números de Rossby pequeños y están cerca de la geostrofía.

4. Cubeta $10^{-6}/(1.257\times0.04) = 2.0 \times 10^{-5}$; depresión $10/(1.084 \times 10^{-4}\times10^8) = 9.2 \times 10^{-4}$; giro $10^{-3}/(1.084 \times 10^{-4}\times10^6) = 9.2 \times 10^{-6}$.

5. $\delta/H = \sqrt{2\nu/(fH^2)} = \sqrt{2\,\mathrm{Ek}}$. Cubeta $\sqrt{2\times10^{-6}/1.257} = 1.3\,\mathrm{mm}$; aire $\sqrt{20/1.084 \times 10^{-4}} = 430\,\mathrm{m}$.

6. El rozamiento actúa en capas de unas pocas milésimas de la profundidad en la cubeta y en el océano, unas pocas centésimas en la atmósfera; por encima de ellas el flujo es casi libre de rozamiento.

7. $\rho = p/(RT) = 101\,290/(286.9\times288.1) = 1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. $u_g = (1/\rho f)\,|\partial p/\partial y| = (400/300\,000)/(1.225 \times1.084 \times 10^{-4}) = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, desde el oeste, con la baja presión al norte, a la izquierda.

9. $\mathrm{Ro}_g = 10.04/(1.084 \times 10^{-4}\times600\,000) = 0.154$; $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{1.618}) = 8.84\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12\,\%$ más lenta.

10. $V = 2\times10.04/(1 + \sqrt{0.382}) = 12.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La mayor $V_g$ es $fr/4 = 16.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un gradiente $\rho fV_g = 2.16 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$, $6.5\,\mathrm{hPa}$ por $300\,\mathrm{km}$.

11. $g/c_p = 9.77\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. $N^2 = (9.81/255.7)\times(9.77 - 6.49)\times10^{-3} = 1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0112\,\mathrm{s}^{-1}$, un periodo de $9.3\,\mathrm{min}$.

12. Con $\Gamma = 0$, $N^2 = (g/T)(g/c_p) = g^2/(c_pT) = 4.43 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-2}$, $N = 0.0210\,\mathrm{s}^{-1}$, 1.9 veces el valor troposférico.

13. $L_R = 0.0112\times10^4/1.084 \times 10^{-4} = 1035\,\mathrm{km}$, el tamaño de la depresión.

14. $g' = 0.0147\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\sqrt{g'h} = 0.54\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $L_R = 0.542/1.084 \times 10^{-4} = 5.0\,\mathrm{km}$.

15. Sí: el lago, $12\,\mathrm{km}$ de ancho, es más del doble de su radio de Rossby, por lo que sus ondas internas y corrientes están desviadas por la fuerza de Coriolis.

16. $(249.4 - 253.0)/600 = -6.0\,\mathrm{K}$ por $1000\,\mathrm{km}$.

17. $\ln(1013/265) = 1.3409$. Sur: $286.9\times253.0\times1.3409/9.81 = 9922\,\mathrm{m}$; norte $9781\,\mathrm{m}$. La superficie de $265\,\mathrm{hPa}$ está $141\,\mathrm{m}$ más baja en el norte, con una pendiente de $2.35 \times 10^{-4}$ respecto a la superficie inferior.

18. $\Delta u = (g/f)\times\text{pendiente} = 9.81\times2.35 \times 10^{-4}/ 1.084 \times 10^{-4} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

19. $(R/f)\ln(p_b/p_t)\,|\partial\bar T/\partial y| = (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times1.3409\times6.0 \times 10^{-6} = 21.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lo mismo: los dos cálculos son uno.

20. Baroclínico: la temperatura, y por tanto la densidad, cambia a lo largo de las superficies de presión. Barotrópico, el viento no cambiaría con la altura: $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

21. $(g/f\bar T)\,|\partial T/\partial y|\,\Delta z = 9.81\times 6.0 \times 10^{-6}\times10^4/(1.084 \times 10^{-4}\times255.7) = 21.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dentro de $0.3\,\%$.

22. $10.04 + (286.9/1.084 \times 10^{-4})\times6.0 \times 10^{-6}\times \ln(1013/541) = 10.04 + 9.96 = 20.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

23. $\partial u/\partial z = 21.3/10^4 = 2.13 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\mathrm{Ri} = 1.26 \times 10^{-4}/4.54 \times 10^{-6} = 28$, muy por encima de 0.25: la cizalladura no hace turbulenta la troposfera libre.

24. El viento de Orrin, $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, es más intenso que la media zonal a $45{}^{\circ}$ N y más débil que a $30{}^{\circ}$ N. La corriente en chorro del frente polar oscila hacia el norte y el sur; en cada momento su gradiente, y también su viento, se concentra en una franja, y promediar alrededor de un círculo de latitud lo dispersa.

25. $10.0 + 21.3$: el viento geostrófico a $10\,\mathrm{km}$ sobre la estepa es $31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, del oeste ($31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ según el cálculo).